（基础数学专业论文）关于一类缺项负系数单叶解析函数族的若干子类.pdf

u ns o m es u b c l a s s e so lae l a s so t j _n d v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i (w i t h u n i v a l e n t a n a l y t i ci - u n c t i o n s m i s s i n gn e g a t i v ec o e m c i e n t s 一，1r ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l ix i a s u p e r v i s o r ：p r o f p e n gz h i g a n g h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 、 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名， 签名日期：饰 学位论文使用授权说明 苤雷 年4 月5 0 日 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即，按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：苍霞 签名日期，孙o 年辱月亏。日 2 、 “与 田莎之年她脾 为名期 签 日 h r ，了 师名 导 签 摘要 本文分为四个部分，第一部分介绍了当前领域的研究背景及所涉及的基本 概念第二部分利用s a l a g e a n 算子，定义了一类新的负系数缺项单叶解析函 数族的子类乃( n ，m ，a ，q ) ，得到了该函数族的系数估计，闭定理与极值点，还 讨论了一类受限柯西欧拉微分方程的半径与积分算子等问题第三部分对 乃( 礼，m ，a ，a ) 中的函数f ( z ) 的多个系数固定，得到了固定多个系数的函数族 霉。( 竹，m ，入，q ) ，研究了它的系数估计与闭定理，并找到了极值点第四部分基 于解析函数邻域的通常，6 ( ，) 概念，加以推广，定义了更一般的，如( ，) ，( p 1 ) 邻域概念，并利用s a l a g e a n 算子又定义了类在单位圆盘上单叶解析的缺 项负系数函数的两个子类；乃( n ，m ，o t ) 与岛( n ，q ，p ，1 ) ，研究了这两个子族与 推广后的解析函数邻域加( ，) ，1 ) 之间的关系 关键词：缺项负系数；单叶解析函数；s a l a g e a n 算子；系数估计；极值 点；半径；积分算子；邻域 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sc o m p o s e do ff o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，i ti n t r o d u c e ss o m e b a c k g r o u n do ft h ep r e s e n tr e s e a r c ha r e a l a n ds o m eb a s i cc o n c e p t si n v o l v e d i nt h e s e c o n dp a r t ，i td e f i n e san e ws u b c l a s st j ( n ，m ，a ，q ) o fu n i v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o n s w i t hm i s s i n gn e g a t i v ec o e f f i c i e n t sb ys a l a g e a no p e r a t o r ，d e r i v e ss e v e r a lp r o p e r t i e s 0 f 乃( n ，m ，入，q ) ，s u c ha sc o e f f i c i e n te s t i m a t e s ，c l o s e dt h e o r e ma n de x t r e m ep o i n t s i ta l s og i v e st h er a d i u so ft h ec o n f i n e dc a u c h y - e u l e rd i f f e