（应用数学专业论文）求解非线性偏微分方程的一种改进的f展开法.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究的主要内容：在齐次平衡原则的思想下，充分利用f 展开法和r i c e a t i 方程在非线性偏微分方程( p d e s ) 求解中的优良特 性，提出一种改进的f 展开法。此方法在借助于计算机符号系统 m a t h e m a t i c a 下，操作方便，可以得到非线性p d e s 的一系列精确解 ( 类孤子解，三角函数周期解，有理数解) 。并用此方法求解了g a r d n e r 方程，破裂孤子方程，v a r i a n tb o u s s i n e s q 方程及一类带强色散项的 d g h 方程，得到了他们丰富类型的精确解，其中部分是新解。并做 出部分解的数值模拟以便直观分析。 首先，利用齐次平衡方法研究了c d g 方程的b a e k l u n d 变换和精 确解，得到了c d g 方程的两组b a e k l u n d 变换和三组精确解，其中一 组是孤波解。并在c d g 方程解的原有研究基础上，对其解进行新的 延拓。 其次，利用改进的f 展开法研究了g a r d n e r 方程，破裂孤子方程， v a r i a n tb o u s s i n e s q 方程的精确解。得到了他们丰富类型的精确解：光 滑的钟形孤立波解，k i n k 解，类孤子解，复数形式解，有理数解等， 并得到了部分新解。这些解对于解释一些物理现象具有一定的意义。 最后，利用改进的f 展开法研究了新提出的一类带强色散项的 d g h 方程的精确解。得到了它的k i n k 解，类孤子，复数形式解，有 理数解等，这对于对此方程的进一步研究有积极的意义。 关键词：非线性p d e s ，齐次平衡原则，改进的f 展开法，精确解 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h em a j o rc o n t e n t sc o n c l u d e ：u n d e rh o m o g e n e o u s b a l a n c ei d e a , am o d i f i e df e x p a n s i o nm e t h o di sp r o p o s e db yt a k i n gf u l l a d v a n t a g e so ff - e x p a n s i o nm e t h o da n dr i c c a t ie q u a t i o ni ns e e k i n g e x a c t s o l u t i o n so fn o n l i n e a rp d e s t h em e t h o dc a nb ec o n v e n i e n t l yo p e r a t e d w i t ht h ea i do fc o m p u t e rs y m b o l i cs y s t e m s ( m a t h e m a t i c a ) ，a n dr i c h f a m i l i e so fe x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp d e sh a v eb e e no b t a i n e d ， i n c l u d i n gs o l i t o n l i k es o l u t i o n s , t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n d r a t i o n a ls o l u t i o n s b yu s i n gt h em e t h o d ，w eh a v es o l v e dg a r d n e re q u a t i o n ， b r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o n ，v a r i a n tb o u s s i n e s qe q u a t i o n s a n dd g h e q u a t i o nw i t hs t r o n gd i s p e r s i v et e r m m a s s i v ee x a c ts o l u t i o n so ft h e m h a v eb e e no b t a i n e d ，a n ds o m eo f t h es o l u t i o n sa r en e w w ea l s op r o v i d e d s o m ef i g u r e so f p a r t i a ls o l u t i o n sf o rd i r e c t - v i e w i n ga n a l y s i s f i r s t l y , w er e s e a r c h e d t h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n de x a c t s