（基础数学专业论文）动力系统中的小除数问题及芽和向量场的线性化.pdf

咱 ：j - ) 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 虹日期：毕 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：选导师签名：洱日期：牡 ，0j 一j 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 符号说明v 第一章引言1 1 1s i e g e l 中心问题1 1 2 预备知识2 1 3 算数性条件4 第_ 二章s h a b a t 方程的解析解9 2 1 问题的描述9 2 2 ( h 1 ) 情形f 方程的解析解的存在性1 0 2 3 ( h 2 ) 情形下方程的解析解的存在性1 2 2 4 ( h 3 ) 情形下方程的解析解的存在性1 6 2 5 新的算数性条件下方程的g e v r e y 类解的存在性1 8 第三章一类s h a b a ! 型方程的解析解2 0 3 1 问题的描述2 0 3 2 ( h 1 ) 情形下方程的解析解的存在性2 1 3 3 ( h 2 ) 情形下方程的解析解的存在性2 3 3 4 ( h 3 ) 情形下方程的解析解的存在性2 5 3 5 新的算数性条件下方程的g e v r e y 类解的存在性2 7 第四章一类全纯芽的线性化2 9 4 1 问题的描述2 9 4 2 定理的证明3 1 4 3 理论准备3 3 第五章一类解析向量场的线性化4 1 5 1 问题的描述4 l 5 2 两个算数性条件的关系4 6 i 5 3 定理的证明4 7 参考文献5 7 致谢6 6 攻读硕士期间发表和完成的论文6 7 一 i 一，0，一 一 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t 1 e n g l i s ha b s t r a c t i i i n o t a t i o n s 。1 0 7 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 1s i e g e lc e n t e rp r o b l e m 1 1 2p r e l i m i n a r i e s 2 1 3 a r i t l m m t i c a lc o n d i t i o n s 4 c h a p t e r2a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h es h m m te q u a t i o n 9 2 1d e s c r i p t i o no ft h ep r o b l e m 9 2 2a n a l y t i c s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o ni nt h ec a s eo f ( h i ) 1 0 2 3a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ec ，( 1 u a t i o ni nt h ec a s eo f ( h 2 ) 1 2 2 4a n a l y t i c s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o ni nt h ec a s eo f ( h 3 ) 1 6 2 5t h ee x i s t e n c eo fg e v r e y - l i k es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nu n d e rt h en e w a r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n 1 8 c h a p t e r3a n a l y t i cs o l u t i o n so fac l a s so fs h a b a t - l i k ee q u a t i o n s 2 0 3 1d e s c r i p t i o no f t h ep r o b l e m 2 0 3 2a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o ni nt h ec a s eo f ( h i ) 2 l 3 3a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o ni nt h ec a 鼬o ff h 2 ) 2 3 3 4a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o ni nt h ec a s eo f ( 1 1 3 ) 2 5 3 5 t h ee x i s t e n c eo fg e v r e y l i k es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nu n d e rt h en e w a r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n 。