（基础数学专业论文）有限群的特征标与共轭类.pdf

关键词有限群，特征标，共轭类 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类2 0 c ，2 0 1 ：) ，2 0 e 中图法分类0 1 5 2 k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ，c h a r a c t e r ，c o n j u g a c yd a s s 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i u o n2 0 c 2 0 d 2 0 e c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n0 1 5 2 1 摘要 考虑有限群中一些基本的算术量与有限群结构之间的联系是有限群论的重要 课题我们在本报告中主要考察了特征标、共轭类如何限制和反映有限群结构 我们的报告是这样安排的： 第一章研究了有限群的特征标的余次数 第二章得到了具有一个不可约特征标它只有一个零点的有限可解群分类 第三章分类了这样的有限可解群，它存在一个元素使得不同的不可约特征标 在该元素上取不同的有理值 第四章决定了这样的素数方幂阶群，它的全部非线性不可约特征标的核在包 含关系下形成一条链 第五章研究了有限群中p - s i n g u l a r 元素的类长 第六章定义并研究了有限群中一种薪的类长 最后第七章讨论了这样的有限群，有一任意取定的素数p ，矿不能整除任意p 正则元类长 关键词有限群，特征标，共轭类 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类2 0 c ，2 0 d ，2 0 e 中图法分类0 1 5 2 2 a b s t r a c t i ti sac l a s s i ca n di m p o r t a n ts u b j e c ti nf i n i t eg r o n pt h e o r yt os t u d yt h ec o n n e c t i o n b e t w e e nt h eg r o u ps t r u c t u r e sa n di t sa r i t h m e t i c a lp r o p o s i t i o n s t h i sr e p o r tc o n s i d e r s t h ei n t e r p l a yo ft h ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so ft h ec h a r a c t e r s ，t h ec o n j u g a c yc l a s s e sa n d t h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s ；i to s i s t so ft h ef o l l o w i n gs e v e ns e c t i o n s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n v e s t i g a t et h ec o - d e g r e e so fc h a r a c t e r si nf i n i t eg r o u p s i nc h a p t e r2 ，w eo b t m nac l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t es o l v a b l eg r o u p sw i t ha l li r r e - d u c i b l ec h a r a c t e rv a n i s h i n go nj u s to n ec l i i s so fe l e m e n t s i nc h a p t e r3 ，w ec l a e s i f yt h ef i n i t es o l v a b l eg r o u p sa d m i t t i n ga ne l e m e n to nw h i c h ed i s t i n c ti r r e d u c i b hc h a r a c t e r st a k ed i s t i n c tv a l u e s i nc h a p t e r4 ，w ed e t e r m i n et h ef i n i t eg r o u p so fp r i m ep o w e ro r d e rf o rw h i c ht h e k e r n e l so ft h e i ri r r e d u c i b l en o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sc o n s t i t u t eac h a l nw i t h r e s p e c tt oi n c l u s i o n i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h ec l a s ss i z e so fp - s i n g u l a re l e m e n t si nf i n i t e , g r o u p s i nc h a p t c r6w ed e f i n em i di n v e s t i g a t ean v , rc l a s ss i z ei nf i n i t eg r o u p s i nf i l i a lc h a p t e r7 ，w es t u d yt h ef i u i t eg r o u p si nw h i c hp 2d o e sn o td i v i d ea n yc l a s s s i z e so fp - r e g u l a re l e m e n t s ，w h e r epi ss o m ef i x e dp r i m e