（控制理论与控制工程专业论文）小波技术在信号滤波中的应用研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 小波分析是在傅立叶分析基础上发展而来的新的时频分析工具，具备良好的 时频局部化性质和多分辨率特性，在信号处理领域中得到广泛的应用。本论文对 小波变换在信号滤波中的应用进行了研究。 信号在采集、转换和传输过程中，由于受到设备、环境及人为因素的影响， 使信号不可避免地受到噪声干扰。因此，如何去除信号中的噪声，得到感兴趣的 信息是信号处理过程中的一项关键技术。根据小波变换的性质和噪声的统计特 性，d o n o h o 提出了小波阈值滤波方法，通过选择合适的阈值和阈值函数，对含 噪信号的小波系数进行阈值化处理，可有效地去除噪声。 本文研究了基于小波阈值的信号滤波问题，在阈值选取上，依据信号与噪声 的小波系数在多尺度上的变化规律的不同，提出一种改进的阈值的选取方法，数 值实验结果表明了该算法的有效性和可行性。针对传统的硬阈值函数和软阈值函 数存在的缺陷，即硬阈值函数的不连续性，软阈值函数存在恒定偏差，提出了一 种新的阈值函数，有效地克服了硬阈值函数和软阈值函数的缺点。实验结果表明， 改进后的方法可获得更好的滤波效果。 总之，本文所提出的新的阈值滤波方法获得了很好的结果，具有很好的稳 定性和可靠性。 关键词：小波分析；滤波；阈值；阈值函数 l l i 东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sd e v e l o p e df r o mf o u r i e ra n a l y s i si san e wt i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i st o o lw h i c hh a sf a v o r a b l et i m e f r e q u e n c y l o c a l i z e da n dm u l t i r e s o l u t i o n p r o p e r t i e s w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di ns i g n a lp r o c e s s i n gf i e l da n d o t h e rf i e l d s i nt h i sp a p e r , af a s ts i g n a lr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h ma n das i g n a l d e n o i s i n ga l g o r i t h mf r o mi t sw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a a rep r e s e n t e d i nt h ep r o c e s so fs i g n a lc o l l e c t i o n ，t r a n s f o r ma n dt r a n s m i s s i o n ，t h es i g n a lo f t e n m i xn o i s ei n e l u c t a b l yb e c a u s et h ee q u i p m e n t s ，e n v i r o n m e n t sa n de v e nh u m a ne r r o r s d e - n o i s i n gw i t ht h ep u r p o s eo fe x t r a c t i n gd e s i r e di n f o r m a t i o nh a sb e e nac r u c i a l t e c h n i q u ei ns i g n a lp r o c e s s i n g b a s e do nt h ep r o p e r t i e so fw a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h e s t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fn o i s e ，d o n o h op r e s e n t e dt h et h r e s h o l dd e - n o i s i n gi n w a v e l e tt r a n s f o r md o m a i n b ys e l e c t i n ga p p r o p r i a t et h r e s h o l da n dt h r e s h o l df u n c t i o n ， t h en o i s ec a nb es u p p r e s s e d a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tc h a r a c t e r so fw a v e l e tc o e f f i c i e n t so fs i g n a la n dn o i s e ， an