（基础数学专业论文）几类变换半群的正则性及格林关系.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 一 ( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：专、胡衣鸦 导师签字：许勿雩 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权刳蔓可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：乏t 1 舷琥 签字日期：2 0 0 乎年6 月1 日 日爹肛 ，3 ， 莸 弛啤 字 签 堙 师 期 导 日 字 签 山东师范大学硕士学位论文 几类变换半群的正则性及格林关系 刘振玲 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究了几类变换半群的正则性及格林关系，共分三章，各章内容如下： 第一章主要研究了非空有限全序集x 上的保e p 部分变换半群尸e d 段的正 则性、格林关系、正则元的格林关系，并对格林* 一关系作了一些讨论，主要结论 如下： 定理1 1 1 设o 尸e d 取，则。是正则元当且仅当对任意a x e 存在日州e 使得i m o n 4 ( b n d o m a ) 0 ： 命题1 1 5 在p e d 段中，下列条件等价： ( 1 ) p e d 段为正则半群； ( 2 ) r ( p e o 取) 为尸e o 取的正则子半群； mp e o p x = p x 或p e o p x = p o p x ； ( 4 ) e = x x 或e = 1 x 定理1 2 4 对任意n ，p p e o p x ，下列条件等价： ( 1 ) ( o ，口) z ； ( 2 ) i 仇o = i m 且对任意以x e ，存在b ，c x e 使得( a n d d m n ) n ( b n 毓p ) 反 ( and d m ) p ( cnd o m ，o ) 凸= ； ( 3 ) 存在砂：霄( q ) 一，r ( p ) 为e + 一可容许双射且0 - 。= 妒p 。 定理1 2 5 对任意q ，卢p e o 厥，( q ，p ) 留铮对某个e + 一保序双射妒：i m q i 卢，卢= “妒 定理1 2 6 对任意a ，p e d 取，下列条件等价： ( 1 ) ( q ，臼) 群； ( 2 ) t m a = i m p 且对任意4 州e ，存在b ，e x e ：使得( a n d d m a ) a ( b n d d m p ) 口； ( 4nd 咖p ) 矽( end 咖口) 口；p = 口妒：其中：i 僦一i m 为一个e + 一保序双 射； ( 3 ) 存在妒：丌( q ) 一丌( ) 为e + 一可容许双射，使得a 。= 妒反；存在e + 一保序双射 妒：i ，r t d t 仃z ，使得启= a p 定理1 2 7 对任意q ，p p e d 取，( q ，p ) 勿兮存在e 一可容许双射妒：7 r ( q ) 一 7 r ( p ) 和e + 一保序双射妒：i 仇q i m 卢使得o 。妒= 妒羼 山东师范大学硕士学位论文 定理 定理 定理 定理 1 3 1 对任意q ，兄( p e d 取) ，( n ，p ) 1 3 2 对任意q ，r ( p e p 取) ，( a ，p ) 1 3 3 对任意0 ：，卢尺( p e o 取) ：( o ，p ) 1 3 4 对任意a ，p r ( p e o 暇) ，( o ，p ) 乡营 m 口= z m 口 ：勿 亭丌( q ) = 7 r ( 卢) 乡纩i m q = i m p 上王丌( a ) = 丌( p ) 9 静存在e 一保序双射妒： m o 一 0 i 定理1 3 5 对任意q ，口r ( p e d 段) ，( q ，p ) 昔存在f 一保序双射妒：t 僦一 t m 口 定理1 4 4 对任意q ，口p e d 取，t m q = i m p 净( q ，p ) p 定理1 4 5 对任意o ，厣p e o 取，七e r q = 七e r p 号( ，) 叨 第二章讨论了非空有限全序集x 上的保e d 变换半群p e o h 的变种半群 p e d 取( 的格林关系以及正则元的格林关系，主要结论如下： 定理2 1 2 对任意n ，p p e d 戤( 口) 下列条件等价： ( 1 ) ( o ，卢) 乡； ( 2 ) x o = x p 且对任意4 纠e 存在b ，c e ，使得a 口b p ，a p c 修d ； ( 3 ) 存在砂：丌( o ) 一丌( p ) 为日一可容许双射且满足a 。