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苏州大学学位论文使用授权声明 f i l ll l ii l l lii llii lli ii 17 3 2 3 13 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定, 即:学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档,允许论文被查阅和借阅,可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名: 导师签名: 刻风华 日 盈刍名 日 圭墨塑墼堑占塑签堑堕堕型全堑堕垡塾塑堡童宣幂篷随线性算子摘要 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数 的保立方幂等的线性算子 中文摘要 设r 是交换主理想整环,2 、3 、5 为r 中的可逆元,n 和m 是正整数且 n m 设,是r 上n 阶对称矩阵模& ( 冗) 到r 上m 阶矩阵模m m ( r ) 上的线 性映射,若x & ( r ) ,满足x 3 = x ,则有1 3 ( x ) = ,( x ) ,则称厂为保立方幂等 的线性映射本文刻画了& ( r ) 到m m ( r ) 上的保立方幂等线性映射的形式 关键词:主理想整环,立方幂等矩阵,线性映射 作者:刘凡华 指导老师:游宏教授 a b s t r a c t l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gt r i p o t e n c ef r o m es y m m e t r i cm a t r i x l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gt r i po t e n c ef r o m es y m m e t r i c m a t r i xm o d u l e so n t om a t r i xm o d u l e so v e rp r i n c i p a li d e a ld o m a i n s a b s t r a c t l e trb eac o m m u t a t i v ep r i n c i p a li d e a ld o m a i nw i t h2 , 3 5a su n i t sa n dl e t 佗a n d mb ep o s i t i v ei n t e g e r sw i t hn m s u p p o s e ,i sal i n e a rm a pf r o m 佗n s y m m e t r i c m a t r i xm o d u l e s & ( r ) t om mm a t r i xm o d u l e sm m ( 冗) o v e rr ,i fxi sat r i p o t e n t m a t r i xi n & ( r ) ,a n d ,3 ( x )= ,( x ) ,t h e nw es a y ,i sal i n e a rt r i p o t e n c ep r e s e r v e r i n & ( r ) h o n g 目录 第一章引言1 第二章预备知识4 第三章引理7 第四章主要定理的证明1 0 参考文献2 1 致谢2 3 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子引言 第一章引言帚一早ji 吾 除环上的矩阵几何为华罗庚在上个世纪四十年代开创的一个研究领域, 它在代数、几何、图论等许多方面都有重要应用线性保持问题是矩阵论 研究中一个十分活跃的领域,它主要是刻画矩阵空间的保不变量( 函数、子 集、关系等) 的线性算子 上世纪5 0 年代至今,人们在线性保持问题领域取得了一系列深刻的研 究成果,并形成成熟的研究方法,如投影几何法,群论法,函数恒等式法 等,矩阵代数上线性保持问题大致分为以下几种类型 ( 1 ) 研究保持矩阵的某种数量特征不变的线性映射例如,研究矩阵代 数上的保行列式的线性映射( ( 1 】) ,保秩的线性映射( f 2 - 3 ) ,保迹的线性映射 等 ( 2 ) 研究保持矩阵的某种性质不变的线性映射例如,研究矩阵代数上 的保幂等性的线性映射( 4 - 1 3 】) ,保幂零性的线i 生映射等 ( 3 ) 研究保持矩阵之间某种关系不变的线性映射例如,研究矩阵代数 上保可换的线性映射,保相似的线性映射等 ( 4 ) 研究保持矩阵代数上的变换不变的线性映射例如,研究矩阵代数 上保转置、伴随变换的线性映射( i x 4 【1 5 ) 等 当线性保持问题的研究日趋完善时,许多学者开始弱化或者改变一些 已知保持问题的条件而得到更一般的保持问题( 1 6 】- 2 0 ) 例如把线性条件 减弱为可加条件( 16 一 17 ) 近年来,把线性条件改为a a b 型条件的非线 性保持问题也引起了许多学者的关注( 【1 9 】一 2 0 ) 保持问题之所以受到如此多学者的关注,是由于它们具有重要的理论 价值和应用价值 ( 1 ) 保持问题的研究成果加深了人们对于线性结构和代数结构之间关系 的理解,同时也为各类代数的进一步研究提供了许多新的技巧和方法 引言主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 ( 2 ) 保持问题可用来考虑矩阵理论中一些基础结论的反问题例如,考虑 复矩阵空间c n n 上如下定义的个线性算子砂( a ) :妒= u + a u 或者矽( a ) = u + a 。