（控制理论与控制工程专业论文）船舶电力系统混沌现象研究.pdf

摘要yl u l l 7 8 口对于确定性动力系统，曾认为只要给出模型及初值，就可以预测其动态行为，但混沌( c h a o s ) 现象的研究与发现改变了这一观点。混沌广泛存在于客观世界中，如气象学中的l o r e n z 系统，电路中的c h u a 电路系统等。混沌是非线性系统中各参数相互作用导致的一种非常复杂的现象。电力系统混沌研究是近年来兴起的一个研究内容，其基本目的在于研究电力系统混沌的形成机制，然后加以预防或利用。对该问题的研究，具有十分重要的理论意义和实际应用价值。船舶电力系统是典型的非线性系统，其动态行为包含许多复杂的非线性机电振荡现象，如低频振荡、次同步振荡，甚至混沌动态。这些现象对系统安全运行造成潜在威胁，可能导致系统失稳。有些现象可由含参数的非线性微分代数方程组来描述。近年来，随着对电力系统稳定性的深入研究，国内外学者相继发现在电力系统中存在十分复杂的混沌现象。混沌现象在电力系统中出现时，将伴随系统运行持续无规则的振荡，严重危害系统的安全运行，而要在船舶电力系统中有效地预防和消除混沌振荡，必须对船舶电力系统中的混沌发生机理和产生途径进行研究。本文分析了船舶电力系统中的混沌现象，研究船舶电力系统中诱发混沌现象的途径以及混沌吸引子的特征。本文以动力学理论为基础，在稳定的周期扰动下，分别对扰动频率或扰动幅值参数的变化进行了研究，对系统的状态进行计算机分析。本文研究的主要内容有：1 ) 从船舶电力系统的动力学机理出发，建立船舶电力系统两机并联系统非线性数学模型，并分别对无扰动和有扰动系统进行了分析；2 ) 运用动力系统分析原理，对建立的模型进行了数值分析，绘制出各个参数下的系统运行相图和时序图，直观地反映了系统的演变过程；3 ) 对船舶电力系统双机并联工况运用l y a p u n o v 指数、p o i n c a r 6 映射图和频谱分析等方法进行了研究，将其运用到系统混沌现象的判定，进步说明船舶电力系统具有混沌特征；最后初步探讨了混沌的成因。本文研究发现，船舶电力系统在不同的扰动情况下可进入混沌状态。不论是扰动频率变化还是扰动幅值变化，系统经过倍周期过程进入混沌，形成不同的混沌吸引子。研究在一定程度上揭示了船舶电力系统混沌的演变过程和内在规律性，说明船舶电力系统中存在混沌现象。关键词：混沌，船舶电力系统，非线性模型，相图，p o i n c a r 吉映射a b s t r a c ti tw a so n c eb e l i e v e dt h a t ，t h eb e h a v i o ro fad e t e r m i n i s t i cd y n a m i cs y s t e mi sc o m p l e t e l yp r e d i c a b l ei nc a s et h ei n i t i a lc o n d i t i o n sa n dt h em a t h e m a t i cm o d e la r eg i v e n ，b u tt h er e s e a r c ho nc h a o sh a sa b s o l u t e l ya l t e r e dt h eb e l i e f i t ss a i dt h a tc h a o si st h ec o m m o np h e n o m e n o ni no u rp h y s i cw o r l d ，s u c ha st h el o r e n zs y s t e mi nm e t e o r o l o g ya n d c h u ac i r c u i ti ne l e c t r i c s c h a o ss y s t e mh a sa ne x t r e m es e n s i b i l i t yt ot h ei n i t i a lc o n d i t i o n s t h i sf e a t ur eu s u a l l ym a k et h er e s u i t so fc h a o ss y s t e mf a rf r o mo u rr e q u i r e m e n t sa n dd i f f i c u l tt op r e d i c t s oi ns o m es y s t e m s ，w en e e dt op r e v e n tf r o mc h a o s t h er e s e a r c ho nc h a o si np o w e rs y s t e mi st os t u d yt h em e c h a n i s mo fp o w e rs y s t e mc h a o sa n dh o wt op r e v e n to rm a k eu s eo fi t i t ss i g n i f i c a n tb o t hi nt h e o r ya n dp r a c t i c eam a r i n ep o w e rs y s t e mi sat y p i c a ln o n l i n e a rs y s t e m ，a n di t sd y n a m i cb e h a v i o ri n c l u d e ss o m ec o m p l i c a t e dn o n l i n e a