（信号与信息处理专业论文）自适应滤波算法与应用研究.pdf

摘要 摘要 自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一。 寻求收敛速度快，计算复杂度低，数值稳定性好的自适应滤波算法是研究人员不 断努力追求的目标。本文主要对自适应算法进行了研究，其内容概括如下： 1 本文在论述自适应滤波基本原理的基础上，介绍了几种典型的自适应滤波算 法及其应用。并对这些自适应滤波算法的性能特点进行比较，给出了算法性能的 综合评价。 2 对传统的l m s ( l e a s tm e a i ls q u a r e ) 算法进行了详细的分析。并针对该算法中 步长选取影响收敛速度与稳态误差的这一对矛盾，提出了一种改进的归一化变步 长l m s 算法。仿真试验证实了新算法性能的提高。 3 改进了拟牛顿算法，并将其用于期待响应中存在脉冲干扰的自适应滤波系统 中，通过仿真试验，证实了其有效性。 4 比较了几种改进的r l s ( r e c u r s i v el e a s ts q u a r e s ) 算法以及它们在自适应信道 估计和信道均衡中的应用。 关键词：自适应滤波自适应滤波算法信道估计信道均衡 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho f a d a p t i v ef i l t e r i n ga i g o r i i h f l l si so n eo ft h em o s ta c t i v et a s k si nt h e 6 e l do fm o d e ms i g n a lp r o c e s s i n g t h eg o a h a tr e s e a r c h e r sa r ep u r s u i n gi st o6 n da n a d a p t i v en l t e r i n ga l g o r i t h mt l l a tc o n v e r g e sf a s ta n dh a sl o wa r i t h m e t i cc o m p i e x i t y t h i s p a p e ra i m sa tt h ea d a p t j v en i t e “n ga l g o r i t h m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s t h en l a i nw o r k s c a nb es u i n m a r i z e da sf 0 i l o w s ： 1 b a s e do nt h ea d a p t i v en l t e r i n gp r i n c i p l e ，s e v e r a lt y p i c a la d a p t i v ea l g o r i l r n sa s w e l la st h e i ra p p l i c a t i o n sa r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e r a n dac o m p a r i s o ni sm a d ea m o n g t h e s ea i g o r i t h m s c h a r a c t e r s 2 t h ea u t h o r d n a l y z e st h ep e r f o 舯a n c eo ft h ec o n v e n t i o n a ll m s ( l e a s tm e a n s q u a r e ) a l g o t h m a n dd u et ot h ef h c tt 1 1 a tt h ec o n v e 唱e n ts p e e da n ds t e a d y s t a t ee 1 1 o r a r ea 仃e c t e db yt h ef l x e ds t e p s i z e | 1 1c l a s s i c a ll m s a l g o r i t ，a ni m p r o v e da l g o r i t h mi s p r e s e n t e dw i t hn o n n a l i z e dv a r i a b l es t e p s i z e c o m p u t e rs i m u l a t i o nv e r i f i e st h eb e t t e r p e 玎o m l a n c eo fm en e wa l g o r i t h j n 3 t h eq u a s i n e w t o n ( ( ，n ) a l g o r i t h mi sm o d i f i e da n du s e di nt h ea d a p “v en l t e r i n g s y s t e mw i t hi m p u l s en o i s ei ni t sd e s i r e ds i g n a l s t h en e wa l g o r i t h mi sp r o v e dt oh a v e b e t t e ra b i l i t yt os u p p r e s st h ei m p u l s i v en o i s e 4 ac o m p a r i s o ni sn l a d ea m o n gs o m ei m p r o v e dr l s ( r e c u r s i v el e a s ts q u a r e s ) a l g o r i t h m sa j l dt h c i ra p p l i c a t i o n si nc h a r u l e l i d e n t m c a t i o na 1 1 dc h a n n e le q u a l i z a t i o n k e y w o r d s ： a d a p t i v en l t e r i n ga d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h m s c h a n n e l i d e n t 讯c a t i o nc h a n n c lc q u a l i z a t i o n 创新性声明 y8 5 8 8 3 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究t 作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示 了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：俑、药日期妒6 。沙 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其 它复制手段保存论文。 本人签名 导师签名 塑：盟 歹3 太2 ，文 r 期2 竺：丝 日期j ij 。 f 2 。、 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 自适应滤波是近3 0 年以来发展起来的一种最佳滤波方法。w i d r o wb 等于1 9 6 7 年提出的自适应滤波理论，是在维纳滤波，k a l m a n 滤波等线性滤波基础上发展起 来的一种最佳滤波方法。它可以使自适应滤波系统的参数自动的调整而达到最佳 值，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计 知识。这种滤波器实现起来与维纳滤波器一样简单，由于它具有更强的适应性以 及更优的滤波性能，因而在实际工程中，尤其在信息处理技术中得到了广泛的应 用。 自适应滤波的研究对象是具有不确定性的系统或信息过程。这里的“不确定 性”是指所研究和处理的信息过程及其环境的数学模型不是完全确定的。其中包 含一些未知因素和随机因素。自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信 号，也可以是局部平稳的随机信号。在大量的工程应用和研究中，又将信号在频 域分成窄带和宽带两种，在两种情况下研究或处理的方法及自适应系统的结构也 不相同。同时，信号的统计量也极其重要。常用的统计量为信号的均值( 一阶统计 量) 、楣关函数与功率谱密度( 二阶统计量) ，还有高阶矩、高阶累计量和高阶谱等 高阶统计鼍。 仟何个实际的信息过程都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表 现在过程内部，有时表现在过程外部。从过程内部来讲，描述研究对象即信息动 念过程的数学模型的结构和参数是事先并不能够确切知道的。作为外部环境对信 息过程的影响，可以等效地用扰动来表示。这些扰动通常是4 i 可测的，它们可能 是确定性的，也可能是随机的。此外，还有一些观测噪声也以不同的途径影响信 息过程。这些扰动和噪声的统计特性常常是未知的。面对这些客观存在的不确定 性，如何综合处理陔信息过程，并使得某些指定的性能指标达到最优或近似最优， 就是白适应滤波所要解决的问题。 1 2 自适应滤波理论与算法 对丁不同的自适应滤波器和应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些 白适应滤波算法2 0 麻”究 自适应算法船白再自的特点，适心于小的场介，r 面分别进行介绍。 