u ,其中u 是某一固定的酉矩阵,则显然矽保持特征值,行列式,埃 尔米特矩阵,正规矩阵等性质,那么满足上述某一性质的砂是否一定形如 妒( a ) = u a u 或者妒( a ) = u + a 2 矿? 要回答这样的问题,就必须研究各种各样 的线性保持问题 ( 3 ) 保持问题的解决可以为简化其它数学问题提供有效的工具,例如, 当考虑微分方程组的解时,为了简化问题,我们希望解方程组之前对其进 行某种变换,并希望这一变换能尽量简单,并具有良好的性质,比如保持 方程组的稳定性,这就需要考虑保持问题 研究保持问题的领军人物p s e m r l ,m b r e s a r 和c k l i ,在研究过程中仍 然广泛运用矩阵技巧,得到了一系列成果他们引领国内外学者投入线性 保持问题的研究中张显,曹重光及其学生等研究了保持问题,并取得了 一些深刻的结果 在线性保持问题中,最基础的问题是研究保幂等映射,保秩映射,保幂 零( 平方零) 映射这是由于很多其它的保持问题都可以划归为或借助于这 些保持映射的结果解决关于矩阵代数保幂等的线性算子的研究引起了许 多学者的兴趣,如1 9 9 4 年,孙克在【9 】中给出了特征不为2 、3 、5 的域上,对 称矩阵保立方幂等的线性算子的结构2 0 0 3 年,佟鑫和曹重光在【4 】中刻画 了特征不为2 、3 、5 的域上,n 阶对称矩阵空间到m 阶全矩阵空间的保幂 等的线性算子2 0 0 4 年,曹重光和陈涛在 1 0 】中给出了特征不为2 、3 的域 上,n 阶全矩阵空间到m 阶全矩阵空间的保立方幂等的线性映射的形式 然而,关于环上对称矩阵模的研究结果还不多见 设r 为交换主理想整环,2 、3 、5 为r 中可逆元,n 和m 是正整数且 n m 令 ( 冗) 表示r 上m 阶矩阵所成的模,a ( 冗) 中所有可逆矩阵所 成的群记为g l m ( r ) ,& ( r ) 表示r 上n 阶对称矩阵所成的模设a m m ( r ) , 2 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子引言 若a 3 = a ,则称a 为立方幂等矩阵( r ) 中所有立方幂等矩阵所构成的 集合用矗( 冗) 表示,即已( r ) = aa & ( r ) ,a 3 = a ) e , j 表示( i ,j ) 位置为 1 ,其余位置为0 的佗阶矩阵,表示岛+ 啄,用k 表示n 阶单位矩阵, aob 表示矩阵a 和b 的张量积如果a ,b m m ( 冗) ,且a b = b a = 0 ,则 称a 与b 正交【1 , n 】记集合 1 ,2 ,礼) & ( r ) 到( r ) 保立方幂等的线性 映射的全体记为f 本文给出了( r ) 到( r ) 上的保立方幂等线性映射的刻画,即 定理厂为线性映射,f 当且仅当,有如下形式之一 ( i ) ,= 0 , ( i i ) y ( x ) = p xo 觇。夕( 厶,一l ) o0 。 p ,v x & ( r ) ,p g l m ( 冗) , 其中8 = m n ( p + g ) 3 预备知识 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 第二章预备知识 1 帚一早 似畲大u 识 这一节给出本文所涉及的一些基本概念与事实 2 1 环 定义2 1 设r 是一个非空集合,如果在r 上定义了两个代数运算 ”+ ”( 称为加法) 和”( 称为乘法) ,并且满足 ( 1 ) r 关于加法构成一个交换群, ( 2 ) 乘法结合律成立,即对于任意的o ,b ,c r ,有( a 6 ) c = 口( 6 c ) , ( 3 ) 乘法对加法的两个分配律成立,即对任意的n ,b ,c r ,有 a ( b + c ) = a b + a c , ( b + c ) a = b a + c a , 则称r 关于运算+ ,构成一个环,记为( r ;+ ,) ,或简记为r 环冗中若还成立 ( 4 ) 乘法交换律,即对任意的a ,b r ,有a 6 = 6 n , 则称r 为交换环 如果环r 中存在元素e ,使对任意的a r ,有a e :e o :口, 则称r 是一个有单位元的环,并称e 为r 的单位元 2 2 整环 定义2 2 一个无零因子的,有单位元e 0 的交换环r 称为整环 2 3 理想 定义2 3 设( r ;+ ,) 