（基础数学专业论文）凸体brunnminkowski理论中的几个问题.pdf

摘要 i v 凸体几何是现代几何学的一个重要分支，而凸体的b r u n u - m i n k o w s k i 理论则是 凸体几何学的核心内容本文探讨了b r m m - m i n k o w s k i 理论中几个问题，分别是表 面积测度理论的几个应用，投影公式和几个关于单形的径向平均体的不等式首先 在第一章介绍了凸体几何学发展的历史及国内外数学工作者所取得的研究概况第 二章中从多胞形出发，详细介绍了高阶表面积测度理论，并用这一理论来研究多胞 形，证明了单形的正，余弦定理等公式在第三章讨论了凸体混和体积和凸体在子空 间上投影之间的关系，推广了柯西投影公式，并给出了广义投影公式的应用第四 章介绍了径向平均体的相关理论，证明了关于单形及其径向平均体的两个不等式 关键词t凸体，单形，表面积测度，投影公式，混合体积，m i n k j m v s k i 定理，径向 函数，径向平均体 a b s t r a c t v c o v e xg e o m e t r yi s8 1 1i m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d e mg e o m e t r y b r u n u - m i n k o w s h t h e o r y 妇t h ec e n t r a lc o g e n to fc o n v e xg e o m e t r y i nt h i nd i s s e r t a t i o nw e8 t l l d y v e r a i i m p o r t a n tp r o b l e m si nb r u n u - m i n k o w s l c it h e o r y t h e ya r es u f a c en l e a s u r et h e o r y , p r o j e c - t i o nf o r m u l 盯a n dr a d i a lm e a nb o d i e s i nc h a p t e r1w em d r o d u c et h eh i s t o r yo fc o n v e x g e o m e t r ya n d 萄v eab r i e fr e v i e wo ft h er e s e a r c h & c h i e v e m e n t so nt h i ss u b j e c t i nc h a p t 凹 2w eu s ep o l y t o p e at o o lt oi n d r o d u c em - s u r f a c em e a s u r e f u r t h e rw ee s t a b l i s hb o m e c l a s s i ci n e q u a l i t i e sc o n c e r n i n gs i m p l e x t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm i x e dv o l u m eo fc o n v e x b o d i e sa n dt h e i rp r o j e c t i o no naa n b - l i n e a rs p a c ew a sd i s c u s s e dj nc h a p t e r3 a ne x t e n s i o n n mo fc a u c h yp r o j e c t i o nf o m u l a rw a sa l s oe s t a b l i s h e d i nc h a p t e r4w em t r o d u c et h e t h e o r yo fi n e a nr a d i a lb o d ya n de s t a b l i s ht w oi n e q u a l i t i e sr e v o l v i n gv o l - r n eo fs i m p l e x k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y , s i m p l e x ，s u r f a c ei n e s b u r e ，p r o j e c t m nf o r m u l a , m i x e dv o l - l l m ，m i n k o w s l dt h e o r y , r e d i a lr u n i o n ，r a d i a lm e a nb o d y 原创性声明 本人声明。所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同- - i 作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：一一一一一一一一日期。一一一一一一一一 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即。学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名t 一一一一一一一一导师签名，一一一一一一一一日期t 一一一一一一一一 第一章绪论 1 1 学科综述 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支。