1 2 】基丁维纳滤波理论的方法 在线性滤波理论中，维纳滤波器所耍解决的足最小均方误差准则下的线性滤 波问题。这种滤波方法是在已知信导与噪声的相关函数或功率谱的情况下，通过 求解维纳一霍夫( w i e n e r h o 方程，对平稳随机信号进行最优预测和滤波。 为了得到自适应横向滤波器权矢量调整的递推算法，由最佳维纳解定义的矩 阵方程，应用均方误差的梯度矢量等于零，就可缛到最佳权矢量，用表示，也 就是： j 0 = r 。j d ( 1 一1 ) 其中，r 为横向滤波器抽头输入信号的相关矩阵，p 为抽头输入信号与期望响应 的互相关矢量。 式( 1 一t ) 就是维纳一霍夫方程的矩降形式，满足式( 1 1 ) 的w n 称为最佳权矢量或 最佳维纳权向量。其次，利用这些相关的瞬时值推导出梯度矢量的估计值，由此 可以得到最常用的一种算法，即所谓的最小均方( l e a s tm e a ns q u a r e ) 算法，简称 l m s 算法。这种算法实现简单，且性能较为满意。它的主要缺点是，收敛速度慢 和对输入信号的相关矩阵特征值发散程度( 即最大特征值与最小特征值之比) 的变 化较灵敏。 1 2 2 基于卡尔曼滤波理论的方法 为了使自适应滤波器能工作在平稳的或非平稳的环境中，可以借助于卡尔曼 滤波器推导自适应滤波算法。 卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，它的估计性能是最优的，而递推 计算形式又能适应实时处理的需要。对于个线性动态系统的卡尔曼滤波问题， 可以用状态方程与测量方程来描逐，前者以状态矢量柬刻划系统的动态，后者表 述系统中的测量误差。根据估计理论，可知最小误差熵估计准则与最小方差估计 准则等价，而卡尔曼滤波是线性无偏最小方差估计，故有不同方法推导卡尔曼滤 波的递推公式。 假设所研究离散线性动态系统的n 维参数的状态矢量为x ( n ) ，m 维观察数据 的测量矢量为y ( 心) ，通常欠量x ( 月) 和y ( 月) 都是随机变量，由它们表示系统模型的 状态方程和测量方程分别为 x ( 竹+ 1 ) = 巾( + i i 疗) t ( 盯) + v i ( n j( 1 2 ) 第一章绪论 其中，q ( n + 1 ，行) 为系统在 + 1 和n 时刻的n n 维状态转移矩阵， 的n m 维测量矩阵。 系统动态噪声v i ( 盯) 和观测噪声v ，( 月) 的统计特性为 目u ( 拧) 】= o ，c o “u 即) ，u ( 七) ) = 目v ( 厢) ( 女) 】= g ( 胛) 皖。 五【y 2 ( 玎) 】= o ，c o v ( v 2 ( ) ，v 2 ( 女) ) = 【v 2 ( ”) v ( 女) 】= g l ( ”) 蛾 c ( n ) 为已知 ( 1 4 ) ( 1 - 5 ) c o v ( v l ( ”) ，v 2 ( 尼) ) = e 【v l ( 玎) v ? ( 七) 】= o ( 1 6 ) 当= 七时，如= i ，当n 女时，= o ：噪声矢量v 1 ( n ) 与v 2 ( ，t ) 是统计独立的。 根据观察数据的测量矢量y ( 1 ) ，y ( 2 ) ，y ( ”) ，可以求出系统状态x ( f ) 的线性无偏最 小方差估计。当江”时，称为卡尔曼滤波：当f 胛时，则称为最优预测。 利用卡尔曼滤波的递推求解法可以推导出权矢量更新递推算法。这些算法与 l m s 算法相比具有较快的收敛速率；同时，在收敛过程中具有很好的稳健性，因 其收敛速率对特征值发散程度不灵敏。但是，这些算法的应用受到计算复杂度的 限制。 1 2 3 基于最小二乘准则的方法 前面由维纳滤波器与卡尔曼滤波器所推导出的自适应滤波算法的理论是基于 统计概念的。而最小二乘估计算法是以最小误差甲方和为优化目标，这罩的误差 就是自适应滤波器的期望响应d ( ) 与真实滤波输出y ( ”) 之差值，故这类自适应滤 波性能优化的准则是 m j n ( p ( 硝= m i n ( d ( ) 一y ( 研 ( 1 7 ) t = lj = j 根据这类自适应滤波器的实现结构，有如下t 种4 i 同的晟小_ _ _ 二乘自适应滤波 算法：自适应递归最小二乘算法；自适应最小一：乘格型算法：q r 分解最小二乘算 法。 i 2 4 基于神经网络理论的方法 人工神经网络是一种模拟生物神经模型信号处理能力的计算结构。思维和记 忆是人脑非常重要的功能，对于脑的记忆机理，思维的知觉信息处理过程等基础 理论的于 ：拓性研究，是发展神经网络理论并推动相关的认知科学发展的关键问题。 神经网络是由大最的神经无相互联接而成的网络系统，实质上它是一个高度 白适应滤波算法与应川研究 非线陀的动力学删络系统，这个系统具年f 很强的自适应、自学爿、自组织能力， 以及l 量并行性、容错性和- 簪韧性，因而它可以做许多传统的信号和信息处理技 术所不能做的事情。