是一个环,( a ,+ ) 是( r ,+ ) 的一个加子群, ( 1 ) 若v r r ,a a ,有r a a ,则称a 是r 的左理想; ( 2 ) 若v rer ,a a ,有a r a ,则称a 是r 的右理想; ( 3 ) 若a 既是r 的左理想,又是r 的右理想,则称a 是r 的( 双侧) 理想, 记作aqr ,若aqr ,且a r ,则称a 是r 的真理想 2 4 主理想 4 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 预备知识 定义2 4 设r 是一个环,历t r ,m = a tt aqr ,i j ) 是r 中包含t 的理想族,则称n 列a t 是由t 所生成的理想,记作( t ) ,称r 的元 素是( t ) 的生成元显然,( t ) 是r 中包含t 的最小理想由一个元生成 的理想( a ) 称为主理想 2 5 主理想整环 定义2 5 若整环r 的每一个理想都是主理想,则称r 是主理想整环 2 6 模 定义2 6 设r 是一个有单位元的环,m 是一个交换群,如果给定一 个映射( 称为r 在m 上的作用) rxm m ( a ,z ) - - - - - - - - 4a x , 满足下述条件 ( 1 ) a ( x + y ) = a x + a y ,v a r ,x ,y m ; ( 2 ) ( o + b ) z = a x + b x ,v a ,b r ,z m ; ( 3 ) ( a b ) x = n ( 6 z ) ,v a ,b r ,z f ; ( 4 ) i x = x ,v x m , 则称m 为环r 上的一个左模,或左冗模 如果将上述条件( 3 ) 改为 ( 3 7 ) ( a b ) x = b ( a x ) , c a ,b r ,z m , 其余条件不变,则称m 为环r 上的一个右模,或右r 模 若r 是交换环,则r 上的左模与右模没有差别 2 7 立方幂等矩阵 定义2 7 设a m m ( r ) ,若a 3 = a ,则称a 为立方幂等矩阵 2 8 保立方幂等的线性映射 5 预备知识 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 定义2 8 设,是r 上佗阶对称矩阵模s c r ) 到r 上m 阶矩阵模( r ) 上的线性映射,若x & ( r ) ,满足x 3 = x ,则有,3 ( x ) = ,( x ) ,则称,为保 立方幂等的线性映射 定义2 9 设a = ( a i j ) r m 黼,b = ( b i j ) 形柚,a 和b 的k r o n e c k e r 积 a 。b = l a l l ba 1 2 b a l n bi 共有m 竹个子块,第( t ,j ) 位置上是r s 型的子矩阵块a d j b ( 1 ) 设p 是任一常数,则( p a ) ob = a 圆( 归) = p ( aqb ) ( 2 ) k r o n e c k e r 积对加法是可分配的,即 ( 3 ) k r o n e c k e r 积有结合律,即 6 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 引理 第三章引理 在证明主要结果前,我们先给出下面的两个引理 引理3 1 令2 、3 er + ( r 中单位的集合) ,a ,b 是立方幂等矩阵,a 4 b 是立方幂等矩阵当且仅当a 与b 正交 证明由a 土b ( r ) 知( a 士b ) 3 = a4 - b ,即 a 3 + a 2 b + b a 2 + a b a + a b 2 + b 2 a + b a b + b 3 = a + b , a 3 一a 2 b b a 2 一a b a + a b 2 + b 2 a + b a b b 3 = a b 由a 、b t m ( r ) 知a 3 = a ,b 3 = b ,将它们带入( 3 1 ) 、( 3 2 ) 得 ( 3 3 ) 一( 3 4 ) 得 所以 ( 3 3 ) + ( 3 4 ) 得 所以 a 2 b + b a 2 + a b a + a b 2 + b 2 a + b a b = 0 , 一a 2 b b a 2 一a b a + a b 2 + b 2 a + b a b = 0 2 ( a 2 b + b a 2 + a b a ) = 0 , a 2 b + b a 2 + a _ b a = 0 , 2 ( a b 2 + b 2 a + b a b ) = 0 , a b 2 + b 2 a + b a b = 0 ( 3 6 ) 式左右两边同时乘以b 得 即 b a b + b a b + b 2 a b 2 = 0 2 b a b + b 2 a b 2 = 0 7 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 引理主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 ( 3 6 ) 式左右两边同时乘以b 2 得 即 ( 3 7 ) 一( 3 8 ) 得 即 b 2 a b 2 + b 2 a b 2 + b a b = 0 b a b + 2 8 2 a b 2 = 0 b a b b 2 a b 2 = 0 b 2 a b 2 :b a b ( 3 8 ) ( 3 9 ) 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 引理 引理3 2 设r 是主理想整环,a 。