k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ，c h a r a c t e r ，c o n j u g a c yc l a s s 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i u o n 2 0 c 2 0 d ，2 0 e c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o nc 1 5 2 3 c h a p t e r1c o d e g r e e so fi r r e d u c i b l ec h a r a c t e r s i nf i n i t eg r o u p s 1 1 i n t r o d u c t i o n l e tgb caf i n i t eg r o u pa n dxb eac h a r a c t e ro fg t h en u m b e ra ( x ) ：= i g ：k e r x i x ( 1 ) i sc a l l e dt h ec o - d e g r e eo ft h ec h a r a c t e rx f o ran o r m a ls u b g r o u pno fg ，l e t h r ( g i n ) = i r r ( g ) 一i r r ( c i n ) a n dc d q t g n ) = n ( x ) ix h r ( g i ) ) f o rt h es e tc d q ( g l n ) ，w ed e f i n eac o - d e g r e eg r a p hr ( c l n ) a sf o l l o w s ：t h ev e r t e xs e t v ( g i n ) o ff ( g i n ) c o n s i s t so fa l lp r i m e sd i v i d i n gs o m ei n t e g e ri nc d q ( g i n ) t h e r e i s a ne d g e b e t w e e nd i s t i n c tp r i m e s p ，g v ( g i n ) i f p qd i v i d e s s o m e i n t e g e r i nc d q ( g i n ) i np a r t i c u l a r ，w ew r i t e c d q ( a ) = c d q ( g l c ) ，r ( c ) = r ( g l c ) ，v ( g ) = v ( g i g ) o u rp u r p o s eh e r ei st os t u d yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pg a n dt h eg r a p hf ( g i n ) o rr ( g ) t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ga l w a y sd e n o t e saf i n i t eg r o u pa n dp ap r i m en u m b e r r e s p e c t i v e l y i fg = 日i saf r o b e n i u sg r o u pw i t ht h ek e r n e lna n dac o m p l e m e n th ，t h e nw e s a yt h a th a c t sf r o b e n i u s l yo nn a n ds u c haf r o b e n i u sg r o u pi sd e n o t e db yf r o b ( g ) i ft h e r ea r em n 日gs u c ht h a tg ni saf r o b e n i u sg r o u pw i t hm na si t sk e r n e la n d mi saf r o b e n i u sg r o u pw i t hn a si t sk e r n e l ，t h e nw es a yt h a tgi sa2 - f r o b e n i u sg r o u p ， a n ds u c ha2 - f r o b e n i u sg r o u pi sd e n o t e db yf t 。o b ：( c ，m ，n 、 r e m a r k1 1 1i nf 9 ia n d 5 i ，t h ec o d e g r e eo f8c h a r a c t e rxo f gi sd e f i n e db yb ( x 1 ：= i g i x ( 1 ) ( 1 ) f o ra n yn l ( s e e 9 ，p r o p o s i t i o ni t ) h o w e v e r , u n d e ro u rd e f i m t i o no fc h a r a c t e rc o - d e g r e e ，t h e r ee v e ne x i s t saf i n i t eg r o u p gw h o s ec o d e g r e eg r a p hr ( c ) i sn o tc o n n e c t e d f o re x a m p l e ，可gi s af r a b e n i u so r 2 - f r o b e n i u sg r o u p , t h e nt h ec o d e g r e eg r a p hr ( c ) i sn o tc o n n e c t e d 5 t 1 l em a i nr e s u l ti ns e c t i o n2i sa sf o l l o w s t h e o r e mal e t1nqga n dpb edn o n t r i v i a ls y t o wp - s u b g r o u po lg t h e n pgv ( a l