e wt h r e s h o l ds e l e c t i o nm e t h o di sp u tf o r w a r d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a t t h i sm e t h o di se f f i c i e n ta n dp r a c t i c a l b u tt h e r ea r ed i s c o n t i n u i t yo fh a r d - t h r e s h o l d f u n c t i o na n db i a s e de s t i m a t i o no fs o f t t h r e s h o l df u n c t i o n i nt h i sp a p e r , an e w t h r e s h o l df u n c t i o nw h i c ho v e r c o m e st h ei n h e r e n td i s a d v a n t a g e so fh a r d t h r e s h o l da n d s o r - t h r e s h o l di sp r o p o s e d e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ei m p r o v e dm e t h o dh a sb e t t e r p e r f o r m a n c eo fd e n o i s i n gt h a nt h et r a d i t i o n a lm e t h o d s i ns h o r t ，t h en e w t h r e s h o l d i n ga l g o r i t h mc a nr e a c ht h ee x p e c t e do u t c o m ea n dh a s g o o ds t a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t y k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；s i g n a lf i l t e r i n g ；t h r e s h o l d ；t h r e s h o l d f u n c t i o n 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：涛么整 日 期：一24 生2 。z ，i 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：潍导师签名：锨玺日 期：7 - 讲y ，沙 山东大学硕士学位论文 ! i _ 一 一 i i i 鼍曼 第1 章绪论 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支。它是 在傅立叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅立叶分析存在极大的 不同。从微观上看，小波变换与傅立叶变换的根本区别是由小波和正弦波 的不同局部化性质产生的。从宏观上看，傅立叶分析是整体域分析，用单 独的时域或频域表示信号的特征；而小波分析是局部化时频分析，它用时 域和频域的联合表示信号的特征。作为时频分析方法，小波分析比傅立叶 分析有着许多本质性的进步。它能够从信号中提取许多有用的信息，是各 种信号处理方法如时频分析、多尺度分析和子带编码的统一处理框架，它 ： 的快速算法为分析和解决实际问题带来极大的方便，目前在语音、图像、 图形、通信、地震、生物医学、机械震动、计算机视觉等领域都有很好的 应用。小波分析是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术， 是多学科关注的热点，是信号处理领域中的前沿课题。 在滤波领域中，小波理论也同样受到了许多学者的重视，他们应用小 波进行滤波，并获得了非常好的效果，具体说，小波滤波方法的成功主要 得益于小波变换具有如下特点【1 】： ( 1 ) 时频局部化特性，小波变换可在时间轴上准确定位信号的突变点。 ( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画 信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等。 ( 3 ) 去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换 后有白化趋势，所以小波域比时域更利于滤波； ( 4 ) 选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应 用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的 效果。 山东大学硕士学位论文 1 1 小波滤波的意义 噪声的干扰将会严重影响信号和图像的质量，致使产生后续处理的困 难，如在特征提取、信号检测、语音识别等领域中，噪声的干扰会引起处 理结果的偏差甚至错误。 