（基础数学专业论文）概率空间中的一对测度的多重分形分析.pdf

学位论文版权使用授权书 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 学位论文作者签名：易静 ot 1 年易月，d1 3 指导教师签名：獬乱 为，年多月，d 日、 概率空间中一对测度的多重分形分析 r e l a t i v em u l t i f r a c t a l a n a l y s i sf o r t w om e a s u r e s i na p r o b a b i l i t ys p a c e 姓 2 0 1 1 年6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了在概率空间中关于两个概率测度的多重分形分析， 及两个图有向自相似概率测度的多重分形谱 第一章，我们简单阐述了当前国内外围绕本课题研究的现状及 发展趋势以及本文的研究意义和内容 第二章，我们简单回顾了分形几何的起源与发展，给出了包括 h a s u d o r f 维数，计盒维数，填充维数，测度维数在内的分形维数 及开集条件的一些基本概念及其主要性质 第三章，我们主要分析并讨论了在概率空间中关于两个概率测 j 度的多重豪斯道夫测度和多重填充测度的一些性质及其结论 第四章，我们研究并给出了在概率空间中一个图有向自相似概 率测度关于另一个概率测度的多重分形谱的结论 关键词：h a u s d o r f f 维数，盒维数，填充维数，多重分形，概率空间，自相似 测度，多重分形谱，随机有向图集 概率空间中一对测度的多重分形分析 、， a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d y r e l a t i v em u l t i f r a c t a la n a l y s i sf o r t w op r o b a b i l i t ym e a s u r e sa n da n a l y z et h em u l t i f r a c t a ls p e c t r ao ft h et w o g r a p h d i r e c t e ds e l f - c o n f o r m a lm e a s u r e si nap r o b a b i l i t ys p a c e i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l ya d d r e s st h es i g n i f i c a n c eo ft h i sr e s e a r c ha s w e l la sc u r r e n td o m e s t i ca n df o r e i g n r e g a r d i n gt h i st o p i cr e s e a r c hp r e s e n t s i t u a t i o na n dt h et r e n do f d e v e l o p m e n t i nc h a p t e r2 ，w eb d e f l yr e v i e wt h ef r a c t a ln a i s s a n c ea n dg i v es o m e f u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ft h es t r o n gs e p a r a t i o nc o n d i t i o na n d t h ef r a c t a l d i m e n s i o n sw h i c hc o n c l u d eh a u s d o r f f d i m e n s i o n b o x d i m e n s i o n ，p a c k i n gd i m e n s i o na n dm e a s u r ed i m e n s i o n i n c h a p t e r3 ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h em u l t i f r a c t a l h a u s d o r r fm e a s u r ea n dt h e m u l t i f r a c t a l p a c k i n gm e a s u r ew i t ho n et o a n o t h e ri nap r o b a b i l i t ys p a c e i nc h a p t e r4 ，w ea n a l y z et h er e l a t i v em u l t i f r a c t a ls t r u c t u r eo fo n e g r a p h - d i r e c t e d s e l f - c o n f o r m a lm e a s u r ew i t h r e s p e c tt o a n o t h e ri na p r o b a b i l i t ys p a c e k e y w o r d s ：h a u s d o r f f d i m e n s i o n ；b o x i n g 。