re l e c t r o m e c h a n i c a lo s c i l l a t i o n si nk r e c e n iy e a r s ，s o m er e s e a r c h e r sh a v ef o u n dt h a tt h e r ea r em a n yc h a o sp h e n o m e n aj nt h ep o w e rs y s t e mc o m p a n i e dw i t hc o n t i n u e dr a n d o mo s c i l l a t i o n t op r e v e n ta n de l i m i n a t ec h a o se f f e c t i v e l y w es h o u l dm a k ec l e a rt h em e c h a n i s mo fc h a o sa n dw a y st oc h a o s t h ep u r p o s e so ft h i sp a p e ra r et os t u d yt h ec h a o sp h e n o m e n ai nt h em a r i t i m ep o w e rs y s t e ma n di t sw a y sa n dc h a r a c t e r i s t i c s b a s e do nt h ed y n a m i c s ，t h et h e s i sd i s c u s s e st h ef r e q u e n c ya n dt h ea m p l i t u d eo ft h ep e r t u r b a n c er e s p e c t i v e l y , a n da n a l y z et h es y s t e mw i t ht h ec o m p u t e r t h ep r i n c i p a lr e s e a r c hc o n t e n t sa r ep r e s e n t e da sf o l l o w 1 ) t od e d u c ean o n l i n e a rm o d e la c c o r d i n gt ot h ed y n a m i cp r i n c i p l eo fm a r i t i m ep o w e rs y s t e m ，t om a k ean o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lm o d e io fs h i pp o w e rs y s t e mw i t ht w og e n e r a t o r s ，a n dt h e nt oa n a l y z et h em o d e lw i t ha n dw i t h o u tp e r t u r b a t i o n 。2 ) t om a k en u m e r i c a la n a l y s i so ft h eo b t a i n e dm o d e lb ym e a n so ft h ea n a l y s i sp r i n c i p l eo fd y n a m i c a ls y s t e m t h ep h a s eg r a p ha n dt i m es e r i a lw a v eo ft h e 、s y s t e mu n d e rd i f f e r e n tp a r a m e t e r sa r ep l o t t e d ，a n dt h ee v o l u t i o no fs y s t e mi s 川u m i n a t e d23 ) l os t u d yt h em a x - l y a p u n o ve x p o n e n t 九1 ，p o i n c a r 6m a pa n df r e q u e n c ys p e c t r u m ，a n du s et h e mt ot e s t i f yt h ec h a o si nt h em a r i t i m ep o w e rs y s t e m w ef o u n dad o u b l e 4 p e r i o dw a yt oc h a o si nt h em a r i t i m ep o w e rs y s t e m ，a c c o r d i n gt ot h ec h a n g ei nt h ef r e q u e n c yo rt h ea m p l i t u d eo fp e r t ur b a t i o n a n dt h u sg e td l f i e r e n tc h a o sa t t r a c t o r s a sar e s u l t ，t h er e s e a r c hd i s c o v e r e dt h ep r o c e s sa n dp r i n c i p l e so fc h a o si nt h ep o w e rs y s t e mo nb o a r da n dp r o v e dt h a tc h a o se x i s l si ns h i pp o w e rs y s t e m h u a n gj i a n ( c o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g )d i r e c t e db ys h iw e i f e n gk e yw o r d s ：c h a o s , m a r i t i m ep o w e rs y s t e m ，n o n l i n e a rm o d e l ，p h a s eg r a p hp o i n c a r 6m a p3论文独创性声明本论文是我个人在警搏撂导下避雩亍的磷究工捧及取得躲磷究成果。