（基础数学专业论文）几类微分自治系统的中心条件与极限环分支.pdf

几类微分自治系统的中心条件与极限环 摘要 本文主要研究了几类平面多项式微分系统中心焦点的判定及极限环分支，以 及一类非线性方程组的行波解，全文有四章组成： 第一章对平面多项式微分系统的中心焦点的判定与极限环分支问题的历史 背景与研究现状进行了综述，并将本文所做的工作进行了简单的介绍 第二章研究了一类五次系统的奇点量与中心条件，先研究原点的奇点 量，在用一同胚变换将无穷远点转变成原点( 初等奇点) ，用计算机代数系 统m a t h e n a t i c s 计算了这个多项式系统原点的前6 个奇点量和无穷远点前1 2 个奇 点量，并由此得到了原点和无穷远点的中心条件 第三章研究了一类拟三次系统的奇点量、中心焦点判定与极限环分支问题， 首先通过适当的变换将系统的原点( 无穷远点) 转化为原点，再通过变换把拟系统 转化为复系统，并在计算机上用，m a t h e n a t i c s 软件得到了系统原点的前2 1 个奇点 ， 量，进一步导出原点为中一心的条件和最高阶细焦点( 细奇点) 的条件，并分别给出 了原点和无穷远点分支出4 个极限环的实例 第四章，随着社会进步和科学研究的不断深入，在工程实际和自然科学各分 支学科甚至社会科学领域涌现出大量非线性数学模型，等待各学科的科学工作 者去研究与线性问题不同的是，非线性问题在一般情况下很难求得精确解孤 立波在内的各类有限行波解的研究是一个非常重要的研究课题出现了大量研 究成果和求解方法和技巧，其中包括反射法、d a r b o u x 变换法、h i r o t a 双线性 法、t a n h 法等这些方法的基本想法就在于通过各种变换技巧将方程化为相对易 1 于求解的形式，特别在某些特定情况下求出方程的孤立子等特殊精确解迄今国 内外数学物理研究者利用这些方法己获得了大量研究成果然而，这些方法除了 确定一些特定情况下的精确解外，对方程的参数变化对其孤子解等特殊有限解存 在性的影响却不能给出较完整的回答国内外近年来的最新研究表明，微分方程 定性理论和动力系统分叉理论可以弥补上述求精确解方法在这方面的不足，甚至 可以用动力系统的观点对某些已知精确解提供更深刻的认识本章研究了一类非 线性联立薛定谔方程组，运用平面动力系统分支理论，证明该方程组存在光滑孤 立波解、扭结波解、无穷光滑周期波解并在不同参数条件下，给出了光滑孤立 波解、扭结波解、无穷光滑周期波解的各类充分条件，并给出求上述所有显示精 确行波解的方法 关键词：奇点量；极限环分支；行波解；孤立波；周期波；扭结波 b i f u r c a t i o na n dc e n t e rc o n d l t i o n sf o r s e v e r a lk i n do fd i f f e r e r t i a la u t o n o m o u s s y s t e m s a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fi n t e g r a lc o n d i t i o n s ，c e n t e r - f o c u sd e t e r r n i n a t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sa tt h eo r i g i na n dt h ei n f i n i t yo fp l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m i ti sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，i ti si n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e da b o u tt h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n d t h ep r e s e n tp r o g r e s so fp r o b l e m sa b o u tc e n t e r - f o c u sd e t e r m i n a t i o na n db i f u r c a t i o no f l i m i tc y c l e so fp l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m a tt h es a m et i m e ，t h em a i nw o r k o ft h i sp a p e ri sc o n c l u d e d i nc h a p t e r2 ，i ti ss t u d i e ds i n g u l a rq u a n t i t i e sa n dc e n t e rc o n d i t i o n sf o rac l a s so f q u i n t i cp o l y n o m i a ls y s t e m f i r s t ，s i n g u l a rq u a n t i f i e sa tt h eo r i g i no ft h es y s t e ma r e d i s c u s s e d ，t h e nb ym e a n so ft h et r a n s f o r m a t i o n ，t h es t u d yo ft h ei n f i n i t yc a nb ec h a n g e d i n t ot h eo r i g i no ft h es y s t e m ，a n d ，w i t hm a t h e m a t i c a l ，t h ef i r s t6s i n g u l a rq u a n t i t i e sa t t h eo r i g i na n dt h ef i r s t12s i n g u l a rq u a n t i f i e sa tt h ei n f i n i t ya r ed e d u c e d a tt h es a m e t i m e ，t h ec e n t e rc o n d i t i o n so ft h eo r i g i na n dt h ei n f i n i t ya r ed e r i v e d i nc h a p t e r3 ，t h ec e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sf o rac l a s sq u a s i c u b i cs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d f i r s tt h et w e n t y f i r s ts i n g u l a rp o i n ta r ec o m p u t e da n d c o n d i t i o n sf o ro r i g i nt ob eac e n t e ra r ed e d u c e da sw e n ，t h e nas y s t e mt h a tb i f u r c a t i o n s i i i f o u rl i m i tc y c l e sa tt h eo r i g i no rt h e i n f i n i t ya r ec o n s t r u c t e d i nc h a p t e r4 ，a ss o c i a lp r o g r e s sa n dc e a s e l e s ss c i e n t i f i cr e s e a r c h ，al a r g en u m b e r o fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lm o d e l sa p p e a ri na c t u a le n g i n e e r i n ga n dv a r i o u sb r a n c h e s o fn a t u r a ls c i e n c e s ，e v e n ，i nt h ed o m a i no fs o c i a ls c i e n c e s ，w h i c hw a i t i n gf o rb e i n g s t u d i e dd e e p l yb ys c i e n c ew o r k e r s t h ee x p l i c i ts o l u t i o ne x p r e s s i o n so ft h e s en o n l i n e a r i s s u e sa r ed i f f i c u l to b t a i n e d ，c o m p a r et ot h ec a s eo fl i n e a re q u a t i o n s i tb e c o m e sa ni m p o r t a n tt o p i ct os t u d yk i n d so ff i n i t yt r a v e l l i n gw a v e sw h i c hi n c l u d i n gs o l i t a r yw a v e s ， al o