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矩阵代数上的保秩可加映射 张平 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的讯速发展，现 在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支它与量子力学，非交换几何，线性 系统和控制理论，甚至数论以及其它一些重要数学分支都有着出人意料的联系和 相互渗透为了进一步探讨算子代数的结构，近年来，国内外诸多学者对算子代 数上的线性映射进行了深入研究，并不断提出新的思路例如，初等映射以及线 性保持问题等概念先后被引入，目前这些映射已成为研究算子代数不可缺少的重 要工具而可加保持问题的研究是近年来算子理论和矩阵理论中的重要课题在 解决保持问题时常用的一种方法就是把所给的问题转化为保秩，秩不增，保秩一 幂零，保秩一幂等等可加映射来刻画问题在b a n a c h 空间情形，这些问题已经被 很多数学家讨论过，并获得许多深刻的结果本文主要对矩阵代数中的h e r m i t i a n 矩阵空间上的保秩一可加满射，交错矩阵到全矩阵的保反立方幂等线性映射，以 及从对称矩阵到交错矩阵的保最小秩可加映射进行了讨论具体内容如下： ( 1 ) 令以( c ) 是复数域c 上的h e r m i t i a n 矩阵空间，我们对h e r m i t i a n 矩阵 空间上k ( c ) 上保秩一的可加满射圣进行讨论得到了h e r m i t i a n 矩阵空间珥。( c ) 上的保秩一的可加满射圣的形式，给出了圣保可逆元时的形式，以及保行列式 时的形式 ( 2 ) 令鲍。( f ) 是特征不为2 , 3 的域f 上的交错矩阵空间，我们对从交错矩阵 。( f ) 到全矩阵尬。( 碑) 的保反立方幂等的线性映射t 进行了讨论给出了从交 错矩阵j f n ( f ) 到全矩阵肘k ( f ) 的保反立方幂等的线性映射t 的形式，并给出 了从交错矩阵。( f ) 到交错矩阵k 。( f ) 的保反立方幂等的线性映射t 的形式 ( 2 n m ) ( 3 ) 令& ( f ) 是特征不为2 的域f 上的对称矩阵，我们对从对称矩阵& ( f ) 到 交错矩阵鲍。( f ) 的保最小秩可加映射垂进行了讨论并给出了从对称矩阵s n ( f ) 到交错矩阵鲍。( f ) 的保最小秩可加映射中的形式 关键词： 对称矩阵；交替矩阵；h e r m i t i a n 矩阵；保反立方幂等映射；保秩 一的可加映射； a d d i t i v er a n kp r e s e r v i n go nm a t r i xa l g e b r a z h a n gp i n g a b s t r a c t ：t h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n3 0 t i m e so ft h e2 0 t h c e n t u r y w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y , n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c h p l a y i n gt h er o l eo fa ni n i t i a t o ri nm o r d e nm a t h e m a t i c s i th a su n e x p e c t e dr e l a t i o n s a n di n t e r i n f i l t r a t i o n sw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y , l i n e a r s y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , i n d e e dn u m b e rt h e o r ya sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n t b r a n c h e so fm a t h e m a t i c s i no r d e rt od i s c u s st h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，i n r e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sb o t hh e r ea n da b r o a dh a v ef o c u s e do nl i n e a rm a p p i n g s o no p e r a t o ra