（应用数学专业论文）一类具有弱阻尼项四阶非线性波动方程的初边值问题.pdf

哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 摘要 本文研究一类具有弱阻尼项的非线性波动方程的初边值问题 u 撑+ a 2 u + 口“，一，( “) ， 口 0 ( 1 ) u ( x ，0 ) = u o o ) ，h ， ，o ) = h 1 ( x ) ，x e q( 2 ) “l 拉一o( 3 ) 血l 拉= o( 4 ) 其中f ( u ) 1 + u i p l “，p 1 ，t i e r “为有界域，厂e c 首先，利用g a l e r k i n 方法研究了当， ) = 一川p 1 “时，问题的整体 弱解存在性、光滑性及渐近性；接着，通过引进一族位势井，研究了 当， ) 一+ up - 1 “时，问题解的真空隔离现象；在此基础上，利用 g a l e r k i n 方法结合位势井理论研究了当厂 ) ；+ j u l “时，问题整体弱 解的存在性、光滑性及解的不存在性 关键词：整体弱解；g a l e r k i n 方法；位势井 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so f n o n l i n e a rf o u ro r d e rw a v ee q u a t i o nw i t hw e a kd a m p i n gt e r m s u 撑+ a 2 u + o t u f 一厂u ) ， 口 0 ( 1 ) u ( x ，0 ) 一u o ) ，口， ，o ) 一u l o ) ，x q( 2 ) 比l 。q 一0( 3 ) 血l 拉；0( 4 ) w h e r ef ( u ) 一卜l p “，p 1 ，q cr ”i sab o u n d e dd o m a i na n dfe c f i r s t l y ，b yu s i n g g a r l e k i nm e t h o dw ep r o v et h e g l o b a le x i s t e n c e 、 s m o o t h n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o r so ft h ew e a ks o l u t i o n so f ( 1 - 1 ) 一( 1 4 ) w h e n 厂 ) - 一u 一“；s e c o n d l y ，w ei n t r o d u c e t h e f a m i l y o fp o t e n t i a lw e l l sa n d v a c u u m i s o l a t i n gp r o p e r t y o ft h es o l u t i o n s i s g a i n e d w h e n ， ) = + “f i n a l l y ，b yu s i n gg a r l e k i nm e t h o da n dt h ep o t e n t i a lw e l lt h e o r y w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c e 、s m o o t h n e s sa n dn o n e x i s t e n c e o ft h ew e a k s o l u t i o n so f ( 1 1 ) 一( 1 4 ) w h e n ， ) 一+ 一“ k e y w o r d s ：g l o b a lw e a ks o l u t i o n ；g a r l e k i nm e t h o d ；p o t e n t i a lw e l l 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指 导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据 和文献的引用己在文中指出，并与参考文献相对应。除 文中己注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：可侑移 日期：以叫年6 月7 日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ： 1 磊l 匆 日期：卅年6 月7 e l 导师( 签字) ：痧西式 q 年6 月j 7 日 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 非线性偏微分方程是非线性学科中一个重要分支，是非线性学科 的前沿领域和研究热点，也是偏微分方程的一个重要的研究领域近 几十年来，该领域的研究，特别是对非线性的研究，发展蓬勃随着 