由于小波变换独特的优点，使它成为信号滤波的有力工具。在数学上， 小波滤波问题的本质是一个函数逼近的问题，即如何在由小波母函数伸缩 和平移版本所展开的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的 最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分。 小波滤波方法就是寻找从实际信号空间n d , 波函数空间的最佳映射， 以便得到原信号的最佳恢复。从信号学的角度看，小波滤波是一个信号滤 波的问题。然而，尽管在很大程度上小波滤波可看成是低通滤波，但由于 在滤波后还能成功地保留信号的细节特征，因此在这一点上又优于传统的 低通滤波器。 在早期，人们通过对信号的细节部分进行某些处理，以缓解低通滤波 产生的细节丢失。在这一点上，虽然它们同小波滤波很相似，但是小波变 换之所以能够很好地保留信号的细节，是因为小波变换的多分辨率特性。 小波变换后，由于对应信号细节处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间 具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小 波滤波对细节、边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因 而更利于系统的理论分析。 1 2 小波滤波的国内外研究动态 基于小波分析和子带分解的边缘检测与滤除噪声的方法最早是由l u j i a n 和m a l l a t 几乎同时提出的【2 ，3 1 。w i t k i n 首先引入了利用尺度空间相关性 来对信号滤波的思想【4 】，对含燥信号经过子带分解后，从粗尺度到细尺度逐 步确立信号的主要边缘，最终从信号背景中得到真实信号。1 9 9 2 年，m a l l a t 山东大学硕士学位论文 提出的利用小波变换模极大值原理进行信号滤波的方法是小波滤波中最经 典的方法【5 1 。其基本原理是在小波变换域内去除由噪声对应的模极大值点， 仅保留由真实信号所对应的模极大值点。然而仅仅利用这些有限的模极大 值点进行信号重构，误差是很大的。因此，基于模极大值原理进行信号滤 波时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。m a l l a t 提出的交替投 影方法较好地解决了这个问题。l uj i a n 等人直接将小波变换理论与传统的 多尺度信号处理方法相结合，给出了一种性能优良的小波滤波方法。 r o s e n f i e l d 曾指出，在进行数字图像处理时，直接将相邻频带上的数据相乘， 可以准确的定位信号边缘【6 j 。基于上述思想，x u 等人于1 9 9 4 年提出了一 种基于空域相关性的噪声去除方法r 7 1 ，根据信号与噪声的小波变换系数在相 邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确，但很直接，易于实现。 s t a n f o r d 大学以d o n o h o 为首的一个学术群体另辟蹊径，提出了小波阈值 滤波算法，取得了大量的理论及应用成果【8 以3 1 。此外，还有给予极大验后概 率m a p 的自适应收缩法等，都丰富了小波滤波的内容。总而言之，近年来 有关小波滤波的文献很多，并取得了不少成果。 1 3 本文的主要研究工作 本文着重研究了小波技术在信号滤波中的应用，对已有方法进行了研 究分析，并在此基础上作了改进，提出了一些新的算法，并与原有的方法 进行比较，说明了各种算法的优缺点以及适用范围。本文的创新点如下： l 、针对d o n o h o 通用阈值实际效果不太理想的问题，本文提出了新的 阈值选取方法。根据信号和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同的传播 特性，考虑在不同的尺度上选取不同的阈值，增强阈值的局部自适应性和 灵活性。试验表明，该方法同通用阈值等方法相比，具有更好的滤波效果。 2 、针对软硬阈值函数所存在的问题进行了改进，提出了一种新的阈值 函数，有效地解决了硬阈值函数的不连续性和软阈值函数所具有的恒定偏 差问题，从而提高信号滤波的效率。 山东大学硕士学位论文 1 4 各章节安排 本文主要研究了基于小波变换技术进行信号信号滤波问题，论文的组 织如下： 第一章介绍了小波理论的进展及应用情况，并对小波滤波的研究现状 做了概括性介绍，指出了其中的优点和不足。 第二章简要叙述小波分析的一些基础理论知识，包括连续小波变换的 概念、二进小波变换的概念、小波框架、多分辨率分析的基本原理和实现 方法等。 第三章在给出小波滤波基本原理的基础上，系统介绍了三种小波滤波 方法模极大值重构滤波、空域相关滤波和小波阈值滤波，最后对这三 种方法进行了比较，并指出了每种方法存在的问题。 第四章讨论了小波阈值滤波算法。根据信号和噪声的小波系数在多尺 度上具有不同的变化规律，给出了一种新的阈值选取方法，并且针对传统 的软硬阈值函数所存在的问题，提出了一种新的阈值函数，有效地克服了 硬阈值函数不连续和软阈值函数存在恒定偏差问题，并通过实验，从不同 的角度分析了这种方法的性能。 第五章对本文的工作进行了总结，分析了存在的不足，并对今后的研 究工作进行了展望。 