（应用数学专业论文）不确定性系统的迭代及其动力学.pdf

不确定性系统的迭代及其动力学 应用数学专业 研究生陈丽指导教师张伟年 动力系统就是要研究一个确定性系统的状态变量随时间变化的规律根据 系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离 散动力系统大量的物理，力学生物学以及天文学问题的数学模型都是有连续 的和离散的迭代过程描述的迭代是自然界乃至整个人类生活中的一种普遍现 象迭代方程是包含未知映射迭代的等量形式，它在自然界中有许多重要的应 用例如，在描述倍周期分岔普适性时的费根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 现象、微分方 程中的不变流形，h a m i l t o n 系统中的不变环面和不变曲线、正规形问题等都可 归结为对迭代方程的研究迭代方程已成为与微分方程、差分方程、积分方程及 动力系统紧密相关的重要的数学方程形式，受到众多学者的关注近几十年来， 这一领域的研究已取得了大量的成果在本文的绪论中介绍了迭代和迭代方程 的有关概念，迭代与动力系统的关系，并综述了近年来国内外数学家对迭代方程 取得的成果关于迭代的目前已知的结果大多是在确定性系统中获得的，在不 确定性系统中的迭代研究是比较少的特别是关于迭代方程在不确定性系统中 的研究是屈指可数的在确定性系统中，所涉及的函数通常具有较好的性质或 特征，比如单调性、连续性，可以考虑导数等，但是在不确定性系统中的映射则 由于更复杂而不具备这些性质或特征因此讨论不确定系统的迭代需要在方法 上有发展在绪论中我们综合性地介绍了集值映射迭代方程和模糊动力系统的 发展概况及一些未饵决的问题 确定性动力系统理论是建立在分明拓扑空间上的，历史悠久自1 9 6 5 年以 来，国内外许多学者致力于将分明拓扑推广至格上，已经形成系统的l 拓扑理 论第二章首先引入集值分析中的一些基本概念和结果其次从完备格的基本 概念开始，介绍了格值映射l 拓扑的有关知识 第三章研究了集值映射的迭代方程的解的存在性，本章首先在前人获得的 单位区间【0 ，1 】上的上半连续集值映射对应的二阶多项式型迭代方程的解的存在 性基础上。进一步对包含在端点取集值的更广范围内的一类上半连续集值映射 给出了二阶多项式型迭代方程的解的存在唯一性，解对已知集值映射的连续依 赖性然后利用上下边界函数研究了连续集值映射的n 阶多项式型迭代方程的 解的存在性，并获得了解的唯一性以及连续依赖性 第四章研究了格值映射的动力学已有的模糊动力系统是建立在全序集1 0 ，1 1 上，而通常的格l 只具备偏序关系本章在l 拓扑空间上用z a d e h 映像算子 进行迭代建立起一种离散动力系统，不但研究了系统的极限集，不变集、周期 点，非游荡点、回归点，以及拓扑混合性拓扑传递性、极小性等，还揭示了在 弱诱导拓扑空间中与其底空间上的相应的概念和性质之间的关系。这些结论证 明分明拓扑动力系统的轨道的渐近性以及稠密性可以推广到模糊拓扑上的动力 系统 关键词迭代，迭代方程，集值映射，厶拓扑，z a d e h 映像算子 i t e r a t ea n di t sd y n a m i c so fi n d e t e r m i n a t es y s t e m s m a j o r ia p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tlc h e nl i s u p e r v i s o riz h a n gw e i n i a n t h ep u r p o s eo fd e t e r m i n i s t i cd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi st os t u d yr u l e s o fc h a n g ei ns t a t ew h i c hd e p e n d so nt i m e u s u a l l yt h e r ea r et w ob a s i c b r m s o fd y n a m i c a ls y s t e m s ：c o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yi t e r a t i o no fm a p p i n g s m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l si np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，b i o l o g ya n da s t r o n o m ya r e g i v e ni ns u c hf o r m s i t e r a t i v ee q u a t i o n sa r et h ee q u i v a l e n tf o r mt h a ti n c l u d e si t - e r a t i o no fu n k