（道路与铁道工程专业论文）含裂缝的钢筋混凝土框架结构受力分析.pdf

摘要 含裂缝的钢筋混凝土框架结构受力分析 摘要 随着国民经济的发展，钢筋混凝土结构的广泛运用，对钢筋混凝土的研究已经很成 熟了。钢筋混凝土的极限承载状态已经得到广泛的研究，即使是对含裂缝单元的钢筋混 凝土结构也进行了研究。但对钢筋混凝土结构一般建筑都是含裂缝工作的，有必要在极 限承载能力的基础上，对含裂缝的钢筋混凝土结构在一般的静力荷载作用下，被当成正 常的结构来进行计算是否合理，作者调研并查阅了大量的文献资料，对上述问题进行了 较详细的研究分析。 本论文把钢筋混凝土当成理想的均匀质量，把已有的用于梁单元分析的一种线弹簧 模型，扩展成能用到框架结构的线弹簧模型。在此基础上，用等效裂缝高度来考虑当理 想的裂缝高度超过混凝土保护层厚度时，钢筋对裂缝的约束作用。对比考虑和不考虑钢 筋对裂缝约束作用的静力分析，比较考虑和不考虑拉弯耦合情况所得到的结果有什么不 同。同时，考虑钢筋对裂缝约束作用的存在，对钢筋混凝土框架结构的自振频率的影响 进行讨论。因为实际上的裂缝多是半椭圆形的，为此，用本文的模型求出的数据和文献 提供的半椭圆模型求出的数据进行比较来说明本文模型运用于实际的合理性。 关键词：裂缝，线弹簧模型，等效高度 a b s t r a c t a n a l y s i s0 fr e i n f o r c e dc o n c r e t ef r a m e s c o n s t r u c t i o nc o n t a i n i n gc r a c k su n d e r f o r c e s a b s t r a c t a l o n gw i t l lt h ed e v e l o p m e n to f t h en a t i o n a le c o n o m y s t r u c t u r a la n de x t e n s i v ea p p l i c a t i o n i nr e i n f o r c e dc o n c r e t e ，i sa l r e a d yv e r ym a t u r et ot h er e s e a r c ho ft h er e i n f o r c e dc o n c r e t e t h e u l t i m a t eb e a r i n gc a p a c i t yo ft h er e i n f o r c e dc o n c r e t eg e t se x t e n s i v er e s e a r c h e s ，e v e nt h e r e i n f o r c e dc o n c r e t ec o n t a i n i n gc r a c k sa l s og e t sr e s e a r c h e s b u tf a c i n gg e n e r a lb u i l d i n gi n c o n s t r u c t i o ni nr e i n f o r c e dc o n c r e t ec o n t a f i n i n gc r a c k st ow o r k t h i sg i v e st h ei n s e c u r ef e l l i n g i np e r s o n f o rt h i s ，i ti sn e c e s s i t yt ok n o ww h e t h e rr e a s o n a b l ei ft h er e i n f o r c e dc o n c r e t e c o n s t r u c t i o nc o n t a i n i n gc r a c k si sc o m p u t e da sn o r m a lc o n s t r u c t i o n su n d e rg e n e r a ls t a t i cl o a d s b a s i n go nu l t i m a t eb e a r i n gc a p a c i t y f o rt h i sp r o b l e m , a u t h o ri n v e s t i g a t e sa n dc h e c k sa l o to f d a t a , p r o c e e d i n gt h ed e t a i l e dr e s e a r c ha n a l y s i st ot h ea b o v ep r o b l e m t h i st h e s i st a k e sr e i n f o r c e dc o n c r e t ef o ri d e a la n dq u a n t i t ym a t e r i a l ，a l r e a d yal i n e s p r i n g m o d e lu s e dt oa n a l y s eb e a mu n i t , e