,a 。a 是m 阶非零立方幂等矩阵, 且满足a 如= 0 ,则存在p g l m ( r ) 使得 p 1 a t p = d i a g ( o ,。,0 n 一。,耳。,0 ,件。,0 h ,0 。) , n 其中i = 1 ,2 ,佗,而b 乏= k ,s = m 一n 特别地,当2 r + 时,存在q g l 。( r ) 使得 q a i q = d i a g ( o m ,0 似。,毛。一毛,0 阱1 ,一,0 0 。) , 其中i = 1 ,2 ,n ;而鼽+ q i = r i ,s = m 一慨+ q i ) 证明证法同 2 1 】中的引理7 9 主要定理的证明主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 第四章主要定理的证明 下面我们证明引言中的定理,即 定理,为线性映射,f f 当且仅当,有如下形式之一 ( i ) f = 0 , ( i i ) f ( x ) = p x 圆d i a g ( i v ,一厶) o0 。 p ,v x ( r ) ,p g l 。( r ) , 其中8 = m n 0 + g ) 证明充分性显然,现只需证必要性成立 因 e 1 1 ,e 2 :,既n 死( r ) ,f f 所以 f ( e 。) ,f ( e 2 2 ) ,f ( e n 。) 是立方幂等矩阵 又因 最 ,e j j ,日 士易j 已( r ) ,f f , 故 f ( e i i ) ,f ( e j j ) ,f ( g i t ) 4 - f ( e j j ) 是立方幂等矩阵 由引理1 知 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算予 主要定理的证明 由 知 丢e i i + 知土三( 岛+ e j 拈咒( r ) 爪f , 【争+ 2 - - b 土互1 q 3 = 互1 a + 互1b 士互1 c , 两式相加减,得( 注意a ,b 正交) 由 知 3 a + 3 b = c 2 a + c 2 b + c a c 十c b c + a c 2 + b c 2 , 3 c :a 2 c + b 2 c + a c a + a c b + c a 2 + b c a + b c b + c b 2 吾e i i + 4 5 e 巧士亏2 、e 巧+ 驯死( r ) ,f , 吾a + 鲁b 土言c 】3 = 5 1 a + 吾b 士詈c , 两式相加减,得( 注意a ,b 正交) 由 知 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 6 a + 9 b = c 2 a + 4 c 2 b + a c 2 + c a c + 4 b c 2 + 4 c b c ,( 4 4 ) 2 1 c = a 2 c + 1 6 8 2 c + a c a + 4 a c b + c a 2 + 4 b c a + 1 6 b c b + 1 6 c b 2 ( 4 5 ) 吾玩+ 亏1e 刀土詈( 岛+ 易t ) r ( r ) ,f 昙a + 吾b 士詈q 3 = 吾a + 百1 b 士亏2 c , 两式相加减,得( 注意a ,b 正交) 9 a + 6 b = 4 c 2 a + c 2 b + 4 a c 2 + 4 c a c + b c 2 + c b c ,( 4 6 ) 2 1 c = 1 6 a 2 c + b 2 c + 1 6 a c a + 4 a c b + 1 6 c a 2 + 4 b c a + b c b + c b 2 ( 4 7 ) 1 1 主要定理的证明主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 ( 4 7 ) 一( 4 5 ) 得 a 2 c + a c a + c a 2 = b 2 c + b c b + c b 2 ( 4 8 ) 由( 4 6 ) 一( 4 2 ) 2 得 3 a = 2 c 2 a 一俨b + 2 c a c c b c + 2 a c 2 一b c 2 ( 4 9 ) 由( 4 4 ) 一( 4 2 ) 2 得 3 b = 一c 2 a + 2 c 2 b c a c + 2 c b c a c 2 + 2 b c 2 ( 4 1 0 ) 若存在i ,使得,( 最。) = d ,即a = 0 ,则由( 4 9 ) 式知 带入( 4 1 0 ) 式知 又由( 4 3 ) 式知 c 2 b + c b c + b c 2 = 0 b = 0 c = 0 因对称阵集合由岛,t ,j 【1 ,叫线| 生生成,又,是线性映射,故,= 0 所以非零线性映射,必满足 f ( e i 。) 