（基础数学专业论文）一类拟线性椭圆边界blowup和dirichlet问题的interiorlayer解.pdf

摘要 本文主要研究了一类拟线性椭圆边界b l o w u p 和d i r i c h l e t 问题由于l a p l a c e 算子 具有比较好的性质，对其的研究已经比较深入随着科学的发展，物理学家们在研究非牛 顿流体力学时建立了更一般的l a p l a c e 方程，叫做p s e u d o - - l a p l a c i a n 方程，如下 这里a 口“= d i v ( i d u l p - 2 d u ) ，参数a 0 ，p 1 p 表示介质性质当p 2 时称为膨胀 流，p 2 时称为伪塑料流，p = 2 时称为牛顿流 这些问题引起了数学家们的极大兴趣，他们提出了三种边值问题，d i r i c h l e t 问题， n e u m a n n 问题和r o b i n 问题直到今天，d i r i c h l e t 问题研究得比其他两类问题要广泛和 深入得多由于d i v ( i d i p - 2 d ) 是退化算子，这些问题研究起来比困难但是，我们可以 拓宽函数的定义域，考虑方程的弱解 在此，我们研究同一方程的边界b l o w u p 问题和d i r i c h l e t 问题的正解 一p u = y ( x ，u ) i nq ，u = o oo na q 其中1 p 0 是一个很小的参数， ，( z ，乱) ： i u j p 一2 “i u 一口( z ) i p 一2 ( u n ( z ) ) 1 1 一u i u 一1 ( 1 一u ) ， i f p22 ii u l ( p 一2 ) ( p 一1 ) u ( 乱一a ( x ) ) l l 一训u 一1 ( 1 一u ) ， i f1 p 0 ，a ( x ) 是一个连续函数并且0 1 t h eq u a n t i t ypi sac h a r a c t e r i s t i co fm e d i u m m e d i aw i t hp 2a r ec a l l e dd i l a t a n tf l u i d s ，a n dt h o s ew i t hp 2a r ec a l l e dp s e u d o p l a s t i c s ， i fp = 2 t h e ya r en e w t o n i a nf l u i d s t h e n ，t h e s ep r o b l e m sr i s et om a t h e n a t i c i a n s i n t e r e s t t h e yr a i s et h r e ek i n d so fe x i s - t e n c eo fs o l u t i o n s ，d i r i c h l e tp r o b l e m ，n e u m a n np r o b l e ma n dr o b i np r o b l e m u n t i lt o d a y , t h ed i r i c h l e tp r o b l e mh a sb e e ns t u d i e dm u c hm o r ee x t e n s i v ea n dt h o r o u t h l y b e c a u s et h e d i v ( i d i p - 2 d ) o p e r a t o ri sd e g e n e r a t e d ，t h e s ep r o b l e m sa r em o r ed i f f i c u l t b u tw ec a n e x p a n dt h ed e f i n i t i o nd o m a i no ft h ef u n c t i o n ，c o n s i d e rt h ee q u a t i o n sw e a ks o l u t i o n w es t u d