2 7 c h a p t e r4l i n e a r i z a t i o no fac l a s so fh o l o m o r p h i cg e r m s 2 9 i 4 1d e s c r i p t i o no f t h ep r o b l e m 2 9 4 2 p r o o f o f t h et h e o r e m 3 1 4 3 p r e l i m i n a r i e s 3 3 c h a p t e r5 l i n e 2 x i z a t h ) no fa ：l a s so fa n a l y t i cv e c t o rf i e l d s 4 l 5 1d e s c r i p t i o no f t h ep r o b l e m 4 l 5 2 r e l a t i o no ft w oa r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n s 4 6 5 3 p r o o f o f t h et h e o r e m 4 7 r e f e r e n c e s 5 7 a c k n o w l e d g e m e n t s 6 6 p u b l i s h 砌a n df i n i s h e dp a p e r sd u r i n gs t u d y i n gf o rt h em a s t e r 6 7 ，0 一 山东大学硕士学位论文 动力系统中的小除数问题及芽和向量场的线性化 李先龙 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 1 9 世纪末2 0 世纪初，p o i n f _ a 7 叠等人从经典力学和微分方程定性理论 的研究中，提出动力系统的概念动力系统的现代研究，则始于2 0 世纪6 0 年 代初p e i x o t o 等人的工作在s m a l e 和其他许多学者的倡导和推动下，这一 学科的基本理论取得了重大的进展自2 0 世纪7 0 年代以来，动力系统的研 究更广泛的向各个应用领域发展，如经济数学、气象预报、数值计算、统计力 学、振动理论、化学反应、生理过程、生态和人几订j 题等这一学科之所以受 到普遍重视，不仅因其丰富而深入的理论，而且特别是由于它的广泛而有成效 的应用已成为当今非线性科学研究的热点 本文主要研究了动力系统中的小除数问题，s h a b a t 方程的解析解和光滑 解的存在性1 1 】题以及芽和向量场的线性化u j 题 本文的第一章介绍了小除数问题和线性化问题的有关概念和发展状况， 为第二，三、四，五章的证明提供必要的理论基础 本文的第二章和第三章主要研究了s h a b a t 方程和一类s h a b a t 型方程的 解析解及光滑解的存在性y t 。i u 【4 3 】证明了s h a b a t 方程在d i o p h m l t i n e 条件下解析解的存在性本文对其结论进行了推广t 证明了s h a b a t 方程在比 d i o p h m t t i n e 条件更弱的b r j u n o 条件下的解析解的存在性针对小除数的形 式，本文对d a i e 引理进行了改进，并找到一个比b r j u n o 条件还要弱的算数 性条件，证明了在满足此算数性条件下s h a b a t 方程和s h a b a t 型方程一类非 解析光滑解一g e v r e y 类解的存在性 本文第四章主要研究了具有拟抛物不动点的解析芽的线性化问题，研究 的难点在于此类问题存在共振的情况。本文对r o n g 5 6 】的结论进行了推广 山东大学硕士学位论文 第五章主要研究了拟抛物解析向量场的线性化问题，把拟抛物解析函数芽线 性化问题的相关结论推广到了解析向量场 关键词：s h a b a t 方程；s h a b a t 型方程；b r j u n o 条件；解析解；g e v r e y 类解；线性化 i i 。【l j 山东大学硕士学位论文 s m a l ld i v i s o r si nd y n a m i c a ls y s t e m s a n dl i n e a r i z a t i o no fg e r m s a n dv e c t o rf i e l d s x i a n l o n gl i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t ) ； i n a r t ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t f o r mt h ee n do ft h e1 9 t hc e n t u r yt ot h eb e g i n n i n go ft h e2 0 t hc e n t u r y ，p o i l w a r d a n do t h e