物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，对偏微分方程的 应用更加广泛从数学自身的角度来看，偏微分方程的求解促使了数学 在函数、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面 进行发展 偏微分方程的几个基本问题是研究各种初边值问题的整体解的存 在性、光滑性、渐近性、解在有限时间内爆破大多退化的和其它奇 性的方程一般都不具有古典解，这时s o b o l c v 空间的引入为研究方程 的初边值问题提供了有效的途径研究这类方程首先要选取适合于方 程特点的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空间来定义广义解，然后在 广泛的函数类中寻求方程的解，这样就比直接求古典解容易的多如 果在这样选取的函数空间中，整体解不仅是存在的而且是唯一的，那 么这就是一个理想的函数空间在得到弱解后，进一步讨论当初值的 可积性提高时这些解可积性是否也提高，是否具有更高的光滑性，是 否也是古典解，这就是所谓的正则性问题无论是从理论上还是从应 用上总是希望能找到使解唯一的最弱的函数空间，同样也希望知道解 最好的正则性如何函数空间的选取还必须考虑对各种逼近问题作必 要的先验估计，也是进一步研究解的性质的基础研究偏微分方程的 初边值问题的意义是非常明显的，对一些重要的方程的解的整体性态 ( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的方程求解方法的讨论，都要以 解的整体存在性为前提i l j 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 弹性杆的振动是自然界中常见的现象，例如桥梁的振动、铁路路 轨的振动等等这种振动常常以波的形式传播，故是一种波动，在数 学上以波动方程的形式来描述若振动由于摩擦而产生能量的消耗， 波的振幅逐渐变小，则此时的波动方程具有弱阻尼项本文就是研究 一类具有弱阻尼项的波动方程的初边值问题 1 2 问题研究现状及本文所要做的工作 1 2 1 问题的研究现状 关于含有源项和阻尼项的波动方程的初边值问题的研究已取得很 多结论1 1 - 2 4 1 h t b a n k s ，d s g i l l i a m 和v i s h u b o v 在文献【2 i i e 明了下述问题 u “+ k l a 2 u ，+ g ( m 。) 。；， ， ( x ，f ) q ( 0 ，f ) u ( x ，f ) ；0 ，罢，0 ，o ，t ) e o ( o ，丁) a y u ( x ，0 ) = u o ) ，m ，o ，0 ) = u 1 ) ，x q 存在唯一弱解，其中，qc 尺为具有光滑边界a q 的有界区域，y 是a q 的外法线方向 a s a c k l e h ，h t b a n k s 和g a p i n t e r 在文献【3 】中讨论了下述问题 “撑+ 如一+ 七：比一- g ( u 。) 。+ ，( x ，f ) q ( o ，f ) u ( x ，f ) ；0 ，娑生：0 ，o ，f ) a ( o ，r ) a y u ( x ，0 ) 一u o ) ，“，o ，o ) 一u t ) ， 石q 解的存在性和唯一性 s a l i ma m e s s a o u d i 在文献【4 】中讨论了下述问题 “盯+ 2 u + a u ，1 4 2 “，= b u p - 2 “，x e q ，t o u ( x ，f ) = o v u o ，f ) = 0 ，x q ，t 0 2 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 u ( x ，o ) - u o o ) ，u t o ，0 ) = u 1 ) ，x e q 这里，q 是尺( i v 苫1 ) 中具有光滑边界的一个有界集，是a q 的单位外 法向量， a ，b 0 ，p ，m 2 ，作者得到局部弱解的存在性，并用扰动 能量法得到当p m 时，解在有限时刻爆破；当p sm 时解是整体存在 的结果 陈国旺和杨志坚在文献【5 】中研究了如下一类四阶非线性波动方 程的初边值问题 u ”+ “一1 a ( u ，) ，+ ，o ，f ) ，z ( 0 ，1 ) ，t 0 u ( o ，f ) = “( lf ) = u x ( 0 ，f ) = u x ( lf ) = 0 ，t 0 u ( x ，o ) i 伊o ) ，u t o ，0 ) 一缈 ) ，z 【o ，1 】 在对非线性项a ( s ) s r 作适当假设( 仃( s ) c 2 俾) ，( s ) 下有界，盯”( s ) 满 足局部l i p s c h i t z 条件) 的情况下证明了整体广义解的存在唯一性，在 相反的条件( 盯( s ) 无界) 