= 妒凤 定理2 1 3 对任意0 = ，卢p e d 取( 一) ，( o ，卢) 勿净卢= q 妒，其中妒：x a x p 为 矿一保序双射 定理2 2 2 对任意乜，p r ( p e o 取( 口) ) ，( n ，p ) 影x o = x p 定理2 2 3 对任意“，口j r ( p e o 取( 6 1 ) ) ，( q ，p ) 贸= 争霄( a ) = 7 r ( 口) 第三章讨论了保序且保等价部分变换半群p d 屁( x ) 的格林关系、正则性、正 则元的格林关系，主要结论如下： 定理3 1 3 令，；9 p d ( x ) ，下列条件等价： ( 1 ) ( ，g ) 夕； ( 2 ) 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) ，e ( ，) = e ( 夕) ； ( 3 ) 存在保驴序同构妒：i m 厂一i 盯w 使得9 = 妒， 定理3 1 4 令，9 p ( ) 如( x ) ，下列条件等价： ( 1 ) ( 工9 ) 刃； ( 2 ) i m ，= i m 夕，且对任意4 x e ，存在b ，c x e ，使得，( a n 锄，) 9 ( b n d d 嘲) ， 夕( a n d 咖夕) ，( c n d d m ，) ； ( 3 ) 存在e + 一可容许的序同构妒：丌( ，) 一丌( 9 ) ，使得，= 弧妒 定理3 1 6 令，9 p d p e ( x ) ，下列条件等价： ( 1 ) ( ，夕) 9 ； ( 2 ) 存在保e + 序同构妒：t m ，一t 哪和e + 一可容许序同构砂：霄( ，) 一丌( 夕) ，使得 9 。中= 咿 。 定理3 2 1 令，p d 如) ，则，为正则元铮对任意a 驯e ，或者an l m ，= o ， 2 山东师范大学硕士学位论文 或者存在b x e 使得a n i m ，= ，( 日n d d m ，) 推论3 3 3 令厂? 9 r ( p o p e ( x ) ) 下列结论成立： ( 1 ) ( ，夕) 乡 争丌( ，) = 7 r ( 9 ) ； ( 2 ) ( ，9 ) 留铮i m ，= i 竹w ： ( 3 ) ，：9 ) 。，伊 亭7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) 上ii r n ，= i 7 7 t 夕 定理3 3 4 令，g r ( p d 如) ) ，则( ，：夕) 勿甘存在保e + 序同构妒：t m ，一i 哪 关键词：变换半群，有限保e d 部分变换半群， 有限保e o 部分变换半 群的变种半群， 保序且保等价部分变换半群， 正则元，格林关系 中图分类号： 0 1 5 2 7 3 山东师范大学硕士学位论文 r e g u l a r i t i e sa n dg r e e n sr e l a t i o n sf o rs o m en a n s f o r m a t i o n se m l g r o u p s l i uz h e nl i n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h er e g u l a r i t i e sa n dg r e e n sr e l a t i o n sf o rs o m e t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r s ，t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni n f 0 1 l o w i nc h a p t e r1 ，l e tp e 0 尸xd e n o t et h ef l n i t eb - o p r e s e i n gp a r t i a lt r a n s f o r - m a t i o ns e m i g r o u po nan o n e m p t y6 n i t et o t a l l yo r d e r e ds e tx ，w em a i n l ys t u d y t h er e g u l a re l e m e n t s ，g r e c n sr e l a t i o i l s ，a n da l s ot h eg r e e n sr e l a t i o n sf o rr e g u l a r e l e m e n t so np e o 尸x ，a n dd i s c u s st h e 木一g r e e n sr e l a t i o n so ni t t h em a i nr e s u l t s a r eg i v e na sf o l l 帆r i n g t h e o r e m1 1 1l e tq p e o 