o l u t i o n so fc d g e q u a t i o nb yu s i n gt h eh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d t w oc l a s s e so fb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rc d g e q u a t i o na r ed e r i v e d a n dt h r e ec l a s s e so fe x a c ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e d s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s b e l o n g t ot h e s ec l a s s e s a n du s et h e s ec o n c l u s i o n st o e x p a n dt h e s o l u t i o n so f t h ec d g e q u a t i o nb a s e d0 1 1o r i g i n a lr e s e a r c h n e x t ，w er e s e a r c h e d t h ee x a c ts o l u t i o n so fg a r d n e re q u a t i o n ， b r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o na n dv a r i a n tb o u s s i n e s qe q u a t i o n sb yu s i n ga 江苏大学硕士学位论文 m o d i f i e df e x p a n s i o nm e t h o d r i c hf a m i l i e so fe x a c ts o l u t i o n so ft h e m h a v eb e e n o b t a i n e d ，i n c l u d i n gb e l l s h a p e ds o l i t a r ys o l u t i o n s , k i n k s o l u t i o n s ，s o l i t o n l i k es o l u t i o n s ，c o m p l e xs o l u t i o n s ，r a t i o n a ls o l u t i o n sa n d s oo n a n ds o m eo ft h e ma l en e w w ec o n s i d e rt h e s es o l u t i o n sw i l lm a k e s e n s of o re x p l a i n i n gs o m ep h y s i e a lp h e n o m e n o n f i n a l l y , w er e s e a r c h e dt h ee x a c ts o l u t i o n so fd g he q u a t i o nw i t h s t r o n gd i s p e r s i v et e r mw h i c hw a sr e c e n t l yp u tf o r w o r d ，a n dw eo b t a i n e d i t sk i n ks o l u t i o n s ，s o l i t o n - l i k es o l u t i o n s ，c o m p l e xs o l u t i o n s ，r a t i o n a l s o l u t i o n sa n ds oo n t h e s ew o r kw i l lb eu s e f u uf o rf u r t h e rr e s e a r c ht ot h e e q u a t i o n k e yw o r d s ：n o n l i n e a r p d e s ，h o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l e ， m o d i f i e df - e x p a n s i o nm e t h o d ，e x a c ts o l u t i o n i l l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 一 不保密圈。 学位论文作者签名：王正恕 如。；年f 汨石日 指导教师签名： 细矗年，只f 6 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担。 学位论文作者签名：王磊趋 日期：p 。e 年，瑚。6 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 现实生活的许多领域内数学模型都可以用非线性偏微分方程( n l p d e ) 来 描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是n l p d e ，所以对n l p d e 的研究，特别是精确解的研究显的尤为重要，但是数学研究的结果，在目前还未 能提供一种普遍有效的求严格解的方法。