（应用数学专业论文）离散hopf丛上的联络.pdf

摘要 1 我们利用m a n t o n 提出的方法讨论离散纤维丛s i s 一妒上的联络，我们在离散 全空间中取一些点，规范群是作用在这些点上的一个离散群，纤维是这个群的轨道， 底空间是丛与群作用的商空间，这样，底空间中的一个点对应于丛的一个纤维。如 果纤维丛是扭曲的，规范场是拓扑非平凡的。一个基奉事实是，h o p f ) a s l 5 _ s 8 是 扭曲的，也就是说，h 叩f 丛上没有平联络。 关键词：离散纤维丛，联络，截面，规范群，平联络，格点规范场 2 a b s t r a c t w em a k eu s eo ft h en e wa p p r o a d lp r o p o s e db ym a n t o n 1 t od i s c u s st h ec o n - n e c t i o n so nd i s c r e t ef i b r eb u n d l e s l 5 - s s t h ed e wa p p r o a c ht ol a t t i c eg a u g ef i e l d s c o n s i s t si nt a k i n gad i s c r e t et o t a ls p a c ef o rt h eb u n d l e ，h a v i n gaf i n i t en u m b e ro f p o i n t s ，t h eg a u g eg r o u pi sad i s c r e t eg r o u pa c t i n go nt h e s ep o i n t s t h ef i b r e sa r et h e o r b i t so ft h i sg r o u p ，a n dt i l eb a s es p a c ei st h eq u o t i e n to ft h eb u n d l eb yt h eg r o u p a c t i o n t h e r ei st h e r e f o r eo n ep o i n ti l lt h eb a s es p a c ef o re a c hf i b r ei nt h eb u n d l e i f t h eb u n d l ei st w i s t e d ，t h eg a u g ef i e l d sa r et o p o l o g i c a l l yn o n t r i v i a la u t o m a t i c a l l y a f u n d a , i l e n t a lc o n s e q u e n c eo ft h ef a c tt h a tt h eh o p fb u n d l e ss 1 5 _ s 8 a r et w i s t e di s t h a tt h e r ei sn of l a tc o n n e c t i o no nt h e m k e yw o r d s ：d i s c r e t ef i b r eb u n d l e ，c o n n e c t i o n ，h o p fb , m d l e ，s e c t i o n ，g a u g eg r o u p ，f l a t c o n n e c t i o n ，l a t t i c eg a u g ef i e l d s 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 专罗覆 日期：口矿年j 月训 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并i 锄国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利日的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：专g ：l i l t 期：嗡降，月垮日 第一章引言 离散系统在场沦中起着非常重要的作用，它们被广泛的应用于1 i h 的分支中。 处理规范场理论的一个成功方式是格点离散理论，格点理论在数学和物理领域开辟 了新的研究方向。连续系统被离散后，连续系统的很多重要特性可能丢失和离散系 统的行为很难被控制，通过假定格点邻域之间的联系，格点离散空问的一些拓扑结 构可以被保持。格点意味着离散转换群生成的，p 中无限多个点，我们比较感必趣 的是紧的、球面空间和利用旋转群的离散子群生成的球面空间的有限个点。 在这篇文章中，我们引进一种新的方法考虑格点规范场，l f i s c h e rf 2 1 在4 维格点 场论中提出了拓扑荷的定义，拓扑荷的定义后来被w o i t 3 1 ，p h i l i p s a l l ( 1s t o n e 4 1 ，t e p e r 5 1 和其它作者发展和补充。l i i s c h e r 2 1 的定义彳i 能解决一些例外结构和它是代数的，相 当复杂。