尸x ：t h e nqi sar e g u l a re l e m e n ti fa n do n l yi f f o re a c ha x e ，t h e r ee 虹s t sb x es u c ht h a ti mqna ( bnd d m q ) q p r o p o s i t i o n1 1 5 t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n ti nt h es e 血g r o u p p e o p x ： ( 1 ) p e 0 p xi sar e g u l a rs e m i g r o u p ； ( 2 ) 冗( 尸e 0 尸x ) i st h er e g u l 甜s u b s e m i g r o u po f 尸e 0 尸y ； 媾吣p e op x = p xo 芷p e o p x = p o p x j ( 4 ) e = x x o re = 1 x t h e o r e m1 2 4l e tq ，尸e d 尸x ，t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q 山v - a l e n t ： ( 1 ) ( q ，p ) 2 ； ( 2 ) i m q = i m pa n df o re a c ha x e ，t h e r ee x i s tb ，c x es u c ht h a t ( and d 仃z q ) a ( bnd d 仃 p ) ，( and d m 卢) p ( c nd d 仃l q ) q ； ( 3 ) t h e r ee ) 【i s t s a ne 一a d m i s s i b l eb i j e c t i o n 妒：7 r ( a ) _ 7 r ( p ) s u c ht h a t 仅。= 曲8 4 t h e o r e m1 2 5l e tq ，口p e o 尸y ，t h e n ( n ：p ) 0 驴i fa n do n l yi ft h e r e e ) ( i s t sa n 口一o r d e r p r e s e i n gb i j e c t i o n 妒：i m a _ i m ps u c ht h a tp = q 乒 t h e o r e m1 2 6l e tq ，p e d 尸x ，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( q ，) 形； ( 2 ) i m a = i m 卢a n df o re a c ha x e ，t h e r ee 妇s tb ：c x es u c ht h a t ( and d r n a ) q ( bnd d m p ) ，( and d m ) p ( cnd d r n a ) a ；t h e r ee x i s t s a n p o r d e 卜p r e s e r 、，i n gb i j e c t i o n 妒：i m a i m s u c ht h a t = q ； f 3 ) t h e r ee 妇s t sa n 口一a d m i s s i b l eb i j e c t i o n 妒：7 r ( a ) 一7 r ( ) s u c ht h a ta 。= 砂风a i l dt h e r ee x i s t sa n 矿一o r d e r p r e s e r 、，i n gb i j e c t i o n 妒：i m q _ i m ps u c ht h a t p = q 妒 t h e o r e m1 2 7l e t ，p p e 0 马【，t h e n ( a ，) 勿i fa n do n l yi ft h e r e e x i s t sa ne 一a d m i s s i b l eb i j e c t i o n 矽：7 r ( d ) 一丌( ) a n da 肛e + 一o r d e r p r e s e r v i n g b i j e c t i o n 妒：i m a i 仇卢s u c ht h a tq + 妒= 砂鼠 t h e o r e m1 3 1l e tq ：卢兄( p e 0 尸x ) ：t h e n ( q ，卢) 驴i fa n do n l yi f i m = i 7 n 3 t h e o r e m1 3 2l e tq ，r ( p e o 尸y ) ，t h e n ( a ：p ) g 矽i fa n do n l yi f 7 r ( d ) = 万( ) t h e o r e m1 3 3l e tq ：，p r ( p e o 尸x ) ，t h e n ( ，p ) 。