yp r o f i l e so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yb l o w - u pp r o b l e m sa n dd i r i c h l e t p r o b l e m sw i t ht h es a m ee q u a t i o n ： 一p u = f ( x ，u ) i nq w h e r e1 p 0i sas m a l lp a r a m e t e r ， ，( z ，u ) = i u i p 一2 “i u a ( x ) l p 一2u n ( z ) ) 1 1 一札1 w - 1 ( 1 一仳) ， i fp 2 i 札l ( 2 一p ) ( p 一1 ) u ( u a ( x ) ) l l u l w - 1 ( 1 一) ， i f1 p 0 ，a ( x ) i sac o n t i n u o u sf u n c t i o ns a t i s f y i n g0 1 p 表示介质性质当p 2 时称为膨胀 流，p 0i n ( 0 ，丌2 ) 砂( o ) = ( 7 r 2 ) = 0 另外，在文献 3 2 】中，g u o 证明了，当f c 1 ( 酞+ ) 满足( r ) ，( 足) ，p 1 ，q 是 有界连通区域，且有光滑边界a q ，则存在a 0 ，使得任意a a 方程 一d i v ( i d u l p - 2 d u ) = , x f ( u ) i nq ，u = 0o na q 至少有两个不同的正解这里 ( 只) ，在酞+ 上严格递增，f ( o ) = 0 ，l i m 。of ( s ) s p 。= o ；存在( x l ，0 1 2 0 使得 f ( s ) o t l + q 2 l s i p ，0 0i n ( 0 ，) ，f 0 ，( f ( s ) s p - 1 ) 0 成立时，上面的方程有唯一正解证明了当q 是一个球时，解的径向对称情况， 而且，此方程至少存在一个小解，又如果，满足l i m s - - - * o + f ( s ) s p - 1 = 0 ，当s _ ， 2 第一章绪论 y ( s ) = o ( 扩) ，其中0 0i nq 设u l ，让2 w 1 ，p ( q ) ，对所有非 负函数砂w p ( q ) 满足 上胁- p - x d u l d 砂+ 知p - 2 u l 砂 zl 。u z p - 2 d u 2 d 矽+ 上9 j u zp - - 2 u 2 砂 则不等式 u 1 ? 2 2o na q 蕴含 u 1 u 2z 礼q ( 1 - 3 ) ( 1 4 ) 3 一类拟线性椭圆边界b l o w - u p 和d i r i c h l e t 问题的i n t e r i o r - l a y e r 解 证明：取叩= d u l ，7 7 = d u 2 ，砂= m a x u l u 2 ，o ) 由于u l u 2 o na q ， 砂w 0 1 伊( q ) 把函数砂带入( 1 - 3 ) ，得到下式 ( 以7 7 一p 2 7 7 ，) ( 7 7 一叩) 如 9 ( 扎1 一u 2 ) ( 1 u 2 i p 一2 u 2 一i z li p - 2 乱1 )( 1 - 5 ) 由于函数a ( x ) = i x l p 2 z 在r 上是增函数，对p 1 我们设a = z ：i7 7 ( z ) l ( ) 1 , 7 ( z ) 1 ) ，则 去1 7 7 一叩i i7 7 7 + t ( 叩一7 7 ) i 1 + l7 7 i + i 叩7 l i na 对任意t 0 ，石1 】u 2 ，1 】成立因此，记a + ( r ) = i , 1 1 p r i ，则有 ( 7 7 一p - 2 叩7 ) ( 7 7 一叩7 ) 出 = f u a u 2 f 0 1 谢：，。o a ，。