证明了解的爆破 杨志坚在文献【6 】中研究了如下一类非线性波动方程 u 群+ “一+ a u ，= a ( u ，l ，x ( o ，1 ) ，f ( o ，) u ( o ，f ) 1 “g f ) 一u x ( 0 ，f ) 一u x g f ) 一0 ，t 之0 u ( x ，o ) = u o o ) ，u t ，0 ) = u 1 0 ) ，x 【0 ，1 】 对非线性项a ( s ) s e r 作适当假设( 仃( s ) c 3 俾) ，仃”( s ) 局部l i p s c h i t z 连 续，o r ( o ) 一仃”( o ) 一o ，i 仃( s ) is6 h “，s 尺) 的条件下，获得惟一广义整体 解，并在a 0 的假设条件下得到解的指数衰减还研究了上述方程 多维形式的初边值问题 + h 一+ 弛= 善n 睾眠) ，o q ( 。，+ ) 比l a q | o ，詈i 拉= 0 ，吲o ，+ ) u ( x ，0 ) 一u o ) ，u t ，o ) = u 1 0 ) ，x q 在对非线性项q ( s )，s e r作适当假设 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( q o ) c 1 ( 尺) ，i q o ) l 6 h ”，s r ，f 一1 ，且 2 ，m + 1s 需芝) 的条件 下，得到了整体弱解的存在性，a 0 的假设条件下得到解的一致衰减 1 2 2g a l e r k i n 方法及位势井理论 本文主要利用g a l e r k i n 方法和位势井理论解决问题 g a l e r k i n 方法是证明非线性发展方程整体解的存在性最成熟的方 法，虽然很多问题并不能利用g a l e r k i n 方法得到解决，但是若问题能 够利用g a l e r k i n 方法时，g a l e r k i n 方法仍是比较可靠、受到大多数人 欢迎的方法 g a l e r k i n 方法解决问题的主要步骤是： ( 1 ) 在适当可分的空间中选取一组标准正交基，构造线性组合形式 的近似解，根据常微分方程组局部解的存在性定理说明局部解存在； ( 2 ) 根据近似解的特点，利用微积分的知识获得先验估计： ( 3 ) 利用b a n a c h 空间内的弱紧性原理或弱宰紧性原理取弱极限或 弱母极限； ( 4 ) 说明所得解满足问题的初边值条件 s a t t i n g e r 在国际上首先提出了位势井理论，以方程 “打一血；”一“ u ( x ，0 ) = u o ) ，u t o ，0 ) = u 1 0 ) ，x e q ua q = 0 的初边值问题为例说明位势井理论对上述问题定义 ， ) t l i e u l 2 六： ， ) - i v u l | 2 _ l 眦： 位势井 4 哈尔滨_ t 程大学硕士学位论文 w = u e h o ( f f 2 ) l ( u ) o ，( 距) 0 可以证明 d = i n f j ( u ) 其中，u e h ：( q ) ， ) = 0 ，i n 0 p 值的取值范围应满足p “( q ) 嵌入联( q ) 再结合g a l e r k i n 方法可以 证明，若u o ( x ) e h o ( f f 2 ) ，u l o ) r ( q ) 且n o ( x ) e w ，0 e ( o ) 0 ( 1 - 1 ) u ( x ，o ) = u o ) ，u ， ，0 ) = u x o ) ，z q( 1 - 2 ) “i 帕- 0( 1 - 3 ) l l l 拉= 0( 1 4 ) 的初边值问题，其中f ( u ) - k r l 比，f f 2 e r ”为有界域，厂e c 对上述方程主要研究了整体弱解的存在性、光滑性、渐进性、整 体解的不存在性、真空隔离现象得到如下结果： 1 利用g a l e r k i n 方法研究了当f ( u ) 一一i “l p l “时整体弱解的存在性、 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 光滑性、渐进性得到 定理 2 2设 1 p n + 了4 ，万25 ； 1 p 1s 以s4， 万一4 u 0 0 ) 日；( q ) n 域( q ) ，u 1 0 ) r ( q ) ，则问题( 1 - 1 ) 一- ( 1 4 ) 存在整体弱解 u 满足“e f ( o ，o o ；h 0 2 ( q ) n h o ( q ) ) ；u ，e f ( o ，；r ( q ) ) 定理2 3 设1 p j 与，刀芑5 ；p 0 ，1 0 ，使得( 1 - 1 ) 一- ( 1 - 4 ) 的整体w 2 护解u ( x , t ) 满足 e ( f ) s c e ( o ) e ，t o 2 通过引进一族位势井，研究了当厂 ) 一+ p 1 “时问题解的真空 隔离现象得到 定理3 14 设u o o ) 所( q ) ，u 1 0 ) r ( q ) ；0 p d ，4 o 或l i 血。