（基础数学专业论文）最高阶元对有限群结构的影响.pdf

最高阶元对有限群结构的影响 学科专业：基础数学研究方向t 有限群论 指导教师t 陈贵云教授研究生- 何承春( 2 0 0 1 2 7 1 ) 摘要 设g 为有限群。霄| ( g ) 表示群g 中元素阶的集合，k 是n ( g ) 中的最大值，n 为g 中 k 阶循环子群的个数1 是一个自然数，m i ( g ) 是g 的阶元素的集合s c c ) = m k ( g ) t ( a ) 表示g 的索图分量个数，即g 的索图中连通分支的个数h x k 表示日和k 半直积 本文证明了下面两个定理 定理1 1 若i j i f ( g ) i _ 2 m ，( m ，3 0 ) = i 。则g 是可解群 定理2 1 令磊为g 中k 阶循环子群若l m ( g ) i = 2 舶( 5 q 4 k , i h i = 铲( 2 p + 1 ) ，p = 2 t 一1 ，r ( g ) = 2 ，2 p + l ( 2 ) g 为2 - f r o b e n i u s 群，g 有正规列h 璺k 璺g ，使l h i = 2 t 一1 ( 印+ 1 ) m ， i g k l = 2 4 、当竹= p q , k 4 时( 若 = 6 ，贝4 设t ( g ) 2 ) ，则g 为下列之一 ( 1 ) = 3 ，g 为f r o b e n i u s 群，g = 日k ，h i = 2 ，i k i = 3 ”，并且蜀为初等 a b e l 群； ( 2 ) k = 3 ，g 为3 - 群，i g | = 3 ”，且群g 最高阶元的个数为2 p q 的充要条件是 2 p q = 3 ”一1 ： ( 3 ) k = 6 ，g 为f l i o b e n i u s 群。g = h k ，l k i = 5 ，i 刎= 2 i 3 ”，p q = ( 2 ”一1 + + 2 + 1 ) ( 3 。一1 十十3 + 1 ) ； ( 4 ) k = 6 ，g 为2 - h o b e n i u s 群，g 有正规列h 璺k 宴g ，使1 日l = 2 1 矿， i g k i = 2 问题t 2 1 、( 1 ) 当n = a = 2 ( 幻+ 1 ) ，g 为2 - p r o b e n i u s 群， 1 日i = ( 2 q + 1 ) ”2 i ， 1 g k i = 2 时，则群g 的结构怎样? ( 2 ) 当n = bk = 2 ( 幻+ 1 ) ，t ( c ) = 1 时，群g 的结构怎样7 类似的当n = q 时，有两个问题 2 、( 1 ) 当n = 甄i = 2 ( 助+ 1 ) ，g 为2 - f i o b e n i u s 群，l h i = ( 2 p + 1 ) 。2 t ， i g i k l = 2 时，群g 的结构怎样? ( 2 ) 当n = q ，k = 2 ( 印+ 1 ) ，t ( c ) = i 时，群g 的结构怎样? 3 、当n = 册时 ( 1 ) 如果= 6 ，g 为2 - 1 n o b e n i u s 群，i h l = 2 u _ 1 3 ”，i g k i = 2 ，i k h i = 5 ，群 g 的结构怎样? ( 2 ) 如果女= 6 ，t c a ) = 1 ，群g 的结构怎样? ( 3 ) 如果k = 4 ，群g 的结构怎样? 关键调；有限群i 可解群ff r o b e a i m 群；2 - f r o b e r d u s 群l 索图；阶；素数 3 t h ei n f l u e n c eo fe l e m e n tw i t hm a x i m a l0 r d e ro nt h es t r u c t u r eo f f i n i t eg r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：t h et h e o r yo f f i n i t eg r o u p s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e n a u t h o r ：c h e n gc h u nh e a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u p d e n o t eb