r e n t i a t i o ne q u a t i o n sa n d t h ei n t e g r a lo p e r a t o r so ff u n c t i o n sb e l o n g i n gt ot j ( n ，m ，a ，q ) i nt h et h i r dp a r t ，b y f i x i n gf i n i t ec o e f f i c i e n t si nf ( z ) b e l o n g i n gt ot h ec l a s st j ( n ，m ，a ，n ) ，i tg e t san e w s u b c l a s s 巧c k ，( n ，m ，a ，q ) ，a n ds t u d i e si t s c o e f f i e n te s t i m a t ea n dc l o s e dt h e o r e m ， a n dd e t e r m i n e st h ee x t r e m ep o i n t s i nt h ef o r t hp a r t ，i td e f i n e san e wc o n c e p to f n e i g h b o r h o o d so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，如( ，) ，( p 1 ) ，w h i c hi sb a s e do nt h ef a m i l - i a rc o n c e p to fn e i g h b o r h o o d so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，6 ( nb ym a k i n gu s eo ft h e 目录 第一章引言及预备知识1 1 1 引言1 1 2 预备知识3 第二章缺项负系数单叶解析函数族马( n ，m ，a ，q ) 的性质5 2 1 系数估计5 2 2 闭定理与极值点7 2 3 受限柯西欧拉微分方程的半径1 1 2 4 积分算子1 5 jq 第三章固定多个系数的缺项负系数单叶解析函数族写q 。( n ，m ，a ，口) 的性 质1 8 3 1 系数估计1 8 一 一 3 2 极值点1 9 第四章一类缺项负系数单叶解析函数邻域概念的推广2 2 4 1 乃( n ，m ，o t ) 的邻域2 2 4 2 易( 口，p ，7 ) 的邻域2 , 4 参考文献2 7 致谢3 0 第一章引言及预备知识 第一章引言及预备知识 1 1 引言 复变函数论是分析学的一个重要分支，它研究的中心对象是解析函数 迄今为止，这一领域已取得了丰硕的研究成果除了丰富和发展了经典的复变 函数理论；如整，亚纯函数，解析函数的边值问题等；同时还派生了一系列新 的分支和方向s 如单复变函数论，多复变函数论，广义解析函数论等 在单复变函数论中，对于各种解析函数类的研究一直都是重要并且有意 义的d j h a l l e n b e c k ，t h m a c g r e g o r ，r w i l k e n ，l b r i c k m a n 等国外数学家曾相 继研究了标准化单叶解析函数族s ，星形函数族扩，凸函数族k ，近于凸函 数族c ，典型实函数族t ，正实部函数族p 等一系列经典的函数类，还有 不少数学工作者对具有负系数的解析函数族的若干子类进行过着重研究，如 d ( p ) ，g ( 卢) ，p ( a ) ，d + ( p ) ，g ( p ) ，p ( q ) 等( 【1 0 】，【1 1 】，【1 2 】，【1 3 】，【1 4 】，【1 5 1 ) 从s o w a ，h m s r i v a s t a v a 等数学工作者近几年的研究性文献 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 】还可发 现，对负系数解析函数族的研究除了更深入地强化半径，极值点等问题的处理 外，还逐渐对( 修正) 哈达玛乘积，积分算子，邻域，分式变换等内容作了重点 而广泛的研究 本文分为四个部分，第一部分为引言及预备知识，主要介绍了当前领域 的研究背景及所涉及的基本概念 第二部分借用s a l a g e a n 算子，定义了类新的缺项负系数单叶解析函数族 乃( 仃，m ，a ，口) ，并着重研究了该函数族的系数估计，闭定理与极值点等问题；还 讨论了类受限柯西一欧拉微分方程的半径问题；最后还对乃( n ，仇，a ，q ) 中函 数( z ) 的积分算子进行了研究这些内容的处理方式和结果从不同侧面总结 和优化了先前的相关工作 第三部分是将乃( n ，仇，a ，a ) 中的函数f ( z ) 的多个系数固定，得到了固定多 个系数的缺项负系数单叶解析函数族露银，( n ，m ，a ，a ) ，研究了巧。