忙。的解 u ( t ) e ，v 6 ( 盈，6 2 ) ； ( i i ) 问题( 1 - 1 ) 一( 1 4 ) 所有满足e ( o ) = e ，1 ( u 。) 0 的解“o ) ， v 6 ( 6 。，6 2 ) 定理3 1 6 设u 0 0 ) h ；( q ) ，u 1 0 ) r ( q ) ；0 e d ，盈 6 2 是方 程d ) = e 的两个实根，则 ( i ) 问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 的所有满足0 e ( 0 ) se ，u o o ) 且的解u ( t ) e 见， v 6 ( 6 1 ，6 2 ) ； ( i i ) 问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 的所有满足0 e ( o ) se ，u o o ) 辟的解u ( t ) e 彤， 6 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 v 6 ( 哦，6 2 ) 3 利用g a l e r k i n 方法结合位势井理论研究了厂 ) ；i u r “时整体弱 解的存在性、光滑性、解的不存在性得到 定理 4 6设 1 p 箸号 ，l 5 ； p ， lsn 墨4 u o o ) h ；( q ) n h ：( q ) ，u 。r ( q ) 若0 e ( o ) o 或 l 血。卜o 则问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 4 ) 存在整体弱解h 满足： 比r ( 0 ，；硪( q ) n 联( q ) ) ，u ，e l ( q ；r ( q ) ) 且u e w ，o t o o 定理4 7 设1 p ，咒苫5 ；p 0 0 ，1 s 甩s4 若“o n h 4 ( q ) ， n 一4 u 。h ；( q ) ，e ( o ) d ，则问题( 1 - 1 ) - - ( 1 - 4 ) 存在唯一解u 满足： u r ( 0 ，r ；h 4 ( q ) ) u ，r ( o ，z ；日；( q ) n 日j ( q ) ) u s l 。( 0 ，z ；r ( q ) ) 定理4 9 设“。c l i o ( q ) ，“，r ( q ) ，1 ps l + 4 ，若“( t o ) v 6 ， e 纯) d 。，则问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 4 ) 的局部解的存在时间是有限的，即存在z ， o t ，使得憋i m l l “酬一+ 1 3 用到的一些引理和不等式 在本文中函数的口( q ) 范数记为i | | f ，；p 一2 时，l | 1 i ，= ；h ；( q ) 范 数记为i i a - 0 ；c 均代表常数，但不同的地方的具体值可能不一样；u ，表 示u 对时间变量t 求导 引理1 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 1 2 5 】设q 具有锥性质，q 表示q 与彤 中一个k 维平面的交集，1sksn ，m 为正整数，j 为非负整数， 1sps + ，则有下列嵌入关系： 7 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 ( 1 ) 如果，印 n ，且n 一，印 ，l ( m 一1 ) p ，贝0 柚，p ( f dcc j ，a ( 两，o as 历一旦 以 ( “) 假定n - ( ，行一1 ) p ，贝0 形卜m p ( q ) cc 伽( q ) ，0 口 1 若p 一1 ，刀一朋一1 ，则上式对口一1 也成立 引理1 2 心盯i i 血| | 上2 ( q ) 为i u 峙( q ) n 日：( q ) 的等价模 引理1 3 ( g r o n w a l l 不等式) 设y ( t ) e l l o ，t 】，且存在常数a 与b ， 使得 8 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 则有 且 y o ) a + b f o oy ( z ) d z ，o t s 丁 y ( t ) sa e 打，0s fs t 引理1 4 ( h b l d e r 不等式) 如果1 p ，1 + ! ；1 ，则 pq f f ( q ) ，g 口( q ) 李唐e l ( q ) k q f g d xs 正| 居虹s 圳g 忆 引理1 5 ( m i n k o w s k i 不等式) 如果1sp ，ge l p ，则 0 ，+ gl ps | i ，| | p + l l gl p 引理1 6 ( y o u n g 不等式) 动s 生+ 一b q 其中口苫0 ， 6 苫0 ， pq 1 p ，! + 一1 ；1 pq 引理1 7 啪设f lcc 2 ，h o ) 为问题a o j + a o 。