它是 以微分几何、泛函分析偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学而经典凸性 的核心在于包括m i n k o w s l c i 混合体积理论的b r u m a - 理论成为理想的研究 体系 b n m n - m i n k w s k i 理论起源于1 8 8 7 年h b r u m u 的论文和h m i n k o w s k i 开创性 工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集了当时已出版的主 要结果r s c h n e i d ”的专著【删是部最近出版的极其优秀的参考书如果把欧氏 空问中的向量加( 通常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联系起来。就产生了混合体积的记 号和b m n n - m i n k o w s k i 理论由于混合体积记号的灵活性。它满足的一系列不等式 被广泛用于解决极值问题，而局部意义下的混合体积则可产生混合面积测度均质 积分m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度都是混合体积和混合面积测度的特 殊情形，与微分几何及积分几何密切相关 b r u n n - m i n k o w s k i 理论最核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式l 设a 和且是 l p 中的紧集，则 y c o a ) a 十a b ) ：2 ( 1 一a ) y ( a ) ：+ a y ( b ) ：，v a 【0 ，i i 由于它基本的几何内涵，它被认为是b m n n - m i n k o w s k i 理论的基石，是处理各类涉 及体积、表面积宽度等度量关系难题的有力工具上世纪中叶，l u s t e r n i k ，h a d - w i n g e f ，o h m a n n h e n s t o e k 和m a c b e a t h 等人建立b r u n n - m i n k o w s l d 不等式的一 个推广形式及它对l e b e s g u e 可测集等号成立的条件后，它就进入了分析的领域，往 后的二十年它就成为了分析领域内强有力的工具b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分 形式常被称为p r e “k o p a - l e i n d l e r 不等式一一h b l d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和 l i e b 的努力下。b m n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强 形式的特殊情形a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的一种最 强的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地令人惊讶地发现 了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式可与代数几何中的h o d g e 指标定理相联系，b o r e l l 容 积不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中。它被用来解决容积的m i n k o w s m 1 2 0 0 0 上海大学硕士学位论文 2 同题。m i l m a n 的逆向b r u n n - m i n k o w s k l 不等式是在b a n a c h 空间局部理论中的特殊 形式，g a r d n e r 和g r o n c h i 的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等周 不等式的离散数学、组合理论和图论组合理论和图论联系密切以b r u n n - m i n k o w s k i 不等式为核心，联系着一系列与之有关的仿射等周不等式，如p e t t y 投影不等式 z h a u g 的仿射s o b o l e v 等周不等式和厶仿射s o b o l e v 等周不等式b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在球面、双曲空间、m i n k o w s k i 空间、g u a s s 空间等均有不同的形式 1 9 7 5 年，著名数学家e l u t w a k 引入星体的对偶混合体积的概念 3 5 1 。并开创了 对偶的b r u n n - m i n k o w s l d 理论它与经典凸体理论的体系非常相似，用。径向和对 应。m i n k o w s l d 和。，用。径向函数。对应。支撑函数。，用。对偶混合体积对应。混合体 积。