n o w nm a p p i n g s i th a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nt h en a t u r e f o re x a m p l e ，t h ef e i g e n b a u mp h e n o m e n aa si n v e s t i g a t i n gu n i v e r s a l i t yo fp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o nc a s c a d e ，i n v a r i a n tc u r v e sa n dm a n i f o l d so fad i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，i n v a r i a n tt o r ia n dc u r v e so fh a m i l t o n i a ns y s t e m 8a n dt h en o r m a lf o r m p r o b l e m c a r lb er e d u c e dt ot h er e s e a r c ho fi t e r a t i v ee q u a t i o n s i t e r a t i v ee q u a t i o n h a sb e c o m ea ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c se q u a t i o nf o r mw h i c hc l o s e l yl i n k sd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s ， a n da t t r a c t sa t t e n t i o n so fm a n ys c h o l a r s i nr e c e n td e c a d e s ，m a n yr e s u l t sh a v e b e e ng i v e ni nt h i sf i e l d i nc h a p t e rl ，c o n c e p t so fi t e r a t i o na n di t e r a t i v ee q u a t i o n a sw e l la sr e l a t i o n s h i pb e t w e e ni t e r a t i o na n dd y n a m i c a ls y s t e m sa r ei n t r o d u c e d m a n yk n o w nr e s u l t so ni t e r a t i v ee q u a t i o n sw h i c ha r ea l lg i v e nf o rd e t e r m i n i s t i c s y s t e m s ，a r es u m m a r i z e d i np a r t i c u l a r ，l e s sr e s u l t sa r eg i v e nf o ri t e r a t i v ee q u a - t i o n sw i t hi n d e t e r m i n a t es y s t e m s f o ri n d e t e r m i n a t es y s t e m sf u n c t i o n sd on o t h a v es og o o dp r o p e r t i e s ( e g ，m o n o t o n i e i t y , c o n t i n u i t y , d i f f e r e n t i a b i l i t y , e t c ) a s f o rd e t e r m i n i s t i co n e s h e n c ei tn e e d st om a k es o m ei m p r o v e m e n ti nd i s c u s s i n g i t e r a t i o ni ni n d e t e r m i n a t es y s t e m s i nc h a p t e rl ，w es u r v e yt h ed e v e l o p m e n t o fs e t - v a l u e di t e r a t i v ee q u a t i o n sa n df u z z yd y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dg i v es o m e u n s o l v e dp r o b l e m si nt h e s ef i e l d s t h et h e o r yo fd e t e r m i n i s t i cd y n