（基础数学专业论文）关于双三角子空间格代数及其上映射的研究.pdf

关于双三角子空间格代数及其上映射的研究 庞永锋 摘要算子代数理论产生于二十世纪三十年代随着算子代数理论的迅速发展， 它已经成为现代数学的一个热门分支为了进步研究算子代数的结构，近年来，许 多学者对算子代数上的线性映射进行了深入的研究，其中线性映射的空间实现及拟 空间实现问题引起了众多学者的关注在此基础上 本文研究了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的代数同构和导子的拟空间实现问题在算子代 数的研究中，人们长期关注下面的问题：一些线性映射的性质在什么条件下能由它 们的局部性质来确定本文研究非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格 代数上的局部导予，零点可导映射及某些c s l 代数上的局部毋一导子此外，还研 究非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的初等算子和j o r d a n 同 构最后，研究复可分h i l b e r t 空间上的六元子空间格的自反性 全文分五章t 第一章主要介绍算子代数及算子理论的基本知识，特别是非自伴算子代数的相 关知识及关于非自伴算子代数的研究进展此外，还介绍双三角子空间格代数的基 本知识和许多重要结论 第二章研究非零复白反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的代数同 构和导子、在零点可导的线性映射及局部导子首先，研究强双三角子空间格代数的 性质，证明了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的算子是非零 单元当且仅当它是二秩算子其次，证明了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角 子空间格代数上的代数同构和导子是拟空间实现的此外，还给出了非零复自反的 b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上在零点可导的线性映射的刻画最后，证 明了任何从非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数到8 ( x ) 上的局 部导子是导子 第三章研究非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的抽象的 初等算子和j o r d a n 同构首先，研究强双三角子空间格代数上抽象的初等算子的性 质，证明了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的抽象的初等 算子保持二秩算予其次，给出了强双三角子空间格代数上的抽象的初等算子的具 体刻画最后，研究强双三角子空间格代数上幂等算子的性质，证明了非零复自反的 b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的j o r d a n 同构保持二秩算子 第四章研究复可分h u b e r t 空间上某些c s l 代数的局部毋一导子由有限个可交 换的、无关的套生成的格( f c i n 子空间格) 和完全分配的交换子空间格( c d c 子空 间格) 是两类特殊的交换子空间格首先，证明了f c i n 代数上范数连续的局部毋一 导子是妒导子其次，证明了c d c 代数上范数连续的局部一导子是毋导子 第五章研究复可分h i l b e r t 空间上六元子空间格的自反性证明了与图一1 中 ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 和( 9 ) 型同构的六元子空间格是自反的；在有限维h i l b e r t 空间中，与 ( 6 ) ，( 7 ) ，( 1 0 ) 型同构的六元子空间格不是自反的；在差维的方式下实现的与( 4 ) ，( 5 ) ，( 8 ) 型同构的六元子空间格是自反的 关键词：双三角子空间格；代数同构；导子；初等算子；局部曲一导子；自反子空间 格 r e s e a r c ho nd o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c e a l g e b r a sa n dm a p so nt h e s ea l g e b r a s y o n g f e n gp a n g a b s t r a c tt h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n1 9 3 0 8 、v i t hf a s t d e v e l o p m e n to fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r y , i th a sb e c o m eah o tb r a n c hi nm o d e r n m a t h e m a t i c s i no r d e rt od i s c u 硝s t r u c t u r eo fo p e r a t o ra k e b r a ，m a n ys c h o l a r sh a v e s t u d i e ds o m et y p e so fl i n e a rm a p so uo p e r a t o ra l g e b r a ，a m o n gw h i c hs p a t i a la n d q u a s i - s p a t i a lp r o b l e m so na l g e