i 叩，+ t ( 叩一7 7 ) ) ( 仇一说) ( 仍一呓) 出d z k ， 小z 1 雹和州，) ) ( 州砌出 饷 ( 1 + i 叼1 ) + i r l i p 一2 1 , 7 7 7 7 1 2 d xz ，1 p 2 ， 叩一叩7 v d xi fp 2 ， 这里7 0 0 由以上可知， ( 1 4 ) 是成立的 口 引理1 1 2 ( h o p f 极大值原理) 设b 是一个包含在q 中的球，p c o ( 百) ，在b 中，口0 ，u c 1 ( 百) 满足 一d i v ( i d u l v 一2 d u ) + o ( x ) l u l , 一2 u 0 i nb 对某个u ( x o ) o b ，则 4 u 0i nb ，u ( x o ) = 0 d u ( x o ) 0 u u 厂几厂几 第一章绪论 证明：当p = 2 时，我们知道结论是正确的，不失一般性，我们假设b = b 1 ，b ，是 原点在0 的单位球对q 0 ，我们设 记r = ，则有 m ( x 1 = e - a 圳2 一e q d i v ( i z ：) m l p - 2 d m ) + o l m p 一1 = 一r - ( n - 1 ) ( 7 ( n - 1 ) i r a ri p 一2 m ，) r + o m p 一1 = ( 2 q ) p 一1 ( ( 一2 + p ) 一2 a ( p 一1 ) r 2 ) e a o 一1 ) r 2 + 口( z ) ( e a 2 一e - a ) p 一1 我们选取c t 0 充分大，使得 m 0 证明：因为在q 中，u 0 ，u 不恒等于0 我们假设存在一点x o q 使得 u ( z o ) = 0 ，则我们可以找到一点z l q ( z 1 = x o 是可能的) 使得u ( x 1 ) = o ，并且存在一 个球b 属于q 使得z 1 o b ，在b 中扎 0 ，d u ( x 1 ) = 0 这与引理( 1 1 2 ) 矛盾 口 注记强极大值原理对方程 一d i v ( i d u l p 一2 d u ) + q ( x ) l u p 一2 u 0i nq 的非负解是成立的，这是因为我们可以选取m 0 使得在豆中，m + g ( z ) 0 ， 一d i v ( i d 训p 2 d u ) + ( m + q ( x ) ) l u l p _ 2 u 0i nq 5 一类拟线性椭圆边界b l o w u p 和d i r i c h l e t 问题的i n t e r i o r l a y e r 解 引理1 1 4 ( p l a p l a c e 算子的正则性) 已知0 0 ，h c o ( q ) ，我们可以找到 一个函数乱c 1 ( 孬) 满足 一d i v ( i d u l p q d u ) + o u = h 口e 犰q ，缸= 0o na q( 1 - 6 ) 证明：我们发现求一个函数u w p ( q ) 满足( 1 - 6 ) 式就等价于求泛函l i l ：喇p ( q ) _ r ， 皿 ( u ) = ( 1 p ) 厂i 。u p + ( p , n2 ) j ( u 2 一上 t ， q，q 的临界点我们知道皿 是一个连续的严格凸函数，并且l i v l l , ，p 一。时，皿 ( u ) _ 由文献 5 0 】中命题3 1 知，皿 是可微泛函于是，它有唯一的临界点w 哪p ( q ) 并且 在这一点达到g l o b a l 极小由 5 0 】知，u 满足方程： 上i 。u r + 秽上u 2 = 上地 因此 这里；1 + ；= 1 ， f l 。u i p - i i i i 。l q i ；q l 。u l p 其中c l 是s o b o l e v 常数于是， 1 1 u 1 1 。