c o u n t i n gd i m e n s i o n ； p a c k i n gd i m e n s i o n ；m u l t i f r a c t a l ；p r o b a b i l i t y s p a c e ； s e l f - s i m i l a rm e a s u r e ；g r a p h i i i 概率空间中对测度的多重分形分析 i v 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 国内外研究现状和发展趋势一1 1 2 课题研究的意义“1 1 3 课题研究的内容一2 第二章分形基本理论与基础知识3 2 1 分形理论的产生3 2 2 分形理论的研究对象和分形的定义4 2 3 分形几何中几种常见的维数。6 2 3 1h a u s d o r f f 测度及其维数6 2 3 2 计盒维数8 2 3 3 填充维数及其测度9 2 3 4 测度的维数。9 2 4 迭代函数系( s ) 与开集条件一1 1 2 5 概率知识”1 2 2 6 本文研究的主要内容1 3 第三章多重分形测度和维数1 4 3 1 引言1 4 3 2 一对测度的多重分形分析1 8 3 3 本章小结”2 4 第四章图有向自相似测度“2 5 4 1 引言2 5 4 2 一些记号2 5 4 3 图有向自相似测度的多重分形谱2 8 4 4 本章小结“3 3 v f 概率空间中一对测度的多重分形分析 结束语3 4 参考文献3 5 致 谢3 7 在校期间发表论文3 8 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1国内外研究现状和发展趋势 分形从上个世纪7 0 年代由m a n d e l b r o t 提出以来在各个领域得到了迅速的发 展，解决了欧氏几何范畴内解决不了的一些难题而对分形维数的研究始终是整个 分形数学的中心为了方便、实用的目的，我们引入了各种维数的定义，如h a u s d o r f f 维数、b o x 维数、p a c k i n g 维数、m e a s u r e 维数等其中以c a r a t h e o d o r y 构造为基 础的h a u s d o r f f 维数是最古老也可能是最重要的一种h a u s d o r f f 维数具有对任何 集合都有定义的优点，由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念的基础上，因 此在数学上也是较方便的 ， 一个质量分布可能分布在一个区域上，使得质量集中程度变化很大如果经 常发生以下情形：质量的集中程度具有一个给定的密度，比如说，对于很小的，成立 假( z ) ) ，“，并且不同的集对应于不同的口，这就显示了类似于分形的特征一个 具有这类性质的质量分布或测度的成为多重分形测度与分形一样，我们倾向于 避免多重分形测度的严格定义 多重分形表现了这类集合的几何形状到它们的测度几何性质的转变然而，考 虑到目f j 在多重分形方面人们的广泛的兴趣，还有它涉及的“分形的思想”，使得我们 非常重视它此外，有时多重分形测度也被当成是产生分形谱的手段 对于多重分形测度，已经提出了一些处理办法，然而从数学观点上看，由于它们 往往不够严格，还没有一个是完全令人满意的答案 1 2 课题研究的意义 过去，数学已经广泛涉及到那些可用经典的微积分进行研究的集类和函数类， “ 而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是病态，不值得研究而不被理 睬确实，它们被当做个别的特例，其中只极少数被认为是可以利用一般理论进 行研究的 概率空间中一对测度的多重分形分析 近几年来，人们已经意识到，对“不光滑集”可以必须进行详细的数学描述不 规则集比经典的几何图形能更好地反映许多自然现象，分形几何恰恰为研究这样 的不规则集提供了一个总的框架 1 3 课题研究的内容 “分形维数”概念几乎是整个分形数学的中心，而h a u s d o r f f 维数、b o x 维数等 又是各种“分形维数”中最重要的几种对于欧氏空间中一个测度关于另一个测度的 多重分形分析及一个图有向自相似测度关于另一个测度的相对多重分形谱我们已 有所了解，然而对于一般概率空间中两个概率测度的多重分形分析目前的研究较 少涉及所以对于概率空间中的分形集合的h a u s d o r f f 维数、b o x 维数的研究将有 助于我们更好地刻画和理解这一重要分形的几何特征，从而具有重要的意义在 此，我们研究概率空间中一对测度的多重分形的一些性质 2 