山东大学硕士学位论文 第2 章小波变换的理论研究 2 1 从f o u r i e r 变换到小波变换 时域内一般的函数或信号可以看作是一种复杂的波动，而任何一种复 杂的波动现象又都是由不同幅度、不同频率的正弦波叠加而成的，这就是 傅里叶分析的基本思想。傅里叶变换在信号处理领域中的突出贡献，是把 时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问 题；但它的缺陷在于无法分析时域信号的局部频率特征信息，不具有时频 局部化的能力。为了克服傅里叶变换的不足，发展了短时傅里叶变换的方 法，这一方法的提出就时频局部化而言具有了本质的进步，但在时间频率 分析的精细程度、自适应性方面，仍存在固有的局限，而小波变换在时频 分析方面显示了其突出的优势。 2 2 连续小波变换 小波函数的定义：设v ( t ) 为一平方可积函数，也即y ( f ) r ( 尺) ，若其 f o u r i e r 变换甲( 缈) 满足条件 芦 ( 2 1 ) 则称v ( t ) 为一个基本小波( b a s i cw a v e l e t ) 或母小波( m o t h e r w a v e l e t ) ， 并称式为小波函数的可容许性条件( a d m i s s i b i l i t yc o n d i t i o n ) 。 小波的特点： 小容许性条件意味着g ( t ) 是能量有限的函数，即在时域具有紧支 集或近似紧支集。一般情况下，常常选取紧支集或近似紧支集( 时域局部 性) 的具有正则性( 频域局部性) 的实数或复数函数作为母小波，以使母 山东大学硕士学位论文 小波在时频域都具有较好的局部特性。 波动性由可导出w ( t ) = 0 的结论，也即直流分量为零，由此断定小 波必具有正负交替的波动性。 母小波沙( t ) 在时频域的有效延伸范围有限，位置固定。为了分析时频 域的有效延伸范围和位置不同的信号，小波的时频域有效延伸范围和位置 应能调节。采用的办法是对母小波进行伸缩、平移，生成以下函数族： ，) ) = p ( 等) ) 啪叫 亿2 ， f 2 式中：a 成为尺度因子，b 成为移动因子。若5 f ，( r ) 2 ( 1 - t 2 ) 口2 ( 称该小波 为m a 小波) ，其，。( f ) 在不同a ，b 值下的时频域波形如图2 1 所示。 0 4 0 2 o - 0 2 1 、屋 ，f 1 、 ，7 一、。) 跚。p 。_ 。 - 3 0- 2 01 001 02 0 3 0 ( a ) 图2 1m a r r 小波基函数 ( a ) m a r r 小波( b ) m a r r 小波离散采样后的d f t s 将任意r ( 尺) 空间中的函数在小波基下进行展开，称这种展开为函数 i ( t ) 的连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，简记为c w t ) ，其表 山东大学硕士学位论文 达式为 吗( 口，6 ) - ( 巾) 叫r ) ) = 去p ) ( 等户 ( 2 3 ) 称为小波变换系数。 连续小波变换存在很大的冗余性，事实上由连续小波变换的模极大值 就可以完全重构信号( m a l l a t 的模极大值迭代投影重构) 。 2 3 二进小波变换 在实际的应用中，由于信号主要是离散的数字信号，因此连续小波必 须离散化，然而，连续小波离散成为离散小波必须满足一定的条件才能成 为小波，为此本节将对这一问题进行深入的研究和讨论。 二进小波变换是一种半离散的小波变换，对尺度因子进行二进制离散， 而位移因子保持连续变化，即令a = ，a o o ，z 。若取= 2 ，则小波基 函数的表示形式为 6 ( f ) = 2 - j 2 y ( 2 7 0 一6 ) ) ( 2 4 ) 对应的二进小波变换为 w r , ( j ，6 ) = ( 厂( f ) ，6 ( f ) ) = 2 一。7 2i f ( t ) i t t + ( 2 一。( t - b ) ) d t ( 2 5 ) 欲使式( 2 5 ) 小波变换的逆变换存在，沙( f ) 的傅里叶变换必须满足 彳妻l 甲( 2 q ) 1 2 b v t 2 ( 2 6 ) j = - - 。 式( 2 6 ) 成为二进小波的稳定性条件。满足稳定条件的小波才能成为二进小 波。另一方面，由稳定条件可以推出式( 2 1 ) 的容许条件，这表明二进小波 7 山东大学硕士学位论文 必为容许小波，反之不真。重构公式为 厂( f ) = 2 - j w r ，( 歹，6 ) 宰办，。( ) 户1 ( 2 7 ) = 2 训2 帕( 歹，6 ) 痧( 2 7 ( t - b ) ) d b j = 式中痧( f ) 称为y ( ，) 的一个二进对偶( 重构函数) ，满足如下公式： 甲( 2 q ) 9 ( 2 。q ) = 1 v q ( 2 8 ) j = - - 。 应当指出的是当y ( f ) 给定时，满足式( 2 8 ) 0 0 痧( r ) 不是唯一的。虽然 f r ( 功 是二进小波，但在一般情况下，汐( r ) 不是二进小波，有时可能还不是小波。 2 4 小波框架 设 ) 是h i l b e r t 空间h 中的一组向量，对任一信号f h ，如果存在常数彳，b ， c a b 0 0 ，并使下式成立： 刮川2 l | 2 - b i if l l 2 ( 2 9 ) 则称 纯) 构成一个框架。