a m i c a ls y s t e m si sc o n s t r u c t e do nt h et h e o r y o fc r i s pt o p o l o g y , a n dh a sal o n gh i s t o r y s i n c e1 9 6 5 ，m a n ys c h o l a r sh a v em a d e e f f o r t si ng e n e r a l i z i n gt o p o l o g yf r o mt h ec r i s ps e n s et ol a t t i c e ss oa st os e tu pa t h e o r yo fl t o p o l o g y i nc h a p t e r2 w ef i r s ti n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n d r e s u l t s t h e n ，f r o mt h ec o n c e p to fc o m p l e t el a t t i c e ，w es h o ws o m ek n o w l e d g eo f l a t t i c e - v a l u e dm a p p i n g sa n dl - t o p o l o g y i nc h a p t e r3w eg e n e r a l i z et h ek n o w nr e s u l to fu p p e rs e m i c o n t i n u o u ss o 1 u t i o n so ft h es e c o n do r d e rp o l y n o m i a l - l i k ei t e r a t i v ee q u a t i o nt oal a r g e rc l a s so f s e t v a l u e dm a p p i n g s ，w h i c hi n c l u d e st h eo n e sw i t hs e t - v a l u e sa tt w oe n d p o i n t s n e x t ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so ft h en - t ho r d e rp o l y n o m i a l - l i k e i t e r a t i v ee q u a t i o nw i t ht h eu p p e rb o r d e ra n dt h el o w e rb o r d e rf u n c t i o n s ，a n d i n v e s t i g a t et h eu n i q u e n e s s ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo ft h es o l u t i o n s w es t u d yt h ed i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m so i ll a t t i c e si nc h a p t e r4 t h e k n o w nr e s u l t si nf u z z yd y n a m i c a l s y s t e m sa r eb a s e do nt h ew e l l o r d e r e ds e t 【0 ，1 1 h o w e v e r ，t h eu s u a ll a t t i c e sh a v ep a r t i a lo r d e r s w eu s et h ez a d e hi m a g eo p e r - a t o rt oi t e r a t ea n dt h e nc o n s t r u c tad i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e mi nl - t o p o l o g i c a l s p a c e s w ec o n s i d e ro r b i t s ，p e r i o d i c i t ya n di n v a r i a n c eo fm o t i o ni nl - t o p o l o g y d e e p l y i n c l u d i n gc o m p l e x i t ya r i s i n gf r o mi t e r a t i o no fc o n t i n u o u sz a d e hi m a g e o p e r a t o r ( h o m e o m o r p h i s m s ) ，a n dc o m p a r et h ef e a t u r e so fd y n a m i c a ls y s t e