论文中除了蒋剐加以标注却致澈的缝方外，不包禽其德人或箕穗税搦邑经发表或撰写过娓研究成采。其他同态对本研究的感发稠藏饿的贾献筠醚在论文中 乍了翳确酶声骥并表示了谢意。作者签名：童汇哥瓣：论文使舞授权声甓本人霹意上海海事大学有关镙潜、使用学使论文黪攫定，郎：学枝有投保黯送交谂文复窜斧，允许论文被鸯阕翻僚阕；学棱爵疆土掰公布论文麓全部或部分内容，可以采孀影露、缩印或者其它复制手段保存论文。保密瓣论文在勰磴霜遵守此觌定。佟者签名：童篷辱辉签鑫；醴嬲；然：乡1 ，漫；奄蚕舞究意义第一章绪论湿淹是一秘貌似无怒则黪运动，摆在确定蛙j 线蛙系绞孛不零踺趣任何蘧辊因袭就可出现的类似随机的行为【1 】。科学界认为：混沌科学的研究不仅具有重大的科学意义，嚣且其蠢广泛豹应爱蘸蓉。德涎辩学兹磷究孛，已涉及对确定论与琏皴缝，鸯序与无序，偶然性与必然性，量变与质变，整体与局部等范畴和概念的重新认识，混沌几乎涉及到爨然辩学霜社会辩学懿冬个领域，它的磷衮几乎涵蓑了鑫然辩孥莘羟社会科学的所有领域，如生物学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、经济学、人脑科学颁域都霉应雳。宅穆深褰l 遗影# 囊人类秘思维方法，致交人们昱重臻实毽器黪传统看法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。出于各镞域对瀛沌臻究应雳懿建度不溺，爱以对混楚瓣定义也不阕。缓不警对涅沌定义有何不同，混沌的本质特征是相同的，都县有如下特征 1 - 3 , 5 , 7 , 8 , 1 3 1 ；，演洼买畜内在隧橇性，楚确定澧系统内部涎枫性懿反映；2 混沌具有分形的性质；3 。混淹具有栎度不变性；4 混沌现象对初始条件的敏感依赖性。个动力系统懑现淫淹现象，魏不是霜为系统中存在戆连梳力域受环麓中舞秀噪声源的影响，也不怒由于无穷多自由度的相互作用，更不是与量子力学的不确定做有关。决定论瓣律静菲线注，怒混湾运动存在瓣必要条件，丽菲线往系统嚣内在对称毪，又赋予混沌行为以椠种结构与秩序。获混淹瓣类型上，大体可分为西大类：时阂强淹、空溺混涟、辩空馐淹和功熊灌沌。目前的研究还主要集中在时间混沌与空间混沌上。茸前菲线往科学最重要的成就之一就穗子对满淹现象虢认_ j = 。褥关予混沌动力学的许多概念和方法，如奇怪吸引子、相空阈重构和符号动力学，正在广泛运用于自然群学和社会科学的备个门炎之中，并取得了很大瀚成功。自2 0 世纪7 0 年代以来，混沌和关于舒怪吸引子的理论有了很大的发展，并赢接影响到数学、物联学中的许多分支，其裔重要的实际意义。在力举方面，以往总蹙把牛顿力学和“决定论”联系在一起，只要初始条件和受力状态确定，以后的运动就完全确定了。然而由于运动具有内在随机性，使其由牛顿运动定律所确定的“初态”变得不可预测，它只有某种统计特性。在分析力学方面，过去主要是通过建立一般系统的力学方程来进行求解，或当大多数方程无法积分时，只能研究其解的各种性质。然而混沌理论指出了它发展的新途径。混沌理论明确指出，高维非线性系统的方程不仅不能积分，而且其解对初值有敏感的依赖性。因此，还得用类似于统计力学的观点去处理。在流体力学中，喘流是一种及为复杂的现象，它的产生机理长期以来一直是一个悬而未决的难题。其困难的部分原因在于它同时存在着许多k 度标度，即缺少单个的特征长度。1 9 7 1 年茹厄勒和塔肯斯最早用奇怪吸引子理论来阐述喘流发生机制，其机制为不动点一极限环一二维环面一奇怪吸引子( 喘流) ，被称为茹厄勒一塔肯斯道路，虽然有人认为流体运动的n a v i e r s t o k e s 方程的动态与简化的常微分方程组的性质很不一样，但这种通向喘流的道路( 还有费根包姆倍周期分岔道路、皮姆一曼恩威勒阵发混沌道路等等) 很可能为喘流研究打开了一条新的思路。通过对混沌的研究，极大地扩展了人们的视野，活跃了人们的思维。过去被人们认为是确定论的和可逆的某些力学方程，却具有内在的随机性和不可逆性。确定论的方程可以得出不确定的结果，这就打破了确定论和随机论这两套描述体系之间的鸿沟，给传统科学以很大冲击，在某种意义上使传统科学被改造，这必将促进其他学科的进一步发展。1 2电力系统中混沌研究的现状混沌在电力系统的研究虽然只有近2 0 年电系统混沌振荡，以及分叉、混沌与电压骤降速系统中控制器参数诱发的混沌等”5 42 1 。但已有大量的混沌现象被研究，如机电力经济中的混沌，水轮发电机组调电力系统实质上是一个强非线性的大系统，在电力系统的运行过程中有过混沌振荡的实例。如1 9 6 6 年美国西北电力系统与西南电力系统在互联后一段不长的时间内情况正常，但是不久就发生了1 r a i n 发作6 次的振荡现象，这种振荡现象该系统运行人员以前从未遇过，振荡结果导致2 个系统解列。