2 0 世纪5 0 年代以来，人们对非线性现 象的研究中提出了。孤子”的概念，进而使得对n l p d e 求解的研究成为非线性 科学中的热点。下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状及本文的研究工 作。 1 1 研究背景 1 8 4 4 年，英国著名物理学家s c o t t r u s s e l l 在英国科学促进协会第1 4 届会 议报告上发表的“论波动”一文中，描述了一种奇特的水波现象：他在运河里发 现了一个奇怪的孤立水波，它以很快的速度向前滚动着，在行进中它的波形和速 度没有明显改变，该水波在1 2 英里之外的转弯处消失了。r u s s e l l 认为这种奇怪 的水波是流体力学中的一个稳定解，并称之为孤立波。但r u s s e l l 的学说未能使 物理学家们信服他的论断，在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅假定下建 立了单向运动的浅水波运动方程，即著名的非线性k d v 方程。他们求解k d v 方 程得出与r u s s e l l 描述一致的形状不变的脉冲状孤立波解，从而在理论上证实了 孤立波的存在。然而当时许多人认为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，在 特殊的初始条件下可以得到它，在初值问题的讨论中是微不足道的，另外认为由 于非线性相互作用，碰撞以后两个孤立波的形状很可能会被破坏，因而认为这种 波“不稳定”，没有研究的物理意义，于是孤立波解的研究被搁浅。 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计算 机计算了一维非线性晶格在各个震动模之间的转换，发现在足够长的时间后能量 又似乎回到了开始的分布。由于f p u 问题是在频域里考察的，因此未能发现孤 立波。后来t o d a 用晶体的非线性振动近似模拟这种情况，得到了孤立波解，使 f p u 问题得到圆满解答，从而激发了对孤立子研究的兴趣。 江苏大学硕士学位论文 法、h i r o t a 双线性法、p a i n l e v 6 有限展开法【1 】，延拓法及l i e 群法【2 】等。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人发明了求解k d v 方程的逆散射方法，这一方法利用 量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问题( 正散射问题) 及其反问题( 反散射问题) 之间的关系，经过求解一个线性积分方程而给出k d v 方程初值问题的解。它不 仅对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远影响。 随后，l a x 推广并提高了上述方法，使之能够用于求解其他非线性偏微分方程的 初值问题，从而逐步形成一种系统的求解方法。1 9 7 2 年，z a k h a f o v 和s h a b a t 推 广了这一方法，求出高阶k d v 方程，立方s c h r o d i n g e r 方程等的精确解 1 9 7 1 年，h i r o t a 所引进的双线性变换法( h i r o t a 方法) ，是构造非线性偏微分 方程n 孤立子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法。 1 9 7 5 年，w a h i q u i t 和e s t a b r o o k 提出延拓结构法，以外微分形式为工具，给 出寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的方法。 1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种非线性偏微分方程的直接的变 量分离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许 多的2 + 1 维非线性发展方程的精确解。 精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规律、计算量 大的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量而重复的计算，提高了速 度保证了准确率。1 9 9 6 年，p a r k e s 和d u f f y 给出了求非线性发展方程孤立波解的 双曲正切函数法的m a t h e m a t i c a 程序包。王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数 项平衡的原则，将非线性方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法。 