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一类高阶非线性抛物型方程的初值问题和初边值问题 摘要 本文分三章：第一章为引言；第二章研究一类高阶非线性抛物型方程的初 值问题的局部广义解的存在唯一性，通过解的延拓定理证明整体广义解和整体 古典解的存在唯一性，并讨论整体解的衰减性质；第三章研究此类高阶非线性 抛物型方程初边值问题局部广义解的存在唯一性，通过解的延拓定理证明整体 广义解的存在唯一性，并研究整体解的衰减性质具体情况如下： 在第二章中，我们研究如下一类高阶非线性抛物型方程的初值问题 “t o 仳黜t 一卢z + 7 z 托+ ，( “b = g ( “) + h ( u 。k + 夕( “) 。， z r ，t 0 ， ( 1 ) 札( z ，0 ) = t 幻( $ ) ，z r ，( 2 ) 其中u ( x ，t ) 表示未知函数，o 0 ，p 0 ，7 0 为常数，( 8 ) ， ( s ) ，g ( s ) 和9 ( s ) 为 给定的非线性函数，“o ( z ) 是定义在r 上的已知初值函数其主要结果如下： 定理1 设u o h 8 ( r ) ( 8 2 ) ，g ，f ，h ，g c ( r ) 且k = 【s 】+ 1 ，则初值问题 ( 1 ) ，( 2 ) 存在唯一的局部广义解u ( x ，t ) g ( o ，蜀) ；h 8 ( r ) ) n c l ( 0 ，) ；h ”2 ( r ) ) ，其 中【o ，t o ) 是解存在的最大时间区间，同时如果 s u p f i 钍1 1 ，( 固 o o ， ( 3 ) o t 2 ) ，g ，h ，g c ( r ) 且k = h + 1 ，如果 a2s u p i i 让( ，。) l l n - ( 砷- - s u p i l u = ( ，。) i i l ”( 固 o o , 0(4)_tto 0 _ 0 ，使得k r 成立 g ，( f ) 一伽 则问题( 1 ) ，( 2 ) 的广义解“( z ，t ) 有衰减性质 i l u ( = ，t ) i l 备- ( 脚i l u o l l 备- ( r ) e 一甜 ( 5 ) 第三章讨论初边值问题 u t o 乱。武一卢。+ ，y 钍z 埘+ ，( u k = c ( u ) 十 ( 扎。) 。+ 9 ( 仳) 。， z q ，t 0 ，( 6 ) ( o ，t ) = “。( 1 ，t ) = “。( o ，t ) = 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 7 ) u ( x ，0 ) = “o ) ， z q = 【0 ，1 】( 8 ) 的整体解的存在性其主要结果如下： 定理5 设u o h 3 ( q ) ，g 2 ( r ) ，9 g 3 ( 兄) ，h g 2 ( r ) 和g c 1 ( r ) 贝0 问题( 6 ) 一( 8 ) 存在唯一的局部广义解u ( x ，t ) g ( 【o ，乃) ；日3 ( q ) ) nl 2 ( 【o ，晶) ；h 4 ( q ) ) ， 钍t l 2 ( 【o ，) ；h 2 ( q ) ) ，其中【0 ，) 是解存在的最大时间区间，如果 s u pl l u l l s , a o o ，( 9 ) 0 s 1 0 则= o o 定理6 设铷h 3 ( q ) ，g 2 ( r ) ，9 c 3 ( r ) ，h 俨( r ) ，h ( o ) = 0 和g c 1 ( r ) 且a ( o ) = 0 ，存在常数g ，e 0 ，a ，b ，d ，使成立v s ，g ，( 8 ) a ，九，( s ) b ，9 7 ( 8 ) 2d 和c ，7 ( 8 ) 口，则问题( 6 ) 一( 8 ) 存在唯一整体解u ( x ，t ) c ( 【o ，o o ) ；h 3 ( q ) ) nl 2 ( 0 ，o o ) ；h 4 ( q ) ) ，u t 工2 ( o ，o 。) ；h 2 ( q ) ) j i 定理7 设u o h 1 ( q ) ，c 1 ( r ) ，夕驴( r ) ，h c 1 ( r ) ，h ( 0 ) = 0 和g c 1 ( r ) 且a ( o ) = 0 ，存在常数c 1 ，c o , a ，b ，d ，使成立v s r ，g ( 3 ) a ，h ( s ) b ， g ( s ) d 和c ，( s ) c 1 ，其中2 a + 1 0 ， ( 1 ) u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， z r ，( 2 ) w h e r en 0 ，卢 0 ，y 0a r ec o n s t a n t s ，( s ) ， ( s ) ，g ( 8 ) a n dg ( 8 ) a r eg i v