对上述系统加装阻尼的p s s ( 电力系统稳定器) 后，振荡仍有发生。又如我国东北、华中电网、广东香港互联电网等时有发生，其后果危及系统安全，影响用户的正常生产。随着对混沌的认识不断深化，人们逐渐认识到电力系统除了因负阻尼引起的低频振荡外，还有另种混沌振荡的危机。大电网之间的互联给电能生产和消费带来巨大好处。与此同时，可能会出现各种形式的振荡失稳现象。系统振荡、频率崩溃和电压崩溃是导致电网事故的3 大主要原因。系统振荡是最常见的现象，它可以成为大停电事故的基本原因或附加因素。从理论上讲，周期振荡是系统的正常运行现象。影响电网安全的振荡是指那些非周期的、无规则、突发性或阵发性的病态机电振荡，在振荡严重情况下会导致互联系统解列。人们通常将这种病态振荡现象称为混沌振荡。为了有效地控制和消除振荡，必须研究振荡产生的机理、消除途径和参数控制范围，对此线性分析方法无能为力。目前电力系统分岔与混沌的研究主要集中在：用各种方法探索、认识电力系统可能发生的分岔与混沌现象，研究其对电力系统稳定运行的影响；研究通向混沌的路径及其发生条件，探索混沌以及突变的机理。从研究出发点看，分成2 类：一类是依据电力系统的数学模型，另一类是依据由实际电力系统采样得到的时间序列。在文献f 6 j 中，作者讨论了一种称之为约瑟夫森结( j o s e p h s o nj u n c t i o n ) 的电路，图1 1 ，该电路在满足一定参数条件的情况下，会发生混沌。随后，又讨论了一个简单互联电力系统，图1 2 ，系统的数学模型具有与约瑟夫森结电路相同的数学模型，即该互联电力系统是一种具有发生混沌现象可能性的非线性电路。f 。+ 厶。c l拧吐日图1 1 一种非线性电路约瑟夫森结p i 嚣#图1 2 简单互联系统1 系统1 等值发电机：2 系统2 等值发电机3 系统1 等值变压器；4 系统2 等值变压器5 负荷：6 断路器；7 联络线当前，对电力系统混沌现象的研究方兴未艾，而且伸向了各个可能的角落。由于电力系统运行的复杂性和保守性，以及对混沌理论本身研究的不完善，因此，在电力系统一定还会有许多的混沌现象没有被发现，其中有些甚至有可能导致灾难性的混沌行为。混沌振游己成为船舶电力系统稳定性研究的重要课题，特别是，随羞电力推进船镕自稻越大垂麓耱大量增拥，鼹髂电力系统静容量不戮壤葫，毫站发奄橇缝擎筏容量越来越大，船舶电力系统的复杂性也在增加，船舶电力系统的稳定性和可靠性问题，熨蕊显褥突出整要，因为一量虢麓电力系统运行的稳定往逮戮缓环，裁霹麓逢成船舶傍电，从而丧失船舶动力，使船舶陷于瘫痪和混乱，严重者甚至危及船舶安全，对船员生命及国民缀济造成灾难毪损失。今天渥淹辩学的笈藤为这一方萄静辑究播供了葑静方法。人们可塑对船舶电力系统复杂振荡现象进行数学化描述，把搬振荡发生的机理和参数条掌 ，从蕊替上认识灌淹振荡。这有勋于认识各稀复杂现象，特爰燕虢钕陵极的振荡、电压的突然崩溃等，深刻了解系统失稳的机理，以及采取相应的对策。1 3本文工作船舶电力系统最个强非线性的系统。非线性系统在一定参数条件下会进入混沌状态。嗣+ 予逛力系统采泌，混淹现象麓发生，会表瑷为一秘葵髑裳牲嬲， 疆乎楚无援鬟 j的、嶷发性或阵发性的机电振荡。这种“病态振荡”不是随机因素产生的，而是系统靛内在菲线性秘参数造藏。夔若系绕中熬慕个参数交纯，系绞运魂状态邈会发生变诧，在变化到某一闽值时，系统公出现貌似随机、长时间的混池振荡。这当然是我们所极不黎望发生熬。为了缳迂毫力系统经济可靠懿运行，有必要黠电力系统貔凝淹现象送行研究和分析，深入分析其产生机理和过稔，才能采取有效的措施和手段去避免它。霞就，对麓虢邀力系统送行滏淹研究有j 常丈蕊实际意义。由于，在实际船舶电力系统上开展实验面临许多困难，所有，掰前混沌研究的主要手羧，是采瑟诗舅穰进行分撰。耩着理我计算枫按术突飞猛遗豹发震，蠢运算遮浚计算机和丰富成熟的数值分析软件的出现，以及混沌理论研究的发展，利用个人计算桩对复杂系统进行镄粪硗究藏为可稳。诗篓辍菝拳为毫力系统滢淹磺究提供了一条缝济有效的途径。在本文中，蓄先介绍了滢沌撬念帮磺究的主要理论方法，然爱奔绪了勰耱动态邀力系统分析的主要理论。结台动态电力系统的基本理论和船舶电力系统特点，建立起了两税并联运行静鸯黯电力系统静数学禳整。在不溺静参数下，对这个系统遂幸亍了数值分析。分析结果表明，当满足一定的参数条件时，船舶电力系统会出现混沌现歙。对予本文中能两杌并联系统模鍪，当系统不受瑙任何干撬时，且初 鲞选取合适时，系统最终会渐避稳定到系统平衡点，聪统是稳定的。但是，当系统中存在周期性的扰动时，本文从黛仡挠韵幅值和嶷亿扰动频率两方面，发蜣了系统具有经倍闫麓迸入蔼淹的特征。进入混沌状态后，用计算机分析获得了系统不同的混沌吸引子。结合混沌理论知识，用p o i n c a r e 映射、功率谱方法等方法对系统混沌吸引子进行了验证。说明船舶电力系统具有混沌特性。最后，对系统中混沌现象的产生进行了一定的分析。第二章混沌简介混沌动力学迅速发展成为有丰富内容的研究领域，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域。被誉为2 0 世纪自然科学的“第三次大革命”。混沌运动，只出现在非线性动力系统中，它是既普遍又极复杂的现象。虽然，目前对混沌还没有统一的定义，但是，在混沌特征和分析方法方面，已经取得了大量的成果。利用这些成熟的理论，可以从纷杂的现象中区分出混沌来。本章主要系统地介绍了混沌的概念、特征和判别方法，是本文进行混沌研究的理论基础。2 2混沌概念系统是指一些相互联系和相互作用的客体所组成的集合。