m si n l t o p o l o g i c a ls e n s ew i t ht h o s ei nc r i s ps e n s e w ea l s od i s c u s sn o n w a n d e r i n g p o i n t sa n dr e c u r r e n tp o i n t si nw e a k l yi n d u c e df u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s f u r t h e r - m o r e ，w ei n v e s t i g a t et o p o l o g i c a lm i x i n g ，t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y , a n dm i n i m a l i t y f o rs u c hd y n a m i c ms y s t e m sa n dc o m p a r et h e mw i t ht h o s ec o r r e s p o n d i n go n e si n c r i s ps p a c e s t h e s er e s u l t ss h o wt h a tt h ea s y m p t o t i c a lp r o p e r t ya n dd e n s i t yo f t h eo r b i t si nc r i s pd y n a m i c a ls y s t e m sc a l lb eg e n e r a l i z e do nf u z z yo n e s k e yw o r d s ：i t e r t i v e ，i t e r a t i v ee q u a t i o n s ，s e t v a l u e dm a p p i n g ，l - t o p o l o g y , z a d e hi m a g eo p e r a t o r 致谢 本文是在导师张伟年教授的悉心指导下完成的，论文写作的每一步都倾注 着他的心血三年的时间里，是他始终不渝的关心，鼓励、教诲和帮助，使作者 得以顺利完成学业他高尚的师德、严谨的学风，宽阔的知识面和在微分方程与 动力系统方面深邃的洞察给予作者深刻的启迪和影响，使作者永志难忘，终生 受益在此，作者向导师表示深深的敬意和感谢! 作者也衷心感谢罗懋康教授在格上拓扑理论中的指导帮助，感谢寇辉在格 上拓扑意义下的动力系统问题上的成功合作 作者要感谢师姐徐冰副教授师弟石勇国的友好合作，感谢杜正东博士的 真诚帮助 迭代方程和微分方程讨论班的学友们对我的帮助甚多，真诚表示感谢同 时感谢所有关心。支持和帮助我顺利完成学业的老师、同学和朋友 我的家人多年来对我的学习很理解，忠心感谢他们的支持 第一章绪论 动力系统【1 2 矾7 4 的主题是研究运动，变化，发展动力系统的离散化问题 归结为映射的迭代迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象它是同一运 算或操作的多次重复如乘法和乘方就分别可看作是加法乘法的迭代x 射 线的透射可看作射线衰减率的迭代流体渗透、传热，生物体的生长，。人口预测 等过程也都包含了迭代现象在数学中，一切递推关系都是迭代微分方程解的 p i c a r d 逼近就是一个迭代过程微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空间 上的连续映射的迭代来处理在计算机科学研究中，由于计算机的飞速发展，迭 代运算便于在计算机上实现的优点凸现出来。各种各样的计算问题，在计算机 上都可以应用迭代程序求解迭代所产生的动力系统刻画了事物运动的重要环 节和发展趋势通过对迭代的研究，可以预测系统在未来的状态和发展趋势有 时通过迭代，也可以追溯系统在过去的运动过程因此，研究迭代的规律在现 实生活中具有非常重要的意义 1 1 迭代与迭代方程 关于映射迭代的研究，至少可追溯到一百多年以前e s c h r 6 d e r 8 8 1 n h a b e l l l j ，c b a b b a g e1 2 2 1 等数学家的工作由于迭代运算与代数运算的迥然不 同，研究工作艰难曲折到了近代，在物理学，化学天文学，力学等学科的推动 下，非线性动力系统的研究成为世界范围内的学术热点并不断作出重大发现。 如关于周期性的s h a r k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象关于运动的复 杂性的s m a l e 马蹄等等这些工作促进了现代迭代理论的发展，而且影响深远 定义1 1 1 设，：x _ + x 是集合x 到自身的一个映射。记 ，o ( z ) = z ，“( 。) = ，o r 一1 ( z ) ， 其申，仃为正整数，称尸扛) 为，( z ) 的n 次迭代 与微分算子相比，迭代算子更加复杂，因为微分是线性运算而迭代是一种非 第2 页第一章绪论 线性运算线性函数迭代后具有保线性的特征，非线性函数迭代后不仅其n 次 迭代的函数十分复杂。