近年来提出并发展起来的齐次平衡方法，实际上是求非线性偏微分方程精 确解的一种指导原则，故也称为齐次平衡原则。依据该原则，可事先判定某类非 线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定 的步骤求出它来，并同时孚寻到其满足某些条件的b a c l d u n d 变换。因而齐次平衡 原则具有直接、简洁、步骤分明的特点，再者，还适用于计算机的符号计算系统 进行计算，且得到的是精确的结果。至今，齐次平衡原则在非线性数学物理中已 得到广泛的应用，且其应用范围正在不断的扩展，已成为处理非线性数学物理相 关问题的有效工具之一。 所以，近年来在齐次平衡原则下又发展了多种求解非线性偏微分方程精确 解的方法：像t a n h 函数法【3 ，4 】，s i n e - c o s i n e 方法【5 】，j a c o b i 椭圆函数展开法【6 】， 江苏大学硕士学位论文 r i c c a t i 方程方法【7 ，8 】及f - 展开法 9 - 1 2 等。这些方法一般都借助于计算机代数系 统( m a t h e m a t i c a 或m a p l e ) ，求解方便、直接，而且可以对解进行数值模拟以便于 直观分析解的性质。 1 3 本文的主要工作及其研究意义 本文在齐次平衡原则的思想下，充分利用f 展开法和r i c c a t i 方程在非线性 偏微分方程求解中的优良特性，提出一种改进的f 展开法。此方法在借助于计 算机符号系统m a t h e m a t i c a 下，操作方便，可以得到非线性偏微分方程的一系列 精确解( 类孤子解，三角函数周期解，有理数解) 。并用此方法求解了g a r d n e r 方程，破裂孤子方程，v a r i a n tb o u s s i n e s q 方程及一类带强色散项的d h g 方程， 得到了他们丰富类型的精确解，其中部分是新解。下面是本文具体的研究工作： 第三章利齐次平衡方法研究了c d g 方程的b a c k l u n d 变换和精确解，得到了 c d g 方程的两组b a c l d u n d 变换和三组精确解，其中一组是孤波解，并在c d g 方程解的原有研究基础上，对其解进行新的延拓。 第四章利用改进的f 展开法研究了g a r d n e r 方程，破裂孤子方程，v a r i a n t b o u s s i n e s q 方程的精确解。得到了他们丰富类型的精确解：光滑的钟形孤立波解， k i n k 解，类孤子，复数形式解，有理数解等，并得到了部分新解。相信这些解对 于解释一些物理现象具有一定的意义。 第五章利用改进的f 展开法研究了新提出的一类带强色散项的d h g 方程的 精确解。得到了它的k i n k 解，类孤子，复数形式解，有理数解等，这对于对此 方程的进一步研究有积极的意义。 本文研究的意义：本文在齐次平衡思想下提出的一种改进的f 展开法，克 服了原有方法的一些局限( 原有方法只能很好的适合于奇次和偶次阶偏导数不同 时存在的偏微分方程，而且主要得到的是j a c o b i 椭圆函数解) ，比原有方法有更 加广阔的应用范围，而且随着对r i c c a t i 方程的深入研究，相信此方法应用前景 会更加广阔，并能有助于发现更多复杂的精确解。而且本文通过用齐次平衡法和 改进的f 展开法对c d g 方程、g a r d n e r 方程、破裂孤子方程、v a r i a n tb o u s s i n e s q 方程及一类带强色散项的d h g 方程的求解，找出了它们丰富类型的精确解及一 些新解。相信这些解将会对于解释一些重要的物理现象有积极的意义 4 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 - 1 孤立子及尖峰孤立子 目前，对孤立子有多种定义方式，但还没有一个确切的定义。李政道认为： 在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都束缚于一个有限区 域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解。 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过 互相碰撞后，不改变波形和速度( 或许相位发生变化) 在物理领域，孤立子被理 解为：经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波。或者被理解为：非线 性演化方程能量有限的解。即能量集中在空问有限区域，不随时间的增加而扩散 到无限区域中去。 本文采用下述定义，即： 定义2 1 1孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的 解，以及与之相应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作 用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 。因 ， 此，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来， 人们也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭 小的区域的静态解有时也称为孤立子。 