a sp r o p o s e dt h ec o n c e p to fd y n a m i cs y s t e mf r o mt h es t u d yo fc l a s s i c a lm e - c h a n i c sa n dq u a l i t a t i v et h ( 协r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m o d e r ns t u d yo fd y n a m i c a l s y s t e m sb yp e i x o t oa n do t h e r sb e g a ni nt h ee a r l y6 0 so ft h e2 0 t hc e n t u r y t h e b d s “ih “) r yt l fth i sd i s ( i p l i n ( ，h a sl n a d o s i g n i f i t a n ! p r o g r 。s su n d e rs m a l ea n dm a t i y o t h e rs c h o l a r s sa d v o e ，a c ya n dp r o m o t i o n s i n e 贮t i l e7 0 so ft h e2 0 t hc e n t u r y , d y - n a m i c a ls y s t e m sh a v eb e e na p p l i e dt ot h ew i d e ra r e a sa n d a l s os h o waw i d ea p - p l i c a t i o np r o s p e c t ，s u c h 鹅e c o n o m i cm a t h e m a t i c s ，w e a t h e rf o r e c a s t i n g n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n ，s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s v i b r a t i o nt h e o d c h e m i c a lr e a c t i o n s p h y s i o l o g i - c a lp r o c e s s e s ，e c o n o m i ca n dd e m o g r a p h i ci s s u e sa n ds oo n t h i ss u b j e c th a sr e c e i v e d w i d ea t t e n t i o m si sn o to n l yb e c a u s eo fi t sr i c ha n di n - d e p t ht h e o r y , b u ts l a ob e c m h 8 e i t sb r o a da n de f f e c t i v ea p p l i c a t i o nh a sb e c o m eah o tr e s e a r c hs p o to ft h en o n l i n e a r t h i sa r t i c l ed i c u s s e st h es m a l ld i v i s o rp r o b l e mi nd y n a m i cs y s t e m s ，t h ea n a l ) t i c s o l u t i o n sa n ds m o o t hs o l u t i o n so ft h es h a b a te q u a t i o na n dt h el i n e a r i z a t i o np r o b l e m o fa n a l y t i ( g e r m sa n d 、，l 、( t o tr i d ( i s i nc h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ta n db a s i cc o n c e p t so fs m a l ld i v i s o r s i i i 山东大学硕士学位论文 p r o b l e ma n dl i n e a r i z a t i o np r o b l e m s ，w h i c hp r o v i d et h en e c e s s a r yt h e o r e t i c a lb a s i s f o rt h ep r o o fo ft h es e c o n d ，t h i r d ，f o u r t h ，f i v ed l a p t e r s i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ea n a l y t i cs o l u t i o n sa n ds m o o t h s o l u t i o n so ft h es h a b a te