（基础数学专业论文）四阶m点边值问题的多解.pdf

山东大学硕士学位论文 四阶m 点边值问题的多解 朱风存 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 近年来，在数学，化学，物理学，生物学，医学，经济学，工程学，控制 理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题 的过程当中，逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支一非线性泛函分析 它主要包括半序方法，拓扑方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷 的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其是在处理应用学科中提出的各 种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限 维空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年，j l e r a y 和j s c h o u d e r 将这一概念推广到 b a n a c h 空间的全连续场，后来e r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p h r a b i n n o w i t z ， h a m a n n ，k d e i m l i n g 等等对拓扑度理论，锥理论及其应用进行了深入的研究， 国内张恭庆教授，郭大钧教授，陈文源教授，孙经先教授等在非线性泛函分析的 许多领域都取得了非常出色的成就 本文主要讨论下面四阶m 点边值问题的解的存在情况： 茹( 4 ) ( t ) = ，( z 0 ) ，一z ( t ) ) ，0 t l ， fz ( o ) = 江l n - - 1 2a i x ( y i ) ，x ( 1 ) = 0 ， 【( o ) = 答2 a i x ( 仇) ， ( 1 ) = 0 ， 其中 0 啦 1 ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，0 ，7 l 7 抡 叩m 一2 1 为常数， a i 1 ，仇3 ，并且f c ( n 冗，冗) 在一些条件满足的情况下，利用锥中 的不动点指数和l e r a y s c h a u d e r 度理论，我们得到上面边值问题至少存在六个 不同的非平凡阶进一步，如果，是奇函数，我们得到上面的边值问题至少存在八 i 山东大学硕士学位论文 个不同的非平凡解 关键词：不动点指数；l e r a y s c h a u d e r 度；四阶仇点边值问题；多解 山东大学硕士学位论文 m u l t i p l es o l u t i o n sf o rf o u r i h o r d e rm p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f e n g c u nz h u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t i nl a t e ry e a r s ，a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c sa n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a s b e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o d e mm a t h e m a t i c s i tm a i n l yi n - e l u d e sp a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o da n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d a l s oi tp r o v i d e san l u c he f f e c tt h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si n t h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y a n dw h a ti sn l o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ta p p r o a c h f o rs t u d y i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n ya p p l i e dm a t h e m a t i c s l e j b r o u w e r h a de s t a b l i s h e dt h ec o n c e p t i o no ft o p o l o g