江苏大学硕士学位论文 第二章分形基本理论与基础知识 分形几何萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，正式成为一门独立的学科则是在2 0 世纪 7 0 、8 0 年代其研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序，而又具有某 种规律的系统分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供了新 的方法，使人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动，湍流( t u r b u l e n c e ) 等大自然中的众多复杂 现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等多个学科中被广 泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的几何学，近年来，不 论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展 2 1分形理论的产生 客观自然界中的许多事物具有自相似的“层次”结构在理想情况下，具有无穷 层次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变不少复杂的物理现象，背后就 是反映着这类层次结构的分形几何学 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量用尺来测量万里长城， 嫌太短用尺来测量分子长度，又嫌太长从而产生了特征长度还有的事物没有 特征长度，就必须同时考虑从小到大的许许多多的尺度( 或称为标度) ，这就是“标度 性”问题 在二十世纪七十年代，美籍法裔数学家曼德尔勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 提出了英 国的海岸线有多长? 这个问题及时依赖于测量时所用的尺度数学家科赫( k o c h ) 从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长 度也不断的增加，并趋向无穷大以后可以看到，分形维数才是“科赫岛”海岸线的确 定的特征量，即海岸线的分形维数均介于1 到2 之间这些自然现象，特别是物理 现象和分形有着密切的关系譬如：银河系中的若断若续的星体分布就是具有分 形维数的吸引子多孔介质中的流体运动和它产生的流体模型、1 8 2 7 年发现的布 朗( r b r o w n ) 运 的运动轨迹的复杂性、化学中酶的构造、生物学中细胞的生长、非 线性动力学中的奇怪吸引子以及工程技术中的信号处理等等传统的经典几何学 难以描述其复杂性，伴随着多个学科类似问题的出现及研究，这就促使数学家进一 步的研究，因而就诞生了一门新的学科分形几何学 3 概率空间中对测度的多重分形分析 关于分形几何学的产生，一般认为：1 9 7 5 年，数学家曼德尔勃罗特 b m a n d e l b r o t ) 的名著分形：形状，机遇和维数( f r a c t y a l ：f o r m ，c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) 的问世标志着一个崭新的数学分支分形几何学由此诞生 “分形 ( f r a c t a l ) ”一词，也是曼德尔勃罗特提出来的，它源于拉丁语“f r a c t u s ”，含有“不规则” 和“破碎”的意义实际上，分形的思想以及分形集在数学上的存在已逾百年在十 九世纪至二十世纪初，c a n t o r 三分集，k o c h 曲线以及w e i r s t r a s s 无处可微连续函数等 这些“病态”的曲线与集合已逐步为人们所了解许多学者开始致力于构造类似的曲 线与集合并研究它们的性质c a n t o r , w e i e r s t r a s s ，p e a n o ，h a u d o r f f , k o c h 等人的杰 出工作为以后分形概念和分形理论的产生奠定了基础 2 2 分形理论的研究对象和分形的定义 分形理论的研究对象主要是复杂的不规则几何形态它们在自然界无处不在， 因而分形被人们誉为大自然的几何学，分形处处可见 分形自创立以来，人们做了各种努力试图给分型一个确切的数学定义，但是到 目前为止所出现的这些定义都很难验证时适用于一般的情形在m a n d e l b r o t 的论 述中给出的分形的第一个定义【1 】： 定义2 2 1 设集合ecr 4 ，如果e 的h a u s d o r f f 维数严格大于它的拓扑维数，即 d i m 但) d 丁但) ，则称集合e 为分形集，简称为分形 显然，d r 但) 和d i m 仁) 都大于等于0 而小于等于n ，前者总是一个整数，而后者 则不然，可以是分数，两个维数无须相同，它们只满足苏比尔拉( s