y 亿( g ) t h es e to fa l lo r d e r so fe 1 日t 8i n g ，ki st h e m a x i m a ln u m b 印i n ( g ) ，t li st h en u m b e ro fc y c l i cg r o u p sw i t ho r d e rki ng ，i san a t u r a l n u m b s ，d e n o t eb y 脑( g ) t h e s e to fe l e m e n t sw i t ho r d e rli ng ，m ( g ) = 晒 ( g ) d e n o t e b yt ( g ) t h en u m b e ro f p r i m eg r a p hc o m p o n e n ti ng 牙爿i sbs e m i d i r e c tp r o d u c to f 日a n dk l e tp b ea p r i m e ，p l g im e m q s 一| i g ia n d 一+ 1 朋g i i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h ef o l l o w i n gt w o t h e o r e m s ： t h e o r e m l 1l e t im ( g ) l _ 2 m ，( m ，3 0 ) = 1 ，t h e n t h ef i n i t eg r o u pga r es o l v a b l e t h e o r e m2 1l e t 级b et h ec y c l i c s u b g r o u po fo r d e rki ng i f | m ( g ) l = 2 p q ( 5 q p ，p a n dqa r ed i s t i n c tp r i m e s ) ，w ec a ns u p p o s ei g i = 掣3 ”( 2 q 十1 ) ”( 2 p + 1 ) ”l ，( 1 ，6 ( 2 q 十1 ) ( 2 p 十1 ) ) = 1 ，t h e n i 、w h e nn = 1 gi so n eo f t h ef o l l o w i n gg r o u p s ( t ) g = 磊，i e gi sc y c l i cg r o u p so fo r d e rk ，w h e r ek = 2 ( 2 口+ 1 ) 2 ， = 0 ，1 tp = 2 q + 1 a n d2 q 十1i sap r i m e ，o r k = 斧( 2 p q + 1 ) ，e = 0 ，1 ，2 p q + 1i sa p r i m e ； 4 ( 2 ) g = ，n = 1 ，护= d 。，b - x a b = 矿，w h e r e 一兰l ( m o a k ) ，t ( r 1 ) io ( m o d k ) ，9 1 2 p g ，= 2 e ( 幻+ 1 ) 2 ， e = 0 ，1 ，p = 2 q + 1i sp r i m e o rk 铲( 印q + 1 ) ，= 0 ，1 ，2 p q + 1i s ap r i m e ； 2 、i f 竹= p ( b u t w h e n = 2 ( 2 q + 1 ) ，l e t t ( g ) 2 ) ， t h e n g i s o n eo f t h e f o l l o w i n g g r o u p s ( 1 ) k = 2 q + 1 ，t ( a ) = 1 ，a n d gh a s2 p qe l e m e n t so f m 咖“o r d e ri f a n do n l y i f p = ( 2 q + 1 ) ”一1 + + ( 2 q + 1 ) + 1 i sap r i m e ”i sa no d dn u m b e r ； ( 2 ) = 2 q + 1 ： g i sap r o b e n i u sg r o u p ，g = hx 墨i h l = ( 2 q + 1 r ，i | | 2 q ，p = ( 2 q + 1 ) 卜1 + + ( 2 q + 1 ) + 1 逸& p r i m e , v 3 ，封i s 8 n o d dn u m b e r 。