to ft e c h n i q u e sa n dm e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e ds u c ha st h ei n v e r s es c a t t e r i n g m e 也o d ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，t a n hm e t h o da n d s oo n h o w e v e r , e x c e p td e t e r m i n i n gt h ee x p l i c i ts o l u t i o n su n d e rt h eg i v e nc o n d i t i o n s ， t h e s em e t h o d sc a l l tg i v et h ei n t e g r a t e de x p l a n a t i o na b o u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n p a r a m e t e r sa n dt h ee x i s t e n c eo fp e c u l i a rf i n i t ys o l u t i o n s l a t e s tr e s e a r c h e si n d i c a t et h e t h e o r yo fb i f u r c a t i o nm e t h o da n dq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fd y n a m i c a ls y s t e mc a nm a k eu p t h e s ed e f i c i e n c i e s ，e v e n ，b yu s i n gt h et h e o r e t i c so fd y n a m i c a ls y s t e m ，w ec a ng e tm u c h d e e p ，n o n l i n e a rs i m u l t a n e o u ss c h r s d i n g e re q u a t i o nh a sb e e ns t u d i e di nt h el i g h to ft h e t h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h et h e o r yo fb i f u r c a t i o n t h ee x i s t e n c eo fs m o o t h s o l i t a r yw a v ea n dk i i l ka n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n sh a v eb e e np r o v e d c o n d i t i o n ss u f - f i c i e n tf o r t h ee x i s t e n c eo fs m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dk i n kw a v es o l u t i o n sa n d p e r i o d i cw a v es o l u t i o n su n d e rd i f f e r e n tp a r a m e t e r sh a v eb e e ng i v e n ，t h em e t h o do fa l l e x a c te x p l i c i tf o r m u l ao fa b o v es o l u t i o n si sa l s og i v e n k e yw o r d s ： s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e s ；b i f u r c a t i o no fl i m i tc y - c l e s ；t r a v e l i n gs o l u t i o n s ；s o l i t a r yw a v e ；p e r i o d i cw a v e ；k i n kw a v e 上v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担。 作者签名：貉离 醐：1 一 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查 阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。 