z p i l r a j n ) 不等式： d i m h 但) d r 但) ( 2 2 1 ) 由此可知，每个具有非整数h a u s d o r f f 维数的集合一定是分形然而，分形的 h a u s d o r f f 维数也可以是一个整数，例如：布朗运动的轨迹是分形，它的h a u s d o r f f 维 数d i m 但) = 1 ，而它的拓扑维数岛但) = 2 根据定义2 2 1 可知，只要计算出集合的h a u s d o r f f 维数和拓扑维数，就可以判断 出该集合是否为分形然而在实际应用中，一个集合h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维 数的计算是非常复杂和困难的，这就给该定义的广泛使用带来了很大的影响 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又给出了自相似分形的定义： 定义2 2 2 局部与整体以某种方式相似的集合称为分形这一定义体现了大多 4 江苏大学硕士学位论文 数奇异集合的特征，尤其反映了自然界中广泛一类物质的基本性质：局部与局部、 局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性但 是定义2 2 2 只强调了自相似特性，具有相当的局限性，而定义2 2 1 比定义2 2 2 的 内涵要丰富得多 可以说如何定义分形至今尚无定论，无论应用何种方法来定义分形都会遗留掉 一些分形思想的精髓而且人们对分形的定义有不同的要求，数学家要求“严密”和 “公理化”，物理学家要求“简洁”，工程师们要求“简单适用”因此如何定义分形已经 成为了一个重要的科学问题 针对以上问题，f a l c o n e r 2 ，3 】对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是某些 性质的集合，而不去寻求它的精确定义他提出一个分形可以描述如下： 定义2 2 3 考虑e u c l i d 空间中的集合e ，如果它具有下面所有的或是大部分的 性质它就是分形： ( 1 ) e 具有精细结构，即有任意小比例的不规则细节 ( 2 ) e 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用微积分的或传统的几何 语言来描述 ( 3 ) 通常e 具有某种自相似或者自仿射性质，可能是近似的或者是统计意义上。 一 的 ( 4 ) 一般地，e 的“分形维数”( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，e 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生 ( 6 ) 通常e 有“自然”的外貌 类似地，e d g a r 4 ，5 】在1 9 9 0 年对分形给出了一个更加粗略的定义 定义2 2 4 分形集就是比在经典几何考虑的集合更加不规则的集合这个集 合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到 定义2 2 3 和定义2 2 4 ) g 管不严格，但确实使人们滞；别是工程师们) 很容易去理 解什么是分形粗略地说，分形几何就是不规则形状的几何，而且这种不规则性( 粗糙 性) 具有层次性，即在不同的层次( 尺度) 下均能观察到事实上，不规则几何的抽象化 经常比在经典几何中光滑曲线和光滑曲面的规整几何更能精确地拟合自然世 界正如m a n d e l b r o t 1 所说：“云彩不是球面，山峰不是圆锥，海岸线不是圆周，闪电 5 f 概率空间中一对测度的多重分形分析 也不是以直线传播”它们都可能是分形 2 3 分形几何中几种常见的维数 测度与维数是分形理论中两个重要概念，它是定量刻画分形集合的两个基本参 量，它们在分形的理论及其应用研究中占据着十分重要的地位 2 3 1 h a u s d o r f f 测度及其维数2 3 1 h a u s d o r f f 测度是分形几何中最基本的概念之一h a u s d o r f f 钡1 度将传统几何( ，例 如：e u c l i d l 何、r i e m a n n j - l 何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念，以及整 数维空i r j 中l e b e s q u e 测度的概念和计算方法推广到非整数维空间中首先回顾一下 定义 如果妙，) 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即 f c u u ，且对每一个f 都有o | u ，i 0 ，定义 r 一 、 h ；妒) = i n f t 喜lu ，l 。