e s p e c i a 【l y , w h e n2 仉( k ) ，hi sa ne l e m e n t a r ya b e l 觚g r o u p ； ( 3 ) k = 2 ( 2 q + t ) ，g i sa p r o b e n i 璐g r o u p g = h ki i = 2 ”( 2 口十1 ) 9 ，p = 2 ”+ 1 a j l d2 “十1 ， = 1 ，0 1 p = ( 2 口+ 1 ) 。一1 + + ( 2 q + 1 ) + 1 ，札= 1 ； ( 4 ) k = 2 ( 2 q + 1 ) ，g i sa2 - f m b e n i u sg r o u p w i t hn o r m a l8 e x i e s gkg g ，8 t 旧i = ( 2 q + 1 ) ”铲，a n d i g k i = 2 3 、i f 竹= q t h e n t h e m s x j m a l o r d e rko fe l e m e n t s i n g i se q u a l t o2 ( 2 p + 1 ) a n d w h e nt ( a ) 2 ，gi so n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ( 1 ) g i s 8 p r o b e n i u sg r o u p ，g = ) 喀k ，i h i = 2 ”( 2 p + 1 ) ，p = 2 ”一1 ，丌( g ) = 2 ，2 p 十1 ( 2 ) g i s 2 - f r o b e n i 璐g r o u p w i t h n o r m a ls e r i e s h 宴k 曼g ，s t 1 h i = 2 “一1 ( 2 p + 1 r ， a n dl a k l = 2 4 、i f n = p 口，k 4 ( b u t w h e nk = 6l e t t ( g ) 2 ) ，t h e n g i s o n eo f t h e f o l l o w i n g g r o u p 8 ( 1 ) 七= 3 ，g i sp r o b e n i u sg r o u p ， g = 日k ，1 日l = 2 ，i k i = 3 。，a n dk j sa n e l e m e n t a r ya b e l i a ng r o u p ； ( 2 ) k = 3 ，g i s3 - g r o u p ，i g i = 3 。，a n dg r o u pgh a s2 p qe l e m e n t so fm a x i m a lo r d e r 5 i f a n do n l y i f 2 p q = 3 ”一1 ： ( 3 ) k = 6 ，g i sf r o b e n i u sg r o u p ，g = hxk ，i k i = 5 ，i h l = 2 3 ”，p q ( 2 “一1 + + 2 + 1 ) ( 3 ”一1 + + 3 + 1 ) ； ( 4 ) k = 6 ，g i s2 - f r o b e n i u sg r o u pw i t hn o r m a ls e r i e s 日望k 璺g ，s t i h i = 掣一1 3 ” g k l = 2 q u e s t i o n ： 1 、( 1 ) i f n = p ，k = 2 ( 2 q + 1 ) ，g i s2 - f r o b e n i u sg r o u p ，i h l = ( 2 q + 1 r 铲_ 1a n d l g k l = 2 。w h a t i s t h es t r u c t u r e o f g r o u p g ? ( 2 ) i f n = p ，k = 2 ( 2 q + 1 ) a n d t ( g ) = 1 。w h a t i s t h es t r u c t u r e o f g r o u p g ? 