e nn o n l i n e a r f u n c t i o n s ，蜘0 ) i sg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1a s s u m et h a tu o h 8 ( r ) ( s ；) ，g ，h ，g c 奄( r ) a n dk = 【8 】+ 1 ，t h e n t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) h a sau n i q u el o c a ls o l u t i o nu ( x ，t ) c ( 【0 ，而) ；h 8 ( 兄) ) n c 1 ( ( o ，) ；日5 2 ( r ) ) ，w h e r e 【0 ，t o ) i sam a x i m a lt i m ei n t e r v a l m o r e o v e r ，i f s u p l l u l l , , ( 凡) o o ， ( 3 ) 0 s t ；) ，g ，h ，g c 知( r ) a n dk = 【s 】+ 1 ，i f a = s u pl l u ( ，t ) l i l * ( 脚十s u pi l u 。( ，) 0 l 一( r ) o o ，( 4 ) o t 0 , s u c ht h a t g 嬉) 一3 , o ， v r t h e nt h eg l o b a ls o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( i ) ，( 2 ) h a st h ed e c a yp r o p e r t y i l u ( x ，t ) l t 备- ( 固i l u o l l 备t ( 励e 础 ( 5 ) i nt h et h i r dc h a p t e r w ed i s c u s st h ei n i t i a lv a l u eb o u n d a r yp r o b l e m t “一n t k 科一触。+ 7 z b z 村+ ，( 钍) z = c ( u ) + ( ) 。+ 9 ( “) 。， z q ，t 0 ， “。( o ，t ) = 秕。( 1 ，t ) = u 一( o ，t ) = “。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， u ( x ，0 ) = u 0 ( z ) ，z q = 【0 ，1 】 ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m5a s s u m et h a tu 0 h 3 ( q ) ，f i 严( 尺) ，g c 3 ( r ) ，h c 哆( r ) a n d g c 1 ( r ) ，t h e nt h ep r o b l e m ( 6 ) 一( 8 ) h a sau n i q u el o c a ls o l u t i o nu ( x ，t ) c ( ( o ，) ；h 3 ( q ) ) nl 2 ( 0 ，蜀) ；h 4 ( q ) ) ，u t l 2 ( 【o ，乃) ；h 2 ( q ) ) ，w h e r e 【0 ，t o ) i sam a x i m a lt i m ei n t e r v a l m o r e - o v e r ，i f s u pi l u l l 备3 c o ， o 曼 t o ( 9 ) t h e n t j = o o t h e o r e m6a s s u m et h a tu o h 3 ( q ) ，f ( 产( r ) ，g c 3 ( r ) ，h c 2 ( r ) ，h ( 0 ) = 0 a n dg c 1 ( r ) a n dc ( 0 ) = o ，t h e r ea r ec o n s t a n t sc 1 ，c o ，a ，b ，d ，s u c ht h a tg ( s ) a ； ( s ) b ；9 7 ( s ) da n dc ，7 ( s ) c 1 ，v s r ，t h e n t h ep r o b l e m ( 6 ) 一( 8 ) h a sa u n i q u e g l o b a ls o l u t i o nu ( x ，t ) c ( 【o ，o 。) ；h 3 ( q ) ) nl 2 ( 【o ，o o ) ；h 4 ( q ) ) ，“t l 2 ( 【o ，o o ) ；h 2 ( q ) ) t h e o r e m7a s s u m et h a t “o h 1 ( q ) ，f c 1 ( r ) ，g c 2 ( r ) ，h c 1 ( 