（基础数学专业论文）动力系统中的余紧混合性与n初值敏感依赖性.pdf

中文摘要 动力系统( x ，) 主要是研究紧致空间x 中的点在，的迭代作用下的渐近性 质，而拓扑传递性、拓扑混合性以及初值敏感依赖性则从不同侧面反映了系统 的复杂情况然而像我们比较常见的空间r n 却不是紧致的，所以研究它的动 力性状就变得束手无策了王延庚和卫m 1 】在h a u s d o r f f 空间中引入了余紧混合 性、余紧弱混合性以及余紧传递性的定义，本文在此基础上进一步研究了它们 的性质，得到了一些新的结论本文的另一成果就是研究了紧致动力系统的礼 初值敏感依赖性，得n n 初值敏感依赖性是保持拓扑共轭不变的，并且将札初值 敏感依赖性由紧致空间推广到了局部紧致的第二可数h a u s d o r f f 空间，从而扩展 了动力系统的研究范围，为将来的应用奠定了理论基础本文具体安排如下： 第一章，我们首先简要介绍了动力系统的发展过程然后系统介绍了用来 刻画动力系统的几个概念以及它们之间的相互关系，最后阐述了本文的研究背 景和主要内容 第二章，在余紧混合性、余紧弱混合性以及余紧传递性的定义及其性质的 基础上研究了它们与拓扑混合性、拓扑弱混合性以及拓扑传递性之间的关系， 并且还证明了： 1 若，是余紧混合的，则对任意的正整数p ，尸也是余紧混合的 2 若厂是余紧弱混合的，c ，为x 中的任意余紧开集并且满足f ( u ) c n u 是稠密的 3 若，是余紧混合的，夕是绝对扩张的，则厂og 也是余紧混合的 4 若，是余紧弱混合的，g 是绝对扩张的，则，。g i g 是余紧弱混合的 5 若厂是余紧传递的，9 是绝对扩张的，则，。夕也是余紧传递的 第三章，我们首先介绍如何将以底空间为局部紧致的第二可数h a u s d o r f f 空 间的动力系统扩充为紧致动力系统，然后研究了动力系统的n 初值敏感依赖性 得到结论：扎初值敏感依赖性是保持拓扑共轭不变的，并且将几初值敏感依赖性 由紧致空间推广到了局部紧致的第二可数h a u s d o r i f 空间 最后，我们对全文进行了总结并提出了需进一步研究的问题 关键词 余紧混合性，余紧弱混合性，余紧传递性，n 初值敏感依赖性 1 1 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h em a i ni s s u eo fd y n a m i c a ls y s t e m ( x ，) i st os t u d yt h ea s y m p t o t i cp r o p - e r t yo ft h ep o i n t su n d e rt h ei t e r a t i o no f i nt h ec o m p a c ts p a c ex ，w h i l et o p o l o g i - c a lt r a n s i t i v i t y , t o p o l o g i c a lm i x i n ga n ds e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n s a l lr e f l e c tt h ec o m p l e x i t yo ft h es y s t e mf r o md i f f e r e n ta s p e c t s h o w e v e r ，t h es p a c e o f 酽w h i c hw ea r ef a m i l i a rw i t hi sn o tc o m p a c t ，t h u si tb e c o m e sr e a l l yd i f f i c u l t f o r1 1 8t os t u d yi t sd y n a m i c a lp r o p e r t i e s f o r t u n a t e l y , w a n gy a n g e n ga n dw e i g u o 1 】h a v ei n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o n so ft h ec o - c o m p a c tm i x i n g ，c o - c o m p a c t w e a k l ym i x i n ga n dc o - c o m p a c tt r a n s i t i v i t yi nt h eh a u s d o r f fs p a c e b a s e do nt h e d e f i n i t i o n s ，t h ec o - c o m p a c tm i x i n g ，c o - c o m p a c tw e a k l ym i x i n ga n dc o - c o m p a c t t r a n s i t i v i t ya r ef u r t h