定义2 1 2 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子 解为尖峰孤立子解( p e a k o n ) ，如图2 1 所示。 5 江苏大学硕士学位论文 。j l 图2 i 尖峰孤立子解 2 2 孤立子的分类 通常所说的孤波，是指非线性演化方程局域行波解。所谓“局域”，指的是 非线性演化方程的解在空间的无穷远处趋于0 或趋于确定常数的情况。目前已经 有一系列非线性演化方程存在孤波解，除k d v 方程外，比较重要的还有非线性 s e h r o d i n g e r 方程州l s 方程) 、s i n e - g o r d o n ( w g o r d o n ) 方程、h i r o t a ( m t o d a ) t e 线 性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩( m b o r n ) - - 英菲尔德( m l i n f e l d ) 方程。归纳起来，孤波的典型类型不外乎图2 2 中的四种：( a ) 波包型( 钟型) ；( ” 凹陷型( 反钟型) ；( c ) 扭结型，( d ) 反扭结型。其中( a ) 和( b ) 都是当吲寸o o 时，解 纯( 0 寸0 ；而( c ) 和( d ) 则是当孝一+ 或一时，纯( 毒) 趋向于不同的常数值 嘁9 一 号 ( a ) 波包型( 钟型) 6 l 嘁d | | j ( b ) 凹陷型( 反钟型) 江苏大学硕士学位论文 ( f ；! ( 9 厂一 。 写 ( c ) 扭结塑 嘁d 、 芎 ( d ) 反扭结型 图2 2 孤立子的分类 从拓扑性质角度，孤波可分为拓扑性孤波和非拓扑性孤波。拓扑性孤波存在 的必要条件是有简并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的 边界条件；有孤立子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤立子解时不同。而非 拓扑性孤波不需要简并真空态，无论有无孤立子解，在无穷远处都有相同的边界 条件。一般来说，钟型分布的正、负( 暗) 孤波及其序列都是非拓扑的，但是k i n k 孤波( 其模方或其导数却是钟型的，如光纤中基本暗孤子就是例子) 是拓扑孤子 需要注意的是，同一方程可能支持两类不同拓扑性质的孤波解，如州l s ) 方程支 持明孤子解和小振幅明暗孤子解( 非拓扑) 及基本暗孤子解( 拓扑) 。 值得说明的是，尽管孤波原本指一类可积非线性演化方程的局域行波解但 现在，至少在物理上，孤波概念已经被推广到相对稳定的孤波解。即使原来方程 并非可积的。例如光孤子理论中，尽管有阻尼项的n l s 方程是不可积的，而且实 际光纤中的光孤子也不可能不衰减，但在阻尼很小的情况下，相对稳定的孤波仍 被称为光孤子。在其他一些情况下，对孤波的理解常常也因为实际问题而有所推 广。 2 3 逆算符方法 据逆算符方法的基本思想【1 3 ，1 4 1 ，把偏微分方程a u = a ( u ，材，”，却。，) = 0 改写为 三甜+ 足“+ n u = 0( 2 3 1 ) 其中l 和r 是线性微分算子，n u 是非线性项。算子l 是可逆的，作用逆算子l i 7 江苏大学硕士学位论文 于上式两边得到 u = f 1 2 ( r ”) + l 1 ( n u ) ( 2 3 2 ) 其中，满足( 2 3 1 ) 及初始条件，根据逆算符方法t 1 可以分解为一系列分量之和 ”= ( 2 3 3 ) 利用回归关系可以得到 1 1 0 = ，( x ) ，”i + l = - u ( r u 。) + l ( n u i ) ( 2 3 4 ) 非线性项，( ) = n u 可以表示为无限级数之和 ，( 甜) = 一。 其中以是a d o m i a n 多项式，定义为 ( 2 3 5 ) 4 = 去斋【，( 善锄k 刘= o ，l ，2 ( 2 3 6 ) 利用( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 可以依次解出d 0 , t l ，”2 ，蚝，从而得到方程的解 甜= 0 + + 2 + 甜3 + 业已证明a d o m i a n 分解法是收敛的，而且收敛速度相当快，能够得到精确解。 2 4 齐次平衡法 齐次平衡法是一种求解非线性偏微分方程非常重要的方法，它将非线性发 展方程的求解问题转化为纯代数运算。利用这种方法不仅可以得到方程的 b a c k l u n d 变换，而且能得到非线性偏微分方程的新解。该方法的大致步骤如下： 对于给定一个非线性偏微分方程 p ( “，吒，蚱，甜一，) = o ( 2 4 1 ) 这里j p 一般是其变元的多项式，其中含有非线性项及线性出现的最高阶偏导数 项 一个函数w = w ，) 称为是方程( 2 4 1 ) 的拟解，如果存在单变元函数= 贝w ) ， 使得贝w ) 关于工，t 的一些偏导数的适当的线性组合，即 8 江苏大学硕士学位论文 嘶) = 器竽+ v ( x , t x f ( w ) - f f c ：- q ：x 和f 的低( 2 4 2 ) 于n l w n 阶的偏导数的适当线性组合) 精确的满足( 2 4 1 ) 。