- - 0 , w 。q o 的特征 函数系，则 ( i ) h o ) 构成r ( q ) 的一个正交函数系； ( i i ) 6 0 j o ) 在h ：( q ) 中稠密； ( i i i ) h o ) 在h 2 ( q ) 中的闭线性扩张h 2 ( q ) n 日：( q ) 9 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 第2 章整体弱解的存在性、光滑性、渐近性 2 1 整体弱解的存在性 定义2 1 称u f f iu ( x ，t ) 为问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 于q x 0 ，t ) 上的弱解，若 u e l = ( 0 ，z ；h ；( q ) n h ：( q ) ) ，u ，e t = ( o ，t ；l 2 ( q ) ) ，对所有t e 0 ，t ) 成立 ，v ) + 一( z l ，缸矽f + a ( u ，y ) + o ( t “l p - 1 u , v ) d f = 。，y ) + 口u o , v ) ，v 。日；( q ) ， 且u ( x ，o ) = z l o o ) 于日；( q ) n 日：( q ) ，u t o ，0 ) - - - - u 。o ) 于r ( q ) 其中 厂 ) 一一 距 引理2 1 【2 7 】设q 为r “x r l 的有界区域，g 。和g 为l ( q ) 中的函数 ( 1 q ) ，rg 口h qsc ，g j , o ，f ) 呻g o ，f ) 几乎处处于q 则g 一 ，f ) 于 l q ( q ) 弱收敛于g ( x ，t ) 定理 2 2 设l p 生等， 刀苫5 ； 1 p ， 1s 刀s4 ， 玎一4 u o ) h ；( q ) n h ：( q ) ，u i ) r ( q ) ，则问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 4 ) 存在整体弱解 u 满足u e t = ( o ，o o ；h 0 2 ( q ) f q h o ( e ) ) ；u ，e l = ( o ，；r ( q ) ) 证明 设 ) ；j - 1 , 2 ，3 为问题一w - a w ，w 。q * 0 的特征函数 系 构造问题( 1 1 ) 一( 1 - 4 ) 的近似解为： 比。o ) | 。xg j , ( t ) w j ( x ) ，g j ( t ) e c 2 其中，g 拥o ) 由下面方程组确定 删o ) ，w j ) + ( s u 。o ) ，) + ( 口“。，o ) ，) + ( 卜。o ) i p “。o ) ，) = o 一1 , 2 ，朋( 2 - 1 ) 非线性常微分方程组( 2 - 1 ) 满足如下条件： 1 0 哈尔滨工程大学硕士学何论文 比m x ，o ) 4 互口胁w ，_ 比。 ) 在日；( q ) n h ：( q ) 中强收敛，当历_ 时； ( 2 _ 2 ) 比m r ，o ) 2 盖6 加_ 呻h o ) 在r ( q ) 中强收敛，当m - - o o 时 ( 2 - 3 ) 以g 厶o ) 乘( 2 - 1 ) 两边，再对j = 1 ，2 一m 求和可得 翱2 + i l l 止, 。1 1 2 + 面1 砷胛= 。 对t 从0 到t 积分，得 三l l u , 1 1 2 + 扣。1 1 2 + 面1 ”p + 。i + 咖脚i id v = 批( 。) 瞳m 0 ) 1 1 2 + 面1 咣： 由( 2 2 ) ，( 2 - 3 ) 知 扣“。，( 。) 0 2 + 2a u 。( 。) 1 1 2 对册有界； 再由s o b o l e v 嵌入定理可得 歹1 石。( 。) 嵫：对所有界； 又 “0 u m t n r 2 0 从而由( 2 - 4 ) 可得 割u 1 2 + 扣。n 而1 ”p + 。i sc，ogt o o 故 h 。) 于r ( o ，o o ；日；( q ) n 日：( q ) n 口“( q ) ) 中有界5 仁州) - 于l o ( o ，；r ( q ) ) 中有界； 1 1 ( 2 4 ) 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 扯。l p l ) 于r ( o ，；口( q ) ) 中有界，口一1 p + 厂1 从而存在比，z 及 “。) 的子序列仍记为 ) ，使得当m _ o o 时“州_ “于 r ( 0 ，。仃n 2 - 二川仃。1 ( q ) ) 中弱宰q 殳敛且于q = q x o ，o o ) 几乎处处收敛； u 。