e rs t u d i e da n ds o m en o v e lc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e di nt h i s p a p e r i na d d i t i o n ，t h es e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n so fn i sa l s o e x p l o r e di nt h ec o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s t h er e s u l ti st h a ti ti si n v a r i a n t s f o rt o p o l o g i c a lc o n j u g a c ya n dt h es e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n so f 几 i se x t e n d e df r o mc o m p a c ts p a c e st ot h eh a u s d o r f fl o c a l l yc o m p a c ts e c o n dc o u n t - a b l es p a c e s ( h l c s c ) ，w h i c hh e l p st oe x t e n dt h es c o p eo ft h es t u d yo fd y n a m i c a l s y s t e m sa n dl a y sat h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ef u t u r ea p p l i c a t i o n s t h es p e c i f i c a r r a n g e m e n to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p i n gp r o c e s so ft h ed y n a m i c a l s y s t e m s t h e nw ei n t r o d u c es e v e r a lc o n c e p t ss y s t e m a t i c a l l y , w h i c ha r eu s e dt o d e s c r i b et h ed y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dt h e i rm u t u a lr e l a t i o n s f i n a l l y , t h i sp a p e r g i v e sa l la c c o u n to fr e s e a r c hb a c k g r o u n da n dm a i nc o n t e n t s i nc h a p t e r2 ，o nt h eb a s i so ft h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ft h ec o - c o m p a c t m i x i n g ，c o - c o m p a c tw e a k l ym i x i n ga n dc o - c o m p a c tt r a n s i t i v i t y , w es t u d yt h e i r r e l a t i o n st om i x i n g ，w e a k l ym i x i n ga n dt r a n s i t i v i t y e v e n t u a l l y , s o m et h e o r e m s u l a x ep r o v e dt ob et r u e ： 1 i f i sc o - c o m p a c tm i x i n g ，f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rp ，f pi sa l s oc o - c o m p a c t m l n g 2 i ffi sc o - c o m p a c tw e a k l ym i x i n g a n df o ra n yc o - c o m p a c ts u b s e tuo f x s a t i s f y i n gf ( u ) cu ，t h e nu i sd e n s e 3 i ffi sc o - c o m p a c tm i x i n g ，a n dgi sa b s o l u t e l ye x p a n s i v e ，t h e nfogi s a l