，p 岛删p 一1 ) 当1 p n ，从嚼p ( q ) 到l p l ( 一p ) f l 的连续嵌入蕴含u l n v ( 一p ) q 应用 4 8 】定 理7 1 ，我们可以得到估计 s u p w ：z q ) c 3 ， 这里g = c 3 ( 1 l h l l o ) 当p n ，我们可以直接由s o b o l e v 嵌入定理得到上式由 3 8 】定 理1 1 ，我们可以得到u c q ( 孬) 对某个0 a 1 ，并且 l l 伊c 4 ， 这里c 4 由g 确定由 4 9 】命题3 7 知，u c 1 ，a ( 孬) ，并且 l l c - ，a g ， 这里g 由a 确定 从上面的讨论我们可以知道( 1 6 ) 有唯一解u c 1 ( 西) 口 6 第一章绪论 1 2 研究近况 这篇论文研究的是( 1 2 ) 式，其中的- 厂和q 满足一定条件和要求设qcr ( n 2 ) 是一个有界光滑区域我们研究如下边界b l o w u p 问题 ( p f ) p u = ，( z ，u ) i nq ， u = o oo na q 以及d i r i c h l e t 问题 ( 只) 一p u = f ( x ，u ) i nq ，u = 0o na q 冥中1 p 0 是一个很小的参数， f ( x ，u ) ： i u i p 一2 札l u 一。( z ) l p 一2 ( u 一口( z ) ) i l u i 。一1 ( 1 一u ) i f p 2 【i 训归一印憎一1 ) u ( u o ( z ) ) 1 1 一u l o j - i ( 1 一u ) ， i f1 p 0 ，a ( x ) 是一个连续函数并且0 a ( x ) 1f o rz 瓦 我们称u e 是方程( 节) 的一个解，如果u 。w 2 ( q ) nc 1 ( q ) ， i v u e ( z ) l p 一2 v u 。( z ) v 西( z ) d z = f ( x ，u 。( z ) ) ( z ) d x ，1 2，n ( 1 7 ) 对v 矽曙( q ) 及( z ) _ 。oa sd ( x ，a q ) 一0 魄是( 节) 的一个最小解我们是指，对 ( 霉) 的任意一个解魄，都有u 。i nq 我们称是方程( 足) 的一个极小化解，如果u 。w o p ( q ) nq ( 孬) 满足积分恒等式 ( 1 7 ) 同时还满足极小化问题( 1 8 ) 4 ( u 。) = i n f 4 ( u ) ：u w o ，p ( q ) ，( 1 - 8 ) 这里 地) = ；上胁i 九上m ，乱w p ( q ) ， 其中f ( z ，z ) = f ( x ，s ) d s 近年来，对边界b l o w - u p 问题很多学者都进行了研究，例如文献 1 ，2 ，4 - 8 ，1 0 - 1 1 ， 1 5 ，2 1 ，2 2 2 7 ，3 1 ，3 4 ，3 7 3 8 ，4 0 4 5 】他们研究此问题的目的各不相同 7 一类拟线性椭圆边界b l o w - u p 和d i r i c h l e t 问题的i n t e r i o r l a y e r 解 对于固定的p ，u 和常数a ，我们定义 乳( s ) ： s p 一1 i s 一。l p 一2 ( s 一。) 1 1 一s i “一1 ( 1 一s ) ， 1 fp 2 【s l ( p 一1 ( s n ) 1 1 一s i u 一1 ( 1 一s ) ， i f1 p 0a n da ( 0 ，1 ) 容易得到存在唯一的a p ，u ( 0 ，1 ) 依赖于u 和p ，使 詹g a p , 。( s ) d s = 0 最近，在文献 3 7 】和【3 8 中，作者证明了，当e 充分小，若a p ，u n 1i nq 以及砚_ 1 i n 砚。