保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者躲撕伊魏计妖嘲俨7 年，叫日 5 7 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年 份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文 中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：渗厉p 指导教师 5 8 八 i毒 ：岁i 一砍 1绪论 常微分定性理论，从h p o i n c a r e 发表的奠基性工作微分方程所定义的积 分曲线起，一百年来得到蓬勃发展，它已成为从事许多学科和尖端技术( 包括自 动控制理论，航天技术，生物科学，经济学等) 研究的不可缺少的数学工具，并且定 性的思想和技巧已经逐渐渗透到其它数学分支，例如偏微分方程等，而在定性研 究中极限环的研究又有着举足轻重的地位近三十年来，由于计算机代数系统的 出现和发展，给定性理论研究提供了有力的工具本文也利用计算机代数系统作 为工具，研究了几类微分自治系统的极限环分支问题 1 1 多项式微分自治系统的极限环 著名的h i l b e r t 第1 6 问题( 其后半部分即：对于右端为不高于n 次的实平面微 分多项式自治系统：这类系统最多可以有多少个极限环，当达到最大数目时他们 的相对位置又如何? ) 于1 9 0 0 年在巴黎国际数学会议上提出以后，引起越来越多的 数学家的关注与极限环问题密切相关的是中心焦点判定问题以及焦点量、鞍 点量与奇点量的计算 这问题一直吸引着世界各地众多数学工作者的关注，同时也一直困扰着 人们但随着对此问题的研究的深入与发展，大量的研究方法和较好的结果涌 现出来了( 见李继彬关于h i l b e r t 第十六问题的综述文章 1 ) 如：史松林 2 得到 了二次系统有四个极限环的结论，其中三个是由细焦点产生，另一个是大范围 极限环如果记h i l b e r t 第十六问题中n 次多项式系统能达到的最大极限环个数 为日) 李继彬、黄其明得到了日( 3 ) 1 1 ，刘一戎、黄文韬由两个细焦点出发得 到了日( 3 ) 1 2 p e iy u 在2 0 0 5 年浙江举行的微分方程分支理论和动力系统国际 】 1 绪论 数学大会上又阐述了对的研究近况 日( 2 ) 4 ，日( 3 ) 1 2 ，日( 4 ) 1 5 = 4 2 1 h ( 5 ) 2 4 = 5 2 1 ，日( 6 ) 3 5 = 6 2 1 ，h ( 7 ) 4 9 = 7 2 h ( 9 ) 8 0 = 9 2 1 ，h ( 1 1 ) 1 2 1 = 1 1 2 焦点量的计算对导出多项式微分系统中心条件、稳定性及研究由细焦点 扰动产生极限环的问题具有重要意义对原点为初等奇点的系统的焦点量的计 算与极限环分支问题已有非常丰富的结果 1 6 】，一些数学工作者开始了无穷远 点( 赤道环) 焦点量计算及极限环分支的研究 7 ，8 ，9 】，就无穷远点极限环分支问题 来说，迄今为此，较好的结果有：三次系统4 个极限环见刘一戎 9 ，三次系统6 个极 限环见刘一戎 1 0 ，三次系统7 个极限环见张齐【1 1 ，五次系统4 个极限环见刘一 戎 1 2 】，五次系统6 个极限环见陈海波 1 3 ，五次系统8 个极限环见王勤龙 1 4 】，五 次系统9 个极限环见黄文韬 1 5 】，张齐 1 6 1 2 拟解析系统的研究背景及近况 刘一戎【1 7 】研究了拟二次系统的广义焦点量与极限环分支，得到了由原点扰 动出4 个极限环的实例，拟三次系统有5 个极限环见赵百n 1 8 】，拟五次系统有4 个 极限环见曾志辉 1 9 由于该类系统的复杂性，以后这方面的成果很少见本文在 此基础上得到启发，研究了一类拟三次系统的极限环分支，给出了该系统在原点 和无穷远点分支出4 个小振幅的极限环的实例 1 3 孤立波和孤立子 本文的第四部分内容与孤立波和孤立子有关，孤立波首先由j s r u s s l e 在 1 8 4 4 年从英国伦敦到格拉斯哥的运河中观察到，后来人们在k d v 方程 2二 1 绪论 饥= 6 u u 。