如果a = b ，则称 仇，k z ) 构成了一个“紧( t i g h t ) 框架”。这时 i 1 2 = 么i i f 1 2 ( 2 1 0 ) 七 如果 纸，k z ) 构成一紧框架，且么= l ，则 ) 是一正交基。 显然，框架是h i l b e r t 空间中的一组向量。对于给定的 句，础就是 该框架的一个坐标基矢量，对厂进行离散0 0 d , 波变换，就是将f ( t ) 向这 些坐标基矢量进行投影( 作内积) 。框架的基矢量就是离散小波基，但这 些基不一定正交的，也不一定是线性无关的，但一定是完备的。或者说框 架是冗余的，正交系和线性无关系仅是框架的特例。框架是完备的，即对 山东大学硕士学位论文 于f ( t ) l z ( r ) 可用框架中的函数展开( 重构) f ( t ) 。 与前面类似的过程可以定义对偶小波及其框架。有关对偶小波及其框 架的详细讨论可参见相关的文献【1 4 ，15 1 。由上述讨论知，利用离散小波基可 以重构f ( t ) ，而且这种重构是稳定的。 2 5r i e s z 基和r i e s z 小波 设s 为巴拿赫空间，如果函数列甲= ，刀z ) cs 满足如下条件： 删，z 甲= q c ，甲，n 2 z ) 在s 中稠密，也即 c z d s e w = s p a n w = s( 2 1 1 ) 存在两个正数彳，b ( 0 a b o o ) ，使得对于，2 中的任意一点 g z 平方可和系列) 1 2 满足 i ii i z a e i c 1 2 l i 已虬0 - - - b e i c 1 2 ( 2 1 2 ) n e z i n e zi i s n e z 则称甲是s 中的一个r 基，a 、b 称为r 基的下、上界。公式( 2 1 2 ) 表 明甲是完备的，即对x ( f ) s ，都可以用甲来展开： x ( ，) = 巳 n e z ( 2 1 3 ) 上式按s 中的范数收敛于f ( t ) 。公式( 2 1 2 ) 有两个含义，一是基甲是线性无 关的，二是基甲是稳定的，即当函数f i t ) 有微小变化时，展开系数也作微小 的变化，反之也一样。 9 山东大学硕士学位论文 2 5 1r i e s z 基和框架的关系 r i e s z 基是在巴拿赫空间定义的，当然也适合希尔伯特空间；r i e s z 基 是线性无关的，而框架一般是线性相关的。当框架是线性无关时( 严格框 架) 就成为r i e s z 基。框架是无条件收敛基，当然r i e s z 基也是无条件收敛 基。 2 5 2 小波分析中的r i e s z 基 假设由y ( f ) 生成的离散函数列 甲= ( ) = 口j ；f ，( a ；，f 一蛾) j , k z ( 2 1 4 ) 满足下述的条件 s p a n ws 在r ( r ) 稠密，即闭包c l o s e w = s p a n q = r ( 月) 存在两个正数a ，b ( 0 a b - - o 当研刀 ( 2 1 7 ) 则称y ( f ) 为半正交小波。 ( 3 ) 非正交小波 既不是正交小波，也不是半正交小波，则称为非正交小波。以上三种 小波，都只涉及到单个生成元( ，) ，即，都是由( f ) 生成的，讨论的 仅仅是甲中元素之间的正交性、半正交性或非正交性。而双正交小波考虑 的是两组基之间的正交性。 ( 4 ) 双正交小波 c o h e n d a u b e c h i e s f e a u v e a n 将小波的构造由正交推广到双正交的情 形。双正交小波基放弃了正交性，使得能够构造出具有紧支撑的对称( 反 对称) 性小波。双正交小波有两个生成元旯( ，) 、( ，) ，若两个基元满足如 下公式： 山东大学硕十学位论文 ( 川吨晶一矗嚣肛， 亿1 8 ) 则称 m ，k z ) 和 锄刀，z 为双正交r i e s z 基，( f ) 、旯( f ) 称为 双正交小波。这里只涉及两组基之间的正交性，而不考虑每组基本身的正 交性，即每组基可能是正交的，半正交的或非正交的。可以证明对偶小波 y ( f ) 和汐( r ) 是双正交小波，即满足公式( 2 1 8 ) 。同样可以证明双正交小波 是一对对偶小波【1 6 乏“。 2 6 多分辨率分析和二尺度方程 若把尺度理解为照相机镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于 将照相机镜头由远及近的观察目标，对应远镜头下观察到的目标，只能看 到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观察到 目标的细节部分，这种由粗及精对事物的分析就成为多分辨率分析( m r a ) 。 m a l l a t 给出了多分辩率分析的定义1 2 2 i ： 设e j z 是r ( 尺) 空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六 个性质，则说以 ，z 是一个多分辨率近似。这六个性质是： i v ( j ，七) z 2 ，若x ( f ) 巧贝j jx ( t 一2 七) 巧 2 w z ，巧3 巧+ ，即圪3k3 圪巧3 巧+ - 3 w z ，若x ( ，) 巧，贝l jx ( 2 ) 巧+ l 4 砌巧= n 巧= o j + 。 ，穹一 。 5 l i m 一= c l o s u r e ( u ) = r ( r ) j 。，= 。 山东大学硕士学位论文 6 存在一个基本函数口( ，) ，使得矽( 卜后) ) ，k z 是中的r i e s z 基。 若 ( t - n ) l 刀z 为 空 间 的 正交基，则 靠( f ) = 2 一矽( 2 一，一甩) l 刀z ) 必为子空间巧的标准正交基。 记巧在巧一。的补空间为，即 匕一t = 巧。杉，巧上髟 显然，任意子空间既和呢( 聊刀) 是相互正交的，并且 。形= p ( 尺) j j ?j ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 因此， ) 闾是r ( r ) 的一系列正交子空间。若x ( f ) w o ，显然有 x ( 2 。f ) 。 若设 。i 七z 是空间w o 的r e s i z 基，那么可知对于任意尺度 j ， = 2 驴, ( 2 - j t - k ) ；七z 必为空间髟的r i e s z 基。的整个集合 ；z ，七z ) 必然构成r ( r ) 的一组正交基。 与尺度函数的定义类似，称沙为小波函数，相应地，称杉是尺度为j f 的 小波空间。显然，小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说，空间包 含了函数x 投影到尺度空间巧与巧一。间的细节差别，因此小波空间又称为细 节空间。 二尺度方程是多分辨率分析赋予尺度函数矽( ，) 、小波函数沙( ，) 的最基 本特征。力，。( ，) 是巧中的正交归一基，。( ，) 是中的正交归一基，并且 山东大学硕士学位论文 巧上，巧一。= 巧。杉。这一关系启发我们，在相邻尺度( 如，和一1 ) 下 的尺度函数和尺度函数之间、尺度函数和小波函数之间必然存在着一定的 联系。即 矽( 争= 压k 妻= - - 。磁刍叫 ( 2 2 1 ) 杪( 专) = 压k 妻= - - 。”) ( 嘉叫 ( 2 2 2 ) ( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 两式被称为“- r 度方程”团】，它们揭示了在多分辨率分析 中尺度函数和小波函数的相互关系。( 七) 和啊( 七) 是滤波器组系数，与无 关，它对任意两个相邻级中的和y 的关系都适用。 二尺度方程的频域表示为 互( 2 缈) = 风( ) ( 国)( 2 2 3 ) x 2 q o ( 2 a o = q ( 彩) ( 国)( 2 2 4 ) 其中，( 缈) 、( 2 c o ) 和r - ( 2 c o ) 都是连续信号的傅里叶变换( f t ) ，而 凰 ) ，h 。 ) 是离散信号的傅里叶变换( d t f t ) 。 滤波器组系数的性质 ( 1 ) g ( k ) 和( 后) 的和 ( 七) = 压 七= ( 2 2 5 ) 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) 频域初值 霸( 七) = o ( 2 2 6 ) 风( 缈) l = ( 七) = 压 ( 2 2 7 ) 马( ) l = 啊( 七) = o ( 2 2 8 ) 因此，风( z ) 应是低通滤波器，马( z ) 应是高通滤波器。 ( 3 ) 递推关系 蚴，= 垂掣j = ly 厶 ( 2 2 9 ) 咆) = 击q ( 羽掣 ( 2 3 。) ( 4 ) 滤波器q ( c o ) 、( 缈) 的特性 滤波器且( 缈) 、马( 缈) 满足下式： 4 0 ( o , ) 1 2 + l 风( 国+ 万) 1 2 = 2 日( 缈) 1 2 + i ( 功+ 万) 1 2 = 2 凰( c o ) - , ( 缈) + 风( c o + 刀- ) - ( ( + 刀) = 0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 由滤波器q ( 彩) 、h 2 ( c a ) 的特性知，满足小波变换多分辨率分析中二尺 山东大学硕士学位论文 度方程的风( z ) 、h 。( z ) 正是一对共轭正交滤波器组( c q m f b ) 。这样，就 把小波变换和滤波器组联系了起来，从而为离散信号的小波变换的快速实 现提供了有效的途径。 2 7m a l l a t 算法 下面介绍一维信号和图像的快速小波分解和重构算法，即m a l l a t 算法。 2 7 1 小波分解的快速算法 令口j ( 七) ，嘭( 尼) 是多分辨率分析中的离散逼近系数，h o ( k ) ，啊( 七) 是满 足式( 2 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) 式的二尺度差分方程的两个滤波器，则乃( 后) ，t ( 后) 存 在如下递推关系： a j + 。( 尼) = a j ( n ) h o ( n - 2 k ) = 乃( 后) 宰瓦( 2 七) ( 2 3 4 ) 嘭+ 。( 尼) = q ( ，z ) 啊( 疗一2 七) = 哆( 七) 石( 2 七) ( 2 3 5 ) 式中办( 忌) = h ( - k ) 。 设= 0 ，a o ( 七) 是工( f ) 在虼中由正交基矽( f - k ) 作分解的系数，它是在 中对x ( r ) 所作的离散平滑逼近。