这里的客体可以指自然界中任意确定的事物，也可以是些抽象的事物。系统的性质或特征可以由一些状态变量来表征。若一个系统的历史和未来完全由某一指定时刻的状态所确定，则称之为确定性系统【7 】。过去对动力系统的研究一般多限于线性系统，即其动力学方程都是线性的。也就是说，在方程中只有各状态变量及其各阶导数的线性( 一次) 项。这样做是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单的特性，如当初始条件给定后，方程的解( 代表系统的运动) 便是确定的，而且解服从所谓叠加原理：方程的不同的解的线性叠加仍是方程的解。然而实际的自然现象或社会现象毕竟是复杂的，其动力学规律往往都须用非线性方程表示，即实际存在的客体大多数都是非线性系统。非线性方程除极少数外，大都不存在解析解，从而难于用些经典方法研究其特性。早在1 9 世纪末2 0 世纪初，法国著名数学家和力学家庞加莱( hp o i n c a r 6 ) 就已指出，某些非线性系统具有内在的随机性。随着2 0 世纪六七十年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易地求得一般非线性方程的数值解，这才使人们对非线性系统有了较深刻的了解，而且使非线性动力学在自然科学和社会科学的许多领域中得到广泛应用。在相空间中，每一时刻的状态( x ，的取值) 用相空间的矢量戈表示，状态随时间的变化则是相空间中的轨线，也就是方程的解曲线或积分曲线。这些曲线与初始条件有关。相互临近的初始条件的轨线的集合构成所谓的流( f l o w ) ，它表示系统运动的趋势。考察一个动力系统的状态如何随时间而变化规律。当时间连续变化时，这就涉及到描述随时间演化的微分方程。假设二阶非线性常微分方程：x = f ( x ，工)( 2 1 )则x ，x 的数值对应着平面( x ，x ) 上的一个点。令y = x ，则将一维系统化为二维系统，式( 2 1 ) 化为常微分方程组f ：2 y( 2 2 )l y = ，g ，y )由式中的x ( 0 和y ( o ，可知在相平面( x ，x ) 上为一维线簇，称为轨线。它定性地描述了系统状态在全部运动时间内的变化。式( 2 2 ) 可以化为更一股的形式：r ：2 ，g ，y )( i - - 3 )【y = g g ，y )由于，和g 中不显含时间r ，故称( 2 - 3 ) 式为自治系统或自治方程组。如果式( 2 - 3 ) 的右端雅可比矩阵的两个特征值的实部均是负值，该平衡点就叫吸引子，当两个特征值的实部均为正值时，该平衡点就叫排斥子，而如果有正有负该平衡点就是鞍点。吸引子存在于耗散系统中，由于耗散因素的作用，随着时间的增长，相体积不断地收缩，所以耗散是一种整体的稳定因素，它使运动轨道稳定地收缩到吸引子上。如果耗散系统在相体积收缩的同时，沿某一方向的运动出现局部不稳定，比如混沌系统，则运动轨道将无穷折叠、扭曲和拉伸，从而构造出一种新的几何对象，即奇怪吸引予。奇怪吸引子是整体稳定和局部不稳定共同作用的产物。我们也可以用相空间剖面图来描绘混沌现象。相空间内面积不断减小的一维系统或多维体积不断减小的一般系统，不论其是否在一个或者几个方向上伸展，都叫耗散系统。对混沌的研究是非线性动力学迄今为止最为系统，最为严密的成果。在非线性动力学中提出了一些可供理论判定的定义和实际测量的标度，尽管这些还只是从数学和物理学的角度给混沌下定义，但它却给混沌学的建立和发展打下了一个基础。以下给出几个在混沌发展过程中比较公认的、影响较大的混沌数学定义。沙可夫斯基定理设厂( x ) 是区间，上的连续函数，其值域包含在中，将自然数按如下排列：2 x 3q 2 x 5 q - - - q2 p 强+ 1 ) 司- - e l 2 “3 司2 “x 5 司司2 “x ( 2 # l + j ) q 司27q 2 uq 司4 q 2q j q( 2 4 )如果厂有m 周期点，则mqn 时，厂必有珂周期点。既然3 在排列的最前面，因而只有3 周期点存在就有一切周期点存在，即所谓的“周期3 蕴涵着混沌”定义2 1设，：x x 是连续映射，是紧的度量空间，且厂的周期集e ( s ) = n ，又存在s 。c x p e ，杪) ，满足：( 1 ) l i m s u p a ( s ”g ) ，”) ) 0 , v x ，y s 。，x y ；( 2 5 )( 2 ) l i m i n f d c 厂”b ) ，”c y ) ) _ o ，v x ，y s 。；( 2 6 )( 3 ) l i ms u p d ( 厂”g ) ，”( p ) ) o ，g x s o , y p p e r ( f ) 。( 2 7 )则称s 是混沌集合，_ ，1 称为上l i y 0 r k e 意义下的混沌，其中d ( ，) 是苴上定义的距离，p e r o o 捏e 厂的周期点的集合。如果，( x ) 有周期3 ，则上述条件便得以满足，从而指出周期3 蕴涵着混沌。l i y b r k e 定理设连续单峰映射f ：，斗，存在日i 使得6 可( a ) ，c = ，( b ) ，d 厂( c ) 且d 日 b b c ) ，则映射，按l i y o r k e 定义是混沌的。定义2 - 2设v 是一个紧度量空间，连续映射，：v 寸v 如果满足下列三个条件：( 1 ) 对初值敏感依赖：存在6 0 ，对于任意的 0 和任意x v ，在x 的领域内存在y 和自然数肝，使得d ( 厂”b ) 厂”) ) 8 ；( 2 ) 拓扑传递性：对于v 上的任意一对开集兄y ，存在k 0 ，使f “伍) n y 十；( 3 ) f 的周期点集在矿中稠密。