我们将要看到，我们的方法与l i i s c h e r 2 1 的有一些芡同之处。主丛上的联络 作为拓扑非平凡规范场一直是人们讨论的热点| 6 1 ，它的底空问表示空问或时空，它 的每一个纤维是一个规范群，丛的结构1 i 是很自然，但它包含对称性。我们离散整 个空间和在这个空间中取一些点。规范群是作用在这些点上的一个离散群，纤维是 这个群的轨道，底空间是丛与群作用的商空间。这样，底空间的一个点对应于丛上 的一个纤维。我们假定丛上有连接邻近点的线，并且在规范群的作用下，线与线子 间存在一一对应。我们通过标准的黎曼度量定义丛上的点是邻近的，纤维上的一对 点是邻近的当且仅当这两个纤维是邻近的，并且相应底空间的点是相邻的。底空间 是一般方式的格点，但是它的连线是被对应的丛的结构决定的。 在光滑丛上，联络足底空间上点的微小移动提升到纤维空间相应纤维上的微小 移动。在离散丛上，联络被定义为：底空间两点的连接被提升到对应纤维上两点的 连接。在这篇文章中，我们集中讨论两种特殊的离散h o p f 丛f 6 ，7 1 ：s t _ s 4 和s 1 5 _ s 8 ，一个基本的事实是h o p f ) a 是扭曲的，也就是说，h o p f ) k 没有，f 联络。离散版本 的h o p f 丛也具有这种特性。它们是拓扑非半凡的，也就是：s 7 s 4xs 3 、s 1 5 s 8 s 7 ，即s 7 _ s 1 5 _ s 8 是扭的。 这篇文章是如下安排的：为了必要的准备，我们在第：部分主要讲述h o p f 丛、 四元数和八元数等一些背景知识。第三部分描述离散s u ( 2 ) h o p f 丛上的联络。第 四部分讨论s 1 5 _ s 8 丛上的联络。 2 2 1 流形 第二章准备知识 我们现在将叙述一般微分流形f 8 】的定义：设m 是一个分离拓扑空间，它由一个 有限或可数的开集族f 乱ni a j ( i 是指标集) 所覆盖，各 l l 。与n 维欧氏空间的开 集d 。同胚，用：d 。，一u ，表示这个同胍。这时，若1 b 的点p 与d 。的点 z = ( x t ，x 2 ，z n ) 相对应，则称( z 1 ，x 2 z ”) 为点p 在坐标邻域札。内的局 部坐标。对于任意的u 。u “以及t 。n 札，仍内任意点p ， 1 1 。内的局部坐标x 1 ，x 2 ，z “) 与 t l 口内的局部坐标( y l ，剪2 ：y n ) 存在一一对应，小论把y i 看作的函数，还是 把看作扩的函数假设都是c k 级的。这时，分离拓扑空问m 叫做萨级n 维微分 流形。由于映射在开集u ，。中定义了坐标。因此，我们把每个开集 i t 。称为流形的坐标 邻域，j f k 中的坐标( z 1 ，z 2 ，x n ) 称为。的对应点p 的局部坐标。粗略地说，流 形在每点的邻域和欧氏空间的一个开集同胚，因此每点可以引进局部坐标系，流形 正是一块一块“欧氏空间”粘结起来的结果。 2 2 向量丛 向量a k 9 i e 由底流形m 及纤维空间f 组成，底流形m 为i i i 维流形，谢纤维空 间f 为k 维向量空间，在向量丛e 与底流形m 间存在投射变换丌：e _ m ，投射变 换丌为连续满映射，其逆变换在底流形m 上每点z 处得纤维b ，丌_ 1 ：z _ b ，纤 维足为k 维向量空间，称为通过x 点的纤维，它是与底流形的切空间无关的内部空 间，使矢丛e 结构与切丛丁j f ) 结构无关。流形m 的所有点上纤维都相互同构，都与 标准纤维f = r x 同构，b ! f = = ( 1 ，七) r 七 ，矢丛e = t j 。，b 是 底流形m 上所有点上纤维的并集。矢丛e 局部邻域为直积流形。当底流形m 用若下 开集 u n ) 覆盖，开集t l n 又称为坐标邻域，存在局部坐标系z = ( z 1 x ”) u n 对 每一开集t l 。，存在微分同胚映射， 奠：勰蒿纛如， t t _ ( 7 r ( t t ) ，妒口( 乱) ) = ( z ，。( z ) ) 其中妒。是从纤维b 到典型纤维f = r 七的同胚映射，同胚映射砂。相当于取丛e 的 局部坐标系，表明丛e 局域半庸，局域为u 。与纤维f 的拓扑积，但是，丛e 牾体 般f i 能表达为半庸拓扑积，而是存在扭曲，即丛的整体结构还依赖于在交叠区纤维 间如何光滑粘结。即当m 的两个开集仳。与u ；j f - 有交叠区：t l 。n 嘞d ，这时相对开 集，“口存在另一种微分同胚映射： ：7 r - 1 ( 札口) 一札口xf u _ ( 丌( u ) ，妒一( u ) ) = ( z ，岛( z ) ) 对交叠区中点x u n n u 2 ，存在连续可逆映射 ，。“百1 ：( “qnu b ) f _ ( “nn t 正卢) f 3 对于每一同定点x 乱on u p ，上述映射为纤维空间f 的变换，用g q 卢( z ) 表示此变 换。，( z ) ( ? l ( 置，i ) 称其为向量丛f 的转换函数，它使在u 。上的乘积结构与u ，上 乘积结构相关。显然丛e 的转换函数应满足下列相容条件： 玩n ( z ) = 1 ，x t z q p ( z ) = 9 矗( z ) ，x u n n u p g o z ( x ) 铷7 ( z ) 巩。