，( 几，m ，入，口) 的系数估计与闭定理，并找到了极值点 第四部分将解析函数邻域的通常，d ( ，) 概念，加以推广，定义了更一般 的，j ，p ( ，) ，1 ) 邻域概念，并利用s a l a g e a n 算子定义了一类在单位圆盘上 1 湖北大学硕士学位论文 缺项的负系数单叶解析函数族s 0 ) 的两个子族tt j ( n ，m ，a ) 与岛( n ，q ，夙7 ) ， 并研究了这两个子族与推广后的解析函数邻域n j ，正p ( ，) ，加之1 ) 之间的关系 第一章引言及预备知识 1 2 预备知识 设4 为在单位圆盘= z ：z gi z i a , z ea ；0 q a , z ea ；0 q 口；，k a q ) 当且仅当 l + 琴静) q 定义1 2 2 对于，( z ) s u ) ，定义s a l a g e a n 算子【2 】如下t d o ，( 2 ) = ( z ) d 1 ，( z ) = z 7 ( z ) d ”f ( z ) = d ( d n - - 1 ( ，( z ) ) ) n ) 3 湖北大学硕士学位论文 由此可得：对于，( z ) s ( j ) ，d n ，( z ) = z 一k n a k z 七( ，l nu 口) ) 定义1 2 3 定义缺项负系数单叶解析函数族 乃cn，m，a，a，=，su，：r电x最)口，z； 细 nen u 0 ) 0 a i , o a 昌 注意到当参数歹，n ，m ，入，q 取特殊值时，可得到下列学者研究过的子类t ( 1 ) 孔( o ，1 ，0 ，q ) = p ( q ) 和噩( 1 ，1 ，0 ，q ) = c ( 口) ( s i l v e r m a n 3 ) ； ( 2 ) 孔( o ，1 ，a ，a ) = t ( a ，q ) 和丑( 1 ，1 ，a ，a ) = c ( a ，q ) ( a l t i n t a s 和d 伽n 4 】) ； ( 3 ) 乃( 竹，1 ，0 ，q ) = t ( n ，a ) ( h u r 和o h s t ) ； ( 4 ) 乃( n ，1 ，a ，o t ) = ( a ，q ) ( a o 让，和g ，l d 【6 】) ； ( 5 ) t j ( n ，m ，0 ，q ) = t j ( n ，m ，q ) ( 舭，【7 】) ； 定义1 2 4 设x 为线性拓扑空间，u 是x 的一个非空子集，z o 是u 的个元素如果2 0 不能表示成u 的两个不同元素的真线性凸组合，则称知 为u 的个极值点记u 的极值点集为e u 由上述定义可知tu e u 当且仅当0 t 00 d ) ， 则h ( z ) 在d 内是单叶的 定理1 2 2 8 ，k r e i n - m i l m a n 定理】设x 是局部凸的线性拓扑空间，u 是 x 中的一个紧子集那么 ( 1 ) 若u 是非空的，则e u 是非空的； ( 2 ) h e u = h u ； ( 3 ) 若h u 是紧的，则e h ucu 4 第二章 缺项负系数单叶解析函数族乃( 乱，仇，入，o t ) 的性质 第二章缺项负系数单叶解析函数族乃( n ，m ，a ，q ) 的性质 2 1 系数估计 定理2 1 1设j ，m n = 1 ，2 ，佗nu o ) ，0 a 1 ，0 a 二n 扩一口【1 + a ( 护一1 ) 】) n 七1 一口 、 。 k = j + l ( 充分性) 首先注意到0 口 两l - j k 昔q ( 1 + a ) 1 一a 昔n 1 一q a 一入哥 0 r 惫 1 = 号1 + r 柄 2 ，而k 歹+ 1 2 ，m 1 考后m 2 ， 所以1 + r 翻 七m = = 争坠芒辫 护= 专1 一口入一a + q k n ( 1 一口a a ) = 号1 + a ( 南m 一1 ) 后m q 【1 + a ( 护一1 ) 】， 又由于口七0 ，且0 a 1 ，0 口 蕞= 净0 q 1 ， 5 湖北大学硕士学位论文 所以当z a ，且( 2 1 1 ) 式成立时， e k n 1 + a ( 后m 一1 ) 】) 毗h 七一1 1 七= j + ，s 知n 1 + a ( 