( ( 2 4 2 ) 中的非负整数n l ，n ，单变元函数，= 加) 以及函数w = w ( x , o 都是待定的) ，将( 2 4 2 ) 代a ( 2 4 1 ) 中可通过以下步骤确定它们： 首先，使高阶偏导数项中包含的w ( x , o 的偏导数的最高幂次和非线性项中包 含的关于圳x f ) 的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数m 及1 1 是否存在。 其次，集合 ， ，) 的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数为零，而得贝叻 满足的o d e ，解之可得产a w ) ，一般是对数函数。 第三，将加) 的各阶导数的非线性项，用贝w ) 的较高阶的导数来代替，再将 贝w ) 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零，而得w = 咄f ) 的各次齐次 型的p d e 组，可适当选择( 2 4 2 ) 中线性组合的系数，使p d e 组有解。 最后，若前三步的解答使肯定的，将这些结果代入( 2 4 2 ) ，经过一些计算就 得( 2 4 1 ) 的精确解。 从( 2 4 2 ) 中可以看出，如果v ( x , o 方程( 2 4 i ) 的一个解，则通过上述步骤就可 以求得方程的b a c k l u n d 变换i 2 5j a c o b i 椭圆函数方法 考虑非线性偏微分方程( 2 5 1 ) ，寻求它的行波解为 1 2 u ( d ，专。七( 工c t ) ( 2 5 1 ) 其中k 和c 分别为波数和波速 将u ( ) 展开为下列j a e o b i 椭圆正弦函数啦毛的级数： 甜= e a i s n 。f ( 2 5 2 ) 它的最高阶数为 d ( z f ( 劲) = n ( 2 5 3 ) 因为 巧d u = 砉一s n r l f 如毒d n 善 ( 2 5 4 ) 其中c n 亏和d n e 分别为j a c o b i 椭圆余弦函数和第三种j a e o b i 椭圆函数，且 9 江苏大学硕士学位论文 c r l 2 孝= l s n 2 孝，d n 2 善= l m 28 n 2 善 m ( 0 m 1 ) 为模数，且 巧d 蚰掌= c n c d n f 杀c n 掌= 一舳f d l l 孝，杀d l l f = - - m 2 s i t f c n 孝( 2 5 6 ) 由( 2 5 4 ) 式，可以认为嚣的最高阶数为 伏面d u ) 。n + 1 类似地。有 ( 2 5 7 ) d ( 甜面d u ) 2 2 n + l ，d ( 五d 2 u ，n + 2 ，0 ( ) 2 n + 3 ( 2 5 8 ) 在( 2 5 2 ) 式中选择n ，使得非线性偏微分方程( 2 4 i ) 中的非线性项和最高阶数 项平衡 将( 2 5 2 ) 代入非线性偏微分方程( 2 4 1 ) 中，并利用( 2 5 5 ) 和( 2 5 6 ) ，可将方程( 2 4 1 ) 变成关于跚屯( 卢一n ，一l ，o 1 朋的多项式。置涨的各次幂次的系数为零， 得关于口，a l ，a o ，q ，唧，tc 的代数方程组。 解上述方程组，将结果代入( 2 5 2 ) 中，得( 2 4 1 ) j a c o b i 椭圆函数解。 应该指出的是，因为m 一1 时，s l l 一t a 】l l l l ， ( 2 5 2 ) 式就退化为 z f = qm n h 孝 o 所以此方法包含了双曲正切函数展开法。 2 6f - 展开法 考虑非线性偏微分方程( 2 4 1 ) ，寻求它的行波解为 ”2 帮( 劲，芎2 k ( x c o ( 2 6 。1 ) 其中k 和c 分别为波数和波速 将式( 2 6 1 ) 代入方程( 2 4 1 ) 中，l , j ( 2 4 1 ) 化为“( 手) 的非线性常微分方程( n o d e ) ： p ( u ，i t , ，) = o( 2 6 2 ) 设“( f ) 可表为f ( o 有限幂级数： 1 0 江苏大学硕士学位论文 v ”( f ) = 。口j ( 掌) ( a o ) ( 2 6 3 ) 这里珥是待定常数，( 善) 满足下列一阶常微分方程： f ”( 掌) = p f 4 + q f 2 + r ( 2 6 4 ) 这里尸，q ，r 是待定常数，正整数是由具有支配地位的非线性项与最高阶偏导数 项平衡确定。 将( 2 6 3 ) 代xn o d e ( 2 6 2 ) 中，nj 喟( 2 6 4 ) 可将方程( 2 6 2 ) 左边变成只e ) 的多项式 置只芎) 的各次幂次的系数为零，得关于以，口- 。，a o ，q ，毛e 的代数 方程组。 解上述方程组( 可借助m a t h e m a t i c a 或m a p l e ) ，可解得口- ，口- l ，a o ，q ， 口，tc ，将结果代入( 2 6 3 ) 中，得( 2 4 1 ) 的行波解的一般形式e 利用附录a ，适当选取尸，q ，舢向值，可得方程( 2 4 1 ) 的由ja e o bi 函数表示的周期 波解。 