（基础数学专业论文）多圆盘上的对偶toeplitz算子.pdf

摘要 多圆盘上的对偶t o e p l i t z 算子 摘要 本篇硕士论文主要研究单位多圆盘b e r g m a n 空间的正交补空间 上的对偶t o e p l i t z 算子，着重考虑了对偶t o e p l i t z 算子的交换性，本质 交换性，代数结构主要是通过其与t o e p l i t z 算子，h a n k e l 算子的紧密 关系及多复变函数论来完成的 第一章对相关的研究背景进行了概述，并给出一些基本概念及符 号最后说明了研究意义 第二章刻画了以有界多重调和函数为符号的对偶t o e p l i t z 算子的 交换性证明了& & = & & 当且仅当妒和妒满足下列情形之一： ( 1 ) 妒和妒在d ”上均解析 ( 2 ) 万和万在d n 上均解析 ( 3 ) 存在两个不全为零的常数a ，b ，使得a 妒+ t 3 妒在d n 上是常值 第三章分别刻画了以有界可测函数和有界多重调和函数为符号 的对偶t o e p l i t z 算子的本质交换性在前者情形下，得到了乃马一乃乃 是紧的当且仅当 ( 玛k ) o ( h i k ) 一( 毋) ( g o k u ) lj ，0 ，u o d “ 在后者情形下，得到了与以往经典结果相似的结论 第四章证明了对偶t o e p l i t z 代数z ( g ( d ) ) 的半换位理想是紧算子 全体，并研究了其代数结构，成立短正合序列 ( 0 ) 一s e m i e ( l o 。( d “) ) 一z ( l o 。( d ”) ) 一l 。( d ”) 一( 0 ) 关键词：b e r g m a n 空间，对偶t o e p l i t z 算子，多重调和，交换，本质交换 半换位理想，谱 a b s t r c r d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h ep o l y d i s k a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h e o r t h o g o n a lc o m p l e m e n to ft h eb e r g m a ns p a c eo ft h eu n i tp o l y d i s k , a n d f o c u so i lc o m m u t a t i v i t y , e s s e n t i a lc o m m u t a t i v i t ya n da l g e b r a i cs t r u c t u r eo f t h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s i nt h er e s e a r c hw et a k ea d v a n t a g eo ft h et i g h t r e l a t i o n sb e t w e e nd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sa n dt o e p l i t zo p e r a t o r s h a n k e l o p e r a t o r s ，a sw e l la st h ef u n c t i o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s i nc h a p m rl 。w ed i s c u s ss o m er e l a t e ar e s e a r c hg r o u n d ，a n dg i v es o m e b a s i cd e f i n i t i o n sa n ds y m b o l s a tl a s t , w es h o wt h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c e i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z ec o m m u t i n gd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t h b o u n d e dp l u