（基础数学专业论文）一类可解3李代数的存在性.pdf

摘要 摘要 伽李代数作为李代数的自然推广，是基本乘法运算为札元线性运算的一种代数系 统( 当n = 2 时，即为通常李代数) 本文主要研究一类可解3 李代数的存在问题文章 首先给出了h y p o - n i l p o t e n t 理想的概念，证明了以m 维最简线状3 - l i e 代数为幂零根 基的可解3 - l i e 代数不存在然后研究了当i n 大于等于5 时，以i t i 维最简线状3 - l i e 代 数为极大h y p o - n i l p o t c n t 理想的可解非幂零3 - l i e 代数存在性，且最大维数等于m + 2 ， 并对其进行了分类 第一节，给出了伽李代数的基本概念，符号，以及一些基本的结果，其中包括n - 李代数的定义，礼李代数的子代数，理想，可解性，幂零性，中心，导代数等概念 第二节，定义了m 李代数的次幂零理想并给出了一些结论 第三节，研究了具有最简线状幂零根基的3 - 李代数 第四节，主要讨论了具有极大次幂零理想的可解孓李代数的结构，其中是 最简线状孓李代数 关键词n 李代数次幂零理想幂零根基最简线状n 李代数 a b s t r a c t a b s t r a c t a n 礼一l i ea l g e b r ai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h e c a s e ，w h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni s 扎一a r y ( n 2 ，w h e n 佗= 2 ，t h e d e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i ea l g e b r a ) i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y s t u d yt h ee x i s t e n c eo fac l a s so fs o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a s w ef i r s td e f i n et h eh y p o - n i l p o t e n ti d e a li nn l i ea l g e b r a s a n dp r o v et h a tt h e r ei sn os o l v a b l e3 - l i ea l g e b r aw i t h t h es i m p l e s tf i l i f o r m3 - l i ea l g e b r aa st h en i l r a d i c a l t h e nw es t u d yt h ee x i s t e n c eo f t h es o l v a b l en o n n i l p o t e n t3 - l i ea l g e b r a sw i t ha nm d i m e n s i o n a ls i m p l e s tf i l i f o r ms - l i e a l g e b r aa sam a x i m a lh y p o - n i l p o t e n ti d e a l ，a n dt h ed i m e n s i o no fs u c hs o l v a b l e3 - l i e a l g e b r a si sa tm o s tm + 2 ，w h e r em 5 w eg i v et h ec o m p l e t e l yc l a s s i f i c a t i o no fs u c h s o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n1 w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n sf o rt h et h e o r yo f 扎一l i ea l g e b r a s a n dg i v es o m eb a s i cr e s u l t s ，s u c ha sd e f i n i t i o n so fn - l i ea l g e b r a ，s u b a l g e b r a s ，i d e a l s ， s o l v a b i l i t y , n i l p o t e n t ，c e n t e ra n dd e r i v a t i o na l g e b r a s i ns e c t i o n2 ：w ed e f i n eh y p o - n i l p o t e n ti d e a lo fn - l i ea l g e b r a sa n dp r o v es o m el e m m a s i ns e c t i o n3 ，w es t u d y3 - l i ea l g e b r a sw i t ht h es i m p l e s tf i l i f o r mn i l r a d i c a l s i ns e c t i o n4 ，w ed e s c r i b et h es t r u c t u r e so fs o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a sw i t ham a x i m a l h y p o - n i l p o t e n ti d e a ln ，w h e r en i st h es i m p l e s tf i l i f o r m3 - l i ea l g e b r a k e y w o r d s n - l i ea l g e b r a h y p o - n i l p o t e n ti d e a l n i l r a d i c a lt h es i m p l e s tf i l i f o r m n - l i ea l g e b r a i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材科。