0 ,对所有i 1 ,叫 由引理3 2 知,存在r g l m ( r ) ,使得 p f l f ( e i t ) r = d i a g ( o r l ,o r ,b r 。,0 1 i 一,0 h ,0 。) ,( 4 1 1 ) 其中b r 。= d i a g ( i p ;,一毛) ,n = p i + q i ,8 = m 一n 将耳1 ,( 岛) b 按( 4 1 1 ) 式的准对角阵分块,每一块为r i 巧矩阵,其中任意 ( z ,歹) 位置的d 鬻( z ,歹= r ,) 为n 吻阶矩阵,= s 观察( 4 8 ) 式 1 2 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子主要定理的证明 【矸1 厂( 玩) p 1 】2 耳1 ,( ) r + 只- 1 ,( 既) p 1 耳1 ,( ) 只只_ 1 ,( 玩) r + p f l ,( ) p 1 p 1 f ( e i t ) p 1 】2 00 西:掣00 0000 00 磷i “- - 型q 00 0000 c j :霜秭:;翌,2 c 。( i , j ,) _ l b r ;g 5 i r in q 西:魏。西:r i f t _ 。c 。( i j ,) c 5 i r j ) j + ,c 5 :砝西:力 00 c 5 :罕i q 00 0000 00 磷“7 - - 型q 000000 00群捌00 0 00 0 00 西嚣r 0 0 0000 00 c5烈00 0000 00 磷涮00 0000 p f l f ( e j j ) p 1 2 耳1 f ( s i j ) p 1 + 耳1 f ( e j j ) b 耳1 j f ( ) 只只_ 1 f ( e j j ) p 1 + 耳1 ,( 岛) p 1 尸1 f ( e j j ) p 1 2 所以 00000 西i 1 , ,j 1 000 。 1 j 00000 磷:! ;, 0 00 00000 群:掣0 00 00000 v c r r c 件i , j 1 ) 勺0 00 00000 磷“i - ,f 000 c v 勺( i , r j 2 嘴龃。噶露噬致。嘴宅一。2 宅+ e g 号屯c g 钒。c ( i j 一) c r j r j ( i , ,j 。) 00000 嘴翁o 000 00000 磷泌00 0 00000 磷。i , ,j :00 0 只- 1 ,( & ) r 。c v ( i d 。c 5 批一。0群熬+ ,西辩一,0西恐+ ,e 5 西猕 p “i - - 1 ,l d :2 lr t 一1 0 c ,( 。i j 一) l q + l c ,( i 。y 一) 1 勺一1 0硝型l r j + 1 磷塑1 ,。c 、,1 ( i i 一) 1 ,。 00000 d 端0 00 v c r ( i i + ) 1 r 1 群:宰l q 一1 0 一c q r ( i i + ) 1 q + l v c r t r ( i i + ) 1 ,j l 0 c ( 1 i j 十) l 。+ 1 v c r ( t i j + ) 1 ,nc ( t i j 十) 1 ,。 ( 叠掣1 r l v c r j r j i y 一) l q 一1 0 c v 。r i i 一) 1 气+ l ( 蛩翌1 。一1 0c 鸯2 l r j + 1 c 。,j ( i j 一) 1 ,。,“j - 1 ,。 00 v c r j r ( i j q ) 0 00000 咄n 咄l r 一l 0 c w ( i i ) 嘲1 0c ( i i ) 哪咄mc w ( i j ) 。 c 鼎l 一c r ( 。i j l ) 一1 0 c 5 密件1 群端一1 0 c 。,( 。i i ,) 件1 、,c ,r ( 。i ) 西磐。 d 端c i 罄一1 0 西辫+ 1 4 兄一1 0 c ( i j ) 川。c 咿( i j ) 。 。c 叩r ( i ) 。 1 3 ( 4 1 2 ) 主要定理的证明 记 令h 磅 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 = 尸1 ,( ) 只一r ,则 耳1 ,( ) p 1 = r + ( 注意r 如= 如r = o ) , 只- 1 ,( ) r 】2 = 又由( 4 9 ) 式得 其中 所以 d d c ( t i j j ) c ( j i j ,) i d d d 1j2 b r 。d 辫嗍+ 2 秭辫制既一c r ( i j ,) b 丁f t ,( i j ) ;, 2 = 2 c 凛b r 。