b r a i ci s o m o r p h i s m sa n d d e r i v a t i o n so f o p e r a t o ra l g e b r a d r e wm a n ys c h o l a r s a t t e n t i o n b a s e do nt h er e s u l t s ，s t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c e l a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l e xr e f l e x i v eb a n a c hs d a c ew a ss t u d i e d w h e n s t u d y i n go p e r a t o ra l g e b r a , r e s e a r c h e r sc o n s i d e rt h ec o n d i t i o nu n d e rw h i c hs o m e p r o p e r t i e so fl i n e a rm a p so no p e r a t o ra l g e b r ab ed e t e r m i n e db yl o c a lp r o p e r t i e so f t h e m w br e s e a r c hi o c a ld e r i v a t i o n s 1 i n e a rm a p sd e r i v a b l ea tz e r op o i n to fs t r o n g d o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l r e f l e x i v eb a n a c h 印a c ea n d1 0 c a jc - d e r i v a t i o n so ns o m ec s la l g e b r a s f u r t h e r m o r e ，w es t u d ya n e l e m e n t a r yo p e r a t o ra n daj o r d a ni s o m o r p h i s mo fs t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c e l a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l e xr e f l e x i v eb a n a c hs d a c e f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t e t h er e f l e x i v i t yo fs i xd e m e n t ss u b s p a c el a t t i c e ao uan o n - z e r oc o m p l e xs e p a r a b l e h i i b e r rs p a c e t h i st h e s i si n c l u d e sf i v ec h a p t e r s c h a p t e ro n ei n t r o d u c e ss o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u to p e r a t o ra l g e b r a sa n d o p e r a t o rt h e o r y , e s p e c i a l l ys o m en o t a t i o n sa n dd e v e l o p m e n ta b o u tn o n - s c l f - a d j o i n t o p e r a t o ra l g e b r a s f u r t h e r m o r e ，s o m eb a s i ck n o w l e d g ea n di m p o r t a n tc o n c l u s i o n a b o u td o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r aw e r ep r e s e n t e d c h a p t e rt w o s t u d i e sa l g e b r a i ci s o m o r p h i s m s ，d e r i v a t i o n s ，l i n e a rm a p sd e f i v a b l e a tz e r op o i n ta n dl o c a ld e r i v a t i o n so fs t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r a o nan o n - z e r oc o m p l e xr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e f i r s t l y , p r o p e r t i e so fs t r o n gd o u b l e t r i a n g l es u b s p a e el a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l e xr e f l e x i v eb a n a c hs d a c ew e r e s t u d i e d i tw a sd e m o n s