l g e b r a sa n dh a v eb e e ni n t r o d u c e dm o r ea n dm o r en e wm e t h o d s f o r e x a m p l e ，e l e m e n t a r ym a p p i n g s ，l i n e a rp r e s e r v i n gp r o b l e m sa n ds oo nw e r ei n t r o - d u c e ds u c c e s s i v e l y ，a tp r e s e n tt i m et h e s em a p p i n g sh a v eb e c o m ei m p o r t a n tt o o li n s t u d y i n go p e r a t o ra l g e b r a s b u tt h es t u d yo ft h ea d d i t i v ep r e s e r v e rp r o b l e m sa r e v e r yi m p o r t a n ti no p e r a t o ro rm a t r i xt h e o r y t os o l v et h e s ep r e s e r v i n gp r o b l e m s ，i t i sac o n l n l o np a t ht or e d u c et h eg i v e nq u e s t i o n st oq u e s t i o n so fc h a r a c t e r i z i n ga d d i - t i v em a p sw h i c hp r e s e r v er a n k s ，o rd e c r e a s er a n k s ，o rp r e s e r v er a n k - o n en i p o t e n t s ， o rp r e s e r v er a n k - o n ei d e m p o t e n t s t h e s eq u e s t i o n sh a v eb e e nd i s c u s s e db ym a n y m a t h e m a t i c i a n so nb a n a c hs p a c ec a s e s ，a n dm a n yd e e pr e s u l t sw e r eo b t a i n e d i n t h i sp a p e rw em a i n l ya n dd e t a i l e d l yd i s c u s sa d d i t i v er a n ko n ep r e s e r v i n gs u r j e c t i o n s o nh e r m i t i a nm a t r i xs p a c e s 日l ( c ) ，t h ec o u n t e r - t r i p o t e n tp r e s e r v i n gl i n e a ro p e r a t o r s f r o ma l t e r n a t em a t r i xs p a c e s ( f ) t oa l lm a t r i x 尬。( i f ) o v e raf i e l di fw i t hc h f 2 ，3a n d2 n m ，a n da d d i t i v et h el e a s tr a n kp r e s e r v i n gf r o ms y m m e t r i cm a t r i x s p a c e st oa l t e r n a t em a t r i xs p a c e so v e raf i e l d t h ed e t a i l sa sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 ，l e t 皿i ( c ) b et h eh e r m i t i a nm a t r i xs p a c e so nc ，w ec h a r a c t e r i z e a d d i t i v er a n k - o n ep r e s e r v i n gs u r j e c t i o n so nh e r m i t i a nm a t r i xs p a c e s 王k ( c ) ，o b t a i n t h ef o r mo f 圣w h e n 圣i sa na d d i t i v er a n k - o n ep r e s e r v i n gs u r j e c t i o n so nh e r m i t i a n