2 、( 1 ) i f n = q ，= 2 ( 2 p 十1 ) ，g i s2 - f r o b e n i u sg r o u p ，| 日l = ( 2 p + 1 r 2 u _ 1 a n d i a k l = 2 ，w h a t i st h es t r u c t u r eo fg r o u pg ? ( 2 ) w h e nn = 口，七= 2 ( 2 p + 1 ) a n d t ( g ) = 1 ，w h a t i s t h e s t r u c t u r eo f g r o u p g ? 3 、i f n = p q ( 1 ) i fk = 6 ，g i s 2 - f r o b e n i u sg r o u p ，i h i = 2 1 _ 1 3 ”，i g k l = 2a n d i k h i = 5 ， w h a ti st h es t r u c t u r eo fg r o u pg ? ( 2 ) i fk = 6a n d t ( g ) = 1 ，w h a t i s t h es t r u c t u r e o f g r o u p g ? ( 3 ) i fk = 4 ，w h a t i s t h es t r u c t u r eo f g r o u p g ? k e y w o r d sf i n i t eg r o u p ；s o w b l eg r o u p ； f r o b e n i u sg r o u p ；2 - f r o b e n i u sg r o u p ； p r i m eg r a p h ；o r d e r l p r i m e 6 前言 本文所讨论的群均为有限群，未经声明所使用的符号及术语都是标准的在 本文中约定t巩( g ) 表示群g 中元素阶的集合，k 是丌e ( g ) 中的最大值， n 为 g 中k 阶循环子群的个数1 是一个自然数，r ( 1 ) 是z 的相异素因子的集合。 ”( g ) = ”( igi ) 晒( g ) 是g 的l 阶元素的集合，m ( g ) = m k ( g ) m ( g ) 是由g 的所 有z 阶元素所生成的子群，即m ( g ) = ，n ( g ) = 肌+ s v l p ( c ) 表示g 的勖l o w p 一子群的集合。b ( g ) 是g 的个r - s y l o w 子群，简记为p r ，r w ( g ) 毋 ) 为欧拉函数h k 表示日和k 半直积。f t l l g i 表示f l l g i 但一+ 1 朋g | 1 9 8 7 年f i e l d s 奖获得者j g t h o m p s o n 提出如下两个猜想； 猜想一t 设g 是有限群。z ( g ) = 1 ，l ( g ) = “e n ig 有共轭类c ，8 t icl - 1 ) 若m 为非a b e l 单群，l ( g ) = l ( m ) ，则g 望m 猜想二t 设g l 和岛是有限群，i 尬( g 1 ) i = i m d g 2 ) i ，i = l 2 若g 1 可解， 则g 2 可解 猜想一由陈贵云教授于1 9 9 4 年证明了对素图不连通的单群是成立的 对猜想二，目前还没有有效方法得出系列结果，但在文1 、【2 l 、【3 1 、【4 l 、 【5 】、【7 】中，通过研究最高阶元的个数对有限群可解性的影响，从个侧面对猜想 二在一些特殊条件下进行了研究文【1 1 1 证明了当lm ( g ) i 为2 。奇数，2 p ( p 为 索数) 或妒( ) 时。g 为可解群；文f 2 l 证明了jm ( g ) l 为8 的有限群是可解群； 文【3 】证明了fm ( g ) i 2 0 的有限群是可解群；文【4 】证明了im ( c ) l = 2 矿( p 为 素数) 的有限群是可解群；文【5 】证明了im ( g ) | _ 3 0 的有限群是可解群；文 7 l 证 明了fm ( g ) 2 p q ( 5 p q , p ，q 是素数) 的有限群可解这些研究结果有助于猜 想二的解决，因为如果有限群的最高阶元个数相同就能够得出有限群的可解性， 那么满足对一切i ，i 尬( g 1 ) i = l 舰( c 2 ) 1 ，有限群g 1 可解。也能够得出g 2 可解 在最高阶元对有限群结构的影响这方面，过去得出的结果一般只证明了可解 7 性，陈贵云教授对最高阶元个数为3 0 的有限群首次从结构的角度进行研究。