q u a t i o na n dt h es h a b a t - l i k ee q u a t i o n w ep r o v et h a tt h e e x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n sa n ds m o o t hs o l u t i o n so ft h es h a b a te q u a t i o nu n d e r t h eb r j u n oc o n d i t i o n ，w h i c hg e n e r a l i z e dt h ec o n c h u s i o no fy l i u 4 3 1 w ei m p r o v e d d a v i t sl e n a n aa n df i n ( 1ah e wa r i t l m m t i c a lc o n d i t i o nw h i c hi sw e a k e rt h a nt h e b r j u n oc o n d i t i o n ，a n da l s os h o wt h ee x i s t e n c eo fg e v r e y - l i k ec l a s s e ss o l u t i o n so ft h e s h a b a te q u a t i o na n dt h es h a b a t - l i k ee q u a t i o nu n d e rt h en e wa r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h el i n e a r i z a t i o np r o b l e ma n a l y t i cg e r m sw i t ht h eq u a s i p a r a b , , l i cf i x e dp o i n t d u et ot h ep l 龇n t x ；, f f “缁o n a l l 【跫s ，t i f f sp r o b l e mb e c o m e s i i o i cd i f f i c u l t ，w eg e n e r a l i t x tt h er e s u l to ff r o n gf 5 6 1 i nc h a p t e r5 ，w es t u d y t h el i n e a r i z a t i o np r o b l e mo ft h eq u a s ii ) a r a b o l i cv e c t o rf i e l d s ，w h i c he x t e n d st h e c o n c l u s i o nf r o ma n a l y t i cg c r m st oa n a l y t i cv e c t o r f i e l d s k e y w o r d s ：s h a b a te q u a t i o n ；s h a b a t - l i k ee q u a t i o n ；b r j u n oc o n d i t i o n ；a n a - l y t i es o l u t i o n ；g e v r e yc l a s s y ；l i n e a r i z a t i o n i v ， 山东大学硕士学位论文 r r “ 一r r i ( z ) 1 ) b ( ：f ) 叫i ； d 缉( 2 ) 口，( ：) 【n 1 】 扯 i l c c z l 】 c z ) 符号说明 实数集 n 维欧氏空间 f ( x ) 的扎次迭代 映射 1 在点z 的1 a c o b i 矩阵 点? 的范数 区域d 的边界 以z 为圆心以，为半径的开球 以z 为圆心以r 为半径的闭球 n 的整数部分 n 的小数部分 ：= i n o l i ：n z ) 形式幂级数环 收敛幂级数环 v ， 山东大学硕士学位论文 第一章引言 一门新学科的创立，不仅是理论进步的结果，更是生产发展的需要和社会 实践深化的必然对于动力系统的研究，则正以磅礴的气势，揭开了物理学、 数学乃至整个现代科学发展的新篇章本文首先介绍动力系统中小除数问题 和芽与向量场的线性化问题的研究进展情况，然后给出一些预备知识，为第 二、三、四、五章研究动力系统中的小除数问题与函数芽和向量场的线性化问 题做必要的准备工作 1 1 s e i g e l 中心问题 我们常常把一些相互联系并不断发展的事物称作一个系统这些事物既 可以足自然科学中的某些物质，也可以足社会客体和组织等抽象的事物一个 系统如果其历史和未来完全由某一时刻的状态决定，或者说只要知道它在某 一时刻的状态，就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史发展过程，则 称之为决定系统根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系 统和由映射迭代揭示的离散动力系统以迭代为背景离散动力系统的研究则 始于一百多年以前，由数学家e s c l u 甜l e r 、n h a b e l ，b b a b b a g e 等人 创立的迭代论在近代自然科学如物理学化学、天文学、力学等学科的关注 和推动下，动力系统迅速发展起来 对于c “中的一个以原点d 为不动点的全纯芽，在什么条件下j r 才能 全纯线性化是局部动力学性质研究的一个重要课题，这个问题的答案取决于 4 几的特征值如果我们用入l ，一，a ，。