（工程力学专业论文）弹性楔一类佯谬问题的解.pdf

弹性楔一类佯璎问题的斛 摘要 佯谬问题是弹性力学中一类经典性基础研究课题，而已有的研究成果，如应力函 数法，复变函数法，都是在一类变量的拉格朗e 1 体系内进行求解，属于弹性力学的半 逆解法，它的求解需要数学上的技巧，依赖于具体问题而缺乏一般性。基于计算结构 力学和最优控制的模拟理论，弹性力学可以进入哈密顿体系进行求解，于是，分离变 量和本征函数的展开法即可实施。本文在原变量和列偶变量组成的辛几何空间求解了 几个具有理论意义和应用价值的佯谬问题，结果再次表明经典弹性力学中的佯谬解对 市的就是极坐标哈密顿休系的约当型解，从而通过对约当型的求解给出了这些佯谬问 题的完整解答。本文主要研究内容包括： 1 )顶端受有集中力偶的双材料弹性楔体的佯谬问题 2 )顶端受有集中力偶的圆柱型f 交各向异性弹性楔体的佯谬问题 3 )表面受有均匀载荷的圆柱型正交各向异性弹性楔体的佯谬问题 关键词：佯谬，弹性力学，弹性楔，哈密顿体系，辛几何，圆柱型正交各向异性 弹性楔一类佯谬问题的斛 a b s t r a c t p a r a d o xp r o b l e mi so n eo ff u n d a m e n t a lb u tc l a s s i c a l r e s e a r c hp r o j e c ti nt h e t h e o r yo fe i a s t i c i t y b u tt h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t so b t a i n e db yn o w , s u c ha st h es t r e s s l u n c t i o nm e t h o d sa n d c o m p l e x v a r i a b l em e t h o d ss o l v e dt h e p r o b l e mu n d e rt h e l a g r a n g es y s t e m ，a l lt h em e t h o d sb e l o n gt ot h et r a d i t i o ns e m i i n v e r s es o l u t i o nm e t h o d t h a ti s ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h es t r e s sm u s tb ea s s u m e di ns o m e e x p r e s s i o ni na d v a n c e ， w h i c hb a s e do nt h es p e c i a lp r o b l e m sa n dl a k eo ft h eg e n e r a t i o n l o o k i n gf r o mt h e a n a l o g yt h e o r yb e t w e e nt h ec o m p u t a t i o n a ls t r u c t u r a lm e c h a n i c sa n dt h eo p t i m a l c o n t r o l ，t h eh a m i l t o ns y s t e mt h e o r yc a nb ei n t r o d u c e di n t ot h et h e o r yo f e l a s t i c i t y s o t h ep o w e r f u lm a t h e m a t i c a lp h y s i t sm e t h o d ss u c ha st h es e p a r a t i o no fv a r i a b l e sa n d e i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o nc a nb ea p p l i e dd i r e c t l yi n t ot h ee l a s t i c i t y i nt h i sp a p e rs o m e t y p i c a lp a r a d o x e so n t h ee l a s t i cw e d g ei ss t u d i e di ns y m p l e c t i cs p a c ew h i c h c o n s i s to f o r i g i n a lv a r i a b l e sa n dt h e i rd u a lv a r i a b l e s i ts h o w sf u r t h e rt h a tt h es p e c i a lp a r a d o xi n e u c l i d e a n s p a c e u n d e rt h e l a g r a n g es y s t e m i s j u s t j o r d a nf o r ms o l u t i o n si