( q ) 若e _ o ；堡是( 1 9 ) 的唯一正小解，且丝一0i nc ( q ) 若g _ o 同时，如 果0 u p 一1 ，我们由文献 3 8 可知，当充分小时，( 1 - 9 ) 就有无穷多个i n t e r m e d i a t e 解在这种情况下，大解矾有一平核 g l ：= z q ：玩( z ) = 1 ) 它满足 l i m c l p d i s t ( x ，倪) = c ( c ) f o rz a q ， e _ 0 其中 c ( g ) = ( 南) - 1 p - g ( s ) 】- 珈d s a ( s ) = 片g a ( ) 武若u p 一1 ，矾就没有平核我们希望在堡和矾之间存在另一解魄， 具有一内部s p i k e - l a y e r ，但是当p 2 时，目前我们还没有得到这样的解当p = 2 时，d u 和y a n 3 0 l 用归纳讨论的方法构造出这样的解，但是他们的论证不能用来解决p 2 的情 况当p = 2 时，相应的边界b l o w - u p 问题和d i r i c h l e t 问题的正解的结构文献 1 7 2 0 ， 2 8 2 9 1 已经进行了研究 在这里，我们需要注意0 a 0 对s ( a ，1 ) ， 我们可得0 m i n f 2 a 事实上，假设a m i n 0i nb 和风( 萨) = 0 由于一p p e 0o nb ，再有由强极大值原理可知 d p 。( k 5 ) 0 这与上面得到的结果相矛盾因此，0 m i n a 1 ，考虑下面的方程 一g p = 阢( u ) i nq ，v = po na q ( 1 1 0 ) 由 2 6 】中s u b - a n ds u p e r s o l u t i o n 的论述，很容易得( 1 1 0 ) 有两个正解孵和霹且 0 m i n qu 宇 1 ( 注意到0 ，v e 和1 ，v e 分别是( 1 1 0 ) 的两对s u b - a n d s u p e r s o l u t i o n s ) 与文献【2 6 中的论证相似，我们可得谚p ，碟p 设u = p u ，可 见v + 满足d i r i c h l e t 问题 - e a p v = 虻( ) i nq ，v = 0o na q ， ( 1 1 1 ) 这里虻( s ) = 一g a ( p s ) 显然地，虻有三个正的零点p 一1 一a 0 若s ( 0 ，p 1 ) u ( 卢一o ，p ) ，夕：( 5 ) 0 若0 口 a p ，u ，故在1g * ( s ) d s 0 另一方面，我们可以得到u ：= p 一增满足 p a m a x q 0 对任意的t ( 0 ，p n ) 这与位lg * ( s ) d s 0 相矛盾因此，是不存在的从而，若0 0 ，如果0 0 ，如果0 c o ，当 _ 0 时，( 只) 就有一个解满足 i 1 ，一致，在( a a ) u 面的任一紧子集上， i o ，一致，在( b 雪) u 蕊的任意紧子集上 1 0 第一章绪论 注意到若q 1 = q 2 = 0 ，定理( 1 3 2 ) 实际上就是定理( 1 3 1 ) ，定理( 1 3 4 ) 实际上就 是定理( 1 3 3 ) 定理( 1 ，3 1 ) 和定理( 1 3 3 ) 蕴涵着对于b 的任何一个联通分支鼠，若a b ic cq 以 及o b i 是a a 的一个子集，则在c o ( q ) 的有序区间( 0 ，) 上，( 节) 的任一最小解和( r ) 的任一极小化解在o b t 附近分别有一个t r a n s i t i o nl a y e r 定理( 1 3 2 ) 定理( 1 3 4 ) 蕴涵着 在 z q ：口( z ) = a p ，。) 的特定分支附近，( 节) 和( 足) 的解没有t r a n s i t i o nl a y e r 定 理( 1 3 1 ) 一( 1 3 4 ) 显示了在伊( q ) 的有序区间( 0 ，) 上，( 节) 的最小解和( e ) 的极小 化解的相似性 1 1 第二章边界b l o w - u p 问题的最小正解 在这一章，我们研究边界b l o w u p 问题 ( 节)- - e a p u = f ( x ，u ) i nq ，u = 0 0 o na q 其中1 p 0 是一个很小的参数， qcr ( n 2 ) 是一个有界光滑区域 ，x , z ) ： i u i p 一2 札i u n ( z ) i p 一2 ( u n ( z ) ) 1 1 一u i u 一1 ( 1 一u ) ，i f p 22 il 训( p 一2 ) o 一1 ) u ( u a ( x ) ) l l 一札1 w - 1 ( 1 一u ) ， i f1 p 0 ，a ( x ) 是一个连续函数并且0 a ( x ) 1f o rz 豆 我们称u 。