忌m 一1 ) 】) 口七k n m q 【1 + a ( 七m 一1 ) 】) o 七s1 一q 0 i蒜dn+mf z 一1 i a 帮+ ( 1 一a ) 1 i = l 丽菇( z 并丽一- iia d n + m) + ( f a ) d 吖( 名)l z ek n + m a k z 七 k = j + l a 2 一a e 驴+ m 口七z 知+ ( 1 一入) z 一( 1 一a ) ek n a k z i c k - - j + 1 k f j + l 1名一ek n + m a k z 知 ：i i 型l 一一1 i l 名一南n 盼后仇+ ( 1 一a ) 】口七z 知 f 1 一e 七竹+ m a k z 鼍一1 k = j + l i i 广一 1 一e 舻f 1 + a ( 七m 1 ) l 口知名七一1 k = j + l 第二章缺项负系数单叶解析函数族乃( n ，m ，入，q ) 的性质 值得注意的是，上述最后一个式子成立等价于 。o k n k m 一【1 + a ( 后m 1 ) m 知( 1 一q ) 1 一扩【1 + a ( m 一1 ) 】n k = j + l k = j + l 也等价于 0 ( 3 知n 詹m a 【1 + 入( 忌m 一1 ) 】) 口七1 一q 奄= 巧+ l 故最撇1 肌曲牦内， 所以r凳口，即，cz，乃c佗，m，a，q， 使( 2 1 1 ) 式结果精确的极值函数为 f c z ) = z i 磊1 乏；f ：= - ：磊；j ；= 碥z 知( 七歹+ 1 ) 推论2 1 1 设，( z ) t j ( n ，m ，a ，q ) ，且f c z ) = z 一c t k z 知( a k o ) k = j + l 则 口知k n k n - j a 1 二+ 生a ( k m 一- 1 ) 歹+ 1 ) 口知s 2 ，+ l j 等号成立当且仅当，( z ) - - = z - - 而疆石= 毒云虽话万= 而 j + 1 ) 在定理2 1 1 中，取j = 1 ，仇= 1 ，即得下面推论 推论2 1 2 f 6 ，定理1 1f ( z ) 死( a ，o t ) 当且仅当 k n k - q 【1 + a ( k - 1 ) 】h 1 一a k = 2 该结果是精确的 2 2 闭定理与极值点 定理2 2 1 设 ( z ) 乃( n ，m ，入，q ) ，且，( z ) ：名一曼鲰，t 少( 毗o ) g = n = j + l 00 1 ，2 ，矗) ，若h ( z ) = c ，( z ) ( c 0 且q = 1 ) ，则h ( z ) 乃( n ，m ，a ，q ) i = li = l 定理2 2 1 的证明由h ( z ) 的定义，得 j00$ ( z ) = c x i i ( z ) = 色z 一c ( t ) = z 一( c i a k ，t ) i - - - - 1 i = 1i = 1 住= j + 1n = + li = 1 7 湖北大学硕士学位论文 因为 所以 因此 所以 ( z ) t j ( n ，m ，a ，q ) k n k m - a x + a ( 扩一1 ) 1 h ，s1 一q 七毫，+ 1 = c ( k n k m a 1 + a ( 护一1 ) 】) 口如) i l l k = j + l 8 ( c 4 ) ( 1 - a ) i - - - - 1 21 一a h ( z ) t j ( n ，竹l ，a ，a ) 推论2 2 1t j ( n ，y n ，a ，q ) 在凸线性组合下是闭的 推论2 2 1 的证明设，i ( 名) g = 1 ，2 ) 如定理2 2 1 中所定义 只须证明 ，l ( z ) = m l ( z ) + ( 1 一p ) ，2 ( z ) ( o p 1 ) 在函数族乃( n ，m ，九n ) 中即可 于是，在定理2 2 1 中取8 = 2 ，c l = p ，c 2 = 1 一“即证推论2 2 1 引理2 2 1 设眦) 剐m ( 加卜丽旷蒜i 万丽( 娩j + 1 ) ， 其中j ，m n ，住nu o ) ，0 入 1 ，0 q 音，贝0 f c z ) t a n ，m ，a ，q ) 当且 仅当，( 名) = ep 知 ( z ) ，其中胀o ( k j ) ，e 脚= 1 k f j k f j 引理2 2 1 的证明设 他) = u k h ( z ) k f j 其中p 七0 ( k 歹) ，ep 七= 1 k = j 8 0 七 n q 。