n s y m p l e c t i cs p a c eu n d e rh a m i l t o n i a ns y s t e ms ot h ep a r a d o xs o l u t i o n se l t r lb eo b t a i n e d b ys o l v i n gt h ej o r d a nf o r ms o l u t i o n t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri n c l u d e s ： 1 ) t h ep a r a d o xp r o b l e m o ft h et w o m a t e r i a le l a s t i c w e d g es u b j e c t e d t oa c o n c e n t r a t e dc o u p l eo nt h ev e r t e x 2 ) t h ep a r a d o xp r o b l e mo ft h ec y l i n d r i c a lo r t h o g o n a l s u b j e c t e dt oac o n c e n t r a t e dc o u p l eo n t h ev e r t e x 3 ) t h ep a r a d o xp r o b l e mo ft h ec y l i n d r i c a lo r t h o g o n a l s u b j e c t e d t ou n i f o r mt r a c t i o n so nt h es u r f a c e s a n i s o t r o p i ce l a s t i cw e d g e a n i s o t r o p i c e l a s t i c w e d g e k e y w o r d s ：p a r a d o x ，e l a s t i c i t y , w e d g e ，h a m i l t o n i a ns y s t e m ，s y m p l e c t i c s p a c e c y l i n d r i c a lo r t h o g o n a la n i s o t r o p i c l i 弹性樱体一共佯谬问题的删 1 1 概述 第一章绪论 佯谬问题是弹性力学中一类经典性基础研究课题，人们对佯谬问题的关注 是近四十余年的事情。最早关注并研究佯谬问题的是两位外国学者s t e r n b e r g 和 k o i t e r ( 1 9 5 8 l 川，他们注意到，平面极坐标系中顶端受有集中力偶作用的各向同性 弹性楔体的经典解2 】 击：q ( 2 q c o s 2 a - s i n 2 0 ) 7 2 ( s i n 2 a 一2 ac o s 2 a ) 盯。： ! 鲤竺翌 。( s i n 2 a 一2 口c o s 2 c t ) f ：q ( c o s 2 a - c o s 2 0 ) ( s i n 2 口一2 a c o s 2 a ) 当t a n 2 a = 2 a ( o 口 刀) ，即a z0 7 1 5 z 时，应力函数西和应力分量盯，r 都将 趋近于无穷大。对于上面的解在2 口= 2 a 处的失效现象，s t e r n b e r g 和k o i t e r i 】称 之为佯谬。他们在文【1 中先考虑了一个修改的问题，即将原来作用于楔顶的集 中力偶静力等效地替换为作用于楔体两侧有限区间0 r s 口上并关于楔体的中 心线反对称的分布载荷，然后借助于m e l l i n 变换和留数定理，获得了修改问题 在r 口趋近于无穷大时的渐近解，最后再获得口趋近于零时渐近解的极限。结果 发现当2 a 2 a 时，仅当替换载荷为某一种特殊分布时，渐近解的极限才存在并为经 典解；当2 口= 2 a ，无论替换载荷的分布如何，渐近解的极限均不存在。t i n g p l 在1 9 8 5 年发表的文章中则进一步指出，由于楔体在，_ o 。时处的边界条件没有 给定，因此该问题的解不是唯一的，存在着满足零应力边界条件，即楔体两边及 顶端均不受力的齐次解。通过适当的选择齐次解并将其与经典解叠加，t i n g 构造 了2 0 趋近和等于2 a 时应力均为有界的解，由其结果可以看到当2 a = 2 a 时， 应力在楔顶附近具有l n r r2 的奇异性。继s t e r n b e r g 、k o i t e r 以及t i n g 的工作之 后，d u n d u r s 和m a r k e n s c o f f ( 1 9 9 2 ，1 9 9 4 ) 【4 5 1 又对佯谬问题进行了更深入的探 讨。文 4 主要研究与该佯谬密切相关的集中力偶问题，说明了在裂纹尖端附近， 或在两种材料结合的界面附近，以及在嵌入另一种材料内的楔体顶端上作用集中 力偶时的一些特异现象；而文【5 】则归结了均以该佯谬问题作为极限情形的三种 不同的问题模型，并分别讨论了各模型中的特异现象及其与圣维南原理的关联。 