r i h a r m o n i cs y m b o l s w ep r o v et h a ts 9 s l ，= s 十s 9i fa n do n l y i fl pa n d 妒s a t i s f yo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) b o t h 妒a n d 妒a r ea n a l y t i co nd 8 ( 2 ) b o t h 万a n d 妒a r ea n a l y t i co nd “ ( 3 ) t h e r ee x i s tt w oc o n s t a n t saa n db 。n o tb o t hz e r o ，s u c ht h a ta 妒+ 日妒 i sc o n s t a n to nd “ i nc h a p t e r3 ，w ec h a r a c t e r i z ee s s e n t i a l l yc o m m u t i n gd u a lt o e p l i t zo p - e r a t o r sw i t hb o u n d e dm e a s u r a b l es y m b o l sa n db o u n d e dp l u r i h a r m o n i cs y m b o l sr e s p e c t i v e l y i nt h ef o r m e rc a s e ，w eg e tt h a t 乃马一乃乃i sc o m p a c t i f a n do n l yi f 0 ( 坞) o ( 坼匕) 一( 毋) ( 玛札) l i 一0 ，一8 d ” i nc h a p t e r4 ，w ep r o v et h ed u a lt o e p l i t za l g e b r az ( c ( d ) ) c o n t a i nt h e i d e a l 咒o fc o m p a c to p e r a t o r sa si t ss e m i c o m m u t a t o ri d e a l a n ds t u d yi t s 一一 a b s l r r a c t a l g e b r a i cs t r u c t u r e t h ef o l l o w i n gs h o r te x a c ts e q u e n c ei se s t a b l i s h e d ： ( 0 ) 一s e m f f ( l 。( d ”) ) 一z ( l ”( d “) ) 一工。( d “) 一( 0 ) k e yw o r d s ：b e r g m a ns p a c e ，d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r , p l u r i h a r m o n i c ， c o m m u t e ，e s s e n t i a l l yc o m m u t e ，s e m i c o m m u t a t o r , s p e c t r u m 一一 学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意 研究生签名：伽l日期：少矿夕 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 研究雌轻御矿导师躲寸 日期：矽7 钎夕 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：懒彦 指导教厩子簏、 一绩论 ( 一) 、研究背景概述 一、绪论 在上世纪二、三十年代，一般的线性算子理论及它们生成的算子代数有很大 发展同时伴随着它们在量子物理动力系统，概率论等学科中的深入应用，算子 理论及代数成为一个非常活跃的研究方向 t o e p l i t z 算子是现代算子理论中最重要的特殊算子类之一一方面它为般 的算子理论的研究提供了模型同时，它在算子理论，函数论，指标理论及算子代 数方面起着纽带的作用比如，著名的不变子空间问题可以转化成b e r g n m n 空间 上算子 疋不变子空间格的饱和性质的研究 对于t o e p l i t z 算子最初的研究开始于t o e p l i t zo 【l 】对t o e p l i t z 矩阵的研究 所谓t o e p l i l z 矩阵是指在对角线上为常值的单向无穷矩阵随后的几十年中， h a m n a np 和w i n m e ra 【2 】【3 】在这方面做了很多工作到1 9 6 4 年，美国数学家 b r o w na 和h a l m o sp 【4 】利用算子语言给出了经典h a r d y 空问上t o e p l i t z 算子的 定义。