：妙，) 为f 的万一覆盖 ( 2 3 1 ) 1 = 1j 当万减小时，式( 2 3 1 ) 中能覆盖，的集类是减少的，从而下确界h ；伊) 随着增加， 且当万- 4o 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 圩5 ( f ) 2 娩h ；( ，) ( 2 3 2 ) 对尺”中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是0 或o 。) ，我们称日5 妒) 为 f 的s 一维h a u s d o r f f 测度 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念f a l c o n e r 7 】证明尺”中任何 l e b e s q u e 可测集的n 维h a u s d o r f f 测度与1 1 维l e b e s q u e 测度( 即通常的n 维体积) 相差一个常数倍更精确地，若f 是1 1 维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集，则 l ”陋) = c n h ”伊)( 2 3 3 ) 这里常数c 。= 万：( 2 “r ( 吉，l + 1 ) ) ，即直径为1 的n 维球的体积类似地，对于尺叫日好 的”低维子集，日o ( f ) 是f 中点的个数；h 1 俨) 给出了光滑曲线f 的长度；若，为 6 江苏大学硕士学位论文 光滑曲面，则h 2 陋) = 詈a r e a ( f ) ；而h3 伊) = x v o l ( f ) 根据h a u s d o r f f 测度的定义( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 可知，对于任意给定的集合e 和 0 万 1 ，h ；但) 是s 的减函数，从而h a u s d o r f f 澳l j 度日5 陋) 也是s 的减函数进一步 证明可以得到结论【2 1 ：若ec r ”，则存在唯一的一个实数s o 【0 ，n l ，使得 f 0 0 2 t o 图2 1 集e 的h5 但) 对s 的图h a u s d o r l t 维数 d i m h 但) 是使得从0 0 “跳跃”到0 发生的s 的数值 由此可知，h5 ( e ) 关于s 的图( 图2 1 ) 表明，存在s 的一个临界点使得日。但) 从 “跳跃”到0 这一临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m ( e ) 精确地 d i m ，( e ) = i n f s ：h 。( e ) = o = s u p s ：h5 ( e ) = o o ( 2 3 5 ) 当s = d i m he 时，即当s 取e 的h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f 测度日5 陋) 可 以为零或者无穷或者满足： 0 h 5 但) o o( 2 3 6 ) 满足不等式( 2 3 6 ) 的集合e 称为j 一集 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中起着 十分重要的作用然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数却非常 艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今人们仍然 无能为力因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数，而是讨论其计盒维 7 q 3 q 时时 卯卵 s s 当当 概率空间中对测度的多重分形分析 数 2 3 2 计盒维数 计盒维数( b o x - c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 或称盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 是应用最广泛的 维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的计算及经验估计相对容易一些这 一维数的研究可以追溯到二十世纪三十年代，并且对它还有许多其它的称呼： k o l m o g o r o v 熵、熵维数、容度维数、度量维数、对数维数和信息维数等等 定义2 3 1 圈 设f 是r “上任意非空有界子集，n j 妒) 是直径最大为万，可以覆 盖f 的集合的最少个数，则f 的下、上计盒维数分别定义为 一d i m 序面l i m 訾i o 警o ， ( 2 3 7 ) 艿_ o g d i m 口f ：l o g n 8 ( c f ) (238)8- - - * 0 一l o g 万 、 如果这两个值相等，则称这个公共值为f 的计盒维数或盒维数，记为 一l i m 等等 卿) 通常人们所说的分形维数就是指计盒维数从定义可知，对于一系列码尺万，只 要确定出相应的盒子数万但) ，就可以通过公式( 2 3 7 ) 一( 2 3 9 ) 计算出集合f 的上、 下计盒维数和计盒维数然而，如何来确定上面定义中的盒子数占伊) ? 