是方程( 掣) 的一个解，如果u 。w 娑( q ) nc 1 ( q ) ， e l v u 。( x ) l p 一2 v u 。( z ) v 多( z ) d z = 厂( z ，u 。( z ) ) ( z ) d z ，n- ，q 对v 矽曙( q ) 及u 。( z ) _ a sd ( x ，a q ) 一0 u 。是( 霉) 的一个最小解我们是指，对( 甲) 的任意一个解，都有 2 1 预备引理 u e i nq 设q 1 ，q 2 是两个开集并且满足q 1nq 2 = 0 ，q tc cq ，i = 1 ，2 ，当z a q l 时 a ( x ) a 州设b 和a 如定理( 1 3 2 ) 中所定义 q 1 和q 2 可以是空集 对于固定的x q ，设m ( x ) ( 0 ，1 ) 和m ( x ) ( 0 ，1 ) 是满足f ( x ，m ( z ) ) = m a x t 【0 1 1 】f ( x ，t ) 和f ( x ，r e ( x ) ) = m i n t 【o ，1 1f ( x ，t ) 的两点显然u ( x ) 和m ( x ) 是连续的 设 ( z ，t ) 是定义在面x 瓞上的连续函数满足当t m ( x ) 时f l ( x ，t ) = ( x ，t ) ，f l ( z ，t ) 关于t 是c 1 的，且当0 t 0 ，使当0 g 1 时，方程( 2 - 1 ) 至少有一个最小正解w 。 证明：取a p u l 1 使l m a x 豆a ( x ) 定义 f l ( ) ： 垆一1 i t - l | p 一2 一l ) 1 1 一。i , - 1 ( 1 一幻，讧p 2 【t l ( p 一1 ( t l ) 1 1 一t l u - 1 ( 1 一) ， i f1 p 0 使当0 e e 时，( 2 2 ) 有一个解砚( 它是唯一的 大解) 并且m i n n 玩21 ( 注意到m i n n 碓= 1 ，0 0 这就完成了引理的证明 口 2 2 最小解的结构 如果q 1 = q 2 = 0 ，那么h ( x ，t ) = ，( z ，t ) 因此( 2 1 ) 包含了( 甲) 作为其特殊情况 在本节中，我们分析研究像w 。这样的最小解的结构并证明当很小时，w 。是具有定理 ( 1 3 2 ) 中所述性质的( 节) 的解 定理2 2 1 设w 。是( 2 1 ) 的一个最小解则当g 叶0 时，有 ， 1 1 ，一致，在( a a ) uq 1 的任一紧子集上， 训e 气 i o ，一致，在( b b ) uq 2 的任意紧子集上 1 4 第二章边界b l o w u p 问题的最小正解 显然，如果我们取q 1 = q 2 = 毋，定理( 1 3 1 ) 可以由定理( 2 2 1 ) 直接得到另一方 面，由于当一0 时，在两中w 。一1 一致，我们可以得到当e 0 很小时，若z q 1 则w 。( z ) m ( x ) 因此， ( z ，w a x ) ) = f ( x ，w 。( z ) ) ，x q 1 又由于当一0 时，在 面中w ：一0 一致，我们可以得到当 0 很小时，若z q 2 则w 。( z ) 0 足够小时，w 。也是( 甲) 的解，同时也就得到了定理( 1 3 2 ) 的证明 下面给出具体证明过程， 证明定理2 2 1 ：设x o a ( au i 1 1 ) 取一个足够小的6 0 使得玩( z o ) c c a ( auq 1 ) 取b ( m a x ：百丽口( z ) ，a p ，u ) 定义 ，6 ( t ) ： 垆一1 i 。一6 i p - - 2 一6 ) | 1 一纠u 一1 ( 1 一，讧p 2 【t a ( p 一1 ( 一6 ) 1 1 一t 1 。- i ( 1 一t ) ， i f1 u 。 6 ( z ) ) 定义九= ( w 。