t r a t e dt h a te v e r yo p e r a t o ri ni ti san o n - z e r os i n g l ee l e m e n t i fa n do n l yi fi ti sar a n kt w oo p e r a t o r s e c o n d l y , i tw a sp r o v e dt h a te v e r ya l g e b r a i c i s o m o r p h i s ma n dd e r i v a t i o nb e t w e e nt w os t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a e el a t t i c e a l g e b r aa r eq u a s i - s p a t i a l t h i r d l y , t h el i n e a rm a pd e r i v a b l ea tz e r op o i n to fs t r o n g d o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l e xr e f l e x i v eb a n a c h 8 d a c ew a sc h a r a c t e r i z e d f i n a l l y , i tw a ss h o w nt h a te v e r yl o c a ld e r i v a t i o nf r o m s t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r ai n t ob ( x ) i sad e r i v a t i o n c h a p t e rt h r e ei n v e s t i g a t e sa b s t r a c te l e m e n t a r yo p e r a t o r sa n dj o r d a ni s o m o r - p h i s m so fs t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l e x r e f l e x i v eb a n a c hs p a c e f i r s t l y , p r o p e r t i e so fas u r j e c t i v ee l e m e n t a r yo p e r a t o ro f s t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r ao nan o n - z e r oc o m p l e xr e f l e x i v eb a - n a c hs p a c ew e r es t u d i e d i tw a sd e m o n s t r a t e dt h a te v e r ys u r j e c t i v ee l e m e n t a r y o p e r a t o rp r e s e r v e sr a n kt w oo p e r a t o r s s e c o n d l y , t h es u r j e c t i v ee l e m e n t a r yo p e r a t o r o fs t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b 8 p a c el a t t i c ea l g e b r aw a sc h a r a c t e r i z e d p r o p e r t i e so f i d e m p o t e n to p e r a t o r so l ls t r o n gd o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r aw e r ei n - v e s t i g a t e d f i n a l l y , i tw a ss h o w nt h a te v e r yj o r d a ni s o m o r p h i s mo ns t r o n gd o u b l e t r i a n g l es u b s p a c el a t t i c ea l g e b r ap r e s e r v e sr a n kt w oo p e r a t o r s c h a p t e rf o u rs t u d i e sl o c a l - d e r i v a t i o u so ns o m ec s la l g e b r a so i lac o m p l e x s e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e t h el a t t i c eg e n e r a t e db yf i n i t ec o m m u t i n gi n d e p e n d e n t n e s t sa n dc o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v ea n dc o m m u t a t i r en e s t sa l et w oe p e c i a lt y p e so f c s l f i r s t l y i tw a sp r o v e dt h a te v e r yn o r h lc o n t i n u o