x p a n da n dt h e nc a nn s et oa n a l y s ef r a m e s o nt h i sb a s e ， w h e ni d e a lc r a c kh e i g h te x c e e d sc o n c r e t ec o v e r , u s i n ge q u i v a l e n tc r a c kh e i g h tr e s o l v et h e p r o b l e mo fr e i n f o r c i n gs t e e lb a ri n h i b i t i n gc r a c k st oe n l a r g e u n d e rg e n e r a ls t a t i cl o a d s ，t h i s t h e s i sc o n t r a s tt h ed i f f e r e n to u t c o m e sw h e nc o n s i d e r i n gw h e t h e rr e i n f o r c i n gs t e e lb a r i n h i b i t i n gc r a c k st oe n l a r g eo rn o t ，s i m u l t a n e o u s l y , c o n t r a s tt h ed i f f e r e n to u t c o m e sw h e n c o n s i d e r i n gw h e t h e ra x i a lc o u p l i n gf o r c eb e n d i n gm o m e n to rn o t a tt h es a l l l et i m e w h e n r e i n f o r c i n gs t e e lb a ri n h i b i t i n gc r a c k st oe n l a r g e ，i tc a u s e sw h a td i f f e r e n to u t c o m e so f r e i n f o r c e dc o n c r e t ef r a m e sf r e q u e n c y b e c a u s ei n f a c tt h ec r a c k sa r es e m i e l l i p t i c a lc r a c k s ， t h i st h e s i sc o n t r a s td a t ab e t w e e nt h ed a t au s i n gt h i st h e t i s sm o d e la n dt h ed a t au s i n g l i t e r a t u r e ss e m i e l l i p t i c a lc r a c k s m o d e l k e yw o r d s ：c r a c k ，l i n e - s p r i n gm o d e l ，e q u i v a l e n tc r a c kh e i g h t i l 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表和撰写的研究成果，也不包含为获得华东交通大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本人签名日期 关于论文使用授权的说明 本人完全了解华东交通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 保密的论文在解密后遵守此规定，本论文保密期年。 本人签名导师签名期 主要符号说明 主要符号说明 弹性模量； 钢筋弹性模量； 混凝土弹性模量； 构件计算长度； 裂缝高度； 、 裂缝等效高度； 泊松比： 梁高； 梁宽； 裂缝所在位置； 地基土反应模量； 角频率； 单元局部坐标系下无裂缝结构的单元刚度矩阵； 裂缝的单元刚度矩阵； 无裂缝结构整体坐标系下单元刚度矩阵； 裂缝的整体坐标系下单元刚度矩阵； 钢筋混凝土的保护层厚度； 常数； 第i 个单元的结点位移向量； 结构的结点位移向量； 坐标变化矩阵； 第i 个单元定位向量矩阵； 结点力向量。 。风l二盯y h b k k缈同网mf鼢州同 第一章绪论 1 1 问题的提出 第一章绪论 普通钢筋混凝土结构在一般情况下是允许带裂缝工作的，这是其他材料( 如钢、木、 甚至砖砌体等) 结构所不遇的特殊问题，但需要严格控制裂缝的开展，以保证结构的可 靠工作。产生裂缝的原因有很多，如荷载作用、混凝土组成成分、温度变化、混凝土收 缩和徐变、基础的不均匀沉降以及钢筋的锈蚀等，但许多裂缝往往是几种不同因素联合 作用的结果。 1 ) 荷载作用产生的裂缝 钢筋混凝土构件因受力性质不同所产生的裂缝形态也不同。承受拉( 轴) 力和弯矩 的构件在横截面有一维的拉应力，承受剪力和扭矩及其他复合受力结构有主拉应力。这 些构件将出现垂直于主拉应力方向的裂缝。