而且当n _ + 0 0 时的极限行为还会出现许多意想不到的 事情，非线性函数的复杂性常常通过迭代而被放大了【2 3 6 0 , 7 5 , 1 2 “ 关于迭代，有如下三个基本问题： 1 n 次迭代，n ( 击) 的计算或估计及其极限的收敛性这里，极限的收敛性 是要研究动力系统轨道o r b l ( x ) = p ( 茹) ：n = 0 ，1 ，2 ，) 的长期行为，如u 一 极限集等 2 确定，使之第n 次迭代是一个已知映射f 即求解函数方程p ( 。) = f ( 卫) ，比x ，这里，称为f 的一个仃次迭代根 3 将f 的离散动力系统嵌入流，相当于要找出一个x 上的连续流咖( t ，z ) ， 使得f = 庐( 1 ，z ) 人们从直觉上首先要关心第一个问题尤其是在科学实验中人们非常关心 运动的终极状态，即运动轨道的极限状态，因为终极状态往往是稳定、长效且可 观测的另一方面。当人们通过研究离散动力系统对整数次迭代深入了解后，总 希望能考察在整数之间有否分数次或任意实数次的迭代，即迭代根与嵌入流问 题此外，关于稳定性，包括轨道o r b x ( x ) 对初始点的依赖性迭代根，和嵌入 的流对已知映射f 的依赖性、甚至整个系统轨道拓扑结构对f 的依赖性， 也是人们关心的问题 有了一种运算就自然会有一种方程问题的出现有了映射的迭代，以迭代 为基本运算形式的方程就称为迭代函数方程，或简称为迭代方程一个n 次迭 代方程的基本形式是 g ( ，( z ) ，2 ( 正) ，“( z ) ) = f 缸) ( 1 1 1 ) 当g 是线性函数时，方程( 1 1 1 ) 成为 a 1 ，( z ) 4 - a 2 ，2 ( z ) + 十a 。，“( z ) = f ( z ) ，( 1 1 2 ) 称为多项式型迭代方程迭代根问题 ，“( z ) = f ( 。) ，( 1 1 3 ) 1 1 迭代与迭代方程第3 页 就是其特殊情形如果方程( 1 1 2 ) 中f ( z ) = - - ) l o x ，即f 是线性形式，方程成 为 a o 石+ a l ( x ) + a 2 ，2x ) + + k ，”p ) = 0 ，( 1 1 4 ) 称为齐次多项式型迭代方程 迭代方程作为现实世界中抽象出来的一种十分重要的模型，具有广泛的现实 和应用背景事实上，研究动力系统不变流形的典型方法( p e r r o n 和b o g o l i u b o v 方法) 归根到底是把问题化为一个迭代方程例如，简单地考虑一个平面映射t ： ( z ，可) + ( 掣，( x ，可) ) ，其不变曲线妒= ( 石) 必定满足方程h c h c x ) ) = ，( z ， ( z ) ) ( 参见【6 8 ，9 7 】) 此外，研究倍周期分岔1 1 9 j 涉及的f e i g e n b a u m 方程，( o ) = 一f ( f ( - a x ) ) a 就是一个迭代方程在动力系统许多方面的研究如保守微分同胚 的横截同宿点1 2 4 j 规范形问题【u j 等都要涉及讨论迭代方程 与微分方程不同，迭代方程乃至齐次多项式型迭代方程的解结构十分复杂， 至今仍无常微分方程那样完整的特征理论，一个简单的原因是微分是线性运算 而迭代是一种非线性运算事实上，一个线性的常微分方程 a l v ( x ) - 1 - a 2 口2 ，2 扛) - 1 - + a 。口“”( z ) = f ( x ) 的两个解的差别仅仅是其对应齐次方程的一个解，而这个解可以表示成若干特 征解的线性组合但多项式型迭代方程( 1 1 2 ) 的解则没有这种性质 对迭代方程的研究首先是从迭代根开始的关于迭代根的研究至少可以上 溯到百年以前的e s c h r s d e r s s l ，n h a b e l ”，甚至更早的c b a b b a g e 嗍等 数学家的工作1 9 5 0 年，r i s a a c s 在一篇精辟的论文1 3 5 j 中完成了一个奠基性 的工作，给出了抽象集上自映射的迭代根存在的充要条件在实数域中讨论迭 代根问题的工作，最早有u t b s d e w a d t l l3 j 和m k j r f o r t 例关于单实变 函数的结果多实变函数方面的结果较少波兰的学者在函数方程和迭代根方 面的研究是很突出的，特别是在单实变的情形有m k u c z m a 的专著惮，4 7 l 和其 它论文忡，蚰4 9 j 可参考单实变函数迭代根的研究，一般限于单调连续函数，非 单调情形的讨论较少鉴于此。