（工程热物理专业论文）流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究.pdf

谨以此论文献给恩师李艳及关心支持我的人谨以此论文献给恩师李艳及关心支持我的人 -刘严博刘严博 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 学位论文完成日期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： 独独 创创 声声 明明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其 他 人 已 经 发 表 或 撰 写 过 的 研 究 成 果 ， 也 不 包 含 未 获 得 （注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空）或其他教育机构的学位或证书 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日 - 学位论文学位论文版权使用授权书版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库 ，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 导师签字： 签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 摘 要 随着科技的发展，人们对于机械部件的精度要求越来越高。润滑油的加入 可以有效地提高机械元件的精度或者减小误差，对于机械元件的正常高效运行 起着至关重要的作用。与此同时，对机械元件表面润滑油运行工况的研究也被 日益重视起来。 格子 boltzmann 方法是最近几十年新兴起来的一种基于微观分子动理论的 介观数值模拟方法，因其独特的理论基础和优势，格子 boltzmann 方法自诞生 之日起就受到了国内外学者的广泛关注，近年来，随着理论基础的不断完善， 格子 boltzmann 方法应用的领域也越来越广泛，如微/纳米尺度流、多相介质 流、多孔介质流、非牛顿流体、粒子悬浮流、化学反应流、湍流、磁流体、燃 烧问题以及晶体生长等等。与传统的数值模拟方法如有限差分法或者有限元法 等相比，格子 boltzmann 方法具有算法简单，对于计算机的要求低，易于编 程，边界处理简单，适宜于求解复杂边界条件，具有良好的并行等诸多优点。 本文将格子 boltzmann 方法应用到模拟机械元件表面微槽内润滑油流体的 流动工况中。根据实际物理情况选择合适的格子模型：二维单松弛格子 boltzmann 模型和双分布函数模型。对两种模型的网格划分，速度离散，外力 项的添加，平衡态分布函数等做了详细介绍。并分别将两种模型的模拟结果与 同等条件下用 fluent 软件模拟的结果和前人对同类问题（自然对流）的模拟结 果进行了对比，已验证两种模型的正确性和可行性。为了便于研究，将机械元 件表面的凹槽或划痕形状假定为理想的规则几何形状（梯形、矩形和三角 形），比较了三种形状槽道对主流区的影响。并根据现实情况中可能遇到的的 冷流体流过热壁面的问题，模拟了存在温度差异的槽道流动。以及将润滑油的 摩擦生热考虑进去，把摩擦产生的热量看作是流体内部有一个固定内热源问 题，模拟摩擦所产生的热量对主流区的影响。为后续的研究模拟提供了一定的 理论依据。 关键词：润滑油；格子 boltzmann 方法；矩形槽道；内热源 numerical simulation study of lubricant fluids flow and heat transfer passed the micro channel on the surface of machinery abstract as the development of science and technology, there is an increasing demanded precision on machinery parts and people discover that with lubricant oil can effectively improve the precision of the mechanical components or reduce errors, and plays a crucial role in the normal and efficient operation of mechanical components. hence, the research of lubricating oil on the surface of a machinery component operating conditions is also increasing valued. lattice boltzmann is a newly developed numerical simulation method, which is based on micro-molecular dynamic theory. since the day when it came into being, lattice boltzmann method has caught world wide attentions of scholars because of its unique theoretical thesis and advantage. in