并系统地研究了它的代数性质关于这方面的其他经典结果可见【5 】 众所周知，与t o e p l i t z 算子密切相关的一类算子是h a n k e l 算子对h a n l e l 算 子的研究也是起源于h a n l e l 矩阵，所谓h a n l e l 矩阵是指在反对角线上为常值的 单向无穷矩阵对h a r d y 空间上h a n l e l 算子的有界性和紧性有非常整齐的刻 画：当且仅当符号为有界可测函数和连续函数在i - i a n l e l 算子理论中的一个重 要定理是n e h a f i 定理：若日是h a r d y 空间上的一个有界h a n l e l 算子。那么存在 i p l 。( t ) ，使得h = 上0 并且0 0 0 = i i 妒l l o o = d i s t ( i ，o ，。) 此定理有着广泛 的应用比如在日。o 控制理论中对于模型匹配问题，就是由n e h a r i 定理将其转化 为相应的h a n l e l 算子的范数估计关于h a n l e l 算子的其它结果可见【6 】 上世纪末以来，对经典h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子，h a n k e l 算子有了各种 推广一方面是从函数空间所在域的推广，比如从单位圆盘到单位球，多圆盘，拟 凸域等另一方面是测度的推广和改变，比如加权k b c s g l l e 测度从h a r d y 空问的 线测度到b e r g m a n 空间的面积测度对于t o e p l i t z 算子的各种形式推广，一个自 然的问题是经典的t o e p l i t z 算子理论能否成立许多学者的工作表明，在类似推 广的同时，存在很多差异我们将在本节的第三部分给予部分说明 一，绪论 t o e p l i t z 算子还有很多重要问题没有解决它们的解决不仅依赖于函数论的 发展，同时还需要各种代数，拓扑方法的丰富比如b a n a e h 代数，口代数，代数拓 扑等 ( 二) 、基本概念及符号 记c 为复平面，t d 分别为c 中的单位圆周和单位圆盘l 2 ( 刃表示t 上的 平方可积函数空间则h a r d y 空间日2 ( t ) 定义为： h 2 ( t ) = fel 2 ( t ) ：去j c r 2 f ，( ) e 枷础= o 几= 1 ，2 ， 1 b e r g a 怕a 空间瑶( d ) 定义为： 层( d ) = 工2 ( d ) n h ( d ) 其中三2 ( d ) 表示d 上依正规化的面积测度d a 平方可积的函数空间，h ( d ) 为d 上的解析函数全体此时，瑶( d ) 是l 2 ( d ) 的闭子空间 对f 工* ( d ) 。即为d 上的本性有界可测函数定义b e r g n m n 空间瑶( d ) 上 t o e p l i t z 算子t j ，h a n k e l 算子h j ，毽( 功1 上对偶t o e p l i t z 算子s ，如下( 在h a r d y 空间h 2 ( r ) 上可类似定义) ： 乃( u ) = p ( f u ) ，缸瑶( d ) 所( 札) = q ( u ) ，u 窿( d ) ， 毋v ) = q ( f v ) ， ”层( d ) 1 其中，p 为l 2 ( d ) 到醒( d ) 的正交投影瑶( d ) 1 是磋( d ) 在l 2 ( d ) 中的正交补 q = i p ，即l 2 ( d ) 到l ：( d ) 1 的正交投影 记n 维复空间c n 中的单位多圆盘为d “m 2 ，n z ) ，则可类似地定义 b e r g m a n 空间鹾( d “) 及此三类算子，此时正交投影p 可表示如下： ，一( p u ) ( z ) = u p ) 疋( u ) 以( u ) ， 一2 一 、绪论 g e e 托( u ) = 兀：l 瓣1 ， 也) = 兀：。