这仍然是 一个难以解决的问题为此，人们给出了下面的等价定义 等价定义 3 1r “上任意非空有界子集f 的下、上计盒维数以及计盒维数分别 由公式( 2 3 7 ) 一( 2 3 9 ) 给出，其中j 伊) 是下列五个数中的任意一个： ( i ) 覆盖f 的直径为艿的集合的最少个数； ( i i ) 覆盖f 的半径为万的闭球的最少个数； ( i i i ) 覆盖f 的边长为万立方体的最少个数； ( i v ) 中心在f 上半径为万的不交球的最多个数； ( v ) 与，相交的万网立方体个数( 万网立方体是形如 【竹艿，( i ，z 1 + 1 ) 8 ) x m 2 8 ，( m 2 + 1 ) 万) x m 8 ，( + 1 ) 万) 的立方体，这里，m 2 ，m n 是 整数) 8 江苏大学硕士学位论文 2 3 3 填充维数及其测度 除了上述的h a u s d o r f f 维数与盒维数外，集合的p a c k i n g 维数也常常用到令 g ( e ) = s u p 二f 垦1 8 ( 2 3 1 0 ) 这罩 e 磋。是中心在e 上，半径最大为万的互不相交的球族，由于g 但) 随万减少而 递减，极限 碍陋) 5 娥g 俾) ( 2 3 1 1 ) 存在s 一维p a c k i n g 测度定义为 p 8 仁) = i n f e p 0 5 ( e t ) 汜c 闭u e ， ( 2 3 1 2 ) 通过p a c k i n g 测度，类似于h a u s d o r f f 维数的定义，e 的p a c k i n g 维数定义为 d i m p e = s u p s ：p 3 但) = = i n f s ：p ( e ) = 0 ( 2 3 1 3 ) 上述三种维数分别从不同方面刻画了分形集的复杂程度盒维数可以认为是 一个集合能被相同形状的小集合覆盖的效率h a u s d o r f f 维数则涉及的可能是相当 不同形状的小集合的覆盖而p a c k i n g 维数表示的是用半径不同的互不相交的小球 尽可能稠密的填充的程度，其中h a u s d o r f f 维数和p a c k i n g 维数是建立在严格的测度 论基础上的，因而特别引起数学理论工作者的关注，但是盒维数的直观和易于计算 则更受到物理与工程方面的青睐这使得盒维数成为应用最广泛的维数之一这 三种维数的关系如下： d i m e d l m pe d i m 口e ( 2 3 1 4 ) 2 3 4 测度的维数 自从2 0 世纪早些时候，不规则集最初吸引了数学工作者的注意以来，测度已成 为研究这些现在称之为“分形”集的基本工具测度的维数研究实际上是研究本身 作为分形实体的测度，以及与它们相联系的那些集合的相关性质设是月4 上的有 限b o r e l 规则测度，我们希望知道的质量是如何分布的，支撑它的集合的几何性质 如何影响质量的分布反之，给定一个集合，它能支撑什么样的测度要给出这些问 题的一般回答比较困难，事实上，它们本身是分形几何的基本问题 9 概率空间中一对测度的多重分形分析 设是上的有限b o r e l 规则测度，那么在点x 处的上、下局部或逐点维数 为 垡( x ) = l i m ，i 。n f l o g i , ( 聂8 厂 x , o ) ， 孑芦( x ) ：l i m s u pl 。g l t ( b x , r ) ) ，o l o g r 并且如果上两式相等，则称在x 点局部维数存在，记这个共同值为九( 功，即 似) = l 删i m 掣 下面我们利用测度的局部维数去给出集合维数的明确表达式 定理2 3 2 脚设e r d 是非空的b o r e l 集，云表示e 的闭集，则 d i m 日e = s u p s ：存在满足o ( e ) o o 的，且对一几乎所有的x e , d ( x ) s ) = i l l f s ：存在满足o ( 面) o 。的，且对所有的石e ，邑( x ) j 和 d i m pe = s u p s ：存在满足o ( e ) o o 的，且对一几乎所有的x e ，瓦( 功j ) = i n f s ：存在满足o o 的b o r e l 集) 类似地，我们定义测度的上h a u s d o r f f 和填充维数，分别记为d i m 和d i m ； 1 0 江苏大学硕士学位论文 d i i i l 二= i n f j ：对一几乎所有l 舭，当( x ) s 和 d i m 二= 砒 s ：对一几乎所有的x ，巩( x ) s 同样，这些维数也可以通过集合的维数来表示 d i m ：t = i n f d i m 片e ：e 是使( r qe ) = o 的b 。r e l 集) 和 d i m ；g = i n f d i m p e ：e 是使( r 叱e ) = o 的b 。