对表面受有外荷载作用的楔也会发生类似的佯谬。他们包括表面受有均匀 载荷的楔体，在对称载荷作用下当2 a = 石，2 ，r ：或在反对称载荷作用下当2 a = 2 a 时经典解的应力也成为无穷大，即发生佯谬。d e m p s e y 6 , 7 1 ( 1 9 8 1 ) 采用应力函数的 解法，构造了在2 a = 2 a ，疗，2 i c 时应力均为有界的解，对该问题进行了研究。 弹性楔体一类佯璎问题的州 d e m p s e y 虽然得出了2 a = 2 a ，7 ，2 石的解，但其解在2 a 趋近于2 口，7 9 , 2 r e 时，应 力仍无界。t i n g i s 在1 9 8 4 年发表的文章中，利用齐次解叠加的方法克服了 d e m p s e y 解的缺点，从而构造了一个当2 口等于和趋近于2 口+ ，7 z ，2 z r 时，应力均为 有界的解。同时t i n g 发现在这三个角度下，应力分布具有以下特征：1 ) 在这三 个角度处相应齐次方程的特征值均为零：2 ) 在这三个角度下，对一般荷载，应 力分布呈现( 1 n r ) 的性态，但在一些特殊的载荷作用下应力分布将不呈现这种形 式，此时应力分量对于任意的，都是有界的，而在这种情况下方程的解也将不再 唯一，而有无穷多个。承受反平面切向载荷的长楔，在反对称载荷下，当楔顶角 2 a = 2 z - ，在对称载荷下，当2 口= 2 月，同样存在佯谬问题，在文 9 】中t i n g 利用 采用应力函数的解法将其解决。 继t i n g 的工作之后，对于楔的表面受有与，“o ) 成正比分布的非均匀荷 载的情形，王敏中0 1 采用与t i n g 相类似的方法利用两个齐次解和一个特解叠 加，从而得到了当楔顶角2 口趋近于和等于2 a ，厅，2 z 时，应力均为有界的解。他 首先构造出了应力函数： ， + 2 = _ _ i _ i _ 爿c o s ( 2 + 2 ) 0 + b ( 2 + 2 ) c o s 兄口】 ( 丑+ 2 ) ( + 1 ) 。 将由该应力函数推导出的各个应力分量，代人边界条件求出常数a ，b ，从而得 到一个特解。但当月为整数或为半整数，而2 a = 2 7 r 时，特解的应力就成为为无 穷大，这显然是一个佯谬，因为对楔而言，2 a = 石，2 疗与一般的解并没有本质的 区别，但得到的解却有巨大的差异。为了解决这一问题，该文作者又作了进一步 研究，将子个应力分量代人自由边界条件，得到齐次方程的齐次通解，经过恰当 的选择齐次通解，并将得到的新的特解，用洛比塔法则求极限，即可得到在这两 种角度下的有界解。 丁皓汀，彭南陵，李育在文”】中指出，对表面受有与r ”( 甩0 ) 成正比分 布载荷的楔，除以上两种特殊情形外，当2 盘与，2 满足一定关系，即 m + 1 ) s i n 2 a + s i n 2 ( n + 1 ) a = 0 ( 对称荷载) 或者+ i ) s i n 2 a s i n 2 ( n + 1 尬= 0 ( 反 对称荷载) 时，经典解的应力分量也为无穷大。他们采用复变函数的方法研究了 ”0 ，0 2 a 2 e r 范围内佯谬的所有情形。首先构造出复合函数形式的特解序 列，得到在2 a = 2 口处的有界解，然后通过叠加齐次解，构造了佯谬解和2 口趋 近于和等于2 c z 时仍有界的修正解。从结果可以看到一次佯谬解的应力有r ”1 n r 的性态，二次佯谬还有，”( 1 n r ) 2 的性态。但是用复合函数法求解佯谬问题，修正 特解的构造需要数学上一定的技巧，也需要对经典解中分母项表达式的情况，包 2 神性榄体一类佯譬问题的斛 括重根复根有很详尽的研究和了解。 在继各向同性弹性力学佯谬问题的研究取得一系列成果之后，t i n g l l 3 , 1 4 】又 丌展了刈维直线型各向异性弹性力学中佯谬问题的研究。他在1 9 8 8 年发表的 义章【l 刊中指出在各向异性弹性楔体中存在着与各向同性楔体相类似的佯谬现象， 只是发生佯谬时楔顶角所依赖的弹性常数将有多个。在该篇文章中他利用 s t o r h i 8 1 理论给出了均匀荷载下各向异性弹性楔体的常规解，并且发现在对称荷 载作用下，当楔顶角2 a 等于口，2 厅时，该常规解将不再存在：而在反对称荷载下 只有当楔顶角满足一定方程时常规解才存在。仿照各向同性楔体佯谬问题求解中 齐次解叠加的方法，t i n g 将反对称载荷作用下所得到的常规解叠加了一个因式， 从而得到了一个非常规解，该解只与楔顶角的大小有关而与楔的极径大小无关， 并且在楔顶处不存在应力奇点，尽管应力在该点并不连续。最后t i n g 给出了佯 谬发生时楔项角所要满足的方程。 接下来- l i n g 又在1 9 9 0 1 6 1 年发表了一篇文章对各向异性楔顶端受有集中力 偶和楔表面受有均匀载荷时的佯谬现象进行了求解。他同样采用了s t o r h 理论。 s t o r h 理论中的基本要素是各向异性弹性参数的特征值和特征向量，t i n g 利用特 征向量削的f 交性质将复数形式的特征值和特征向量表示成有弹性常数组成的 实数彤式，并利j i = j 一些数学上的求解技巧得到了顶端受有集中力偶和表面受有均 匀载荷的各向异性楔体在特殊角度下的佯谬解，但他并未给出当楔顶角趋近于这 些角度时的解。 