两| - - 静z l 2 由以上三种算子的定义， 表示如下： 称为鹾( d “) 上的b e r g m a n 再生核，其正规化为 我们可把l 2 ( d “) 上的乘法算子m a i l 。( d “) ) m = 偿劲 由= m t m o ，可得 t f 9 2 r i t o + h j h s “= s l s | + h | h ；、 h j 9 = h y t o + s t h r ( 11 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 由此可见，对偶t o e p l i t z 算子与t o e p l i t z 算子，h a n k e l 算子具有紧密的联系 鹾( 上p ) 具有许多良好的性质，比如函数可幂级数展开，具有再生核等这些都是 瑶( d ) 1 所不具有的故对对偶t o e p l i t z 算子的研究主要是通过它与t o e p l i t z 算 子。h a n k e l 算子的关系进行的在2 0 0 2 年，s t r o e t h o f fk 和z h e n gd 【7 】第一次系统 地研究了单变量时的对偶t o e p l i t z 算子 ( 三) 、研究意义 在本章的第二节已经提到自1 9 6 4 年b r o w n a 和h a l m o sp 研究了经典h a r d y 空问上的t o e p l i t z 算子之后，人们做了很多推广算子性质在被类似推广的同时， 也显示出了很多差异本文所关心的函数空问在于两点：一是b e r g m a n 空间二 是单位多圆盘接下来就h a r d y 空问和b e r g , m a n 空问上的算子理论及单变量和 多变量函数空问上的算子理论的一些简单差异作一比较以此来说明本文的研究 意义 人们对h a r d y 空问的研究起步较早，比较系统的成果可见【8 】【9 】，故其上的 算子理论也相对比较成熟而对b e r g m a n 空间及其上算子理论的研究较晚可见 【l o if li 】【1 2 j 就它们函数本身而言，其中一个重要的差别在于h a r d y 空问中的 函数边界值几乎处处存在，而在b e r g m a n 情形下不成立同时，h a r d y 空间中函数 的零点是一个b l a s c h k e 乘积，而在b e r g r n a n 情形下至今没有完全刻画函数空间 的众多差异自然导致其上算子理论的差异比如在h a r d y 空间上，有界的t o e p l i t z 算子是由有界符号诱导的，并且无非平凡的紧t o e p l i t z 算子然而在b e r g m a n 空 一3 一 一、绪论 间上，t o e p l i t z 算子的有界性，可逆性难以刻画比如有许多非平凡的紧算子，一些 无界符号可以诱导有界算子，甚至紧算子对于算子的谱，同样有许多巨大差异 在1 9 6 4 年w i d o mh 【1 3 】证明了h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子的谱是连通的。随后 d o u g l a sr ，【5 】指出其本质谱也是连通的而在b e r g m a n 情形下，由于非平凡紧算 子的存在。其谱自然可以是离散集 单复变函数论与多复变函数论存在许多重大差异可见【1 4 】( 1 5 】【1 6 1 【1 7 1 比如著名的c o r o n a 问题，c a r l e s o nl 【t s 证明了d 在日* ( d ) 的极大理想空间 朋中是稠的而在高维情形下仍是个公开问题算子性质强烈地依赖于它所 在的解析区域故单变量和多变量函数空间上的算子理论将有很大差异比如， 在1 9 7 7 年，d a v i ea 和j e w e l ln f 1 9 】指出在高维h a r d y 空间上，t o e p l i t z 算子谱的 连通性不成立再比如，符号在l * f d ) 中的t o e p l i t z 代数的换位理想与半换位理 想是一致的。而在高维情形下，目前也是个公开问题 除此之外在接下来三章的引言部分将继续看到关于这方面的许多异同点 同时，从【7 忡可以看到一个有趣的现象：b e r g m a n 空间的正交补空间上的对偶 t o e p l i t z 算子与h a r d y 空间b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 均有类似之处。