一u 翻涩 中找到孤立波解 t = ；s e 砒2 ( 等 一叫) 而且通过计算机实验发现连个孤立波 碰撞后保持原来波形和波速不变进行传播随着非线性科学的发展，许多现实中 的物理，化学和生命科学的模型都可以转化为非线性方程因此求解非线性方程 的有限行波解成为非线性科学的一个重要研究课题目前求解非线性方程的方 法主要有反散射法，d a u b o u x 变换法，h i a r o t 双线性法，t a n h 法，l i e 群法，代数几 何法，奇次平衡法，r i c c a t i c 方程映射法等但这些方法未能从参数空间上考虑方 程解的全局相图 动力系统主要是利用动力系统分支理论讨论系统在不同参数条件下的 奇点类型 2 0 2 2 得出其在参数条件下的周期环域，同宿轨道，异宿轨道，从而 可用分析学知识求出其可能的精确周期解，同宿解，异宿解文 2 3 禾1 j 用拓展 的r i c c a t i c 方程映射法研究非线性联立薛定谔方程 入t 上一u u u z 。= 0 ，v t 一( 钆礼) 茁= 0 并且只对n = 1 进行讨论，本文将继续用动力系统的方法研究，获得了所有精确孤 波解、扭波解和周期行波解 1 4 本文的主要工作 本文首先研究了一类五次系统的原点的焦点量和中心条件与无穷远点的焦 点量和中心条件；接着研究了一类拟三次系统的极限环分支，得到了该系统的原 点附近存在4 个极限环无穷远点存在4 个极限环的结论；最后本文还利用了动力系 统分支的方法，求一类偏微分方程的行波解，得到孤立波解，周期解 3 2 一类五次多项式系统的奇点量与中心条件 2 1 引言 奇点量的计算对导出多项式微分系统中心条件、稳定性及研究由细焦点扰 动产生极限环的问题具有重要意义对原点为初等奇点的系统的焦点量与极限环 分支问题计算已有了丰富的结果，一些数学工作者开始了无穷远点( 赤道环) 焦点 量的计算及极限环分支问题的研究就无穷远点极限环分支问题来说，迄今为止， 较好的结果：三次系统6 个极限环见文 1 0 】，三次系统7 个极限环见文 1 1 文 8 】首次在同一个系统中研究初等奇点及无穷远点的焦点量中心条件；中 心条件与极限环分支问题，作者计算了一类三次系统原点前4 个焦点量及无穷 远点前5 个焦点量，所用的方法是经典的形式级数法与后继函数法，但这些方法 就目前的计算条件很难适用于复杂系统文 9 和文 2 4 的作者分别指出初等奇 点、高次奇点、无穷远点的奇点量的概念及计算方法，把焦点量和鞍点量的计算 统一为奇点量的计算并且对一些系统可以导出递推公式来计算奇点量，从而给 出了一类计算多项式微分系统焦点量、鞍点量的新方法 本文研究下述实平面多项式微分系统： 鲁= b 3 2 x a 3 2 y + ( b 3 2 + b 3 1 + b 4 0 ) z 2 + 2 ( - a 2 2 + a 4 0 ) x y + ( 一b 2 2 + b 3 1 一b 4 。) 矽2 + ( 6 z 一秒) ( z 2 + 可2 ) 2 ( 2 1 ) 鲁= a a 2 x b 3 2 y + ( a 3 2 + a 3 1 + a 4 0 ) z 2 + 2 ( b 2 2 一b 4 0 ) x y 十( 一a 2 2 + a 3 1 一a 4 0 ) y 2 + ( z + 6 ) ( z 2 + y 2 ) 2 其中6 ，a 3 1 ，b 3 1 ，4 2 2 ，b 2 2 ，a 3 2 ，岛2 ，a 4 0 ，b 4 0 均为实牧，通过对原点与无 4 2 一类五次多项式系统的奇点量与中心条件 穷远点的奇点量的计算，分别导出了系统原点与无穷远点的中心判据 2 2 预备知识 系统( 2 1 ) 特点鲜明，当岛2 = 0 ，a 3 2 0 ，坐标原点是系统的中心或焦点，且 为初等奇点，而此系统在庞卡来闭球面没有实奇点，赤道r 矗是其轨线r o o 称为 系统的无穷远点 对于实平面多项式系统 害妇薹砷m 叫训) id 。y 。= x + s y + e 主咖) - y 订( 2 2 ) 其中虬( z ，) ，磙( z ，y ) 是z ，y 的齐k 次多项式，原点是系统( 2 2 ) 的中心或焦点 通过极坐标变换( z ，y ) = ( r c o s o ，r s i n o ) ，得 其中 办 6 + 邑1 ( p ) 产1 踟。1 + 量砂枞( p ) 一1 , p k + 1 ( 0 ) = c o s o x k ( c o s o ，s i n o ) + s i n o y 南( e o s o ，s i n o ) 矽+ l ( 日) = c o s o y 尼( c o s o ，s i n o ) 一s i n o x 惫( c o s o ，s i n o ) ( 2 3 ) 对充分小的h ，系统( 2 3 ) 满足初始条件rl 口：。：h 的解记为r ：e u 。( o ) h t m 其中 k = 2 1 ( p ) = e 卯，2 1 ( 臼，0 ) = 0 ，m = 2 ，3 ，4 定义2 1 对系统( 2 2 ) ，若( 2 7 r ) 1 ，则称原点为系统( 2 2 ) 的粗焦点；若 耽( 2 丌) = 1 ，屹( 2 丌) = 均( 2 7 r ) = = u 2 七( 2 r ) = 0 ，+ i ( 2 7 r ) o ，则称原点为系 统( 2 2 ) 的忌阶细焦点! 