裂缝一般沿构件宽度方向贯通部分截面或全 截面。仔细观察还可发现表面裂缝的多种形态和宽度的变化规律。 2 ) 混凝土塑性收缩引起的裂缝 这种裂缝常出现于大面积的板壳表面，是在混凝土浇注后数小时，因气温高、风速 大等原因使混凝土表面蒸发速度超过了本身泌水速度造成的。一般均为细微的表面裂 缝。 3 ) 混凝土塑性沉降引起的裂缝 混凝土中的骨料塑性下沉受到顶部钢筋的阻碍，使钢筋处的沉降与两侧的沉降相差 过大时，就会在钢筋上方出现顺筋的表面裂缝。 4 ) 水泥水化热引起的裂缝 大体积混凝土常因水泥水化热导致内外温差过大，所引起的温度应力超过混凝土早 期抗拉强度时，就形成了裂缝。 5 ) 温度和湿度引起的裂缝 混凝土因外部温度聚降或在结硬过程中的干缩会引起体积收缩。如果这种收缩受到 外部( 岩基或老混凝土) 或内部( 大量钢筋) 的约束，就可能在承载前产生严重裂缝。 6 ) 碱一骨料化学反应引起的裂缝 水泥的碱液与活性骨料的硅酸盐化学反应后会析出体积增大几倍的胶体，使混凝土 涨裂。 7 ) 钢筋锈蚀引起的裂缝 构件处于恶劣环境，保护层过薄或密实性较差时，混凝土中的钢筋会锈蚀。体积膨 2 第一章绪论 胀2 4 倍，导致四周混凝土顺筋涨裂。 8 ) 不均匀沉降引起的裂缝 地基不均匀沉降引起混凝土结构内力发生变化，从而导致混凝土结构产生裂缝。这 种裂缝通常宽度较大，数量较少，多集中产生在与基础沉降相关的部位。 同时，随着我国国民经济的高速发展，许多工程不得不建造在过去被认为不满足建 筑需要的场地上，那就需要对地基进行处理。那么土质软弱、不满足建筑结构物强度或 变形，或者由于动力荷载( 如地震荷载) 作用而可能产生液化、失稳和震陷等灾害，或 者由于吸水而会膨胀失水且下陷的场地都可以引起裂缝的存在，为此需要进行加固。对 于不同的土质可以采用不同的处理方法，常用的地基处理方法有：土( 或灰土) 垫层， 重锤夯实、化学加固、水泥土加固等。 正因为在钢筋混凝土结构工作中可能出现各种各样的裂缝，裂纹对钢筋混凝土构件 必然引起应力重分布，并导致整个结构承载能力和刚度的变化。而断裂力学正好可以解 决这方面的问题。对于金属材料来说，线弹性断裂力学在工程中已经得到了成功的应用。 然而与金属材料不同，混凝土材料有其独特的性质。 1 2 国内外研究的状况 1 2 1 静力部分 自1 9 6 1 年k a p l a n 首次将断裂力学应用于混凝土以后，尽管做了大量的试验研究， 但线弹性断裂力学能否用于混凝土材料仍存在较大的分歧。 k a p l a n 2 1 的试验结果表明，对于不同的缺i = i 深度，断裂韧性足。可近似的为常数。 由此他得出结论，线弹性断裂力学能用于混凝土材料。但是，从他的另外一些试验结果 看到，当采用不同的试验尺寸和不同的加载方式时，k ，c 是不同的。较小尺寸试件的k 。 比较大尺寸的k 。低3 8 。由四点弯曲试验所得的k 。较三点弯曲试验得到的k ，小 1 5 。对此，他解释了亚临界裂纹扩展的缘故。 1 9 6 9 年，n a u s 和l o t t 【3 】对8 个不同配合比共1 6 4 根试件进行了中心加载试验。试 验结果表明，k ，r 随水灰比、骨料含量、最大骨料直径及养护时间而改变。由此，认为 线弹性断裂力学的概念不能用于混凝土材料。后来在1 9 8 2 年，s a o u m a l 4 1 等人重新审查 了他们的试验结果和理论分析，发现他们所用的计算k 。的公式是错误的。同时，用奇 异单元法重新计算，得到了与n a u s 相反的结论。 尽管存在着分歧，但有一点是公认的，即对于体积较大的结构，裂缝的尺寸与骨料 + 尺寸比不是很小的时候，此时混凝土结构可以认为是宏观均质材料，线弹性断裂力学是 3 第一章绪论 适用的，而对于较小体积的混凝土试件，非均质的影响较大，断裂韧性足，不是常数， 具有尺寸效应。 一同时，大量的试验结果表明，混凝土受载后其裂缝前端将出现一微裂区，如果微裂 区与结构尺寸相比不可忽视，使整个混凝土体系呈现非线性性能，线弹性断裂力学用于 混凝土断裂研究将有一定的误差。为此，已经有多种非弹性模型被提出，最常用有虚拟 裂纹模型1 5 1 、裂纹带模型帕1 、双参数带模型1 7 1 。而王新友等根据混凝土断裂的具体特点 结合线弹性断裂力学原理提出混凝土等效裂纹断裂模型【8 l 。 到目前为止，含裂缝的混凝土构件的断裂性能的研究已经有了长足的发展。已经由 线弹性范围的研究深入到非线性范围的研究，而且其中有些研究成果已经在工程实践中 得到了初步的应用。但对于含裂缝钢筋混凝土构件的断裂性能的研究还不够普遍和深 入。就象试验方法将对混凝土的抗压强度产生影响一样，对于钢筋混凝土构件，钢筋的 存在也必然将在一定的程度上对混凝土的断裂韧度k 。产生影响。文一j 对 2 0 0 r a m 2 0 0 m m x 2 0 0 m m 和3 0 0 m m 6 0 0 m m x 2 7 0 0 m m 的混凝土和钢筋混凝土直三点弯 曲试件进行测试，得出了钢筋混凝土试件和相同尺寸的混凝土试件的韧度k 。值基本相 同的结论。但是，在实际上，对于钢筋混凝土试件而言，测试所得到的断裂韧度k ，c 值 并非是真正的混凝土的断裂韧度k 。