比如紧算 子只能是零算子，但谱的连通性不成立等 目前，国内外对偶t o e p l i t z 算子的研究结果较少体系很不完善所以在多圆 盘b e r g m a n 空问的正交补空间上研究对偶t o e p l i t z 算子将是富有意义的我们的 主要结果： 定理2 1 设协妒是i ) ，i 上的两个有界多重调和函数，则 s 口s o = s o s p 当且仅当g o 和砂满足下列情形之一： ( 1 ) q o 和妒在d “上均解析 ( 2 ) 和万在d “上均解析 ( 3 ) 存在两个不全为零的常数a ，b ，使得a 妒+ 口砂在d “上是常值 定理2 2 设妒，妒是d “上的两个有界多重调和函数。则 当且仅当i p 或巧在d “上解析 s 9 s 十= s 咖 一4 一 一、绪论 定理3 1 设，和g 是d “上的有界可测函数则毋和岛在l ：( d t l ) 1 上是本质 交换的当且仅当 0 ( 岛) o ( 所k ) 一( 所k ) o ( 岛) ，0 ，u 一0 d ” 定理3 2 设让和1 0 是d n 上的有界多重调和函数，则鼠和岛在层( d “) 上 上是本质交换的当且仅当对任意的妒圣，满足下列情形之一： ( 1 ) u o 妒和口。妒在d n 上是解析的 ( 2 ) 面。妒和口o l p 在d “上是解析的 ( 3 ) 存在不全为零的常数a ，b ，使得n ( o 妒) + 6 扣。妒) 在c p 上是常值的 西是一类与日* ( 驴t ) 的极大理想空问有关的函数。将在第三章给出定义 定理4 1 在鹾( n ) 1 上，有如下的短正合序列： ( 0 ) 一s e m 主：z ( l ”( d “) ) + z ( l ”( d “) ) l ”( 口l n ) ( o ) 定理4 2 s e m i z ( l ”( 上p ) ) ，其中c 是髓( d t 。) 上上的紧算子全体 一5 一 二、交换对偶t o e p l i t z 算子 ( 一) 、引言与主要结果 由于交换代数的结构比较清楚所以考虑两个算子的换位子何时为零成为一 个重要课题【4 】在h a r d y 空间上对t o c p l i t z 矩阵进行分析，得出结论：7 t 弓= 弓t 当且仅当， g 满足下列情形之一： ( 1 ) g 均解析 ( 2 ) ，口均解析 ( 3 ) 存在不全为零的常数口，b 使得n ，+ 幻是常值 以后人们得到的各个空间上关于t o e p l i t z 算子交换性的结果形式上均与此 相似在b e r g m a n 空间上。直到1 9 9 1 年a x l e rs 2 0 】等人利用调和函数的不变 平均值性质。讨论了有界调和符号的交换t o e p l i t z 算子【7 】对一般符号的对偶 t o e p l i t z 算子的交换性得出了与【4 】类似的结果 在高维情形下，研究更加复杂，往往把符号限制在有界多重调和函数上 z h e n gd 【2 1 】和c h o eb 等【2 2 】分别在单位球和单位多圆盘上考虑了t o c p l i t z 算 子的交换性在2 0 0 5 年，l uy 【2 3 利用坐标函数刻画了单位球b e r g m a n 空间的正 交补空间上的交换对偶t o e p l i t z 算子 我们是在多圆盘b e r g m a n 空间的正交补空间上考虑对偶t o e p l i t z 算子的交 换性，利用坐标函数的方法，通过使用命题2 5 ，证明过程较【2 3 更加简明，我们的 主要结果： 定理2 1 设协妒是三严上的两个有界多重调和函数则 s 9 s 十= s 口s 9 当且仅当g o 和曲满足下列情形之一： ( 1 ) q o 和妒在d - i - 均解析 ( 2 ) 和石在d “上均解析 ( 3 ) 存在两个不全为零的常数a 。b 。使得a g o + 且妒在d i - 是常值 一6 一 定理2 2 设l p ，妒是d “上的两个有界多重调和函数，则 当且仅当p 或硒在d “上解析 ( 二) 、定理证明 s 9 s = s 日v 首先我们给出一些符号对任意的多重指标o t = ( o t l ，) ，口i ( 1 _ | n ) 是非负整数记i 口l = 口l + + a n ，o d = d l ! ! 对z = ( z l ，a n ) 伊。严 表示彳1 露n 咄( 1 i ，1 ) 表示坐标函数这些符号也将在第三。