神经网络现已广泛的应用于通信、雷达、声纳、地震勘探、 生物医学工程、语音和图像处理、模式识别、计算机和自动控制等领域。 1 4 本文的主要工作和论文安排 本文在研究自适应滤波理论的基础上，对几种重要的自适应算法进行了理论 分析，研究了它们在自适应滤波技术中的应用，并进行了模拟仿真试验，对算法 的性能进行了分析。 本文的研究工作主要包括以下几个方面： 通过收集资料、学习和研究，在第一章中对自适应滤波原理及其应用进行了 简要的介绍，荠提出了对自适应滤波技术的研究意义。 第二章中，介绍了目前己有的一些自适应滤波算法和方案，并对它们的性能 进行了研究和比较，最后给出了简单的总结分析。 第三章，对广泛使用的l m s 算法的性能进行了分析，研究了l m s 算法中输 入信号相关性、滤波器阶数和稳态均方误差之间的关系，并且通过试验证明了此 关系。在此基础上，提出了一种改进的归一化变步长最小均方滤波算法，并且通 过仿真试验，分析了新算法的收敛和跟踪性能。 第四章介绍了拟牛顿( q n ) 算法的基本理论。对拟牛顿算法进行了改进，并将 其运用于期待响应中有脉冲干扰的自适应滤波系统，然后通过仿真试验，对算法 的性能进行了分析。 第五章主要研究了几种改进的r l s 算法在自适应滤波系统中的应用。比较了 儿种改进的r l s 算法，以及它们在自适应信道估计和信道均衡中的应用。 第：章臼适应滤波算法 第二章自适应滤波算法 2 1 引言 自适应滤波器是近3 0 年来发展起来的关于信号处理方法和技术的滤波器，其 设计方法对滤波器的性能影响很大。维纳滤波器等滤波器设计方法都是建立在信 号特征先验知识基础上的。然而，在实际应用中常常无法得到信号特征先验知识， 在这种情况下，自适应滤波器能够得到较好的滤波性能。当输入信号的统计特性 未知，或者输入信号的统计特性变化时，自适应滤波器麓够自动地迭代调节滤波 器参数，以满足某种准则的要求，从而实现最优滤波。因此，自适应滤波器具有 “自我调节”和“跟踪”能力。 基于二阶统计量即相关函数的自适应滤波算法在自适应信号处理中有着广泛 的应用，本章中就对其中的些算法进行了综述。 2 2 自适应滤波算法种类 2 2 1 变步长自适应滤波算法 基于最遮下降法的最小均方误差( l m s ) 算法的迭代公式如下： p ( h ) = d ( 月) 一x 7 ( n ) ( 疗)( 2 ，1 ) ( h + 1 ) = ( n ) + 2 p ( n ) x ( )( 2 2 ) 初始收敛速度、时变系统跟踪能力及稳态失调是衡量自适应滤波算法优劣的 三个最重要的技术指标。覃景繁等”分析了最小均方误差( l m s ) 算法的收敛性能。 固定步长的白适应滤波算法在收敛速度、时变系统跟踪速度与稳态失调方面对算 法调整步长因子的要求是相互矛盾的。为了克服这一矛盾，人们提出了许多变 步长自适应滤波算法。r d g i t l i n 2 。曾提出了一种变步长自适应滤波算法，其步长 因子( ) 随迭代次数h 的增加而逐渐小。y a s u k a w a 等”提出了使步长因子( ) 正 比于误差信号p ( ”) 的大小。而g “n 等”1 提出了一种时间平均估值梯度的自适应滤 波算法。叶华等”提出了另种变步长自适应滤波算法，步长因子( ) 与p ( n ) 和 x ( 月) 的可- 相灭函数的估值成正比。吴光弼等”1 通过对误差信号的非线性处理，得 到了l e l m s 变步长自适应滤波算法。 白适意滤波算法t ，商川矾究 2 2 2r l s 良适应滤波剪法 r l s 算法是对输入信号的自相关矩阵r 。( ) 的逆进行递推估计更新，收敛速度 快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关。但足，r l s 算法的计算复杂度很高， 所需的存储量极大，不利于实时实现；倘若被估计的自相关矩阵r ，伽) 的逆失去了 正定特性，还将引起算法的发散。为了减小r l s 算法的计算复杂度，并保留r l s 算 法收敛速度快的特点，许多文献提出了改进的r l s 算法，如快速r l s ( f a s t r l s ) 算 法9 “，快速递推最小二乘格型( f a s tr e c u r s i v el e a s ts q u a r e sl a t t i c e ) 算法“”等。这 些算法的计算复杂度低于r l s 算法，但它们都存在数值稳定性问题。文献”“为避免 r l s 类算法递推估计更新自相关矩阵的逆的不足，基于最小二乘准则，利用最陡下 降法，得到一种新的梯度型自适应滤波算法，该算法计算复杂度较低，收敛性能 良好。 2 2 3 变换域自适应滤波算法 对于强相关的信号，l m s 算法的收敛性能降低，这是由于l m s 算法的收敛性 能依赖于输入信号自相关矩阵的特征值发散程度。输入信号自相关矩阵的特征值 发散程度越小，l m s 算法的收敛性能越好。