1 9 8 3 年，张景中和杨路在文献【1 2 0 】中讨论了 逐段单调连续函数的迭代根，得到了很好的结果，推进了迭代根的研究后来张 第4 页第一章绪论 伟年研究了迭代根的局部c 1 光滑性【1 2 7 】和全局g 1 光滑性【1 2 卅，并在逐段单调 函数的迭代根的问题上做了新的改进1 1 删关于复变函数迭代根的研究，在g k o e n i g s 4 2 1 的局部结果的基础上，h k n e s e r 【4 l l 做出了整函数矿的二次迭代 根的全局结果，之后r e r i c e1 8 3 j 等人作了进一步的工作关于圆周上的自映 射的迭代根问题，可参见m c z d u n 1 1 9 】麦结华、何连法和牛东晓【3 2 】等 人的工作 齐次多项式型迭代方程( 1 1 4 ) 可以写成 ，“( z ) = a n - i f “一1 ( z ) + a n 一2 ，“一2 ( z ) + + a o x ( 1 1 5 ) 许多函数方程都可以化成方程( 1 i 5 ) 的形式例如方程( z z f ( z ) m ) = m x 就可以化成 2 ( z ) = 2 h ( x ) 一z ，只要令g ( z ) = f ( z ) l m ，h ( z ) = g - 1 ( z ) 方程 ( 1 1 5 ) 还与差分方程x k + 。= ( 1 n - l x k + 。l + + o l x k + l + o 瓢有关，而且还是 迭代根问题最直接的推广因此方程( 1 1 5 ) 被广泛研究具体地说，1 9 5 9 年 w a g n e r 1 0 4 】研究了方程 f ( z + ，( z ) ) = ，( z ) ( 1 1 6 ) 1 9 7 4 年，n a b e y af 6 7 】研究了比( 1 1 6 ) 更广泛的迭代函数方程 ，+ q x + r ，( z ) ) = a + 6 z + c f 0 ) ( 1 1 7 ) 其后，d h o m b r e s 【2 0 】详细研究了二次迭代函数方程 ，2 ( 茁) = a ( z ) 十( 1 一a ) x ( 1 1 8 ) 事实上。( 1 1 8 ) 是一个齐次多项式型迭代方程，方程( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 通过变 量替换可以化为方程( 1 1 4 ) 的形式1 9 9 7 年。j m a t k o w s k i 和张伟年1 6 2 j 用特 征理论研究了方程( 1 1 4 ) 的许多性质，麦结华1 5 7 j 则进一步给出了方程( 1 1 8 ) 的通解对一般的n ，a m u k h e r j e a h 和j s r a t t i 6 6 j ，j s r a t t i 和y 一f l i n 【8 2 j 等人研究了方程( 1 1 4 ) 在一些特殊情形的实连续解随后，w j a r c z y k 【3 6 | j m a t k o w s k i 和张伟年1 6 3 j 等人做了进一步的工作特别地，扬地莲和张 伟年【1 1 7 】深入地研究了方程( 1 1 4 ) 在多种情形下的特征解 1 2 集值映射的迭代方程的研究进展和问题第5 页 一般的多项式型迭代方程，正如函数论中人们对多项式的青睐一样，也深受 重视【9 t5 9 , 1 2 2 , 1 2 3 , 1 2 4 , 1 2 6 , ”1 1 1 9 8 3 年赵立人【m l 用级数逼近法证明了方程( 1 1 2 ) 当n = 2 时连续解的存在性为了进一步得到方程( 1 1 2 ) 关于一般的n 的结 果，1 9 8 6 年张伟年通过构造包含迭代的连续算子，应用不动点定理证明了方程 ( 1 1 2 ) 的c o 解 1 2 4 1 的存在性在1 9 9 0 年，张伟年更深入地研究了该方程的c 1 解【1 2 8 】随后，张伟年1 1 3 1 ，1 矧司建国【9 0 ，9 1 , 9 4 , ，9 7 1 ，徐冰【1 1 射，m k u l c z y e k i 和j t a b o r 5 0 】，麦结华和刘新和郾j 以及更多的学者分别研究了方程( 1 1 2 ) 的 对称解c 口解、局部解析解、高维解、凹凸解单调解、以及解的稳定性和方 程( 1 1 1 ) 的c o 解、c 1 解，g 2 解，c ”解等 函数方程( 1 1 1 ) 是一类更广泛的迭代方程对一般的g ，司建国讨论了方 程( 1 1 1 ) 的c o 解【9 2 】，c 1 解 g s l 进而，他和张伟年共同研究了方程( 1 1 1 ) 的 俨1 9 5 ) 解 此外，张伟年和j b a k e r 【1 3 2 1 司建国和王馨平徐冰 1 1 6 1 分别研究了 所谓的变系数多项式型迭代方程 a 1 ( z ) ，( z ) + a 2 ( z ) ，2 ( z ) + + h ( z ) ，”( z ) = f ( z ) ， 的g o 解，e 1 解和解析解2 0 0 0 年麦结华和刘新和【5 8 】讨论了方程 a ( x ，( z ) ，2 ( z ) ，“( z ) ) = 0 的e “解 漫长的历史沉淀使得迭代方程形成了个独特的理论体系【2 ，3 ，4 ，2 5 , 4 5 , 4 7 1 ，成 为与微分方程、差分方程和动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和 工程科学研究中起着越来越重要的作用 1 2 集值映射的迭代方程的研究进展和问题 集值分析( 参见【8 ，5 2 】) 是2 0 世纪4 0 年代以后蓬勃发展起来的个现代数 学分支作为建立非线性问题数学模型，解决非线性问题的数学理论和有力工 