c 。表示, g o 的特征值，对于某些 l 歹 ，将会出现以下项。 a 七一= 入：1 a 争一， 其中七= ( 七i ，k ) n ”，= 七l + + k 如果跋等于零，则称为，的 一个共振由于小除数的存在，即使是非共振的情况，形式幂级数的收敛性是 很难证明的，对于共振的情况更是难上加难本文的第四章和第五章将讨论在 共振情况下，芽和向量场的线性化问题 山东大学硕士学位论文 1 2 预备知识 设t o c n 我们将所有在跏处解析的函数所构成的集合记作d 。( 跏) 在 d 。( z o ) 中引进如下等价关系：夕，如果存在x 0 的邻域使得i ，= 9i ， 称 s = 夕o ( x o ) | 9 一， 为，在z u 处的芽 如果，0 。( o ) 满足s ( o ) = 0 ，我们称，是( c n ，0 ) 上的解析芽如果， 是( p ：o ) 上的局部解析同胚，我们称，是( c “0 ) 上的解析同胚芽 定义1 2 1 设，和g 是( c ”，0 ) 上的解析芽，如果存在( c n 0 ) 上的解析同胚 芽h 使得h - 1oj roh = 夕，则称j r 和夕是解析共轭的 定义1 2 2 设f ( z ) 是( c “：0 ) 上的解析芽，并且o s ( 0 ) 0 如果，解析共轭 于它的线性部分o f ( o ) z ，即h - 10 ，0h = d j r ( 0 ) z 则我们称，是t v z 线性化 的 首先考虑一维的情况，即扎= 1 令g 表( c ，o ) 中全纯微分同胚芽组成的群，令g 表( c 0 ) 中全纯微分 同胚形式芽组成的群，即： 定义映射： g = ，犯 ：) ，( o ) o ) g = ，：c l 【：】户( o ) 0 我们可以得到基本的关系 丌( ，) = ，( o ) ，亓( ，) = ，( o ) 丌：g = ug a _ c 木j 膏：g = u 戗_ c 宰 a e i ： a e c * 考虑解析函数f ( z ) = 3 z 一4 是否有一个( c j 0 ) 上的解析芽h 使得 ( o ) = 1 并且，( i l ( z ) ) = h ( i ( o ) 2 ) ? 答案是肯定的，因为h ( z ) = s i nz 就满足 2 、卜j 、卜r 入 入 i | i | 氟 虮 硼 对 c c 净 p 赫 咖 。树脚 i | l i 力 力 八 八 r t r t i i = a p g 中其 山东大学硕士学位论文 要求现在给定( c 0 ) 上的解析芽( z ) 满足7 ( o ) = a c 。：= c o ) 一个 f 1 然的1 1 i j 题是t 是否有一个( c ，0 ) 上的解析芽h ( z ) 使得 h ( o ) = 0 ， 7 ( 0 ) = 1 ，( ( z ) ) = ( a z ) ?( 1 2 1 ) 对1 的情况，答案是肯定的( l c a r l e s i n ，t w g a m e l i n ，c o m p l e x d y n a a n i c s s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 ) 对a 是一个单位根的情况，答案是不一 定( s m v o r o n i n ，f u n c t i o n a la n a l y s i s1 5 1 ( 1 9 8 1 ) ，l - 1 7 ) 然而，最有趣也是 最棘手的情况是t = 1 且a 不是单位根这种情况有 入= e 2 丌”口r q ( 1 2 2 ) 我们将考虑，的幂级数 化) = o 。2 “，t = a 并假设形式幂级数展开为 将f 和h 的幂级数代入( 1 2 1 ) 并比较系数得 f 1 一1 h n = 志塞q m 毫? 柚一“”独 在上面关于h 。的递推公式的分母中出现了舻一a 当= 1 时这项可 以非常小我们称之为。小除数”或称“小分母”。小除数”的出现给证明收 敛性带来了巨大的困难。因为小除数可能导致h 的发散性因此，如何来控制 “小除数”使得| 】( z ) 在原点的小邻域内收敛便成了数学家关注的一个问题 在1 9 1 7 年由g a p f i - i f f e r 给出的定理说明对于某些，可能使得h 发散 定理1 2 1 如果a = 乎刑。，n r q ，则对任何d 2 的多项式f 方程( 1 2 1 ) 3 n - n 九 删 = z 山东大学硕士学位论文 1 3 算数性条件 由定理1 1 我们知道对于a = 2 州。