s oc o - c o m p a c tm i x i n g 4 i ffi sc o - c o m p a c tw e a k l ym i x i n g ，a n d9i sa b s o l u t e l ye x p a n s i v e ，t h e n ogi sa l s oc o - c o m p a c tw e a k l ym i x i n g 5 i ffi sc o - c o m p a c tt r a n s i t i v e ，a n dgi sa b s o l u t e l ye x p a n s i v e ，t h e nfogi s a l s oc o - c o m p a c tt r a n s i t i v e i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yd e s c r i b eh o wt oe x p a n dd y n a m i c a ls y s t e m so fh a u s - d o r f fl o c a l l yc o m p a c ts e c o n dc o u n t a b l es p a c e s ( h l c s c ) t ot h ec o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dt h e ns t u d yt h es e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n so f 礼 f i n a l l y , w ec o m et ot h ec o n c l u s i o nt h a tt h es e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n so f 礼i si n v a r i a n t sf o rt o p o l o g i c a lc o n j u g a c ya n di ti se x t e n d e d f r o mc o m p a c t s p a c e st ot h eh a u s d o r f fl o c a l l yc o m p a c ts e c o n dc o u n t a b l es p a c e s ( h l c s c ) a tl a s t ，w es u m m a r i z eo u rr e s u l t sa n dr a i s eaq u e s t i o nf o rf u r t h e rs t u d y k e y w o r d s c o - c o m p a c tm i x i n g ，c o - c o m p a c tw e a k l ym i x i n g ，c o - c o m p a c tt r a n s i t i v i t y , s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n so fn l v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：象旦熟： 指导教师签名：圜 分l 嗥6 只i 。bf o 年只? o 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：帮日权 猢一年e 只扣日 西北大学硕士学位论文 5 1 1 动力系统发展概述 第一章绪论 动力系统的研究最早可以追溯到牛顿创立的微积分、三大运动定律以及万 有引力定律在牛顿的体系中，以时间为参变量的微分方程占据着主导地位而 牛顿的经典著作自然哲学的数学原理在接下来的两个世纪中便成为了人们 研究天体问题的一个典范当时人们甚至很乐观地认为他们可以像牛顿当初解 决二体问题那样通过求出微分方程的解来处理任何天体问题。遗憾的是，这种 愿望却未能实现直到十九世纪八十年代，情况才发生了一个质的转变法国著 名数学家p o i n c a r 6 2 将相空间的几何( 系统参数向量所有可能值的空间) 引 入分析过程，不通过方程的解而直接研究解的性态，从而将人们的注意力从方 程的单个解转移到了所有可能的解曲线及其相互关系上来虽然这种方法对 单个解不能提供太多的信息，但是却能得到一些、甚至大部分解曲线的信息 随着p o i n c a r 6 定性分析方法的引入，动力系统研究的焦点从以微分方程来定义 系统的模式转到了相空间与作用群上而b i r k h o f f 的工作无疑使这种转化更加 明朗化1 9 2 7 年，b i r k h o f f 3 】以一般度量空间上的群作用作为动力系统来研究 众多动力学性质，并且他在这个一般范畴下重建了前面提到的p o i n c a r 6 的结论 在b i r k h o f f 