u sl o c a lc - d e r i v a t i o no n af c i n a l g e b r ai sa 毋- d e r i v a t i o i l s e c o n d l y , i tw a ss h o w nt h a te v e r yn o r u lc o n t i n u o u sl o c a l c - d e r i v a t i o no nac d ca l g e b r ai sa 西一d e r i v a t i o n c h a p t e rf i v ei n v e s t i g a t e st h er e f l e x i v i t yo fs i xe l e m e n t ss u b 8 p a c el a t t i c e so l la c o m p l e x8 e p a r a b l eh i l b e r t8 p a c e “i tw a sc o n c l u d e dt h a tt h es i xe l e m e n t ss u b s p a c e l a t t i c e si sr e f l e x i v ei fas u b s p a c el a t t i c ecw i t hs i xe l e m e n t so n7 - 1i 8i s o m o r p h i ct oo n e o f ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) a n d ( 9 ) i nf i g u r e1 i ft h es u b s p a c e1 a t t i c ec o naf i n i t ed i m e n s i o n a l h i l b e r t 印a c ei si s o m o r p h i ct oo n eo f ( 6 ) ，( 7 ) a n d ( 1 0 ) i nf i g u r e1 ，i ti sn o tr e f l e x i v e i ft h es u b s p a c el a t t i c ecr e a l i z e db yd i f f e r e n c eo n ed l m e m i o ni si s o m o r p h i ct oo n e o f ( 4 ) ，( 5 ) a n d ( 8 ) i nf i g u r e1 ，i ti sr e f l e x i v e k e y w o r d s ：d o u b l et r i a n g l es u b s p a c el a t t i c e ；a l g e b r a i ci s o m o r p h i s m ；d e r i v a - t i o n ；e l e m e n t a r yo p e r a t o r ；l o c a l - d e r i v a t i o n ；r e f l e x i v es u b e p a c el a t t i c e c ： x ： x ： 咒： 嚣，固： b ( n ) ： i ： ( 毛y ) ： i ： a + ： d ( a ) ： n ( a ) ： g ( a ) ： r a n k a ： e 上： 主要符号表 复数域 b a n a c h 空间 b a n a c h 空间x 的对偶空间 h i l b e r t 空间 从咒到中的全体有界线性算子构成的空问 h 上全体有界线性算子构成的空间 单位算子 向量o ，y 的内积 向量z 的范数 算子 的自伴算子 表示算子a 的定义域 表示算子a 的值域 表示算子a 的图 表示算子a 的秩 在h i l b e r t 空间中d o 表示闭子空间e 的正交补： 在b a n a c h 空间中五“表示闭子空间e 的零化子； 在b a n a c h 空间中1 e 表示闭子空间e 的预零化子； 表示，和z 生成的一秩算子 表示子空间格 表示双三角子空间格 表示代数 表示对应于代数的子空间格 表示对应于子空间格c 的子空间格代数 表示空间直和 表示空间正交差 慨胁d玑小m螂良 v ： 表示子空间的闭线性张 a ： 表示子空间交 k o = k n ( l + m ) = l n ( m + k ) = m n ( k + l ) = k 上n ( l 1 + m 1 ) 岛= l 1 n ( m 1 + k 1 ) 知= m 1 n ( k 1 + l 上) 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名日期：鲨z 丝 前言 算子代数是泛函分析中个极其重要的研究领域，自从2 0 世纪3 0 年代m u r r a y 和v o nn e u m a n n 等开始研究算子环( d i ：a n i e r 后来称之为v o l ln 日, m a n n 代数) 以 来，已得到了迅速发展它的研究不仅具有十分重要的理论价值，同时具有广泛的应 用前景它在非交换几何，量子力学，系统论和控制论中的应用已引起了国内外众 多科学家及学者的高度重视 算子代数的主要研究课题是探讨算子代数的结构，利用同态映射研究算子代数 的分类但是由于算子代数的结构非常复杂，即使是性质最好的y o nn e u m a n u 代数 和口一代数，分类问题也远未解决另一方面，由于算子代数上的线性映射与算子 代数的某些固有性质有着密切的联系因此，为了进步加深对算子代数的认识和 理解，人们越来越关注算子代数上局部映射及初等算子等映射的刻画问题 k a d i s o n 在文献【l 】1 首次研究了算子代数上的局部映射问题局部导子的概念 是由k