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 学位论文使用授权声明 子， 年上月16 日 本人完伞了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密凹。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 、姻旬轴谑牺僦花j l i ) 的学位论文，是我个人在导师两嘞稀指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：流魏妨 日期：埠月址同 导师签名： 日期： 埠年上月卫闩 肆年乙月厶只 | 0 i n t r o d u c t i o n 0 i n t r o d u c t i o n i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo nn - l i ea l g e b r a sa t t r a c t e dl o t so fa t t e n t i o n ，w h i c hi sd u e t oi t sc l o s ec o n n e c t i o nw i t ht h en a m b u m e c h a n i c s 1 - 3 】a sag e n e r a l i z a t i o no ft h e c l a s s i c a l h a m i l t o n i a nm e c h a n i c s i n1 9 8 5 ，f i l i p p o v 7 】i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fn l i ea l g e b r a s ，w h i c hi san a t u r a l g e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h ec a , s 1 9w h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni sn a r y ，n 2 ( w h e nn = 2 ，t h ed e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a l d e f i n i t i o no fal i e a l g e b r a ) i ni t ，h ec o n s i d e r e dn - a r ym u l t i - l i n e a ra n ds k e ws y m m e t r i c o p e r a t i o n 陋l ，一，z n 】s a t i s l - i n gg e n e r a l i z e dj a c o b ii d e n t i t y ： ，z 。】，2 ， n ，y n 】= h ，k i ，夕2 ，z 。】 i = 1 i nt h i sp a p e r ，h ea l s og a v et h ef i r s tb a s i ce x a m p l e ，d e v e l o p e ds t r u c t u r a ln o t i o n ss u c ha s s i m p l i c i t ) ，a n dn i l p o t e n c ya n dc l a s s i f i e dn - l i ca l g e b r a so fd i m e n s i o nn + 1 o v e ra na l g e - b r a i c a l l yc l o s e df i e l dw i t hc h a r a c t e r i s t i cz e r o t h e r el e a v e sal o to fr o o mf o re x p l o r a t i o n o fs u c ha l g e b r a sa sa l le x t e n s i o no ft h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s k a s y m o v 【8 】i n t r o d u c e d c o n c e p t so fk - s o l v a b i l i t y , k - n i l p o t e n c y , c a r t a ns u b a l g e b r a s ，t h ek i l l i n gf o r ma n dr e p - r e s e n t a t i o no fn - l i ea l g e b r a s ，a n dd i s c u s s e dt h e i rs i m p l ep r o p e r t i e s h ea l s op r o v e da n a n a l o g yo ft h ee n g e l 。st h c o r e m l i n gw u - x u e 1 2 p r o v e dt h a tt h e r ei so n l yo n es i m p l ef i n i t ed e m e n s i o n a ln - l i ea l g e - b r ao v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r ou pt oi s o m o r p h i s m ，w h i c hw a s f i r s t l 3 d e s c r i b e dm v t f i l i p p o v 7 ：a n dd e n o t e db ya s ，a n da l s od i s c u s s e di t sa u t o m o r - p h i s mg r o u pa n dd e r i v a t i o na l g e b r aw h i c hi ss o ( f + 16 ) a n dt h el e z ，id e c o m p o s i t i o n t h e o r e mo fn - l i ea l g e b r a sw a sa l s op r o v e d b a ia n dm e n gs t u d i e dt h es t r u c t u r eo fl o wd