l v ) 玎a n do n l y 矿i s 口r 一g r o u pa n dpa c t sf r o b e n i u s l v0 ln i np a r t i c u l a r , y ( g ) = 口( g ) ，砷7 r ( g ) i st h es e td ，咖 妇妇o ll c l i ns e c t i o n3 w ei n v e s t i g a t et h ef i n i t eg r o u p sg 诵t hd i 蚴n e ( ：t e de m d e g r e eg r a p h r ( c l u ) w h e r e1 n qga n dt h e r ei sn oa n yr e s t r i c t i o no nn t h em a i nr e s u l t so f t h i s8 e c t i o ni s 衢f o l l o w s t h e o r e mbl e t1 n 日ga n ds u p p o s et h a tf ( g i n ) 妇n o tc o n n e c t e d t h e nr ( a l n ) e c 渤t w oc o n n e c t e d p o n e n t s , a n d7 r ( g ) = v ( a l n ) t h e o r e mcl e t1 n qga n ds u p p o s et h a tg 妇n o n s o l v a b l e t h e nr ( c l n l sn o t c o n n e c t e d 玎a n d0 ，l 妇i ，t h e r ee 蝻t m q ga n dd i 巧o i n t e d 脚es e t s 宵l ，l r 2 ，耐吲哥伽9 t h e i o l l o i n gc o n 击t i o n s ： ( 1 ) c m 曲oc y c l i c 们- g r o u p ，m f 妇nn o r 坫o l v a b l e 丌2 一g m u p ，fi sn 川一矿娜 1 ma n d 砩纠b e n h a l l l 一“劬口婶o l a n ，t h e n t = f r 0 6 2 ( 正i 刃 c o r o l l a r y 巧n 话dn o r 坫o l v a b l e 竹o m l 村舢的r 口t po l g ，t h e nf ( g i n ) 诂n o tc o n n e c t e d 矿a n do n l y 铲g 妇口p r o b e n i 御g r o u pt 以琥f ( ) 珐sk e r n e l p r o o f s u p p o s et h a tgi saf r o b e n i t mg r o u pw i t hf ( ) a si t sk e r n e l s e t 丌l = ，r ( g f ( ) ) a n d 丌2 = 丌( ，( v ) ) f o ra n yx i r r ( a l u ) ，i ff ( ) 曼k e r xt h e na ( x ) i sa 7 r r n u m b e r ；a n di ff ( n ) 甚k e r xt h e na ( x ) i sa 丌2 n u m b e r n o t et h a t7 r ln 丌2 = 毋，a n d t h a ts i n c e1 f ( ) n ，w em a yc h o o s ex l ，2 i r r ( g i ) s u c ht h a tf ( ) k e r x l ， f ( ) k e r x 2 t h u sr ( c t n ) i sn o tc o n n e c t e d s u p p o s et h a tr ( a l n li sn o tc o n n e c t e d o b s e r v et h a ni sn o n s o l v a b l ea n dt h a t a n yp r o b e n i u sl c e m e l i sn i l p o t e n t b yt h r e l ncw ec o n c l u d et h a tg = m = f r o b ( g ，f ( ) ) 口 l e tfb ea i le l e m e n t a r yp - g r o u po fo r d e r 矿w h e r e 矿i1 ( r o o d1 6 ) ，a n dl e th b eag r o u po fo r d e r4 8s u c ht h a th z ( h ) 兰s i t h e ne i t h e r 皇g l ( 2 ，3 ) ，o r h 6 i sas u b g r o u po fs l ( 2 p 1a n dw ed e n o t et h i sg r o u pb yu i ( 4 8 ) n o t et h a ti f 日h a s u n i q u ei n v o l u t i o nt h e nh 型u i ( a s ) c l e a r l yh ：= u j ( 4 8 1a c t sf r o b e n i u s l yo nf i nan a t u r a lw a y , a n ds e tg = 日f t h e ng = f r o b ( g ，f ) w i t hf i t t i n gh e i g h t4 ， c d q ( c ) = c d q ( g i g ) = 2 ，3 ，8 ，2 4 ，1 2 ，矿) ，a n dt h u st h ec o - d e g r e eg r a p hr ( a ) i sn o t c o n n e c t e d r e c a l lt h a ti fgi sas o l v a b l eg r o u pw i t hd i s c o n n e c t e dd e g r e eg r a p h ，t h e nn l ( g ) ( t h ef i t t i n gh