四章中出现 引理2 3 设f p ( d ，i ) ，f ( z ) = 厶严足，的幂级数展开，则 口 尸= ；厶罴雕以- 鲻n 其中口是多重指标山= 1 - l j ：l ( 岛+ 1 ) ，u d “则 酬加厶u 瓣巾) 2 蓑t l i + l j d n 叫 所以结论可在，的幂级数展式中进行逐项积分得 引理2 4 设f 工2 ( d ”) ，则f 与变量z i 无关当且仅当p ( 吐，) = 0 证明设f ( z ) = 如严。若，与变量盈无关，则对，幂级数展式中的多重 指标口= ( o t l ，) ，可得o t i = 0 所以由引理2 3 的证明知p ( w l f ) = 0 反之，若p ( 瓿，) = 0 ，则对，幂级数展式中的任何多重指标口= ( 口l i ，a 。) ， 由引理2 3 得如啦= 0 所以若a 。0 ，则戳= 0 ，即，与磊无关 在给出命题2 5 之前，令j = l ，2 ，凡 ，同时记岛，巧分别为老，畚乃表 示，的零点全体 一7 一 如 ， 哆矿 。嘣 。触南。同 酗 脚 三：銮垫盟堡空! 业望蔓：至 命题2 5 设，g ，h ，k 是d ”上的解析函数则，i 一幻在d r l 上解析当且仅当 ，g ，h ，七满足下列情形之一： ( a ) f ：o = o ( b ) ，= 0 g 是常值 ( c ) h - - o k 是常值 ( d ) g ，k 均是常值 ( e ) 存在非零常数t 和常数c ，使得h = ，k = 冶4 - c 证明充分性是显然的，下证必要性 若 一幻是解析的则 所以。 瓦，= 砀= 0 ，虿( ，乏一幻) = o v r j y a n k 一厮= 0 ( 2 1 ) 对( 2 1 ) 式讨论如下： 首先，若，= 0 则由( 2 1 ) 得 百万= 0 由解析函数的零点性质得：h = 0o r a r 9 = 0 所以。( a ) 或( b ) 成立 同理，若h = 0 ，则( a ) 或( c ) 成立 再者，设，不恒为0 则乃的测度为0 令i o = r ：a r 七= 屏9 = o ，矗可 能为空集若而= j ，则( d ) 成立 现假设z o i 对任意的r z z o ，在d “( z ，u z 如) 上成立 = ( 错) 然后存在常数t 使得h = ，屏女= 碗g 在严( 乃u z 如) 上成立把解析 函数f ，h ，4 ，o , g 扩张，得h = t l 和屏= 礁9 在d “上成立所以k 一西在 d “( 乃u z 如) 上是常值通过解析函数k ，g 的扩张，得k 一面在d “上常值，所 以( e ) 成立。 引理2 6 设仍1 ； 1 是有界多重调和函数，且妒= ，+ i ，妒= + i ，其中， k ，h ，g 是解析函数则对i ( 1 t n ) ， 而p ( 瓿) 一口p ( ，面) 是解析的当且仅当协妒满足下列情形之一 ( 1 ) 协妒在d “上均解析 一b 一 ( 2 ) 石在d n 均解析 ( 3 ) 存在不全为零的常数a 。e 使得a ! o + 日妒在d n 上常值 证明充分性显然的。下证必要性。 若对i ( 1 i n ) ，l c p ( h o , ) 一雪p ( ，而) 是解析的，由命题2 5 ，k p ( h 西) 一 雪p ( o t , ) 满足下列情形之一： ( a ) p ( h 庙i ) = 0 ，p ( ，瓿) = 0 ( b ) p ( 西) = o ，g 是常值 ( c ) p ( ，砚) = 0 k 是常值 ( d ) g ，k 均是常值 ( e ) 存在非零常数和常数c 使得p ( ，觑) = t p ( _ i l 皿) ，k = 西+ c 首先设情形( d ) 出现，则显然( 1 ) 将成立 其次，设存在某个j 使得( b ) 成立 若k 是常值，则( i ) 将成立 若k 不是常值，由k p ( h 面i ) 一蚕p ( ，瓿) 是解析的，则对任意的1 i n 。 有p ( h a t i ) = 0 由引理2 4 知h 是常值，故妒是常值，所以( 3 ) 将成立 同理，若存在某个j 使得( c ) 成立，则( 1 ) 或( 3 ) 将成立 再者。