i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a so v e ra na l g c - b r m c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ? a n dg a v ed e f i n i t i o n so ft h ec e n t r a le x t e n t i o n o fn - l i ea l g e b r a s t h ef r a t t i n is u b a l g e b r a s ，f o r m a t i o n s h e i s e n b e r gn - l i ea l g e b r a ，a n d am e t h o dt oc o n s t r u c th e i s e n b e r gn - l i ea l g e b r a s ，t h ec e n t r o i do fn - l i ea l g e b r a sa n d 1 河北大学理学硕士学位论文 p r o v e ds o m er e s u l t so nt h ec e n t r o i do fn - l i ea l g e b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d o fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，a n dc o n s t r u c t e ds o m ef i n i t ed i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a so v e rf i e l d s o fc h a r a c t e r i s t i cp 0 【9 - 1 1 u pt on o w ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls i m p l en - l i ea l g e b r a so v e rf i e l d so fc h a r a c t e r i s t i c p 0a r eo n l yj a c o b i a na l g e b r a sa n dt h e i rq u o t i e n ta l g e b r a s 【1 1 5 t h e r ea r eo t h e r r e s u l t so nr e p r e s e n t a t i o n sa n ds t r u c t u r e so fn l i ea l g e b r a s 1 6 - 1 9 t h eo r g a n i z a t i o nf o rt h er e s to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s 。s c c t i o n2i n t r o d u c e ss o m e b a s i cn o t i o n s ，d e f i n e sh p o - n i l p o t e n ti d e a lo fn - l i ea l g e b r a sa n dp r o v e ss o m el e m m a s s e c t i o n3s t u d i e s3 - l i ea l g e b r a sw i t ht h es i m p l e s tf i h f o r mn i l r a d i c a l s s e c t i o n4d e s c r i b e s t h es t r u c t u r e so fs o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a sw i t ham a x i m a lh y p o - n i l p o t e n ti d e a ln w h e r e ni st h es i m p l e s tf i l i f o r m3 - l i ea l g e b r a t h r o u g h o u tt h i sp a p e rw ec o n s i d e rn - l i e a l g e b r a so v e raf i e l df o fc h a r a c t e r i s t i c z e r o ，a n dw i t hn 3 2 一 1 p r e l i m i n a r i e so fn l i ea l g e b r a s 1 p r e l i m i n a r i e so fn - l i ea l g e b r a s i nt h i ss e c t i o n ，w er e c a l ls o m ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so f 扎一l i ea l g e - b r a s ，w h i c hc a t lb ef o u n di n 【1 - 8 d e f i n i t i o n1 1a nn - l i ea l g e b r aai sav e c t o rs p a c evo v e raf i e l dfo fc h a r a c t e r i s t i c2 ，o i lw h i c ht h e r ei sd e f i n c x la n 强一a rcm u l t i l i n e a ro p e r a t i o n 【- ，】s a t i s 6 - i n g t h ei d e n t i t i e s ： i fi j 。x i = t j ，a n d 【x l ，x i ，x n 】_ 0 p l ，z 。j 珈? 蜘】=k 1 ，x i 7 1 2 ，蜘j ，z 。】 i = 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) d e f i n i t i o n1 2t h es u b a l g e b r af a ，a ，a 】g e n e r a t e db ya l lv e c t o r sk l ，x 2 ，z 。】 