纩i fa n do n b ri f i ”z q = i m 卢a n d 丌( a ) = 7 r ( ) t h e o r e m1 3 4l e tq ，兄( p e o 尸x ) ，t h e n ( a ，p ) 勿i fa n do n l yi ft h e r e e ) ( i s t sa ne 4 一o r d e r p r e s e r v i n gb i j e c t i o n 妒：i m 8 i m p t h e o r e m1 3 5l e tq ，r ( p e o 尸x ) ，t h e n ( q ，卢) 夕i fa n do n l yi ft h e r e e 妇s t sa ne + 一o r d e r p r e s e r v i n gb i j e c t i o n 妒：i m 口_ i m 卢 t h e o r e m1 4 4l e ta ，p e 0 尸x ，i fi m a = i 7 n p ，t h e n ( ，p ) 汐+ t h e o r e m1 4 5l e ta ，p p e 0 j ，i f 尼e r q = 七e r p ，t h e n ( ，) 颤矿 i nc h a p t e r2 ，l e tp e d j ( 日) d e n o t et h ev a r i a i l ts e m i g r o u p so f 丘n i t ei o p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u po nan o n - e m p t ya n i t et o t a l l yo r d e r e ds e tx ， ，v m a i n l yc h a r a c t e r i z et h eg r e e n sr e l a t i o n so nt h e 尸e 0 7 k ( f ； ) a n dt h eg r e e n s r e l a t i o n so fr e g u l 盯e l e m e n t so ni t t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w i l l g ： 5 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m2 1 2l e td ，卢p e 0 2 k ( 目) ，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e 1 e n t sa r e e q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( a ，) p ； ( 2 ) x q = x pa n df o ra 1 1a x e ，t h e r ee ) d s tb ，c x es u c ht h a ta 口 b 口，a p c 口a ； ( 3 ) t h e r e 嘲x t sa n 蟛一a d m j s s i b l eb i j e c t i o n 妒：7 r ( a ) _ 7 r ( ) s u c ht h a t = 如8 。 t h e o r e m2 1 3l e tq ，p j p e d 2 k ( 口) ，i f ( q ，) l 寥，t h e nt h e r ee ) 【i s t sa n e + 一p r e s e r v i n gb i j e c t i o n ：x a x s u d lt h a tp = q 够 t h e o r e m2 2 2l e ta ，p 兄( p e 0 2 k ( 口) ) ，t h e n ( q ，p ) 彩i fa 皿do n l yi f x q = x8 t h e o r e m2 2 3l e tq ，兄( 尸e d j ( 曰) ) ，i f ( q ，) 彭矽t h e n7 r ( a ) = 7 r ( ) i nc h a p t e r3 ，l e t 尸0 尸e ( x ) d e n o t et h ep a r t i 以t r a n s f o r m a t i o ns e m 培r o u pp r e - s e i n ga no r d e ra n da ne q u i v a l e n t ，w em a i n l yc h a r a c t e r i z et h er e g u l a re l e m e n t s a n dt h eg r e e n sr