并得 出了完整的结构 这篇学位论文首先9 , 1 高阶元的个数对有限群可解性影响的角度进行了研究 并得到 定理1 1 若im ( g ) 卜= 2 m ，( m ，3 0 ) = 1 ，则g 是可解群 然后我们希望继续研究最高阶元个数为2 p q ( 5 口 p p ，q 是素数) 的有限群 的具体结构并得到， 定理2 1 令磊为g 中k 阶循环子群若lm ( g ) l _ 2 p q ( 5 q q k ，1 日i = 2 ( 2 p + 1 ) ，p = 铲一1 ，7 r ( g ) = 2 ，2 p + l ( 2 ) g 为2 - f r o b e n i u s 群，g 有正规列h 翼k 璺g ，使1 日l = 2 u - 1 ( 2 p + 1 ) ”， i g k i = 2 4 、当n = p q ，4 时( 若= 6 ，则设t ( a ) 2 ) ，则g 为下列之一 ( 1 ) k = 3 ，g 为p t o b e n i u s 群，g = h k ，1 日i = 2 ，i k i = 3 ”，并且k 为初等 a b e l 群； ( 2 ) = 3 ，g 为3 - 群， g i = 3 ”，且群g 最高阶元的个数为2 p q 的充要条件是 2 p q = 3 。一1 ： ( 3 ) k = 6 ，g 为f r o b e n i u s 群，g = h el k i = 5 ，i h l = 掣铲，p q = ( 2 。一1 + + 2 + 1 ) ( 一1 + + 3 + 1 ) ； ( 4 ) k = 6 ，g 为2 - f t o b e n i u s 群。g 有正规列h 璺k 里g ，使1 日i = _ 1 3 ”， i g k i = 2 9 第一节 最高阶元素个数为2 m ( ( m ，3 0 ) = 1 ) 的有限群 在本节，我们证明了下面的定理i i 定理1 1 若im ( g ) f - 2 m ，( m ，3 0 ) = 1 ，则g 是可解群 注：下面为了证砚表述上方便，我们记m 一才露。一跨，趣- o 穰 5 ，为整 数，a 为素数，i = 1 ，2 ，8 下面是定理1 1 的具体证明t 定义1 1 【1 】设1 h s g ，h 称为g 的r 全子群，如果h = 。 且j m 。( 。( 印) 可迁地作用在 4 ( 日) 上，此时记为巩。一，g 引理1 1 c 1 】设d h 为g 中h 阶循环子群的个数，则im h ( g ) b 出庐( ，特别地 im ( g ) 】= n 庐( ) 引理1 2 1 1 i 如果i m ( g ) l = 咖( ) ，则g 超可解 引理1 3 【1 l 设1 hsg ，日一 如果i 珥( 日) i - 口 z ( n g ( h ) c c c h ) ) ，则丑毒+ g 若口= 2 ，则n n ( n g ( h ) ) 二重可迁地作用在坼( 日) 上 引理1 4 设g 是一个群。 r 扎( g ) ，r = r t r 2 ，( r l ，r 2 ) = 1 ，1 1 时。可设口l = p l ，进而d 1 = 1 1 十1 ，口l = 2 卯一稿+ 1 ，k = 2 6 ( 2 蹬矽+ 1 p “，其 中p l = 弼一材+ 1 为素效；当6 i = 1 时，有g i = 料1 毋劈+ 1 ，膏= 笋( 卒堙砖十 a ) x = 0 ，1 其中2 卯圩稿+ 1 为素数 2 ) 显然 引理1 7 若j m ( g ) | _ 2 世艿2 一店，”= 1 ，则g 为超可解群； b ) 若i m ( g ) | _ 2 露1 癌2 p 口，n = 2 耀t p 字碟，则g 不存在 证a ) 由引理1 6 及引理1 2 知g 超可解； b ) 由引理1 6 知k = 2 ，g 只能为初等交换2 - 群，从而g 中2 阶元个数 为2 ”一1 0 为正整数) 不等于钟1 烤2 赡，矛盾 引理1 8 若lm ( g ) i - 研1 谬砖，n = 毋纾毋 1 ，并且n 5 ，a 为素数， ；= 1 ，2 ，s ，则g 为可解群 证：由引理1 6 知。女= 4 或2 口1 或2 e 卯“，其中9 1 = 2 西1 p 于p + 1 为素 数，p l = 2 p 尹p + 1 为素数，= 0 ，1 当 = 4 时，群g 显然可解； 当女= 擎口l 或2 卯+ 1 时，毋( ) = 2 卯背力设d g ，o ( a ) = k 。