，n 取q 方程( 1 2 1 ) 可能无解然 而，1 9 4 2 年s i e g e l ( a n n a l s o fm a t h e m a t i c s ，4 3 ( 1 9 4 2 ) ，8 0 7 - 8 1 2 ) 在假设q 满足 某种算数性条件下，证明了方程( 1 2 1 ) 解的存在性 d i o p h a n t i n e 条件：我们说口r q 满足一个d i o p h a n t i n e 条件( 或a 是一个d i o p h a n t i n e 数) 如果存在c o ，p 2 使得对所有的：q q z + 都有 i n 一扯c 可以证明d i o p h a n t i n e 数构成一个正测度集，证明可见1 1 9 】像下面给出 几个定理和命题( 见【4 8 】和( 8 2 ) ； 定理1 3 1 设f ( z ) = ：l 扩：a l = a = e 2 , r 如，q r q 是在原点的某邻 域内解析的函数，并且a 是一个d i o p h a n t i n e 数则方程( 1 2 1 ) 存在在原点 的某邻域内解析的解 命题1 3 1 算数性条件意味着存在c 0 和6 c 使得 1 2 万与s ( 2 n ) 6 肛1 ，2 命题1 3 2 设数列 如 忍l 如下定义：d l = 1 和 厶2 蚓m l a 。) x 豫 函- 酣n = , 3 - - - 其中熊：= ( f l ，如) z ，0 z 1 1 2s “，z 1q - 1 2 + + i t = n 更l j 厶( 2 5 6 + 1 ) “n 一筋n = 1 ，2 实际上我们可以给出一个更一般化的叙述： 命题1 3 3 设乜是一个d i o p h a n t i n e 数对礼= 2 3 ，设r = r ( z ”z 。一i ) 是一个n 一1 元函数且满足 ( i ) 如果0 戤仇对i = l - 2 ，n l ，则0 r ( z l z n 1 ) r ( ! ，l ，蜘一i ) ； ( i i ) 设数列 d n ，甚l 如下定义s d l = l 和 4 蟊= s n t 2 2 m ，( a 。) x 酲( d f - 函t ，n - - 2 , 3 - - - i t ，。以”( 2 5 0 + 1 ) “一n 一筋：礼= 2 1 9 6 5 年，跟随c l s i e g e l 的思想，a d b r j u n o 9 3 利用连分数的某些性 质改进了算数性条件，他给出了一个比d i o p h a n t i n e 条件更弱的算数性条件， 即所谓b r j u n o 条件 对一个实数q ，我们设表示它的整数部分， q ) = o t 一【q 】表示它的 分数部分每个无理数o t 都有唯一的g a ! l s s 连分数展开 q = d c i + a c 。= d o + i _ 百= 简记为o l = 【d o d i - 一，厶】，其中奶和q 可通过以下来计算t ( a ) d o = ， o t o = a ) ，并且( b ) 以。= 击 ，q n = 士) ，n 1 定义数列( p n ) n n 和 ( q 。) t | n 如下t q - 2 = 1 q i = 0 ，= d n q n 一1 + q n 一2 p 一2 = 0 p 一1 = l ，p 。= 以阳一1 + p n - 2 容易证明p 。q n = 【d o d l ：如】因此，对每个q r q j 应用它的收敛性， 我们可定义一个函数，( n ) = 。oi o g 。q 。+ , b r j u n o 条件( 见【9 3 】) ：我们说o t r q 满足一个b r j u n o 条件( 或o t 是一个b r j u n o 数) ，如果 劈( q ) 0 足一个常数。则r ，= ，d 1 ：，k ，】足一个b r j u n o 数但不是 d i o p h a n t i n e 数 5 山东大学硕士学位论文 设 a 七= 扎刈驯i 去 ，玩= m a x ( q k 竿) ，吼= 爰 月i 是一个由整数j20 组成的集合，使得j a k 或者对a 七中的某些j l 和 7 2 且j 2 一a ，都有1 歹 0 使得 脚胁篷警l o g q k + l k = 0+，) k ( n ) nl _ - + ，) ， 、 ” ( b ) k ( ，1 1 ) + k ( ，1 2 ) k ( n l + m ) x - l 于所有的t , l 和n a ，且 ( c ) 一l o gi a n + l isk ( n ) 一k ( n 1 ) 证明：因为q = e x p ( 2 刀 i a ) o r q 假设罟m = 2 k + 1 后z ，为最接 近n o 的数，并且定义范数； i j 舢p | | = i n j n i ”a 一虿m i ：m = 2 k + 1 ，k z ) 因为? t o t 为无理数，通过基本的计算我们容易得到： i1 + q “i = l e ”讯。+ e f 伽。i = 1 2 c o s 7 r ( n a ) l = 2 1 s i t a r ( h a 一罢) j ， m = 2 k + l ，七z 由于假设和不等式i s i n ( v ) l 兰越7 1 o n 【一考，詈】，我们有 1 1 + q l = 2 1 s 砒( 丌( ，沁一署) ) l 昙i 丌( ，“一2 ) 1 = 4 1 儿瞍一i m l m = 2 k + 1 k z 在此范数的定义不同于f 2 1 】中附录c 中的范数，下面的 证明同于【2 1 】。