e i g h to fg ) h a su p p e rb o u n d4 ，a n di fi na d d i t i o nn l ( g ) = 4t h e ngh a sa q u o t i e n tg r o u pw h i c hi si s o m o r p h i ct og l ( 2 ，3 ) ( s e e 【2 1 】) o u rc o - d e g r e ea n a l o gi st h e f o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e mdl e t1 d i v i d e s l g m i ，w ec o n c l u d et h a t ( 纠= i m ：k e r $ 1 妒( 1 ) d i v i d e si g ：k e r 妒l x ( 1 ) ，a n d8 0t h a t d ( 纠d i v i d e so ( x ) s u p p o s en o wt h a tk e r x 荟m t h em a x i m a l i t yo fmi m p l i e st h a t g = k e r x m ，s ox f = 妒，a n d h e n c e o ( 妒) = i m ：k e r 妒l 妒( 1 ) = i m ：mn e r x i 妒( f ) = l g ：k e r x l l x ( 1 ) = n ( x ) l e m m a1 2 2l e t1 e nb en o r m a ls u b g r o u p so fg t h e n i r r ( a l n 、= i r r ( g e t n 玢u l r r ( g i e ) ，v ( g i n 、= v ( g e i n | e 1u v 妈 玢 b o t hr ( g e i n e ) a n dr ( a l e ) a r es u b a r a p h so r ( g i ) p r o o ft h er e s u l t sa r eo b v i o u s 口 口 l e m m a1 2 3l e tgb eon o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p t h e n o ra n yd i s t i n c tp r i m e s p , q 7 r ( g ) ，t h e r e sa ne e 讥r ( c ) b e t w e e npa n dg ，a n d8 0r ( g ) 拈c o m p l e t e p r o o f s u p p o s et h a tp ，ga n o ta d j a c e n t t a k ea ，b gw i t ho r d e rp ，口r e s p e c t i v e l y f o ra n yn o n p r i n c i p a lx m ( 6 3 ，w es e et h a te i t h e rx ( 1 ) p = i c i po rx ( 1 ) q = i g i 口，t h u s x ( a ) x ( b - 1 ) = 0 ( s e ef 1 9 ，t h e o r e m8 1 7 1 ) t h i sl e a d st oac o n t r a d i c t i o n ： 0 = x ( a ) x ( b 。1 ) = 1 g ( a ) l g ( b 。) = 1 x e t r r ( g ) l e m m a1 2 4f o ra n yf i n i t eg r o u pg ，y 3 eh a v e ”( g ) = y ( 研 8 口 p r o o fl e tp 7 r ( g ) a n dl eb eac o m p o s i t ef a c t o ro fgs u c ht h a tpd i v i d e si l e 1 c l e a r l y , i fl ei sa b e l i a nt h e np d i v i d e sn ( 咖) f o ra l ln o n p r i n c i p a l 妒i r r ( l e ) ；a n di f l i ei san o n a b e l i a ns i m p l eg r o u pt h e nl eh a sa ni r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro fp ，一d e g r e e ( s e e 1 9 ，c o r o l l a r y1 2 2 1 ) t h e r e f o r et h e r ea l w a y se x i s t s 妒i r r ( l e ) s u c ht h a t 刮n ( 妒) ， a n dt h e nb yl e m m a1 2 1w ec o n c l u d et h a tpd i v i d e sa ( x ) f o r a n yi r r e d u c i b l ec o n s t i t u e n t xo f 妒g t h u sp v ( c ) a n dt h e r e f o r e 丌( g ) = y ( g ) 口 p r o o lo ，t h e o r e mas u p p o s et h a tn i sai f - g r o u pa n dpa c t sf r o b e n i u s l yo n n f o ra n yx i r r ( g l n ) a n da n yi r r e d u c i b l ec o n s t i t u e n t 妒o fx n ，w es e et h a tt h e i n e r t i as u b g r o u po f 妒i ngm u s tb eaf - g r o u p t h i si m p l i e sb yc l i f f o r dt h e o r e mt h a t