e l a t i o n so ni t t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf 0 1 l o w i n g ： t h e o r e m3 1 3 l e t ，9 p 0 尸b ( x ) ，t h e nt h ef o u o w i n gc o n d i t i o n sa r e e q u i v 甜e n t ： ( 1 ) ( 厂，夕) 乡； ( 2 ) 7 r ( 厂) = 7 r ( 9 ) ，e ( 厂) = e ( 9 ) ； ( 3 ) t h e r ee x 波t sa ne 一p r e s e n r i n go r d e ri s o m o r p h i s m 妒：i 仇厂_ i 仇9s u c h t h a t9 = 妒， t h e o r e m3 1 4 l e t ，夕尸0 最 ( x ) ，t h e nt h ef o l l o 谢n gc o n d i t i o n sa r e e q u i v m e l l t ： ( 1 ) ( ，9 ) 勿； ( 2 ) i m ，= i m 9 ，a n df o ra 1 1 月x e ，t h e r ee x i ) c tb ，c x es u c ht h a t ，( and o m ，) 9 ( bnd d m 9 ) ，9 ( and d m 夕) 厂( cnd d m 厂) ； ( 3 ) t h e r ee 1 ( i x i t sa ne + 一a d m i s s i b l eo r d e ri s o m o r p h i s m 妒：7 r ( 厂) 7 r ( 9 ) s u c h t h a 七 = 夕聿砂 t h e o r e m3 1 6 l e t g 尸0 最 ( x ) ，t h e nt h ef o u a 而n gc o n d i t i o i l sa r e e q u i v a l e n t ： 6 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 ) ( ，9 ) 勿； ( 2 ) t h e r ee x i ) ta ne 一p r e s e r 、，i n go r d e ri s o m o r p h i s m 妒：i m 厂_ i m 9a n da n e 一a d m i s s i b l eo r d e ri s o m o r p h i s m 矽：7 r ( 厂) 一7 r ( 9 ) s u c ht h a t 玑妒= 妒 t h e o r e m3 2 1 l e t ，尸o 尸e ( x ) ，t h e n ，i sr e g u l a ri fa n do n l yi ff o ra u a x e ，e i t h e ra ni m 厂= 0 ，o rt h e r ee 妇s t sb x es u c ht h a tani m ，= ，( bnd d m ，) c o r o l l a r y3 3 3l e t ，9 冗( p o 尸g ( x ) ) t h e nt h ef o l l a 丽n gs t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) ( 厂，夕) 彩i fa n do n l yi f7 r ( ，) = 7 r ( g ) ； ( 2 ) ( ，9 ) ：叨i fa n do n l yi fi m 厂= i m 9 ； ( 3 ) ( ，9 ) 。纩i fa n do n l yi f7 r ( ，) = 丌( 9 ) a n di m ，= i z 9 t h e o r e m3 3 4 l e t ，9 尺( 尸( ) 尸：e ( x ) ) t h e n ( ，9 ) 勿i fa n do n l yi ft h e r e e ) 【i s t sa ne + 一p r e s e r 、r i n go r d e ri s o m o r p h i s m 妒：i m 厂_ i m 9 k e y w o r d s ：t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ，n i t eb o - p r e s e r v i n gp a r t i a lt r a n s f o r - m a t i o ns e m i g r o u p ，t h ev a r i a n ts e m i g r o u p so ff i n i t ed o