，并且相对于经典理论研究凸体的投影，它研究星体的截面该理论在2 0 世纪8 0 年代空前繁荣，解决了一系列经典理论未解决的问题1 1 3 ，1 5 ，1 6 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，5 5 ，5 6 | 例 如，1 9 5 6 年提出的b u s e m a n n - p e t t y 问题【1 2 l 就是其中之一- b u s e m a n n 1 i 】首先通过 中心对称星体和非中心对称凸体两个反例给出了驴中的否定答案而h o d w i g e r 2 3 】 和g i e r t z 2 0 1 得到了对于j 尹中的同轴中心对称的凸体b u s e m a n n - p e t t y 问题成立 解决b u s e m a n n - p e t t yi 可题的主要突破来自于l a r m a n 和p , o g m ，他们利用概率论 巧妙地证明了当n 1 2 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立1 2 8 ；下个进展同样令人惊 讶，b a l l 利用立方体和球的截面和体积的关系证明了当n 1 0 时，b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立【2 1 ；g i a n n a p o u l o s 【1 9 】和b o u r g a l n 1 0 分别独立地利用适当的圆柱体和球 的任意小的摄动体取代立方体，改进b a l l 的证明得到了当n 7 时b u s e m a u n - p e t t y 问题的否定回答当n 5 和t i 6 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立的结论分别由 p a p a d i m i t r a k i s 4 4 】和g a r d n e r 1 4 1 发现后来，e l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o n b o d y ) 的概念，发现了b u s e m a n n - p e t t y 问题的解与相交体的关系，为在所有维数空 间中彻底解决该问题开创了新的局面【3 4 | g a r d n e r 对n = 3 时的b u s e m a n n - p e t t y 问题给出了肯定的回答；旅美华人数学家g a o y o n gz h n g ( 张高勇) 1 9 9 9 午发表在 a n n a l sm a t h 上论文的，5 剐解决了b u s e m a n n - p e t t y 问题最后遗留的未解决情形 一即n = 4 的情形，最近，a k o l d o b s k y 用调和分析的方法给出了b u s e m a n n - p e t t y 向题n = 4 情形的一个简短证明【2 7 1 不可不提的还有现代几何学的另一重要分支- 几何断层学它作为凸几何理论 与医学c t 体视学、几何刺探等的交叉学科，主要通过对几何对象的截面，投影等 数据的分析来获得几何对象本身的信息a r i s t o t l e 的论断在月食时因为地球在月 球的阴影是圆形的，所以地球一定是椭球形的，是几何断层学的精神所在几何断 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文3 层学覆盖了凸性问题，吸收了凸体的支撑函数，常宽度和亮度集、投影体和带体，投 影函数等概念，吸收了a l e k s a u d r o v 投影理论和s h e p h a r d 问题解决方法等结果。更是 吸收了a l e k s a n & o v 面积测度，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式余弦变换等工具在分 析有关过固定点的截面数据时，研究对象突破了凸体，变为更为恰当的星体集几 何断层学还吸收了星体的径向函数、常截面集、相交体、截面函数等概念。吸收了 扎n l 【截面理论、b u s e m a n n - p e t t y 问题的解决方法等结论，还吸收了乒弦函数、对 偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式、球形r a d o b 变换等工具，以便更好地重构几何对象 或对几何对象的性质作出判断在1 9 6 3 年，p c h a m m e r 教授在美国数学会上提 出了这样个问题t 平面上的个凸体最少能被几张x 射线图片确定? 大约加年 后，rj g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，p c m c m u l l e n ，a v o l c i c 等大批数学家积极投 入到这个问题的研究，并且获得了确切的答案平面上的个凸体能被不是某个仿 射正多边形边的方向集的子集的4 个方向上的x - 射线完全确定当今世界上对几 何断层学的研究可分为两大群体，其一是以l lj g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完 全理论研究者，他们获得了一大批令人羡慕的成果1 9 9 5 年，rj g a r d m 教授 综合了这方面的所有成果，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y 【1 3 】，其二是由于几 何断层学有很强的实际应用背景，以m i t 大学计算机与电子工程系的a l a nw m s k y 为代表的应用研究者，自舳年代以来。