将口d ( 七) 通过一滤波器后得到x ( ，) 在巧中的 离散平滑逼近d ，( 七) 。该滤波器是将( 七) 先作一次翻转，得( 一尼) = 瓦( 后) ， 然后( 七) 再和瓦( 七) 作卷积运算。( 2 3 4 ) 式中出现的瓦( 2 后) ，正体现了二抽 取环节。( 2 3 4 ) 并1 1 ( 2 3 5 ) 式的输入、输出关系如图2 - 2 所示。 山东大学硕士学位论文 口。c七，-二三三至三三至三三三二二二二卜-i二二二三三卜口t c 七， d。七=口。苎二-三互三三三三三三二二二叫，二二三一盔。七， 图2 - 2 式( 2 3 4 ) j n ( 2 3 5 ) 的网络结构 a l ( 七) 西( 七) 令歹由o 逐级增大，即得到多分辨率的逐级实现，如图2 3 所示。该图 所反映的过程即是m a l l a t 算法，也即小波变换的快速实现。 西( 七) l2 2 口2 ( 七) t + ，( 七) a j + l ( 七) 图2 3 多分辨率分解的滤波器组实现 1 主t ( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 式及图2 - 3 ，我们可以看出m a l l a t 多分辨率分析的思路： 从滤波器组的角度看，若h o ( - k ) 的频带在0 7 r 2 ，啊( 一k ) 的频带在 n , 2 万，那么，a o ( 七) 所处的频带是0 万，口，( 七) 在0 ；r 2 ，d ，( 后) 在 山东大学硕十学位论文 z 2 万：对口，( 七) 再分解后，a 2 ( 后) 在o z 4 ，而必( 七) 在万4 ；r 1 2 。这 就实现了对频带的逐级剖分。按这样的方式剖分，一方面保证了各子频带 的恒q 性，另一方面又保证了风( z ) 和日。( z ) 在各级的不变性； 若记口d ( 七) 所处的频带为空间，a l ( 七) 处于k ，d l ( 后) 处于，由它 们频带的性质，显然，z o = ko 彤，k 上，巧一。= 巧o ，巧上，_ ，= 1 一o o ， 同时，有= r r q , o o o o 巧，z 。当，专时，a j ( 七) ，d j ( k ) 占 据的空间( 也即频带) 趋于无穷小，因此必有杪， = o ，当然，这时的 、j ，卜+ 、 分辨率最差，因此e x ( ，) i _ 。= o 。这就是我们在多分辨率分析中所讨论的主 要思想。 d j 。 口 d l ( 图2 4 小波逆变换 山东大学硕士学位论文 2 7 2 小波重构的快速算法 若口川( 七) ，d j + ，( 七) 按( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 式得到，则口( 七) 可由下式重建： q ( 七) = 巳+ 。( k ) h o ( k - 2 n ) + d j + l ( k ) h 。( k - 2 n ) ( 2 3 6 ) 一= 行= ( 2 3 6 ) 式所对应的网络结构如图2 - 4 所示，正是图2 3 的逆过程。不过 在分解的过程中，和啊要先作翻转，而在重建过程中，啊不作翻转。 分解时存在二抽取，而在恢复过程中存在二插值。在用正交小波对信号作 多分辨率分解与重建的过程中，分解和重建所用的滤波器是相同的，即都 是巩( z ) 和局( z ) 。 2 8 本章小结 本章主要了小波变换的基本理论。从f o u r i e r 变换开始，沿着傅立叶变 换) 短时傅立叶变换) 小波变换的发展轨迹，引出了小波变换的概念；接 着对小波变换的基本理论进行了详细的叙述，其中包括连续小波变换、半 离散的二进小波变换、离散情形下的小波框架、r i s e z 基和r i e s z 小波；然 后介绍了多分辨率分析和多采样滤波器组两者之间的紧密联系，最后引出 了离散时间序列的快速小波算法一m a l l a t 算法。 1 9 ，山东大学硕士学位论文 第3 章小波滤波方法 传统的滤波方法是将含噪信号进行f o u r i e r 变换，经滤波操作后再行 f o u r i e r 逆变换而获得“干净的信号，但由于低通平滑的作用，使得在消 除高频噪声的同时也会模糊边缘位置信息，造成信号发生某种程度的畸变。 小波变换具有时频局部化特性、多分辨率特性、解相关性和选基灵活 性等特点，小波的这些特点决定了小波滤波方法与传统方法相比，具有独 特的优势能够在去除噪声的同时，很好的保留信号的突变部分，因此 利用小波变换在小波域实现信噪分离的方法获得了广泛的应用。 3 1 小波滤波的原理 信号和噪声在小波域中有不同的性态表现，他们的小波系数幅值随尺 度变化的趋势不同。随着尺度的增加，噪声系数的幅值很快衰减为零，而 真实信号系数的幅值基本不变。这一结论就为一直噪声提供了理论依据， 即利用处理后的小波系数做小波反变换达到滤波的目的。 小波滤波的特点可概括为：首先，它不是平滑( s m o o t h i n g ) 。平滑是去 除高频信息而保留低频信息；而小波滤波是要试图去除所有噪声，保留所 有信号，并不考虑它们的频率范围。其次，它是小波变换域对小波系数进 行非线性处理。第三，滤波过程一般由三个步骤来完成：小波变换； 对小波系数进行非线性处理，以滤除噪声；小波逆变换。 