，一“，于r ( 0 ，；r ( q ) ) 中弱术收敛； i u mr _ z 于l o ( o ，；口( q ) ) 中弱半收敛，且于q 几乎处处收敛 由引理( 2 1 ) 可知 z = i u p - 1 “ 将( 2 1 ) 对f 积分得 脚，) + z ( 血。，a w j ) a t f + 口 。，) + z0 p - 1 u mw j 矽f a u 。，( o ) ，w j ) + a ( u 。( o ) ，) 固定j ，令m 呻o o 可得 ，w j ) + ：( “，y f + 口 ，w j ) + f o ( i “r 一“，m ) d z 一 - ，w j ) + a ( u 。，w j ) 由于 q 0 ) ；j - 1 , 2 , 3 ，为问题- a w - a w ，w i 硷一。的特征函数系，所以 有 ，y ) + i ( “，a v ) a f + 口 ，v ) + 上( h p - 1 u , v ) d f = u l , v ) + a ( u o , v ) ，v v e , v g ( q ) 又由( 2 - 2 ) 与( 2 - 3 ) n - - 丁得 u ( x ，0 ) = “。0 ) 于h ；( q ) n 日：( q ) u t 0 ，0 ) - - - - u 。0 ) 于r ( q ) 所以u ( x ，t ) 是问题( 1 1 ) 一( 1 - 4 ) 于q x o ，) 上的一个弱解 2 2 整体弱解的光滑性 在整体弱解的存在性基础上，利用g a l e r k i n 方法证明当初值的可 积性提高时，相应地整体弱解的可积性也提高，换言之，由s o b o l e v 嵌入定理，当初值的光滑性提高时，解的光滑性得到提高【9 1 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 定理2 3 设1 p j 与，疗5 ；p ，1s 以4 ，u o ( x ) h 4 ( q ) ， n q h 。h 2 ( q ) n h o ( q ) ，则问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 存在唯一整体解u 满足： m e l 。( 0 ，丁；日。( q ) )( 2 5 ) 比。e l ( 0 ，丁；h 2 ( q ) n h ：( q ) )( 2 - 6 ) 比盯e l = ( 0 ，丁；r ( q ) )( 2 - 7 ) 证明h ；( q ) n h 4 ( q ) 是可分的b a n a c h 空间【引，伽j ) ；j 一1 , 2 ，3 为问题一a w a w ，w 。q = 0 的特征函数系，h 。( q ) 为砷，o ) ；j = 1 ，2 ，3 在 日；( q ) n h 4 ( q ) 中的闭线性扩张 构造问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 4 ) 的近似解为 o ) 2 蚤g 加o ) w o ) ，g j m ( t ) e c 2 其中g j = o ) 由下面方程组确定 u 。玎( f ) ，哆) + ( 2 “。o ) ，哆) + ( 口“删( f ) ，q ) + ( 陋。o ) i p “。( f ) ，哆) 一o( 2 - 8 ) 非线性常微分方程组( 2 - 8 ) 满足如下条件： 当m _ 时， u m ，o ) = 蒌口加w j _ “。在h ；( q ) m h 4 ( q ) 中强收敛； ( 2 9 ) 当m _ 时，比。， ，o ) = 薹6 加w j 呻“。在“，e l ( o ，t ；h 2 ( q ) n h j ( q ) ) 中强收 敛( 2 - 1 0 ) 因为由( 2 8 ) 一( 2 - 1 0 ) n - j 推得( 2 - 1 ) 一( 2 - 3 ) 成立，而当p 值满足定理2 3 假设时，也必满足定理2 2 的假设，故可知对本定理证明中构造的近 似解 ，f ) 的估计式扣h 棚1 1 2 + 扣血。0 2 + i 1 万肛删川p + i s c ，。s f 仍然成 立 由( 2 8 ) 可得 删( o ) ，) + ( 2 “。( o ) ，) + “。，( o ) ，) + ( 卜。( o ) l p l “。( o ) ，吩) = o 哈尔浜i 程大宁坝十字位论文 在上式两端同时乘以g 幺( o ) 得 脯( o ) ，比删( o ) ) + ( 2 “。( o ) ，比删( o ) ) + ( 口“。，( o ) ，“删( o ) ) + ( k 。( o ) i p - 1 “。( o ) ，“舢( o ) ) = o 进而有 ( “删( o ) ，比删( o ) ) 一( 一2 比。( o ) 一a 比肼( o ) 一i u 。( o ) l p 一比。( o ) ，“。