则称，是迪万尼( d e v a n e y ) 意义下矿上的混沌映射或混沌运动。混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规律性的成分。因为有对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的。因为拓扑传递性，它不能细分或不能被分解为两个在，下不相互影响的子系统( 两个不变的开子集合) 。然而，在这混乱性态当中，毕竟有规律性的成分，即稠密的周期点。2 3混沌的特征和判别方法时至今日，仍没有能给混沌下一个完全统一的定义，它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三种状态：静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的、状态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。混沌运动还具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征，如局部不稳定而整体稳定，无限自相似，连续功率谱，奇怪吸引予，分维，正的l y a p u n o v 指数，正的测度嫡等等。为了与其他复杂现象相区别，一般认为混沌应具备以下三个主要的定性特征：( i ) 内随机性：在一定的条件下，如果系统的某个状态既可能出现，也可能不出现，该系统就被认为具有随机性。通常人们习惯于把随机性的根源归结为来自系统外部的或某些尚不清楚的原因的干扰作用，认为如果一个确定性系统不受外来干扰，它自身是不会出现随机性的，这称为外随机性。但是，外随机性的观点是经不起分析和实践验证的。对某些看来完全确定的系统进行数学模拟时发现，它们能自发地产生出随机性柬。在原来完全确定的系统( 它用确定的微分方程描述) 内部竟产生了随机性，称之为内随机性。混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等，它所强调的就是混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。( 2 ) 分维性质：混沌态具有分维性质，但其非整数维不是用来描述系纺的几何外形，而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。当用“相空间”来表示系统所有可能的状态时，系统的变化在相空间中可用一条轨道线来描述。混沌运动在相空间中的某个区域内无限次的折叠，构成一个有无穷层次的自相似结构的奇怪吸引子。( 3 ) 普适性和f e i g e n b a u m 常数：混沌是一种无周期性的“高级”有序运动。如果数值的或实验的分辨率足够高，可以发现混杂在小尺度混沌件的有序运动花样。在研究混沌的转变中，出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期性。所谓普适性，是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征，它不依具体的系数以及系统的运动方程而变。文献中常常提到的普适性有两种，即结构的普适性和测度的普适性。前者是指趋向混沌过程中轨线的分叉情况与定量特征不依赖于该过程的具体内容，而只与它的数学结构有关；后者指同一映象或迭代在不同测度层次之间嵌套结构的相同，结构的性态只依赖于非线性函数级数展开式的幂次。混沌的这种普适性为人们研究和把握它带来了许多方便。只要研究一种最简单的模型，就呵以将所得的结论放心地运用到同类运动形态中去。著名的f e i g e n b a u m 常数就是通过对l o g i s t i c 方程的研究而得到的。系统在通向混沌的道路上，最常见的方式是倍周期分岔方式。它反映了系统在趋向混沌时的一种普遍的动态不变性。在趋向混沌时，把标尺缩小或放大，看到的仍然是相似的“几何结构”。如果把系统每次分叉所对应的参数值分别记为幽，那么式享等的值对不同的迭代次数n 是不同的，但是当n 斗o 。时，此比例式存在一个极限值，它是一个无理数并称为f e i g e n b a n m 常数6 ，它是一个与具体迭代形式无关的普适常数。它正是混沌现象深层规律性的一种体现。混沌的特征量是刻画混沌某个方面特征的量，它分为“微观和“宏观，两个层次。“微观”层次是指构成奇怪吸引子的骨架的不稳定周期数目、种类和它们的特征值：“宏观”层次是指使用对整个吸引子或无穷长的轨道平均后得到的特征值，主要有：李雅普洛夫( l y a p u n o v ) 指数、分数维数和熵等等。混沌特征量也常用作系统混沌的判据。混沌的判断，无论是系统模型还是时间序列的，都是通过获得系统的几何和数值特征来判定的。除了前一节所介绍的l y a p u n o v 指数和分数维数之外，其他常用的混沌判别方法还有混沌吸引子、分岔图、功率谱和p o i n c a 陌映射等。l y a p u n o v 指数混沌运动的基本特点是运动对初值条件极为敏感。两个很靠近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，l y a p u n o v 指数就是定量描述这一现象的量。