r e l 集) 最后，我们给出测度的上、下计盒维数的定义设k 是r d 空间上的子集，支撑在 紧子集k 上的所有b o r e l 概率测度构成的集合称为概率测度族，简记为p ( k ) 记 一d i m 曰，一d i m b 分别表示测度p 僻) 的下计盒维数和上计盒维数设e c k ，我 们有 d i m 口v = l i m i n f d i m 占e i ( e ) 1 一万) ， 而口= l i m 洲i n f d - - 而m 占el ( e ) 1 一万) 2 4 迭代函数系( if s ) 与开集条件 设仁，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子集对于映射s ：d 专x ，如果存在正常数 0 c 1 ，使得对任意工，y d ， d ( s ( 功，s ( y ) ) c d ( x ，y ) ， 则称s 为d 上的压缩映射( 简称为压缩) 一个迭代函数系( i f s ) 由- - 族x 上的压缩映射 e ，e 组成，这里m 2 现考 虑r d 上的闭子集上的一个i f s e ，巴 ，其中 f e ( x ) - e ( y ) i c , l x - ) ，l ，0 q 1 ，x ，y d 如果非空紧集e 满足 e = u e 但) ， i = 1 则称集e 为w s f , ，】- 的吸引子或不变集 ( 2 4 1 ) 概率空间中一对测度的多重分形分析 设映射s ：r d 专尺d 对任意z ，y r d 满足 l s ( x ) - s ( y ) l = c l x - y i ， 其中0 c 0 使得万y q + t ，那么我们有 1 ，( a ) h m + i + j 仄，) h 州q , t ( - ，) 对于o 鼋， ( b ) h 馑，) 哪；馑，) 对于口o ， 2 ，( a ) p m + f + j 医7 ) 磁：( _ ，) 对于o 留 ( b ) 矽州硝馑，) 础馑，) 对于q 0 ， 给定度量空间上的概率测度l a ，y ，对于口，厂0 ，设 r ( 一r ，乙) = x s u p p l z n s u p p v ：一r 声，( 力y 并且云，( 力口 k ( r ，口) = x s u p p ans u p p v ：厂r u , v ( x ) 并- r a r ( x ) 口 r ( r ，竖) = 忸s u p p ns u p p v ：r u , v ( 力厂并且口线 ) r ( r ，垡) = z s u p p z ns u p p v ：7 芦，( 力并且口垡y ( z ) 同样，令 k ( r ，口) = k ( 一r ，一a ) n k ( r ，云) n k ( _ ，a _ ) n k ( r ，垡) = x s u p p t ns u p p v ：y = 。，( x ) 并上l 口= 瓯( 工) 最后，设 厶，( y ，口) = d i m ，k ( r ，口) 和 气，( 厂，a ) = d i m 尸k ( r ，口) 定理3 2 1 8 l给定度量空间x ，l ，为度量空间上的概率测度，固定y 0 ，q , t r 并且4 ，皖 0 使得4 y 留+ f 和暖a ( 朋+ f 一磊) ，那么我们有 1 5 概率空间中一对测度的多重分形分析 1 ，( a ) h 4 m w + 卜晚僻( 7 ，口) ) 2 a ( r q + t + 4 ) + 占2h 删q , t ( k ( 7 ，口) )对于0 - q ， ( b ) h 髓，叮卅五+ 如( k ( y ，口) ) 2 a ( y q + t + 4 ) + # 2 删q , t 僻( 厂，口” 对于口0 ， 2 ，( a ) 严( 肿。+ 焉) + 乏衅( _ ，夏) ) r ( 附f + 4 ) + 如f 影伍( 歹，否) )e 于o 0 ， a 属于q ，定义 1 - f l , 8 似) 声i 叫矽 ) ) ：a c n ，c i ，心 c 甲 ) 0 日寸”1 。 令= a c q 且万 0 ，v 2 v 是空f n q ( q ，f ) 上的概率测度，且f 是一个测度函数，对g 属于r ，写 q ，t 何j ( a ) = i n f 噍( y ( g ) ) 峻( ( e ) ) ：acu ；q ( g ) o 使得4 c c q + t 且疋 o ( i i ) 嘭叩件咿屯p 瞧，万) ) 2 肥口+ 点卜如茹p 缸，万) )当q - o 证明： 当q = 0 时，显然成立， ( i )对m n ，写 r - - 缈万( 云，万) ：糍口+ 鲁，且黜+ 乙虿掌罟i i ， o z ( u 。( 缈) ) 三) 现给定川n ，r o p 三，令 c = “。 ) ，缈l 是l 的中心户一覆盖，那么显然 1 9 概率空间中一对测度的多重分形分析 螋口扭， l o g v ( c ) 鸟。 因此 口( c f ) y ) 叶；，秒( c f ) 口l ， ) 钾似，秒 ) 可y ( g ) 。y ( c f ) 州+ 焉 同样，我们有 l o g o ( c _ f ) +