p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p ，p a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pp r e s e i n ga no r d e ra n d a ne q u i v a l e n t ， r e g u l a re l e m e n t ，g r e e n sr e l a t i o n s c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ： 0 1 5 2 7 7 山东师范大学硕士学位论文 引言 在理论计算机科学和半群的代数理论研究中，变换半群有着非常广泛的应用， 成为国内外研究的热点问题之一以删i e ，i 夕咖w 5 ，s i 地叼可，m r ：l e u i 等人为 代表，对很多变换半群类进行了大量研究近几年，国内的学者游泰杰，裴惠生， 杨秀良等人也对一些变换半群类做了大量的研究，并取得了丰富的研究成果本文 就是在他们所做工作的基础上，进一步讨论了几类变换半群的若干问题 格林关系在半群结构的研究中具有十分重要的作用它最早是由g r e e n ，j a 于 1 9 5 1 年提出的，此后便得到了更广泛的研究，通过阅读j m h o w i e 和m a g i l l ，k d 等 人的一些论著可以印证这一点。正则元也对半群理论的发展起了非常重要的作用 2 0 0 5 年，裴惠生和邹定宇对保序且保等价变换半群上的格林关系和正则元进行了研 究，取得了许多新颖而又深刻的结果，并且裴惠生进一步研究了保等价部分变换半 群上的格林关系和正则元在此基础上，本文对有限保e o 部分变换半群，保序 且保等价部分变换半群的正则元及其格林关系进行了刻画 夹心半群关于正则元和格林关系的一般结果首先由k d m n 9 i 2 f 等人在1 9 7 5 年 给出，并且以后有了进一步的发展裴惠生等人以其相关内容为基础，研究了保等 价变换半群的变种半群上的格林关系和正则元在此基础上，本文对有限保e d 变换半群的变种半群上的正则元进行了刻画并且讨论了其格林关系 8 山东师范大学硕士学位论文 第一章关于有限保e d 部分变换半群 设( x ，) 为一非空有限全序集，取为集合x 上的部分变换半群，e 为x 上 一等价关系，我们将保序部分变换半群 。 p o 尸! x ： q 户又：v z ，y d o m q ，z 耖净z ns 可q ) 与保等价部分变换半群 f 奄( x ) = q f ! x ：v z y d c ，竹z q ：( z ，y ) e = 亭( z n ，暑，乜) e ) 结合起来，便得到取的一种新的子半群 p e d p x = n f k ：比，剪d d 7 n q ，( z ，y ) e 且zs 可= 争( z n ，秒a ) e 且z as 秒q ) 事实上，设n ，卢p e o 尸x ，。：耖d d m 吐p = n 一1 ( i m q n d 们礼口) d d mq _ ，( z ，3 ，) e 且 z 可由o p e o 尸x 知( z q ，a ) e 且zq _ y q 因乡9z q ：可a d d m 口，由口p e o 。p ：x 每 ( z a p ，a 口) e 且z 血口可d p 即q 口p e d 暇所以p e d 厥是段的一个子半群，我 们称之为有限保e o 部分变换半群 本章主要讨论有限全序集x = 1 2 ，n ) ( 这里，x 上的序为数的通常的偏序) 上的有限保e o 部分变换半群第一节给出了p e o 取中正则元的等价刻划第二 节刻划了p e p 段上的格林关系第三节刻划了p e d 段上的正则元的格林关系 第四节对格林一关系作了一些讨论 1 1半群p e o 取的正则性 以下我们记p e ( ) 取的全体正则元集合为r ( p e ( ) 取) 定理1 1 1 设n p e o 取，则。是正则元对任意4 驯e ，存在b 驯e ，使 得i “n 4 ( b nc f c 帆o ) q 证明必要性令q r ( p e d 段) ，则存在p e o 取，使得q = q 触，故口a k 。= 1 。对v 4 x e ，若i m ana = a ，则对任意b x e ，i 仇乜na ( bnd d m n ) q 若 i m n n a o ，则( i m a n4 ) 口a 口，又因为卢p e o 取，所以存在b 驯e ，使得a 口b ， 所以i 仃 n n = ( i m q n a ) 卢a 垦( b n d 。