在一维动力系统x n + 1 f ( h ) 中，初始两点迭代后是互相分离的，还是靠拢的，关键取决于导致嘲的值。若阱1 ，则迭代使得两点分开；若卧圳。迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中，华f 的值也随之变化，使得时而分离时而靠“i拢。为了表示从整体上看相邻两状态分离的情况，必须对时间( 或迭代次数) 取平均。因此，不妨设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为九，于是原来相距为的两点经过门次迭代后相距为)82(i - 40l ”f一曲+00nfl i如矶3 ；为变斗聍0斗限极取九x 0 ) = ! ! m l i m o l l n 盟竿叫= 嬲驯剖。( 2 - - 9 )通过变形计算可简化为九= l i m 土字j 掣( 2 - - 1 0 )n 智l 出i ；其中，九与初值的选取没有关系，称为原动力系统的李雅普洛夫( l y a p u n o v ) 指数，它表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。若九 0 ，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素( 如整体有界、耗散、存在捕捉区域等) ，则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。故九 0 可作为系统混沌行为的一个判据。对于一般的力维动力系统，定义l y a p u n o v 指数如下：设f 是贝”斗吼”上的门维映射，决定一个 维离散动力系统x = f ( x 。)( 2 1 1 )将系统的初始条件取为一个无穷小的”维的球，由于演变过程中的自然变形。球将变为椭球。将椭球的所有主轴按其长度顺序排列，那么第i 个l y a p u n o v 指数根据第i个主轴的长度b ( ”) 的增加速率定义为卜熙埘黼五川( 2 - - 1 2 )通常，将全部的l y a p u n o v 指数谱按大小排列为九1 九2 丸3 九。，( f = 1 , 2 ，n ) ( 2 - - 1 3 )在l y a p u n o v 指数谱中，最小的l y a p u n o v 指数，决定轨道收缩的快慢；最大的l y a p u n o v 指数，则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢：而所有的指数之和九。可以认为是大体上表征轨线总的平均发散快慢。若系统最大l y a p u n o v 指数九 0 ，则该系统一定是混沌的，所以，最大l y a p u n o v指数是否大于零可以作为该系统是否为混沌的个判据。以虫口模型( l o g i s t i c 函数) 为例，+ 1 = _ x 。( 1 - 南)( 2 1 4 )该模型是一维方程，按l y a p u n o v 指数定义，求得该方程l y a p u n o v 指数变化曲线如图2 1 ，可见其l y a p u n o v 指数在某些掣值区间是大于o ，即系统在这些区间是混沌的。取不同的_ 值作系统相图进行验证，如图2 1 ，当u = 3 3 时，九 0 ，系统是混沌的。一r 小n ”n 厂邯i0 2，3 洲。ey 。，。e1 3 吨：一。4一。6一。81图2 1 虫v i 模型( l o g i s t i c ) 的l y a p u n o v 指数= 3 3= 3 5= 3 5 6掣= 3 6图2 2 虫口模型( l o g i s t i c ) 的蛛网图分岔图毫无疑问，从规则变成混沌或由混沌产生规则所必然经过的事件序列确是动力系统族的基本方面。对某一微小变化的普通响应仍是吸引子或其它特征的。然而，有时细微得几乎不能察觉的参数变化将导致系统行为的质变：从静态到周期，从静态或周期到准周期，以及从静态、周期或准周期到混沌。而混沌也会突变为更复杂的混沌，当然所有这些变化也可反过来进行。这种变化叫分岔。成系列的倍周期分岔直至混沌，是动力系统的普遍特征。分岔图能直观地反映系统经倍周期过程进入混沌道路，对l o g i s t i c 函数的分岔图仿真结果，随着z 值的增大，系统经倍周期进入混沌。分岔图中的稳定区、分岔点、混沌区和周期窗等与l y a p u n o v 指数曲线结果一致。、图2 - - 3 虫口模掣( l o g i s t i c ) 的分岔圈分数维数奇怪吸引子是轨道在相空间中经过无数次靠拢和分离，来回拉伸与折叠形成的几何图形，具有无穷层次的自相似结构。由于耗散系统运动在相空间的收缩，使奇怪吸引子维数小于相空间的维数。故奇怪吸引子的几何性质，可以通过研究它的空间维数来确定。由于其组成部分与整体有某种方式的相似，称为分形。分形的特点是分数维，它是由曼德勃罗( m a n d e l b r o t ) 在2 0 世纪7 0 年代创立的。混沌吸引子吸引子的概念，是法国数学家r t h o r n 在他关于突变的论文中首先明确提出的。那些相空间中对应着系统结构( 指运动方程的结构) 稳定的部分点或区域，对其他不稳定的点有一种吸附作用，因此可将结构稳定的部分称为吸引子。本世纪7 0 年代以来，德国物理学家h a k e n 和我国的著名学者钱学森把不动点和极限环看成是系统运动的目的点和目的环。