具，它已经成为非线性分析的重要组成部分，在控制论和微分对策，数理经济学 第6 页第一章绪论 和决策论，非线性最优化、生物数学，物理以及拓扑学，泛函分析，变分学、逼 近论，凸分析与非光滑分析，微分方程与微分包含等众多领域有着广泛的应用 它的思想方法也已渗透到许多社会科学、自然科学以及技术领域的研究之中 正如我们在上一节说述，迭代函数方程在现代生活与实践中的重要性使得 我们自然地想要研究关于集值映射的迭代方程但是集值映射迭代方程的研究 远没有单值函数情形那么丰富，参见【7 2 ，7 6 ，7 7 ，7 8 ，9 8 ，1 1 2 单变量的函数方 程的集值解被部分学者研究，相关的结果可参见【7 0 ，7 1 ，9 9 ，1 0 0 ，1 0 1 ，1 0 2 给定一个集合s 上的函数，：s - 4s 和整数n 芝2 ，我们说9 ：s - - 4s 是 ，的n 阶迭代根，如果g ”= ，但是一般地这种迭代根不存在t p o w i e r i a 在文献【7 6 】中定义了这样的允许g ：s - + 2 5 是集值映射的迭代根，即g 满足 ，( z ) 旷( z ) 文章 7 6 j 的主要结果是如果，是双射，则，有一集值迭代平方 根，这个根在，有一真正迭代平方根时可以简化为一单值函数t p o w i e r 2 a 后来在文章【7 8 】中构造性地研究了双射的高阶迭代根在文章【7 8 】中得到的构 造是通用的并且该文还证明了双射有迭代根的充分必要条件的l o j a s i e w i c z 定 理的另一个版本另一篇文章 7 9 】接着讨论了已知双射，存在最小集值迭代根 的必要条件，这些条件也是双射，有唯一真正迭代根的充分条件关于函数方 程的集值解问题，文献【1 0 0 1 得到了这样的结果；如果取值为h a u s d o r r f 拓扑向 量空间的紧凸集的映射圣。是不等式h ( z ，叫，( z ) 】) c 圣( z ) 的一个上半连续解， 则存在一个方程日( z ，叫，( 。) j ) = 圣( z ) 的具有相同性质的极小解中c 圣o 在 文献【7 0 ，7 1 】中，作者分别讨论了j e n s e n 函数方程f ( ! 笋) = 射f ( 茹) + f ( 耖) 】 和p e x i d e r 函数方程f ( x + y ) ；g ( z ) + h ( y ) 的集值解另一篇文章【1 0 2 ，w s m a j d o r 得到了j e n s e n 函数方程和p e x i d e r 函数方程的局部集值解 事实上，考虑多项式型迭代函数方程的集值解是从k n i k o d e m 与张伟年的 文章【7 2 】开始在文献【7 2 j 中，作者考察了二阶集值迭代方程a l f ( 茁) + a 2 f 2 ( x ) = g ( z ) ，其中g 是已知集值映射，f 是未知的集值映射，a l ，a 2 是实常数 f 2 是f 的二阶选代，定义为f 2 ( z ) ：= u f ( y ) ：y f ( z ) ) 该文在一类固定区间 【0 ，1 】端点的上半连续集值映射簇中构造结构算子，利用b a n a c h 不动点定理得 到二阶迭代函数方程的解的存在性与唯一性但是由于集值映射的上半连续性 比单值函数的连续性弱，而且不能要求l i p s c h i t z 条件满足，在单值函数情形能 1 3 格值动力系统的进展和问题第7 页 够有效使用的方法( 参见【1 2 5 ，1 2 8 ) 不能再应用到n 阶集值映射迭代方程那 么n 阶集值映射迭代方程的解如何，是一个值得探索的问题本文的第三章首 先对文献f 7 2 】的结论作了一定的推广，将文【7 2 】中的上半连续集值映射类的范 围扩大，即去掉在区间【0 ，1 】的两个端点处，集值映射只能取单点值的限制，得 到在更广范围内二阶集值映射迭代方程的解的存在性与唯一性，并且所得解是 连续依赖于已知集值映射相对于t i , 阶迭代方程的大量研究及其丰富的结果， 札阶集值迭代方程的研究遇到重重困难和障碍事实上，集值映射的迭代结果远 比单值函数的迭代结果更复杂在第三章，我们还讨论了竹阶迭代方程的集值 解对于一个集值映射f ，我们构造了它的上下边界函数妒p ，妒f ，通过这两个单 值函数来界定集值映射在一定的条件下，单值函数如，掣毋对应的7 1 阶迭代方 程有解，那么由这两个解可构造得到集值解 1 3 格值动力系统的进展和问题 设s 是一个集合，映射，：s 一( s ) cs 按复合运算。o ”满足 h 1 ，o = i d h 2 ，”+ ”= f ”o ，t i ，v m ，仃z + 其中谢表示恒同映射一般来讲，这可定义一单边的离散动力系统( 只，) 这 时，s 的结构对，) 的性质有决定性的影响 集合s 的基本结构有三类：序结构，代数结构和拓扑结构首先，设集合 s 关于序关系。构成一个偏序集) ，即s 上的二元关系是自反的 传递的且反对称的如果s 中任意两个元素。