而u 2 k + 1 ( 2 7 r ) 称为原点的第k 个焦点量；若魄( 2 7 r ) = 1 ，且 对任意的正整数七，地抖l ( 2 丌) = 0 ，则称原点为系统( 2 2 ) 的中心 5 2 一类五次多项式系统的奇点量与中心条件 经过复系数线性变换 z = z + i y ，w = z i y ，t = i t ，i = v c - 系统( 2 2 ) 占：o 转换成 面d z = 名+ 薹o oz 如= z ( 2 ，面d w = 一叫一薹( z = 一w ( z ( 2 4 ) 其中嘶= 6 q 卢( 这里砒p 表示6 a 卢的共轭) ，称系统( 2 2 ) 拄。与系统( 2 4 ) 互为伴随 系统 引理2 1 1 2 4 j对系统( 2 4 ) ，可逐项确定形式级数m ( z ，w ) = c a ，p z q 伽卢，使 得 瓦o mz 一等+ ( 箬一等) m = 喜c 恐州从驯七 且c o o = 1 ，q = 0 ，q = 1 ，2 ，对于o g 卢，有 c 口p = 杀石 【( q + 1 ) a k ，j 一1 一( p + 1 ) b j ，如一1 c 。一k + l ，一j + l 。忌十j 2 3 (25)2m j - 2 、7 肛m = e ( a k ，j 一1 一如，七一1 ) c m k + l ，m j + 1 其中v ，p ，当o z 0 ，当入= - 1 ，庀= 6 4 3 1 2 5 ( 5 9 8 4 h 3 2 + 5 8 5 6 5 7 1 h 3 0 ) 0 ，当 a = 3 ，厂2 = = 8 3 6 6 5 3 ( 2 6 5 6 3 7 4 4 危3 2 + 4 5 0 1 8 7 5 h 3 0 ) 0 定理3 7 在系统( 3 5 ) 的右端系数中，如果取6 = 吾c o e l 2 ，a 3 0 = 1 ，0 2 1 = 一嚣+ 击9 c 1 0 e 2 + ；c 2 1 0 ，a 0 2 = 1 + i ，a = 3 + 杀c 8 e 4 ，- i 筇= 6 筇，其中e 为小参 数，c 0 ，c 2 ，c 8 ，c l o ，c 1 2 是适当选取的常数，使得 g ( h ) = c o + c 2 h 2 + c s h 8 + c l o h l 2 + c 1 2 九1 2 其中，c 1 2 = 一( 2 2 1 5 1 3 7 0 2 1 8 0 0 7 5 ) 有m 个简单的零点，则当0 i c | 1 ，时， 系统( 3 3 ) 在原点充分小的领域内且有m 个小振幅的极限环，其位置分别在圆 z 2 + y 2 = ( k c ) 2 ( 忌= l ，2 ，3 m ) 附近。相应地，系统( 3 。3 ) 原点的充分小的领域内 且有m ，个极限环其位置分别在圆z 2 + y 2 = ( k c ) 2 ( 七= 1 ，2 ，3 m ) 附近 证 由文 1 8 ，v l ( 2 7 r ) 一1 = e 2 丌融，v 2 m + l ( 2 7 r ) 一3 i t r l z 3 m ，由式( 3 7 ) 得 u 1 ( 2 1 r ，e ) 一1 = 3 7 r c o e l 2 + d ( 1 2 ) ， v 3 ( 2 r ，) = - 3 r c 2 e 1 0 + o ( e 加) ， v s ( 2 7 r ，) = 0 + o ( e 8 ) ， v 7 ( 2 7 r ，e ) = 0 + o ( e 6 ) ， 岣( 2 7 r ，e ) = 3 7 r c 8 e 4 + o ( e 4 ) ， v g ( 2 7 r ，e ) = - 3 7 r c a o e 2 + d ( e 2 ) ， m 1 ( 2 7 r ，e ) = 3 7 r c i 2 + d ( 1 ) 1 7 ( 3 8 ) 3 一类拟三次系统的中心条件与极限环分支 由式( 3 8 ) 可证： r ( 2 7 r ，e h ) 一e h = 3 丌e 1 3 h g ( h ) + e 2 h 2 g ( h ，e ) 】( 3 9 ) 其中，g ( h ，e ) 在( o ，o ) 点解析，由式( 3 8 ) 与隐函数存在定理即可得证 例3 1 如果取c o = 黜c 1 2 ，c 2 = 攀c 1 2 ，c 8 = 鬻c 1 2 ，则 夕( 九) 2 蒜( 2 一1 2 ) ( 2 2 2 ) ( h 2 3 2 ) ( h 2 4 2 ) ( 4 6 8 3 2 + 1 8 7 8 0 h 2 + 4 5 3 9 h 4 ) 从而当0 h 1 ，时，系统( 3 3 ) 在原点充分小的领域内且有4 个小振幅的极限 环，其位置分别在圆z 2 + y 2 = ( 惫) 2 ( 惫= 1 ，2 ，3 ，4 ) 附近 定理3 8 在系统( 3 5 ) 的右端系数中，如果取6 = ；c o e l 2 ，a 3 0 名1 ，a 2 1 = 器+ 7 。