则( n ) 是忙，口1 卜群或是伊，p l 卜群其中e = 0 ，1 于是可以设lc 台( ) l = 2 口彳或 1g 台( ) i = 2 6 p 叶，其中6 o 池町 0 因l g l = i g ：g ( ) l l g ( ) ：蚀( ) i l 国( ) l 令lg ：g ( ) | _ l ，则由假设有l 祈1 毋毋，又由( ) g g ( ) a u t ( ) 知，i g ( ) ：( ) 川a u t ( ) i ，即i g ( ) ： g g ( ) 忡( 蛉= 2 卯卯一弦， 于是lgj 1 2 口十1 砖1 堙砖稚或igi l 卅1 卯押圩矽l( + ) ，其中 f = l g ：0 ( ) i 如果3 水，5 艉，则( 1 5 ，i a l ) = 1 ，由文【6 】的定理5 4 知。g 可解 下证zg 必含阶循环子群，使得( 1 ，1 5 ) = 1 设 ， ， 是g 的z 一诤诤个阶循环子群，作共轭分 类，按共轭类的长度能被1 5 ，5 ，3 整除或其它情形归为四类设共轭类的长度 被1 5 整除的共轭类有研类，能被5 整除并且不能被3 整除的有岛类，能被3 整 除并且不能被5 整除的有岛类，其它情形的共轭类所含循环子群的个数为向。则 1 5 ( u i + t 2 + + 札。1 ) + 5 ( 1 + 也+ + t ，船) 十3 ( 叫1 十叫2 + + 埘鼬) + ，0 = 钟1 诤t p 争， 其中1 5 u j ，5 ，3 嘶。为相应共轭类中女阶循环子群的个数， = 1 ，2 ，s l ；j 2 = 1 ，2 ，s 2 ；j 3 = 1 ，2 ，8 3 记u 0 = u l + t 妇+ 十t b l ，啪= 口l + t 】2 + + 2 ，叫o = 叫l + 2 + + 5 3 ，故 1 5 u n 5 v o 十3 w o + 知= 蠹曲磺 ( i ) 若，0 0 ，此时至少存在一个k 阶循环子群，不妨设为 ，使得 lg ：g ( ) i _ z ，且3 胛，5 水，于是g 可解 ( i i ) 若，0 = 0 ，即1 5 咖十5 如+ 3 w o = 醒1 纾毋，因为a 5 ，1 t 8 ，所以 如 o 0 因此至少存在一个 阶循环子群 。使得lg ：舀( ) l = 5 1 1 且3 朋1 ；同时也至少存在一个阶循环子群 ，使得ig ：0 ( ) i = 3 t 2 且 5 刀2 对 ，由( + 减有ig l 垆+ 1 蹦1 砰谚舶或jg 妒+ 1 嘲1 押饽p 1 l z ， 因而g 有5 阶元而无3 阶元；对 ，由( + ) 式有i g | | 铲十1 3 讲1 砰西酲j 2 或i g | | 2 6 + 1 埔十叶酽曰z 2 ，从而g 有3 阶元没有5 阶元。两者产生矛盾 1 2 引理1 9 若i m ( g ) i = 2 p ? t 缉2 霹，n = 衍1 窿2 砖，a 5 ，a 为素数，戗o ，啦 为整数，t ：1 ，2 ，s ，则g 为可解群 证：此时咖( k ) = 2 用反证法假设g 是不可解群，则必有5 7 r ( g ) ，故 k = 6 因此 ( 1 ) ( g ) = 1 ，2 ，3 ，5 ，6 ) 或( 2 ) 仉( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ， 若7 r e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，5 ，6 ，则由引理1 5 知群g 可解，与假设矛盾 若( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 。则im ( g ) i 2 开1 圬2 一瞬，矛盾手假设im ( g ) | - 2 疗1 跨2 赡。 因仉( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ，由文i s l ，g 同构于下述类型之一t ( i ) s 5 ；( i i ) 瓯；( i i i ) g 0 2 ( g ) = a s i | d 2 ( g ) i = 2 “，e 印( g ) ) i 4 ( a ) 若g g & ，则i m ( g ) i = 2 0 = 2 2 5 2 p ? 