设存在某个j 使得( e ) 成立则 i p ( 觑) 一蚕p ( ，瓿) = 5 p c h , 7 0 + 耍p ( ( t _ i l 一，) 西) 对任意的1 i n 是解析的 若g 是常值，则老也是常值，所以( 1 ) 将成立 若g 不是常值，则p ( ( t h 一，) 也) = 0 由引理2 4 t h f 是常值，结合 七= 匆+ c 故妒一绷是常值，所以( 3 ) 将成立 最后我们假设对任意的1 i n ( a ) 成立由引理2 4 f ，h 均是常值，所以 ( 2 ) 将成立 定理2 1 证明由( 1 2 ) ：s 矗= 毋s o + 所埠，定理的充分性是显然的 因为砚层( d “) 1 ，所以 品& 慨) = 岛品慨)( 2 2 ) 若仍妒是d ”上的有界多重调和函数，从 1 6 1 知存在解析函数f ，女，h ，g ，使得 一9 一 三：窒堡塑堡堡! 坚蔓王 妒= ，+ k ，妒= h + 口 品( 也) = s ；( ( ，一p ) ( 此) ) = ( i p ) p ( ，一p ) ( 审，厩) l = ( ，一p ) 【妒( ，一p ) ( + 口) 觑】= ( i p ) 【( ，+ 女) ( 面+ 皿一p ( 皿) ) j = ( i p ) ( ，锄+ ，弛一，p ( 硒) + h 硒+ 七弛一后p ( 舰) ) 同理将有 & & ( 瓯) ；( i p ) ( ，觚+ _ i l 她一l i l p ( 舰) + ，触+ 耍蛳一p ( 衄) ) 由( 2 2 ) 和( i p ) ( ，p ( ，l 瓴) ) = ( i p ) ( p ( ，瓿) ) = 0 则 ( ，一p ) ( 寿p ( 面) ) = ( ，一p ) 圆p ( 衄) ) 所以 p ( k p ( i v 击, ) 一雪p ( ，砚) ) = k p ( t 峨) 一口p ( ，画) 从而对任意l t n ，h p ( h 觑) 一口j p ( 衄) 在i f l 上解析由引理2 6 可得结果 定理2 2 证明由( 1 2 ) ：s b = 毋咒+ 毋蟛，定理的充分性是显然的 因为西磋( d ”) 1 ，所以 品岛慨) = & ，慨) 类似与定理2 i 证明有妒= f + i ，妒= h + 雪， & & ( 皿) = ( ，一p ) ( ，蛳+ 施一，p ( 慨) + 硒+ i 弛一尸( 蛳) ) 通过简单计算，得 ( 2 3 ) s 廿，( 瓯) = ( ，一p ) ( ( ，+ 五) ( + 雪) 面) = ( ，一p ) ( ，怕。+ ，豇磊+ & 矾+ 霸触) 由( 2 3 ) ，可得( i p ) ( p ( 面) + ，p ( f | 皿) ) = o o i n ) 所以而p ( 慨) 是解析 的 若是常值则妒是解析 若不是常值，则对任意1 i n ，p ( 觑) = 0 由引理2 4 ，危是常值，所以， 巧是解析的证毕 三、本质交换对偶t o e p l i t z 算子 一) 、引言与主要结果 随着紧算子及f r e d h o l m 算子理论的深入发展人们发现算子的许多性质是 紧扰动不变的从而很多问题在c a l k i n 代数中考虑也就自然产生了换位子何时 是紧的问题，即本质交换在1 9 9 3 年，s t r o c t h o f f k 1 2 4 1 研究了b e r g r a a n 空闯上以 调和函数为符号的本质交换t o e p l i t z 算子得出结果： 设l 9 为d 上的有界调和函数，则乃马一马乃是紧的当且仅当在m ( 日。( d ) 的极大理想空间) 的每一个非d 的g l e a s o n 部分p 上 g 满足下列情形 之一： ( 1 ) ，9 在p 上均解析 ( 2 ) - 虿在p 上均解析 ( 3 ) 存在两个不全为零的常数口，b ，使得口，+ 的在p 上是常值 与交换性结论相比，此结论表现出局部性质同时它也依赖于单变量时 c o r o l l a 问题的解决 而在h a r d y 空问上1 9 9 9 年g o r k i np 和2 3 h e n gd 1 2 5 】给出了t o e p l i t z 算子本 质交换的充要条件： 令f , g 是d 上的有界可测函数则乃乃一b 巧是紧的当且仅当 i j ( 马也) o ( 所也) 一( h t 也) o ( 马也) 0 - + 0 ，i z i 一1 一 有趣的是在【7 】中对偶t o c p l i t z 算子的本质交换的结果与此类似随后，g - u o k 和z h e n gd 【2 6 】讨论了h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子的本质交换 面在高维情形下，要适当地回避c o r o n a 定理1 2 1 】【2 2 】分另l j 刻画了单位球和 单位多圆盘b e r g m a n 空间上本质交换的t o e p l i t z 算子我们是在多圆盘b e r g m a n 空间的正交补空间上考虑对偶t o e p l i t z 算子的本质交换主要结果： 定理3 1 设，和g 是d “上的有界可测函数，则s ，和岛在磋( d “) 1 上是本质 一l l 三：尘堕銮垫盟堡旦竺! 