一直致力于计算机图形与模式识别研究，实 现了几何断层学在计算机上的应用 1 2 研究课题和主要工作 在第二章本文试用表面积测度理论来考察多胞形各维面之间的度量关系多胞 形高阶表面积测度可以看作刻画多胞形各维面的一种度量，并且它具有如下性质 ， 厶一，诋2 0 从而，本文从这个公式出发，证明了单形的正余弦定理等公式分别是 余弦定理，若k 肛为单形，晟为其第i 个顶点所对应的n 一1 维面，巩j 为晟，马所成的二面角，则 n + l 砰= k 一- ( 乃) 2 2 k 一- ( 晟) 碥一1 ( 乃) 嘲 j f f i l j 彝l i q s n + l 正弦定理一着ke 舻为单形，毋为其第i 个顶点所对应的n 一1 维面，则 有，v n - if 为定值 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 4 利用同样的方法，还证明了以下关于单形的推广的余弦定理， 推广的余弦定理对于3 维单形k 。l i = 釜t 幻筹蔫，有 霹= 鼋一2 厶岛一 f f f f i l d il ，4 在第三章讨论了凸体的混和体积及其在低维子空间上投影之间的关系用m i n k o w s k i 定理及混和体积的性质证明了推广的柯西投影公式 广义投影公式t 设玛，1 j k ，是驴中个凸集，日1 ，一k 是s 的正交补 中n k 个凸子集，其中s g m ，k ) ，则 磷y ( j r l ，k k ，皿，碥一 ) = y ( 髓旧k k i s ) v ( h l ，磊一) 并给出了该结论的一个应用 设为n 维欧氏空间中的凸体，对任意的j p 的n i 维子空问f 及任意的 1 ，n 一2 ，有 ( x - v f f - ：- 夏) 器5 勰 ( 1 + 佣器 其中p b ( k ) = k i e ，叫( j k ( j r ) ) = v b ( p e ( k ) ，n i 一1 ；d e ，i ) ，d 表示n 维单位球， 函= 坠铲 该结果已被上大学报录用 在1 9 9 1 年，r j g a r d n e r 和张高勇提出了一种新的几何体一径向平均体给出 个五p 中的凸体k 。定义k 的p 一径向平均体岛彤的径向函致为k 的径向函数 的p 次平均第四章首先介绍了径向平均体的主要性质及已有的结果，并讨论了单 形的径向平均体这一特殊情况得到了两个关于单形径向平均体的体积的不等式， 分别是 设耳为俨中凸体，s 为驴中单形，v ( k ) = y ( s ，一1 n 时，y ( 岛k ) s 矿( 岛研；当p n 时，y ( 岛k ) y ( 昂s ) 设k 为j 严中凸体，s 为e ”中单形，y ( 耳k ) = y ( 耳s ) ，- 1 n 时。v ( g ) v c s ) ) l 当p 0 ，令肘；( p u ) = 倒o d c e , z ) p ，“( p ( p z ) ) u ) ，下面指出 如( p t ，) 的体积可用关于p 的多项式来表示；由前面引 理知道，多胞形可分解为其所有面的相对内部的并，要计算肘；( p ，) 的体积，可以 先计算 易( p u ) n p ( p ) - l ( r e l i n t f ) 的体积，然后再求和，用表示i 维h a u s d o r $ 测度 扩( 眸( p ，) c i p - 1 ( p ) ( r e l i n t f ) ) = 矿一0 n ( a f ) 10 - 0 有， 扩( m p ( k , c a ) = ：p - ”c ( n ，呐，) 证明，设p 为凸体，且是一个多胞形，则有 扩( 肘；( p u ) 2 ：至矿- m a ，m ) s 竹t ( p c ，) 2 0 0 6 上海大学硬士学位论文 7 取p = 成，融= i ， = 1 ，n ，令肫= 扩( ( p u ) ，则可以得到关于s 矗u ) 的n 个方程，记其解为 n ( p ，u ) = 弘i k = l 由此，对任意的凸体k ，定义1 7 1 阶其表面积测度为 n ，) = 鲰 膏= l 对一列多胞形玛一k ，由h = 扩( 肘k ( p u ) 的弱收敛性知，命题成立 定理2 2 2 设耳为t l 维凸体，c 酽一。m 0 ，”一1 ) ，群= k + 加 则有 品( 坼，= 一c ( m ，j ) 证明取驴、坼，则有唯一一点p p ，p ( 墨$ ) 】n b a k ，假设烈k p ，动，则 有，i 一p ( k j ，$ ) i 0 。b 为n 维单位球，s 表示面积，有； n s c k + a b ) = p t i c ( n ，t ) 嘶 t = l 证明 s ( k + p b ，铲一1 ) = 岛一a ( k + p b ，酽一1 ) = 搿c ( n 一1 ，t ) 鼠一l 叫( 墨酽- 1 ) = i n = o - ! 一c ( n 一1 ，i ) n w + t ( k ) = 冬l ，一1 c 一1 ，i 一1 ) n w ( k ) = 饕l ，- 1 i c ， ) 暇( k ) 对般的凸体，内蕴体积和均质积分之间的关系有几种特殊情况； w o ( k ) = ( j r ) n w , ( k ) = 2 v 一1 ( 耳) 吾( 耻等郴) 亡( k ) 2 v o ( k ) 均质积分矾( k ) 作为作用在上的函数，具有刚体变换不变性，可加性及连续性 下面h a d w i g e r 得到的定理说明。