：l 、， 一 m 七入 + n 卜 q m 詹 ，j i 忭 七 针 七 第二章 缺项负系数单叶解析函数族乃( n ，仇，a ，a ) 的性质 则 m 一一耄( 丽；靠弼砂 从而 驴 七m o 【l + 入( m 一1 ) 】) ( 两万i 杀靠；- 而p 膏) = j + 1 、7 = ( 1 一q ) ( 1 一心) ( 1 一q ) 所以由定理2 1 1 得 f ( z ) 乃( n ，竹l ，a ，a ) 反之，设 o o ，( z ) 乃( n ，m ，a ，q ) 且化) = 名一鲰卢( a k o ) k = j + l 则由定理2 1 1 得 七 p 口 一 1 针 七 = 毛p 科 船 口一，工 = 湖北大学硕士学位论文 引理2 2 2 8 ，k r e i n - m i l m a nt h e o r e m 】设x 是局部凸的线性拓扑空间， u 是x 中的一个紧子集 ( 1 ) 若u 是非空的，则e u 是非空的； ( 2 ) h e u - - h u ； ( 3 ) 若h u 是紧的，则e h ucu 由推论2 2 1 与引理2 2 2 知，乃( n ，m ，入，n ) 的极值点是存在的，且其极值 点由下面定理2 2 2 给出 定理2 2 2 函数族t j ( n ，m ，a ，q ) 的极值点由 ( z ) ( k = 歹，歹+ 1 ，歹+ 2 ，) 构成，其中 驰) 一以p ) 引一研万 孝赢( 娩歹“) 定理2 2 2 的证明令 y = 觯) ：驰) 胁) = z 一研旷赤若万珂( 七j + 1 ) ) ( 1 ) 若 z = t g l ( z ) + ( 1 一t ) 9 2 ( z ) 其中0 t 1 ，鲰( z ) = 名一a k ，i z 七且职( z ) 乃( n ， 则 名= z 一，1 + ( 1 - t ) a k ，2 z 知 k = j + l 所以 t a k 。1 + ( 1 一o a k 。2 = 0 ( k 歹+ 1 ) 从而 妣，1 = a k ，2 = 0 歹+ 1 ) 所以 g l ( z ) = 9 2 ( z ) = z 所以办( z ) = z 是t j ( n ，l ，a ，q ) 的一个极值点 ( 2 ) 若 卜而正赤南f 丽扎t g - - w t g t ( 卅( 卜矾而j 矿瓢面_ 而矿2 1 ( 彳) + ( 1 0 第二章缺项负系数单叶解析函数族t j ( n ，仇，a ，口) 的性质 其中0 0 ，当i z i r 时，( z ) 为缺项6 阶单叶星形函数，其中 肚料i n f 。 业型等籍黑错特产趔) 由 定理2 3 1 的证明因为 所以 0 0 叭七m q 【1 + a ( 后m 一1 ) 】) k 1 一口 即 。荤坐兰攀k u 1 一 ”一 七= j + 1 一一 又由方程( 2 3 1 ) 得 比心一七p 0 0 卢一0 0 k f j + 1 糯等口七 9 ( z ) = 名一6 七卢= z 一号掣胖口七 七= j + 1 、7 “，一7 从而 毗= 尚端h ( 嘲+ 1 ) 又当z r 时， 川 型皇紫霈珊铹糌掣 日 k塾h。塾型号篙矧腻粉产剑=jf + 1南= 巧+ l 、一一，、。 。，、尸八_ 。，- 7 1 2 口 入mn 乃 七 = k 计 七 一 z = z 9 动 3 & & q q 仁 第二章 缺项负系数单叶解析函数族乃( n ，仇，a ，q ) 的性质 一生忌n 一口 1 + a ( 七m 一1 ) 】) 6 知( 1 6 ) = - - - - - - - - 二_ - - _ - _ - 二_ ( 1 一q ) ( 七一6 ) k= j j - 1 、一，、7 尹塑坠型生幽6 七1 厶一1 一q一 又由( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 及( 2 3 4 ) 式得 f 搿- l l = i 筹f 0 ，当m 由 定理2 3 2 的证明因为 所以 即 州七m - a 1 + a ( m 一1 ) 】) k 1 一口 知巧+ l ( 2 3 5 ) j l 一 七 z 七 0 6 一 船 卅 麻 口入mn 乃 七 zk 吼 七 一z = z 夕 湖北大学硕士学位论文 又由方程( 2 3 1 ) 得 从而 北一一知0 0 。谚一o o k = j + l 等糯群蚶七 夕( z ) = z 一k 少= z 一罱掣渊蚶七 知= 巧+ 1 、一。，_ ，、。