m a t r i xs p a c e s 月j ( c ) ，g i v et h ef o r mo f 垂w h e n 中p r e s e r v e st h ei n v e r t i b i l i t yo f 日：( c ) ， a n dt h ef o r mo f 圣w h e n 西p r e s e r v e st h ed e t e r m i n a n t i nc h a p t e r2 s u p p o s efi saf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cn o t2 , 3 w ed i s c u s st h e c o u n t e r t r i p o t e n tp r e s e r v i n gl i n e a ro p e r a t o r sf r o ma l t e r n a t em a t r i xs p a c e sk s n ( i f ) t oa l lm a t r i xs p a c e s ( f ) o v e raf i e l dfa n d2 n m ，g i v et h ef o r mo ftw h e n ti st h ec o t m t e r - t r i p o t e n tp r e s e r v i n gl i n e a ro p e r a t o r sf r o ma l t e r n a t em a t r i xs p a c e s i i 尬。( f ) t oa l lm a t r i xs p a c e s 尬。( f ) ，a n dt h ec o u n t e r - t r i p o t e n tp r e s e r v i n gf i n e a r o p e r a t o r sf r o ma l t e r n a t em a t r i xs p a c e sk 2 。( f ) t oa l t e r n a t em a t r i xs p a c e s 西n ( f ) o v e raf i e l dfw i t hc h f 2 ，3a n d2 nsma r ea l s oc h a r a c t e r i z e d i nc h a p t e r3 ，s u p p o s efi saf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cn o t2 ，l e t ( f ) b es y m - m e t r i cm a t r i xs p a c e so nf ，w ed i s c u s st h ea d d i t i v et h el e a s tr a n kp r e s e r v i n gf r o m s y m m e t r i cm a t r i xs p a c e st oa l t e r n a t em a t r i xs p a c e so v e r af i e l df a n dt h ef o r m o f 垂t h a tt h ea d d i t i v et h el e a s tr a n kp r e s e r v i n gf r o ms y m m e t r i cm a t r i xs p a c e st o a l t e r n a t em a t r i xs p a c e so v e rfi sg i v e n k e y w o r d s ：h e r m i t i a nm a t r i x ；s y m m e t r i cm a t r i x ；a l t e r n a t em a t r i x ；t h ec o u n t e r - t r i p o t e n tp r e s e r v i n gl i n e a ro p e r a t o r s ；a d d i t i v er a n k - o n ep r e s e r v i n gs u r j e c t i o n s ； i i i 学位论文独创性声明 y9 0 0 7 2 零人声爨耩璺交豹学位论文憋我在导群鹣指鼯下进行的研究工髂放墩褥麴婿 究成巢。尽我所熊，除文孛瑟经注瞻弓l 臻翡窍容孙，论文孛不包含其穗伞大蠢簸 发表媾鼹写道的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教肖机构的学位 凌嚣攀蠢捷懋避瓣靖辩。黠本文粒讶宪鬣纛耋要燹献瓣令天襄集髂，蚜甚叠文牵 作了骥确说耱并寝示谢意。 作者签名：醋期：竺! ! i 学位论文使用授权声明 本人同意研巍生在校攻读学谯期间论文工作的知识产权单位麟陕澄师范大 学。