i sc a l l e dt h ed e r i v e da l g e b r ao fa ，d e n o t e db ya 1 ，w h e r e 孔a ，i = 1 ，2 ，礼 d e f i n i t i o n1 3a ni d e a lo f 扎一l i ea l g e b r aai sas u b s p a c eio fas u c ht h a t 【，a ，a 】，i na d d i t i o n ，i f ，a ，? a 】= 0 ，i sc a l l c da na b e l i a ni d e a lo fa i fai sn o ta b e l i a na n dd o e sn o tc o n t a i na n yn o n z e r o p r o p e ri d c a l s 。ai ss i m p l e d e f i n i t i o n1 4t h em a pa d ( 2 7 1 ，z 。1 ) o fat oa ，d e f i n e db y a d ( x l ，2 ：n - 1 ) ( z 。) = x l ，z 。 f o rz n a i sc a l l e dt h el e f tm u l t i p l i c a t i o nd e f i n e db ye l e m e n t s2 7 l ，z n l a d e f i n i t i o n1 5ad e r i v a t i o no fa n 门一l i ca l g e b r aai sal i n e a rt r a n s f o r m a t i o nd s a t i s l i n gt h ec o n d i t i o n 9 1 ，d ( x i ) ，z 。】， = 1 ( 1 3 ) w l l c r ex l ，x n a i ti se a s i l yp r o v e dt h a ta l ll e f t m u l t i p l i c a t i o n sa r ed e r i v a t i o n s w h i c ha r cs a i dt ob ci n n e r a l lt h ed e r i v a t i o n so fag e n e r a t eas u b a l g e b r ao fl i c 3 河北大学理学硕士学位论文 a l g e b r a9 t ( a ) w h i c hi sc a l l e dt h ed e r i v a t i o na l g e b r ao fa ，a n dd e n o t e db yd e r a l e t l ( a ) d e n o t et h el i ea l g e b r ag e n e r a t e db yo p e r a t o r sa d ( z 1 ，x t l 1 ) ，w h e r ex i a ， 1 i 佗一1 d e f i n i t i o n1 6a ni d e a lio fa n 礼一l i ea l g e b r aai sc a l l e ds o l v a b i e ，i f ，( ) = 0 f o rs o m er 之0 ，w h e r ep ) = ，a n db yi n d u c t i o n ，w ed e f i n e 弘+ 1 ) = 弘) ，弘) ，a ， f o rs 0 a ni d e a lio fa nn l i ca l g e b r aai sc a l l e dn i l p o t e n t ，i fi = 0 ，f o rs o m er 0 ， w h e r e1 1 = i ，a n db yi n d u c t i o n ，w ed e f i n e1 8 + 1 = ，5 ，a ，a ，f o rs 1 a n 礼一l i ea l g e b r aai sc a l l e ds e m i - s i m p l e i fah a sn on o n z e r os o l v a b l ei d e a l s d e f i n i t i o n1 7w bc a l l 心( 日) = x ap ，日，日】日) t h en o r m a l i z e ro fhi na w h e r ehi sas u b a l g e b r ao fa d e f t n i t i o n1 8t h es u b s e t z ( a ) = z a | 【z ，a ，a 】= o ) i sc a l l e dt h ec e n t e ro fa ，c l e a r l yz ( a ) i sa ni d e a l f o rs u b a l g e b r aho fa ，d e n o t e z ( h ) = n ) i ft h el o w e rc e n t r a ls e r i e sa 。( i 1 ) s a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ： d i m a 2 = m 一佗一i + 1 ，i 1 ， ai sc a l l e daf i l i f o r m 2 一l i ea l g e b r a d e f i n i t i o n2 3l e tab ea nm - d i m e n s i o n a lf i l i f o r m 礼一l i ea l g e b r a ( m2 凡+ 2 ) i f t h e r ei sab a s i se l ，e mo f as u c ht h a t 【e l ，e n - 1 ，e j 】= e j 一1 ，扎+ 1 j 仇，( 2 1 ) a n do t h e rb r a c k e t so ft h eb a s i sv e c t o r se q u a lz e r o ，t h e nai sc a l l e dt h es i m p l e s tf i l l f o r m n l i ea l g e b r a f o rl a t e rc o n v e n i e n c e ，w eg i v et h ei n n e rd e r i v a t i o na l g e b r ao fm d i m e n s i o n a lt h e