附录a ( 表2 1 ) p ，9 r 与方程f ”( o f f i p ，4 + q f 2 + r 的解f ( 亏) 之间的关系表 江苏大学硕士学位论文 户 q 胄 f ”( 孝) = p f 4 + q f 2 + r 只) ( 1 + m 2 ) l ，”( 善) = ( 1 一f 2 ) ( 1 一m 2 f 2 ) 鞠 2 m 2 ii f 7 2 ( 善) = ( 1 一f 2 x m 2 f 2 + l m 2 ) c n 芎 - l2 m 2 m 2 1 f 1 2 ( f ) = ( 1 一f 2 ) ( ，2 + m 2 一1 ) d n 亏 1 ( 1 + m 2 ) 井 f ，2 ( 善) = ( 1 一f 2 ) ( 所2 一f 2 ) n s e = ( s n 9 1 1 m 22 m 2 1孑 f “( 善) = ( 1 一f 2 ) 【( 脚2 一i ) f z m 2 】 n c 芎= ( c n o 1 ， 212 m 21 f 胆( d = ( 1 一f 2 ) ( 1 一m 2 ) f 2 1 】 n d 鼎d n 黟 1 m 22 l f 2 ( d = ( 1 + f 2 ) 【( 1 一m 2 ) f 2 + 1 】 s c f ：堕 7 c n 孝 m 2 ( 1 2 m 2 - 1l ，”g ) = ( 1 + m 2 f 2 ) 【( 埘2 0 f 2 + 1 】 s d f ：壁 m 2 ) 7 d n f l2 1 m 2 f ，2 ( 善) = ( 1 + f 2 ) 【，2 + ( 1 一m 2 ) 】 c s 孝：善 s n ； 12 m 3 1 m 2 ( 1 ，“( 善) = ( m 2 + f 2 ) i f 2 + ( 坍2 1 ) 】 d s f ：咝 m 2 ) 7 如f 1 2 江苏大学硕士学位论文 第三章c d g 方程的b a c k l u n d 变换和精确解 本章研究的主要内容是被认为是高阶k d v 方程的一种延伸的c d g 方程的 解盼情况，c d g 方程： q + ；“。+ i 5 虬村。+ 5 u l 。o r + 5 越2 ：o ( 3 1 ) q + 石“一+ j 虬村玎+ 。 + 5 越= o p 1 j 一直是研究非线性p d e 的人们试图解决的主要对象。由于这个方程不像一般的 非线性p d e ( 包括k d v , m k d v , b b m 等) 通常只含有一个非线性项，它含有三 个非线性项，这就使得它用一般方法求解比较麻烦。中国科学技术大学博士生导 师田畴教授等人曾利用l a x 方程组的求解公式 1 5 讨论了c d g 方程的解，本章 熟俐用齐次平衡法并借助于计算机代数系统m a t h e m a t i c a ，求出了c d g 方程的两 组b a c k l u n d 变换和三组精确解，其中一组为孤波解。并结合文献 1 5 ，对其解进 行新的延拓 根据齐次平衡思想，为了使非线性项委以甜。，委”甜。及5 ：以同时与线性项 ：“部分平衡，设( 3 1 ) 具有如下形式的解： 封= ，。2 + ，7 也k + p 。 ( 3 2 ) 坼+ 吉+ ；虬甜。+ 。地2 吣= 石1 ，。7 ) 一r j 5 ，- , 3 ，4 ) + 吾，5 ) + 5 ( ) 2 ，3 ) + ( 7 f ( 6 ) + l o ( f 伪) 2 + 等朋4 ) + ；，7 f o ) + 1 5 ( f ”l 办圆) 。 ，i 3 5p s - ，m 1 3 m h 2 。i 3 5p ：，) t o ? 。，3 5 f f a ) m 。，o ￥妥f mp m ? 嘧m + 乡w + 善尸雌，+ 2 5 垆，q ，吆：+ 詈；垆w ： 0 3 + 詈，”，4 + l o f ”广耐+ 3 0 f ( f “) 2 m x j o t 。2 + 5 ( ，) 2 厂吃3 2 + 5 八厂) 2 q 4 + + ( 吾) + ；+ ；q + j 5 + ；u 出一+ 十l o u q + 5 。2 + ) 厂7 + ；十5 0 , o 。+ ；。+ 5 u 2 岐+ q = o 江苏大学硕士学位论文 令织7 前面的系数等于0 ，即： 护+ 扣+ ；办i s ) + 5 ( f 乍严o ( 3 4 ) 可以解得 f = 2 l n r _ o f = 4 l n 脚 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 下面分( 3 5 ) 和( 3 6 ) 时两种情况来讨论c d g 方程的b a c k l u n d 变换和精确解。 3 1f - - - 2 1 n m 时，c d g 方程的b a c k l u n d 变换和精确解 当= 2 1 n a 时，由( 3 5 ) 进而可得如下关系式： ( ，1 2 = 一去严，”= 一击，旧，m = 一j 2 广，) 3 = 嘉， 办= 古广，y 3 ) = 一丢广广= 一三尸( n 2 = 护， u ，) ：f 3 ) ；i i n ，) ：一；，”，f f 3 ) - 一i 2 ，) ：f ”：寻厂i ”， )jj j f p = 一严( f ) 3 = 2 p u ? = 五p 将上述各式代入( 3 3 ) 并利用( 3 4 ) ，可得 珥+ 吉一+ ；叱+ ；“+ 5 u 2 叱= 咕吐( 9 q 吐+ 4 5 0 2 吱2 + 1 5 q 2 + 1 0 2 + p ( - 4 5 0 。