c n r ( i j 勺) 一吼c 鼎d 刃一p j 移r i ,j r i 巧r j r r j 2 b r ic n r i j r j ) c r j ( i j n ) + 2 p 、j r i r j ) r v r j r ) ir r t c 。r ( i j j ) b jp ,( j i j “) = 3 b r , 2 c 嚣耳。c n ( i j 勺) 一b qc 端c j 罄一门j 订r ip v r i r j - r j r j = 同理由( 4 1 0 ) 式得 1 4 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 、lj, d d d o d d d d d d d 0 d 0 0 d d 0 一 一 d d d d d d d d d ) j d。相dq o d 占d d d d d d d d d o d o d d d d d d d 2 d d。:d嘭2 8 d o 0 d o o d o o 一一 一一 d o 0 o o o d o d ,-。一 = r + d d o d d o o o o。蜊。d d d d d 0 d 0 d d d d o d o o 0 o o d d ,j-。一 、-、 d d d dodddd d d d oodddd 一 d d d d一0dooo d d d dododd d d o d o o d 0 d z一 d d d dodddd h i dd毋ddd0一dd 3d d o 0dod00 一一 d d d 0doddo ,-_i_i_l-ilt、 = 、li ddddooddo o d d o 00 d dd一一一 dddd0dddd doodo赴dddddoddd000 一一一一一 ddodooddddd缸dodddoddooodddd 一 ddddddddd,j-_ii_iiil_-ii、 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子主要定理的证明 一。c q r ( i j n ) 一r n c r t r ( i j 。) + 2 c g 理c j 搿毛+ 2 b ,c q ( o h ) c h ( o 。) = 3 b r j , 一研l 辞瓣c 鼎一c r ( i j ,) ( ? 。( i j ) 。b r + 一2 ( 一7 n ( 0 勺) 一r ,_ j ( 一7 。( i j n ) = 0 n ( 4 1 3 ) + ( 4 1 6 ) 得 ( 4 1 3 ) - ( 4 1 6 ) 得 所以 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) b r 。q 篙咧+ 辞辫嘭! b r ;+ c 。( i j ,) b ,c ( i j ) 。= 3 b r 。, ( 4 1 7 ) 3 b r 。c 一,r ( ;i j r j ) ( 一7 勺( 0 ,) ;+ 3 d 端嗍研;一3 q 忽b 勺咧= 3 b r ;, b r ;c 飞r ( i j q ) ( 一- ? 勺( i j ) + 辞弼咄研。一瞬黧嗍= b r ; ( 4 i s ) 同理由( 4 1 4 ) ,( 4 1 5 ) 得 所以 ( 4 1 7 ) + ( 4 1 8 ) 得 所以 c 1 ,j ( o h ) b 矿c 嘶r ( i j ) + 咄q 髦+ 邑咧d 叼= 3 ( 4 1 9 ) 一铡邑c 飞( i j 巧) + 锱嘲+ 锱嘲= ( 4 2 0 ) 2 一6 ( ;0 ,j ) c ( i j ) 。b + b r i q 黧c 鼎) = 4 耳;, q 驾咄研。+ b r ;研辫咧= 2 耳; 同理由( 4 1 9 ) + ( 4 2 0 ) 得 ( 4 1 7 ) - ( 4 2 1 ) 得 咧q 辫+ 毛嘲a 霉= 2 c 。( 0 ) 3 b 一c ( 0 3 、) = b r 。, ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 主要定理的证明主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 所以 ( 4 1 9 ) 一( 4 2 2 ) 得 所以 由( 4 2 3 ) ,( 4 2 4 ) 知 令 又由( 4 1 1 ) 式知 其 c 观b r j c 凛b ,t = i ” v c r r ( q j 7 ) i r 。t t c r r ( i i j r ) j = b ”j , 嗍耳。c 。嘶r ( i j ) 一r 勺= n2 吩, r2n2 耳1 厂( 忍t ) p 1 = 蜀 ob r o0 。