( z ) = 1 ：x ? 口n ? p n t t l 满足上述条件的丛e 上转换函数集合形成群g g l ( k ，r ) ，称为丛e 的结构群。向 量丛e 局域为乘积流形，可用 u 。，) 标志其局域坐标系，使丛上每点u 有局域坐 标 = ( z ，( z ) ) ，r r ( u ) = z u o ，f 。i 幻量丛e 整体一般刁i 是乘积流形，其整体拓 扑结构山结构群g = 口( z ) 决定。矢丛截面是定义在底流形m 上而取值在丛的 纤维上的矢值函数，可以如下定义： 定义l 矢丛e ( ，e7 r ：g ) 的截面s 是从底流形m 到丛e 的1 1 对应连续入射s ： s ：m _ 7 r x _ s ( z ) 并要求此1 1 对应的入射是保纤维的入射，即满足要求：t ros = i d m 。当在点p 的邻 域u 取局部坐标系，截面s 可表为 s ：，“_ 7 r - 1 ( ，“) = u f x 一4 x ) = ( z ，f 1 ( z ) ，七( z ) ) 即在底流形m 上每点x ，对应于纤维尼上一个向量( z ) ，矢丛截而相当于m 上k 维l 句量值函数。 l 幻量丛局域为平庸拓扑积，而丛的整体拓扑性质取决于转换函数，其集合称为 丛的结构群g ，结构群g 决定了丛的整体结构。 4 2 3联络 i 潞 1 0 ，1 1 】概念的产生是微分几何发展史中的一件大事。仿射联络简称联络， 主丛上的一种微分几何结构。所谓仿射联络应该是以仿射变换群为结构群的主丛上 的联络，在以一般线形群为结构群的主丛上的联络称为线形联络，应用比较广泛的 是线形联络。线形联络是指：设m 是n 维光滑流形，r ( 丁m ) 表示切丛t m 的全体光滑 截面组成的空间，流形m 上的一个仿射联络是指映射： v ：r ( t m ) xf ( t m ) _ f ( t m ) ( 7 ) 它对任意两个光滑切i 幻量场x ，y ，指定了一个光滑的切向量场v xy ，满足以下条 件： 1 v x + y 么= v x 么+ v y 么 2 v x ( y + z ) = v xy + v x z 3 v f xy = ，v xy 4 v x ( f y ) = x ( y ) y + 厂v xy 其中，c o o ( m ) ，x ，z r ( t m ) 。注意：v xy 关于自变量x 是沪( m ) 线形的， 因此，对于光滑的切i 向量场yp a 3 a x p 昂m ，能够定义v 坼y 为昂m 中一个确 定的元素。 联络是加在微分流形m 上，使得对于m 上的光滑的i 幻量场能够进行微分的一 种结构。通常，把v y 称为切向量场y 关于点p 处的切向量炜的协变微商，也称 为j 匕度导数。在仿紧光滑流形上，联络总是存在的。若在光滑流形m 上指定了一个 联络v ，则称( m ，v ) 为仿射联络空间。没( m ，v ) 是一个仿射联络空间，在局部坐标 系( x ) 下，若 v 寺刍= r 易杀 ( 8 ) v 寿面2 聪万 ( 8 ) 则称吆为联络v 在该坐标系下的系数。在局部坐标变换下，联络系数r 0 彳i 遵循张 量的坐标变换规律，即联络不是张量。它的坐标变换规律为：设( ky ) 是另一个局 部坐标系，nv d 。记 则在uny 上有 v 寺w 0 - - - - - - - - 7 = 焉导v 寺w 。r 易万 ( 1 0 ) 联络可以用来定义微分流形上的切向量场沿一条曲线的半行性；反过来，利用切向 量沿曲线平行移动的概念可以给出协变微商的几何意义。在仿射联络空间上对任意 圹一，a a ，歹z a泸歹一a ， 矿一，a a 坚坚w r 肿 = 七一” 5 的张量场也能定义它们的协变微商。微分流形m 上的仿射联络的概念可以直接推 广为微分流形m 上任意一个向量丛上的联络。 2 4 四元数、八元数 四元数相当于实4 维代数，且其基底 满足如下关系： 任意四元数u h 可表示为 其匕轭豆可表示为 u 的模定义为 e le j = 一6 巧+ 嵇静e k ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 而u 的逆元可表示为毪一1 = 南，四冗数代数h 为可除代数，四元数的基底常用 l ? i ，歹，南) 来 表示。 八元数x 0 可用一对四元数表示z = ( a ，且要求其乘法规则如下： ( a ，6 ) ( c ，d ) = ( a c d b ，d a + 6 己) ( 1 6 ) 如此定义的乘法不可交换，且小可结合。可如下定义八元数z = ( a ，6 ) 的共轭元素圣= ( a ，一b ) ，因而定义的实部及虚部如下： 11 r e ( x ) = 专( z + 孟) = 毒( o + a ) r ( 1 7 ) 二i r a ：丢( 茁一面) ：( 丢( n a ) ，的r 7 ( 1 8 ) 可在八元数问定义内积x = ( a ，6 ) ，y = ( c ，d ) ) ： ( 砌) - - a e ( 啪) = 丢( 。