将动力系统作了公理化的处理后，这个学科便迅速发展起来了现如 今动力系统已经是覆盖多个学科的综合性数学分支，其研究方向大致可分为： 拓扑动力系统、复动力系统、微分动力系统、遍历理论、微分方程的定性理 论、h a m i l t o n 系统、随机动力系统等 4 1 我国在动力系统方面的发展要稍晚一 些，像已故的廖山涛先生便是我国动力系统研究的开山之人 给定一个拓扑空间x 和其上的一个连续映射，连续映射序列 ，o ，1 ，) 叫做x 上由连续映射，经过迭代而生成的离散拓扑半动力系统由拓扑空 间x 上的连续自映射，生成的离散半动力系统称为拓扑动力系统，记作( x ，) 当拓扑空间x 为紧致空间时，便构成一个紧致动力系统在紧致动力系统( x ，) 】 第一章绪论 中，x 中每一点x ，在，的作用下变成像点，( z ) 当这种作用无限进行下去在x 上 就引起个运动而拓扑传递性、拓扑混合性、拓扑弱混合性以及混沌便是用 来刻画动力系统性状复杂性或混乱程度的，所以研究它们就显得尤为重要 拓扑传递性是用来描述紧致动力系统复杂性的一个重要概念，最初是由 美国数学家b i r k h o f f 提出来的，它主要表现为点在迭代作用下在空间中到处穿 行，体现了系统轨道的稠密性，因而这样的系统是不可分割的，必须从全局的角 度来考虑问题关于拓扑传递性的文章有很多卜1 0 | 与拓扑传递性相比，拓扑 混合性与拓扑弱混合性更能很好地描述紧致动力系统运动的复杂性或混乱程 度| l l 1 2 】然而像我们比较常见的空间彤却不是紧致的，研究它的动力性状就变 得相当困难了 2 0 0 7 年，王延庚，卫国 1 】拓广了拓扑传递性和拓扑混合性的定义， 在h a u s d o r f f 空间中( 不要求紧致的) 引入了余紧混合性、余紧弱混合性以及 余紧传递性的定义，并且得到了一些有意义的结论 人们在习惯上普遍认为科学的目标是发现事物之间的因果关系从而准确地 做出预测，这也正是科学的威力所在例如牛顿的经典力学之所以被人们广泛 接受，不仅是因为它的理论体系完整严密，也不仅是因为它能对已知现象给出 合理的理论解释，更是因为它能预测未知事物然而，有些现象却一直令科学家 们困惑不解，比如他们可以长期精确地预测地球潮汐运动，却对长期预测天气 的变化无能为力这类被认为是例外怪异的现象，在长期被回避之后，近3 0 年来 成了科学研究的一个热点，这便是本文要说的混沌 混沌是用来刻画动力系统动力性状的一个重要概念，最初在法国数学 家p o i n c a r 6 研究常微分定性理论的同宿轨中就孕育了混沌的思想但由于当时 客观条件的限制，他的预言并没有引起大多数人的注意，直至u 1 9 6 1 年美国气象 学家l o r e n z 在用计算机求解一组描述地球大气的非线性微分方程时发现把两 组相差极小的温度、气压和风向等数据输入计算机时，经过一段时间后结果却 出现了两种截然不同的天气系统随后l o r e n z 在美国科学发展学会第1 3 9 次会议 上发表了题为“可预测性：巴西一只蝴蝶扇动翅膀，能否在得克萨斯州掀起一 2 两北大学硕士学位论文 场龙卷风的演讲他认为一个微小的初始条件变化可能导致一连串逐渐放大 的改变，最终导致完全不同的结果这个看似荒谬的论断，打碎了所有人关于因 果决定论的幻想，最终产生了当今世界上最伟大的理论之一“混沌理论 l o r e n z 把这种对初始条件的敏感依赖性称为蝴蝶效应，即初值的微小变动或偏 差经过一段时间后会导致系统状态显著的差别初值敏感依赖体现了动力系统 的不确定性一个动力系统称为初值敏感依赖的，是指存在一个正数，使得对于 任意非空开集都存在两个不同的点，若干次迭代后它们之间的距离大于给定的 这个正数2 0 0 5 年，熊金城【1 3 】推广了初值敏感的定义，引入了礼初值敏感的概念， 扩展了动力系统的研究范围1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 提出了奇怪吸引子的名 词1 9 7 5 年李天岩和y o r k e 发表“周期3 蕴涵混沌”1 1 4 - - 文，深刻揭示了从有序 到混沌的演变过程该定理首次用严格的数学语言揭示了长期困扰人们的一个 自然现象，即在简单的确定性系统中也可以有不确定的动力性状，从而引起了 数学以及物理工作者的普遍关注在文中首次使用了混沌这个术语，并且被广 大学者所接受，从而拉开了数学混沌研究的序幕所谓l i y o r k e 混沌一般地可叙 述为 定义1 1 1 【1 5 】设( x ，) 为紧致动力系统，d 为x 上的度量称scx 为，的混 沌集，如果对于任意的z ，y sx y ，满足 l i mi n f d ( f n ( 。) ，f n ( 箩) ) = 0 ，l i ms u p d ( f n ( z ) ，f n ( 芗) ) 0 t l - o 。n + o 。 