和b 都有公共下确界和上确界， s 上定义运算a 和v 为 口ab = i n f ( a ，6 ) ，口vb = 8 u p ( a ，6 ) ， 则( s a ，v ) 是格如果在集合s 上定义了一组运算a l ，0 2 ，a n ，其运算结果 仍是s 中的元素，则称s 对于这n 个运算构成一个代数由偏序关系引出的格 就是一个代数结构如果s 具有拓扑结构，但拓扑是t o 或者乃的，其拓扑刻 第8 页第一章绪论 画是不够精细的具有可数基乃空间是可度量化的拓扑空间在度量空间上建 立的拓扑动力系统，具有丰富的性质并不是每个拓扑空间都可度量化，拓扑空 间可度量化，当且仅当它是具有盯局部有限基的死空间架构在上述空间上的 动力系统。是确定性动力系统如果在概率空间或者模糊拓扑空间上建立动力 系统，就分别称为随机动力系统和模糊动力系统动力系统底空间的不同结构使 得动力系统的类型是多样的，而底空间上的映射的非线性性质又使得动力系统 的大范围性状是复杂的 一般地，动力系统理论是建立在通常意义下的点集拓扑上，并在拓扑意义 下给出轨道的不变性、稠密性随着被观察的对象越来越复杂，在数学描述的复 杂性与精确性之间出现了一种微妙的冲突事物总是运动的，一些过去在一定 条件下是准确的结果受多种原因的影响，具有局限性，甚至失效，以至在更大范 围内不能精准地描述被观察的对象这就要求发展传统的思想模糊集和模糊 拓扑理论的快速发展指出了一条克服上述困难的途径 自从1 9 6 5 年，l a z a d e h “8 j 首次提出了模糊集合“f u z z ys e t ”的概念，使 得集合理论与逻辑及它们之间的关系均得到了一定的扩展，也导致模糊拓扑或 格值拓扑理论的发展f ”，2 9 , 5 4 , 8 4 ，1 1 0 j 1 9 6 8 年，c l c h a n g 以la z a d e h 的 f u z z y 理论为骨架，引入了f u z z y 拓扑空间【1 5 】的概念，并把诸如开集闭集、邻 域、内部，闭包、连续性以及紧性等基本概念推广到f u z z y 拓扑空间去但是作 为一般拓扑学的推广，f u z z y 拓扑学要比一般拓扑学复杂得多以c l c h a n g 引入的f u z z y 拓扑空间的理论为基础。c k w o n g 在初期的推广性研究工作中 作了许多工作，并且发现f u z z y 拓扑学与一般拓扑学之间存在着比较明显的差 异他在文献【1 1 4 】中将f u z z y 点及其邻域概念引入到f u z z y 拓扑空间中之后， 暴露出邻域在f h z z y 拓扑学研究中所遇到的障碍和矛盾1 9 7 7 年，在分析了c k w o n g 的f u z z y 点及其邻域系理论的弊病之后，并修改了f u z z y 点及其对于 一个f u z z y 集的从属关系，蒲保明与刘应明打破传统的邻域方法，引入了新的 “重域”概念，建立起完整的m o o r e - s m i t h 收敛理论( 参见【8 0 】) 自此，f u z z y 拓扑学的研究快速发展f u z z y 拓扑融合了两种结构：序结构和拓扑结构，更 具体地说，它是建立在格上的拓扑关于格上拓扑的研究，可以追溯到上世纪 五十年代后期的e h r e s m a a n ( 参见【5 4 1 ) 的工作1 9 7 9 年，王国俊在文献【1 0 5 l 1 3 格值动力系统的进展和问题第9 页 中提出了拓扑分子格理论，以远域系作为分子的邻近结构，建立了比较完整的 m o o r e - s m i t h 收敛理论，并在完全分配格上建立了点式拓扑理论【瑚，1 0 8 , 1 删分 子远域和序同态是这一理论中的三个核心概念刘应明与罗懋康在专著【5 4 】中 综合了中外学者在模糊拓扑方面的研究结果，对模糊拓扑理论作了阶段性的总 结该专著除了系统地讨论模糊拓扑与分明拓扑的关系，将分明拓扑中几乎所 有经典结果纳入更为广泛的框架下之外，还对由于框架的拓广所产生的特有的 性质，问题、结果等进行了系统的研究，并且将模糊拓扑空间与l o c a l e si s 4 1 的 关系也综合在该专著中 许多学者在将通常拓扑意义下的动力系统发展到模糊拓扑上这方面作了不 少的工作【2 7 ，2 8 , 删在文献【2 7 1 中，m d g l a s 提出了一种动力模糊系统，这种 系统可以由流来描述状态空间的模糊子集构成的空间上的系统的变化更进一 步，在文献【2 8 】，作者研究了这种系统的不变原理，它推广了一般的l a s a l l e 不变 原理【5 ”同时，作者还研究了系统的三种稳定性，推广了氖所周钮的l i a p u n o v 稳定性p e k l o e d e n 在底完备，局部紧度量空间x 上根据x 的模糊 可达到集映射定义了一种模糊动力系统这种系统的承集是x 上的个分明多 值动力系统这种模糊动力系统可以看作是在x 的非空紧模糊子集的状态空间 上的一个分明动力系统在1 9 9 4 年。p d i a m o n d 与a p o k r o v s k i i 2 1j 基于 t - n o r m s c o n o r m s 和它们的对角函数，介绍了模糊化和层集，说明了正拓扑熵与 l i - y o r k e 混沌之间的关系此外，还有许多关于多值或穰值映射产生的动力系统 的工作【1 0 ，3 7 1 以上熟知的