r 7 又当z r 时， 一番揣引嘲+ 1 ) ( 2 3 6 ) 坩一lkn-lkm-o下1+ia(而km-可1)两(i丽-t5百)(k+矿z)一(k+z+1) ( 2 3 7 ) 由( 2 3 5 ) 、( 2 3 6 ) 及( 2 3 7 ) 式得 i + 雨z f l t ( z ) 斗i 等l 0 ，当i z l 0 ，当吲 0 ，当i z l 0 ，当i z i - 1 ， 若 f z ) = 等z 。邢) d r 贝f ( z ) 乃( n ，m ，a ，q ) 定理2 4 1 的证明由f ( z ) 的定义可知 因为 砟) = 等- l ，拈c + 1 。z t e _ 1 ( 卜七0 0 。础啦 = 等一七争r 卅，出 = 等c 南一七妻。熹煳 = 卜知；c o 。t 不c + 1 卢 所以由定理2 1 1 得 f ( z ) 乃( n ，m ，a ，o t ) 槲南m a 【1 + a ( 后m 一1 ) 】) 1 一q 缸巧+ 1 1 5 湖北大学硕士学位论文 因此 。萎，州k mn o l 【1 + a ( k m - 1 ) 】) ( 未 七= 巧+ 1 。 州南m q 【l + 入( 后m 一1 ) 】) 吼 七= 巧+ 1 一1 若 f 。) = 。c + 1 o 。矿一1 ，( t ) 出 则函数( z ) 在m z j + l 盟c 蔫kk 等1 笋业) 由【( + ) ( 一q )j 定理2 4 2 的证明因为 砟) = 了c + lz 。巾) 出 所以 他，= 祥一c 一鼍掣一七季。c 知七 又因为 f ( z ) t j ( 仃，m ，a ，口) 所以由定理2 1 1 得 即 o o 州七m q 【l + a ( 护一1 ) j h 1 一q 奄= j + l 量f 口斛 - 1 一n s ： i-4-knkm-(11+”a(km-1)k=j-t-i 1 6 第二章 缺项负系数单叶解析函数族乃( 佗，m ，入，a ) 的性质 当i z i 0 所以函数f c z ) 在i z i r 内是单叶的 1 7 湖北大学硕士学位论文 第三章固定多个系数的缺项负系数单叶解析函数族 巧，( n ，m ，a ，q ) 的性质 第二章定义了缺项负系数单叶解析函数族乃( n ，m ，a ，口) ，并研究了该函数族 0 0 的相关性质，现设f ( z ) t a n ，m ，a ，q ) ，且( z ) = z 一a k z 七( a k o ) ，由第 k f j + l 二章推论2 1 。1 知，f ( z ) 的系数a k 应满足不等式t 口七k * k m - a l l l 二+ a l ( k m - 一1 ) 1 1 ，( 七= j i + 1 , j + 2 ，) 口七s ( 七2 ，+ 2 ) 其中歹，m n ，n nu o ) ，0 a 1 ，0 a 0 o = c 1 3 1 系数估计 引理3 1 1 ( 第二章定理2 1 1 ) 设f ( z ) = z 一a k z 七( a k o ) ，则f ( z ) k f j + l 乃( n ，m ，a ，q ) 当且仅当 芝二七n 扩一q 【1 + a ( 忌m 一1 ) 】) n 七1 一a 该结果是精确的 定理3 1 1 设 m 一一七妻。丽考扎七三0 0 。 1 8 x ：y - i固定多个系数的缺项负系数单叶解析函数族露c k , n ( n ，m ，入，a ) 的性质 ( n 知o ，0 = c 1 ) ，则，( z ) 毪，( n ，仇，入，q ) 当且仅当 州忌”一a 【1 + a ( 扩一1 ) l a k ( 1 一c ) ( 卜q ) 该结果是精确的 定理3 1 1 的证明在引理3 1 1 中，令 =ck(1-a)ak k n k m - o 。 14 - a ( k n - 1 ) ( 七= j + 1 ，j + 2 ，) 2 峥一j 十1 j 中。j 即得定理4 1 1 的结论 使定理3 1 1 中结果精确的极值函数为 m ) = 卜知善n 。丽正c 面k ( 1 丽- o ! ) 瓦丽一而正( 1 币- c ) ( 而1 - 瓦5 ) 丽 ( 艮= n + 1 ，n4 - 2 ，) 推论3 1 1 设 化一一七妻。币掣杀骊九七妻。n 七卢 ( n 七o ，o 苎c 知：c 1 ) ，贝4 d k i i 匮鬲望乏i 宇睾南( 七= + - ，+ 2 ，) d ks i i 琢而_ = i 薪r ；了i 万彳丽 l 臀= 川十上州十岛j 等号成立当且仅当 化一一七妻。