3 c e 2 + ；c 2 1 0 ，a 0 2 = 1 + i ，入= - 1 一；c 8 4 ，瓦印= 6 a p ，其中e 为小参 数，c 0 ，c 2 ，c 8 ，c 1 0 ，c 1 2 是适当选取的常数，使得 g ( h ) = c o + c 2 h 2 + c s h 8 + c l o h l 2 + c 1 2 h 1 2 其中，c 1 2 = 一( 1 9 6 0 1 6 9 1 6 7 8 6 3 5 ) 有m 个简单的零点，则当0 h 1 ，时，系 统( 3 3 ) 在原点充分小的领域内且有m 个小振幅的极限环，其位置分别在圆 z 2 + y 2 = ( 尼f ) 2 ( 七= 1 ，2 ，3 m ) 附近相应地，系统( 3 3 ) 在赤道环的充分小的领 域内且有m 个极限环其位置分别在圆( z 2 + y 2 ) 一1 = ( 忌) 2 ( 忌= 1 ，2 ，3 m ) 附近 证 由文 1 8 】，1 ( 2 7 r ) 一1 = e 2 耐a ， 2 m 十l ( 2 丌) 一3 i 丌# a m ，由式( 3 7 ) 得 1 8 3 一类拟三次系统的中心条件与极限环分支 由式( 3 1 0 ) 可证： 1 1 ( 2 1 r ，e ) 一1 = 一3 7 r c o e l 2 + d ( e 1 2 ) ， v a ( 2 7 r ，e )= 3 7 r c 2 e 1 0 + d ( e l o ) ， v 5 ( 2 丌，e ) = 0 + d ( e 8 ) ， v 7 ( 2 7 l - ，e ) = 0 + d ( e 6 ) ， v g ( 2 7 r ，e ) 嚣一3 7 r c s e 4 + d ( e 4 ) ， 的( 2 7 r ，e ) = 3 7 r c l 0 6 2 + d ( e 2 ) ， u 1 1 ( 2 1 r ，e ) = - 3 r c l 2 + d ( 1 ) r ( 2 7 r ，c h ) 一e 九= 3 7 r e l 3 h g ( h ) + c 2 h 2 g ( h ，e ) 】 其中，g ( h ，e ) 在( 0 ，o ) 点解析，由式( 3 1 1 ) 与隐函数存在定理即可得证 例3 2 如果取c o = 墨案铲c 1 2 ，c 2 = 互写 磐c 1 2 ，c 8 = z ；磬c 1 2 ，则 ( 3 1 0 ) ( 3 4 4 ) 删= 一丽c 1 2 ( 2 1 2 ) ( 2 2 2 ) ( 危2 3 2 ) ( 2 4 2 ) ( 4 6 8 3 2 + 1 8 7 8 0 h 2 + 4 5 3 9 h 4 ) 从而当0 i e i 1 ，时，系统( 3 3 ) 在赤道环的充分小的领域内且有4 个小振幅的 极限环，其位置分别在圆( z 2 - i - y 2 ) 一1 = ( 七e ) 2 ( 尼= 1 ，2 ，3 ，4 ) 附近 1 9 4 一类非线性联立薛定谔方程的行波解分支 4 1 引言 随着非线性科学的发展，许多现实中的物理，化学和生命科学的模型都可以 转化为非线性方程( 譬如：非线性常微分方程，偏微分方程，差分方程等) 因此求解 非线性方程的有限行波解成为非线性科学的一个重要研究课题目前求解非线性 方程的方法主要有反散射法，d a u b o u x 变换法，h i a r o t 双线性法，t a n h 法，l i e 群法， 代数几何法，奇次平衡法，r i c c a t i c 方程映射法等但这些方法未能从参数空间上 考虑方程解的全局相图 动力系统主要是利用动力系统分支理论讨论系统在不同参数条件下的奇点 类型得出其在参数条件下的周期环域，同宿轨道，异宿轨道，从而可用分析学知 识求出其可能的精确周期解，同宿解，异宿解文 2 3 利用拓展的r i c c a t i c 方程映 射法研究非线性联立薛定谔方程 a 乱一乱钞一乱z z = 0 ，v t 一( 乱几) z = 0( 4 1 ) 并且只对钆= 1 进行讨论，本文将继续用动力系统的方法研究( 4 1 ) ，获得了所有精 确孤波解、扭波解和周期行波解 引入如下的变换 u ( x ，亡) = ( ) ，u ( z ，亡) = 砂( ) ， = z c t( 4 2 ) 2 0 4 一类非线性联立薛定谔方程的行波解分支 把式( 4 2 ) 代入方程组( 4 1 ) 中，方程组( 4 1 ) 变为如下形式 入咖一鲫一咖”= 0 ，一哪一( 矿) = 0( 4 3 ) 对( 4 3 ) 的第二个式子积分次 一却一扩= g 其中9 是积分常数，把( 4 4 ) 代入( 4 3 ) 的第一个式子，得到： ( 4 4 ) 矽”= 坐c + ( a + 里c ) ( 4 5 ) 。 