a d i s o n 在文献f l 】，l a r s o n 和s o u r o u r 在文献【2 】引入的由于局部映射为人 们设计满足不同需要和具有不同特殊性质的映射解决相关问题提供了一种可能，因 此它已成为算子代数和算子理论的重要研究课题之一算子代数上线性映射的研究 不仅丰富了算子代数理论的研究，同时也从新的角度揭示了算子代效的固有性质与 其上线性映射的联系 非自伴算子代数是算子代数的个重要分支，其目的是研究自伴算子代数咂 n e u m a n n 代数和眇一代数) 中非自伴子代数的结构和性质k a d i s o n 和s i n g e r 于 1 9 6 0 年发表的n j 锄g i l 】a ro p e r a t o ra l g e b r a s 和r i n g r o s e 于1 9 6 5 ，1 9 6 6 年发表的 o ns o m ea l g e b r a so fo p e r a t o r si ，i i ( 文献【3 ，4 】) ，开创了非自伴算子代数的研究 d a v i d s o n 于1 9 8 8 年发表的专著n e s ta l g e b r a s ( 文献【5 1 ) 系统地总结了前2 0 年 的研究成果，提出了许多新的同题，极大地推动了套代数，进而也推动了非自伴算子 代数的研究 r i n g r o s e 在文献【3 ，4 】建立了套代数并开创了自反格代数的研究领域，a r v e s o n 在文献【6 】6 建立了次对角代数并开创了非可换h a r d y 空间的研究方向，g i l f e a t h e r 和 l a r s o n 在文献【7 1 引入了比套代数更广泛的一类算子代数- - y o nn e u m a n n 代数中的 套子代数目前以三角算子代数、套代数、次对角代数、c s l 代数、j s l 代数及y o n n e u m a n n 代数中的套子代数为代表的非自伴算子代数的研究已在许多方面取得了 极其深刻的研究成果这些研究成果不仅丰富了自伴算子代数中非自伴子代数的结 构，而且对自伴算子代数的结构和分类也产生了极其深刻的影响 关于非自伴算子代数的研究已取得了丰富的研究成果国外的数学家如k a d i o l s o n 、d a v i d s o n l o n g s t a f f ，s e m r l 、g i l f e a t h e r ，l a r s o n 、s o u r o u r 、m o o r e 、l a m b r o u 、p a - n a i a 等人在这方面取得了一系列的成果，可参考文献降1 j 7 】国内学者如鲁世杰陆 芳言、李鹏同，董浙，荆武及马吉溥等人近年来在三角代数，交换子空间格代数完 全分配格代数，j s l 代数、自反算子代数及套代数等方面取得了一系列的成果，见 文献【1 8 - 3 8 张建华在套代数，套子代数、l i e 代数及交换子空间格代数等方面做 出了许多卓有成效的工作，见文献【3 9 - 4 5 熊昌平和朱军在算子代数上的映射研究 方面也作出了许多工作，见文献 4 6 5 0 】 如果一个算子是自反的，则它一定有不变闭子空间，这说明自反算子代数与著 名的不变子空间问题有着密切的联系在h i l b e r t 空间上，自伴的自反算子代数是 y o nn e u m a n n 代数反之，任意v o nn e u m a n n 代数都是自反的，这类代数的理论已 经比较成熟而非自伴的自反算子代数的研究却进展缓慢，其主要原因在于其不变 子空间格结构的复杂性因此关于这方面的问题吸引了许多国内外的学者，取得了 一系列的成果，见文献【5 l 一6 6 】 本文主要研究非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的代数 同构、导子和局部导子、初等算子，j o r d a n 同构和复可分h i l b e r t 空间上的c s l 代 数上的局部一导子以及六元子空间格的白反性 本文第一章是绪论主要介绍算子代数及算子理论的相关基本知识，特别是非 自伴算子代数的相关知识和研究进展，此外还介绍双三角子空间格代数的基本知识 和许多重要结论 代数同构和导子是算子代数理论的一个重要研究内容，是算子代数上的两种重 要的变换对代数同构的刻画，是进一步了解算子代数结构的重要途径，其中代数同 构和导子的空间实现及拟空间实现问题引起了众多学者的关注，见文献 6 7 - 7 8 1 算 子代数上的局部映射是一类重要的映射，其目的在于研究线性映射的性质在什么条 件下能由它们的局部性质来确定，对于它的研究已成为算子理论最活跃的分支之一， 见文献【7 9 8 6 】 本文第二章主要研究非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上 的代数同构、导子、在零点可导的线性映射和局部导子首先，证明了非零复自反的 b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的算子是非零单元当且仅当它是二秩算 子其次，证明了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的代数同 构和导子是拟空间实现的最后，给出了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子 空间格代数上零点可导的线性映射的刻画，证明了强双三角子空间格代数到b ( x ) 上的局部导子是导予 7 b r e s a r 和s e m r l 在文献 s 7 - 9 0 中引入了抽象的初等算子的概念，并研究了初 2 等算子李鹏同，陆芳言，荆武等人分别研究，一子空间格代数和套代数上的初等 