如果门芎一个不可数的混沌集，则称，是l i y o r k e 混沌的 在此之后混沌得到了空前的发展，并且超越了原来数学和物理学科的狭 窄背景，走进了生物学、化学乃至社会学的广阔天地1 9 7 6 年，美国生物学 家m a y 在自然杂志上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”的 文章，向人们展示了混沌理论的惊人信息，即简单的确定的数学模型也可以 产生看似随机的行为1 9 7 7 年，第一次国际混沌大会在意大利召开，从而标志 着混沌科学的诞生1 9 7 8 年，f e i g e n b a u m 在m a y 的基础上发现了倍周期分支走 向混沌的两个普适常数并引入了重整群思想，这一重大发现具有里程碑的意 3 第一章绪论 义1 9 8 2 年，h i r s c h 和h u 概括出了通向混沌的第二条典型道路是阵发性现象另 外，通向混沌的第三条道路是准周期运动的分支，近年来已引起了广泛的关 注由于研究的侧重点不同，混沌的定义也有所不同关于混沌的定义有很 多【5 ，8 ，1 2 ，1 6 ，l7 i ，其中比较重要的一种是1 9 8 9 年由d e v a n e y 给出的，即 定义1 1 2 【1 6 】设( x ，) 为紧致动力系统，d 为x 上的度量如果满足下列三 个条件： ( 1 ) 厂在x 上是拓扑传递的； ( 2 ) ，的周期点在x 内处处稠密，即：p ( f ) = x ； ( 3 ) 厂在x 上对初值敏感依赖，则称，在d e v a n e y 意义下是混沌的 周作领将满足定义1 1 2 条件( 1 ) 和( 3 ) 的系统称为在修改的d e v a n e y 意义下 是混沌的，并且还证明了拓扑混合性蕴涵了在修改的d e v a n e y 意义下是混沌的 1 2 余紧混合性与n 初值敏感依赖性的重要性 动力系统是研究紧致空间中点的轨迹问题，然而像我们比较常见的空间r “ 却不是紧致的，因此研究此类空间中点的轨迹问题就变得束手无策了正是在 这种背景下，王延庚和卫国【1 1 在h a u s d o r f f 空间中( 不要求紧致的) 弓l h y 余紧混 合性、余紧弱混合性以及余紧传递性的定义，从而在非紧空间中开辟了一条新 的研究思路 我们在研究连续映射的过程中，有很多复杂映射是很难直接来研究的，但 如果复杂映射可以表示为一些简单映射的复合，那么如果我们能知道这些简单 映射与其复合映射之间的关系的话，则研究复合映射的性质就变得相对容易 些同样的道理，在研究动力系统的动力性状过程中，要想直接来研究动力系 统，o 夕的余紧性( 余紧混合性、余紧弱混合性以及余紧传递性) 有时也是很困难 的但是若能找到动力系统( x ，o 夕) 的余紧性与动力系统( x ，) 和( x ，g ) 的余 紧性之间关系的话，那么我们就可以通过动力系统( x ，) 和( x ，g ) 的余紧性来 刻画动力系统( x ，o 夕) 的余紧性因此对动力系统( x ，o 夕) 的余紧性与动力系 4 两北大学硕士学位论文 统( x ，) 和( x ，g ) 的余紧性之间关系的研究就显得很有必要了 自从l o r e n z 发现初值敏感性以来，关于初值敏感性的话题一直都是科学家 们比较关注的由于初始条件的误差经过迭代后会出现很大的偏差，所以很多 混沌的定义在不同程度上都蕴涵了初值敏感依赖性，像d e v a n e y 混沌【1 6 】就把初 值敏感依赖性作为一个条件，l y a p u n o v 指数为正数蕴涵了初值敏感性等等熊 金城【1 3 】推广了初值敏感性的定义，引入了礼初值敏感性的概念本文的另一个 研究成果是研究了动力系统的n 初值敏感性的拓扑共轭性，并且将礼初值敏感 依赖性由紧致空间推广到了局部紧致的第二可数h a u s d o r f f 空间，从而扩展了动 力系统的研究范围因为拓扑共轭的两个动力系统有着完全相同的动力性状， 所以拓扑共轭就成为由已知动力系统来研究未知动力系统的一个有力工具，因 此我们对其研究也是很有必要的 1 3 本文的主要内容 第一章，我们首先简要介绍了动力系统的发展过程，然后系统介绍了用来 刻画动力系统的几个概念以及它们之间的相互关系，最后阐述了本文的研究背 景和主要内容 第二章，在余紧混合性、余紧弱混合性以及余紧传递性的定义及其性质的 基础上研究了它们与拓扑混合性、拓扑弱混合性以及拓扑传递性之间的关系， 并且还证明了： 1 若厂是余紧混合的，则对任意的正整数p ，尸也是余紧混合的 2 若，是余紧弱混合的，u 为x 中的任意余紧开集并且满足f ( u ) c 阢则u 是稠密的 3 若，是余紧混合的，夕是绝对扩张的，则，og 也是余紧混合的 4 若，是余紧弱混合的，9 是绝对扩张的，则，o 夕也是余紧弱混合的 5 若，是余紧传递的，g 是绝对扩张的，n fo9 也是余紧传递的 第三章，我们首先介绍如何将以底空间为局部紧致的第二可数h a u s d o r f f 空 5 第一章绪论 间的动力系统扩充为紧致动力系统，然后研究了动力系统的r , 初值敏感依赖性 得到结论：7 , 初值敏感依赖性是保持拓扑共轭不变的，并且将礼初值敏感依赖性 由紧致空间推广到了局部紧致的第二可数h