兄) ，h ( 0 ) = 0 a n dg g 1 ( 兄) a n dc ( o ) = 0 , t h e r ea r ec o n s t a n t sc 1 ，c o ，a ，b ，d ，s u c ht h a tg ，( s ) sa ， ( s ) b ，g ( 8 ) da n dc ，7 ( s ) c 1 ，v s r ，w h e r e2 a + 1 0 ， ( 1 1 ) “( 茹，0 ) = t 0 ( z ) ，x r ， ( 1 2 ) 其中u ( x ，t ) 表示未知函数，口 0 ，卢 o ，y 0 为常数，( 8 ) ， ( s ) ，g ( 8 ) 和g ( s ) 为 给定的非线性函数，u o ( x ) 是定义在r 上的已知初值函数 还讨论初边值问题 饥一o 删一p t 。+ ，y 乱船。十，( “) 。 = g ( u ) + 危( 。k + 9 ( “) 船， z q ，t 0 ， u 。( o ，t ) = ( 1 ，t ) = 。( o ，t ) = u z 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， u ( z ，0 ) = “o ( z ) ，z q = 【o ，1 】 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 形如( 1 1 ) 的方程与熟知的人口问题中的一维广义g i n z b u r g l a u d a u 模型 方程 地+ a l u z 。一a 2 u = a ( u 3 ) + c ( u ) ( 1 6 ) 密切相关，其中a ，a 0 ，a 。0 是常数和g ( s ) 是已知的非线性函数( 见【l 】) 显然方程( 1 1 ) 包含方程( 1 6 ) 关于方程( 1 6 ) ，文献【2 1 证明了周期边界问题存 在唯一的整体古典解文献【3 】证明了方程 m = - - a l ( x ，t ) “。+ 2 扛，) 。+ 9 ( “) 。十f ( u ) 三个不同边界条件的初边值问题有唯一的整体古典解 当g ( s ) = ( s ) = 9 ( s ) = 0 方程( 1 1 ) 变为 札t + ，( 钍) 。一。钍。t p 仳船+ 7 “船。= 0 ，( 1 7 ) 1 此方程称为具有耗散项的一维广义b b m b u r g e r s 方程( 见【4 】) 所以方程( 1 7 ) 和方程( 1 1 ) 也与熟知的b b m 方程 地一乱+ + u u = 0 ( 1 8 ) 紧密相关1 9 7 2 年b e n j a m i n t b ，b o n a j l 和m a h o n y j j 把方程( 1 8 ) 作为 k d v 方程的精确提出的( 见【5 ，6 1 ) 从那时起对于各种广义b b m 方程的周期 边界问题，初值问题和初边值问题被研究( 见【5 1 1 1 ) 在这些结果中最有效的 是在一定条件下讨论各种广义b b m 方程初值问题解的长时间行为，和建立上 述问题解的l 2 和俨衰减速度例如，文献【1 2 】研究了b b m b u r g e r s 方程 u t 一钍删一q t 正描+ + 札地= 0 ，n 0 ，z r ，t 0( 1 9 ) 解的衰减估计对于小初值问题在【6 ，l o i 中作者讨论了下列一维广义b b m 方 程 毗一仳删+ u $ 4 - 矿“= 0 ，p 4 解的衰减估计在文献【1 3 ，1 4 】中作者研究了下列广义b b m b u r g e r s 方程组 初值问题 n 缸t + 厶( 壮) 一a a u t p u + ，y 2 u = 0 ， 茁r n ，t 0 ， j = 1 仳( t ，z ) | ：o = u ( o ，z ) = u 0 ( z ) ， z r n 解的存在性，整体光滑解的收敛性和解的最优瞬时衰减估计 此文在第二章中证明初值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 存在唯一的整体广义解和唯一整 体古典解，并给出解的衰减估计；第三章证明初边值问题( 1 3 ) 一( 1 5 ) 存在唯 一的整体广义解，也给出解的衰减估计 2 第二章初值问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 本章应用压缩映射原理证明初值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 存在唯一的局部广义解和 唯一的局部古典解，其次利用解的延拓定理证明初值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 有唯一的 整体广义解和唯一的整体古典解，最后给出解的衰减估计 在这一章中我们用以下记号：2 ( 1 p