一u e , b ) + 我们可得 dc cb 6 ( z o ) ，。w 3 p ( d ) 并且， 一e p 叫。一p u 啪 ( 叫。) 一 ( 魄，。】 1 时， ( s ) 是递减的( 2 - 5 ) 两端同时乘以以再在d 上积分可得，若 d 仍， e 伽佻 p - 2 d w e _ i d u 。, b i p - 2 d u 。, b 陋一卜 0 是不依赖于p 和e 的，使得 伽舰i p - 2 d w e - - d u e , b r 2 d w e - d u 。, b 卜 伽 厶( 1 + 伽i d u e , b j ) p 2 i d w - d u e , b 1 2 如i f1 p 锄 【厶i d w 。一d u 。，b i p d x i fp 2 由此我们得到了矛盾这就说明( 2 4 ) 为真 另外，我们还发现对任意z b 6 ( x o ) 和t 0 ，1 】，( x ，t ) ( ) 设u 。e , b 是如下方程 在c o ( 碉) 的有序区间 0 ，1 】上的最大解 一锋u = ( 钆) i n 岛( z o ) ，u = 0o no b 占( z o )( 2 - 6 ) 由文献 3 3 】和 3 6 】知盈，6 1i nb & ( x o ) 并且当_ 0 时u e , b 一1i nc ( 岛( 知) ) ( 注 意到若0 u p 一1 ，那么m a x b 6 ( z 。) u e , b = 1 ，也就是说u 1 e , b 有一个平核；若u p 一1 ， 则m a x b 6 ( z o ) ? - t e , b p ，砚一1 在( 岛( z ) ) 中显然w 。是( 2 9 ) 的一个上解( 选一合适的b 即 可) ，0 是( 2 9 ) 的一个下解因此，在岛( z ) 上w e 墼所以当e 充分小时桃( z ) p 1 6 第二章边界b l o w - u p 问题的最小正解 这正是我们所需要的结果现在得出我们的结论设西= z 玩( 跏) ：钆，6 ( z ) 伽。( z ) ) 定义鑫= ( 魄，6 一w 。) + 我们得到西c c 玩( z o ) 和多。w 0 1 ，p ( d ) 并且， 一e p 玩，a 一p 叫。 s 【 ( 如，a ) 一 ( 埘。) 】 o i n 西 ( 2 - 1 0 ) 由于h ( s ) 在s p ，1 】上是递减的然后，让d 毋与证明( 2 4 ) 的过程相类似， 可得到矛盾这就证明了( 2 7 ) 式由( 2 4 ) 和( 2 7 ) 式可得若_ 0 ，眺( z ) _ 1 一致， z b 6 2 ( x o ) 相似地，对任意的z o q l ，我们考虑问题 一p v = ，l ( u ) i nb 6 ( z o ) ，u = 0 00 1 1o b 6 ( x o ) ( 2 1 1 ) 又由文献 3 7 和 3 8 】可知，存在0 s 2 e 1 使得若0 0 ，比q 1 ，t 0 ，1 ) ，我们可取一k 0 充分小使 h ( x ，t ) k ( z ) ：= 一k 陋一1 i u 一1 ( 一1 ) ，比百虱i 万，t 0 ，1 】 在上面的讨论中用饥( ) 代替，6 ( ) ，可得 这里面。k 是如下方程的一个正解 w 。也ki n 玩( z o ) ， 一e a p u = 尼k ( u ) i nb 6 ( z o ) ，u = 0o i lo b 6 ( x o ) ( 2 一1 3 ) ( 2 一1 4 ) 由文献【3 3 知远，k 是( 2 1 4 ) 的唯一正解，满足当一0 时，也，k 一1 在c o 。( 玩( ) ) 上 ( 注意到如果0 u p 一1 ，m a x b 。( z 。) 讥，k = 1 ，也就是说，磁，k 有一个平核；若u p 一1 ， m a x b 60 0 ) u e ，k0 ，使百虱i 万cb ( 雪u 豆2 ) 设 b l a p m i n ：骊o ( z ) ) 和b 2 m a x 。