各向异性弹性力学中应力应变的关系一般分为两类：1 在直角坐标系中弹 性常数为常量的简称为直线型：2 在曲线坐标系中弹性常数为常量的简称为曲 线型，圆柱型是曲线型的一种。丁皓江等在1 9 9 4 年发表的文 i 叫中研究了圆柱型 各向异性弹性力学的平面问题，他们在总结前人位移法和应力解法1 2 叫的基础上， 对圆柱型各向异性弹性力学平面问题中的基本方程进行改写使线性常系数偏微 分算子对加法和乘法构成可交换环，从而利用线性代数理论构造了恰当解。这个 恰当解由一个应力函数表示位移和应力，其中矿满足一个四阶微分方程，同 时导出了另一形式的应力函数g ，它的控制方程和一样，然后利用位移函数和 应力函数求得圆柱型各向异性弹性力学平面问题的若干经典解。接下来丁皓江又 在1 9 9 7 年发表的文1 中对顶端受有集中力偶或表面受有均匀载荷的圆柱型正交 各向异性楔的佯谬问题进行了解决。他们发现对楔顶角为2 口的圆柱型正交各向 异性楔体，其顶端受有集中力偶的经典解当口满足t a l l 五口= 旯口，即 ( = x ( a + 2 a l 2 + 2 a 1 1 ) a ，a 6 6a a l2 为弹性常数) 时，经典解的应力成为 无穷大；其表面受均匀荷载的经典解当口满足s i n 2 a = 0 ( 对称载荷) 或 t a n 2 d ：丑口( 反对称载荷) 时也有同样问题，并用文9 j 导出的应力函数和齐次 解叠加的方法将其解决。 在界面平面端应力奇异性研究方面，d u n d u r s 2 2 提出了两个各向同性材料结 合时的力学性能函数，b o g y 2 3 , 2 4 1 又对两个直角结合的半平面边界上，受法向和切 向载荷问题作了详细讨论。d e m p s e y 和s i n c l a i r 【2 5 】利用特征函数展开法对各种边 界条件下具任意角度结合的界面端应力奇异性，进行了全面分析。c h e n 和 弹件楔体一类佯谬问题的斛 y a n g l 2 6 2 7 】还研究了对数应力奇异性和奇异应力场。而c h e n 和t i n g 在 2 8 2 9 1 中则 分析了各向异性材料的平面界面端问题。 由以上综述可以看出，佯谬问题的研究在理论上具有非常重要的意义。但 如上所述对佯谬问题的求解，都是在一类变量的拉格朗日体系内求解，属于经典 力学的半逆解法，对佯谬的内部规律还缺乏深入的认识，其求解很大程度上还依 赖于数学上的技巧，它依赖于具体问题而缺乏一般性。而随着所研究问题的目益 复杂，对各向异性体所使用的实应力函数的研究方法将变得日益繁琐，其局限性 也同益明显，故而使用更加简洁有效的研究方法并进一步揭示佯谬问题及其求解 的规律性，便显得十分必要。 钟万勰院士 , 3 2 , 3 3 】利用结构力学与控制论相模拟的理论，将哈密顿理论引入 平面柱形域，可导出一套横向哈密顿算子矩阵的本征向量展开解法用于处理圣维 南问题。对平面扇形域问题，如将其半径方向选作长度方向并经过恰当的变量代 换以模拟时i f i 坐标仍可以将问题导入哈密顿体系，于是辛代数方法就可以用于扇 形域问题，这划于确切求解扇形域顶点的应力奇性也有很大好处，并且对于均匀 各向异性材料，以及不同材料径向线上的粘合问题或空间问题也同样适用。辛体 系实现了从欧几里德几何空间向辛几何空间的转变，为弹性力学的求解开辟了一 条新路。 1 2 本文的主要研究内容 本学位论文利用弹性力学求解辛体系的优秀研究成果，用与文 3 4 十f l 同的 方法，即通过约当型的求解，直接给出以下三个佯谬问题的解：( 1 ) 由两种材料 组成的顶端受有集中力偶作用的弹性楔体的佯谬问题；( 2 ) 顶端受有集中力偶的 圆柱型正交各向异性楔体的佯谬问题：( 3 ) 表面受有均匀载荷的圆柱型正交各向 异性弹性楔体的佯谬问题。 4 弹性楔一类佯谬问题的删 第二章：两种材料组成的顶端受有集中力偶的 弹性楔的佯谬解 本章在由原变量和其对偶变量组成的辛几何空间，研究由两种材料组成的弹性楔 的佯谬问题。文中首先将问题导入极坐标哈密顿体系，然后通过约当型的求解，给出 了该佯谬问题的解。 2 。1 极坐标哈密顿体系 本章研究如图2 1 所示的由两种不同材料组成的弹性楔，其中口= 0 线为两种材料 的分界线。捌料1 的弹性性质用e 。和v 。表示，占用扇形域一口 0 0 ；材判2 的弹性 性质用岛和v ：来表示，占有扇形域0 0 。这罩用下标i = 1 , 2 来区别两种不同材料 相关的各物理量。记，v ，分别为径向和环向位移分量，而口。，o - 。，为相应的应力分量。 在不致引起混乱的情况下。以下表达式中的下标i 经常被略去。下面简要介绍极坐标弹 性平面哈密顿体系。 o 图2 1 两种材料组成的弹性楔 f i g u r e 2 1 ：t h e t w o m a t e r i a le l a s t i cw e d g e 弹性楔一类佯谬问题的解 极坐标下弹性楔体的平衡方程为 f a 盯，加+ ( 仃，一仃d ) r + ( 1 ，) ( a r 坩a o ) = 0 【o f ，f o r + 28 f ，目r + ( 1 i r ) ( o - p ，a 移) = 0 物理方程为 几何方程为 8 r = o ，一v g 口) e 岛= o - ，一v o ，) e 。