本入保诞肇照离校后，敷糙本论文藏使用本论文成采时署名攀饿仍为陕西邴 羲大学。学校鸯蔽镰驽学整论文势疯蓬家是管邦秘溅其宅撵定瓿携送交论文静邀 子敝帮纸旗黻；密投将学位论文糟子非赢髑譬的瓣痧鬣复翩并允许论义进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；谢投将学位论文的内容编入有关数据席进行检索； 奏获褥学位论文翁舞蘧饔撬要溉镳凄惑。 作卷签名； 前言 线性保持问题的研究就是开展对代数上把算子或代数的某种特征作为其不 变量的线性映射的研究算子代数上线性保持问题研究的最终目的之一是利用线 性手段探讨和解决拓扑代数的问题，即通过刻画保持代数元某种特征不变的线性 映射，初等线性映射等，从新的角度提供对算子代数分类的信息，这在理论上和 应用上都有着重要的意义 如果把呱( c ) ( = b ( c “) ) 看作是有限维复空间上的算子代数，那么线性保持 问题的研究可追朔到1 9 世纪末g f r o b e n i u s 的开创性工作近4 0 多年来，矩阵 代数上线性保持的问题研究却是矩阵理论中最活跃最富有成果的领域之一，在矩 阵代数上线性保持问题的一个基本方法就是归化为秩的保持或保秩不增的问题， 如文【1 】- 16 自上世纪九十年代以来，人们开始了对可加保持问题的研究，如文 【1 7 一【3 1 就象解决线性保持问题一样在解决可加保持问题时却可以转化为保秩， 秩不增，保一秩幂零，保一秩幂等可加映射来刻画问题如文【2 0 】在r a n k f ( 厶) = 礼 的条件下，t a n g 刻画了复数c 上的h e r m i t i a n 矩阵空间上的保秩一可加映射， o m l a d i 5 和s e m r l 在文 1 7 】中刻画了复矩阵空间上的保秩一的可加满射，b e l l 和 s o u r o u r 在文1 8 1 中刻画了在域口上的上三角矩阵上的保秩一的可加满射，c a o 和z h a n g 在文【1 9 】中也刻画了在一个特征不为2 和3 的域f 上的对称矩阵上的 保秩一的可加满射，在文【2 4 3 2 中z h a n g 还分别刻画了从上三角矩阵到全矩阵 的保秩可加映射和从对称矩阵到全矩阵的群逆的保持，而在文【2 3 一【3 7 】中矩阵代 数上的幂等的保持同样得到了讨论，并且t o n g 在文 3 5 中还给出了从对称矩阵 到全矩阵保立方幂等映射的形式，在文 1 9 】 25 2 6 【3 1 】中t a n g 和y o u ，z h a n g 对对 称矩阵和交错矩阵上的保秩，保秩2 和保秩4 ，保秩可加，保秩可减等都进行了 研究本文我们将研究复数域c 上h e r m i t i a n 矩阵上的保秩一的可加满射西，对 从交错矩阵鲍。( f ) 到全矩阵 ( f ) 的保反立方幂等线性映射t 的形式进行刻 画，以及给出从对称矩阵& ( f ) 到交错矩阵恐。( f ) 的保最小秩可加映射西的形 式下面是本文的具体内容： 在本文的第一章中，我们对h e r m i t i a n 矩阵空间上k ( c ) 上的保秩一的可加满 射进行了刻画，给出了h e r m i t i a n 矩阵空间三k ( c ) 上的保秩一的可加满射西的形 式，以及垂保可逆元时的形式，和保行列式时的形式 在本文的第二章中，我们对从特征不为2 , 3 的域f 上的交错矩阵虬。( f ) 到 全矩阵m 。( f ) 的保反立方幂等的线性映射进行了讨论，还对交错矩阵尬。( f ) 到 交错矩阵蜀。( f ) 的保反立方幂等的线性映射进行了讨论，同时还给出了从交错 矩阵恐。( f ) 到全矩阵m m ( f ) 的保反立方幂等的线性映射t 的形式，以及从交错 矩阵j f 鼽( f ) 到交错矩阵k 。( f ) 的保反立方幂等的线性映射t 的形式 在本文的第三章中，我们对对称矩阵( f ) 到交错矩阵j 已。( f ) 的保最小秩 可加映射进行了刻画，并给出了从对称矩阵晶( f ) 到交错矩阵鲍。( f ) 的保最小 秩可加映射垂的形式 2 第一章h e r m i t i a n 矩阵上的保秩一的可加满射 1 1 引言 本章我们主要利用类似于 1 9 的方法来研究复数域c 上h e r m i t i a n 矩阵上 的保秩一的可加满射下面是本章用的基本符号和基本概念的介绍 设r 和c 分别为实数域和复数域，珥。