x ( 1 ) p = i pj ，a n ds opd o e sn o td i o d en ( x ) t h u sp 譬v ( g i n ) s u p p o s ec o n v e r s e l yt h a tpgv ( g i n ) s u p p o s et h a tp 7 r ( n ) b yl e m m a1 2 4 ，t h e r ee x i s t san o n p r i n c i p a l 妒i r r ( n ) s u c ht h a t 纠n ( 妒) ，a n dt h e nb yl e m m a1 2 1w ec o n c l u d et h a tp l a ( x ) f o ra n yi r r e d u c i b l e c o n s t i t u e n txo f 妒“，ac o n t r a d i c t i o n t h u sn i sap l g r o u p n o ww ep r o v e ，b yi n d u c t i o n ，t h a tpa c t sf r o b e n i u s l yo nn l e teb cam i n i m a l n o r m a ls u b g r o u po fg s u p p o s et h a tp 丌( ) t h e ne n = e ns e t0 1 i r r ( e ) w i t hp i e ( 0 , ) a n dn o n p r i n c i p a t0 2 i r r ( n ) ，a n dl e t b ea ni r r e d u c i b l ec o n s t i t u e n to f ( 0 1 眈) g t h e nx i r r ( c l n ) a n dp i n ( x ) ，ac o n t r a d i c t i o n t h u sa n ym i n i m a ln o r m a l s u b g r o u pe o fgi sap l g r o u p b yl e m m al 2 2w eh a v et h a tp v ( g e i n e e ) ，a n d s i n c ep ( c e 1w ec o n c l u d eb yi n d u c t i o nt h a tp e ea c t sf r o b e n i u s l yo nn e e a s s u m et h a tgh a st w om i n i m a ln o r m a ls u b g r o u p s 局，1 2 s i n c eb yi n d u c t i o n p e 历a c t sf f o b e n i u s l yo nn e e , ( z = 1 ，2 ) ，i tf o l l o w st h a tpa c t sf r o b e n i u s l yo nn ， a n d w ea r ed o n e a s s u m et h a tei st h eu n i q u em i n i m a ln o r m a ls u b g r o u po fg c l e a r l yesna n d l r r ( g l e ) i r r ( g n ) f o ra n yx l r r ( g l e ) ，s i n c exi sf a i t h f u la n dpd o e sn o td i v i d e s n ( x ) ，w ec o n c l u d et h a tx ( 1 ) p = i p i t h i si m p l i e st h a tf o ra n y 妒i r r ( n l e ) ，妒p 川i s i r r e d u c i b l e n o t et h a tf o ra n yn o n p r i n c i p a l 妒i r r ( e ) ，b yi n d u c t i o n 妒尸i sa l s o i r r e d u c i b l e t h u se v e r yn o n p r i n c i p a l 妒i r r ( ) i n d u c e st oa ni r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro f p n a n dt h e r e f o r ep ni saf r o b e n i u sg r o u pw i t ht h ek e r n e ln 、a n dw ea r ed o n e o n o t et h a tt h e o r e m1o f 9 】i sa ne a s yc o n s e q u e n c eo f t h e o r e ma a n dt h ec h a r a c t e r d e g r e e sa n a l o g ( f o rt h ec a s ew h e nn = g 7 ) i st h em i c h l e r i t ot h e o r e m ：f o ra n yf i x e d 9 p r i m ep ，p 肌( 1 ) f o ra l lx h r ( g l ) i fa n d 彻睁i fgh a san e r m ma b e l i a ns y l o w p - s u b g r o u p 1 3f i n i t eg r o u p sw i t hd i s c o n n e c t e dc o - d e g r e eg r a p hr ( g ) n ) l e m m1 3 1l e t1 n 日g t h e nt h ef o l l o 埘n gr e s u l t sa r et r u e ( 1 ) v ( n j = r ( ) y ( g f ) ia n df o ra n yp y ( g 弘叼一i r ( n ) ，p 妇a d j a c e n tt o s o m e p r i m eq ，r ( v ) ( 2 ) 巧ni sn i l p o t e n t , t h e nt h e r ee x i s t s 妒l 盯( ) s u c ht h a ta l lr 幡m e s 讥丌( ) a r e d i v i s o r so fo ( 妒) 。 