，而是考虑了相应配筋条件下钢筋存在的影响的混 凝土断裂韧度k 。，两者之间是应该有所不同的。正如文1 9 l 所指出的，配筋率大小、钢 筋的直径、根数( 反映钢筋和混凝土之间的粘结力大小) 、钢筋种类以及钢筋和裂纹尖 端之间的距离等一系列因素，都将会对混凝土尖端的断裂性能产生不同程度影响。文l l o j 在此基础上对不同低配筋率的含裂缝钢筋混凝土及混凝土直三点弯曲试件进行测试和 有限元计算，导论配筋混凝土试件中的配筋率p 对混凝土的断裂韧度足，c 的影响。 + 裂缝的存在对钢筋混凝土构件必然引起应力重分布。并导致整个结构承载能力和刚 度的变化。文1 对1 2 根跨中带裂缝的钢筋混凝土试件进行了试验研究，采用了一种新 的单元模拟钢筋和混凝土之间的滑移，用8 结点等参元按断裂力学计算的数值结果与试 验值符合很好，表明线弹性断裂力学在裂缝的尺寸与骨料尺寸比不是很小的条件下，是 适合于钢筋混凝土材料的。 1 2 2 动力部分 在过去的几十年中，裂缝的产生、扩展以及如何检测得到了广泛的研究。裂缝对梁 的动力行为的影响也越来越受到人们的关注。出现裂缝和损伤后，将会减少结构物的局 部刚度，从而改变结构的整体动力特性。对含裂缝结构的动力研究主要是运用于识别结 4 第一章绪论 构的损伤。y u e n “”研究了固有频率口和振型与单元损伤的关系：m a s o u d “”等从理论上 分析了裂缝深度和轴向载荷( 加预应力) 耦合作用对两端固定的梁的固有频率的影响，并 从实验上进行了验证，证明了预应力和裂缝对固有频率的耦合影响是明显的，预应力裂 缝梁问题不能处理成裂缝对固有频率的影响和预应力对固有频率的影响的叠加：w a k e “ 等人讨论了裂缝对一个具有重复模态的振动环的固有频率的影响：c h o n d r o s 和 d i m a r o g o n a s “”用瑞利法分析了裂缝与固有频率和振型变化的关系；o s t a c h o w i e z 和 k r a w e z u k “”用一个悬臂梁来讨论裂缝的相对位置和相对深度对固有频率的影响：沈亚鹏 和唐照千“7 1 探讨了裂缝对悬臂梁板振动频谱的影响，他们用弹性铰模型研究有裂缝悬臂 梁的横向振动，分析裂缝深度和位置对各阶固有频率降低的影响，同时，在研究裂缝板 的横向振动时，以狭裂缝代替裂缝( 认为裂缝宽度对自振频率影响不大) ，用有限元法分 别计算在不同裂缝长度下，边缘裂缝、中心裂缝和根部裂缝悬臂板的各阶频率变化情况， 并与实验结果进行了比较：焦群英“”采用实验模态测量法和有限元法，研究了四周固定 支承的梯形板内裂缝引起的模态参数的变化规律，研究表明裂缝的宽度对固有频率的改 变无明显影响( 实测中将裂缝宽度从0 5 1m m 增大到4 3 7 m m ，固有频率变化最大不超 过1 ) ，而裂缝的长度和方向对板的固有频率则有明显的影响，但对各阶影响不同，当 裂缝位于某阶振型的高应变区时裂缝的存在会引起较大应变能的释放，这时，裂缝对该 阶振型所对应的固有频率有较大的影响，而裂缝位于板的某阶振型的小应变区时，则对 该阶固有频率影响较小，张开银和向木生“”汹在他们的硕士论文中也对梁板结构裂缝位 置、深度和方向等对固有频率改变的影响及其与应变模态和应变能的关系问题作了较详 细的研究，并得出相同的结论；c a w l e y 和何青。”则比较了裂缝和割缝所引起的结构固有 频率的变化情况。 1 3 本文研究内容和目的 随着改革开放的发展，钢筋混凝土结构得到了很大的发展，尤其是高层建筑的出现。 随着生活水平的提高，安全意识越来越强，为此，在知道钢筋混凝土结构的极限承载能 力，尤其是含裂缝结构的钢筋混凝土结构极限承载能力的情况下，有必要知道在一般静 力荷载作用下，含裂缝的钢筋混凝土结构在考虑钢筋作用的情况下的受力情况以及固有 频率的变化。 1 3 1 本文研究的主要内容 1 ) 以钢筋混凝土有限元和线弹性断裂力学以及线弹簧模型为基础，考虑钢筋与混 凝土的线性本构关系，建立含裂缝的钢筋混凝土框架结构的有限元分析模型，并编制了 相应的有限元程序。 2 ) 提出等效裂缝高度的概念，考虑钢筋对裂缝的约束作用。建立含裂缝的钢筋混 第一章绪论 凝土框架结构考虑钢筋约束作用的有限元分析模型。 3 ) 以结构动力学和线弹簧模型为基础，在不考虑钢筋约束作用及不考虑拉弯耦合 的情况下，含裂缝的钢筋混凝土框架结构的固有频率与有关文献用矩阵摄动法求出的固 有频率进行比较，以及和考虑钢筋约束作用及考虑拉弯耦合的情况下，含裂缝的钢筋混 凝土框架结构固有频率的比较。 1 3 2 本文研究的目的 1 ) 对含裂缝的钢筋混凝土框架结构在一般静力荷载作用下的受力分析，在一定范 围内，为一般的钢筋混凝土结构都是带裂缝工作提供理论依据。 2 ) 对含裂缝的钢筋混凝土框架结构，在考虑钢筋约束作用及不考虑钢筋约束作用 的情况下，固有频率的变化为钢筋混凝土结构的损伤提供一定的理论依据，同时引起人 们对钢筋约束作用的重视。 6 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 2 1 概述 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 钢筋混凝土有限元分析，把有限元分析方法和钢筋混凝土力学理论结合在一起，来 研究钢筋混凝土结构的基本力学性能和结构反应的一种分析方法。