s i m p l e s tf i h f o r m3 - l i ea l g e b r a l e m m a2 2l e tnb e 仇一d i m e n s i o n a lt h es i m p l e s tf i l i f o r m3 - l i ea l g e b r aw i t h ab a s i se l ，e ms a t i s f y i n g ( 2 1 ) t h e nt h ei n n e rd e r i v a t i o na l g e b r aa d ( n ) h a sa b a s i sa d ( e l ，e 2 ) ，a d ( e l ，勺) ，a d ( e 2 ，e j ) ，j = 4 ，5 ，m a n dw i t hr e s p e c tt ot h eb a s i s e l ，e m ，a d ( e k ，e 1 ) i sr e p r e s e n t e db yt h ef o l l o w i n gm a t r i xf o r m 历5 - 1 ，a d ( e l ，e i ) = 易 一1 ，a d ( e 2 ，e i ) = e xi 一1 ，4si m ，( 2 2 ) w h e r e i st h e ( m m ) m a t r i x u n i t p r o o f ：f r o m ( 2 1 ) w eh a v e a d ( e l ，e 2 ) ( 岛) = e i 一1 ，a d ( e l ，岛) ( e 2 ) = - e i 一1 ，a d ( e 2 ，e i ) ( e 1 ) = e l 一1 ，4 i m 。倒 l l 力 e 0 甜 2 h 3 p o - n i l p o t e n ti d e a lo fn l i ea l g e b r a s t h e nt h em a t r i xf o r mo fa d ( e i ，勺) w i t hr e s p e c tt ot h eb a s i se l ，e mi s a d ( e l ，e 2 ) = m 3 = 4 岛j 1 ，a d ( o ，e i ) = e 2 i 一1 ，a d ( e 2 ，e i ) = e x i 一1 ，4 i m t h e r e f o r e ，a d ( a ) = f a d ( e l ，e 2 ) + e 銎4f a d ( e l ，e i ) + e 括m4f a d ( e 2 e ) 口 u n l e s ss t a t e do t h e r w i s e i nt h ef o l l o w i n gni sm d i m e n s i o n a lt h es i m p l e s tf i l i f o r m 3 - l i e a l g e b r aw i t ht h em u l t i p l i c a t i o nt a b l e ( 2 1 ) i nt h eb a s i se l ，e a n dm 5 n o wl e tab ca l l ( m + 1 ) d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r a 诵t hi d e a ln i fzi sav e c t o ro f aw h i c hi sn o tc o n t a i n e di nn t h e nz ，e l ，e mi sab a s i so fa ，a n dt h ec o m p u t a t i o n t a b l ei nt h eb a s i sz ，e l ，e mi sg i v e nb y 4 j m ， 1 i ，j m ， ( 2 3 ) w h e r e f ，口0 = 一n 炱，1 i ，j m t h e r e f o r e ，t h ef o l l o w i n g ( r e ( m - i ) m ) m a t r i x a ld e t e r m i n e st h es t r u c t u r eo fa a ； a a n o 。一2 口 。一l 口i l 畦3 如。 畦。 n ；2 n ；3 n 2 4 n 5 口 口i m 一2 o ；r n l 口i m n 灸 a 2 。4 ， 5 口 2 吨 口乱 0 3 5 口；。一2 口i 。一l o 。 如 画 畦 n 2 n i 3 a 4 o 5 n 。一2 口 。一1 d 。 口j 3 o ；4 n ；5 n i 2 o i 3 口i 4 n i 5 n 岔3 口岔3 n 防3 - o m l 5 - 3 o i m 一2 0 2 m l 口i m 8 玉 。 0 2 4 o ；5 吐。一2 口；。一20 2 。一2雹。一2n l 。一2 口5 价一1n 一1口l 。一l遥。一l口l 。一l n 5 。a “i mn 2 。n 2 mo i 。n ；mn ；mn ；mo ；m n bn 玉吨n 刍a 2 4n 五n 缸n 孰n 弘 0 2 2 a t l “m - - 一3 1 n m l m - 3 8 芽3 0 2 m 4 - 3 口2 m 5 - 3 a t e _ 2 a m - 。一3 1 口2 m m - - 3 - 口3 4 7 1 1 - 3 口岔2 口岔2 a t , - 2 口f l t 5 i - - 2 a m 。，- - 。一2 2 n 繁l o r e l m - 2 曙2 n 器一2 莳2 n 爱2 a m ，- 。一2 l 蕊2 m - 2 口岔1 n 岔1 o 符1 o 岔1 a m i ，- 一1 2 a m ，- 一1 l 口l l q r m l - - 1 8 芽1 n 2 m 4 - l 0 2 m 5 - l n 舞2 a m 。- 一1l 0 2 l r n m - - 1 a m - 1 口鑫 n 器 。