recent years, with the unceasingly consummates of the theoretical basis, it can be applied in a wider areas, such as micro scale flow, multiphase flow medium, porous media flow, non-newton fluid, particles suspended flow, chemical reaction flow, turbulence , combustion problem of magnetic fluid and crystal growth, and so on. compared with such traditional numerical simulation methods as finite difference method and the finite element method, lattice boltzmann method has many strengthens, such as simple algorithms, lower requirements on computer, easy to program, simple border processing, be suitable for solving problems in complex boundary conditions, and a favorable concurrent engineering. in this essay, we simulate the flow conditions of lubricant fluid flows in the microgrooves of mechanical components by using this lattice boltzmann method. according to the actual physical conditions, we select two appropriate lattice models: relaxation lattice boltzmann model for two-dimensional single and dual distribution model. we make a detailed introduction of both models mesh generations, discrete speeds, forces added, equilibrium distribution functions, and verify the accuracy and feasibility of the two models by comparing the simulated results with the results simulated by fluent under the same conditions and with the results done by our predecessors on similar issues (natural convection). in order to facilitate research, machinery component grooves and scratches on the surface are assumed to be idealized regular geometric models (trapezoid, rectangle and triangle), and compare the influence on the mainstream channel of the three types of shapes. besides, considering of the problem that may be that may be encountered when cold flow flows pass the hot wall in realistic situations, we simulate the channel flow within different temperatures. moreover, taking that the generation of heat by friction of lubrication oil into account and considering that that heat as a fixed inner heat source problem, we study the impact of that heat caused by friction on main flow area. all of these provide a theoretical basis for a follow-up study. key words: lubricating oil; lattice boltzmann method; rectangular channel; internal heat source 目 录 1 前言. 1 1.1 研究背景 . 1 1.2 研究现状 . 2 1.2.1 国内外研究现状与进展 . 2 1.2.2 格子 boltzmann 方法发展进程. 3 1.3 本文的主要研究内容 . 3 2 格子 boltzmann 方法原理与模型 . 