钢筋混凝土有限元分 析虽然有其特殊性，但与一般的有限元方法一样，其计算步骤可分为三步：结构离散、单 元分析和总体分析 2 2 1 1 2 3 。 2 。2 结构离散 为了解题的需要，应对要分析的结构物进行离散化，把一个连续的实际结构物转化 成离散化的有限元分析模型。这个离散化的分析模型是由有限多个有限大小的构件，在 有限多个结点处相互联系而构成的。 离散化的工作实际上包括了以下三个方厩的内容： 网格划分：选择合适的有限元，划分网格后，将单元和结点编号。单元与单元之间用 结点联结。有限元是以结点的位移作为基本未知量的。 引入位移边界条件：确定支座形式和位置，在位移为零的结点上安置铰支座或链杆支 座。 荷载的移置：对受到外荷载作用的单元，将作用在结构上的实际荷载，按静力等效的 原则转化到单元结点上去，成为等效集中荷载。 2 3 单元分析 单元分析的最终目的是要建立单元结点力和结点位移之间的关系式。 如图2 - 1 所示，以平面刚架中的一个等截面直杆单元为例。2 个自由度，6 个结点。 n 婷e 三秽q n 廿 二二二 杪n 图2 - 1 等截面直杆单元 f i 口一1 u n i f o r ms e c t i o ns t r a i g h tp o l eu n i t 用有限元法推导单元刚度矩阵，结点的位移向量为 7 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 ( 艿) 2 ( 1 h 圮万一q ) 设单元任意点的位移函数为 “( x ) = a t + t h x v ( 力= 色+ a 4 x + a s x 2 + a 6 x 3 转角函数为 o ( x ) = _ d v = a 4 + 2 a s x + 3 吼x 2 “ 其中a i ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a s ，吼为待定参数。 位移边界条件为： 对于i 结点x = o = “( o ) = c 6 e = v ( o ) = a s 谚= 烈o ) = a 4 斌于j 锗点 x = i 写成矩阵形式： 【c 】矩阵的逆矩阵： 虿= “( d = q + 口2 ， = v ( 1 ) = a 3 + a j + a s l 2 + a 6 1 3 = 0 ( i ) = a 4 + 2 a s l + 3 a j 2 刁= lo o 0 o o o olo o 0 o o o1oo l，o o o o 0 01 ，2 ，3 0 0 012 l3 1 2 【c 1 = 古 ，30 f 20 0f 3 00 0 3 1 o2 q 啦 吩 吼 呜 吼 = 【c 】 口 ooo0 0 ，200 oooo ，3000 2 203 l 一，2 ，o 2， 8 ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 则 口 = 【c l 否 用结点位移表示位移函数： = ：二私 = 【s 】 口 = 【s 】【c r l 否 _ 【恫 其中，【】称为位移形函数。 c ，= 麓 = ：。f 。善+ ：善，蟛。一：孝+ 孝：，；：f ：2 孝， 式中， 式中， 应变能表达式： 单元刚度矩阵： x = 三 z “( x ) - 【l 】 刁面d u = ： 否 v ( x ) = 【2 】 刁万d 2 v = m 否 啡 一；。；叫 ( 2 9 ) ( 2 一1 0 ) 0 1 蟛( 善z o j ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) m = 。吾( 2 孝一1 ) 手( 3 f - 2 ) 。1 - 2 善) 手( 3 掌一1 ) ( 2 1 5 ) u = f 扣套2 出+ f 产1 【_ d z v ) 2 出 _ f 扣m ：n 砌融+ f 抑7 m m 船( 2 - 1 6 ) = 三 刁7f 点_ i 7 ： + 日 m 7 斌 江 刁 = 抑7 - 否 9 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 习：婵掣仆舛m 7 m 班 ( 2 - 1 7 ) = 畦跏 u 其中， 【马。】= 【旦：】= e a ， 0 o e a ， o o 【置：】= 【如】 【岛：】= 积分得到单刚度矩阵： 同= e a ， o o oo 3 6 r e i 【2 川2 丁1 2 e i 【2 孝一1 ) ( 3 手一2 ) 丁1 2 e i 【2 纠) ( 3 印) 竽( 3 即) 2 oo 丁3 6 e i ( 2 孝一1 ) ( 1 - 2 掌) 1 2 ，。e i 、 1 2 。( 3 善一2 ) 丁1 2 e i ( 2 善一1 ) ( 3 f 1 ) 罕( 3 即) ( 3 h ) oo 丁3 6 e i ( 1 - 2 。21 2 ，。