= o + v k ，。i e l a u l o r = p r m 日) e u r + ( 1 l r ) ( & l a 8 ) = ( 一v o - ，) e i a v a 一v i i + ( i h ) ( i 争“a 口) = 2 ( i + v ) r 坩e r 2sr r 1 0 口o 与方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 对应，可写出其h - r 变分原理 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 ，3 ) ( 2 4 ) 6 s 上f 。2 h 石o u + ( 詈+ 了l 丽o v ) + ( 瓦o v 一；+ 嚣卜( ：| 5 ) i l i ( 盯，2 + 盯口2 2 v 盯，盯口+ 2 ( 1 + v ) r r e 2 ) r d r d o = 0 其中“，v ，a ，d 。，t 。认为是各自独立变分的量。 现在引入变换 = l n r ，即r = e ， l = l n r l ， 2 = l n r 2 于是变分式( 2 5 ) 成为 6 ( 2 6 ) 掸r ：嵌类”l 掣问题的删 s e 2 了o r 面。u 十争( “+ 参+ 等c 嚣一v + 一 去( q 2 + 2 2 v 口，+ 2 ( 1 + 咖夕) 】r2 d c d o = o 再引入变量 s ，= ，a ，s m = r t 月( s ，o = s o ，) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 则变分方程( 2 7 ) 可重写为 a f r 嚣+ 趴“+ 丽o v ，+ e 妻一v + 一 亿。、 石1 ( s ，2 + s o 2 2 v s ，s o + 2 ( 1 + v ) s 制2d 嗣目= o 区域也就成为 毛1 毛号2 ，一o 0 o ( 2 1 0 ) 将e 模拟为哈密顿体系的时间坐标，n e 就成为横向。按其常规，横向的力素应首先消 去，将( 2 9 ) 对于s 。先完成取m a x ，有 心，+ e ( u + o v 0 0 ) = s o 将& 代入( 2 9 ) 消去s 。可得 ( 2 1 1 ) ae f 2 t s r 考；+ s 一善；+ s ，c “+ 嘉，v + s c 詈；一v ， 。：， + 鲁( 卅孑2 一去( ( 1 叫+ 2 ( 1 川翰m 删 这即是哈密顿体系的变分原理了，其中“，v 是位移，而s ，s 。组成了其对偶变量a 令 g = “，v ) 7 ，户= s ，s ，日) 7 则( 2 1 2 ) 式可改写成 ( 2 1 3 ) 型坐：燮二堂堂堡塑丝塑型 6 ff p 7 口一z ( g 、p ) d 嗣臼= o z c s 一( “v + v 嘉) 一岛( 嘉一v ) 一詈( “+ 嚣) e z t 。， + 去 ( 1 妙，2 ( 1 + v 域 将变分原理展开可得到如下哈密顿对偶方程组 4 = a q 一却】 声b qa t p j jj 入全状念向量 v = 协 叭0 哈密顿对偶方程组( 2 1 5 ) 可重写为 i = h v = 一a 8 8 止 一e a i a e 一a p e a 0 0 一2 0 0 2 ( 1 一p2 ) e 0 v 一a 目 0 2 ( 1 + y ) e a a 曰 一1 v s ， s 。日 f 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 方秤缃( ! 1 7 ) 的求法通常有两类，直接积分和分量变量，直接积分对于两点边值的积分比 较费事，对于维数月不大时可以用精细积分来计算，但弹性力学处理的问题是连续体， 相当于无穷多未知数。对于连续体或”为很大时分离变量法是合宜的。 按照常微分方程的理论，用分离变量法求解线性齐次方程( 2 ，1 7 ) ，应先寻求以下形式 的解 v 皓) = z g 妒 ( 2 1 8 ) 其中，z 皓) 是掌的函数，与向量中的任个分量无关；p 则是2 维向量，它与善无关， 妒= 妙，吵：，妒：。 ，( 2 1 9 ) 是横向的函数。将( 2 1 8 ) 带入( 2 1 7 ) 可得： 堕堕：塑 鬈z 皓) ( 2 2 0 ) 弹件楔一娄佯掣问题的州 上式左端与掌无关，而右端与下标i 无关，因此他们只能等于常量，记之为，于是有 日甲= 甲( 22 1 ) 及 z 心) = e x p 掌)( 2 2 2 ) 由于哈密顿矩阵h 不是对称阵，因此可能出现重本征值，而且也可能有约当型的 本征向量。如掣。是熏本征值的基本本征向量，则其各阶约当型本征向量掣”，掣“，”， 麻满足下而的方程： 吵1 ) = “叫+ 掣o h 掣2 2 2 + 吵” ( 2 2 3 ) 日掣= “掣+ 妒一” 约当型本征向量不能直接构成齐次方程( 2 1 7 ) 的解，但由它们可以组成方程( 2 1 5 ) 的解 v ( i i ：e x p ( 艏) p 1 ，+ 。