p r o o f ( 1 ) b yl e l n l n a1 2 4 ，w eh a v e ( ) = y ( ) t h er e m a i n sf o l l o wb yl e m m a 1 2 1 ( 2 ) ( 2 ) l e t 丌( ) = p l ，仇) a n d 最( 1 蔓iss ) b es y l o wp r a n b g r o u po f n t a k e n o n p r i n c i p a l i ( 最) a n ds e t 妒= a l i t i se a s y t os e e t h a ta l lp r i m e s i n ( ) a r ed i v i s o r so f ( 妒) e l n o ww ea r er e a d yt op r o v et h e o r e mb i nf a c t ，w ec a np r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m1 , 3 2l e t1 n 日ga n ds u p p o s et h a tf ( g i n ) 妇n o tc o n n e c t e d t h e nt h e f o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r et r u e ( 1 ) 7 r ( ) d o e sn o t “ei na n yo g l ec o n n e c t e dc o m p o n e n to fr ( g i n ) ；r ( n ) i sa d 妇c o n n e c t e ds u b g r u p ho fv ( g i n ) ；n 缸n e i t h e rn i l p o t e n tn o rm i n i m a ln o r m a l 伽g ( 2 ) r ( g i n ) h a sp r e c i s e t ut w oc o n n e c t e dc o m p o n e n t s , a n d r ( g ) = v ( g i n ) ( 3 ) a l lm i n i m a ln o r m a ls u b g r o u p so fgm a b e l i a na n dc o n t a i n e d 讥j v ( 4 ) f ( ) = f ( g ) ， ( 5 ) l e t7 r 1 ，7 r 2b e t h ev e r t e xs e t s o f t w oc o n n e c t e dc o m p o n e n t s o f r ( a l n ) ，可e ，k a r en o r m a ls u b g r o u p so fgs u c ht h a te k na n dt h a tk ei sa7 f 2 - 9 r o u p ，t h e n a n yn o n t r i v i a l7 r 1 s u b g r o u ph ea c t sf r o b e n i u s t yo nk e ， p r o o f ( 1 ) b yl e m m a1 3 1 ( 1 ) ，w es e et h a tt h ep r i m e si n7 r ( ) l i ei nd i s t i n c tc o n n e c t e d c o m p o n e n t s ，a n dt h e r e f o r er ( n ) i sn o tc o n n e c t e d a n dt h er e m a i n sf o l l o wm a i n l yf r o m t e n 2 m 目t1 3 ，1 ( 2 ) a n dl e m m a1 2 3 ( 2 ) s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t ss o m ep 口( g ) 8 0t h a tp 岳v ( g i n ) b yt h e o r e m a ，ni st h ek e r n e lo ff r o b e n i u sg r o u pp nw h e r ep s y l p ( g ) ，a n ds oni sn i l p o t e n t t h i sc o n t r a d i c t st h es t a t e m e n t ( 1 ) t h e r e f o r e7 r ( g ) = y ( g i ) 1 0 n o ww es h a l lp r o v eb yi n d u c t i o no ni g i + i n it h a ti fr ( g n ) i sn o tc o n n e c t e d t h e nr ( g n ) h a sj u s tt w oc o n n e c t e dc o m p o n e n t s s u p p o s et h a tn g s i n c el n i + l n i i g i + n ia n dr ( nj n ) = r ( n ) i sd i s c o n n e c t e d ，b yi n d u c t i o nr ( ) h a sj u s t t w oc o n n e c t e dc o m p o n e n t s n o wl e m m a1 3 1 ( 1 ) i m p l i e st h a tf ( g i n ) h a sj u s tt w o c o n n e c t e dc o m p o n e n t s t h e r e f o r ew em a ya 镕u m et h a tg = n l