5 2.1 格子 boltzmann 方法的基本原理 . 5 2.1.1 格子气自动机 . 5 2.1.2 连续 boltzmann 方程. 5 2.1.3 格子 boltzmann 方程 . 7 2.1.4 格子 boltzmann 方程到 n-s 方程的推导. 11 2.2 二维单松弛格子 boltzmann 模型 . 15 2.2.1 d2q9 模型 . 15 2.2.2 宏观方程及改进模型 . 16 2.3 二维热格子 boltzmann 模型 . 18 2.3.1 基本模型. 18 2.3.2 宏观方程及适用范围 . 21 2.4 边界处理及曲边受力计算 . 21 2.4.1 边界处理 . 21 2.4.2 曲边受力计算 . 23 2.5 格子单位与实际物理单位的转化 . 24 2.6 本章小结. 24 3 等温润滑油流体的数值模拟 . 26 3.1 润滑油 . 26 3.1.1 常用润滑油种类及优缺点 . 26 3.1.2 润滑油主要物理参数及相互关系. 27 3.2 对等温润滑油流体槽道流动的数值模拟 . 29 3.2.1 算例验证. 29 3.2.2 对不同槽道形状的 lbgk 数值模拟. 32 3.2.3 对不同初始条件的 lbgk 数值模拟 . 35 3.3 本章小结. 37 4 热润滑油流体的数值模拟 . 38 4.1 无黏性热耗散和压缩功的双分布函数模型 . 38 4.2 存在温差的槽道流动的数值模拟 . 39 4.2.1 算例验证. 39 4.2.2 温差为 50 的矩形槽道的数值模拟. 41 4.3 存在摩擦生热的槽道流动的数值模拟 . 45 4.4 本章小结. 48 5 总结与展望 . 49 5.1 本文主要研究工作及创新点. 49 5.2 本文不足与研究展望. 50 参考文献 . 51 主要符号说明. 55 致谢 . 57 个人简历 . 58 发表学术论文. 58 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 1 1 前言 1.1 研究背景 机械是工业时代以来人民生活和生产的必不可少的工具之一，同时还是代 表着人类走向物质文明一个重要的象征。随着时代的发展，机械工业已经成为 担负着向国民经济的各个部门提供各式各样的拥有先进性能、使用的时候安全 可靠的机械设备的任务，已经成为国家现代化建设中必不可少的一个因素。 1980 年以来，新一代科学技术的发展及其在不同的机械工程领域中的广泛渗 透、应用和衍生，极大地拓展了机械产品设计制造活动的深度和广度，产生了 一大批新的机械设计制造方法和制造系统 1。随着技术的发展，人类社会对于 机械元件精度的要求激增。精密机械已经成为发展趋势，越来越广泛地被用于 国民经济和国防工业的各部门和领域中 2。理想情况下，人们要求元件尺寸的 设计误差为零，机械元件的表面也被认为是完全光滑的。然而，正如静止是相 对的一样，不管设计工艺如何发展，加工多么精密，元件的尺寸总是存在一定 误差，元件的表面也总是存在一定粗糙度 3。 图 1-1 机械元件表面粗糙度 为了减少摩擦阻力、降低材料磨损、提高能源利用效率和元件的使用寿 命，在机械零件运动副的接触面间，人们常常放入润滑油或脂等润滑剂。在现 代工业中，用作润滑剂的流体种类繁多，除常用的液体润滑剂如润滑油和润滑 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 2 脂之外，气体润滑剂和固体润滑剂的应用也日益广泛。如固体润滑技术在人造 卫星、宇宙飞船和高科技电子产品中的应用，解决了一些特殊工况条件下不适 宜于应用液体润滑所带来的难题，从而使得固体润滑技术得到长足的进步和成 功的推广 4。然而，随着润滑油种类的不同，其作用和适应范围也有区别。因 此，对于不同润滑油在各种工况下的性能研究也越来越被重视 5。 在整个流体力学学科的发展和原理性研究中，计算流体力学建立了一种新 的研究方法 6。随着计算机技术的发展，数值模拟成为与试验研究和理论分析 同样重要的第三种研究方法 7。格子 boltzmann 方法（lattice boltzmann method,简称 lbm）是近年来发展起来的一种基于分子动力学的计算流体力学方 法 8，与传统的数值模拟方法如有限差分、有限元等不同，格子 boltzmann 方 法是建立在微观基础上的一种介观模拟方法，由于其独特的流体机理，已经发 展成为极具前景的模拟手段 9。 1.2 研究现状 1.2.1 国内外研究现状与进展 国际上对于润滑油的研究很早就开始了。1916 年 martin 利用经典的润滑 理论对齿轮运动时的润滑进行了计算 10，得出的违背物理常识的结论证明传统 流体动力润滑理论不能解释高副接触的润滑机理。随后，弹流作为一门迅速发 展的新学科，被应用到润滑油的研究当中：1949 年 fpyohh,a.h.基于 hertz 变 形和粘度随压力变化的基础上提出的弹流膜厚的第一个近似解 11；1959 年以 后，dowson，d.等通过对等温线接触弹流进行的数值计算得到了实用的膜厚计 算公式 12；1965 年 cheng，h.s.等对于线接触热弹流的数值解的研究13；1982 年 evans，h.p.和 snidle，r.w.利用逆解法对点接触弹流的求解 14。 我国在近些年来开始了对弹流的学习与研究，目前，已取得显著成果，发 表了一系列水平较高的论文。