( c ) 表示复数域c 上的h e r m i t i a n 矩 阵空间，三嚷( c ) 是c 上可逆的h e r m i t i a n 矩阵空间，设r ( a ) 为矩阵a 的秩，对 任意复矩阵a = 【o “】，钟表示a 的转置，a + = 【啦f i 为a 的共轭转置对任意 a 靠( c ) ，如果a + = a ，则我们称a 为h e r m i t i a n 矩阵 设圣是从点k ( c ) 到它自身的映射，如果对任意的a ，b 三k ( c ) ，有垂( a + b ) = 西( a ) + 西( b ) ，则称垂是可加的对任意的a 巩( c ) ，如果r ( a ) = 1 ，有 r 蚀( a ) ) = 1 ，则称圣是保秩一的 1 2h e r m i t i a n 矩阵上的保秩一的可加满射 为了得到h e r m i t i a n 矩阵空间王k ( c ) 上保秩一的可加满射中的形式， 我们需要下面几个引理 引理1 2 1 设a 为秩一的h e r m i t i a n 矩阵，则存在c 科，非零的a c ” 和p g l 。( c ) ，使得a = a + = c p 最 p + 证明因为r ( a ) = 1 ，则存在c ，非零的o l c ”使得 a = c q + 则一定存在p g l 。( c ) 使得 于是有a = c p 最i p o l = p e 3 目i 理1 2 2 令月j = f a0 0 1 a 日；( c ) ) ，k 1 ，2 ，礼一1 ) ，设0 b h k c 凰( c ) ，如果r ( c 士b ) = 1 ，则c 风 证明设b = b 1o0 ，c = 于r ( c - 4 - b ) = 1 ，因此r ( a 4 ) = 1 使得a 4 = p ( b 0 0 ) p + 则 1 = r ( c 士b 1 ( a 乌1a a 。2 ) ，钆b ，峨( c ) 如果山0 i 则由 由引理1 2 1 ，则存在b 彤以及p g l 。一( c ) r ( r ( r ( a iq - b 1 a 2 与a 4 a l 士b 1 a 2 、 生p ( b o o ) p a l 土b la 2 ( p ) q 、 p - 1 a ；( b 0 0 ) 从而 ，( a 誉暑0 1 ) ：- 于是我们有a 2 ( p + ) 一1 = ( o l ，o ) ，其中o t 故 - = r ( 麓1a ( 2 ( p ) ) - 1 ) = r ( a 1 孝b 1 ；) ，b o r * 、 2 7 l0 一b - 1 a o + a l 士b lj 。 则a l 土b 1 一b - l o e o t + = 0 ，于是有b = 0 ，与b 0 矛盾故a 4 = 0 由r ( a 土b ) = 1 ， 可知a 2 = 0 因此c k 引理1 2 3 设中是h e r m i t i a n 矩阵风( c ) 上的保秩一可加映射，对某个 k 1 ，2 ，n ) ，若存在不同的i ，j 1 ，2 ，n ) 使得由( e t ) ，壬( 马j ) 凰，则 西( z e “+ y e i j + 可马 + z e z ) i x ，= r ，y c ) 风 证明对不同的i ，j 1 ，2 ，礼 ，若有西( e “) ，西( 马j ) 风，则当b 0 ，1 ，一l 时，有r ( 6 士正) = 1 ，由于壬是保秩一可加映射，则西( 6 既) 士垂( 毋t ) 为秩 一的h e r m i t i a n 矩阵，由引理1 2 2 ，知a 2 ( b e i i ) 凰因此，对任意的z r ，有 垂扛固i ) 王k 同理对任意的z r ，有圣( 。马j ) 日* 对任意的y c ，r ，有r ( 土玩+ k y 最，+ 可易t 士2 可易j ) = 1 ，则有 r ( 由( 切噩j + 妨易i ) 士壬( 毋i + k 2 9 可马j ) ) = 1 ，这里有垂( 晟t + 2 可易，) h k 因此 4 由引理1 2 2 ，有西( 南秒b ，+ 姆易 ) h k 或西( 蜀 + k 2 y y e j j ) = 0 令k = l ，2 ，如果 西( b ，+ 可弓 ) h k ，则引理得证否则垂( 岛) + 七2 西( 孵巧j ) = o ，若y = o ，垂( e i ) = 0 ， 与r ( 圣( 魄) ) = 1 矛盾；若y 0 ，西( y 可e j j ) = 0 ，与r ( 击( 可可e 矗) ) = 1 矛盾从而引 理得证 ， 引理1 2 4 设西是h e r m i t i a n 矩阵三k ( c ) 上保秩一可加映射，若存在七 1 ，2 ，n 使得对任意的t 1 2 。n ) ，有圣( 玩) 凰，则圣( 风( c ) ) 凰 证明对任意不同的i ，j 1 ，2 ，n ，有西( 既) ，垂( e z ) 凰由引理1 2 3 ， 对任意的。c ，有圣( z b ，+ 虿易i ) h k 故对任何的矩阵a = 【o 甜】上k ( c ) ，有 中( a ) = 圣( ( n 。嘞+ 可咏) + a i i e i ) = 圣( 岛+ 巧啄) + 壬( 既) f h k 引理1 2 5 设垂是保秩一可加满射，则存在p g l 。