步骤是小波滤波的核心，该非线性处理过程按照一定的准则对小波 系数进行修改，以在不损失过多信号的前提下，达到降低或去除噪声的目 的。目前存在的方法主要可分为贝叶斯法和非贝叶斯法。非贝叶斯法大致 可分为三种：( 至) m a l l a t 提出的模极大值处理算法【2 】，主要根据信号和噪声小 波系数随尺度间具有不同的变化规律来滤波；x u 等提出的空域相关滤波 算法f 7 】，主要利用信号小波系数在各尺度间具有相关性来滤波：d o n o h o 提出的阈值滤波算法【9 】，主要依据幅值较大的系数由重要信号产生这一基本 山东大学硕士学位论文 假设来滤波。 3 2 经典小波滤波方法 3 2 1 模极大值重构滤波 模极大值重构滤波，主要根据信号和噪声小波系数随尺度间具有不同 的变化规律来滤波。函数的奇异性可用l i p s c h i t z 指数度量，而l i p s c h i t z 指 数又可利用小波系数幅值对其进行估计。m a l l a t 提出了描述噪声的准则，认 为噪声的l i p s c h i t z 指数 o ，这种突变点所对应的小波变换模极大值 随尺度的增加幅度逐渐增大。根据此区别，可以在模极大值图上去除那些 幅度随尺度减小的极值点( 对应噪声的极值点) ，而保留幅度随尺度增加而 增大的点( 对应信号突变点为位置) ，这样就可以达到去除噪声的目的。利 用该方法进行滤波之后，根据剩余的模极大值点求出原始小波变换的一个 近似。 基于上述原理，有如下滤波算法： ( 1 ) 对含噪信号进行二进小波变换，一般为3 - 5 个尺度，并求出每一尺 度上小波变换系数的模极大值点； ( 2 ) 从最大尺度j 开始，选一阈值t ，若极值点对应的幅值小于t ，则 去掉该极值点；否则予以保留。这样就得到最大尺度上新的模极大值点； ( 3 ) 在尺度为j i 上寻找尺度为j 上小波变换模极大值点的传播点，即 保留由信号产生的极值点，去除由噪声引起的极值点，具体方法如( 4 ) ； ( 4 ) 在尺度为j 上的极大值点位置，构造一个邻域d ( 飞，) ，其中为 尺度j 上的第i 个极值点，t 为仅与尺度j 有关的常数。在尺度为j - 1 上的 极大值点中保留落在每一邻域d ( h ，t ) 上的极大值点，而去除跑在邻域外 2 1 山东大学硕士学位论文 面的极值点，从而得到j 1 尺度上新的极值点。然后令j _ j - 1 ，重复步骤4 ， 直至j = 2 为止； ( 5 ) 把j = l 时的极值点都置为0 ，然后直接把j = 2 时的极值点复制上 去即可： ( 6 ) 将每一尺度上保留下来的极值点利用适当的重构方法对信号进行 恢复。 需要注意的是： 1 、理论上讲，在实际中最大尺度j 一般只取3 5 。虽然j 越大，信号和 噪声表现的不同特性越明显，越有利于信噪分离；但另一方面，分解的尺 度过大，也会引起有用信号的模极大值的衰减，从而使重构误差变大。所 以二者要兼顾。另外，最大分解尺度j 应该与原始信号的信噪比s n r 有关， 若s n r 较大，则j 可取得稍微小一些即可分离噪声，而s n r 较小时，j 应 取大一些才能更好的抑制噪声。 2 、小波函数的选取直接关系到运算结果，因此寻找一种既有较好滤波 效果又能精确定位奇异点的小波函数很重要。 3 、由小波变换模极大值重构小波系数是一个困难的问题，选取不同的 算法对滤波方法的计算量影响很大。m a l l a t 提出的交替投影( a l t e r n a t i v e p r o j e c t i o n ，a p ) 算法给出了一种重构小波系数的方法，但其算法复杂，速度 较慢，计算过程可能不稳定，且搜索和交替投影将耗费太多的计算资源； 有时需要人工参与寻求要保留的模极大值。特别是多次投影可能引起信号 的失真，从而使该方法的应用受到极大的限制。目前有不少文献提出了由 小波变换模极大值重构小波系数的快速算法。 实验结果见图3 1 。 山东大学硕士学位论文 ( a ) 带嗓信号 图3 - 1 带噪信号的模极大值滤波 3 2 2 空域相关滤波方法 空域相关滤波方法是指对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度问 各点小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进 行取舍，然后直接重构信号。 定义3 1 设 c r r j 2w j w j + l j 则称c ，。为尺度j f 上后点处的相关系数。 ( 2 3 7 ) 由于信号在各尺度之间具有一定的相关性，而噪声无此特性，因此尺 度空间上的相关运算削弱了噪声，增强了信号的边缘。 为了使得相关系数与小波系数具有可比性，我们定义归一化相关系数。 山东大学硕士学位论文 定义3 2 设 w j , k = c v p w j ( 2 3 8 ) 则称巧，。为归一化相关系数，其中 p = k 屹，p c = 莓c 吃) ( 2 3 9 ) l蠹j 相关滤波的核心环节是通过比较归一化相关系数吗j 与小波系数一 j 的绝对值的大小来抽取信号的边缘信息，而哆，。与w j 具有相同的能量，因 此哆 与w j ，。作比较是合理的。余下的是噪声对应的小波系数，这样经过若 干次迭代之后，所余小波系数的能量会低于某一门限，则认为信号已经被 完全提取出来了。 具体实现思路为，若l 哆，。l i 乒i ，则认为点七处的小波变换是由信号控 制，相关运算的结果将使该