嚣 a t s n 臻一2 n 器一1 o 8 冕 嚷 嚷 n 孙一2 o 孙一1 o 易 n 墨 口k l mn 未一1 研n 象一1 m( 袅一l mn 5 卜1 m a m - 一3 ma m 一- 2 ma m 一- i mn m m 一1 m 一7 - ( 2 3 ) 山呜 _ 镭 勺奠 e 色 改 霸 ，llj(1l 河北大学理学硕士学位论文 t h em a t r i x ，i sc a l l e dt h es t r u c t u r a lm a t r i xo faw i t hr e s p e c tt ot h eb a s i sz ，e l ，e m b yt h ea b o v eu o t a t i o n sw eh a v ef o l l o w i n gr e s u l t l e m m a2 3l e tab ea l l ( m + 1 ) d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r aw i t ht h ei d e a ln t h e nt h es t r u c t u r a lm a t r i xm 遮o ft h ef o l l o w i n gf o r m m = o i 2 口 2 00000 0 a m 00 o 3 00000 0 000 口 4 00 000 00 o 高2 0 口 5 0 00 0 00 n 茄3 n 离2 000 00 - 00 n 口2 。n 7 m 0n 瑟2 00 00 8 。口i m 口2 。n 离2 0 a 嚣0 l 0 00 o 口 。q m 3 簖2 0 o 南 00 n i 3 0000 00 000 8 ；4 00 000 0 0 d m 2 。- 2 0 o ；5 0 0 00 00 n m 2 m r 3 口2 t m l - - 2 0000 0 00 n 2 。0 2 。o ；m 0o ；2 2 0 0 0 0n ；。遥。n 2 。a 2 ”m 一2 0 a 。m 。- 一1 1 0 00 n 2 。鹂侥n i 。a ”2 m 一3 o 概m - 2 0 口象 0000000 00 00000 0 000 w h e r e 噶f o r1s i ，j ，k ms a t i s f yt h ei d e n t i t i e s 一o l 索t 蒙j ln ；：) 2 。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) p r o o f i f i r s t l y , s i n c en i sa ni d e a lo faa n dd i ma = m + 1 ，t h ed e r i v e da l g e b r a a 1 = a ，a ，a 】【a a ，n 】n t h e nt h es t r u c t u r a lm a t r i xm i s ( 2 3 ) w i t hr e s p e c tt o t h eb a s i sx ，e l ，e m 2 ，h 、p o - n i l p o t e n ti d e a lo fn - l i ea l g e b r a s s u b s t i t u t i n gt h er e l a t i o n s ( 2 3 ) i n t ot h ej a c o b ii d e n t i t i e s w eo b t a i n a n d a n d 【p ，e l ，e 2 】，e l ，e j 】= 【i x ，e l ，e j 】，e l ，e 2 】+ i x ，e l ，【e 2 ，e l ，e a ，3 j m ， 口b = a 己= 0 ，q ，1 = 彳歹2 = = 8 嚣= 0 ，3 j m 一1 ； 二l = 蠢j + 口：2 ，4 jsm ；n 乞= a k - ，1 1 ，4 七 j m s e c o n d l y i m p o s i n gt h e j a e o b ii d e n t i t i e sf o r i x ，e l ，e 2 e 2 白) ，35j m ，w eg e t 口易= 白= 0 ，手1 = 够才2 = = 噶= 0 ，3 j m 一1 ； - 1 l = 毛一8 2 ，4sjsm ；n 岛= a q k - 一1 1 ，4 k 1 i tf o l l o w st h a tai sa l lu n s o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a 1 4 4 s t r u c t u r e so fac l a s so fs o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a s 4 s t r u c t u r e so fac l a s so fs o l v a b l e3 - l i ea l g e b r a s i nt h i ss e c t i o nw cs t u d y3 - l i ea l g e b r a sw i t ham a x i m a lh y p o - n i l p o t e n ti d e a ln w e c o n s t r u c ta l ls u c hm i x a b l e3 l i ea l g e b r a sa n dg i v et h e mas i m p l ec l a s s i f i c a t i o n t h e o r e m4 1l e tab ea d ( 仇+ 1 ) 一d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r aw i t ham a x i m a l h y p o - n i l p o t e n ti d e a ln t h e na i ss o l v a b l e ，a n du pt oi s o m o r p h i s m s ，o n ca n do n l yo n e o ft h ef o l l o w i n gp o s s i b i l i t i c sf o rt h es t r u c t u r a lm a t r i xm o fah o l d s a 矗= 0000 00000 00 1000000 00010 0000 00 6 3 0 10000 0 0 b 4b 3 00 000 0 0 b m 一4b 。一5b m 一6 0 100 00 b 。一3 b 。一46 ，。一5 b 3 010 00 b m - 2b 。一3b m 一4 6 4b 3 0 1 00000 0000 000 000000 0 0 c 3 00000 0 00 c 4c 3 00 000 00 c r n 一4c r n 一5c r 一6