撑( o ) ) 由h 6 1 d e r 不等式和m i n k o v s k i 不等式知 i l 比。盯( o ) 0 2s ( 0 2 “。( o ) 0 + 。rl l “。，( o ) o + i | i h 。( o ) i p 一1 甜。( o ) 1 1 ) l l “。撑( o ) o 即 i l u g , ( 0 ) a 2 u m ( o ) i l + 口( 酬+ k ( o ) 嵫 由假设和s o b o l c v 嵌入定理知： k ( o ) 2 u m 0 ，1 0 ，使得( 1 - 1 ) - - ( 1 - 4 ) 的整体w 2 护解u ( x , t ) 满足 e ( t ) s c e ( o ) p ，t 0 ( 2 2 1 ) 证明 令u ( x , t ) 为( 1 - 1 ) 一- ( 1 4 ) 的整体w 2 ，p 解，对( 1 1 ) 式两端同乘 u ，并在q 上积分，则有 整理得 帆，) + ( 2 比，) + 口 ，心) + ( 一“，吩) - o 瓦d 【批1 | 1 2 + 扣血n 而1 + 吨| 1 2 暑o 1 7 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 即 式( 2 2 2 ) 两边同乘e m ，得 了a e q ) + 口1 2 ；o 出 ”。 _ d ( e 6 t e ( t ) ) + a e 6 t i i 比。1 1 2 。d i e , ，t e o ) d t 对( 2 - 2 3 ) 式两边从0 到t 积分，得到 其中 e 新o ) + 扩u t m z e ( o ) + “e 打e p 渺 y o e 打e p 矽f = f o p 打哇( i b ，i | 2 ) ) d z + y o e 打哇i i 缸1 1 2 + 石1 石f 嚣e , - 1 ，, _ l d f s z 矿( 如，| | 2 ) ) 批瓤e 邵“i2 喇翰执 在( 1 - 1 ) 式两端与u 做内积，得到 所以 而 2 制i 川p + l 叱| 1 2 - 丢【 ，比) + 驯1 2 】 上p 打e p 矽了s ：e 却 ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 陬一瓤矿寿小驯| 2 】d f ( 2 - 2 6 ) - z o e & a a - - ( u ，“) + 罢。比1 1 2 】d v - , e 打( ，“) + 詈l l “i ) l , o + 6 f o e 6 t ( ，比) + 詈i l “1 1 2 ) 矗f 一 。，比。) + 薹i l “。12 - e 6 ( ( u ，“) + 罢i b i l 2 ) + 6 f o e 6 ( ( u ，“) + 薹i b i l 2 ) d f s 扣。| 1 2 + 1 1 w + m ”1 2 et ( 蚶i i 制1 2 i c 3 t 2 ) + 知矿( 1 2 + | | “i i + a w i 渺 1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 【2 。z 1 7 _ ) 由于 u t2 + l u l l 2 + 口2s d e ( f ) ( 2 2 8 ) 其中d 为常数 将( 2 - 2 8 ) 代入( 2 2 7 ) ，得到 f o oe 6 嘉 ，“) + 詈1 2 f s c o e ( o ) + 印6 e o ) + c 1 “o e 6 t e ( r ) d z ( 2 - 2 9 ) 将( 2 2 9 ) 代入( 2 - 2 6 ) 式得 上p 打e o ) d f s y op 打忆0 2 d z + ( c o e ( o ) + c l e 6 e ( t ) + c 1 6 i p 打e ) d z ) ( 2 - 3 0 ) 将( 2 3 0 ) 代入( 2 - 2 4 ) 得 p & e o ) + 吐e 曲忱1 2 d fs e ( o ) + f o e 6 t 忆1 1 2 如+ c o e ( o ) + 印却e o ) + c 1 “e 断e ( v ) d z 叫0 ) + 瓤e 飞陋+ 等即) + 等矿川+ 嗡矿荆如 | ( 1 + 争即) + 等刖+ 肌 肌舻 令6 一口，6 gs 1 则有 删扯等+ 嗡如p 矽f e m e o ) s ( 2 + 6 c o ) e ( 0 ) + c 1 6 i e 曲e ( r ) d f 由g r o n w a l l 不等式得 e 6 t e ( t ) s ( 2 + 6 c o ) e ( o ) e c 6 e o ) s ( 2 + 6 c n ) e ( 0 ) e 一6 ( 1 一c 1 6 弦 1 9 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 令2 + 6 