1985 年张鹏顺提出了对于不同润滑状态都普遍适 用的膜厚公式和润滑状态图 15；1987 年王松浩和张和豪对于线接触非牛顿润滑 剂热弹流进行了数值计算 16；崔健等采用齿轮试验机考察润滑脂的摩擦性能的 数值研究 17；雷婉香等对于发动机内润滑油的研究18；刘亚军等对于高速旋转 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 3 的轴承腔内壁油膜的研究 19；夏延秋等对齿轮设计时的润滑油的研究20；王燕 霜等对润滑油主要参数的流变模型的研究 21；童宝宏等对于内燃机管道内润滑 油的研究 22 ；李斌等对于轴承腔内气液两相流动与换热的数值模拟23；张冠楠 等对不同阶段磨粒润滑油性能的研究 24。 1.2.2 格子 boltzmann 方法发展进程 20 世纪 50 年代初，j.von.neumann 提出了元胞自动机 25。20 世纪 60 年 代，broadwell 等人率先将离散速度模型应用到激波结构的流体研究中 26。 1972 年 j.hardy,y.pomeau 和 o.de pazzis 将元胞自动机应用于流体运动模拟 27，除了把流体离散为一系列微观粒子外，时间以及空间也被离散到一个二维 正方形格子上，这就是著名的 hpp 模型。为了解决各向同性问题，法国的 frisch 等和美国的 hasslacher 提出了二维正六边形的 fhp 模型 28。 1988 年，mcnamara 和 zanetti 提出的用局部粒子分布函数 f 代替格子气 自动机中布尔运算标志着格子 boltzmann 方法登上历史舞台 29。 20 世纪 90 年代初，chen 30和 qian31等人先后提出了使用单一松弛时间去 控制不同路径上粒子碰撞迁移的周期的格子 bgk 模型，即后来被广泛应用的单 松弛格子 boltzmann 方法（简称 lbgk）。 与传统的宏观数值模拟方法相比，格子 boltzmann 方法具有编程简单，边 界条件易于处理以及良好的并行性，在处理复杂流动问题时具有独特优势。自 被提出以来，lbm 就引起了国内外相关学者的极大兴趣，并被广泛应用于微尺 度流动、多相流、多孔介质的流动与换热和化学反应流之中。 1.3 本文的主要研究内容 尽管国内外对于机械元件表面润滑油的研究已经展开了广泛的研究，但大 部分研究都是基于宏观的有限差分、有限元等数值模拟方法，都是以 navier- stokes 方程作为核心方程进行研究的。随着研究进程的深入，宏观模拟方法不 适用的地方逐渐显露出来，如非牛顿流体的研究、非稳态流体的研究。格子 boltzmann 方法作为一种新兴的介观模拟方法，在解决传统数值方法受限领域 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 4 的问题上具有独特优势。本文开创性的将格子 boltzmann 方法与润滑理论结合 起来。将机械元件表面微槽或者划痕的形状理想化为规则的矩形、梯形和三角 形等，进行不同物性的润滑油在不同工况下的性能研究。 本文工作内容安排如下： 第一章 阐述论文的研究背景和意义 第二章 对于格子 boltzmann 方法做出系统解释以及该方法中的模型选 择、边界条件的选取原则。对于热流动问题适用的模型及各自优缺 点。格子单位与实际物理单位的转化，以及曲边受力的求解。 第三章 分析常见润滑油的种类、各自的优缺点及适用范围。采用二维单 松弛格子 boltzmann 模型模拟在不同槽道形状和不同物理参数下的 等温润滑油的数值模拟。 第四章 在忽略黏性热耗散和压力做功的条件下，利用双分布函数模型对 不同温差下润滑油流动的数值模拟，探讨润滑油的主要物理参数如 运动粘度、热扩散系数随温度变化对于流动状态的影响。 第五章 限于时间和个人能力，本文存在很大的不足之处，提出不足之处 并作下一步的工作计划和研究展望。 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 5 2 格子 boltzmann 方法原理与模型 2.1 格子 boltzmann 方法的基本原理 2.1.1 格子气自动机 格子气自动机方法（简称 lga）是诞生于 20 世纪 70 年代的数值模拟方 法，它是建立在微观基础上的一种计算模型。除了将流体离散成大量忽略体 积、质量为定值的微小粒子外，流体所处的空间和时间也被离散成网格（如正 方形、正三角形等）和时间步（t=0,1,2，n）的形式。粒子位于网格节点 上，并且每个网格节点上同一方向的粒子数为 1 或 0。所有粒子从时刻 t 开始 沿网格线的方向发生迁移并在相邻网格点与其他粒子进行碰撞。 lga 的演化方程为： (,1)( , )( ) aaaa n xe tn x tn 2-1 式中，x 表示网格节点，a 表示离散方向的个数，当a 方向上有粒子运动 时1 a n 否则0 a n ，( ) a n为规定粒子如何碰撞的碰撞算子，规定碰撞算子 时要满足宏观质量和动量守恒。 格子气自动机采用的是布尔运算 32，因此解决了数值不稳定的问题；其 次，由于网格节点上的粒子都在同步地进行碰撞迁移，而且粒子之间的相互作 用都是局部的，因此格子气自动机模型具有良好的并行性；同时，格子气自动 机能够解决复杂边界问题。相比于传统的数值模拟方法，格子气自动机以其独 特的建模方式而具备了上述优点。但同时，格子气自动机也存在统计噪声，不 满足伽利略不变性，对计算机要求较高等缺点。 