1 西2 p ； ( b ) 若g 垡岛，则im ( g ) i = 1 2 0 = 2 3 x 3 5 2 p 0 1 p 尹孵； ( c ) 若g 0 2 ( g ) = 5 ，则ib ( g ) i = 3 ， r g ( p 3 ( g ) ) g b ( b ( g ) ) sa u t ( 3 ( g ) ) = 面若n g ( p a ( g ) ) = c z ( p 3 ( a ) ) ，则g 可解。矛盾干反假设若in a ( p 3 ( g ) ) i c g ( p 3 ( g ) ) 2 设r = 3 ，a 一2 。由引理1 3 知马( g ) ”一，g ，i n n ( n g ( 玮( g ) ) ) 可迁地作用在 m 3 ( p 3 ( g ) ) 上，于是有i n n ( g ) 可迁地作甩在慨( p 3 ( g ) ) 上，结合s y l o w 定理知， i n n ( g ) 可迁地作用在地( g ) 上k = 3 2 ，设r 1 = 3 ，r 2 = 2 由引理1 4 ，i m ( g ) i = l m z ( g ) i im 2 c c o ( a ) ) i ，其中口p z ( g ) ，口1 ，从而im ( g ) i = 2 n lim 2 ( c a ( , o ) l 。其 中n 1 表示g 中3 阶循环子群的个数如果p 3 ( g ) 是g 的正规子群，则g 可解矛 盾于反假设，所以p 3 ( g ) 不是g 的正规子群，n 1 1 ，因为i m ( g ) i = 2 衍1 癌。露 ，所以n 1 i 卵1 窍2 p 争因为| p z ( g ) i = 3 ，所以g 的3 阶子群为g 的3 - s y l o w 子群 从而由s y l o w 定理有n l = l g ： b ( p 3 ( g ) ) g l ，即g 有大干6 阶的元。矛盾 由引理1 7 ，引理1 8 ，引理1 9 可得如下定理： 定理若i m ( g ) i = 2 m ，( m ，3 0 ) = 1 ，则g 是可解群 1 3 第二节 最高阶元素个数为咖 q 5 ) 的有限群的结构 定义2 1 | l o 设g 为有限群，g 称为2 - f r o b e n i u s 群，如果g 有正规列g c 一 k e 日21 ，使得g h 和耳是分别以酬日和日为n o b e n i u s 核的p r o b e n i u s 群 定义2 2 1 1 1 】设g 是有限群，以 g i 的素因子作为顶点，当且仅当g 有p 口阶元 时，顶点p 与q 之间有一条边，称为g 的素图，记为r ( g ) 素图中的一个连通分 支称为g 的一个素图分量。记为仉( g ) ，忙1 ，2 ，筒记为仉，当g 为偶阶群时， 约定2 ”1 ( g ) t ( g ) 表示素图分量之集，t ( g ) = ，r l ( g ) ，丌2 ( g ) ，) 素图分量个 数记为t ( g ) ，即g 的索图中连通分支的个数i g l 在丌( g ) 中的因子称为g 的第i 个阶分量 定义2 3 1 2 | 设9 1 ，( 8 ，9 ) ：1 ，使一三1 ( m 。由) 成立的最小正整数d 称为a 对 模9 的指数( 阶) 把它记作6 ( a ) 定义2 4 1 1 2 】当岛( 8 ) ：咖0 ) 时，称口为模g 的原根 引理2 1 设g 是有限群，i m ( c ) i = 细0 q 5 ) ，p ，q 为素数，则n ，妒( ) 和 k 的值有如下关系； 1 m = 1 ，咖( ) = 2 p q ，k = 矿( 2 口十1 ) 2 ，p = 2 q + 1 为素数，= 0 ，1 ，或女= 箩( 2 p 叮十1 ) ， 其中2 p q + 1 为素数。= 0 ，1 ； 2 ) n = p ，咖( ) = 2 9 ，自= 2 ( 2 q 十1 ) 其中2 口+ 1 为索数，e = 0 ，1 ； 3 ) n = 儡咖( ) = 2 p ，k = 斧( 2 p + 1 ) 其中印+ 1 为素数，= 0 ，1 ； 4 ) n = 瑚，k = 3 ，4 ，6 ； 5 m = 咖，k = 2 证明：由引理1 1 及妒( 女) 的性质，通过计算可得n ，( 女) 和k 的取值 引理2 2 f 1 2 i 模口有原根的充要条件是9 ：1 ，2 ，4 ，矿，2 旷，其中l o 是奇索数， 1 4 n21 引理2 3 【1 2 】设g 1 ，模g 的既约剩余系能表为：e 0 , e 1 ，一0 ) ，这里e 为某 一正数。