于是，d e n t i n o 等1 9 7 9 年首先提出了变 换域自适应滤波的概念“，其基本思想是把时域信号转变为变换域信号，在变换 域中采用自适应算法。n a r a y a j l 等”对变换域自适心滤波算法作了全面的总结。变 换域自适应滤波算法的一般步骤是：1 ) 选择正交变换，把时域信号转变为变换域信 号；2 ) 变换后的信号用其能量的平方根进行归化；3 1 采用某种自适应算法进行滤 波。此外，小波变换也被用于变换域自适应滤波。在小波变换自适应滤波中，通 常采用两种形式：一是小波子带自适应滤波，它相当于把输入信号和期望响应信 号在多分辨率空间进行自适应滤波后，再变换为时域输出信号；另一种是小波变换 域自适应滤波，它是把输入信号用小波的多分辨率守间的信号来表示，作为自适 应滤波器的输入，而期望响应信号并不作小波变换。 2 2 4 仿射投影算法 仿射投影算法最早由k o z e k i 和t u m e d a ”提出，它是归一化最小均方误差 ( n l m s ) 算法的推广。仿射投影算法的性能介于l m s 算法和r l s 算法之间，其计算复 杂度比r l s 算法低。归一化最小均方误筹( n l m s ) 算法是l m s 算法的一种改进算法， 它可以看作是一种变步长因子的l m s 算法，其收敛性能对输入信号的能量变化不 敏感。而仿射投影算法的计算复杂度比n l m s 算法高很多。g a v 等”“”“提出的快速 仿射投影算法人大降低了仿射投影算法的计算复杂度。在快速仿射投影算法中， 第一：章白适应滤波算法 采用滑动窗快速横1 ，1 j 滤波器算法计算预滤波向罱，避免r 矩# 1 ：求逆运算。快速仿 射投影算法的计算复杂度虽然降低了，但其内嵌的滑动窗快速横向滤波器算法的 实现相对复杂，并且存在数值稳定性问题。为解决快速仿射投影算法的数值稳定 性问题，d o u g l a s 等”提出了正交变换的快速仿射投影算法的近似算法，避免了采 用复杂的滑动窗快速横向滤波器算法，改善了快速仿射投影算法在有限精度运算 时的数值稳定性。 2 2 5 共轭梯度算法 虽然r l s 算法收敛速度快，但其计算复杂度很高，因为它需要估计逆矩阵。假 如被估计的逆矩阵失去正定性，就会引起算法发散：并且算法实现所需的存储量 极大，不利于实现。一些快速r l s 算法虽降低了r l s 算法的计算复杂度，但都存在 数值稳定性问题。共轭梯度自适应滤波算法”不含有r l s 算法中的矩阵运算，也没 有某些快速r l s 算法存在数值稳定性问题，它保留了r l s 算法收敛速度快的特点。 a l a i l 等“”提供和分析了共轭梯度法在自适应滤波中的两种实现方法，这两种方法 对原始的共轭梯度法作了一些修改，并且对这两种算法的收敛性能和失调作了比 较，建立了算法的稳定范围。 2 2 6 基于子带分解的自适应滤波算法 基于子带分解自适应滤波的基本原理是将输入信号与参考信号经过分解滤波 器组抽取进行子带分解，对信号按频带划分，然后在各个子带上分别进行自适应 滤波，再将子带信号内插后通过合成滤波器组得到最后的合成信号。其中，由于 对信号进行了抽取，使完成自适应滤波所需的计算量得以减小；而在子带上进行 自适应滤波使收敛性能又有所提高。在信号的子带分解中，存在着由于分解滤波 器组的非理想特性引起的子带信号混叠的问题。为了避免混叠对自适应滤波的影 响，g i j j o 讹”采用加入子带间滤波的方法，而p e r a 9 1 i a 等。“采取在抽取时过采样 的方法。一般来说，信号的子带分解处理有如下优点：采样间隔增大引起滤波器 抽头数目减少，减小了计算复杂性；采样间隔扩大后，输入信号本身的自相关也 减弱，可以提高算法的收敛性能。为了提高信号子带分解自适应滤波器的收敛速 度，d e l e o n 等”认为，经过子带分解后，抽取引起部分信号的浪费，采用 m u l t i r a t e r e o e a t i n g m e t h o d 可以利用那些被浪费的信号成分，通过增加单位时间内 对权值的更新次数，获得更快的收敛速度。 r l 适府滤波算浈与麻川研究 2 2 7 琏 ：o r 分解的f 1 适应滤波算法 荩j i q r 分解的递推最小一乘白适应滤波算法首先采用g i v e n s 旋转变换把加权 输入信弓矩阶变换为i ii 角矩阵，然后再利用回代求解j 角矩阵方程，计算自适 应滤波器权系数i 甸量。q r 分解类自适应滤波算法有以下一种：1 ) q r r i s 算法； 2 ) e x t e n d e dq r - r l s 算法；3 ) i n v e r s eq r - r l s 算法。基于q r 分解的自适应滤波算法 对输入信号矩阵直接进行更新，因此在有限精度运算条件f ，具有良好的数值稳 定性。各种q r 分解的快速自适应滤波算法可以直接计算估计误差，并不需要更新 权系数向量。