o o ) 表示所有定义在r 上妒可积 函数的空间，并赋予范数ij q l l l ，= ij qj ，ij q lj p = i i q l l 2 ；h 8 ( r ) 表示r 上的s o b o l e v 空间，赋予范数j l q l i h s ( r ) = 似一霹) q | l = 忡+ 2 ) 0 1 1 ，其中s r ，良= 蕊0 ，j 是单 位算子 为了讨论方便起见，对方程( 1 1 ) 和初值条件作展缩变换u ( x ，t ) = 口( ，r ) = 秽( i ，：) ，于是( 1 1 ) 变为 v r - - 断一等嗽+ 嗽“+ 字m 肛孚危c 去峨+ 和，+ 枷g 或 坼一班打一豫+ 嗽能+ - - 孚f ( 咄= 孚危丽1 吨) e + 了0 1 2 g ( ”) “；9 ( ”) + 等钉一u 】， ( 2 1 ) 而初值变为 若令 ( ，0 ) = “( 、霹，0 ) = 钍o ( 以西) = 口( ，o ) ( 2 2 ) 譬m ) e = m ) e ； 则方程( 2 1 ) 改写为 孚 而1 坝胡啵 翌- y ) 锢咄枷+ 等吲”) 钟一冁，一+ 冁+ 氕”) f = 元( ) e + 0 扣) + 蚕扣) 镀( 2 3 ) 3 为了不失一般性，我们分别用z ，t ，u ，( ) ， ( “) ，g ( u ) 和9 ( u ) 代替方程( 2 3 ) 中 的 ，n ”，氕z ，) ，元( 口) ，0 ( v ) 和季( 移) ，于是将研究下列初值问题 撕一z b 。t 一乱。+ 仳。+ ，( 乱) 。= v ( u ) + h ( u 。b + 9 ( ) 。，z r ，t 0 ，( 2 4 ) u ( x ，0 ) = t 幻( z ) ， z r ( 2 5 ) 的整体广义解和整体古典解的存在性与唯一性等 1 初值问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 的局部广义解的存在性和唯一性 为了将方程( 2 4 ) 转化为积分方程，我们引入常微分方程的基本解令f ( x ) 是常微分方程 u ( o ) 一“k 。0 ) = 0 的基本解，即 f ( z ) ：e i x l ， z r 易证基本解满足的下面引理 引理2 1 1 ( 1 ) f ( x ) 在r 上有意义，连续且f ( x ) o ； ( 2 ) f ( x ) 满足方程 f ( x ) 一。f o ( z ) = 6 ( z ) ， ( 2 6 ) 其中6 ( z ) 是d i r a cd e l t a 函数； ( 3 ) f ( x ) l q ，其中1 q 0 0 且i i f 0 1 = 1 ； ( 4 ) 户( z ) = i 干1 声，其中砬表示对z 的f o u r i e r 变换； ( 5 ) l i f 川俨( 矗) = i i f l l - 一( 功，v s r 引理2 1 2 【1 4 】假设f ( u ) c 。( r ) ，f ( o ) = 0 ，“l o 。n h 8 ( r ) 且k = 【s 】+ 1 ，8 0 ， 如果f l u l l l * ( 助m ，贝4 i i f ( u ) 1 1 ( 固5c 1 ( m ) l l u l l ( 功 4 其中c i ( m ) 是依赖于m 的常数 弓l 理2 1 3 【1 5 1 假设5 0 ，f ( u ) c 2 ( r ) ( 七= 【s 】+ 1 ) ，f ( 0 ) = 0 ，u ，t ，l ”n h 8 ( 兄) ， 如果l l u l l l * ( r ) m ，i i v i i l * ( r ) m ，贝4 i i f ( u ) 一f ( v ) l l n ( r ) c 2 ( m ) l l u 一口i i h ( r ) ， 其中c 2 ( m ) 是依赖于m 的常数 设u ( x ，t ) c 1 ( 【o ，刁；h 5 ( r ) ) 是问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 的广义解，方程( 2 4 ) 可写为 u t 一“。一一札。】。+ ，( 札k = g ) + ( “。) z + 9 ( “) 。( 2 7 ) 令f ( o ) = h ( o ) = g ( o ) = c ( o ) = 0 由( 2 7 ) 和基本解f ( x ) 可知 乱t t k 。= f 【g ( “) + h ( u 。k 一，( “) 。+ 9 ( 让) 。】