，】 v n ，= e x p ( 善) f 2 1 + 掌掣”+ ；善2 掣 v “2e x p ( 善l 2 1 + 掌掣”+ 1 ；善2 掣”j v 似) = e x ，c 善) 叫+ 善叫_ | ) + - + 去掌”町 展开本征方程( 2 1 7 ) 有 一( + v ) u v d v d 0 + ( 1 - y2 ) s ，e + 0 = 0 一d u d 0 + ( 1 一p ) v + 0 + 2 ( 1 + v ) s 坩，e = 0 e “+ e d v d o + ( v - ) s ，一d s ，日d o = 0 一e d u d o 一点d 2 v d 0 2 一v d s ，d o 一( 1 + ) s ，8 = 0 这足常微分方程组，求解应先找出根五，其代数方程为 一( + y ) 上 一e 展开其行列式得 一以 ( 1 一) e 2 一e z 2 ( 1 一v2 ) e 0 ( v 一) 一v a 0 2 ( 1 - 4 - v ) e 一 一( 1 + p ) o f 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 弹性楔一共佯谬问题的斛 a 4 + 刀( 2 + 2 2 ) + ( 1 一2 ) 2 = 0 奠方程的解为 丑12 = i ( 1 + p ) ，五3d = i ( 1 一) 2 , 2 基本本征解 两种材料在0 = 0 连接条件为 ( 2 2 7 ) “1 l “= lu + 2 , v i i = lf 2 , s + r o i = s ，i ，0 ：2 e eo vl a o v i se 2 “2 + e 2 0 v 2 0 0 + y 2 s ，2 当口= 。时 ( 2 2 8 ) l “l +i l + ，i =“2 +22+ y 2r 2 。 设两侧边0 = 一。【及0 = p 为自由边，则其侧边边界条件为 s ，自= 0 u l 十o v ? a 87 + v , s 。e ? = 0 根据式( 2 2 7 ) 可得在两个域内的通解的表达式如下 p = 瓦= a 。s i n ( 1 + ) 目+ b 。，e o s ( 1 + ) 目+ c 。，s i n ( 1 一卢) 口+ d ，。c o s ( 1 一) 口 砭= a 。，c o s ( 1 + ) p + b 。s i n ( 1 + ) 目+ c 。c o s ( 1 一) 曰+ d 。s i n ( 1 一) p ，? = a 。? s i n ( 1 七u ) o 七b ，c o s ( 1 七g ) o 七c 。s i n ( 1 - p ) o d ，? c o s ( 1 一“) e ，= a 8c o s ( 1 + “) 8 + b _ s i n ( 1 + g ) o + c 自c o s ( 1 一8 + d * s i n ( 1 一8 r 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 其中常数a 。b 。，c 。，d 。，等还不是互相独立的，将( 2 3 0 ) 代入本征方程( 2 1 7 ) 可 列如i 、农j 厶武： b 。= 一以，b 。，= b 。，b 。，= 玩0 + v i ) ( e ) ( 2 3 1 a ) a ，= 一a a ，a 。，= a 。，a ，= a o + v ，) ( e ，) ( 2 3 1 b ) e ，( 1 一) d 。+ ( _ 3 + y ，+ p + v u ) d 盛= 0 ( 1 一) d 。一0 一) d j = 0 e ，- , 0 一) d 。+ ( 3 一_ + + v ，) d h = 0 o ( 2 3 1 c ) 弹件樱一类佯i 型问题的州 e ，( 1 一) c 。，一( _ 3 + v ，十+ v u r f 日= 0 ( 1 一) c 。+ ( 3 一) c 。= 0 e ，( 1 一p 。+ ( 3 一v ，+ 卢+ v i ) c 日= 0 再代入口= 0 线l ：的连接条件( 2 2 8 ) 可得 b 。l 十d 。i = b 。2 + d 。2 ，4 。l + c 1 = a + c ，2 e l ( b 。l + d 。1 ) + e l ( 1 + ) b “+ ( 1 一) d ，l 】+ v i ( b h + d ，i ) ( 2 3 l d ) ( 2 3 2 a ，b ) e 2 ( b 。2 + d 。2 ) + e 2 ( 1 + ) b ，2 + ( 1 一) d 幢 + v 2 ( b ，2 + d ，) ( 2 3 2 c ) a 口1 + c 目i = a f2 + c 0 2 将( 2 31 ) 代a ( 2 3 2 ) 口- j 得 其中 a 日2 = a7 a p l + 口8 ( 1 口2 ；b 目2 = 口) b p i + d d p c e 2 = 口5 c 0 1 + 口6 a 口2 ；d 0 2 = a 1 d e i 十口2 b e l r l = e ，e 口l = r 1 + v 2 ) ( 1 + ) 一7 7 ( 一3 + v i 十+ y l ) y 4 d 2 = ( 1 一) ( 1 + v 2 ) 一可( 1 + v i ) l 4 0 3 = i 一( 1 + ) 口2 ( 1 一) 口4 = ( 1 一a 1 ) ( 1 + m ) ( 1 一) 口5 = 【( i 一a ) ( 1 + v 2 ) + 叩( 3 一y l + + v i n ) 4 a 。