而基j 逆o r 分鳃的递推最小二乘自适应滤波算法可以直接更新权系 数向量，并且避免了复杂的回代运算。 2 2 8 其它一些自适心滤波算法 除了上面介绍的自适应滤波算法之外，还有一些其它的算法，如：系数部分 更新自适应滤波算法“。”“”“、l m f ( r l f ) 算法”“、l e a k y l m s 算法m ”“等。在一 些自适应滤波应用中，即使简单的l m s ( n l m s ) 算法实现起来也显复杂，为此，系 数部分更瓤自适应滤波算法被提出，其主要思想是在自适应滤波算法的每次迭代 中，自适应滤波器的部分系数被更新，这使得整个自适应滤波算法的计算量有所 降低。这类算法主要有：p e r i o d i cl m s 算法“，m m a ) 【n l m s 算法”和m a xn l m s 算法”“。 2 3 小结 本审中对各种类型的自适应滤波算法进行了简单的总结分析。变步长的 j 适 应滤波算法虽然解决了收敛速度、时变系统跟踪速度与问题误差对算法调整步长 网子口的矛后，但! 变步长巾的其它参数的选取还需实验来确定，应用起来不太方 便。、 r l s 算法的各种改进，其e 的均是保留r l s 算法收敛速度快的特点同时降 低算法的计尊复杂度。变换域类算法也是通过作某些正交变换使输入信号白相关 矩阵的特征值发散程度变小，提高收敛速度。而仿射投影算法的性能介于l m s ，鲰 法和r l s 算法之问。共轭梯度自适应滤波算法的提 h 是为了降低r l s 类算法的复 杂性和克服某些一l 夫速r i 。s 算法存在的数值稳定性问题。信号的于带分解能降低输 入信号的自柑天矩阵的特征值发散程度，从而加快自适应滤波算法的收敛速度， 同时使丁并行处理，带来了定的灵活性。基于矩阵的0 r 分解的自适j 照滤波铭法 其有良好的数值稳定性。总之，寻求收敛速度快，汁算复杂性低，数值稳定性好 的自适应滤波算法足研究人员不断追求的同标。虽然线性自适应滤波器及其年h 应 第：章白适应滤波算法 的算法具有结构简坼、计算复杂性低的优点而广泛应用于实际，f n b 于对信号的 处理能力有限冈而在应用中受到限制。由于非线性自适应滤波器，如v o l t e r r a 滤波 器和基于神经网络的白适应滤波器，具有更强的信号处理能力，已成为自适应信 号处理中的一个研究热点。 第王章l m s 算法及政进的扪化变步kl m s 算法旦 第三章l m s 算法及改进的归一化变步长l m s 算法 3 】引言 由w i d r o w 和h o 脚是出的最小均方误差( l m s ) 算法，因为其具有计算量小、易 于实现等优点而在实践中被广泛采用。典型的应用领域有系统识别、信号处理和 自适应控制。具体的例子包括神经网络的学习过程，噪声背景下的信号检测、天 线旁瓣干扰的对消，电话线路中的回波消除等。l m s 算法的基本原理是基于最速 下降法，即沿着权值的梯度估值的负方向进行搜索，达到权值最优，实现均方误 差最小意义下的自适应滤波。初始收敛速度、时变系统跟踪能力及稳态失调是衡 量自适应滤波算法优劣的三个重要的技术指标。由于主输入端不可避免地存在干 扰噪声，自适应滤波算法将产生参数失调噪声。干扰噪声越大，则引起的失调噪 声就越大。减少步长因子可减少自适应滤波算法的稳态失调，提高算法的收敛 精度。 在上一章中，简单的介绍了最小均方误差算法。在本章中，首先对l m s 算法 的性能进行具体的分析，劳且详细的讨论了l m s 算法中输入信号相关性、滤波器 阶数和稳态均方误差的关系。通过公式推导，从理论上证明了增加滤波器阶数并 不能保证减小稳态均方误差。对于具体的输入信号，存在一个最佳( 或准最佳) 的 滤波器阶数，使稳态均方误差最小，若再增加滤波器阶数，稳态均方误差有增大 的可能。并且以强相关的直流信号和弱相关的j f 弦信号分别作为自适应滤波器的 输入信号进行了计算机仿真实验，实验结果与公式推导结果一致。浚理论为自适 应滤波器设计时阶数的选择提供了理论指导。 分析现有的文献资料，变步长算法都是利用自适戍过程中提供的某种近似值 作为衡量标准来调节步氏。比较简单有效的方法是利用白适应过程中的误差信号， 在步长与误差信号之间建立某种函数关系。 冈此，在研究了l m s 算法的基础上，提出了l m s 算法的改进方案对文献1 3 2 1 中的归一化变步长算法( m _ n v s 算法) 进行了改进，得到了一种新的归一化变步长 l m s 篼法( h 玳v s 算法) 。对改进后的n n v s 算法在计算量、收敛速率和跟踪等性能 方面进行了分析，并通过试验仿真比较了原算法和改进后的新算法。 口适麻滤波算法与应川研究 3 2 1l m s 算法 3 2l m s 算法性能分析 l m s 算法可表，下为： 矽( n + 1 ) = ( n ) + 2 g ( ) x ( ”)( 3 1 ) 式中，( n ) 为权向量，x ( n ) 为输入信号向量，( h ) 为系统输出误差，是一个用 于控制自适应速度和稳定性的增益常数，即步长。