具有以上性质的变换一定可以写成均质积分的线 性组合； 定理2 2 3 如果个函数妒：一r 具有刚体变换不变性，可加性和连续性， 则存在实数，c o ，c l ，龟一l 使得， 妒( 耳) = c l w i ( 耳) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 定理2 2 4 如果一个函数妒：c r 具有刚体变换不变性，可加性和单调性， 则存在实数。c o ，c l ，一1 使得， 妒( k ) = 盘w i ( k ) 枷 设 ：，l 表示n 维欧氏空间j 严中所有凸体( 有非空内点的紧凸集) 的集合，铲一1 表示n 维单位球面”扩一1 是单位向量对于凸体j r 和u 铲( k ) 表示 凸体的m 阶表面积测度由混和体积中混合表面积测度的性质可知一 厶一。蝙u ) = 0 其中0 表示原点该式子表示，单位球面铲4 在任意阶表面积测度下，其形心都 是原点该式需要混和体积混和表面积测度理论来证明 对于n 维多胞形p ，表面积测度有以下形式； 晶；( p e ) = c ( n - 1 ，m ) 一m l ( ( p ，j ) n e ) v = c f ) f e n ( p ) 其中，e c 妒，( 司表示m 维体积，c ( n 一1 ，m ) 是组合数，晶( p ) 是p 的 所有m 维面的集合特别的，当m = n 一1 时，有鼠一l ( 噩= k i ( f ) ，此时， f 是p 的以为外发向量的n 一1 维面故有， 蛳k i ( 冠) = 0 日r l ( p ) 其中，t 是最的外法向量 引理2 2 1 1 1 3 若p 为多胞形，晟为其n - 1 维面，i = 1 ，k ，则 知 t k l ( 毋) = 0 i = l 证明设。哥0 ，以为个正交投影，把空间里一点投影到与：正交的子空问 上则有 从而有， k l ( 心p ) = 一1 ( r ) = 一 碥一l ( 最) 0 o 一1 ( b ) = o 锄 = 0 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 l 由。的任意性，可知 量 碥一l ( 只q ) = 0 = o 由该式，立刻可得n 维单形的余弦定理 定理2 2 5 1 2 0 若k 护为单形，最为其第i 个顶点所对应的n 一1 维面， 为晟，乃所成的二面角，则 n + l 砰= 一l ( 乃) 2 2ek 一1 ) 一l ( 乃) o 巩j j = l j tl s i j s n + l 证明 n + l e m 一l 慨) = 0 = l 珥一l ( 晟) =吩- k l ( 弓) l g n + l j ，“ 两边平方可得 n + l 砰= k t c f j ) 2 + 2 k l ( 最) 一l ( 乃) j i l j t t j s n + l 也即。 砰= k k f j ) 2 2ek k 毋) v n 一1 ( 乃) 一 j ；l j l i j s t 件l 定义1k 舻为单形，晟为其第i 个顶点k i 所对应的n 一1 维面，1 a ) 为其 外发向量令佻= ( “l ，啦一l ，啦+ 1 ，t ，i + 1 ) = ， 定义顶点甄的顶角巩为咖巩2 e 篓畅 定理2 2 6 1 2 1 】若k 舻为单形，最为其第 个顶点所对应的n 一1 维面，则 有，糊为定值 证明一在3 维的情况，把k l ( r ) 记为s ，易知， 研1 + 岛t 2 + 岛撕+ 风蛳= 0 对上式两边同点乘u l t 2 可得， 故有， 岛 + 鼠 = 0 岛i i = 瓯i 岛& 1 3 f r t 4 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 ( 1 兰；兰i 兰! 兰i 三；三i ) a 2 【 兰i 兰i 兰i 兰i 兰；三i ( ：i ：；! ： ：i ：； 2 0 0 6 上海大学硬士学位论文 1 3 故，b n t t d 岛( 蜀) = 0 司化为， 凡善嗣厶。胴州功毗。0 也即， r 磊研吲列c 诎- - j 在上式中，由于( p f ) 是2 维的，( p f ) n 铲一1 是一段弧，d u 则是弧长微分， 下计算瓜( 尸即n 和一- u d u ，j 、r ( p f ) n 扩一1 是一段弧，设其始边与终边向量分别是 l = ( c 0 8 口l ，, t 0 0 2 ) ，坳= ( c 0 2 ，b m 0 2 ) ，所以有i ， 诎：广口，s i n o ) d o j , v ( e y ) n p 一1 l o , = ( s i n e 2 一s i n o z ，c m o , 一如) = 糕( u - + 坳)1 + “l 忱 注意到u l , t 1 2 是该棱所在的单形两个面的外发向量，所以有， 局赢眦) 等畿( 蛳机2 ) _ 。 改写一下上式，记3 维单形的顶点为尬，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，其外发向量为t ，该点所对 应的面上的棱长为k ，j = 1 ，2 ，3 ，该棱的二面角为，记厶= 器：l b 1 - c o s 0 。