i c a ld e g r e ef o rf i n i t ed i m e n - s i o n a ls p a c ei n1 9 1 2 j l e r r ya n dj s c h a u d e rh a de x t e n dt h ec o n c e p t i o nt oc o m p l e t e l y c o n t i n u o u sf i e l do fb a n a 出s p a c ei n1 9 3 4 ，a f t e r w a r de r o t h e r ，m a k r a n o s e l s k i i ，p h r a b i n n o w i t z ，h a m a n n ，k d e i m l i n gh a dc a r r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c ho nt o p o l o g - i c a ld e g r e ea n dc o n et h e o r y m a n yw e l lk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a ，s u c h 船z h a n g g o n g q i n g ，g u od a j u n ，c h e nw e n y u a n ，s u nj i n g x i a na n ds oo n ，h a v ep r o u dw o r k si n v a r i o u sf i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n n a l y s i s i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h em u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h e f o u r t h - o r d e rm - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： z ( 4 ) ) = f ( z ( o ，一z ) ) ，0 t 1 ， fz ( o ) = 备2 吼z ( 吼) ，x ( 1 ) = 0 ， 【矿( o ) = 答2 吼咖) ， ( 1 ) = 0 ， w h e r e0 啦 1 ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，0 叩1 y 2 ，h 一2 1a r ec o n t a n t s ， a i 1 ，m 3 ，a n df c ( n 冗，冗) w i t hs o m ec o n d i t i o n sg i v e n ，b ym e a n s i i i 山东大学硕士学位论文 o ft h et h e o r yo ft h ef i x e dp o i n ti n d e xi nac o n ea n dt h el e r a y s c h a u d e rd e g r e e ，w e o b t a i nt h a tt h e r ea r ea tl e a s t6d i f f e r e n tn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rt h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e ma b o v e m o r e o v e r ，i ffi so d d ，w eo b t a i nt h a tt h e r ea r ea tl e a s t8d i f f c r e n t n o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma b o v e k e y w o r d s ：t h ef i x e dp o i n ti n d e x ；l e r a y s c h a u d e rd e g r e e ；f o u r t ho r d e rm - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；m u l t i p l es o l u t i o n s i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：生! 墨堡 日期：垒啦! ：! 