a u s d o r f f 空间 最后，我们对全文进行了总结并提出了需进一步研究的问题 1 4 预备知识 为了更深一层的了解动力系统的定义和性质，同时也为了我们后面讨论的 需要，我们先给出其相关定义和性质 定义1 4 1 【1 5 】设( x ，厂) 为紧致动力系统如果对x 中的任意非空开集u ，y ， 存在n 0 ，使得 ，n ( u ) nv 国， 则称，是拓扑传递的 定义1 4 2 【1 5 】如果，是拓扑传递的，则称，是拓扑弱混合的，亦即对x 中 的任意非空开集，k 和k ，存在7 1 , 0 ，使得 ，九( 仉) nk d ，n ( ) n 谚 定义1 4 3 【1 5 】如果对x 中的任意非空开集v ，y ，存在n 0 ，使得 尸( u ) nv d ， 其中n ，则称厂是拓扑混合的 根据拓扑传递性的定义，是拓扑弱混合的，相当于对x 的任何非空开集巩， ，和，存在n 0 ，使得 ( ，) n ( 巩) n ( 巩x ) = ( ，n ( 巩) x ，n ( ) ) n ( 巩xk ) 仍， 即，n ( 巩) nu 2 d ，尸( ) n d 容易得知：拓扑混合性= 净拓扑弱混合性争拓扑传递性，但反过来一般却 不成立【1 5 1 7 | 6 两北大学硕士学位论文 定义1 4 4 【1 5 】设( x ，) 和( x ，9 ) 为紧致动力系统如果存在映上的同胚映 射h ：x 叶y 使得 h0 ，= g0h ， 则称，和g 是拓扑共轭的，记作，29 如果h ：x _ y 仅仅是在上连续的，则 称，和9 是拓扑半共轭的 定义1 4 5 【1 5 】如果存在e 0 ，使得对每一点z x 和z 的任意邻域u ，存 在y u 和n n ，满足 d ( f n ( z ) ，n ( y ) ) e ， 则称，对初值敏感依赖，e 称为敏感常数 熊金城推广了初值敏感的定义，引入了n 初值敏感的概念 定义1 4 6 1 1 3 1 对于任意取定的自然数扎2 ，存在e 0 ，使得对于x 中的 任意非空开集u 均存在中凡个互异的点z 1 ，z 2 ，z n 及m n ，满足 m i n d ( f m ( 黝) ，m ( 巧) ) ：1si j n ) e ， 则称动力系统( x ，) 为凡初值敏感的，e 为系统的一个n 初值敏感常数 定义1 4 7 【1 6 】设( x ，d ) 为紧致度量空间，：x x 为连续映射如果满足 下列三个条件： ( 1 ) f 在x 上是拓扑传递的； ( 2 ) ，的周期点在x 内处处稠密，即：p ( f ) = x ； ( 3 ) f 在x 上对初值敏感依赖，则称厂在d e v a n e y 意义下是混沌的 7 第二章h a u s d o r f f 空间中的余紧混合性与余紧传递性 第二章h a u s d o r f f 空间中的余紧混合性与余紧传递性 5 2 ，1 引言 本章总设x 为h a u s d o r f f 空间，为x 上的连续自映射，( x ，) 为拓扑动力系 统，尸为，的p 次迭代动力系统的核心问题是研究紧致空问中点的轨道的渐 近性或拓扑结构拓扑混合性和拓扑传递性则从不同角度刻画了紧致系统 运动的复杂程度，然而在我们实际应用中经常会遇到像舻这样非紧的拓扑 空间，此时研究它的拓扑混合性与拓扑传递性就变得无力了王延庚和卫 国【1 】在h a u s d o r f f 空间中( 不要求紧敛的) 引入了余紧混合性、余紧弱混合性以及 余紧传递性的定义，本文在此基础上对它的一些性质进行了深入的探讨我们 都知道，在研究函数性质时，有时连续函数可能是个很复杂的函数，直接研究 它是很困难的但是我们知道很多复杂函数是由一些简单函数复合而成的，因 此如果我们能知道这些简单函数与其复合函数之间的关系的话，则研究复合函 数的性质就变得相对简单了像连续函数的复合还是连续函数，单调递增函数 的复合还是单调递增的等等同样，在研究动力系统动力性状时，如果想直接 来研究动力系统( x ，o 夕) 的动力性状有时相对困难一些，于是我们就想能否通 过研究动力系统( x ，) 与( x ，g ) 的动力性状来刻画复合动力系统( x ，fo9 ) 的动 力性状呢? 因此对复合动力系统( x ，o9 ) 的动力性状与动力系统( x ，) 和( x ，g ) 的动力性状之间关系的研究就很有必要了 关于复合动力系统的动力性状的研究，c o t t s c h a l k ，e r d o s 和s t o n e 在 文f 1 8 ，1 9 】中对动力系统的回复性进行了研究，得到以下结论：p ( f n ) = p ( ，) ，r ( f n ) = r ( ，) 叶向东，黄文，邵松在文【20 】中讨论了紧致动力系 统( x ，f ) d e f 与广的关系，得到结论：传递系统不必为完全传递的此外，还 有大量的文献研究了复合动力系统的动力性状【2 1 - 2 z 本章将进一步研究一般复合动力系统( x ，f0 夕) 的动力性状 与( x ，) 和( x ，9 ) 的动力性状之间的关系得到以下结论：若，是余紧混合 