( c ) ，使得对任意的 i 1 ，2 ，n ) 存在q 戤，有圣( 蜀i ) = c f p 巨 p + 证明由引理1 2 1 和中是保秩一可加满射，则对任意的i 1 ，2 ，礼) ，存 在q r + ，和非零向量啦c “，使得垂( 取) = 岛啦令p 岛= 锄，其中岛c ” 在i 处为1 其余为0 的向量则有 a i a ；= p e t e ：p + = p 晟t p 从而有： 中( 噩t ) = q p 玩p + 于是只须证明 o t 卜= 1 ，礼) 是线性无关的否则，若 n 1 ，a 。) 是线性相关的， 则设 啦，o q 。) 是它的极大线性无关组，其中s 1 ，即如果a 不是秩一的，设p = m d i a g ( 一q 1 ，一2 a 2 ，1 ，1 ) m 4 有p j 茹( c ) ，但a + p 和2 a + p 不在上名( c ) 中这与条件矛盾故a 是秩一的 h e r m i t i a n 矩阵 必要性不妨设a = d i a g ( a ，0 得p = ( p i ，b ，r ) ，a = ( 血，0 ， ，o ) ，其中a 0 对任意的p 蟛( c ) 使 0 ) ，q = ( a ，0 ，o ) 。于是若a + p 和2 a + p 7 不在三e ( c ) 中，则有陋+ p 1 马，p a ，r ) 是线性无关的 p 2 ，r ) ，( 2 a + p 1 ，p 2 ， 则存在忱，仉c ，i 2 ， o + p l = 协只 i = 2 2 + p 1 = 哺只 l = 2 从而存在m c ，i 2 ，佗) ，使得 p ) 是线性相关的由于 ，佗) ，使得 即p 1 ，岛，p n 是线性相关的。与p 可逆矛盾故一定有a + p 蟛( c ) 或 2 a + p 日：( c ) 定理1 ，2 9 圣是h 礼( c ) 上可加满射且保可逆元当且仅当存在p g l 。( c ) ， 使得对任意a 王k ( c ) ，有垂( a ) = e p a p 或圣( a ) = e p a p ，这里e = 1 或者 一1 证明只要证明垂是保秩一的即可，如果a 是秩一的，由引理1 2 8 ，对任 意的p 丑：( c ) ，有a + p 王瑶( c ) 或者2 a + p 王( c ) ，因壬是可加的且 保可逆，则西( a ) + 西( p ) 上名( c ) 或者2 中( a ) + 壬( p ) 上名( c ) ，且对任意的 尸蟛( c ) ，圣( 尸) 蟛( c ) 如果壬( a ) 0 ，那么圣( a ) 是秩一的，则结论得证 如果垂( a ) = 0 ，假设a = d i a g m ( c e l ，0 ，o ) m + ，令b = m d i a g ( o ，1 ，1 ) m + ，这 里m g l 。( c ) ，n 1 c ，则a + b = 王瑶( c ) ，而币保可逆，则有 礼= r ( 币( a + b ) ) = r ( 壬( m d i a g ( c o ，0 ，o ) m + ) + m ( m d i a g ( o ，l ，0 ，o ) m + ) + + 圣( m d i a g ( o ，0 ，1 ) m + ) ) r ( 0 十o ( m d i a g ( o ，1 ，0 ，o ) m + ) + + 4 ) ( m d i a g ( o ，0 ，1 ) m + ) ) 墨r ( 圣( m d i o g ( o ，0 ，1 ，o ，o ) m + ) l = 2 从上面的证明知 8 r m 。瑚 i | 口= l r ( o ( m d i a g ( o ，0 ，1 ，0 ，o ) m + ) ) = 1 或者 圣( m d i a g ( o ，0 ，1 ，0 ，o ) m + ) = 0 则 r ( 垂( m d i a g ( o ，0 ，1 0 ，0 ) m 4 ) ) 一1 ) 仁：2 即 n 2 当且仅当存在一个非奇异的矩阵s 和域 f 上自同构6 使得圣具有下面的形式 圣( z e l e + x e , 1 ) = 占( z ) s ( i n 2 i 一1 + w 7 玉i ) s 2 ，i 2 ，3 ，n ) 西( z e 叮) = 6 ( 茁) s 仉匀一1 2 ， ，j 2 ，3 ，n ) 垂( x e l l ) = d ( z ) s 肌2 s 在证明定理之前需要下面两个命题 命题3 2 6 假设f 是一个特征不为2 的域，圣是一个从对称晶( f ) 到交替矩 阵尬。( f ) 保最小秩的可加映射，使得对某些g ，h 岛( f ) 有r a n k ( o ( a + h ) ) 2 ， 则 西( z 蜀t ) = 6 ( z ) u w 乞一1 2 i u ，i = 1 ，2 ， 垂( x e l 2 ) = 6 ( z ) u u ，1 3 ， 圣( x e 2 1 ) = 6 ( z ) u w j 4 矿 其中u 是非奇异矩阵，6 是f 上的单的域自同态 证明下面证明当r a n k ( a ) = 2 时，有r a n k 西( a ) = 4 因为对交替矩阵来说其秩是偶数，根据西的定义及对某些g ，h 砩( f ) 有 r a n k ( 圣( g ) + 壬( 日) ) 2 ，而r a n k ( g + h ) r a n k ( g ) + r a n k ( h ) = 2 ，可以得到 g + h 畿( f ) ，根据引理3 2 4 ，存在一个礼n 的非奇异矩阵s 使得 g = s e l l s 。