竹z a ) q 充分性设对任意a x e ，存在b x e ，使得i m a n a ( b n d d m a ) q 我们需要 找到p p e o 取，使得q = a 卢q 若i m ana = g ，结论显然成立不妨设t m ana g ， 9 山东师范大学硕士学位论文 令i m an 以= n l n 2 钆) ，由假设知存在b x e ，使得i m n na ( bnd d m q ) n 令b ：= 6 bnd 们札q ：6 口= 吼) ，0 = 1 ，8 ) 且玩= m n z z ：z b i ) ，( i = 1 ，2 ，s ) ，则 由n r ( p e o 殿) 知6 l b 2 6 。，则在i m ana 上定义纵如下： o i 励= 玩，i = 1 ，2 ，s 而 肖n i m a l a x e ? a n i m q g ) 显然构成i 矾。的一个划分，所以按此步骤继续下 去，我们得到了定义在i m o 上的一个部分变换p ，显然i m p d d m q ：证p p e d f ：x 令z 剪d d 。p = i m n ，( 。，剪) e 且z 令a x e 且z 可a ，由p 的定义( z 卢：y ) e 是显然的若z = 可，显然z = 卵，不妨令吼= z 耖= q ， 工则 由卢的定义玩= z 口卵= 6 j 所以口p e d 取又因为d d m q 触= q 一1 ( i m a n d d m 触) = q 一1 ( i m qnp 一1 ( i 仃；pnd d m o ) ) = q 一10 m and o n p ) = d o f 孔q ，显然对任薏：z d d m o ，有 。q = z a p q 所以n = q p q o r ( p e d 尸x ) 口 弓i 理1 1 2 ( 1 ) e = x x 锌p e o 取= p d 段； ( 2 ) e = 1 x 铮p e d 取= 取 证明显然当n 2 时引理成立，因此我们假设n 3 ( 1 ) 必要性由p e d 取的定义，必要性是显然的 充分陛假设e x x ，则存在a ，b x e ，且a b 定义。如下： im z b ， z n 。1 几，z x b 令m a ，n b ，且m 亿 显然q 取容易看出q p e d 取，但。隹p d 段因此p e d 取p d 取矛盾 ( 2 ) 必要性由p e d 取的定义，必要性是显然的 充分性假设p e o 取= 取，若p e o 取1 x 则存在a x e ：使得i41 22 令 m ，孔a ，m 1 令z 1 ，。2 a ，z 1 z 2 ，定义。一如下： z n ：j z ，z a ， 【z 2 ，z 譬a 山东师范大学硕士学位论文 显然q p e d 取而由定理1 1 1 知a 隹r ( p e d 取) ，所以p e d 取不是正则半群，矛 盾因此有e = x x 或e = 1 x 充分性 由引理1 1 2 知p e p 取= 取或尸e d 取= p d 段而分别由文献 1 】 f 9 知氏p d 取均为正则半群 口 定理1 1 4r ( p e d 取) 是p e o 取的正则子半群营e = x x 或e = 1 x 证明必要性设r ( p e o 取) 为正则半群，若e x x 并且e 1 x 则存在 4 ，b x e ，使得a b 并且ibi 1 令z 】a ，剪l = m i n 驯z b ) ：2 b 并且可l 钞2 定义o ，如下： 。a ： z l ，z a z p ： h z au 可1 o ao z 2 ， 记7 r ( a ) = z a 一1 ：z i l o ) 对任意4 x ，记a o 一1 = 可d o m o ：y o 4 7 r a ( d ) = p 丌( q ) ：pn4 町显然我们有若q p e d 殿，则对任意a 别e ，存在b ，c x e ，使 得( a n d o m “) o b n i m n 定义【6 】1 2 1 设o p e d 取，则o + 定义如下， n 。：7 r ( a ) + i m n ，p a 。= 。q ( v p 7 r ( a ) ，v z p ) 显然a 。为双射 定义【6 ) 1 2 2 令q ，p p e o 取，妒：丌( q ) 一7 r ( p ) 为映射若对任意4 别e ，an d d m q o ，都存在b x e ，使得( 丌a ( a ) ) 丌b ( 口) ，则称t f ，为e 一可容许的若妒为双 射且妒和妒- 1 均为e 一可容许的，则称砂为驴一可容许双射 显然妒为e 一可容许的当且仅当对任意a x e ，and d m o 0 ，存在b x e ， 使得对任意p 丌 ( o ) ，都有bn 妒( p ) o 定义f 6 1 2 3 令m ，x 且m ，毋，妒：m 一为映射称为e 一保序映 射，若对任意z ：剪m ，( z ：) e ，z 号( z 西，可) e 且z 触若多为双射且妒和 西一均为e 一保序的，则称西为一保序双射 接下来我们考虑p e o 取上的格林关系c 的刻划 定理1 2 4 对任意o ，p p e d 段，下列条件等价： ( 1 ) ( n ，口) p ； ( 2 ) t 竹。