e i 、i 一2 那孝一1 ) 1 2 e i1 瑚( 3 h ) 孚( 3 洲 丝 o ， o一坐o ， 6 e i ，2 4 e i ， 1 0 o o 1 2 e i f 3 6 e i ，2 o 1 2 e i z 3 6 e i z 2 o 6 e i z 2 2 e i ， o 6 e i ，2 4 e i f ( 2 - 1 8 ) 以一， o o o 锄一r獗一， 姗一r锄一r o 一r锄一r 丝， 一 o 0 一 o o 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 2 4 坐标变换 2 4 1 坐标变化 设单元局部坐标系为而，结构整体坐标系为功，( 如图2 - 2 ) 。 3 x 彳口 图2 _ 2 坐标变换 f i 9 2 2 c o o r d i n a t ec o m m u t a t i o n 一化为融= s i n a j ，y x ) 2 4 2 坐标变化矩阵 设单元在局部坐标下结点位移向量和结点力向量分别为 否 、 否 = 【r _ = 【丁】 f 式中，【t 】为坐标变化矩阵。 【r 】= c o s 口融n 口 一s m 口c o s 口 oo o0 oo oo 2 4 3 整体坐标下单元刚度矩阵 0 o00 000 0 l0 00 0c o s t zs i n 口0 0 一s i n 口c o s 口0 o ool ( 2 - 1 9 ) 刁，则坐标变为 ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 单元局部坐标系下无裂缝结构的单元刚度矩阵为 i ，裂缝的单元刚度矩阵为 万 ，无裂缝结构整体坐标系下单元刚度矩阵为【七】，裂缝的整体坐标系下单元刚度矩 阵为k 】( 见第三章) ，则 【| | 】= 【丁r i r 】 【屯】_ 【丁】7 明【r 】 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 2 5 结构总刚度矩阵与荷载向量 2 5 1 结构总刚度矩阵 设】为第f 个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵( 裂缝单元除外) ，当第j 个单 元正好是裂缝单元的时候，则该单元的刚度矩阵为限】； 点 为第f 个单元的结点位移向量； a 为结构的结点位移向量( n x l ) ，n 为结构总自由度数。 点 = 【q 】 式中，k 】为第f 个单元定位向量矩阵( 6 x n ) 。 结构总刚度矩阵为陋】，e 为单元总数，则 n b r n e 【k 】= 【e 】豫】【g 】= 【k 】 l t lt = l 式中，【k 】为第f 个单元刚度矩阵对结构总刚度矩阵的贡献。 【k 】= 【c j r k 】【c 】 2 5 2 荷载向量 设 p 为结构的荷载向量 p = c + 只 1 2 ( 2 - 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 式中， c 为结点荷载向量； 只 为非结点荷载向量。 2 5 3 结点荷载向量 设 乃 ：为作用在第，个结点上的荷载( 3 1 ) ，万为结点荷载序号； h 为第f 个结点位移向量( 3 x 1 ) ； q 为结构的结点位移向量( n x l ) ，n 为结构总自由度数。 托 = 陋】 ) 式中，【口】为第f 个结点定位向量矩阵( 3 x n ) 。 结点荷载向量为 e ，p 为结点荷载总数，则 n p 】7 - - e p , p a ：耋亿 。 】 ：= 亿 。 式中， e 。为第栉个结点荷载对结点荷载向量的贡献。 2 5 4 非结点荷载向量 ( 2 - 2 9 ) ( 2 3 0 ) 设 见 ：为作用在第，个单元上的等效结点荷载( 6 x 1 ) ，行为非结点荷载序号则 盯 巧 ( 2 - 3 1 ) 式中， 层) 为整体坐标系下的单元固端力向量； _ 为单元局部坐标下的单元固 端力向量。 非结点荷载向量为 ，n f 为非结点荷载总数，则 n f r n = 【c j 】 见) ：= ( 2 3 2 ) n = l n = l4 式中， ) 。为第玎个非结点荷载对非节点荷载向量的贡献。 2 5 5 结构矩阵方程 结构分析最后归为解结构矩阵方程： 【k 】 - - - p ( 2 3 3 ) 第二章钢筋混凝土有限元分析基本过程 式中，【足】为结构总刚度矩阵； p 为荷载向量； a 为待求的位移向量。 2 6 结构内力和反力的计算 2 6 1 结构的内力计算 解结构矩阵方程( 2 3 3 ) ，可求位移向量 ，即可求得各结点的位移；根据单元定 位向量，可求各单元的结点位移向量 万 ；经坐标变换，可求得单元局部坐标下的结点 位移向量 艿 单元局部坐标系下的梁端力向量： _ = 网否 = - 【丁 ( 2 3 4 ) 单元局部坐标系下的固端力向量为 _ ，则单元局部坐标系下结构内力等于梁端力 向量加上固端力向量： 页 = - + 巧 ( 2 - 3 5 ) 2 6 2 结构反力的计算 由式( 2 3 5 ) 可求出单元局部坐标系下的结构内力 i ，经坐标变换，可求得单元 整体坐标系下的结构内力 r ，即可求得各单元的结点内力。 _ 【矸 i ( 2 3 6 ) = 斟 协s 7 ， 式中， 置) 和 弓 分别为单元始端与终端的结点内力( 3 i ) 。 结构的反力等于各单元结点内力之和减去该结点荷载。设第七个结点的反力为 & ，则 瓯 ：兰揪 一 日 ( 2 - 3 8 ) ” 式中，舭为与后结点相连的单元数； p j 为t 结点的结点荷载。 1 4 第三章钢筋混凝土有限元分析基本理论 第三章钢筋混凝土有限元分析基本理论 3 1 钢筋混凝土结构有限元分析模型 用有限元方法来分析钢筋混凝土结构与一般固体力学的有限元分析，在基本原理上 是一样的，但如何进行结构离散，又有其特殊性。根据有限元分析中对钢筋和混凝土关 系的处理，可以将钢筋混凝土结构有限元分析模型分为以下几种方式：分离式、整体式和 组合式阱l 【2 5 】脚】。 3 1 1 分离式模型 分离式模型把钢筋和混凝土各自划分为足够小的单元，钢筋和混凝土之间可以插入 联结单元来模拟钢筋和混凝土之间的粘结和滑移，但若钢筋和混凝土之间的粘结很好， 不会有相对滑移，则可视为刚性联结，这时也可以不用联结单元。这种模型对单元划分 的要求较高，离散工作量和计算规模比较大，对于研究钢筋和混凝土之间相互作用的微 观机理方面有突出的优势。 下面介绍一下这种模型的常用单元： 1 ) 混凝土单元 对于平面问题，混凝土单元可采用三角形单元、矩形单元或八结点四边形等参单元 等；对于空间问题，可采用四结点四面体单元、八结点六面体和空间等参元等。 2 ) 钢筋单元 钢筋单元主要有两种形式：轴力杆单元、梁式杆单元。轴力杆单元只承受轴力，梁 式杆单元又称梁单元，不仅承受轴向力，也承受剪力和弯矩。 3 ) 联结单元 为模拟钢筋和混凝土之间的粘结作用，可采用联结单元，这一点是整体式有限元模 一型无法实现的。在平面问题中，主要采用两种联结单元：双弹簧联结单元和结合面联结单 元；对于空间问题，联结单元可采用三向弹簧联结单元和其他类型的联结单元。采用分离 式模型时，也可不考虑钢筋和混凝土之间的粘结滑移，认为钢筋混凝土之间粘结良好。 3 1 2 整体式模型 当分析的区域较大，受计算机软件和硬件的限制，无法将钢筋和混凝土分别划分单 元，同时人们所关心的计算结果是结构物在外荷载作用下的宏观反应，这种情况下采用 整体式模型比较合适。 在整体式模型中，将钢筋弥散于整个混凝土单元中，并把单元视为均匀连续的材料， 第三章钢筋混凝土有限元分析基本理论 通过配筋率来考虑钢筋对混凝土的增强。这种模型是把钢筋和混凝土包含在一个单元之 中，把钢筋混凝土看作一种新的单一的本构关系来表示材料特征。设混凝土本构矩阵 【砬】，钢筋的本构矩阵为【皿】，则整体式单元的本构矩阵为【d 】： 【d 】= 阻】+ 陋】 ( 3 - 1 ) 式( 3 1 ) 中【乜】为混凝土材料的弹性矩阵，在开裂前可按一般匀质体计算，其表达 式为： 其中： 眨】= 吐3 000 如00 0 如00 0 九00 以50 叱 反t 吃鸭2 而e 而。( 1 - v ) 吐：叫，咆2 而云e i i c 两u ( 3 - 2 ) 九咆。志 随着荷载的不断增加，混凝土开裂，裂缝不断出现，上述计算式应作相应的调整。 式( 3 1 ) 中，【皿】为钢筋的弹性矩阵，其表达式为： 陋】= e n 0 0 0 00 p ，0 0 0 0 p t 0 0 0 o o o 对称0 0 o ( 3 3 ) 整体式模型可采用各种平面单元，如三结点三角形单元、平面矩形单元、四结点或 八结点等参元、也可根据需要采用三维单元。整体式模型的缺点是显而易见的，它无法 揭示钢筋和混凝土之间相互作用的微观机理。 3 1 3 组合式模型 1 6 第三章钢筋混凝土有限元分析基本理论 组合式模型介于分离式和整体式模型之间，当钢筋和混凝土之间的粘结较好，认为 两者之间无滑移时可采用组合式模型。组合式模型是由混凝土和钢筋共同组成，在单元 分析时，先分别求得混凝土和钢筋对组合单元刚度矩阵的贡献，再组成一个复合的单元， 这种模型能在一定程度上反映钢筋和混凝土的相互作用，其有限元离散工作量和计算规 模都不大，即便是大型的钢筋混凝土结构也可以采用，是值得推荐的方法。 目前最常用的组合式模型有两种：一种为分层组合式，这种模型在杆件系统，尤其 是钢筋混凝土板壳结构中应用很广；另一种为钢筋、混凝土组合单元，平面问题中主要有 带钢筋的四边形单元，空间问题中主要有带钢筋膜的各种体元。 1 ) 分层组合式 分层组合式将单元横截面分成许多混凝土层和若干钢筋层，并对截面的应变作出某 些假定( 如应变沿截面高度为直线分布是最为广泛使用的一种假定) ，根据材料的实际应 力应变关系和平衡条件可以导出单元的刚度表达式。这种组合方式在杆件系统，尤其在 钢筋混凝土板壳结构中应用很广。 2 ) 钢筋和混凝土组合单元 在建立单元刚度矩阵时，不但要考虑混凝土材料的作用，而且还要考虑钢筋的刚度 贡献。在单元分析时，先分别求得混凝土和钢筋对组合单元刚度矩阵的贡献，整个单元 的刚度矩阵为： 【k 】= k 】+ 【墨】 ( 3 4 ) 其中【k c 】为单元中混凝土对单元刚度矩阵的贡献；【k 】为单元中的钢筋对单元刚 度矩阵的贡献。