垒 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：叁且壹 导师签名：期： 山东大学硕士学位论文 1 引言 在文【1 】1 中，韦忠礼教授研究了下面的边值问题： z ( 4 ( ) = ， ( ) ，- - x ( t ) ) ，0 t 1 ， fz ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 沓2 啦z ) ， l ( o ) = 0 ， ( 1 ) = 仁m - - 1 2a i x ( 仇) ， 在函数满足一些条件下，得到上面的边值问题至少存在六个不同的非平凡解，并 且得到，如果，是奇函数，那么上面的边值问题至少存在八个不同的非平凡解 在本文中，我们主要研究下面的四阶m 点边值问题o z ( 4 ( t ) = ，( z ( ) ，一x i i ( ) ) ， 雠恶蒜， 其中 0 t 1 ，( 1 1 ) z ( 1 ) - - - o , ( 1 2 ) x ( 1 ) = 0 ， 0 a i 1 ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，0 m 啦 一2 1 为常数， m - - 2 啦 l ，m 3 ，并且，c ( n 冗，冗) i = 1 考虑到f ( u ，钞) 的非线性性，假设它满足下列条件： ( h o ) 假设方程 薯删n 伺= t a n 石( ，妻i - - - - 1a i c o s v 玉i 一1 ) o is i n 伺= t a n 石i 一1l 的正解序列为0 入1 入2 k 0 ，( u ，移) 0 ，( 仳，口) 0 ；且对于u 0 ， 0 ，f ( u ，t ，) 0 ，( 心，u ) 0 ( h 2 ) 厂( u ，口) 在点( 0 ，0 ) 具有连续的偏导数，并且存在一个正整数r $ o 使得； p 2 伽 0 ( 1 4 ) ( 凰) 存在口1 0 ，风 0 ，使得 川犯。迎寄寄型一o 缸l + p f 一o o l 让f + l 口i 并且存在一个正整数佗使得 其中 7 2 n l 1 讹n 1 + 1 = 害法 ( 三以) 存在一个常数t 使得 i f ( u ，t ，) l m _ 1 z 对于所有的0 m t ，0 0 使得b ( o ，r ) du ，且b ( o ，r ) = z e i | lzi l 0 使得， 对任意的0 r 0 有d e g ( 1 一a ，b ( z o ，r ) ，口) = ( 一1 ) k 其中k 为4 ( 黝) 在 ( 1 ，+ o 。) 上的实特征值的代数重数和 引理3 设a 为定义在b a n a c h 空问e 上的一个全连续算子。假设1 不是渐进微 分的特征值，那么，全连续向两场，一a 在球面昂= z i | ixj i = 力上对于足够 大的半径p 不是孤立的，且d e g ( 一a ，召( 口，p ) ，0 ) = ( 一1 ) 蠡其中k 为a 7 ( o o ) 在 ( 1 ，+ o 。) 上的实特征值的代数重数和 引理4 设p 为b a n a c h 空间e 上的体锥俨的内点集非空夕，q 为p 的一个相对 有界开子集a ：p p 为全连续算子如果a 在q 上的任意的不动点都是p 的内点，那么存在e 的一个开子集o ( ocq ) 使得d e g ( ，一4 ，d ，p ) = i ( a ，q ，p ) o 证明t 令s = z i z = a x ，。q ) 那么scp ，所以，对任意的z s ，存在一个 疋 0 使得b ( z ，瓦) cpnq = q 令 0 = 量( z ，以) sz 那么，dcn 为e 的一个开子集由不动点指数的性质，我们有 i ( a ，0 ，p ) = i ( a ，q ，p ) ( 2 1 ) 由定义1 ，我们有 i ( a ，0 ，p ) = d e g ( i a r ，b ( 0 ，r ) nr - 1 ( 0 ) ：p ) ( 2 2 ) 3 山东大学硕士学位论文 其中，r ：e p 的一个任意的保核收缩，且r 为一个足够大的正数，使得 0cb ( o ，r ) 现在假设木b ( o ，r ) f lr - 1 ( o ) 使得秒木= a r ( u j 由r ：e 一 尸，a ：p p ，我们有秒木p ，且可，i c = r y * 0 ，所以可木0 只要证明 剪术b ( o ，r ) f qr - i ( d ) 为算子a r 的一个不动点所以， d e g ( - a _ b ( o ，r ) m r - 1 ( d ) ? 0 ) = d e g ( i a r o ，0 ) = d e g ( 1 一a ，o ，汐) ( 2 3 ) 由( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，证完 下面，我们利用上面的引理来得到下面的引理现在假设 e = z c 3 o ，1 】：z ( ) 满足( 1 2 ) ) ( 2 4 ) 引理5 对所有的x e ，我们有 0x0 0 l ix ，i i o ，i i l i 。i lz i i o ； ( 2 5 ) l l i i o m i l 矿1 1 0 ( 2 6 ) 其中，0zl j o = t m 【o i l a x 】iz ( t ) i ，v z c o ，l 】，m 由( 1 7 ) 式给出 证明t 对所有的z e ，由x ( 1 ) = 0 ，我们有 m ) = 一1 州妣 ( 2 7 ) 所以， i iz | i o 冬l l 1 1 0 ， ( 2 8 ) 类似的，由( 1 ) = 0 ，我们得到 0z l i osl iz 彬l l o ， ( 2 9 ) ( 2 5 ) 式得证 由( 1 2 ) 式，z ( ) 可以表示为 雄) = f o x g ( t js ) ( _ 以s ) ) 蚺i 未寺习m p - - 2 f 0 1g ( 酬掣( s ) ) d s ( 2 1 0 ) 山东大学硕士学位论文 其中， 由( 2 1 0 ) 式， g 泸s ( 1 - - t ) , 蓦黧： ( 2 1 ， z 7 ( t ) = 一o 。