丽若扎一(1-c)(1-c1) 俑= n + 1 ，n4 - 2 ，) 3 2 极值点 由k r e i n - m i l m a n 定理知，丐，( 扎，m ，入，口) 的极值点是存在的，且其极值 点由下面定理3 2 1 给出 定理3 2 1 函数族t ”- * 。，m ，m ，a ，q ) 的极值点由a ( 名) ( 七= ，+ 1 ，+ 2 ，) 构成，其中 眦膨一k 襄n 。丽面o k 阿( 1 - o 万( ) 丽以 湖北大学硕士学位论文 坤) = 卜七；n 。而正c 面k ( 1 - - 而q ) 一而正( 1 而- c ) ( 而1 - a ) n = + 1 ，+ 2 ，；o c k = c 1 ) k = j + l 定理4 2 1 的证明令y = ( 名) ：= n + i ，n + 2 ，) ，记c k , n ( n ，仇，a ，q ) 的极值点集合为e t ；，n ( n ，m ，a ，口) ，即证e 露，( n ，m ，a ，q ) = v 一方面，( 1 ) 若y n ( z ) = t g l ( z ) + ( 1 一t ) 9 2 ( z ) ，其中0 t 1 ， 绯一一七妻。硒考罱涪丽扎知妻，俐 且g i ( z j ，施，n ( n ，m ，a ，a ) 【i2 l ，2 ) ， 则 卜七n 。丽高少 = 卜七妻n 。研瓦。而k ( 1 - 而a )一知量o o 。+ ( 1 叫口蛐妒 所以 又因为 所以 所以 0 t 1 ，a k ，t o ( i = 1 ，2 ) 口1 = n k 2 = o ( 后n + 1 ) g l ( z ) = 9 2 ( z ) = ，z ) 所以 ，( z ) 互露。，n ( n ，m ，a ，q ) ( 2 ) 若a ( z ) = t g l ( z ) + ( 1 一t ) 虫( z ) ( 七j f + 2 ) ，其中0 t 1 ， 绯) = 卜七虿n 。丽c 面k ( 1 - 而口)一七量0 0 。t ( 创) 且g i ( z ) 露“，( 几，m ，a ，q ) ( i = 1 ，2 ) ， 第三章固定多个系数的缺项负系数单叶解析函数族2 z 。，n ( n ，m ，a ，a ) 的任质 则 卜。妻n ，丽g 释耘珂一丽篙袢稆珂z 知卜七象。丽匠面而而z 一面正面而1 ) 旷 一k 妻，而若一知妻。胁+ ( 1 一m 2 】纠一七象l 丽正面再厕卜知象l p 鲰1 卜2 p 毒二，( 1 一c ) ( 1 一q ) 。萎+ ( 1 一t ) a k , 2 2 砾卷硭钿 七= + 1 、 所以 t 。k - + ( 1 - t ) a k , 2 - = 面i c i 矛王兰云舌弩且啦= 6 = 。 i ，七+ 1 ，i 2 j 主监兰l ，o t a , ne n u 。 , menu 0 ) ，o a = k j ( a ) 对于函数族t j ( n ，m ，口) ，我们需要由s e k i n e 给出的下面引理一 引理4 1 1 3 1 】 f ( z ) 乃( n ，m ，a ) 当且仅当 其中n nu o ) ，m nu o ) ，0 q 1 结果是精确的 定理4 1 1设j n ， n n u 【o ) ， m nu o ) ，0 q 1 ) 62 t 而可呵而碉p ( p 1 ) 定理4 1 1 的证明若，( 名) 弓( n ，m ，q ) ，且，( z ) ：2 一曼毗( n 七o ) ， k f f i j + l 2 2 口一l _ k n ( 南m a ) a k l a z k = j + l 所以 o o 0 + 1 ) n 【o + 1 ) m 一0 4 口奄1 - o z 七= j + l o 。 且( j - f i ) ( j - l - i ) m 一叫n 七l - f , k = j + l 1 且k a k k = j + z 1 o l 0 + 1 ) n - 1 【o + 1 ) m 一叫 又因为p 1 ，0 口南 1所以 三。三 1 一q - - j + lk - - j + l 。”。 因此 知季，蝴珈 丽高南p 刊 从而，( z ) n j ，6 ，p ( e )所以乃( n ，仇，q ) c n j ，如( e ) 在定理4 1 1 中取p = 1 ，即得a o “7 】研究所得结论 在定理4 1 1 中取j = 1 ，即得下面推论4 1 1 推论4 1 1 设n nu o ) ，m nu o ) ，0 a 1 ，则t i ( - ，m ，a ) c n l ，最p ( e ) ， 其中 艿= 扩网l - - c l ) 1 加( p 1 ) 当p ：1 ，n ：o ，m = 1 时，定理4 1 1 与推论4 1 1 即为a l t i n t a s 与o w a 3 2 】研 究所得结果 当p ：1 ，亿：1 ，m = 1 时，定理4 1 1 与推论4 1 1 也即为a l t i n t a s 与o w a 【3 2 】 研究所得结果 在定理4 1 1 中取n = o ，m = 1 ，即得下面推论4 1 2 推论4 1 2 设0 q 1 ) 在定理4 1 1 中取竹= 1 ，m = 1 ，即得下面推论4 1 3 啊 趣 删。 