经过简单的推导，得到l m s 算 法的稳态均方误差f 为： 告= 炙。+ e x c m s e = ( 1 + f r 兄) 彘。 ( 3 2 ) 式中，彘。为最小均方误差，它是当权向量形加) = ( ，1 ) 即最佳权向量时的均方误 差，e x cm s e 为超量均方误差，月= e l y ( 厅) j 7 ( 珂) 】，瑚为矩阵月的迹： 岛。= e ( d ( ”) d ( 竹) 卜p 7r - p【3 3 ) 式中，d ( n ) 为期待响应，尸= 研d ( ”) x ( n ) 】为期待响应与输入向量之问的互相关向 量。从式( 3 2 ) 看出，f 大小不仅与成正比，而且与输入信号功率成正比。可以看 出，步长控制着自适应算法的收敛速度。如果步长较大，系数将更快的向着维 纳解收敛，接近维纳解后，系数将在维纳解周围一个较大的邻域内来回抖动而无 法进一步收敛，因而会有较大的稳态误差；如果步长较小，系数向着维纳解收敛 的速度就会放慢，但是系数会稳定在一个较小的邻域内抖动，因而稳态误差会下 降。这就是l m s 算法中收敛速度和稳态误差之间的矛盾。由于输入信号功率与滤 波器阶数成正比，所以当加权数目增加时，袱增加。下面进一步讨论品，。与滤 波器阶数及输入信号特性之间的关系。 3 2 2 品。1 j 滤波器阶数及输入信号特性的关系 由式( 3 - 3 ) 可知，【d ( ”) d ( 疗) 】与滤波器阶数无关，则尺。p 越大，品。越小。 为方便起见，设下标 表示迭代次数，令= 0 ) ，。= 爿( 疗) ，以= d ( ，) ，以 下所讨论的量均加 ：一个表示滤波器阶数的下标： 。= 【z 。，上 - l ，一，x 。卅】7( 3 4 ) 根据定义，有 第一章l m s 算法及改进的n 1 一化变步长l m s 算法 竖 h )l ) f 1 。 ( 一1 ) 足“= f 瞵。x jv j _ lj ； ! l l h o 州 x - 1 1 p 、= l 以x 。1 = 【风，只，鳓一、1 7 当滤波器阶数增加为+ 1 时，将矩阵化为分快矩阵： r 。= 五【一t + 。x ：肌。】_ l oi ： o 五 ： r n n ( 3 5 ) ( 3 6 ) = 黢 b ， r + ，= e k 疋。】- 慨，a ，p 。】7( 3 - 8 ) 在式( 3 5 ) 式( 3 - 8 ) 中，弓2 f _ 一，一，】= 0 ，o f ，j ：只= e t ，x 。】， o j ；马、置：、凡2 。和r 2 的维数分别为、| v 1 、1 x ，和l 1 。 蜀。= ( 3 - 9 ) r t 2 = 【，l ，_ - 1 ) 1 。 ( 3 1 0 ) r 。= 【冬o ，。，。- n 1 = ( 3 1 1 ) r 2 2 = ( 3 一1 2 ) 比较式( 3 6 ) 和式( 3 - 8 ) ，可得，乓，= 【碍，肌r 。输入自相关矩阵为正定阵，即氐和 月。均正定，故蝶1 、舟、：l 存在。南分块矩阵求逆公式，当蜀。o 时，有 r 0 + 月批：矗墨r ：耐一剐蜀：蠢丢1 r 二：= l ( 3 - 1 3 ) l 一蚓曼，矸，程j 五曼= 1 月：，一r r o r 。1 一 o 馁箸膏 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 阮心卜 皑 分 一一 乘 行 1 左 进 只 边 吼 锕 中 等 筇 l l ， 睁 中 式 式 其 将 将 亡1 适胯滤波算法与廊j l j 研究 r _ r l ，矗! ! 月! ，r l l 。 一r 蝶+ r ；：。r + = 碟r 几十碟+ ，l i 一天丢尺? 。尺，+ 矗羔 霸+ 篓! ：竺”研? ：嘧1 2 或； 晶+ ，= 五参l r 。r 。r r 2 c s j ， 霸+ 1l 晶+ ，= r 丢i r 。l r r l ( 3 1 7 ) l 一再丢如，1 j 荦丢j 将式( 3 一1 7 ) 代入式( 3 一1 6 ) 中得到 磺，r ；：目+ ，= 曙r + j i 丢i r j r o r r 1 2 ( 3 1 8 ) 是：= r 2 ：一r 2 。r r 。2 = 一r 五r r 。： ( 3 - 1 9 ) 因为吼正定，所以存在酉变换矩阵9 ，使得 q 7 月。q = a = 硪昭( 厶， ，- ，a 。一。) ( 3 2 0 ) q 7 r ；1 q = 人膏= 讲昭( 石，百1 ，氟! ，) ( 3 2 1 ) r 了= 9 q 7 ( 3 2 2 ) 将上式代入式( 3 1 9 ) ，并令q 1 ：= 且：，其中，q = ，吼，吼一1 】， 臻= 【g 。g ，g r ，o f 一1 ，则可得 if 一lp j i i 。= 。