，h = s e 2 2 s 而当g ，h 踺( f ) 时，有中( g ) ，垂( 日) k 刍( f ) ，则2 2 如果存在一个非奇异的矩阵v 和f 上的单的域自同态6 使得对2 南冬n 一1 有 西( z e l t + z e 1 ) = 占( z ) y ( 啊2 一1 + w 2 2 ) y 。，i 2 ，七) 垂( z 马9 ) = 6 ( z ) y t l 7 西一1 2 9 v 。，g 1 ，2 ，七) 那么存在一个非奇异的矩阵s 使得 圣( x e l + z 最1 ) = d ( 。) s ( i 的2 t 一1 + w 2 2 i ) s ，i 2 ，礼) 西( z g ) = 5 ( x ) s w 2 9 一1 2 9 s 。，g 1 ，2 ，礼) 圣( z ) = 6 ( z ) s w v l 之s ，i ，j 2 ，3 ，n ) 2 1 义有 证明由r a n k ( e l a + e n ) = r a n k ( e 1 3 + e 1 2 ) = r a n k ( e 1 3 ) = 1 ，根据垂的定 r a n k ( o ( e 1 3 ) ) = r a n k ( v w l 2 v t + 圣( e 1 3 ) ) = r a n k ( v w l 3 v 。+ 中( e 1 3 ) ) = 2 由引理3 2 2 知 西( e 1 3 ) = y ( n 1 j 眦j ) y + 0 , 2 a v w 2 3 v 。 l # j e 1 2 ，2 n 由r a n k ( e 1 3 5 - 1 ( 0 , 1 2 ) e 1 1 5 - 1 ( 0 1 3 ) e 1 2 ) = 1 ，则 2 n 西( e 1 3 5 - * ( 理1 2 ) e 1 1 5 - 1 ( 血1 3 ) 日2 ) = y ( 血1 ，1 j ) y 。+ n 2 3 y w 7 南y 根据o 的定义有【0 , 1 4 ，0 , 1 2 n 】0 或0 2 3 0 当q 2 3 0 时，则 o ( e 1 3 ) = a 1 2 y w l 2 矿。+ 0 1 3 v 胍3 v + 2 3 矿w t 3 v 。 且若n 1 2 = 0 ，0 , 1 3 = 0 时， 由r a n k ( e l a + e 2 1 ) = 2 知r a n k ( o ( e 1 3 + e 2 1 ) ) = 4 ，而实际上r a n k ( o ( e 1 3 + 易1 ) ) = 2 ，与r a n k ( o ( e , 3 + e 2 1 ) ) = 4 ，矛盾 若a 1 2 0 ，1 3 = 0 时， 由r a n k ( e 1 3 + 马1 ) = 2 知r a n k ( o ( e 1 3 + e 2 1 ) ) = 4 ，而实际上r a n k ( o ( e l a + 毋1 ) ) = 2 ，与r a n k ( o ( e 1 3 + e 2 1 ) ) = 4 ，矛盾 若q 1 2 = 0 ，a 1 3 0 时， 由r a n k ( e 1 3 + e 2 2 ) = 2 知r a n k ( o ( e 1 3 + 玛2 ) ) = 4 ，而实际上r a n k ( o ( e 1 3 + 易2 ) ) = 2 ，与r a n k ( o ( e 1 3 + e 2 2 ) ) = 4 ，矛盾 若0 , 1 2 o ，0 , 1 3 0 时， 由r a n k ( 一6 1 ( 0 1 2 ) e 1 1 6 1 ( a 1 3 ) e 1 2 + e 1 3 + e 2 1 ) = 2 知， r a n k ( o ( 一d 一1 ( 血1 2 ) e 1 1 5 - 1 ( 0 1 3 ) 日2 + e 1 3 + e 2 1 ) = 4 2 2 而事实上求得 r a n k ( o ( 一占一1 ( 1 2 ) e 1 1 6 1 ( 0 1 3 ) e 1 2 + e 1 3 + e 2 1 ) ) = 2 与 r a n k ( ( i ) ( 一6 1 ( 血1 2 ) e 1 1 6 1 ( 0 1 3 ) e 1 2 + e 1 3 + e 2 1 ) = 4 矛盾 故a 2 3 0 这种情况是不可能的 因此只有【a 1 4 ，5 1 2 。】0 这种情况则存在一个非奇异的矩阵p 使得 西( e 1 3 ) = p w i 5 p ，圣( z 蜀t ) = 5 ( x ) p w 2 i - 1 2 i p ( i = 1 ，2 ) 中( x e l 2 ) = 6 ( z ) p w ，1 3 p 。