m 皿洲 湖北大学硕士学位论文 推论4 1 3 设0 a 1 ，则妫( q ) c j ，5 ，p ( e ) ，其中 6 = 暑) 1 p ( p 1 ) 4 2 岛( n ，q ，p ，y ) 的令b 域 定义岛( n ，q ，卢，y ) = fes ( 2 ：l 面而d n f f ( z ) 而- z 历i p ，n u 0 ) 名，。口l ，。 p 1 ，。，y 1 ) 定理4 2 1设歹n ，n nu o ) ，0 口1 ，0 卢1 ，0 - y 1 ，贝4 f ( z ) 岛( n ，q ，p ，y ) 当且仅当 ( 1 + q p ) 扩n 七f l ( 1 + 口一7 ) ( 4 2 1 2 ) 定理4 2 1 的证明 ( 必要性) 若f ( z ) l j ( n ，q ，p ，y ) ，且f ( z ) = 名一 ( 3 0 a k z 七( n 七0 ) ，则 n = j + l 端煞南| i 羔皇i 训) 一l = i i ( 1 i z 1 - q d n ，( z ) + ( 1 一，y ) z 。( 1 + a 一，y ) z q 曼k n a k z k 、一、。7 第四章一类缺项负系数单叶解析函数邻域概念的推广 即 所以 d n f ( z 、一z a d “f ( z ) + ( 1 7 ) z 一k n a k z 七 k a k l z l 知一1 苎妻! i ! 兰! ( 1 - i - q 一，y ) z q k n a k z 七( 1 - 4 - q 一，y ) 一q k a k l z l 知一1 七= j + l k = ，+ l 护口奄 型l 万一s 卢如t x ) ( 14 - o t 一7 ) 一o t 驴a k 因此，( z ) 岛( 竹，o t ，p ，y ) 取 ，( z ) = z 一糍z 七s 。) ( 七j + 1 ) 则在( 4 2 1 ) 式中，等号成立由此可知结果是精确的 定理4 2 2 设歹n ，n nu o ) ，0 口1 ，0 p l ，0 一y 1 ) 定理4 2 2 的证明若f ( z ) l j 加，a ，卢，7 ) ，且f ( z ) = g - - a k z 七，口知0 ， 则由定理4 2 1 得 所以 ( 1 + q 卢) 驴a 七卢( 1 + a 一，y ) k 句+ 1 ( 1 + 筇) o + 1 ) n 口七卢( 1 + q 一，y ) 七= 0 + l 即 且( 1 + a p ) u + 1 ) n 一1 k a k p ( 1 + q 一，y ) k = j + l 黼 七妻。k a k 七 0亡 针 七 口一 7 一q + l 一 七 口 咐 k 湖北大学硕士学位论文 又因为p 1 ，0 a k 1 ，所以 x o 、0z _ p o 乙， p ( 1 + o l 一，y ) k露群荡蕾和=j+l k= j + l 、“，、j 7 故 七o o 。珈 篇器) l p = 6 从而，( z ) ，如( e ) ，所以岛( n ，p ，y ) c 屿，妇( e ) 在定理4 2 2 中取j = 1 ，即得下面推论 管论4 2 1设n nu o ) ，0 q 1 ，0 卢1 ，0 ，y 1 ) 参考文献 参考文献 【l 】1 o w as t h eq u a s i - h a r d m a r dp r o d u c t so f c e r t a i na n a l ) t i ef u n c t i o n s , i n ：h m s r i v a - s t a v a ，s o w a ( e d s ) c u r r e n tt o p i c si na n a l y t i cf u n c t i o nt h e o r y , w o r l ds c i e n t 咖cp u b l i s h i n 9c o m p a n y ，s i n g a p o r t e ，n e wj e r s e y ，l o n d o