，( 2 8 ) 其中u * v = 厶u ( ! ，) 扛一y ) d y 表示牡和口的卷积由基本解的定义知，方程( 2 8 ) 等价于方程( 2 4 ) 为了应用压缩映射原理证明问题( 2 8 ) ，( 2 5 ) 存在唯一的整体解首先考虑 下列线性方程的初值问题 u t u x z = f ( x ，t ) ，( x ，t ) r 【0 ，卅，( 2 9 ) u ( z ，0 ) = u o ( x ) ， z r ( 2 1 0 ) 引理2 1 4 令8 r ，设对任意的t 0 ，u o h 5 ( r ) ，l 1 ( 【o ，刀；h 8 ( r ) ) ，则 问题( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 存在唯一广义解u ( x ，t ) c ( o ，卅；h 8 ( r ) ) n c l ( 【o ，明；h 跏( r ) ) 且 有估计 i i “( ，t ) i i 驴( 脚+ i l u t ( ，) 1 1 日一。( 励c j ( o “0 1 1 - ( 脚+ j c i l ，( 。，r ) ij ( r ) d t + l i f ( ，0 1 i n ( 丑) ) ，t 【o ，t 1 证明类似于证明波动方程的c a u c h y 问题 u t t 一钍。一，( z ，t ) ，( 茁，) rx 【0 ，明， “( z ，0 ) = “o ( z ) ， z r 5 解的存在唯一性( 见【1 6 】) ，我们可以证明问题( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 存在唯一的广义解 u ( x ，t ) c ( o ，刀；h 5 ( r ) ) ng 1 ( 【o ，卅；h 脚( 兄) ) 下面证明估计式成立方程( 2 9 ) 两 边作f o u r i e r 变换，有 碗+ 2 缸= ，( ，t ) ( 2 1 1 ) 上式两端同时乘以t 得 爰( ) = 瓜，矿 上式从0 到t 积分可知 砬e 2 t = d o + f o t e f 2 7 ，( ，r ) 打， 即 缸( 朋= 嘞e 一。+ r e 掣( h ) ，( ，7 - ) d ，( 2 1 2 ) 其中嘞是锄( z ) 的f o u r i e r 变换 从而由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 推出 饥( ，) = 一2 缸+ ，( ，t ) = d o e - f 2 t ( 一f 2 ) + r e 卿叫( 一2 ) 凡，州r + 瓜，班( 2 1 3 ) 因为e f 2 2 ，u o h 8 ( r ) ，定义函数空间 x ( t ) = p i u e ( 【o ，刁；h 8 ( r ) ) nc 1 ( 【o ，卅；h 5 矗2 ( r ) ) ，u ( x ，o ) = “o 缸) ， 其范数定义为 i i uj | x ( t ) 50 m 。a x 。1 1 u ( ，) | | 伊( r ) + o m 0 ，( 2 1 4 ) ( z ，0 ) = t 幻( z ) ， z r ( 2 1 5 ) 和令s 表示由“，到问题( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 的唯一解的映射，由引理2 1 4 知，s 映 x ( t ) 到x ( t ) 7 定理2 1 1 设u o ( r ) ( s 2 ) ，g ，h ，g c 。( r ) 且七= 【s 】+ 1 如果t 相 对于m 充分小，则s ：p ( m ，t ) 一p ( m ，t ) 是严格压缩的 证明当s ；时，由s o b o l e v 嵌入定理【- 7 】推得 f u 0 ( 硒q f f u f | ( 凡) 其中a 是一嵌入常数 令 ，= f 事【g ( u ) + 危( “) 。一，( u k + 夕( u ) 材】 由引理2 1 1 ，和引理2 1 2 得 i i f l l - ( 丑) l i e 木胁( “岛k 一，( u ) z 】h ，( 脚+ l i f 凇g ( u ) l l h ( 月) + l i e 木9 ( u ) 。i i h 。( r ) = 1 1 ( 1 + 毒2 ) ( 1 + f 2 ) 1 ( 一i ) ( 矗( 此) 一，( u ) ) | i + 1 1 ( 1 + 专2 ) ( 1 + 2 ) 一1 0 ( u ) i i + i i ( 1 + f 2 ) 毒( 1 + 2 ) 一1 ( 一乓2 ) 雪( u ) 0 i i f ( u ) l l h 一- ( 丑) + i i ( ) l l h 一- ( r ) + l i g ( u ) 0 俨。( 劭+ i i g ( o - , ) l l 俨( r ) c i ( m ) ( i i “ i i h 卜- ( 励+ 1 l “如i l h 卜- ( r ) ) + i i u l l 月卜。