= ( i 一卢) + p 2 1 7 ( 1 + v 1 ) 1 4 ( 2 3 2 d ) r 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) f 2 3 s ) ( 2 - 3 6 ) f 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 4 0 ) 弹性楔一类佯穆问题的舭 口7 = 1 一盘6 口82 1 一a 5 ( 2 4 1 ) f 2 4 2 ) 至此，i m 解( 22 7 ) 中的3 2 个常数已出四个独立常数爿；，b ；，q ，d ；所表示，对于这4 个常 数还有侧边边界条件( 2 2 9 ) 应当满足。将方程( 2 3 0 ) ，( 2 3 1 ) ，( 2 3 3 ) 4 , k ( 2 2 9 ) 可导出 m l a 日l + m 2 b o i + 删3 g i + m 4 d 口j = 0 m s a o l + m 6 b o , + 删，c o i + ”8 d o l ( 2 ，4 3 ) 朋9 爿日i + m l o 岛l + m i l c s l + m l2 d o l = 0 2 1 3 a 口】+ m 1 4 b ej + ，”15 c ；i + m 1 6 d o l = 0 刘齐次线m - 代数方程( 24 3 ) ，要使爿。b ：，c 。d 。i 有非零解其系数行列式必为零，即 g ( ) = 其中的系数为： m = c o s ( 1 + u ) a m 2 m 1m 4 m 6删7m 8 m 1 0m l im l2 m i4卅15m 1 6 m 2 = 一s i n ( 1 + ) 口 m 4 = 一s i n ( 1 一) 口 = 0 m 5 = a 7c o s ( 1 + ) + d 6c o s ( 1 一) 卢 m 6 = a 3s i n ( 1 + ) + a 2s i n ( 1 一) p m 7 = a 8c o s ( 1 + ) + 口5c o s ( 1 一u ) p 2 ( 2 4 4 ) r 2 4 5 ) f 2 4 6 ) f 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 24 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) m 肚肌脚 如 掸性楔一樊佯谔问题的斛 2 8 = 盘ds i n ( 1 + ) + 口】s i n ( 1 一) t 9 = ( 1 一) s i n ( i + ) 口 m i o = ( 1 一) c o s ( 1 + ) 口 m 1 1 = ( 1 + ) s i n ( 1 一) a m i2 = ( 1 + , u ) c o s ( 1 一) a m i3 = 一( 1 一) 口7s i n ( 1 + ) 一( 1 + ) a 6s i n ( 1 一) 7 j 4 = ( 1 一，f ) d 3c o s ( ! + ) + ( 1 + i t ) c r 2c o s ( 1 一) m l5 = 一( 1 一) a 8s i n ( i + z ) p 一( 1 + ) 口5s i n ( 1 一) m 1 6 = ( 1 一) 口4c o s ( 1 + ) p + ( 1 + ) 口lc o s ( 1 一) 卢 式( 2 4 4 ) 给山了求解本征值的超越方程。超越方程( 2 ，4 4 ) 有无穷多个根，但不难直接验 证0 及1 一定是其根，即0 及1 一定是算子矩阵日的本征值。这里，我们关心的是本 征值“= 一1 的本征解。 将u = 一1 代入本征方程( 2 2 5 ) 可得 一( v 一1 ) “一v d v d 0 + 0 一v2 b ，e = 0 一d u d o + 2 v + 0 + 2 ( 1 + v ) s ，p e = 0 e “+ e d v d o + ( v + 1 ) s ，一d s 坩d o = 0 一e d u d o e d 2 v d 0 2 一一d o = 0 由方程( 2 6 1 d ) 和侧边边界条件( 2 2 9 ) 可得 “+ d v d o + v s 。e = 0 ( 2 6 1a ) ( 2 6 1 b ) ( 2 6 lc ) f 2 6 1 d ) f 2 6 2 ) 蚴 删 跏 跚 蜘 册 踟 跏 卿 0 g q q q b 亿 掸性楔一类佯 鍪问题的射 由( 26 2 ) 和( 2 6 1 a ) 可得 “= 一s e 将( 2 6 3 ) 代入( 2 6 1 c ) 可得 s ，= d s m d o 再将( 2 6 3 ) 平d ( 2 6 4 ) 代入( 2 6 2 ) 消去s ，“可得 驯d 口= ( 1 _ y ) 面d s r o 将上式积分可得 v = 0 一v ) s ，。