云+ 面c + 动+ 蕊) 兄 ( 1 9 ) r 珏 乞 珏 3o = 珏 勺 “ 3， 一 0 u | j 一 户 o 3o | j 一“ = 一“ 一一 6 于是x 的模忪l l 定义为 1 f i * l l = ( z ，z ) = 言( 仃而+ 而n + b b + b b ) r 当用 1 ，i ，j ，南) 表示四元数的基底，则八元数的基底可用e o = 素 i 表示， e l = ( i ，0 ) ：c 2 = ( j ，o ) ，c 3 = ( k ，0 ) e 4 = ( 0 ，1 ) ，e 5 = ( 0 ，i ) ：c 6 = ( 0 ，歹) ，e 7 = ( 0 ，k ) 这7 个基底满足 e pe p = - - 1 ，弓= 一e p e pe q = 一e qe p ，p q 它们的乘法表可用下式体现： e 1e 22e 3 ，e le 42e 5 ，e 1e 62 一e 7 ( 2 0 ) ( 1 ，0 ) 及5 1 外7 个元 ( 2 1 ) ( 2 2 ) e 2e 4 = e 6 ，e 2e 5 = e 7 ，e 3 e 4 = e 7 ，e 3e 5 = 一e 6( 2 3 ) 其他e pe q 可由上述各式循环置换导出，即 e p e 口= e r ，e 口e r = e p ：e rc p = e 叮 ( 2 4 ) 下面将基底的乘法表列在下面以供参考：( 表1 ) 2 5h o p f 丛 下面四个纤维丛 s 1 _ r 尸1 = s 1实h o p f ) h 铲_ p 1 = s 2复h o p f 3 h s 7 _ 日p 1 = s 4 四元数h o p f 丛 s 1 5 _ d 尸1 = s 8 八元数h o p f a k 它们的纤维，s 1 ，s 3 ，s 7 分别为单位k ( r ，c ，h ，o ) 元数，而总空间s 1 ，s 3 ，s 7 s 1 5 则 分别为两维k 球： 吲2 + | 6 1 2 = l ，a ，b k ( 2 5 ) 而底空间为相应投射空间kj p l 这些k 球s 1 ，s 3 s 7 ，s 1 5 的纤维化相应于投射映射 丌：s 2 p 一1 _ s p ，( p = 2 七，k = 0 ，1 ，2 ，3 )( 2 6 ) 7 表1 ：c l a s s i c a lt a b l e - _ l _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ i i i i i i i i i _ _ _ _ _ i _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ l i - - e le 2e 3 e 4e 5e 6e 7 e l 一1 e 3一e 2e 5- - e 4- - e 7e 6 e 2- - e 3 1 仑1 e 6e 7- - e 4- - e 5 e 3e 2- - e i - 1 e 7- - e 6e 5- - e 4 e 4- - e 5- - e 6- - e 7 1 e le 2e 3 e 5e 4- - e 7e 6 - - e i 一1 - e 3e 2 r ：6p 7p 4一r ：5一p 2 e 3 - 1 一e 1 e 7- - e 6e 5e 4- - e 3 一e 2e 1 - 1 称为h o 茚映射7 1 2 p 一1 ( s p ) 含有秩l 自由群z ，相应拓扑小变量称h o p f d 4 变量单位k 元 数 g ：q q = 1 ) 形成群，它们右作用于一对k 元数 仍然满足 ( 吼，q 2 ) 三( q l g ，q 2 9 ) q lq l + q 2q 2 = 1 k 无数q = q 1 町1 在每一个纤维上是彳i 变的，因为( g lq ) ( q 2q ) 一= q 1 町1 。 第三章离散s u ( 2 ) h o p f 丛上的联络 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 在v u ( 2 ) h o p f 丛中，全空间是，底空间是酽，规范群是s u ( 2 ) 。我们在s 7 上选取2 4 0 个点，这2 4 0 个点是r 8 中g o s s e t 半正规多面体的顶点 1 2 ，1 3 1 ，离散规范群 是s u ( 2 ) 的非交换子群h ，这个子群含有2 4 个元素。这2 4 个点是离散( 1 ) h o p f 丛中 形成全空间的点。h 通过网元数乘法作用在这2 4 0 个点上，形成1 0 个轨道，每个轨道 上有2 4 个点，底空间是s 4 的1 0 点离散空间。 s 7 上的2 4 0 个点我们用单位笛卡儿l q 量 e i ：i = 1 ，2 ，8 ，来表示，它们 是： ( a ) ：4 - e l ，士e 2 ，土e 3 ，士e 4 ，；( 士e l 士e 24 - e 3 士e 4 ) 8 ( b ) ：士e 5 ，士e 6 ，4 - e 7 ，- 4 - e 8 ，；( 土e 5 士e 6 士e 7 士e 8 ) ( c ) ：；( 土e n 土e b - 4 - e c 土e d ) ( e 1 ) ：( f ，b ) = ( 1 ，2 ) 或( 3 ，4 ) 且( c ，d ) = ( 5 ，6 ) 或( 7 ，8 ) ( c 2 ) ：( n ，b ) = ( 1 ，3 ) 或( 2 ，4 ) 且( c ，d ) = ( 5 ，7 ) 或( 6 ，8 ) ( c 3 ) ：( n ，6 ) = ( 1 ，4 ) 或( 2 ，3 ) 且( c ，d ) = ( 5 ，8 ) 或( 6 ，7 ) 这里a 类有2 4 个点，i ) 类有2 4 个点，( c 1 ) ( c 2 ) ( c 3 ) 中每类有6 4 个点。