s ( 一z ( s ) ) d s + 1 ( 1 一s ) ( 一z ( s ) ) d s f 蚕杀习m p - 2 f o g ( 州如) ) d s ( 2 - 1 2 ) 由( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 可得( 2 6 ) 成立引理5 得证 由引理5 易知，e 为b a n a c h 空间，如果令i ix | j = j i j 1 0 ，比e 为了方 便，我们定义如下几个算子。 ( f x ) ( t ) = ，( z ( t ) ，一z ( t ) ) ，t 【0 ，1 】，v z e ( 2 1 3 ) ( 眺) = f og 蝴) d s + i 未靠习m 善- 2 啦f og ( 川d s t 【0 ，1 1 ，v z c o ，1 】，( 2 1 4 ) 其中，g ( t ，8 ) 由( 2 1 1 ) 给出，而 a = b 2 f ( 2 1 5 ) 易知，z ( t ) 是边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，当且仅当z ( ) 是e 中算子 x ( t ) = 血( t ) = b 2 f x ( t )( 2 1 6 ) 的解同时，由，的连续性，易知a ：e 啼e 是全连续的 我们在e 中定义个锥p = z e ：z ( t ) 0 ，( t ) 之0 ，v t f 0 ，l 】) 引理6 假设( h 1 ) 满足，如果z ( t ) p 目) 是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，那么z p ( p 的内部) 证明：由x ( t ) 尸( p ) 是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，由( 肌) 知， x ( t ) = a x ( t ) = b 2 f x ( t ) 0 ，一z ( t ) = b f x ( t ) 0 ，v t 【0 ，l 】( 2 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 且 那么，对y t f 0 ，1 】， 所以 z ( t ) 0 ，一z ( t ) 0 ，v t ( 0 ，1 ) ，( 2 1 8 ) z ( t ) = 1 ( 1 一s ) ( b f z ( s ) ) d s - 石。s ( b f z ) ( s ) d s f 蚕l 习r ；n - 2 口。i g ( m b f 洲地( 2 21 9)191 a i ( 1 j o 一 弋f 、仃r 竹：岛、r巾、r 、d 日r、 一虿2一班) 毛j v n 。八一一4 八叫”qp 7 一z 删( ) = 1 ( 1 一s ) ( f z ( s ) ) d s 一o s ( f z ) ( s ) d s f 瑟靠习善砚上r l g ( 旬( s ) d s ，( 2 2 0 ) 1 m z 州= 一f 蚕靠习m 善- - 2 n t z l g ( 胭删( s ) d s + z 1 ( 1 一s ) ( b f z ( s ) ) d s ， 由0 。，( 2 2 4 ) 1f m y ，1 川，( d f 未靠习善锄zg ( s ) 功( s ) d s 虮【0 l 】( 2 2 5 ) 山东大学硕士学位论文 由( 2 2 2 ) 一( 2 2 5 ) 知存在 0 ，7 1 0 使得 z ( ) f l ，一z 删( t ) n ，v t 【0 ，e 】， 茁( t ) 丁1 ，一z ( t ) 丁1 ，v t 【，1 】 取 丁= m ；n n ，( 丢+ 石i r 二_ 三妻) 丁， ， 由引理5 ，对缸e ，0t i zi i 丁，我们得到0u zi i o 丁1 ， 1 i l ，i l 一z i l o 丁 0 ，v t 【0 ，】， u ( t ) 0 ，一u ( t ) 0 ，v t k1 ) 所以，对所有u e ，i l 仳一zi i 下，u ( t ) 0 ，一仳( t ) 0 ，v t 【0 ，1 】所以， 缸e 0 乱一zi | 三 土 中的一个特征值一1 对应的特征函数为( ) ： s i n ( t 一1 ) 、k ，t 【0 ，1 】其中c 为非零常数 c o s 、a n d i m k e r ( 去，一( “。k + 阮l ) ) = d i m k e r ( i - - # n ( “。k + 阮l ) ) = 1 ( 2 3 2 ) 现在我们证明。 k e r ( 去，一( a 。+ 岛l ) ) = k e r ( ，一( a 。k + 风l ) ) 2 ( 2 3 3 ) 显然，我们只需要证明 k e r ( ，一( 口。