c o = c ， aa 6 ( 1 一c j 6 ) 即证得e ( f ) c e ( o ) e 2 4 本章小结 本章讨论了问题( 1 - 1 ) ( 1 4 ) 当f ( u ) = 一川p 1h 时整体弱解的存在 性、光滑性、渐近性首先，构造相关常微分方程的近似解，作先验 估计，利用b a n a c h 空间内的紧性原理取极限得到问题存在整体弱解； 在此基础上，证明了初值的可积性提高时，相应地整体弱解的可积性 也得到提高；最后，通过定义相应能量泛函，利用乘子法证明了当方 程的非线性项满足某些条件时，方程的能量函数按时间t 的指数形式 衰减于零 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 第3 章解的真空隔离现象 3 1 位势井族的引进与性质 对于问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) ，我们总假设p 满足1 p 生尝，刀5 ； n 一4 l p 0 ( - 0 ) 当且仅当 o i u l l ，( 6 ) ( 0 缸| i s ，( 6 ) ) 证明 若o 8 血8 o ，则i l l 忙0 ，且0 血i i 0 ( 0 ) 当且仅当 o 0 缸0 r ( 1 ) ( 1 l 血l i 厂( 1 ) ) 引理3 3 设， ) sd p ) ；则l ) ，p ) 证明若l ) ，p ) ，则由( 3 - 1 ) 可得l ) ，p ) ，则由本章引理3 3 可得 l ) 0 于是 i l 血忙，( 6 ) 另一方面，若i l z l l 互，p ) ，则由( 3 - 1 ) 得 j d ) s 0 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 看j 6 ) ，( 6 ) 故，必有l ) = 0 推论3 6设， ) sd ，则， ) - - 0 当且仅当0 血| i - ，- ( 1 ) 或i i 血忙0 引理3 7 作为6 的函数，d p ) 在区间【o ，导芸】上具有以下性质 ( i ) d ( o ) ；d ( 华) ：o ； ( i i ) d ) 在【o ，1 】上单调增加，在n 导 】上单调减少； ( i i i ) 郴) 在取最大值d ( 1 ) 一面1，口一等； ( i v ) 对任一e e ( o ，d ) ，方程d p ) = p 恰好有两个实 o 4 l 6 2 0 ，j ) d ( 6 ) u o ) 西之- w , uo w 名一 “日；( q ) l l ( 比) o ，( 比) sd ( 6 ) 显然，一 此外，再引进下列集合 v 一 “e h 2 ( q ) i ( u ) o ，j ( u ) d k - i “日；( q ) l l ) o ，j ( u ) d ) 乓= u 日；( q ) 惮0 ，( 6 ) ) 引理3 - 10 对如上足义阴，吃成互c c 见，c 乓 踮满足篱划 证明 由引理3 1 及引理3 3 可得c 吃，圪c 劈 下面证明c 若比，则有 2 等咧6 ) j ( ) - 三1 1 a 1 1 2 一面1 川p + ls 弘( 6 ) 另一方面，由丢| | z 1 0 2 d p ) 可得 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 哇一寺) l l 血1 1 2 d ( 6 ) 及l l 缸l l r ) 从而 l ) 乏0 u 推论3 1 1 岛c w c 且，vc 研 定理3 12 ( i ) 若0 6 6 ” 1 ，则，c ； ( i i ) 若o 6 ， 6 ” 华，则圪cv , ， 证明 此定理可由，k 的定义及引理3 7 得到 定理3 13 设对某一“h ；( q ) 有0 ， ) d ，盈 6 ：是方程 d o ) - j ( u ) 的两个实根，则l ) 在区间盈 6 o 可得0 幽卜0 用反证法，设l ) 在区间( 6 。，6 ：) 上是变号的，则必存在一个 万( 6 ，6 ：) ，使得 ) = o ，从而由定理3 8 可得， ) 之d ( 两 这与， ) = d ( 岛) 一d p ：) d ( 西矛盾 3 2 不变集合与解的真空隔离 问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 4 ) 的能量为 e o ) = 扣1 1 2 + 扣卜面1 川p + l 一扣1 2 + j ) 定理3 14 设u 0 0 ) 日；( q ) ，u 1 ) ( q ) ；0 p 0 ，则对6 ( 嘎，6 ：) 有 哇一者m 1 2 + 六l ( u 。) 一地) 叫0 ) 邢) 于是，可得 0 ， o ) d ( 6 ) 0 与“o o ) w 名，v 6 ( 6 。，6 2 ) 下面证明“o ) ，v t 5 ( 嘎，6 ：) ，f ( 0 ，t ) 若不然，则存在某一