( r ) + i i u l l 日( r ) 4 e l ( 府) i p l | 俨( 且) ，( 2 1 6 ) 其中府= c 4 m 故 t j oi i f l l - ，( r ) d t 4 g ( 廊) 蛊糌圩( r ) z 所以由引理2 1 4 知 l l u ( ，t ) 1 1 ( 丑) + i i “t ( ，t ) t l h 一。( 神c 3 ( i l u o l l - ( 脚+ 4 c t ( 2 畅i ) m ( t + 1 ) ) ( 2 1 7 ) 如果m 和r 满足 则由( 2 1 7 ) 推出 2 0 3 l l u o l l ( 脚m t 砺搞- 1 ( 2 1 8 ) u ( ，t ) 1 1 ( 励+ l l u t ( ，t ) 1 1 一。( r ) m 8 因此，如果( 2 1 8 ) 成立，则s 映尸( m ，t ) 到p ( m ，t ) 下证s ：p ( m ，t ) 一p ( m ，t ) 是严格压缩的 设给定1 ，0 2 2 p ( m ，t ) ，u l = s w l ，t 1 2 = i 9 u 2 ，让= u 1 一“2 ，u = u 1 一忱贝0u ( x ，t ) 满足下列问题 撕一壮。= f 【g ( w 1 ) 一g ( w 2 ) + ( u h ) z 一 ( u 纽k 一【，( u 1 ) 。一，( 地) 。】+ 夕( u 1 ) 嚣一夕( 比) z 。】，z r ，t 0 ， u ( x ，0 ) = 0 ， z r 由引理2 1 1 和2 1 3 看出 j i f + i f ( w 1 ) 。一，( “七b i i h ( 固 1 1 ( 1 + 2 ) ( 1 + 2 ) 一1 ( 一惩) ( ，( u ，) 一，( 忱) ) l i i i f ( w 1 ) 一，( 忱) | | h 一，( 聊仍( 砑) j | u i l h 一，( 两曼g i ( 砑) | l u 0 h ( r ) ， 类似地 i i f + f ( w 1 ) 。，( u 。) 。 1 1 - 一( 聊 i i ( 1 + 2 ) ( 1 + 2 ) 一1 ( 一) ( ，( u 。) 一，( 忱) ) f | i i ( u 1 ) 一f ( u 2 ) l i h - ，( 确sq ( 丽) l l l i 丑一t ( r ) c 2 ( 丽) l p l l 巾( 功， l i f 木b ( u ) 。一9 ( u ) 。】日( 月) 1 1 9 ( u ) 一g ( w ) l l n ( 功c 量( 7 河) ij u 0 h - ( 弼， ( 2 2 3 ) i i f $ 【g ( u 1 ) 一g ( u 2 ) 州日一( 凡) i i g 0 1 ) 一g ( 忱) b 一。( 固岛( 丽) 0 俨一：( 研g ( 丽) 怕，( 固 ( 2 2 4 ) 所以由引理2 1 4 和( 2 2 1 ) 一( 2 2 4 ) 得 ，t i l u l l x ( 砷岛( j | u o l l ( 功+ 上j i ，( ，7 - ) l l 伊( r ) d t 9 ri i ，( ，r ) i l 伊( 功) 曼4 g g ( 丽) ( 1 + t ) l l w l l x c t ) ( 2 2 5 ) 9 埘刎 哪 哟 p 偿 q 如果t 满足( 2 1 8 ) 和 t 酾1 1 ，( 2 2 6 ) 则由( 2 2 5 ) 得 x c 研扣恢t t 卜 定理证毕 定理2 1 2 在定理2 1 1 的条件下，初值问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 存在唯一的局部广 义解u ( x ，t ) g ( 【o ，蜀) ；h 8 ( r ) ) n c l ( 【0 ，) ；h 瑚( r ) ) ，其中【o ，t o ) 是解存在的最大 时间区间，同时如果 s u pl l u l l 一( 尺) 0 ，问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 至多有一解x ( ，) 事实上，令u 1 和u 2 是问题 ( 2 4 ) ，( 2 5 ) 的两个广义解，则“= u z 一“。满足下列问题 u t u x z = f 【g ( u 1 ) 一g ( u 2 ) + h ( u l 。k h ( k 一【，( “1 k f ( u 2 ) 。】+ 9 ( 札1 ) 。一g ( 让2 ) 。1 ，z r ，t 0 ，( 2 2 8 ) u ( x ，0 ) = 0 ， z r ( 2 2 9 ) 令 ，= f 【c ( u 1 ) 一a ( u 2 ) + h ( u k ) 。一h ( u 缸k 一【，( “1 k f ( u 2 ) 。】+ 9 ( u 1 ) 。一9 ( “2 ) 。】 