, 2 + 6 0 q 。) 一1 5 一+ 咄缈一) l 厂泖+ 弓( 她吒+ 1 3 5 u 2 q - 4 5 q 2 + 1 5 吐2 + 5 黼+ 1 5 0 ( 6 0 , 6 0 。2 - - 2 6 0 嚣6 0 m + 5 q m 脯) 一峨够一 + 吱( 1 8 + 4 5 + 6 0 v ：o 。+ 7 一) ) 】尸+ 咕( 9 国。+ 4 5 。2 。+ 1 5 。 + 1 5 0 m 。- - 0 a + 1 5 0 o , , 一+ 1 5 0 ( 6 0 , + ) + ) ，+ ( ；+ ；吱 + 要l ，q 。+ 5 ) ：q + q ) o ：o 令，”、，”、厂7 、j r o 的系数分别为0 ，得到 1 4 江苏大学硕士学位论文 c o , ( 9 c o o l + 1 0 m 嘣2 1 5 c o 廿m x + 6 。国删+ 4 5 0 2 0 ) x = + 1 5 u 耵自气2 4 5 0 国n 2 + 6 0 0 c o , 缈越) = 0 豪( 9 q q + 1 0 2 - 1 5 “够一+ 6 q 吐一+ 4 5 u 2 q 2 + 1 5 0 。, 0 j x 2 4 5 幽? + 6 0 0 c o a = , ) + c o x ( 9 c o 。+ a + 4 5 0 2 哆口+ 15 够+ l5 p ) _ = 0 盖( 9 吆+ 一“5 矿( - o x r + 1 5 + 1 5 0 ) = o q + 吾+ 吾岐+ 喜u 蛳2 吃= o 欲使上式成立，只须缈、u 满足 9 q 够。+ l 吣m 2 - 1 5 c o 翻+ 6 q 托l 册+ 4 5 0 2 c o x 2 + 1 5 u 。, c o , 2 _ 4 5 u 国k 2 + 6 0 v c o ，m = 0 9 + + 4 5 0 2 + i 5 0 。0 7 = + 1 5 0 c o 。, = 0 ( 3 1 1 ) q + 吾+ j 5 q + 喜。+ 5 u 2 岐= o 由7 y r _ t i t ( 3 1 1 ) 可知，为c d g 方程的解，于是将( 3 5 ) 代入( 3 2 ) ，得 定理1c d g 方程的一组自b a c k l u n d 变换为 脚昙l l l ) 其中0 、满足方程组( 3 1 1 ) 。 推论1 取u = o ，则方程组( 3 1 1 ) 变为 9 c o , 0 7 + 1 0 2 。1 5 + 6 c o x ( - o m 一卸 (313)9 【c o ，+ 国。= 0 、7 c d g 方程的自b a c k l u n d 变换为 ：2 鲁 ( 3 1 4 ) 苏2 7 现利用变换( 3 1 4 ) 及齐次方程组( 3 1 3 ) 求出c d g 方程的精确解： 设方程组( 3 i 3 ) 具有如下形式的解： o j ( x ，) = 口( j ) + e x p ( o x + r t + # o ) ( 3 1 5 ) 其中口( 工) 为待定函数，、，为待定常数，磊为任意常数。将( 3 1 5 ) 代入方程组 ( 3 i 3 ) ，可得 1 5 江苏大学硕士学位论文 4 9 e x p 2 ( f l x + y t + 当o ) 、e x p ( p x + y t + 毒o ) 、e x p 0 的系数分别为0 ，可得如下方程组： ( 9 ，+ 5 ) = 0 9 7 c 。+ 3 ) 、2 2 0 f l s a ( s 删) - 1 ) 5 ( f 1 2 a ，4 y ) + 邸么。”) - o (317)lo ( a ( 3 ) 2 1 5 a ”口4 + 6 a 7 口( 5 ) = 0 、“7 口6 ) = 0 由( 3 1 7 ) 最后一式可得到： 口( x ) = a s x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + q 工+ a o( 3 1 8 ) 将( 3 1 8 ) 代入( 3 1 7 ) 中，比较各幂次的系数可得： a 3 = 口4 = a 5 = o ，( g z + p 5 ) = o ，9 y ( 2 a 2 x + a 1 ) - 3 0 a 2 f 1 4 + 6 f 1 5 ( 2 a 2 x + a a ) = 0 所以，当卢= o 时， 口，= = a j = 0 ，= 0( 3 1 9 ) 当，= 一等时，口严幻= 田= 田= 彤= 。( 3 1 1 0 ) 由( 3 1 4 ) 、( 3 i 5 ) 、( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) ，可得 定理2c d g 方程的一组精确解为： ；( 2 a _ 2 x + r a l ) 2 _ q 2 工+ 广4 c a 2 ( a ) ( a z x 2 + q x + c ) 2 其中口l 、a 2 、c 为任意常数。 由( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 8 ) 和( 3 1 1 0 ) ，可得