算子本文第三章研究了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上 的抽象的初等算子- 首先，证明了非零复自反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格 代数上的抽象的初等算子保持= 秩算子其次，给出了强双三角子空间格代数上抽 象的初等算子的刻画 由于j o r d a n 积在量子物理和微分方程中具有重要的应用背景( 在量子力学中， j o r d a n 积称为反易子) ，因此算子代数的j o r d a n 积一直备受关注，见文献【9 1 9 6 1 事 实上，j o r d a n 积还与算子代数上的等距问题密切相关本文第三章研究了非零复自 反的b a n a c h 空间上的强双三角子空间格代数上的j o r d a n 同构证明了强双三角子 空间格代数上的j o r d a n 同构保持二秩算子 第四章研究复可分h i l b e r t 空间上某些c s l 代数上的局部西一导子由有限个 可交换的无关的套生成的格称为f c i n 子空间格，完全分配的交换子空间格称为 c d c 子空间格，它们是两类特殊的交换子空间格首凫证明了f c i n 代数上范数 连续的局部一导子是庐导子，其次，证明了c d c 代数上范数连续的局部妒一导子 是导子 第五章研究复可分h i l b e r t 空闯上六元子空间格十四种同构类型的自反性首 先，证明了与图一1 中( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 和( 9 ) 型六元子空间格同构的格是自反的其次， 证明了在有限维h i l b e r t 空间中，与( 6 ) ，( 7 ) 和( 1 0 ) 型六元子空问格同构的格不是 自反的最后，证明了在差一维的方式下实现的与( 4 ) ，( 5 ) 和( 8 ) 型六元子空间格同 构的格是自反的 3 第一章绪论 本章首先简要地介绍b a n a c h 空间及其对偶空间的基本概念和联系两个空间的 一些著名结果，其次，介绍非自伴算子代数的基本知识及几种重要的非自伴算子代 数，相关知识见文献【9 7 - 1 0 1 第一节介绍b a n a c h 空间及其对偶空间、h i l b e r t 空间 及算子代数的相关知识第二节介绍关于非自伴算子代数的基本概念和几种重要的 非自伴算子代数，相关知识见文献【1 0 2 - 1 0 4 第三节给出双三角子空间格的相关概 念及一些重要的结果，相关知识见文献f 1 0 5 1 1 基本概念和术语 定义1 1 1 设x 是个复线性空间，在x 定义了一个非负函数0 1 l ：x 一 【0 ，+ o o ) 如果对于任意z ，y x ，a c ，函数n i l 满足： ( 1 ) 0 z0 = o 当且仅当z = 0 ； ( 2 ) 0o i x0 = i n 川z 玳 ( 3 ) i lz + y l i - - - i i 。0 + 0y0 ， 则称x 是赋范空间，称具有以上性质的函数0 为范数 定义1 1 2 如果赋范空间x 按照度量d ( x ，y ) = 0z yi i 是完备的，则称x 是b a n a c h 空间 定义1 1 3 设x ，y 为赋范空间，t ：x y 为线性算子称 0 t0 = s 叩钏t x i i ：i iz 临1 ) 为算子t 的范数如果0 t i l + ，则称t 是有界的 在本文中，用s ( x ，y ) 表示有界线性算子t ：x y 全体构成的线性空间称 x + = b ( x ，c ) 为x 的对偶空间，x 中的元素称为有界线性泛函 如果y 是b a n a c h 空间，则对任意的赋范空间x ，b ( x ，y ) 也是b a n a c h 空间 因此任意赋范空间x 的对偶空间x + 也是b a n a c h 空间 定义1 1 4 设l 为赋范空间x 的个子集，定义 l 1 = ，x ：，( 功= o ，k 工) 为l 在x 中的零化子 4 类似地，若m 为x + 的个子集，定义 上m = z x ：，+ ( 功= o ，v f m 为m 在x 中的预零化子 在本文中，用l x 表示l 是x 的闭子空间 命题1 1 1 设x ，y 为b a n a c h 空间，l x ，m 为x 的弱 闭子空间，则 l = 上( l 上) 且m ：= ( 上 f ) 上 显然，x 1 = o ， o ) 1 = x 定义1 1 5 设c 是b a n a c h 空间x 的一族闭子空间如果c 满足 ( 1 ) o ) ，x c ； ( 2 ) 对于c 的任何子空间族 厶ec ： ， ，总有v 厶，厶c ，其中v 表 示子空间的闭线性张，a 表示子空间的交，则称c 是个子空间格 定义1 1 6 设c 是b a n a c h 空间x 的一族闭子空间，4 8 ( x ) ，定义 a z g c = t e b ( x ) ：t ( l ) s l ，v l ， l a t a = l x ：t ( l ) l ，v r ) ， 则称a l g 为对应于c 的子空间格代数，称l a t a 为对应于一4 的子空间格 易证a l g c 是含单位元的弱闭算子代数，l a t a 是完备的子空间格 定义1 1 7 设x 为b a n a c h 空间，a b ( x ) ，c 是x 上的个子空间格如 果一4 = a l g l a t a ，则称一4 是自反算子代数；对偶地，如果c = l a t a l g c ，则称c 是 自反子空间格 易证a l g 是自反的 定义1 1 8 设咒是个复向量空间， ：h 咒一e 是个= 元复值函 数如果二元复值函数 满足 ( 1 ) = a + p ，a ，p e c ； ( 2 ) i 而= ； ( 3 ) 0 ， = 0 当且仅当z = 0 ， 则称氕是复内积空间 