8 西北大学硕士学位论文 的( 余紧弱混合的，余紧传递的) ，则在g 满足一定条件下，o 夕也是余紧混合 的( 余紧弱混合的，余紧传递的) 2 2 基本概念及理论 定义2 2 1 【1 】设x ：为h a u s d o r f f 空间，【，为x 的非空开子集如果x u 是紧 的，则称v 为x 的余紧开集如果非空开集纱与y 中至少有一个是余紧开集，则 称矿与y 为x 的一个余紧开集对，并记作( 以y ) 定义2 2 2 【1 】设( x ，) 为拓扑动力系统，x 为h a u s d o r f r 空间如果对于x 的任意余紧开集对( u ，y ) ，存在m n ，满足 ，n ( u ) nv 国， 其中m ，则称( x ，) 是拓扑余紧混合的，简称厂是余紧混合的 定义2 2 3 【1 】设( x ，) 为拓扑动力系统，x 为h a u s d o r f f 空间如果对于x 的任意有限个余紧开集对( 既，k ) ，存在n n ，满足 ，n ( 巩) nm 仍， 其中t = 1 ，2 ，七，则称( x ，) 是拓扑余紧弱混合的，简称，是余紧弱混合的 由定义2 2 2 和2 2 3 可知：拓扑弱混合性蕴涵了余紧弱混合性，余紧混合性 蕴涵了余紧弱混合性f l ，1 5 i 定义2 2 4 【1 】设( x ，) 为拓扑动力系统，x 为h a u s d o r l r 空间如果对于x 的 任意开子集巩，叶，曙，咯和巩，昭，曙，k 2 满足： ( 1 ) 巩与为x 的余紧开集； ( 2 ) 巩n 吁谚，( 1 j i 七) 与睨a 吁谚，( 1sj 2 ) ，存在礼n 有： 与 ，n ( u 1 ) n ( n 呼) 0 ( 1 j f ) ，n ( 巩n 曙) n ( 巩) 0 ( i 歹七) 9 第二章h a u s d o r f f 窄问中的余紧混合性与余紧传递性 成立，则称( x ，厂) 是拓扑余紧传递的，简称，是余紧传递的 由定义易见：余紧弱混合性蕴涵了余紧传递性 综上可知，关于拓扑混合性、拓扑弱混合性以及拓扑传递性与余紧混合 性、余紧弱混合性以及余紧传递性的关系如下图所示： ( x ，) 是拓扑混合的争( x ，) 是拓扑弱混合的考( x ，) 是拓扑传递的 uu ( x ，) 是余紧混合的弓( x ，) 是余紧弱混合的寺( x ，) 是余紧传递的 我们都知道拓扑混合性、拓扑弱混合性以及拓扑传递性都是保持拓扑共轭 不变的【1 5 1 ，对于余紧混合性、余紧弱混合性以及余紧传递性我们也有类似的结 论 定理2 2 1 1 1 1 余紧混合性、余紧弱混合性以及余紧传递性都是保持拓扑共 轭不变的 关于拓扑传递性与余紧传递性的关系比较复杂，但是当底空间x 为紧致空 间时，我们有以下结论成立 定理2 2 2 1 1 】设( x ，) 为紧致动力系统若，是余紧传递的，则，是拓扑传递 的 定义2 2 5 ( 2 4 】设( x ，f ) 是拓扑动力系统如果对x 的任意非空集合u ，都 有f ( u ) 3u ，则称映射厂是绝对扩张的 2 3 主要结果r i i f _ n 满足 定理2 3 1 对任意的正整数p ，如果，是余紧混合的，则广也是余紧混合的 证明设，是余紧混合的，则任取x 的一个余紧开集对( e 厂，y ) ，存在m n ， ，n ( u ) nv d ， 其中讹m 很显然有n p m 所以有 ( 尸) n ( 扩) nv = f p ( u ) nv d ， 1 0 西北大学硕：t ：学位论文 从而广也是余紧混合的 我们都知道厂是拓扑传递的当且仅当对于x 的任意非空开集以 u 器l 广( u ) 在x 中稠密【1 5 】对于余紧弱混合性我们有以下结论成立 定理2 3 2 如果，是余紧弱混合的，矿为x 中的任意余紧开集并且满 足厂( u ) c 阢则u 是稠密的 证明任取x 的非空开集，其中i = 1 ，2 ，k ，, 贝a j u 与k 可构成x 的有限 个余紧开集对由于，是余紧弱混合的，所以存在正整数n n ，满足 ，n ( 【厂) nk 谚， 进而有 0 0 u ，n ( u ) nk d ，l = 1 再由厂n ( u ) cu d ，所以unk 0 ，即u 是稠密的 定理2 3 3 设( x ，) 与( x ，夕) 为拓扑动力系统，x 为h a u s d o r f f 空间如果厂是 余紧混合的，9 是绝对扩张的，则，og 也是余紧混合的 证明因为，是余紧混合的，所以任取x 的一个余紧开集对( u ，y ) ，存 在m n ，满足广( u ) nv d ，其中m 而 ( f0 夕) n ( u ) nv = ( fo 夕) n - 1 厂( 夕( u ) ) nv ) ( fo 夕) n - 1 f ( u ) nv = ( fo 夕) n - 2 ，( 9 ( ，( u ) ) ) nv ) ( fo 夕) n - 2 f 2 ( 纱) nv 3 3 ，n ( u ) nv 西 所以厂o g 也是余紧混合的 定理2 3 4 设( x ，) 与( x ，9 ) 为拓扑动力系统，x 为h a u s d o r f f 空间如果，是 余紧弱混合的，夕是绝对扩张的，贝, l j fog 也是余紧弱混合的 】1 第二章h a u s d o r f f 空闻中的余紧混合性与余紧传递件 证明因为厂是余紧弱混合的，所以任取x 的有限个余紧开集对( 以，k ) ，存 在n n ，满足尸( 阢) nk d ，其中i = 1 ，2 ，七而 ( og ) n ( 阢) nk = ( fo 夕) n 一1 厂( g ( 阢) ) n 磁 ) ( f o9 ) n - 1 ，( 阢) nk = ( 厂。