2.1.2 连续 boltzmann 方程 boltzmann 方程的中心思想有两个：流体的内部含有大量的微观粒子，而 宏观世界中的力学方程对于每个微观粒子来说也是适用的，理论上可以先求得 每个粒子的运动状态，然后对它们叠加求和，这样得到的总和就可以看作是该 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 6 流体系统的宏观运动状态；组成任一流体系统的的微观粒子的数量都是非常巨 大的，确定每个粒子的运动状态显然是不可能也是不必要，结合统计力学的方 法，只要求出每个粒子处在某一状态下的概率，然后通过统计方法就可以确定 该系统的宏观流动状态。 推导 boltzmann 方程时遵循三个原则 33： （1） 分子之间的碰撞为二体碰撞，即粒子是一对一的碰撞，三个粒子同 一时刻发生碰撞的几率很小。 （2） 分子混沌假设，即粒子在碰撞前的状态都是独立的，相互之间只有 通过碰撞发生联系。 （3） 碰撞过程不受外力的影响。 我们假设一个单组分气体系统，规定一个粒子的密度分布函数( , , )f xt ， ( , , )f xt 是空间位置矢量、分子速度矢量和时间的函数。m为分子的质量，ma 为作用在每个分子上的外力（外力与分子运动速度无关），若分子从时刻 t 开 始没有发生碰撞过程，则分子在时刻的速度变为adt，位移为dt。根据f 的定义有： ( , , )nf xt d 2-2 n即为在时刻 t 位于x处单位体积内的分子数，也称作分子数。 已知碰撞后的分子的运动状态和位移都会与碰撞前不相同。因此可以求 得： (, )( , , )( )f xdt t dxdf xt dxdf dxd dt 2-3 ( )f即为表示碰撞过程对x处分子数量变化影响的碰撞算子，用微分形式 即可表示为： () ffff a txt 碰撞 2-4 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 7 已知分子碰撞为刚体碰撞，且由于碰撞为弹性碰撞（分子的质量和直径都 是固定的，分别为m和 d d），根据碰撞动量守恒定律和能量守恒定律可知： 1212 mmmm 2-5 2222 1212 1111 2222 mmmm 2-6 根据力学知识可知，对于刚性碰撞而言，每个如下碰撞： 1212 2-7 都有一个对应的回复碰撞 1212 2-8 最后可以求得f的方程为： 2 111 ()cos d fff af fff dgdd tx 2-9 式 2-9 就是左边为微分形式存在右边以积分形式存在的复杂的 boltzmann 方程 34。 2.1.3 格子 boltzmann 方程 由上节内容可知，boltzmann 方程右端的碰撞项是以积分形式存在的，这 就使得 boltzmann 方程即使在很简单的情况下去求解解析解也是非常困难的。 “当时间变化而分布函数变化时，h 总是减少的，当 h 减少到它的极少值 而不再变化时，系统就达到了平衡态，这体现了不可逆性。”上述定理就是 boltzmann 于 1872 年得到的 boltzmann h 定理，它表明围观运动的不可逆性， 我们可以认为 h 定理阐述的是一个统计结果，即系统往 h 减小方向运动的几率 远远大于往 h 增大方向的几率，对应的宏观过程的不可逆性是统计平均的结 果。 h 函数的表达式为： 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 8 ( )lnh tffdxd 2-10 式中f为满足 boltzmann 方程的任一正解，积分范围是对于整个系统和速 度空间。对于这样的一个f记为 (0) f，h 满足： 0 h t 2-11 在此状态下，( , , )f xt满足 maxwell-boltzmann 分布。 maxwell 分布是一种平衡态分布，即对于达到平衡态的系统而言，分布函 数不再随时间变化： 0 h t 2-12 根据 h 定理，若要使 2-11 式成立，( , , )f xt必须满足： 2 32 1() exp 2 (2)g g u fn r t r t 2-13 式 2-12 即为著名的 maxwell 分布。 boltzmann 方程描述的是一个粒子分布函数的演化过程，对方程 2-8 进行 积分，就可以求得宏观物理量如下： ( , )( , , )x tmf xt d 2-14 ( , ) ( , )( , , )x t u x tm f xt d 2-15 2 1 ( , ) ( , )()( , , ) 2 x t e x tmuf xt d 2-16 虽然这样求解在理论上行得通，但是对于计算机的要求太高（在计算方程 的碰撞算子时必须考虑大量的分子碰撞）。因此实用价值不大。 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 9 我们已经知道，流体的宏观性质是通过流体分子微观运动的统计平均得到 的，在模拟系统运动时，可以不去考虑分子之间相互作用的微观细节，因此只 要使得碰撞算子的平均性质不变，宏观上仍需满足质量、动量、能量守恒，在 此前提下我们可以对碰撞算子进行简化。 基于上述思想，bgk 近似就被提出来了。 1954 年，bhatnagar、gross 和 krook 提出 35，用一个线性的简化模型去代 替 boltzmann 方程中的( )f，这就是 bgk 模型（又被称作单松弛模型） ( )( , , )( , , ) eq ffxtf xt 2-17 为碰撞频率，即单位时间内，位于 x 处的速度为的分子与其他分子发 生碰撞的频率。式 2-16 是线性的，可以认为是碰撞的效应就是使分布函数向平 衡态分布函数线性趋变的过程。( )f应满足以下两个性质： （1） 对于碰撞不变量 2 1 , 2 m mm，为保证满足宏观质量、动量和能量守恒， ( )f应满足： 0 fd 2-18 其中， 2 1 ( ,) 2 m mm。 （2） 为了反应系统趋于平衡态的趋势： 1 (1 ln) ()0f j ff d 2-19 这样就可以得到 boltzmann-bgk 方程： () eq fff aff tx 2-20 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 10 引入松弛时间 0 36， 0 就是碰撞频率的倒数。 0 表示的是() eq ff变为 初始值的exp( 1)倍所需要的时间。 正如 he 和 luo 所提到的，格子 boltzmann 方程其实是 boltzmann-bgk 方程 的一种特殊的离散形式 37，即把 boltzmann 方程在时间空间上进行离散。根据 分子热运动的知识，微观粒子的无规则热运动是永恒存在的，因此我们可以把 分子的运动看做是连续的，如果将它的速度分配到相空间的话，那么可知这个 相空间的维度是无穷大的。为了方便研究，我们可以把这个代表微观分子速度 的相空间简化为有限维的速度空间 012 , , n e e ee，n 表示空间的维数，也就是 指这个运动空间有 n 种运动速度。同时，密度分布函数也被相应的离散为 012 , n ffff， 此 时 分 布 函 数f也 是 连 续 的 。 其 中( , ) aaa ffx et， 0,1,2,an。由此我们可以得到离散的 boltzmann 方程为： 0 1 () eq a aaaaa f effff t 2-21 式中， eq a f 为平衡态分布函数； a f 为外力项。 当流体的速度较小时，存在于局部的平衡态分布函数 eq a f 就可如下所示： 2 2 () (2)exp 2 eqd a ag g eu fr t r t 22 2 2 (2)exp 2 d aa g g ee uu r t r t 22 2 (2)expexp 22 d aa g ggg ee uu r t r tr tr t 222 2 22 () (2)exp1 222 d aaa g gggg ee ue uu r t r tr tr tr t 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 11 22 3 22 () 1() 22 aa a ggg e ue uu o u r tr tr t 2-22 式中， 2 2 (2)exp 2 d a ag g e r t r t 。 为了数值求解式 2-19，我们还必须同时对其在空间和时间进行离散，对式 2-19 进行沿特征线的积分，可得： 0 (,)( , )(,)(,) t a aattafaaa fxetfx txe t ttf xe t ttdt 2-23 对式 2-21 右端进行精度为一阶的矩形法逼近得到最终的完全离散化的格子 boltzmann-bgk 方程： 1 (,)( , )( , )( , )( , ) eq aattaaata fxetfx tfx tfx tf x t 2-24 式中右端最后一项为外力项， 0t 为无量纲弛豫时间。 格子 boltzmann 方程中空间和时间的离散并不是独立的，它们都是由粒子 的速度决定。这一特性的存在使得我们可以将粒子的迁移和运动两个过程刚好 分配在一个时间步之内，即粒子在一个时间步之内由一个节点发生碰撞之后经 过一个时间步的时间刚好迁移到临近的网格节点，或者相反（即先迁移再碰 撞）。这样就使得格子 boltzmann 方法具备了很好的并行性，并且对于复杂边 界具有很好的处理能力。 2.1.4 格子 boltzmann 方程到 n-s 方程的推导 在推导不同格子 boltzmann 模型所对应的的宏观方程的方法中，chapman- enskog 展开是最常使用的一种方法 38。它是由 chapman 和 enskog 在 1910 到 1920 这十年间提出来的一种基于多尺度技术的方法。chapman-enskog 展开对时 间尺度的定义有三种 39：碰撞时间尺度0 k,表示粒子碰撞过程时间的长短；对 流时间尺度 1 k，由于是一个任意小的正数，所以对流过程的时间要远大于碰撞 流体润滑机件微槽表面的流动及传热数值模拟研究 12 过程；扩散时间尺度 2 k，同理扩散过程慢于对流过程。chapman-enskog 展开 在空间上对空间尺度的定义有两种：用来表示碰撞过程的空间尺度（的物 理意义是指分子平均自由程）；用来表示对流和扩散过程的时间尺度l（l的 物理意义指的是实际物理问题的特征宏观尺度）。时间尺度和空间尺度分别如 下表示：t、 1 tkt和 2 2 tk t，其中第一项为离散的，后两项为连续的；r 和 1 rkr，其中前一项为离散尺度，后一项为连续尺度。由上式可知，对时间 导数和空间导数有： 1 k rr 2-25 2 12 kk ttt 2-26 同时，chapman-enskog 展开还对分布函数f进行展开，此时的分布函数假 设离平衡态已经非常地接近并且趋于平衡态。将展开为( , ) a fx t展开为 k 幂级数 形式得： (1)2(1)eq aaaa ffkfk f 2-27 式中的 eq a f也可以表示为 (0) a f，下面利用推导不考虑外力项的格子 boltzmann 基本模型的宏观方程： 1 (,)( , )( , )( , ) eq aattaaa fxetfx tfx tfx t 2-28 对 2-26 式左边做对时间和空间的 taylor 展开： 2 23 1 ()()()()0 2 eq t taaaaaat efefffo tt 2-29 将式 2-23 和