、， 令入+ 暑= 口，矽7 = 秒得到下面的的行波解方程组，它是一个平面自治系统 鬃：可，百d y ：丝+ 。西 面2 可面。了+ o 妒 ( 4 6 ) 从方程( 4 6 ) ，可以看出它是一个具有如下的日口仇t f 亡d 佗函数的平面日口嘲2 亡m 系统 =刚m=p-h( 焉+ 抑 ( 4 7 )= 日( ，秒) = ( 蒜+ 等2 )( 4 7 ) 假设u ( z ，亡) = 妒( z 一砑) = 妒( ) 是方程组( 4 1 ) 的在- - o 。，。) 上的连续 解，并且l i m p o o = 0 1 和l i m 。一o o = a 2 则下面的两个结论是众所周知的： ( 1 ) 如果口l = a 2 ，那么让( z ，亡) 称为孤立波解； ( 2 ) 如果a l a 2 ，那么u ( z ，t ) 称为扭波解 一般来记方程组( 4 1 ) 的一个孤立波解对应方程组( 4 6 ) 的一个同宿轨道，方 程组( 4 1 ) 的一个扭波解对应于方程组( 4 6 ) 的一个异宿轨道，同样方程组( 4 6 ) 的一 个周期轨道对应着方程组( 4 i ) 的个周期行波解 2 1 4 一类非线性联立薛定谔方程的行波解分支 将在第二节给出方程( 4 6 ) 的相图分支，在第三节给出所有孤波解和扭波解的 计算方法 4 2 系统的相图分支 在这节里，研究平面h a m i l t o n 系统( 4 6 ) 的相图，显然在( 妒，可) 平面上系统( 4 6 ) 的 平衡点横坐标是函数 形) = 等州 ( 4 8 ) 的零点若佗是奇数，系统( 4 6 ) 的奇点是( o ，0 ) ，( ( 一n c ) 吉，o ) ；若n 是偶数，系统( 4 6 ) 的 奇点是( o ，o ) ，( ( 一o c ) 击，o ) ，( 一( 一包c ) 击，0 ) 当且o c o ( o ；( 4 1 2 ) 凡是奇数，a 0 ，c 0 ； 4 一类非线性联立薛定谔方程的行波解分支 ( 4 1 - 4 ) n 是奇数，a = 0 ，c 0 ；( 4 1 - 5 ) n 是奇数，a 0 ；( 4 1 - 6 ) n 是奇 数，a 0 ；( 4 1 8 ) n 是偶数，a 0 ，c 0 ； ( 4 1 1 0 ) n 是偶数，a = 0 ，c 0 ；( 4 1 - 1 1 ) n 是偶数，a 0 ；( 4 1 1 2 ) n 是偶 数，a 0 ，c 0 ，c 0 这族光滑的周期波解由轨线日( 咖，y ) = h ， h ( h 1 ，0 ) 所定义，峰形孤立波由轨线日( ，y ) = 0 所定义( 见图( 4 1 2 ) ) ( 2 ) n 是奇数，a o 这族光滑的周期波解由轨线日( ，y ) = h ，h ( h i ，0 ) 所定义，谷形孤立波由轨线日( ，y ) = o n 定义( 见图( 4 1 一1 ) ) ( 2 ) 钆是奇数，a o 这族光滑的周期波解由轨线日( 咖，y ) = h ，h ( 0 ，h i ) 所定义，谷形孤立波由轨线日( ，y ) = h i 所定义( 见图( 4 1 5 ) ) 定理4 3在下列参数条件下系统( 4 6 ) 有一族光滑的周期波和扭波 礼是偶数，a o 这族光滑的周期波解由轨线日( 矽，y ) = h ，h ( 0 ，h 1 ) 所 定义，扭波由轨线日( 咖，y ) = h i 所定义( 见图( 4 1 - 1 1 ) ) 4 一类非线性联立薛定谔方程的行波解分支 定理4 4 在下列参数条件下系统( 4 6 ) 有两族光滑的周期波和两个光滑的孤 立波( 一个是峰形，另一个是谷形) n 是偶数，a 0 ，c o 这两族光滑的周期波解由轨线日( 妒，夕) = h ，h ( h i ，0 ) 所定义，两个光滑的孤立波由轨线日( ，y ) = h 1 所定义( 见图( 4 1 8 ) ) 定理4 5在下列参数条件下系统( 4 6 ) 有一族光滑的周期波 ( 1 ) n 是偶数，o = 0 ，c o 这族光滑的周期波解由轨线z - z ( , , ，y ) = ，h ( 0 ，o o ) 所定义( 见图( 4 1 - l o ) ) ( 2 ) 礼是偶数，a u 3 一乜l u l 一k 3 2 u 2 t h e n 3 = 一石( 5 ( 一4 。2 6 0 2 + 。2 。6 2 。) ( 2 。2 。；。b 1 1 一a 0 2 a 2 0 6 ；1 + 。i 。6 0 2 6 2 。一2 a l 6 。2 6 荔) ) i t 42 ： l e t 札l = 蕊杀( 6 6 3 5 5 2 0 0 。+ 1 4 6 8 2 2 4 0 a 0 2 a n a l 。+ 5 9 8 7 4 2 4 a 4 1 a 2 。6 0 2 + 2 7 2 6 6 7 8 4