1 9 7 1 年，法国物理学家r l i d l e 和t a k e r l s 为耗散系统引入“奇怪工86皂2虬虬札墩弓l 予”( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 静穰念惹，久翻看到，系统，特弱蔻萋杂系绫( 生命体、久帮宰圭会) 静疆熬点熏像楚资径啜引予。获韵淫、数学稻魂力系统瀚角度豢，雳鸯+ 隧蔽琴| 予豹强念寒撵述在相空溺毂缭豹麓时叉出臻弱灏不稳宠靛清蠛怒再好不过韵了。因为它在缀丈程度一邑俸王觅了港淹迳瀚静基本特征，所戳，现程研究滁淹氇没有不爨剐奇绦蔽弓| 子豹。l a n f o r 对竣萼| 予衙下翁定义鲡下：鲡采溅褶空阗瓣个予祭a 为暇芎 予，郧么焱黪须满足：( 1 ) a 楚溺豹不变嶷：2 ) 存在个a 鹣邻域，箕中懿点在徽分方程繇确定酶；( 3 ) a 上的点x ，最终罄铡并稳邻城内。褶空阉静维数怒整数维的吸引予称为平满吸引子，而其礴j 整数维的吸弓 子称为奇怪蔽弓| 予。灌淹悫楚整体稳定位与扁部不稳定往瀚统一，瀚藏邀入耀沌态后，系统的行为就不麓荐露乎腐吸引子来稿述了。滋沌吸引子是捻绘混淹的一稀蕊本方法，一个吸引予趣窘无穷多曲线、馥嚣域鼹高绒形，它辩敷褶戗的集合形式出现，集合任意二个成员闭又是分开的，混湾的核心就惫舒疆啜弓 子，它的基本特点藏怒凝有分形特诬。混沌暇弓 子是对啜引予煎动力攀行为黼言的，它的撩本特援就是对秘始条件的敏感依赖性。l o r e n z 暇引子麓被研究辍深入的漏沌吸引子之。l o r e n z 方襁如下；：一匹每一芦)。一x z r x z 。掣一b z( 2 1 4 )警漱6 一；，d = 1 0 ，一2 8 时，系统行为出现混淹。获褥的沁潜n z 溅涟吸引予积冀在三令不瓣乎蠢土兹投影，黧臻2 - - 4 。秘)2 0矗i e瘟缈! = = y “( c )( d )图2 - - 4( a ) l o r e n z 方程混沌吸引子( b ) x - - y 平面投影( c ) x - - z 平面投影( d ) y - - z 平面投影功率谱方法在实际情况中，混沌的识别并非易事。在实验室系统里，噪声会与确定性的内在动力学特性发生相互作用，给理论解释带来困难。许多先前认为是噪声的过程现在又有可能认为是确定性的混沌过程：而所研究的系统中真正存在的噪声却混淆了这种可能性。噪声与混沌的区别并非一清二楚，有时甚至无法把两者区分开。频率，与相应的功率e 之间的指数关系，在一些物理现象的某些频率中是适用的。例如，设p 为功率谱指数，p = o 对应白噪声；p = 2 对应褐色噪声；0 5 1 3 1 51对应于之杂音，这是功率谱与振动数的倒数成正比的摆动的总称。对应于喘流的惯jc性区，p = 三。e 驴) =( 2 1 5 )故有e 时) = a - p e 口)( 2 1 6 )功率谱的幂级数形式表明，物理系统的观测资料在频率，空间中跨越很宽的尺度，但却有自相似的结构。时间序列的图像看上去是不规则的，但其功率谱却可能呈现出靓则性。一般有如下结论，1 谱图若具有单峰( 或几个峰) ，则对应于周期( 或拟周期) 序列；2 若无明显的峰值或峰值连成一片，则对应于喘流或混沌序列。庞加莱( p o i n c a 暗) 映射图利用相图的方法可以把复杂运动简化。但是对有些复杂运动，研究其轨道时是极其困难的。例如有些倍周期运动的倍数是很高的，其轨道看起来似乎可能很乱，很难与非周期运动相区别，这时就要用庞加莱截面方法来研究，它不仅很容易区别周期与非周期，而且也能清楚地反映出动力系统在庞加莱截面上的相应结构。另一方面对于高维吸引子，也可以通过p o i n c a r 岳截面的方法，把吸引子变换为具有较低维相空间的映射。庞加莱截面方法的特点是将动力系统的轨线化成轨迹与一个横截面( 庞加莱截面)的交点来研究。在相空间中适当选取一截面( 要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线) ，称此截面为p o i n c a r e 截面，相空间的连续轨迹与p o i n c a r 6 截面的交点称为截点。设记录得到的庞加莱点为：b o ，b ，昂，。这样，就在庞加莱截面上让系统连续运动，降为低维的离散点之间的映射8 。+ ，= t b 。( 2 1 7 )上述了- 称为庞加莱映射。这样，就将原动力系统所决定的随时间的连续运动转变为在庞加莱载面上酌一个离散映射。这不仅给研究带来了很大方便，而且映射还保持原连续动力系统的拓扑性质。例如，若原来的动力系统是耗散的，则表明了它在相空间上的体积是收缩的，那么通过映射7 - ，同样也表明了它在庞加荣截面s 上要收缩面积。除此之外，由于庞加莱截面将相空间的维数减少了一个，其映射7 - 又是差分方程，很易求解，并且它能将必要的资料量大大减少，因此，庞加莱截面方法广泛地应用于非线性动力学的研究中。对于周期吸引子，若相空间只有一条周期轨道，则在庞加莱截面上只有一个点8 。穿过，显然庞加莱截面化为一个8 。点。对于拟周期吸引予，则会出现一个闭台曲线，该曲线或许是简单的无自交的点，或是连续的曲线。而对于非周期的混沌吸引子。其庞加莱截面是沿一条线段或一曲线弧的分布点集。2 4本章小结混沌是自然界中比有序更普遍的现象。混沌具有内在随机性、分形性质、标度不变性和对初始条件的敏感依赖性等特点。鉴于混沌的这些特点，混沌研究者提出了各种各样的混沌判别方法：奇怪吸引予、l y a p u n o v 指数、熵、p o i n c a r e 映射和功率谱等。如，l y a p u n o v 指数是对混沌系统对初始条件敏感依赖性的测度；吸引子是对混沌内在随机性的体现。这些理论和方法在各学科领域的研究和应用中