萨中的一个点a me m 等同于一对四元数( q 1 ，口2 ) ，其中q l = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k ? q 2 = a 5 + a 6 i + a 7 j + n 8 七 。如果q = ( q l ，眈) 在单位圆s 7 上，应满足 q 1 吼+ 9 2 昵= 1( 2 9 ) 我们用对四元数来表示上述2 4 0 个点，s u ( 2 ) 的子群h = f 士1 ，= k i ，士f 土七：( 士14 - i 土，j 土 ) 作用在s 7 的2 4 0 个点上仍是这2 4 0 个点，h 是一个整数四元数群f 1 4 1 ，h 作 用没有彳动点，所以s 7 上有1 0 个轨道，每个轨道有2 4 个点。每一轨道是s u ( 2 ) 9 , 上 个纤维。纤维4 变量q = q 1 町1 有1 0 个值，它们是0 0 ，士1 ，士t 士歹，士七，0 ，它们作 为上的点，形成h o p f ) , h 的底空间，它们是席中多面体的顶点，每一个点与其它的 八个点相邻，只有相对的点不相邻。对立对是( o o ，o ) ，( 1 ，一1 ) ，( i ，一i ) ，( j ，一歹) ( k ，一k ) 。我们将把纤维 士l ，士i ，士元士七】- 作为赤道纤维。 | 个纤维每个纤维取一点的例子如下： ( 1 ，o ) 。，互1 ( 1 + i ，l + i ) l ，互1 ( 一l i ，l + i ) 一1 ，互1 ( 一1 + i ，1 + t ) ，丢( 1 一i ，1 + i ) 一t 111 11 ( o ，1 ) o ，万( 歹一k ，l + i ) j j 万1 ( - j + k ，l + i ) 一j ，万1u + k ，1 + i ) ，专( - j k ，l + ) 一知 ( 3 0 ) 其中，最后的下标表示纤维小变量q 。 丛上每个点与5 6 个最邻近的点有连接，例如与( 1 ，0 ) o o 最邻近的点是； 三( 1 + i = k j ：kk 0 ) 壶( 1 土i ，土1 士i ) ，互1 ( 1 土i ，= k jt ：k ) 壶( 1 士歹，4 - 14 - j ) ，互1 ( 1 士歹，士i 土后) 丢( 1 士皇，士1 士七) ，三( 1 士南，i i + j ) ( 3 1 ) 9 5 6 个点中前8 个点在纤维0 0 上，其余的点在赤道纤维上，每个纤维上有6 个点，没有点 在纤维0 上。在同一个纤维上每个点有8 个邻近的点，没有点在对立的纤维上，在8 个 相连的纤维上，每个纤维上有6 个邻近的点。 联络就是把底空间j ：相邻的点的一个连接提升到对应丛上的点的连接。在离 散s u ( 2 ) h o p f , t x 中，底空问中有4 0 条线连接相邻的点，在每条线上有6 种选择，所以 总共有6 4 0 个联络。 下面我们来论h l h o p f 从l ：没有整体截而，即没有平联络。截面就足一些相邻 点的集合，且每个纤维上最多只有一个点。我们考虑通过点( o ，1 ) n 的截面和点通 过纤维上的点的截面。这里有两种情况：第一种情况，截面通过点( 口，0 ) 。，其 中q = 士1 ，士 ，土j ，士后。( q ，o ) o 。和( o ，1 ) o 共同邻近的点是；( q ( 1 士r ) ，1 + r ) 这1 2 个点， 其中r = 瓦士歹，土后。这些点在纤维q = q ( 1 土r ) ( 1 + r ) _ 1 上，在纤维q 上有6 个 共同的邻近点，+ q i ，+ q j ，土q k 各有一个点，在纤维一，7 上没有点，因此截面彳i 能延 拓到所有1 0 个纤维上。第二种情况：截而通过；( a 1 + q 2i + n 3j + q 4k ，o ) o o ，其 中o e l ，0 1 2 ，q 3 ，o t 4 是士l 。可以证明互1 ( q l + q 2i + o t 3j + o t 4k ，0 ) o o 与( 0 1 ) o 也有1 2 个，乓 同的点在赤道纤维上，但是在每个纤维q l ，“2i ，n 3 j ，n 4k 上，每个纤维有3 个共同的 点，例如，在纤维q 】上3 个共同的点是： 111 a ( a l + n 2 i ，1 + q la 2i ) ，a 。( a l + a 3 j ：1 + q 1a 3 j ) ，三( q 1 + o e 4k ，1 + o 1o l 4k ) ( 3 2 ) 厶厶 厶 再次证明截面不能延伸到所有的纤维上，因此没有整体截面。 