在复内积空间 f 上定义z i i _ - 曩i j 万，则h 成为赋范空间如果作为 赋范空间是完备的，则称咒是h i l b e r t 空间用8 ) 表示“上的有界线性算子的 全体 5 设“是h i l b e r t 空间，t 8 ) 如果t 和单位算子生成的弱闭代数是自反 的，则称丁是自反的显然，如果t 是自反的，则r 必有非平凡的不变子空间这说 明自反算子代数与著名的尚未解决的不变子空间问题有密切联系 在h i l b e r t 空间上，自伴的自反算子代数是v o nn e u m a n n 代数；反之，任意 c o i l n e u m a n n 代数都是白反的这类代数的理论已经比较成熟，而非自伴算子代数的研 究却进展缓慢，其主要原因在于其不变子空间格结构的复杂性 一秩算子在算子代数的研究中起着至关重要的作用 设x 是b a n a c h 空间，对于非零元素z x ，x + ，一秩算子，。o 定义为 ( ，o z ) ( ) = ，+ ( 9 ) z ，v y x 设“是h i l b e r t 空问，z ，f 钾是非零向量，一秩算子z o y 定义为 0 固掣) ( z ) = 正，v z 7 - t 下面的命题给出了自反算子代数中一秩算子的一个重要特征它首先由l o n g , s t a f f 在h i l b e r t 空间中给予证明【1 0 6 ，但是它在b a n a c h 空间中同样成立为了完整我们 给出它的证明 命题1 1 2 。设c 是b a n a c h 空间x 上的子空间格，则一秩算子广圆a 1 9 c 的充要条件是存在l c 使得z l 且，l 一上 证明充分性假设存在l c ，使得z l ，f 肚对于任意m c ，如果 工m ，则( 广固甸( m ) l m ；如果l g 肛则m l 一其中l 一= v m ：l 垡 m 进而，l 一上m 上，所以( 广圆z ) ( m ) = o ) m ，因此( ，o z ) ( m ) m 由m 的任意性，则广0 z a 1 9 c 必要性设f o z a l g z ：，l = v m c ：z m ，则z l 设k c 且 工垡，则k l 一由l 的定义有z 芒k 如果$ k ，则z 工一因此l 一厶进 而l k 这与l 垡k 矛盾，故z k 由于( 广o z ) ( ) k ，因此广( k ) = o ) 故f 上：l 垡k 且k c ) = ( v k ：l 垡k ) ) 上= l 下面我们给出无界算子的基本知讽此时算子并不需要在h i l b e r t 空间上处处 有定义 设爿和气是两个h i l b e r t 空间，a ：7 1 一咒是个映射，o ( a ) 是a 的定义堍 定义1 1 9 如果d ( a ) 是“的一个线性流形且对于任何 g d ( a ) 和任何 a ，p c 有a ，+ p g ) = a a f + 芦a g ，则称a 是一个线性算子 6 定义1 1 1 0 设a 是一个从，f 到内的线性算子，如果d ( a ) 在h 中是稠 的，则称a 是稠定义的 定义1 1 1 1 设a ，b 是两个从h 到芄内的线性算子，如果o ( b ) d ( a ) 且 对于任何h d ( b ) 有a h = b h ，则称a 是b 的延拓，记为b a 设a 是个从咒到的线性算子，设 g ( a ) = 0 a h 咒。疋：h d ( a ) ， 则称c ( a ) 是a 的图显然b a 当且仅当g ( b ) s g ( a ) 定义1 1 1 2 设a 是一个从咒到瓦内的线性算子，如果g ( a ) 是闭的，则称 a 是闭的 如果算子 有一个闭延拓，则称a 是可闭的 命题1 1 3 设a 是一个从竹到内的线性算子，则a 是可闭的当且仅当 g ( a ) 是一个图 关于无界算子的知识见文献【9 7 ，1 0 7 - 1 0 9 1 7 1 2 非自伴算子代数的基本概念 本节给出了几类重要的非自伴算子代数的基本概念，关于非自伴算子代数的知 识见文献 5 ，1 0 5 】 1 套代数 设c 是b a n a c h 空间x 上的子空间格，如果c 是全序集，则称c 是套，并称 a l g 为套代数 2 套子代数 设吖是一个v o n n e u m a n n 代数，芦是肘中的套，定义 a f g p = t m ：p t p = tp v p p ) ， 则称a f 卵为m 关于套p 的套子代数当m = 召( 咒) 时，a f 卵为套代数 3 c s l 代数 设c 是h i l b e r t 空间上的子空间格，则c 中的每个元素都对应唯一的正交投影， 如果这些正交投影两两可交换，则称c 是交换子空间格，简记为c s l ，并称a l g c 为 交换子空间格代致，简称为c s l 代数 4 原子b o o l e a n 格代数 设c 是b a n a c h 空间x 上的子空间格，k 如果l 使得 o ) c l c k 蕴涵着l = o 或l = k ，则称是原子 如果c 中的每个元素都是它所包含原子的闭线性张，即 l = v k ：k z 且k 是原子) ， 则称c 是原子格 如果对于任意m ，l c 都有分配律l a ( m v n ) = ( l a m ) v a ) ，则 称c 是分配格 如果是分配格且对于任意l c ，都存在u c 使得工v f ；x ，l f = 0 ， 则称c 是b o o l e a n 格 如果是原子b o o l e a n 格，则称a l g c 是原子b o o l e a n 格代数 8 5 完全分配格代数 设c 是b a n a c h 空间上的子空间格，如果对于c 的任何子空间族 l i c ： n ，总有 k av 蜒口厶b = v i e b aa d e a 厶，( 和 v a a 蚝口l a ，b = ，b - 4v d e a 厶，