, 中b r = d i a g ( i p , ,一l t ) ,r = p i + 吼,8 = m n 7 p f l f ( e i t ) p 1 2 耳1 厂( & ) 只+ 耳1 ,( 易j ) r 2 耳1 ,( ) 只 + 耳1 f ( e i i ) p 1 耳1 ,( 勘) p 1 耳1 f ( e i i ) p 1 + 耳1 f ( e i i ) p 1 耳1 厂( ) p l 耳1 ,( 易j ) 只 + p f l ,( 勘) p l 耳1 ,( 易t ) p 1 】2 + 耳1 ,( 易j ) p 1 耳1 f ( s i j ) p 1 尸f l f ( e i i ) p 1 + 耳1 厂( 易j ) p 1 耳1 ,( ) p 1 耳1 ,( 弓j ) 只 + 只1 ,( ) p l p 1 ,( 易j ) p 1 】2 oo 群i 1 1 r ) 0 0d 端0 0 00 。c q r ( q 一) 1 1 00 。c q r ( q 一) 1 勺0 0 、,c 叩( i j ) 1 c 。( i j ) 2 “1 ( i j 。) - - a 3 。c v r ( q ) m d 搦一l2 c 。( i j ) j - - a 5 群端+ 1 c 。( i j ) 。 00 西:宰lr t 00 c v r t + r ( q ) l r j 00 00 c 挈1 q 00 g 挈1 。0 0 粥粥2 狮f ( q ) - 叫l a 。c ”r j q ) + i - 一粥1 2 喘+ 6 皑+ i ”v c 。r ( q m ) 00 000 c v 。( i j + ) l 。0 0 00 。c w ( i j ) i 00 西踢0 0 00 c 5 魏0 0 群端0 0 ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) dd忡do”dd d 。-d群qo嘭qd d 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子主要定理的证明 其中3 = d i a g ( i p 。,一。) 秭黧d z 口g ( 易;,一毛) ; 4 = d i a g ( i p j ,一毛) g 够! 出n 9 ( 厶;,一屯) ; 5 = d i 。9 ( 如。,一厶。) 秭端击。夕( 锄,一毛) ; 6 = d i a g ( i p j ,一乞) 咧d z 叼( 毛,一毛) 由( 4 3 ) 式及( 4 1 2 ) 式知 耳1 ,( ) p l 矩阵。c 呐r ( i j ) 分块为 d ,1 魄; c ( j i j ) l 0 。 o p ( j 巧r ) i 分块为( g 彩g 蟊) , d 3 中g p ,g ,g ,g ,g ,g 铲,g 夕,g 分别为p i 约,p i 彩,吼功,吼 劬,功xp i ,功吼,劬xp i ,劬xq 阶矩阵 由( 4 3 ) 式得 所以 故 2 c “( i j ,j ) + d i a g ( i p ;,一厶。) 辞鬻出口夕( 锄,一毛) = 一c n ( i j 勺) , 又因g 为p 劬 毛g 夕= 一哦甙i 咐 一i q t g = g ip j 、i, j j “2“4 g g , “1“3 g g ,j l 将 其 岛助 oo 岛功 似,o硝麓 o 堪 主要定理的证明 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 即有 同理可得 故 c v r t r ( i j r j ) = g p 。g 黔 c 飞r ( i j n ) = g o 掣,j l uu 只- 1 f ( s t j ) p 1 = 岛圆( g p o 簖) + e j l 圆( g 3 i j og 妒) 】oo 。 又由( 4 9 ) 式得 故 2 d i a g ( i p 。,一瓦) d 端咧+ 2 d 鞠硎出叼( k ,一k ) 一d 辫出o g ( 毛,一毛) 础 3 d i a g ( i p 。,一瓦) , (:2jpt(;f(;岔_p2(;。)。:。(ij)irtj_g(jij)17】g。(ij)一,毗。;,。;,。;三,j。一。;,j,。;,) ,3 i p t 0 = i 0 3 i q & 即得 同理由( 4 1 0 ) 式可得 所以 令 j ,g p g 铲 tg g j ,g g p 1g g 铲 i p l , i q j a 2 p j ,吼2 彩 p2a 2 p j ,q2 吼2 劬, 1 8 易厶 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子主要定理的证明 则有 耳1 ,( 易i ) 毋= 易 圆d i a g ( i p ,一厶) 0 0 。,( p + q = r ) , 耳1 ,( 如) 且= 【岛od i a g ( g i i j ,掣) + 易tod t 0 9 ( g 铲,g ) 】oo 。 当n = 2 时,令 恳= d i a g ( i , ,( g ( 12 1 ,一g 2 ) 一1 ,厶) ,其中r = p + q 再令p = 只马,由( 4 2 5 ) ,( 4 2 6 ) 得 p f ( e i i ) p = 毋tod i a g ( i p ,一厶) 】o0 。, p - 1 ,( ) p = qd i a g ( i p ,一) o0 。 