第四章离散h o p f 丛s 1 5 _ s 8 上的联络 离散h o p f 丛s 1 5 _ s 8 与s u ( 2 ) h o p f 丛有许多相似之处。伞空间是s 1 5 ，底空间 是s 8 ，我们在s 7 中选择一个规范群h ，使得h 作用在s 1 5 是不变的。为了离散s 1 5 ，我 们在s 1 5 上选取4 3 2 0 个点，它们是r 1 6 中半正规多面体的顶点。离散规范群是2 4 0 个点 的非交换群，i i 薹_ 2 4 0 个点正是离散s u ( 2 ) h o p f 从卜全空间s 7 上选取的点，这个群作用 在s 1 5 中4 3 2 0 个点上，形成1 8 个轨道，底空间是s 8 的1 8 点离散空间。 我们用单位笛卡儿l 旬量 e i ，i = 1 1 6 来表示s 1 5 上的4 3 2 0 个点，它们是： ( a ) 士c i ，i = 1 ，8 ； ( 士e 1 土e 2 土e 3 土e 4 ) ；i ( 士e 5 士e 6 士e 7 士e 8 ) ( 土e 。4 - e bq - - c c 土e d ) ( a 1 ) ( a ，b ) = ( 1 ，2 ) 或( 3 ，4 ) 且c ，d ) = ( 5 ，6 ) 或( 7 ：8 ) ( a 2 ) ( a ，b ) = ( 1 ，3 ) 或( 2 ，4 ) 且( c ，d ) = ( 5 ，7 ) 或( 6 ，8 ) ( a 3 ) ( a ，b ) = ( 1 ，4 ) 或( 2 ，3 ) n ( c ，d ) = ( 5 ，8 ) 或( 6 ，7 ) ( b ) 士e i ，i = 9 ，1 6 ；( 士e 94 - e l o 土e l l 士e 1 2 ) ； ( 士e 1 34 - e 1 4 土e 1 54 - e 1 6 ) ；( 士e n 士e b 4 - e 。4 - e d ) ( b 1 ) ( a ，b ) = ( 9 ，1 0 ) 或( 1 1 ，1 2 ) n ( c ，d ) = ( 1 3 ，1 4 ) 或 1 5 ，1 6 ) ( 幻) ( a ，b ) = ( 9 ，1 1 ) 或( 1 0 ，1 2 ) 且( c ，d ) = ( 1 3 ，1 5 ) 或( 1 4 ，1 6 ) ( 6 3 ) ( a ，b ) = ( 9 ，1 2 ) 或( 1 0 ，1 1 ) 且( c ，d ) = ( 1 3 ，1 6 ) 或( 1 4 ，1 5 ) ( c ) 壶( 土e 84 - e b 士e c 士e d 土c e4 - c f4 - c 94 - e h ) ( 后面4 个正负号由前面4 个正负号 决定1 ( ( ：1 ) ( a ，b ，c ，d ) = ( 1 ，2 ，3 ，4 ) 或( 5 ，6 ，7 ：8 ) 且( a ，b ，c ，d ) = ( 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ) 或 ( 1 3 1 4 1 5 1 6 ) ( c 2 ) ( a ，b c ，d ) = ( 1 ，2 ，5 ，6 ) 或( 3 ，4 ，7 8 ) 且( a ，b ，c ，d ) = ( 9 ，1 0 ，1 3 ，1 4 ) 或 ( 1 1 ：1 2 ：1 5 ：1 6 ) ( c 3 ) ( a ，b ，c ，d ) = ( 1 ，2 ，7 ，8 )或( 3 ，4 ，5 ，6 ) 且 ( a ，b ，c ，d ) = ( 9 ，1 0 ，1 1 5 ，1 6 ) 或 ( 1 1 1 2 1 3 1 4 ) ( c 4 ) ( a ，b ，c ，d ) = ( 1 ，3 ，5 ，7 ) 或( 2 ，4 ，6 8 ) 且( a ，b ，c ，d ) = ( 9 ，1 1 ：1 3 1 5 ) 或 ( 1 0 ：1 2 ：1 4 ：1 6 ) ( c 5 ) ( f z ，b ，c ，d ) = ( 1 ，3 ，6 ，8 ) 或( 2 ，4 ，5 ：7 ) 且( 6 ，c ，d ) = ( 9 ，1 1 ，1 4 ，1 6 ) 或 ( 1 0 ? 1 2 1 3 1 5 ) ( c 6 ) ( a ，b ，c ，d ) = ( 1 ，4 ，5 ，8 ) 或( 2 ，3 ，6 ：7 ) 且( a ，b ，c ，d ) = ( 9 ，1 2 ，1 3 ，1 6 ) 或 ( 1 0 ，1 1 1 4 1 5 ) ( c 7 ) ( a ，b ，c ，回= ( 1 4 ，6 ，7 ) 或( 2 ，3 ，5 8 ) 且( a ，b ，c ，回= ( 9 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ) 或 ( 1 0 ，1 1 ：1 3 ：1 6 ) ( d ) ；( 土e 口土e b 士e 。士e d )( 后面2 个正负号由前面2 个正负号决定) ( a ，b ) = ( 1 ，5 ) 或( 2 ，6 ) 或( 3 ，7 ) 或( 4 ，8 ) 且 ( c ，d ) = ( 9 ，1 3 ) 或( 1 0 ，1 4 ) 或( 1 1 ，1 5 ) 或( 1 2 ，1 6 ) 其巾( a ) 有2 4 0 个点，( b ) 类有2 4 0 个点，( c 1 ) ，( 亿) ，( 哟) ，( q ) ，( r 5 ) ，( ) ，( q ) 每类有5 1 2 + 点，( d ) 类有5 1 2 个点，r 1 6 中的一个点ea me m 能表示为一对八元数( 口l ，9 2 ) ，其中q 1 = 1 l a me m ，口2 = n ，ne m ，e l ：e 2 ，e 8 是八元数的基底。