百丽o ( z ) ，1 ) 则易得 ( z ，t ) = ，( z ，t ) ，( t ) ，v x j e 7 6 ( z o ) ，t 0 ，1 】 1 7 一类拟线性椭圆边界b l o w u p 和d i r i c h l e t 问题的i n t e r i o r 1 a y e r 解 这里 以及 此处 定义 ，( t ) ：= t p 一1 i t b l i p 一2 ( 一6 1 ) 1 1 一t l u - i ( 1 一t ) ， i f p 2 1 ( p 一1 ( 一b 1 ) 1 1 一t u - i ( 1 一) ， i f1 p 2 h ( x ，t ) = s ( x ，t ) ：( t ) ，比鼠( z o ) ，t 1 ，o 。) 允( t ) ：= t p 一1 i t b 2 1 p 一2 ( t b 2 ) l l t l u - , ( 1 一t ) ，i f p 2 1 ( p 一1 ( t 一6 2 ) 1 1 一t i w - ( 1 一) ， i f1 p 2 k ( t ) = 。( t ) 。( ) 显然k c 1 ( o ，。) 1 ) ) 现在考虑方程 f o rt 0 ，1 】 f o rt ( 1 ，o o ) - e a p y = k ( y ) i n 玩( z o ) ，y = 。o no b 6 ( z o ) ( 2 1 5 ) 由文献 3 8 】可知存在0 e 3 e 2 ，使得如果0 e 3 ，( 2 1 5 ) 有一最小正解队满 足在c o o 。( b ( z o ) ) 上，当e 一0 ，有y 。一0 并且y 。是一径向对称解从文献 2 6 】和 3 8 】 - - i s 警i a 风( z 。) = 。，此处是o b 6 ( z o ) 的单位外法向量 下面我们说明 w 。欤i n 玩( z o ) ( 2 1 6 ) 事实上，我们知道，当z o b 6 一下( z o ) ，玑( z ) = o l ，其中0 0 o no b 6 一下( z o ) 现在定 义 j ，魄 2k 下 i n 玩一丁( z o ) i n 矶玩一丁( z o ) ， 由警b 玩一， 0 我们可知k 是如下方程( 2 1 7 ) 的一个上解 1 8 一p w = ( z ，w ) i nq ， w = q ，1 _ o na q ( 2 1 7 ) 第二章边界b l o w u p 问题的最小正解 此外，( 2 1 7 ) 的最小解啦，下在c o ( q ) 的有序区间 0 ，q ”】上满足以k 由于当7 i _ 0 时，啦，r o 。和也，下一叫。i nc o o c ( q ) 【2 6 】，我们得到 y 。i nb 6 ( 2 8 0 ) 这就是我们要证明的( 2 1 6 ) 式由于当e _ 0 时，y 。_ 0i n ( 玩( z o ) ) ，所以可得当 _ o 时，w 。( 2 8 ) _ 0 一致，z b 6 2 ( x o ) 相似地，当2 8 0 q 2 时，我们知道h ( x ，t ) = s 2 ( 2 8 ，t ) 0 以及t 1 时，2 ( z ，t ) f ( x ，t ) 故，我们可以取一个 ( ) ，满足h ( o ) = 0 ， h ( t ) 0 ，h 在区间( 0 ，0 0 ) 上是严格递减的，并且l i r a h ( t ) t p = 一， 使得 九( z ，t ) h ( t ) 比q 2 ，t 0 ，o o ) 考虑方程 - e a p u = h ( v ) i n 玩( 知) ，可= o oo i lo b 6 ( 2 8 0 ) ， ( 2 1 8 ) 由文献 3 8 】知存在0 e 4 e 3 使得当0 6 4 时，( 2 1 8 ) 有唯一的一个正解魄，满足 当一0 时，优一oi n 哦( 玩( 知) ) 由与( 2 1 6 ) 相似的证明，我们可得 0 w 。趣i nb 5 ( 2 8 0 )( 2 1 9 ) 以及当_ o 时，叫( z ) _ o 一致， z b 6 2 ( 2 8 0 ) 还需要证明当x o a q 。和z o a q 2 的情况下面我们将会得到在这两种情况下，当 _ 0 时，分别有w