一q 厶a q l ：= ，撕一a i - i ( 3 2 3 ) 因为隍吼_ l 兰艺m 2 艺h 1 2 ，所以 j ，= 0j，= 0，。0 疋一 篓一 芸阮j 3 f 善hj ! c ，- ：a ， 定义矩阵的第( t ，) 个元素的相关系数c ，：上正 ”，显然，o q ，l 。令 呼 。j 口，= k 1 2 ，代入式( 3 2 4 ) ，可得 疋w 1 - ( ，) 陲岛 ) 睁z s ， 将式( 3 2 5 ) 代入式( 3 ，1 8 ) ，可得 、， 6i 3 ( 十& -l_，_f_l_j 一臂 1 ， 疗 第二章l m s 算法及改进的门一化变步kl m s 算法 矗。嗡：。r + 一以眨乓 r 、j r i 1 只一尸、1 - 1 _ ( 势，煽，训 ( 3 2 6 ) 式( 3 2 6 ) 表明，当增加一个权，其品。减小的量是有限的，所能减少的。最多为 式( 3 2 6 ) 右边式子的值。具体分析此式可看出，增加滤波器阶数时，：。丑q 显 然增大，= 白岛也增大，增大的值与。密切相关；c j 。越大，增加滤波器阶 数后所能减少的彘。越大，c ，比较小时，增加阶数后所能减少的彘。相对就要小 些。而根掘式( 3 2 ) ，阶数增加一个时，慢显然要增加。增加滤波器阶数所引起 的稳态均方误差的改变由品，。及，r 尺两部分的改变所决定。所以，对于具体的输 入信号，有一个最佳( 或准最佳) 的滤波器阶数，使稳态均方误差最小，再增加阶 数，稳态均方误差有变大的可能，且输入信号的相关系数c ， 越小，这种可能就越 大。 为了验证理论推导的结论，做如下计算机仿真试验：分别在自适应噪声对消 器的输入端，以一个正弦信号和一个直流信号作为输入信号，噪声采用高斯白噪 声，其中正弦信号是若相关信号，直流信号是强相关信号。所得稳态均方误差的 结果是，以正弦信号和白噪声作为输入，其相关系数小于以直流信号和白噪声作 为输入的相关系数；增加滤波器阶数后，氏，。减少的小些，稳态均方误差大些，适 合于这两个输入信号的最佳滤波器阶数也不同。 表3 1 稳态均方误筹与滤波器阶数的哭系 滤波器阶数正弦信号稳态均方误差直流信 j 稳态均方误差 4 8 1 6 3 2 6 4 0 2 1 3 6 0 2 1 3 4 0 2 1 4 9 o 2 1 5 2 0 2 3 0 3 o 1 4 8 8 0 1 4 3 2 0 1 3 9 0 0 1 2 6 5 0 1 4 9 3 在此实验中，对币弦信号最佳滤波器阶数为8 ，对直流信号，最佳滤波器阶数 为3 2 。这与前面的理论推导所得结果是一致的。 f 】适席滤波筇法与应删研究 3 3 改进的归一化变步长l m s 算法 在时变系统中，传统的l m s 算法的跟踪性能常常不能满足要求。理论分析表 明，当步长一定时，系统收敛速度由d = 九。、丸。决定，其中，。和丸。分别时 输入信号自相关矩阵的最大与最小特征值。当输入信号自相关矩阵的特征值严重 分散时，系统收敛速度降低且失调增大。由于自相关矩阵的特征值随输入信号强 度的变化而改变，影响收敛速度和失调，甚至可能会破坏收敛条件，这就要求算 法有较大的动态范围。文献p 驯中的n v s 对l m s 算法进行了改进，它采用了归一 化变步长方法，加速了算法在大的误差区内的快速收敛性，有效的提高了跟踪性 能。但它存在明显的缺点，就是，在引入变步长因子时，小误差区的收敛速度降 低，从而大大增加了自适应收敛时间。文献m l 中的h 4 n v s 算法综合了n v s 算法 和l m s 算法，提高了总体收敛性和动态跟踪性能。在这一节中，首先对n v s 算 法和m n v s 算法进行了详细的讨论，并给出了进一步的改进。仿真结果表明，改 进后得到的n n v s 算法性能优于m n v s 算法。 3 t 3 1 n v s 算法和m n v s 算法 自适应滤波中广泛使用的l m s 算法权系数迭代公式为： 瞩，= 睨+ 2 心以 ( 3 - 2 5 ) 文献1 3 3 l 中的n v s 算法对l m s 进行了如下的改进： 首先，引入变步长因子| | 可将步长视为从= 0 矗： 悱当娶搓c 浯2 6 ， 其中，c 为常数，且c 1 。对k i 限幅的目的在于保证满足收敛条件。此外，n v s 算法的又一改进措施是将输入功率归一化，即以“代替，b 为输入信号功率， 用下式的一阶递| j 1 法进行仙计： a = 矗，一l + 口( ：一卢。) o 口 1 ( 3 2 7 ) 氏的初值为p 。= x ：。南于输入信号的特征值及自相关矩阵的迹f 旭均与输入功率 儿成比例，因而它的引入使系统性能保持稳态，不会随输入信号强度的改变而变 化。从而扩大j ，系统输入的动念范围。综合起来n v s 算法的权迭代公式为： 暇+ = 彬，+ ( 2 0 矗0 允) 矗z 。 ( 3 2 8 ) 由文献1 3 3 1 中可知，当n v s 算法的自适应过程渐进稳态时，变步长峰| i