在此省略 山东大学硕士学位论文 对于高维的情况，考虑c “中以原点0 为不动点的全纯微分同胚芽， 彤i o = 人，若a = d i a g ( a ! ，a n ) ， 定义1 3 1a d i a g ( a l a n ) g l ( n ，c ) 我们称人是共振的，如果存在 k n 2 ，j 1 ，佗) 使得 妒一= 0 否则称a 是非共振的 对于非共振的情况有如下结论， 定理1 3 2 ( a r n o l d 【5 】) 设，为c “中以原点。为不动点的全纯微分同胚芽 则，形式共轭与它的微分d i o 然而，即使在非共振条件下，j r 也不是一定能够全纯线性化，我们需要 如下定义： 若d y o 的所有特征值的模都小于1 ，则称不动点d 是吸引的； 若疽厂d 的所有特征值的模都大于l 。则称不动点d 是排斥的； 若d y o 的所有特征值的模都不等于1 ，则称不动点。是舣曲的； 、若d f o 的所有特征值为单位根，则称不动点d 是抛物的； 特别的，若d f o = i d 我们称j r 切于恒同； 若c 肠的所有特征值的模都等于l 但非单位根，则称不动点( ) 是椭圆 的； 若饥j = 0 我们称不动点d 是超吸引的 定义1 3 3 对于矩阵a = d i a g ( ) t l ，a 。) c , l j ( n c ) ，若s u pi l 1 ，则称矩阵人在p o i n t a r d 区域内；若a 不属于p o i n c a r ( 区 l s j n 。 域，则称其属于s i e g e l 区域内 若a 在p o i u c a r 6 区域内，p o i n c a r 6 【9 4 】已经证明尸可线性化当a 属 于s i e g e l 区域内，问题就变得十分复杂，要想使f 1 形式线性化则必须假设a 是非共振的令m n m 2 且定义 1 2 ( m ) = m ! n m i n ”一九i ，仇2 2 _ l k l ) m l ：n 。 。 在解析的情况下，即使a 非共振，由于小除数的存在，形式线性化的收敛性 7 山东大学硕士学位论文 的证明也是十分困难的，需要证明 酊1 l o y 0 2 ( q k + 1 ) 1 o 其中 嗷) 霉为一整数序列，且l = q o ( 2 n ) 一y n = l ，2 ， 其中p 为某些正常数且仅依赖于? 则方程( 2 1 1 ) 在原点的某个邻域内存在 解析解下面我们将找到个比d i e 砷d t a n t i n e 条件更弱的条件b r j “”d 条件， 酊1l o g w ( q ，+ 1 ) 一 o 9 山东大学硕士学位论文 其中 u ( m ) 2 2 r a i n m 1 1 - t - q 计1 l ，1 1 一刑卜m 2 ， 且 咖】- 为整数序列，1 = q o mz j n m = ， () m = 0 i a n l d n ，n = 0 1 ，2 ， g ( z ：7 ，m ) = ，) 。2 “， n = 0 【2 2 5 ) a 2 ( z ，) o ：训，) = i + ”l ( 仉z ，1 ) n = l n = o = d o a ( z ，1 ) o ，7 ， ，) + d 。彬州d 。扩 n = 0 ，i = o = d o c ( z d o ，y ， ，) + d n m 严一仇队严 n = i m = 0 n = 1 = d o g ( z ，仇 ，) + 击队+ l 扩一萎仇扩 = d o g ( z ，d o ，7 ， ，) + 瓦矗( g ( 2 ，仇，7 ，m ) 一d o d l z ) 一d o ( g ( ：，d o ，1 ，1 1 ) 一d o ) 1 1 山东大学硕士学位论文 即 m g 2 ( 。，仇，1 m ) z c ( z ，d o - y ，m ) 4 - ( 1 7 f _ 瑶a ，) ：+ 仇= 0 ( 2 2 6 ) 当( z ，u ) 在( 0 d o ) 的一个领域内，令 l i ( z ，“，仇- ，m ) = m u 2 z u + ( 1 ，i d ； ，) z + 仇( 2 2 7 ) 因为，t ( o ，仇，7 ，m ) = 0 ，忆( 0 ，d o ，7 ，m ) = - 1 0 ，从而则存在唯一的函数 。( z ，d o ：1 ，m ) 在原点的一个领域内解析，使得 u ( 。? 仇，y ，) = i f 0 1 。：( 。，7 ，m ) = 一鼍兰黼= 1 7 i 并且满足等式r ( ：，。( ：，蛾7 。m ) ，d o ，7 ，m ) = 0 根据( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) ，我 们有g ( 。，d o ，7 ，m ) = u ( 2 ，d o ，m ) 由此可以得出幂级数g 在原点的一个 邻域内是收敛的因此幂级数( 2 2 1 ) 在原点的一个邻域内是收敛的证明完 毕 2 3 ( h 2 ) 情形下方程的解析解的存在性 下面我们将证明在b r j u n o 条件( 2 1 2 ) 下方程( 2 1 1 ) 解析解的存在性 我们有以下： 定理2 3 1