e + a 雨i l 1 ( 2 ，6 4 ) ，( 2 6 5 ) n ( 2 6 1 b ) n - - i 得 d 2 s ，口d o2 + 2 ( 1 + v ) s ，8 e + 2 v = 0 再将v 代入上式得 d 2 s ，口d o2 + 4 s ，d = - 2 a e 求解该常微分方程得 s ，目= b s i n 2 p 十c c o s 2 0 一a e l 2 再根据侧边边界条件( 2 2 9 ) n - i 分别得到两个区域内的解如下 在区域l 罗= 瓦= 卜詈c , c o s 2 口 慧音舳z 臼 卜”b + 一击c , c o s 2 a 嚣一吉c i = 一( 们一2 c , c o s 缸) c s l o n s 2 2 口0 2 c ，s i n 2 臼 = 一。一日a , e - c , c o s 2 a ) 慧嵋c o s ：臼 1 4 ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) r 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) c o s 2 口l + a ( 2 ，7 0 a ) 掸性楔一豢佯塔问题的触j 在区域2 哎= 瓦= 一( 妒考c 2c o s 2 f j ) 面c o s 2 0 + i 2 c ：s i n ：目 州：，卜1 ：+ 阻一击c ：c o s ：j 、面s i n 2 0 + 击c z 墨：= ( a 2 e 2 - 2 c 2 c o s 2 剀_ , 面c o s 2 0 2 c ：s i n 2 目 s l n 2 廿 墨扩一；郴：+ b a 2 e 2 - c 2c o s 2 f l j ) 面s i n 2 0 + c 2 c 。s z 毋 当0 口口时 c o s 2 0l + a 2 ( 2 。7 0 b ) 这里a ，c ，a ：，c ：皆为常数。再将上面的解代入口= 0 处的界面连续条件( 2 2 8 ) 可得 ( 生! 墨! 二! ! ! ! ! ! 竺! = 一! 生2 墨2 = ! 竺! ! ! ! ! 生2 e ls i n 2 ae 2s i n 2 f l 1 - - v t 一言爿，e ，+ c 。 + 爿。e = ( 1 一v ：) 一i a 2 e 2 + c 2 + 爿：e z q ， 一昙一，+ c ，= 一昙以：e ：+ c ： 二z 解方程( 2 71 ) 可得 爿：旦c 胛d a ：垒c 肝4 其中1 7 l ，h 2 ，? 3n 4 的表达式如下 鱼c 砟4 ( 2 7 2 ) l 2 2 “e 1 。一e i 2 一e 专：二e e i ! i e n i ) 口s i n 2 a c o s 2 f l 一2 e ：s i n 2 , 6 c o s 2 a 】c z ，s ，+ ( 2 v 1 1 v 2 一l 一2 2j 铲之k i 2 e 善i e 0 j l + + e ，e 8 3 加s i n 2 f l c o s 2 a + 2 e 1s i n 2 a c o s 2 f l 】( 2 朋，+ ( 2 y i 一1 v 2 +1 +2 ) + j 驴以”柏el+e州2-e2v1：eiv2e e e e 。嚣s 加i n 2 f l c o s 2 a + 2 e 1s i n 2 口】 ( 2 7 5 ) + ( 2 1 + 2 v l l v 2 ) + 2 口j 弹性樱一娄佯谬问题的斛 心蛐之：2 e r ! e 1z ：一e ? e 8 3 缸s i n 2 a c o s 2 f l 一2 e ：s i n ： c ：，a ， + ( 2 y l 一1 v 2 一l + 2 ) 一 22 j 、吖 不失一般性可取( 2 7 1 a ) 和( 2 7 1 b ) 的c 。= 1 。 由该本征解p 组成的原问题( 2 1 7 ) 的解为 v = e x p ( 一掌) 吵= r - i r 它对应的应力场在尖楔顶端合成为一个集中力偶 ( 2 7 7 ) 肘= e ”2 d 臼= 墨m d 目+ r 舅一z d 吕 ( 2 7 8 ) = e ，p 1 ( 1 一c o s 2 a ) 一e 2 p l ( 1 一c o s 2 p ) + p 2 + p 3 其中： p l = 0 1 e 1 2 n 4c o s 2 a ) 4 n 4 e ls i n 2 a = 一0 2 e 2 2 n 。c o s 2 1 3 ) 4 n 4 e 2s i n 2 f l p 2 = g 4s i n 2 a f 1 e i a ) 2 n 4 p ，= 0 ，s i n 2 f l n 2 e 2 f 1 ) 2 n ； ( 2 7 9 ) ( 2 8 0 ) ( 2 8 1 ) 在一般情况下m 0 ，于是即可给出由两种材料组成的弹性楔顶点受单位集中力偶作用 的经典弹性力学解为 ；：上v ：上妒 ( 2 8 2 ) mr