k + 肺l ) ) 2ck e r ( 去，一( n 。+ 阮l ) ) ( 2 3 4 ) 对任意y k e r ( p 。i 一( 伽k + 阮l ) ) 2 ，( i 一( d o k + 风l ) ) 耖为线性算子 q o k + 阮l 的特征函数，其特征值为一1 肛“ 如果( ，一p 。( a o k + 风l ) ) 秒0 ，那么存在非零常数，y 使得t ( ，一( n o k + 岛三) ) 秒= 7 s i n ( t 一1 ) 、入。，t 【0 ，1 1 我们有 山东大学硕士学位论文 f 可( 4 ) = p 。( n o y + 岛( 一y ) ) 4 - 上天。入：s i n 一1 ) 入。， i c o sva n 耖( o ) = 吼拶( 仇) ， 秒( 1 ) = 0 ， ( 2 3 5 ) i 。甚2 l 矿( o ) = 啦以哺) ， 矿( 1 ) = 0 ， ( 2 3 5 ) 的通解为 耖( ) = c lc o s t v f i + c 2s i n t 瓜+ c 3e x p ( g t ) + c 4e x p ( 一夕) + 卑( 一1 ) c o s ( t 一1 ) 、7 焉，t i o ，l 】( 2 3 6 ) c o s x a n 其中，q ，岛，g ，q 为非零常数，= ! 丛4 a o f ! + 1 2 f l o 鱼a , ，垒竺2 ，9 = ( ) = 一a k c o s t一仍a 。s i n t 瓜+ 伤夕2 e x p ( g t ) + o 夕2 e x p ( 一g t ) + 丽c o ( 一2 瓜s i n ( ) 压一凡( ) c o s ( ) 倜( 2 3 7 ) 再由 得 再由 得 所以 y ( 1 ) = 0 ，圹( 1 ) = 0 ， c 1 = 一c 7 2t a n 、乃i ，c 3 = 一c 4e x p ( 一2 ) m - 2 ( o ) = 喇( 仇) ， i = 1 m 一2 圹( o ) = a i y ( 吼) i = 1 ，n 一2 c o s 压一a i ( 1 - - r h ) c o s ( 1 一碾) 佤= 0 ， i = 1 m - 2 c o s 、天= 啦( 1 一耽) c 。s ( 1 一班) 、灭 i = l 9 山东大学硕士学位论文 如果c o s e 0 ，那么 c o s 压= 凸t ( 1 一r t ) c o s ( 1 一眈) 瓜 s 砚( c o s 瓜c o s 耽瓜+ s i n 瓜s i n 耽瓜) 由m 蚤- 2扫=瓜(m薹-2aisin r h t a n 砚c 。s 隔一1 ) ，我们有 由 扫= 狐：( 砚c o s 隔一) ，我们有 4 = 上t = 上 1 锄( c 。s 仍压+ t a n 佤s i n 仍倜 1 一毗c o s 侬瓜t a - n 瓜a i s i n 讹瓜 所以1 一t a n 2 孓如果c o s 弧： 0 ，由( 日2 ) ，存在6 0 ，使得对任意0 l 缸 ，i 移 6 ， l塑坐v+v2i e 1j 山东大学硕士学位论文 所以， if ( u ，u ) 一( n o 钍+ 风口) i e v 伊+ v 2 。，v 0s it 正i ，f 口i 0 ，使得t if ( u ，口) 一( a l u + 侥 ) i f r 取6 。m i + n m a , x s r i | f ( u ，v ) 一( q l t 正+ 1 u ) f i ，那么 i i ，( 仳，”) 一( q 1 让+ 侥 ) 0 ( 1 仳i + l i ) + b ，v u ，u r 类似地，我们可以得到 l la x 一( o q k x + 3 1 l x ) 0 ( 、2 e0z0 十6 ) 以 v x e 则 腑卜l i m 迪尘产一o 蚓i 0z 贝算子a 在o 。处f r 6 c h e t 可微，且a 7 ( o o ) = a a k + 胁l 证完 引理9 假设( h a ) ，( h 2 ) 和( 风) 成立，则算子a ：p p ，( 或一p 啼一p ) 是 全连续算予，且沿着p 绒剧在0 和o 。处f r d c h c t 可微，a 由( 2 1 3 ) 式给出， 且 4 ( p ) = q o k + z o l ，a 0 ( 。o ) = a l k + 风l 证明t 由( 研) ，及( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 式，a ( p ) cp a ( 一p ) c p ，显然，g ( p ) c 只k ( - p ) c p ，且i ( p ) cp ，l ( - p ) c p 由引理8 ，可以得出结论证完 山东大学硕士学位论文 引理1 0 设( 凰) 一( 凰) 成立，那么 j 存在r 0 ，0 r 0 t ，且v 0 r o ， i ( a ，pnb ( o ，r ) ，p ) = 0 ， i ( a ，一pnb ( o ，兄) ，- p ) = 0 其中t 由( 凰) 给出 证明t 我们只需要证明( 1 ) ，( 2 ) 可以类似地证明 由引理9 ，a ：p p 是全连续的，且沿着p 在p 处f r & h e t 可微，且 a 4 ( 口) = q o k + 风l ，a o = 0 由引理7 和( 飓) ，4 4 ( p ) 有特征值去= & o + r p o a l 11 一，l “l 1 ，并且对应的特征函数为v ( t ) = = 二芹s i n 0 1 ) 、入l ，t f 0 ，1 】其中入1 t l lc u 5 v a l m - 2 m - 2 为方程a i s i n 依、，历= t a n 、伍i a i c 0 8 阮一1 ) 的最小正解所以 l i m m 生- ；2 竺苎竺亚二! 