这类问题中，平面问题中主要有带钢筋的四边形单元，空间问题中主要 有带钢筋膜的各种体元，另外还有学者提出了混凝土体元和梁元的组合形式。 本文的分析模型中，将采用整体式模型，把钢筋混凝土整体看成一个均匀质量的结 构。 3 2 混凝土的裂缝处理 混凝土最重要的特征之一是它的抗拉强度很低，在很多情况下结构是带裂缝工作 的。混凝土开裂后有效工作断面受到削弱，裂缝的应力释放使得钢筋和混凝土的应力都 要重分布，同时裂缝也引起结构或构件剐度的降低，因此裂缝处理的适当与否是正确地 分析钢筋混凝土结构的关键问题之一。 目前，混凝土裂缝的处理方法很多，常用的有以下几种方法：离散裂缝模型、分布裂 缝模型2 7 1 、以及近年来才发展起来的断裂力学裂缝模型1 2 8 1 。以下仅对工程中常用的离散 裂缝模型和分布裂缝模型及本文所用的线弹簧模型进行介绍。 第三章钢筋混凝土有限元分析基本理论 3 2 1 离散裂缝模型 在前期的有限元分析中，为了便于处理，在划分有限元网格时可预先确定裂缝的位 置和方向。对于单向裂缝，在同一位置设两个结点，裂缝出现前，两个结点具有相同的 位移，相当于一个结点；开裂后解除两个结点的位移约束关系，使两个结点具有独立的 位移，同时释放两结点之间的作用力，从而形成一条裂缝。 改进的离散裂缝模型是在裂缝两面的相应结点之间加入联结弹簧，用两个弹簧加以 联结，一个弹簧平行于缝面，另一个弹簧垂直于缝面。当混凝土单元内的拉应力低于抗 拉强度时，这些联结弹簧处于弹性工作状态，代表着正常的混凝土。当单元内拉应力达 到混凝土的抗拉强度时，即降低弹簧的刚度，以便裂缝能张开。弹簧内保留较低的刚度， 以代表裂缝内混凝土骨料的咬合作用。这种带弹簧的离散裂缝模型有两个优点：1 ) 裂缝 产生以后，只需要改变联结弹簧的刚度系数，不必增加新的结点，因此不必修改计算网 格，计算上比较方便；2 ) 可用联结弹簧反映裂缝面上骨料的咬合作用。 离散裂缝模型的最大缺点是必须事先知道裂缝的位置和方向，以便划分有限元网 格。除了特别简单的结构和受力方式，很难事先准确的知道裂缝的位置和方向，因此这 种裂缝模型在实际问题中用的很少。 离散裂缝模型的另一种应用方法是采用单元的重划分技术。根据计算一旦出现新的 裂缝，就重新对结构进行网格划分，使裂缝处于单元和单元边界之间。应用这种方法， 裂缝的产生和发展可以很自然的得到描述，甚至于裂缝的宽度也可以经过适当的运算加 以确定。但是，单元重划分的工作量非常繁重，即使是计算机也是很费时费力的，因此， 这种方法仅仅在研究少数裂缝对结构的影响时才会采用。总之，网格的重划分技术使得 离散裂缝模型在实际中的应用有了一定的扩展。 3 2 2 分布裂缝模型 分布裂缝模型不是直观的模拟裂缝的形状，而是在力学上模拟裂缝对结构刚度的减 弱效果，在建立单元刚度矩阵时，考虑裂缝的影响。显然，裂缝的主要影响是在裂缝表 面上不能再承受拉应力，但在平行于裂缝的方向，还是可以继续承受拉应力的。分布裂 缝模型假定在单元内产生了无限条平行的裂缝，得到材料呈现正交异性特征。在垂直于 裂缝的方向，弹性模量等于零：在平行于裂缝的方向，仍然保持原来的弹性模量：为了反 映骨料的咬合作用，在平行于裂缝的方向上，保留一比较小的剪切模量。 分布裂缝模型的优点是不必事先知道裂缝的位置和方向，采用荷载增量法，根据实 际应力状态自动决定裂缝产生的位置和方向，计算完全自动化。它的缺点是无法考虑钢 “筋的暗楔作用和混凝土对钢筋的握裹力作用。与离散裂缝模型相比，分布裂缝模型使用 起来要方便得多，因此在实际分析中得到了广泛的应用。 3 2 3 线弹簧裂缝模型 1 ) 建立裂缝单元的刚度矩阵 1 8 第三章钢筋混凝土有限元分析基本理论 把裂缝看成一个长度为零的单独单元，如图3 1 所示，线弹簧模型”“及其两端力 的大小和方向。 冉r 口n 豫7 b 圈3 一i 线弹簧模型 f i 酉一1l i n e s p r i n gm o d e l 在不考虑裂缝引起的拉弯耦合作用时，线弹簧模型的刚度矩阵可以通过等效应变能 u 来确定。线弹簧中应变能1 j 可以表示为： u = 1 2 r + 1 2 q 少+ 1 2 m o ( 3 5 ) 其中 e = e = f ，q l = q 2 = q ，m l = 鸠= m ( 3 6 ) 石；屯一葺，y = y 2 一月，0 = 岛一b ( 3 7 ) 其中：x , y , r 分别为弹簧两端水平变形、垂直变形和转角。根据文献1 获得 f = 1 以x ，q = i j ，m = 1 厶。0 ( 3 8 ) 其中 1 a f t x - - 2 b ( 1 - v 2 ) e f ( k ，f ) 2 d a 1 j t y = 2 b 0 一v 2 ) e r ( q ) 2 d a l 口= 2 6 ( 1 一v 2 ) e r ( 蜀。m ) 2 d a 其中e 是弹性模量，v 泊松系数，b 是梁或柱的宽度即也是裂缝的宽度，a 是裂缝 的长度。 k ，= ，芹口f ( 善) o 善1 0 ( 3 9 ) 其中 哆( 孝) = 1 1 2 0 2 3 1 f + 1 0 5 5 孝2 2 1 7 2 尹+ 3 0 3 9 尹