， 不妨称厶为推广的周长有 4 厶地= 0 = l 容易得到，关于上述推广的周长的余弦定理t 定理2 2 7 对于3 维单形k ，厶= 路l 幻筹蔫，有 4 皤= 鼋一2 厶岛一 j f l d # i l 兰，j s 4 其证明与定理1 类似，过程略 再联系到前面提出的顶角的概念，马上可以得到，关于推关的周长的正弦定理， 定理2 2 8 对于3 维单形k ，厶= ；= tk j 溉， ” s i n o i 2 l a l 为定值证明与定理2 类似，过程略 2 0 0 6 上海大学硬士学位论文 1 4 由于前面得到的结论，；彘同样为定值，5 i 为顶点k i 所对的面的面积设 ；岛= 2 ，则有岳= 等，g a p 威和厶成比例除多胞形外，另一类表面结构比 较简单的凸体是表面规则的凸体对自然数k ，称某凸体k 萨，如果其表面是 阶连续可微的点z b d k ，用v ( ) 表示k 在该点的外发向量，称这个映射i 为 球面象映射 l ，：b d k - f 。一1 球面象映射的微分记为w ( z ) ，w ( x ) 的n 一1 个特征值k 为尬在z 的主曲率如 果某凸体k g 并且其球面象映射r 是个微分同胚，则称k c 皇，微分同胚 的条件与( z ) 处处满秩或j r 在该点的主曲率非零等价 如果ke c 2 ，则球面象映射”有逆映射v ，该映射的微分在u 点有n - 1 个特 征值，记为1 1 ，r n 一1 ，称为耳在t 的主曲率半径记勺为主曲率半径的j 阶正 规化初等对称函数 彤= c ( n - - 1 ，j ) - 1n l q l ! l i t _ n - i 。) 2 厶一。如 从而有， 掣： a u 又由，j 矗一，t 以( 墨) = 0 ，故有， 厶一。”m ( k “) d u2 0 2 3 混和体积与混和表面积测度 混和体积理论是凸体的b r u n n m i n k o w s k i 理论的核心部分把m i n k o w s k i 加法和体积两个概念起来考虑时，混和体积就自然产生了下面这一部分介绍混 和体积及与其密切相关的混和表面积测度理论 定理2 3 1 对任意的凸体凰，。g n ，实数a l ，k 0 。存在非负的对 称函数v ：( 舻) n r ，称其为混和体积，使得 m v ( a i k l + + k k k ) = 丸- k y ( 甄i t 甄。) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 5 存在个对称的映射s ，把( 妒) ”1 映射为个作用在铲一1 上的有限b a r e l 测度， 称其为混和表面积测度，使得 3 ( a 1 k 1 + + k = h k 一。s ( 甄，玩- ”t ) i l ，k i = l 同时，有 v ( k i ，) = ；厶一。h ( k 1 ，招，o , o 9 ，) 根据该定理，还可以把混和体积和混和表面积测度用体积和表面积测度来表示，即 下面的推论i， 推论2 3 1 对于定理中定义的混和体积和混和表面积测度，分别有； y ，碥) = 嘉( 一1 ) “( 甄。+ + 甄。) 一t = l l “ ，n - 1 s ，卅2 南荟( - 1 ) - 1n + k - - 1 ；。戛“趾- ( 尬- + ”+ 。) 从这两个式子可以看出。混和体积和混和表面积测度在平移变换下保持不变进而 有i y ( 墨，k ) = ( i r ) y ( 西墨，妒k ) = k ( j 0 其中西为保体积的仿射变换 s ( k ，甄) = & 一l ( 甄) s 扣k ，p k ，户，) = s ( k ，j i ( ，) 其中p 为旋转变换 定理2 3 2 混和表面积测度作用下。扩一的形心总是原点，即， 厶一，础，- l “) ；o 证明5 y ，一1 ，+ t ) 一y ( 耳l ，玩一1 ，) = ：上。一。 d s ( k t ，。，如， = 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文1 6 = 0 上式等于0 是因为混和体积的平移不变性再由t 的任意性可知，命题成立 高阶表面积测度是混和表面积测度的特殊形式，这可以通过比较下面两个式子 得出； s , n c k + p 曰，u ) = d c ( m ，j ) s k ( k ，) j = o , q ( a t k i + ，+ k ，) = ，k 一。s 涵l ，妖。- - ) 1 。一l = l 可得， s a k , 。) 2s 酗缈u ) jn - 1 - j 因此有， w i ( k ) = l s n - i ( k , s “一1 ) ，i = 1 ，n 2 y 酗凹 n - i b r u n n m i n k o w s k i 理论关于体积和混和体积有些经典的不等式，正是这些不等 式及其应用显示了b r u n n m i n k o w s k i 理论的重要作用 定理2 3 3 b r u n n m i n k o w s k i 不等式对于凸体硒，k x ，0 a 1 ，有 ( ( 1 一a ) j f o + ) 毒2 ( 1 一a ) k ( j 砀) 善+ a ( j r f i ) 等号成立当且仅当硒，尬处于两个平行的超平面中或二者位似 定理2 3 4 m i n k o w s k i 不等式对包含原点为内点的n 维凸体匠工有， 矿( k ，kl ) “k ( k ) ”1 ) 等号成立当且仅当k 二位似进一步有，