如果四元数的基底 用 1 ，i ，j ，后，来表示，则八元数的基底可以用e l = ( 1 ，o ) ，e 2 = ( i ，o ) ，e 3 = ( 歹，o ) ，e 4 = ( k ，0 ) ，e 5 = ( 0 ，1 ) ，e 6 = ( 0 i ) ，e 7 = ( 0 歹) ，e 8 = ( 0 ，七) 来表示。全空间s 1 5 被认为是一对 有序八元数对( 9 1 q 2 ) ，日满足限制条件q l 吼+ 口2 昵= 1 ，单位八元数集 g ：孵= l 形成一个群，它们右作用在八元数对( f 7 1 ，劬) 上。 ( 口l ：q 2 ) 3 ( 口1q ，q 2 口) ( 3 3 ) 保持限制条件口1 吼+ q 2 磊= 1 ，如果q 1 ，则没有f i 动点，因为( q lq ) ( 口2g ) = 口19 2 ，所以八元数q = 口1 - 1 在每一个纤维上是4 i 变的，且能唯一地表示这个纤 维。q 是包含点。的任意八元数，又因为的一点紧化是妒，所以纤维丛的底空间 是s 8 。底空间s 8 能被两个局部截断s 7 覆盖，这两个s 7 在赤道处重叠，这两个截面 之间的转换映射是s 7 _ s 7 ，这个映射的度是1 。纤维f i 变量q = 叮1 町1 有1 8 个值，它 们是o o ，士q ，土户2 ，：士p 8 ，0 ，它们能被认为是s 8 上的点，它们被认为是r 9 中 多面体的顶点，每一个点与其它1 6 个点相邻，但是f i 能与相对的点相邻。对立的点对 是( o o ，o ) ，( e 1 ，一e 1 ) ，( e 2 ，一e 2 ) ，( e 8 ，一e 8 ) 。我们把纤维f e l ，4 - e 2 ，4 - e 8 看作为赤道纤维。我们在s 7 中选取2 4 0 个点形成一个群h ，使h 中的元素作用在上 的4 3 2 0 个点上，所得的结果仍在这4 3 2 0 个点中。群h 是 11 日= 土e l ，4 - e 2 ，士e 8 ，三( 士c l4 - e 24 - e 34 - e 4 ) 砉( 土e 54 - e 64 - e 7 土e 8 ) )( 3 4 ) 在1 8 个纤维上，每个纤维取一个点的例子是： i ( e l + e 2 + e 5 + e 6 1e 1 + e 2 + e 5 + e 6 ) 。 虿历( e l + e 2 + e 5 + e 6 1e 1 + e 2 + e 5 + e 6 ) e - 丽1 ( - - ( 2 1 - - ( 2 2 - - ( 2 5 - - e 6 , ( 2 1 - - 吻+ 铝+ e 6 ) 咱 而1 ( - - e 1 + e 2 - - e 5 + e 6 ：e 1 + e 2 + e 5 + e 6 ) e 2 j 乃【 + 6 ：e 1 + e 2 + e 丽1 ( e l - - e 2 - - c 5 - - e 6 , e l + e 2 + e 5 + e 6 ) 咱 丽1 ( e a - e 4 + e 7 - i - ( 2 8 , e lq - t ：2 - - k ( 2 5 - - k ( 2 6 ) 。 i 1 万( 一e 3 + e 4 一e 7 一e 8 ，e l + e 2 + e 5 + e 6 ) 一。 砺( 一e 3 + e 4 一e 7 一e 8 e l + e 2 + e 5 + e 6 ) 咱 1 2 而1( e 3 + e 4 一e 7 + e 8 ，e 1 + e 2 + e 5 + e 6 ) 。 虿万( e 3 + e 4 一e 7 + e 8 ，e 1 + e 2 + e 5 + e 6 ) e t 而1 ( - e 3 - e 4 + e 2 + + e 7 - - e 87e l + e 6 ) _ e 4 砺( + e 6 ) _ e 4 而1( 一e l + e 2 + e 5 e 6 ：e l + e 2 + e 5 十e 6 ) e 5 i 万( 一e l + e 5 e 6 ：e l + e 2 + e 5 十e 6 ) e 5 ( e l e 2 一e 5 + e 6 ，e l + e 2 + e 5 + e 6 ) 一e 5 ( 一e 1 一e 2 + e 5 + e 67e l + e 2 + e 5 + e 6 ) ( e 】+ e 2 一e 5 一e 6 ，e 】+ e 2 + e 5 + e 6 ) 一蜘 ( 一c 3 + r j 4 + c 7 + e s ，e 1 + e 2 + e 5 + p 6 ) e ， ( e 3 一e 4 一e 7 一e 8 ，e l + e 2 + e 5 + e 6 ) 一e ， ( 一e 3 一e 4 一e 7 + e 8 ，e l + e 2 + e 5 + e 6 ) e 8 ( c 3 + r j 4 + c 7 一c 8 ，e l + e 2 + e 5 + e 6 ) 一e 8 其中，最后的下标表示纤维4 变量q 。 ( 3 5 ) 纤维丛上的每个点与9 8 4 个最邻近的点相连。例如，与( e 1 ，0 ) o o 最邻近的点是： ；( e 1 土e 2 土e 3 e 4 ，o ) ， ；( e l4 - e 2 士e 5 土e 6 ，o ) ， ；( p 1 土p 2 士c 7 士c 8 ，o ) ， ( e 1 土e 3 土e 54 - e 7 ，o ) ， ；( e 1 土e s4 - e 6 土e s ，o ) ， ；( e 1 士e 44 - e 54 - e s ，o ) ， ；( e 1 士e 4 士e 6 士e 7 ，o ) ， 壶( p l4 - p 2 士c 3 土e 4 ，4 - e 1 土e 2 4 - c 3 4 - c 4 ) ， 索( e 14 - e 2 土e 3 4 - e 4 ，4 - e 5 4 - e 6 4 - e 7 士e s ) ， 办( e 1 土e 2 土e 5 土e 6 ，4 - e l4 - e 2 土e 5 士e 6 ) ， 壶( e l 士e 2 士e 5 4 - e 6 ，土e 3 士e 4 土e 7 4 - e 8 ) ， 壶( e 14 - e 2 士e 7 4 - e s ，4 - e l 士e 2 4 - e 7 士e 8 ) ， 壶( e 1 士e 2 土e 7 4 - e 8 ，士e 34 - e 4 士e 5 4 - e 6 ) ， 上狮上晰上斯上斯土析上斯上斯 1 3 赤( e l 土e 34 - e 5 e 7 ，士e l4 - e 3 土e 5 士e 7 ) ， 焘( e l 士e 3 士e 5 士e 7 ，土e 2 士e 4 土e 6 士e 8 ) ， 去( e l 士e 3 士e 6 土e 8 ，土e l 土e 3 士e 6 土e s ) ， 南( e 1 士e 3 士e 6 土e 8 ，土e 24 - e 4 士e 5 士e 7 ) ， 赤( e 1 土e 4 士e 5 士e 8 ，士e l 士e 4 士e 5 士e s ) ， 去( e 1 士e 4 士e 5 士e 8 ，土e 24 - e 34 - e 6 土e t ) ， 去( e l 士e 4 士e 6 士e 7 ，士e l 士e 4 士e 6 4 - e 7 ) ， 去( e l 士e 4 士e 6 士e 7 ，土e 2 土e 3 士e 5 士e 8 ) ，( 后面4 个正负号由前面4 个决定) ( e l 士e 5 ，士e l 士e 5 ) ， 万1 ( e l 士e 5 ，土e 2 土e 6 ) ， 石1 ( e l 土e 5 ，土e 3 土e 7 ) ， ；( e 14 - e 5 ，士e 4 士e 8 ) 前5 6 个点在纤维上，其余的点位于赤道纤维上，每个赤道纤维上有5 8 个点，没有 点在纤维o 上。在底空间中，除了对立的点外，其余的任意点都是相连的。我们根 据上面联络的定义知，联络就是把底空间上相邻的点的一个连接提升到对应丛上的 点的连接。在底空间中有1 4 4 条线连接邻近的点，在每个线上有5 8 种选择，所以共 有5 8 1 4 4 个联络。平联络的存在意味着在相互邻近的点能构成一个整体截面。 下面我们来说明，纤维丛s 1 5 _ s 8 上没有整体截面，因此也就不存在半联络。 彳i 失一般性，我们考虑通过点( 0 ，e 1 ) n 的截而，因为规范群把通过纤维0 上的其它点与 这些截面联系起来，再考虑通过纤维。上的点的一个截面。这里有两种情况，第一 种：截面可能通过点( g ，0 ) o o ，其中q = 土e 1 ，土p 2 ，土e 8 。( q ，o ) o o 和( o e 1 ) o 共 同邻近的点是这2 2 4 个点；( q ( e l 士r ) ，e 1 + r ) ，其中 r = ( 4 - e 24 - e 5 士e 6 ) 或( 士e 2 - 4 - e 3 士e 4 ) 或( 土e 2 e 7 土e 8 ) 或( 土e 3 e 5 土e t ) 或 ( 士e 3 士e 6 - 4 - e 8 ) 或( 圭e 4 4 - e 5 士e 8 ) 或( 士e 4 4 - e 6 4 - e 7 ) 。且这些点位于纤维 q = q ( e l4 - r ) ( e l + r ) _ 1 上，这里有1 1 2 个共同邻近的点位于纤维q 上，4 - e 2 ，4 - e 3 ， ，土e 8 每个纤维有8 个共同邻近的点，纤维一q 上没有共同邻近的点，因此，截 面不能延拓到所有1 8 个纤维上。第二种情况是：截面可能通过点 ( 土e 。土e b4 - e 。士e d ，o ) 。，其中( 仃，b ，c ，d ) = ( 1 ，2 ，5 ，6 ) 或( 3 ，4 ，7 ，8 ) 或( 1 ，2 3 ：4 ) 或 ( 5 ，6 ，7 ，8 ) 或( 1 ，2 ，7 ，8 ) 或( 3 ，4 ，5 ，6 ) 或( 1 ，3 ，5 ，7 ) 或( 2 ，4 ，6 ，8 ) 或( 1 ，3 ，6 ，8 ) 或( 2 ，4 ，5 ，7 ) 或( 1 ，4