当且仅当模g 有原根 引理2 4 1 7 j 设g 是有限群，lm ( g ) 1 = 2 p 口p q 5 ) ，p ，口为素数，则g 为可解 群 引理2 5 1 1 q 循环群的自同构群是交换群，无限循环群只有两个自同构，a u t ( z ) 型 z 2 ，有限循环群砀有妒( 1 ) 个自同构，( a 讲( z j ) 同构于与l 互索的m d d f 的同余类乘 法群 引理2 6 1 1 目设9 ，h 2 为正整数，g 是h 阶循环群n 被9 阶循环群f 的扩 张则g 有如下定义关系： g = ，矿= 1 ，护= 扩，b 一1 0 h = 矿，其中参数g ，k t ，r 满足关系式t 一三1 ( m o d ) ，( r 一1 ) eo ( m 甜 ) 引理2 7 1 1o 】设g 可解，t ( g ) 2 ，则g 为下列之一； ( a ) g 为f r o b e n i u s 群；( b ) g 为2 - f r o b e n i u s 群。且恰有两个索分量。其中一个 恰由g 的f r o b e n i u s 补的阶的素因子组成 引理2 8 【13 】设g 是关于子群k 的f r o b e n i u s 群，i g l = l ，i g ：g l = h ，则 ( 1 ) 1 日i = h ，l a l = h ，且ll h 一1 ，因此，k 和h 都是g 韵h “子群 ( 2 ) 设g = k u k c 2 u u k q 是g 是关于k 的右陪集分解。则g = h u u j p u u k “，且其中任二子群的交均为1 ， 引理2 9 1 1 0 l 设g 是胁b e n i 璐群或2 - f r o b e n i u s 群，则f ( g ) = 2 引理2 1 0 f 圳f r o b e n i u s 群g 的n o b e n i l l s 核是幂零群 引理2 1 1 1 1 q 设g 是偶阶n o b e n i m 群，日是f r o b e n i u s 核，k 是f r o b e n i u s 补 1 5 则t ( c ) = 2 ，t ( g ) = ，r ( 日) ，”( k ) ，且g 的结构为下列之一t ( 1 ) 若2 ”( 日) ，则k 的s y l o w 子群循环； ( 2 ) 若2 7 r ( k ) ，则日是a b e l 群当耳可解时，的奇阶s y l o w 子群循 环，2 - s y l o w 子群为循环群或广义四元数群；当不可解时，存在k 0 k ，使得 1 k ：k o i 2 ，k 0 型z x s l ( 2 ，5 ) ，( i z l ，3 0 ) = 1 ，。z 的s y l o w 子群循环 引理2 1 2 【1 q 设g 是偶阶2 - n o b e n i u s 群，则t ( g ) ：2 ，且有正规列1 璺日里k 望g 。 使”( j 叫h ) = 丌2 ，7 r ( 日) ui r ( g k ) = ，r l ，j g k ii i a u t ( k h ) i ，g k 和叫日均为循 环群特别i c k l i k h i ，g 可解 引理2 1 3 1 1 q ( b u r n s i d e ) 设g 是f r o b e n i u s 群，k 是它的f r o b e n i u s 补，则k 的任意s y l o w 子群或循环或为广义四元数群 引理2 1 4 1 1 1 l 设g 是f b b e n i u s 群，k 和日分别是g 的f r o b e n i 岫补和f r o b e n i i l s 核，则耳依共轭变换在日上的作用是无不动点的反之，若非平凡群耳无不动 点地作用在非平凡群日上则半直积s = h x k 是f r o b e n i u s 群，其中k 和日分 别为s 的f r o b e n i u s 朴和f r o b e n i u s 核 引理2 1 5 1 1 q 设g 是丌- 可分群，则 ( 1 ) g 的 - h a l l 子群和 - h a l l 子群总是存在的； ( 2 ) 只要的所有1 r - h a l l 子群或所有。h a l l 子群是可解的，则g 的所有月- - h a l l 子群共轭并且g 的所有w - h a _ l l 子群也共轭； ( 3 ) 在( 2 ) 的假定下，g 的任一n 子群都包含在某一_ ，r - h a l l 子群之中， 并且对”一子