兰兰逛【直垫! ! ! 鱼二1 2 x - - - - o 、z = 卜n i + a d ? i 0 所以存在一个足够小的6 0 ( 0 ，1 ) 使得 l i m 圣生m - 1 2 丝! 竺竺! 尘二竺! ! 墨当望兰m 墨- 2 竺竺! 至堕二旦 z 。u 、d 0 m - 2m - 2 去( 1 一啦+ 毗耽) o 令z = z ( p ) = 萼+ 玩目o 而当p o 时， 1 2 喜啦sc o s 佩一1 卜 啦sa n 佤( 0 c 。s 佩一1 ) 0 吲0 i l 】 那么，由引理1 ，存在t o 0 使得 i ( a ，pnb ( o ，r ) ，p ) = 0 ，v o 0 使得： i ( a ，- p n b ( e ，r ) ，- p ) = 0 ， y o r 丁1 取r o = r a i n l t o ，丁1 ) ，那么结论( 1 ) 成立证完 引理1 1 设0 q 且a ：pn 孬一p 为凝聚算予，假设a x 肛。， v x 尸n a q ，p 1 ，那么，i ( a ，p n q ，尸) = 1 引理1 2 设2 为e 的一个开子集，且0 q ，a ：丽一e 是全连续的，假设 i a * l l l f z | f ，a x z ，比夙2 ，那么d e g ( i a ，s 2 ，6 ) = 1 3 主要结果及其证明 利用锥中的不动点指数理论和l e r a y s c h a u d e r 度，我们得到下面的主要结果： 定理l 如果( 凰) 一( 凰) 成立，那么边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有至少六个不同的 非平凡解t 两个正解，两个负解，两个变号解 定理2 如果( h o ) 一( 1 - 1 4 ) 成立，并且，为奇函数，即，( 一乱，- - v ) = 一，( 乱，秒) ，v u ，口 冗，那么边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有至少八个不同的非平凡解 定理1 的证明：对任意z e ，我们有 ，1，t 一( 缸) 所( ) = ( 1 一s ) ( f x ) ( s ) d s 一s ( f x ) ( s ) d s 1 m - 2 ，1 一f 蚕k j 善锄z g ( 旬( f 司( s ) d s ，v te 【0111 m - - a i ( 1h i ) 一t = 1 2 一 缶嘶厶”叫r 叫p 严o r 山东大学硕士学位论文 对任意z e ，l | zi i = t ，由条件( 吼) 和( 2 4 2 ) ，我们有 由引理1 1 和引理1 2 ，我们有 a xi i t = 0z1 1 i ( a ，p nb ( o ，t ) ，p ) = 1 ， ( 3 1 ) i ( a ，一p nb ( o ，丁) ，一p ) = 1 ，( 3 2 ) d e g ( i 一1 ，b ( 0 r ) ，秒) = 1 ( 3 3 ) 由( 玩) 和引理7 ，算子a 7 ( 护) = a k + 3 0 l 的比1 大的特征值为， 111 p 1p 2 弘3 二，所以，由引理2 ，存在0 r 1 由引理4 和引理6 ，存在e 的开子集d 1 ，d 2 ，0 3 和0 4 使得 & cd lcp n ( b ( o ，r 1 ) b ( p ，丁) ) ， c ( ) 2cp n ( b ( o ，t ) b ( 9 ，1 ) ) ， 鼠c0 3c pn ( b ( o ，7 1 ) b p ，r 1 ) ) ， & c0 4c - p n ( b ( o ，r 1 ) b ( 咿，r ) ) 由( 3 1 0 ) 一( 3 1 3 ) ，我们有 d e g ( i a ，0 1 ，0 ) = - 1 ， ( 3 1 4 ) d e g ( i a ，0 2 ，0 ) = l ，( 3 1 5 ) d e g ( i a ，0 3 ，0 ) = 1 ， ( 3 1 6 ) d e g ( i a ，0 4 ，0 ) = 一1 ( 3 1 7 ) 由( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) ， d e g ( i a ，b ( o ，t ) ( 瓦u 蕊u 葛丽，0 ) = 1 1 1 1 = 一2 所以，a 至少有一个不动点z 5 b ( o ，t ) ( 一u 一0 3u 百石五i 万类似的，由 ( 3 3 ) ，( 3 7 ) ，( 3 1 4 ) 和( 3 1 7 ) 得， d o g ( 一a ，b ( o ，r 1 ) r