夕) n _ 2 ，( 夕( ，( 矾) ) ) nm 3 ( fo 夕) 2 ，2 ( 以) nk 3 3 ，n ( 阢) nk 仍 所以，0g 也是余紧弱混合的 定理2 3 5 设( x ，j f ) 与( x ，夕) 为拓扑动力系统，x 为h a u s d o 坩空间如果，是 余紧传递的，夕是绝对扩张的，则，og 也是余紧传递的 证明因为，是余紧传递的，所以任取x 中的开子集巩，w ，盼，w 和， 叩，曙，v 2 满足： ( 1 ) 仉与为x 的余紧开集； ( 2 ) 巩n 吁仍，( 1 歹七) 与n 吁d ，( 1 歹f ) ，存在礼n 有： 与 成立而 f n ( 矾) n ( n 哆) 0 ( 1 j f ) ，n ( 巩n 吁) n 仍( 1 j 七) ( ，。夕) n ( 巩) n ( n 呼) = ( ，。g ) 铲1 ( ，。夕) ( 巩) n ( n 哆) = ( 厂。g ) n _ 1 ，( 9 ( 巩) ) n ( n 吁) 1 2 西北大学硕士学位论文 同理有 3 ( ，。9 ) 舻1 ，( 巩) n ( n 呼) = ( ，。9 ) 铲2 厂( 9 ( ，( ) ) ) n ( n 呼) d ( ，。夕) 舻2 ，2 ( 巩) n ( n 呼) 3 d ，n ( 仉) n ( n 呼) d ( fo 夕) 几( 矾f l 呀) f - i = ( f og ) 俨1 ( ，o 夕) ( 巩n 时) n = ( fo 夕) 驴1 ，( 夕( 巩f l 曰) ) n ) ( fo 夕) 几一1 f ( u 1nv ? ) nu 2 = ( ，。夕) 舻2 f ( g ( f ( u 1n 曙) ) ) n 巩 3 ( fo 9 ) n 一2 f 2 ( 巩nw ) n 玩 ) ) f n ( 以nv i i ) n 巩毋 所以则，0g 也是余紧传递的 2 4 本章小结 本章研究了拓扑动力系统( 底空间为h a u s d o r f f 空间) 的余紧混合性、余紧 弱混合性以及余紧传递性，着重研究了拓扑动力系统( x ，o 夕) 的动力性状 与( x ，) 和( x ，9 ) 的动力性状的关系，并且得到以下结论：若j f 是余紧混合的( 余 紧弱混合的，余紧传递的) ，则在g 是绝对扩张条件下，o 夕也是余紧混合的( 余紧 弱混合的，余紧传递的) 此外，我们还得到如果厂是余紧弱混合的，u 为x 中的 任意余紧开集并且满足f ( u ) cu ，则u 足稠密的这些结论与紧致动力系统中 的拓扑混合性、拓扑弱混合性以及拓扑传递性的一些结论十分的相似我们还 知道( x ，) 是拓扑混合的考( x ，) 是拓扑弱混合的号( x ，) 是拓扑传递的，类 似的我们有( x ，) 是余紧混合的暑( x ，l 厂) 是余紧弱混合的专( x ，) 是余紧传 1 3 第二章h a u s d o r f f 窄问中的余紧混合性与余紧传递性 递的，尤其当底空间为紧致空间时，拓扑混合性与余紧混合性，拓扑弱混合性与 余紧弱混合性分别都是等价的这些新的结论扩展了动力系统的研究范围，为 我们今后的研究及应用方面奠定了理论基础，因此研究它们是非常有必要的 1 4 西北大学硕士学位论文 3 1引言 第三章动力系统的n 初值敏感依赖性 自从l o r e n z 发现初值敏感性以来，关于初值敏感性的话题一直都是科学家 们比较关注的由于初始条件的误差经过迭代后会出现很大的偏差，所以很多 混沌的定义在不同程度t - 都蕴涵了初值敏感性，像d e v a n e y 混沌 1 6 】就把初值敏 感性作为一个条件，l y a p u n o v 指数为正数蕴涵了初值敏感性等等关于拓扑传 递性与初值敏感性的关系，胡杨，阮炯在【9 】中证明了当厂是拓扑传递时，只要再 a n _ l = 系统( x ，) 有非回归点( 且p 3 x x ，使得z 隹u 墨lf k ( z ) ) 这一条件就可以得 y j j f 是初值敏感依赖的对于任何拓扑传递系统，a k i n 、a u s l a n d e r 和w e i s s 1o 】得 出结论：它要么是初值敏感依赖的，要么就是几乎等度连续的特别足极小系 统，要么是初值敏感依赖的，要么就是几乎等度连续的此外，极小点集稠密的 传递系统也是初值敏感依赖的【2 5 】 2 0 0 5 年，熊金城【1 3 】推广了初值敏感的定义，引入了n 初值敏感的概念邵松， 叶向东和张瑞丰【2 6 】在此基础