类似于( 2 2 1 ) 一( 2 2 4 ) 的估计知 i i f l l - 一( r ) 4 c 2 ( m ) l l u l l x ( r ) = c ( m ) i l u l i h ( r ) 1 0 对( 2 2 8 ) 两端作f o u r i e r 变换后，两端乘以2 ( 1 + 2 ) s 矗并在r 上积分推得 即 则 2 ( ( 1 + 2 r 矗，瓴) = 2 ( ( 1 + 2 ) 8 也，砬。+ ，) = 2 ( ( 1 + f 2 ) 8 1 ( 砬一u x x ) ，珏+ 力 = 2 ( ( 1 + 车2 ) 8 1 砬，o k + 力一2 ( ( 1 + f 2 ) ”1 蟊。，n t ) = 2 ( ( 1 + f 2 r 一1 砬，o + ，) 一2 ( ( 1 + f 2 ) 8 1 ( 砚一力，砬t ) = 2 ( ( 1 + 2 ) 卜1 矗，k ) + 2 ( ( 1 + 2 ) 2 砬，( 1 + 2 ) 2 乃一2 0 u t i l 备卜。( 硒 + 2 ( ( 1 + f 2 ) 孚z ( 1 + f 2 ) 2 手锄) ) 2 1 1 u l l 备。( 硒+ l i “0 备一- ( r ) + i l i i i 备一- ( r ) 一2 1 1 u t 0 备。，( 聊+ i i ；l l 刍- 。( 两 + i l u t l l 备，f 瑚 3 1 u l l 备。( 固+ 2 l l i i l 备。( 聊= ( 3 + 2 0 2 ( 丽) ) i i 训i 备。( 硒， ( 2 3 0 ) 由g r o n w a l l 不等式得 爰i l 训i 备( 脚( 3 + 2 。2 ( 丽) ) i i 让l | 备。( 功 训目( 3 + 2 。2 ( 丽) ) n 训司打 令 0 ，t o ) 是解仳x ( t o ) 存在的最大时间区间，下证如果( 2 2 7 ) 式成立，则 t o = o o 设( 2 2 7 ) 成立和t o 一，( 2 3 1 ) v ( x ，) = 札( z ，) ， z r ( 2 3 2 ) 根据( 2 2 7 ) ，l t u ( x ，) 嗜，关于，【0 ，t o ) 是一致有界的，这就允许我们选择t + ( 0 ，t o ) 使得对每一个，【o ，t o ) ，问题( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 有唯一解v ( x ，t ) x ( t + ) 由 1 1 定理2 1 1 和压缩映射原理知，这样的p 是存在的，实际上( 2 1 8 ) ，( 2 2 6 ) 显示 出t + 的选择与r i o ，t o ) 无关 令，= t o 一手，v ( x ，t ) 表示问题( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 相应的解定义面( z ，) 如下 吣一屯篇。茹+ 飘 由面( z ，t ) 的构造知道，面( z ，t ) 是问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 在【o ，t o + 罾】上的解，根据 局部解的唯一性，面( z ，t ) 是的延拓，这与最大时间区间【o ，t o ) 矛盾因此如 果( 2 2 7 ) 成立，则= o o 定理2 1 3 假定定理2 1 2 的条件成立，如果 a = s u pl l u ( ，t ) l i l 一( r ) + s u p0 札。( ，t ) jj z = ( r ) o o ，( 2 3 3 ) o 蔓t t o0 s t t o 其中u ( x ，t ) 和蜀为定理2 1 2 中提到的贝日 证明由( 2 3 3 ) 可知 i l u ( ，t ) i i l = ( r ) a ，| l u g ( ，) i f l * ( r ) a ，t 【0 ，t o ) 令 f = f f g ( ) + h ( u z ) 。一， ) 。十g ( “) 。爿 由引理2 1 1 和引理2 1 2 得 1 1 1 1 - ( 脚= i i f + 【g ) + h ( u 。k 一，( u k - 4 - 9 ( 札) 。川驴( 用 l i g ( u ) l l h 一：( 兄) + i l ( ) j i 驴一- ( 脚+ l i f ( u ) j l , 一，( 脚+ i g ( u ) i i h ( 固 c d a ) l l u l l h _ z ( 脚+ a ( a ) i i “。0 日一，( r ) + c i ( a ) i l u l i h 一，( 神+ a ( a ) i i 趾| i 俨( 脚 4 c k a ) i i u l i 口( 聊= c ( 一x ) l l u l l ，( 两 类似于( 2 3 0 ) 的推导，我们有 2 ( ( 1 + f 2 ) 8 砬，f i t ) ( 3 + 2 c 2 n ) ) l l “0 备( 哪， 即 则 由g r o n w a l l 不等式得 知