iu 瓦u 百丽，0 ) = l 一14 - 1 + 1 = 2 15 山东大学硕士学位论文 所以，a 至少有一个不动点z 6 b ( 6 i r 1 ) ( 一0 1u 0 4u 百巧正面显然，z 5 和z 6 是边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的变号解证完 定理2 的证明：由定理1 的证昵边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 至少有六个非平凡解， 戤e ( i = 1 ，2 ，6 ) 满足 oo x l ，x 2 p ；z 3 ，x 4e 一尸；x 5 ，x 6 隹pn ( - p ) ，r l 0z 5i l t i iz 60 r 1 由，( 一札，一u ) = 一f ( u ，钉) ，那么一z s ，一x 6 也是边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解取 x 7 = 一z 5 ，z 8 = 一x 6 ，那么盈( i = 1 ，2 ，8 ) 为边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的非平凡 解证完 推论1 如果( 风) ，( h 1 ) ，( 玩) 和( 凰) 满足，那么边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有至少 三个不同的非平凡解：一个变号解，一个正解，一个负解如果，为奇函数，即 f ( - - u ，- - v ) = - - f ( u ，钞) ，v u ，口冗，那么边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有至少四个不同 的非平凡解 推论2 如果( 风) ，( h 1 ) ，( 风) 和( 舷) 满足，那么边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有至 少三个不同非平凡解，一个变号解，一个正解，一个负解如果，为奇函数，即 f ( - u ，一 ) = - - f ( u ， ) ，v u ，可冗，那么边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有至少四个不同 的非平凡解 如果，的非线性性与二阶微分无关，边值问题变成如下的四阶两点边值问 题， z ( 4 ) = ( z ( t ) ) ，0 t 1 ，( 3 1 8 ) 和( 1 2 ) ，那么我们得到下面的推论t 推论3 如果 满足( 上南) 和 j h c ( n ，冗) ，h ( o ) = 0 ，且x h ( x ) 0 , v x 冗； 2 存在一个正整数n o 满足 a 魏。 咖 入+ 1 其中翩= 鸟掣i 1 6 山东大学硕士学位论文 3 存在一个正整数n l 满足 其中，口一。峻掣j 入；n ， ( i o 0 满足 i ，( z ) l m _ 1 t ，v 0 | izl | t 那么边值问题( 3 1 8 ) 和( 1 2 ) 有至少六个不同的非平凡解并且，如果h 是 奇函数，即h ( - x ) = 一九 ) ，v x 冗那么边值问题( 3 1 8 ) 和( 1 2 ) 有至少八 个不同的非平凡解 1 7 参考文献 i l 】z w e ia n dc p a n g ，m u l t i p l es i g n c h a n g i n gs o l u t i o n sy o ry o u r t ho r d e rm - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，6 6 ( 2 0 0 7 ) ，8 3 9 - 8 5 5 【2 】2r a g a r w a l ，o nf o u r t ho r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa r i s i n g 饥b e a ma n a l y s i s ， d i f f e r e n t a li n t e g r a le q u a t i o n s ，2 ( 19 8 9 ) ，9 1 11 0 【3 】z b a i ，t h em e t h o do yl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sy o rab e n d i n 9o ya ne l a s t i cb e a m e q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 4 8 ( 2 0 0 0 ) ，1 9 5 - - 2 0 2 4 1c p g u p t a ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l 幻f o rt h eb e n d i n go fe l a s t i ce q u a t i o n s a tr e s o n a n c e , j 。m a t h