当n 3 时,设z ,j ,k 互不相等,由 可得 即 于是 三( 易i + 马j + 取+ 岛+ 易t + 晟七+ 最i + 易南+ 奶) 死( 兄) ,f 【,( e t ) + ,( 易j ) + ,( 最) + ,( ) + f ( s i k ) + ,( 毋) 】3 = 9 i f ( 岛t ) + ,( 易j ) + ,( 最知) + ,( ) + ,( & 七) + 厂( s ;七) 】, = 9 昂 o g p o g i 玎 o l p o g f o g p o d 一如 一1 o ( g ) 一1 一l o ( 西。) 一- o g p 一如 o 一1 o 昂 ( g ) 一1 o 一1 o ( g p ) 一1 ( g 扩) 一1 o o g o 一如 o ( 凹) 一1 d 西) o 一如 0 ( g ? ) 一1 g i 谴 o g p o g 5 :f 。) o og g j p o d 一 g f 。 o g p 。 o o 硝 o g g 如 o o 一如 g p g # 南) = g p ,g g 乒七= 一g 铲 1 9 ) 3 ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) 警台絮 ,l , ,一 主要定理的证明主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 令 再令 恳= d i a g i r ,( g i l ,一g ,g ,一g 3 1 ,g 川,一g n - i , l 】, 由( 4 2 5 ) ,( 4 2 6 ) 得 p = p i p 2 , p _ 1 ,( 晟 ) p = 晟tod i o g ( i p ,一厶) 1o0 。, p - 1 ,( ) p = od i a g ( i p ,一厶) 】o 仉 再由,为线性映射知结论成立 主理想整环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子 参考文献 参考文献 1 李强,曹重光,反对称矩阵空间行列式保持映射 刀,黑龙江大学自然科 学学报,2 0 0 5 ,( 0 1 ) 【2 x z h a n g ,l i n e a r a d d i t i v ep r e s e r v e r so fr a n k s2a n d4o na l t e r n a t em a t r i xs p a c e s o v e rf i e l d s ,l i n e a ra l g e b r aa p p l 3 9 2 ( 2 0 0 4 ) 2 4 - 3 7 3 】x z h a n g ,l i n e a r a d d i t i v ep r e s e r v e r so fr a n k s2o ns p a c e so fa l t e r n a t em a t r i c e so v e r f i e l d s ,l i n e a ra l g e b r aa p p l 3 9 6 ( 2 0 0 5 ) 9 1 1 0 2 【4 佟鑫,曹重光,域上从对称矩阵空间到全矩阵空间保幂等的线性算子 【j 1 ,黑龙江大学自然科学学报,2 0 0 3 ,2 0 ( 3 ) :2 5 2 8 5 徐金利,王金量,曹重光,交换整环上的矩阵之间保幂等的线性映射及 其应用 刀,黑龙江大学自然科学学报,2 0 0 8 ,2 5 ( 4 0 ) ;5 3 9 5 4 3 【6 】6 c a oc g ,l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n c eo nm a t r i xm o d u l e so v e rl o c a l r i n g s j n a t u r s c i h e i l o n g j i a n gu n i v 1 :1 3 ( 1 9 8 9 ) 【7 】l i us w ,l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n c eo nm a t r i xm o d u l e so v e rp r i n c i p a l i d e a ld o m a i n s j ,l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 9 9 7 ,2 5 8 :2 1 9 - 2 3 1 8 c a oc g ,z h a n gx ,l i n e a ro p e r a t o r sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d s a n da p p l i c a t i o n s ,l i n a l g a p p l 1 9 9 6 ,2 4 8
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