n = i m 口且对任：意4 x e ，军乒在b ，c x e ；使得( 4 n d d r n a ) as ( b n d 们钆p ) 口， ( 4 n d o 口礼p ) p ( c n d 们n n ) d ； ( 3 ) 存在砂：丌( a ) 一丌( p ) 使其为护一可容许双射且a + = 妒夙 证明( 1 ) = 争( 2 ) 由( a ，p ) 乡知存在6 ：7 p e d 取，使得a = n ，p = 7 a ，容 易得到i m o = i m 卢，由6 ，y p e d 段知，对任意a x e ，存在b ，c 别e ，使得 ( a n d d m a ) 巧至b ，( a n d o m p ) 1 c ，所以 ( a nd o n q ) 口= ( a n d d m 乜) q p ( b n d d m p ) p ， ( a n d d r n ) p = ( a n d 0 t p ) ，y q ( c n d d m a ) q ( 2 ) 辛( 3 ) 由i m d = z m p 知对任意p 7 r ( q ) ，p o 。i m a = i 仇p ，定义妒如下： p 妒= ( p a 。) p f l ，v p 7 r ( q ) 山东师范大学硕士学位论文 显然 为双射， 1 f ，：7 r ( n ) + 丌( p ) d d m 砂俄= 妒一1 ( 打n 移nd 口，n p 。) = 妒一1 ( t t 移) = 7 r ( a ) = d 研n 口。 且vp 7 r ( q ) ，p n 。= ( ( j p n ，) 耵1 ) 口。= p 妒瓯故q 。= 妒夙 令，为丌a ( q ) 的指标集，对vi 只丌a ( q ) ，= 只q ：+ 由( 2 ) 知对任意a e ， 军；在b c x e ，使得( a n d 彻n ) n ( b n d d m 口) 口，故对v 只7 r a ( q ) ， 只na 毋辛z i = 只q 。( and d m q ) o 互( bnd d m p ) p = 争bnz i p 1 o 贝0bn 只砂= bn ( 只q 。) 口一1 = bnz i p 1 仍且口只妒7 r b ( 口) ，所以丌a ( n ) 妒7 r 口( p ) 因此 妒：丌( 口) 一丌( ) 为e 一可容许映射由矽：丌( 口) 一丌( 口) 为双射知妒- 1 ：丌( 矽) 一丌( 口) 也 为e 一可容许映射因此有妒：丌( q ) 一丌( 口) 为e + 一可容许双射且q 一砂p 。 ( 3 ) 号( 1 ) 设妒：丌( d ) 一丌( 口) 为p 一可容许双射且q 。= t f ，p + 下面我们定义7 ， 令d 伽，y = d d m q 由假设，对任意a x e ，and d m q d ，存在b x e 使得对任意 p 7 r a ( a ) ，p 掣7 r b ( 口) ，且pp 曲n b n d d m 口0 ，给定z p p 砂n b n d d m 口，定义，) a 如 ： m ：and 跏o _ x ， z y = ( v z pna nd d m n ：p 7 r 一( q ) ) 因为 p n a n d d m ，n ：p 丌以( 口) ) 为a n d d m a 的一个分类，故似的定义是有意义的 我们在d d m n 上定义1 ，如下： z ，y = z y a ， ( v and d m a ) 下证1 p e o r 且q = 1 p 先证7 p e o 取令( z ，) d 咖7 ，( z ，可) e 且z ，a 为x 的一个等价类， 且z a ，a ，由1 的定义知，存在b x e ，使得z 7 ，! ，7 b ，故 7 ，可 ，) e 令 只q 7 r ( o ) ，z p ，q 若z o = 可q 贝0p = q ，贝0z ，= 剪1 = 。p 若z ，贝4z q 可a ， z p = ( p 咖) 凤= p ( 妒。) = p q 。= z o 耖o = q q 。= q ( 妒+ ) = ( q 妒) 卢。= 上o p 所以z p 卢 z 。卢，由卢p e d 尸x 且( 。j p ，z q ) e 知z p z q ，所以z ，y = z p z = 耖一y 再证o = 7 p ，显然 i m 7 d d m a ，d d 仉一y p = ，y 一1 ( 打n ynd 们n p ) = d d r n y = d d m q 对vz d 帆a ，令p = ( z a ) a - 。，因为妒：丌( q ) 一丌( ) 为e 一可容许双射，所以 z ，y p v 7 r b ( 3 ) ，z n = p q 。= p ( 砂p + ) = ( p 妒) 反= z y 臼，e 斤j