，o ( z e 2 1 ) = 6 ( z ) p 仉，2 4 p 由r a n k ( e 2 3 ) = r a n k ( e 2 3 + e 1 3 ) = r a n k ( e 2 2 + e 2 3 ) = r a n k ( e 2 z + e 2 1 ) = 1 有 r a n k ( o ( e 2 a ) ) = r a n k ( ( i ) ( e 2 3 ) + p w l 5 尸) = r a n k ( ( i ) ( e 2 a ) + p 眠p 。) = r a n k ( 西( e 2 3 ) + p w 2 4 p 。) 由引理3 2 2 知 o ( e 2 z ) = a 5 4 p 眠4 p + a 1 4 p 啊4 p 2 ， 不妨设p ( e 2 3 ) = p w h p 。，且可证得 垂扛e 1 3 ) = 6 ( z ) p 啊5 p t ，o ( x e 2 3 ) = 5 ( x ) p w h p t 而对于西( 历) ，圣( e 3 2 ) ，西( e 3 3 ) 同理可证得 o ( z e | f i ) = 6 ( 。) g w 玉- - 1 2 i g 。( i = 1 ，2 ，3 ) ， 4 ( z e l i ) = 6 ( z ) g 2 g 。，( i = 2 ，3 ) 圣扛e j l ) = 6 ( x ) g w 2 2 j g 。，( j = 2 ，3 ) ， 垂( z e 2 3 ) = 6 ( z ) g w j 4 g ， 西扛e 3 2 ) = 6 ( z ) g w 晶g 2 这里g 是一非奇异矩阵 2 3 对2 兰i ，j 茎k ，k 3 ，由r a n k ( e l i ) = r a n k ( e u + 岛) = r a n k ( e j j + 嘞) = r a n k ( e l i + 嘞) = r a n k ( e t l + 嘞) = 1 ，根据西的定义及引理3 2 2 有 垂( 丘b ) = g w 2 j 1 2 ， o ( x ) = 5 2 5 1 2 i ( z ) c w 2 j 一1 2 i g 5 ( x ) v w 2 j _ 1 2 i g 对任意的i 1 ，埘，及任意的t 1 ，七) ，则这样的t 至少有3 个 当i = l 时，由r a n k ( 日+ 1 ) = r a n k ( e u + e l k + 1 ) = r a n k ( e u + e 1 k + 1 ) = 1 则 由定义知 r a n k ( o ( e l k + 1 ) ) = r a n k ( o ( e l k + 1 ) + g w l 2 t 一1 g 。) = r a n k ( o ( e l k + 1 ) + g w l 2 g ) 根据引理3 2 2 知 o ( e , k + ，) = g ( a ，。m 。) 口( 1 8 ) l m e l 2 ，2 n ) 当i 1 ，且t 1 时，由r a n k ( 最+ 1 ) = r a n k ( 蜀+ 毋k + 1 ) = 1 ，则根据定义有 r a n k ( o ( e ；女+ 1 ) ) = r a n k ( g w 2 t 一1 2 i g 2 + 圣( 蜀女+ 1 ) ) = 2( 1 9 ) 而当i 1 ，且t = 1 时， r a n k ( o ( 毋k + 1 ) ) = r a n k ( g w 2 2 t g + 垂( 蜀女+ 1 ) ) = 2( 2 0 ) 由引理3 2 2 及( 1 9 ) ( 2 0 ) 式知 o ( e i k + ) = g ( a m 。i w r a 2 i ) g ，( 2 1 ) 2 m 1 2 ，轨) 对任意不同的p ，q 1 ，2 ，) ，且对任意的r 1 ，2 ，) g ，p ) ，由 r a n k ( e 矗+ 1 + 日k + 1 ) = r a n k ( e 品+ 蜀，+ 马+ 1 + 岛+ 1 ) = 1 根据( 1 8 ) ( 2 1 ) 知 r o n k ( g ( n 。却2 p ) g + g ( 。嵋。) g ) 2 p # m e 1 ，2 ，2 n )2 q # j e ( 1 2 ，2 n ) 一女( g ( n 呻z ，) 2 p # m e 1 2 ，2 n ) 则 + g ( o l j 2 口仉0 2 口) g + g w 2 r 一1 印g + g w 2 r 1 2 口g t ) = 2 如j t 1 2 ，2 畸 础( 善h 2 7 鼍“) 一( 等2 r - - 1 2 q = 。 v u l ，2 ，2 凡) 劬，2 q ，2 r 一1 ) 而 1 ，2 ，2 k i 2 p ，2 q ) 至少包含4 各元素，由2 r 一1 1 ，2 ，2 k 2 p ，2 口) 是任意的，因此有 故 因此 n 。2 p = 口。