皇蔓王 交换的当且仅当 i i ( 也) o ( 嘶也) 一( 毋k ) 圆( 岛k ) 0 ，0 ，u o d “ 定理3 2 设u 和 是d “上的有界多重调和函数，则鼠和鼠在瑶( 伊) 1 上是本质交换的当且仅当对任意的妒圣，满足下列情形之一： ( 1 ) 札0 妒和口。妒在p 上是解析的， ( 2 ) 面0 妒和哥0 妒在伊上是解析的， ( 3 ) 存在不全为零的常数o ，b ，使得。似。妒) 4 - 6 阳。妒) 在d t 。上是常值的 圣是一类与j j p ( 伊) 的极大理想空间有关的函数类将在本章第四部分给出 定史， ( 二) 、一些估计及预备引理 记n 维复空间c ”中的单位多圆盘为d “的边界为o d “日( d n ) 表示d n 上的解析函数全体矿上的m o b i u s 变换( ：) = ( 1 加。( z 1 ) 灿( 靠) ) 。其中 亿) = 芒意，五d 对，夕三2 ( d ”) 定义一秩算子，p 夕为 ( f 0 9 ) = ( h ，g ) f ，h l 2 ( d “) 易证i i f0g l l = i i f l m i g l l 2 影与品的换位子记为【毋，品】，则由( 1 2 ) ：= s ，品+ 研田可得 峪l ，s 。= s l s 口一s g s f = h g h 一h | h ； 咚q 在( 1 3 ) ：嘶口= 所b + 曲凰中，若f 是解析的则毋= 0 ，所以 h | 9 = s | h 9 = h | 对瑶( d “) 1 上的线性算子z 定义算子 九。( t ) = t 一。t s ，姚d 1 2 一 ( 3 2 ) 则镌( r ) = 钆( 钆( r ) ) = t 一2 乩丁。+ 鼠t 下面的引理类似于【2 7 】中的引理6 1 ，在此略去证明 引理3 3 若t 是：( d ”) 上上的紧算子，则对任意的l i 诏，当k i 一 1 一时有 咿一s “丁鼠0 0 推论3 4 若? 是磁( d ”) 1 上的紧算子，则对任意的1 i 死，当k i 一1 - 时， 有 0 以( t ) 0 + 0 证明由0 以。口) 0 2 1 1 札( 刃l i 与引理3 3 ，即证 引理3 5 在髓( j ) ，1 ) 上。对u 伊有 。k = ( ，一2 互。耽+ 毪。露0 ) ( 3 3 ) i = 1 证明由【2 7 】中的命题4 1 知：在e ( d ) 上，对u d ，有 k o 也= ，一2 气+ 气哦 ( 3 4 ) 现设f = 产髓( d “) ，其中口是多重指标，则 而 nn 匕) 产= l - i o ，6 = 赘，昂是三：( d “) 上以丌? 刁圭郁为核的扩( 1 p o o ) 有界积分 算子，见【l o 】 证踢由 ( 驯蜘似，h i k e ) = 厶蘸澄啡) a ( h l 牡) ) = 上2 m “而二。( 1 一u 蚍( z ) 秽f ( z ) d a ( 令( ：) = ，一p ( 。) 。，则癌蠹萼瓣是关于z 的解析函数由t 鹾( 矿) 1 ，可得 上。麓筹学批阄厶n 兀：1 ( 1 一岫五) 3 7 一 愀刖= m 鼍器掣叫 矿上。喘搿啡， 鲫阻甏瓮筹批，) 赤( 厶面矬杀嘶，) = 高l i q ( $ 。啪* ( 厶志鲤箍等彖啡，) 7 赢删z + 。( 厶捣嘶，) 7 第二个不等号由h 6 l d 盯不等式得，第三个不等号由品翳 2 ( 1 i n ) 及 三：查堕銮垫堕堡堡! i 皇簦王 2 i 0 ，由于5 k ，丁一e 以。( r ) 一0 ，存在0 p 1 ，0 r l 1 ，使得当p i 叻i 1 时。s 矗t 品。：一t i i 当r l l u l i 1 时，0 坞。( 即 e 因此当p i 忱i l ，r l i u l i 1 时 也。( t s ) l l 匏 对选定的p ，由前面的讨论，可见存在0 y 2 1 ，使得当 r 2 i 呐i 1 时，对 i p ，有 允，( s l 丁s 轧：) jj e 因此l u l