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几个重尾条件下破产概率研究 摘要 风险理论作为保险精算学中的一个重要理论，是理论界探讨的一个热点问 题。而破产概率作为保险风险中的一个重要测度方法( 即破产理论) ，成为风险 理论的一个主要课题。本文主要从不同角度，在重尾条件下得到加权和的尾概 率等价关系以及对经典风险模型下破产概率的推广。具体内容如下： ( 1 ) 介绍了风险理论尤其是破产理论的背景知识和理论综合，重点介绍重尾条 件下的破产概率及经典风险模型的主要结构和研究进展。 ( 2 ) 在负相协同分布重尾分布条件下，得到了随机变量加权和的尾概率等价关 系。通过对负相协同分布随机变量和的最大值、随机个和的最大值的尾概率 的渐进性质，以及概率不等式的有关知识，得到的随机变量加权和的尾概率等 价关系，消弱了有关文献对独立性的要求。在负相协同分布重尾分布条件下， 推广了唐启鹤等人所作的结果，使得到的结论更具有普遍性，由它推导的许多 性质，可广泛应用于金融保险及突发事件的研究中 ( 3 ) 在重尾分布的条件下，随机变量独立，且分布不同，得到一致尾等价关系 、厂、“ 尸ima x 曰。x 。 工l pi 口。x 。 xi ep ( 口。x 。 x ) 并推导出几个具有乘积形式的等价性破产概率。 ( 4 ) 考虑到离散时间保险风险模型，在金融风险构成的有限维 f a r l i e g u m b e l m o r g e n s t e m 分布的稳定过程中，获得一个破产概率的精确渐进公式， 反映出在金融风险中相协的影响。所得的结论是对唐启鹤等人结果的推广，将独立同 分布推广到独立不同分布。 关键词：重尾，破产概率，c r a m e r - l u n d b e r g ，负相协，加权和。 r e s e a r c ho fr u i np r o b a b i l i t yu n d e rt h es o m eo f h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u i o n t a b s t r a c t t h er i s kt h e o r y ，a sa ni m p o r t a n tt h e o r yi na c t u a r i a ls c i e n c e ，h a sb e c o m ea p o p u l a rs u b je c to ft h er e s e a r c hf i e l d s i m u l t a n e o u s l y ，a sa v i t a lm e t h o do fm e a s u r i n g t h er i s ko fi n s u r a n c e ，i e ，r u i nt h e o r y , t h er u i np r o b a b i l i t yb e c o m e sam a i no b j e c ti n t h et h e o r yo fr i s k i nt h ed i f f e r e n ta n g l e s ，t h i sp a p e ro b t a i n se q u a l i t yr e l a t i o no ft h e t a i lp r o b a b i l i t i e so fw e i g h t e ds u m s ，a n de x t e n d st h ec l a s s i c a lr i s km o d e l t h ed e t a i l s a r eg i v e na sf o l l o w ： c h a p t e r ( 1 ) ：i n t r o d u c t i o no ft h er i s ko fb a n k r u p t c yi np a r t i c u l a r ，t h et h e o r yo f b a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dc o m p r e h e n s i v et h e o r y ，f o c u s i n g o n h e a v y - t a i l e d p r o b a b i l i t yo fi n s o l v e n c yu n d e rt h ec o n d i t i o n so fc l a s s i c a lr i s km o d e la n dt h em a i n s t r u c t u r ea n dr e s e a r c hp r o g r e s s c h a p t e r ( 2 ) ：t h i sp a p e ro b t a i n se q u a l i t yr e l a t i o no ft h et a i lp r o b a b i l i t i e so f w e i g h t e ds u m so fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ( n a ) r a n d o mv a r i a b l e sw i t hc o m m o n d i s t r i b u t i o n b y s o m ea s y m p t o t i c sf o rt h et a i l p r o b a b i l i t i e s o fm a x i m u mo f s u m s ，r a n d o m s u m so f i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，n e g a t i v e l y a s s o c i a t e dr a n d o m v a r i a b l e s ，a n di n e q u a l i t yo fp r o b a b i l i t yo b t a i n se q u a l i t y r e l a t i o no ft h et a i l p r o b a b i l i t i e so fw e i g h t e ds u m s ，o b t a i n e dr e s u l t sw e a k e nt h ec o n d i t i o n so fi n d e p e n t o fs o m el i t e r a t u r e ，i nt h ec o n d i t i o no fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e sw i t h c o m m o nd i s t r i b u t i o n t tp r o m o t e st h er e s u l to ft a n gq i h ee t cw h oh a v ed o n e ，t h e d e r i v e dc o n c l u s i o na r em o r eu n i v e r s a l ，m a n yn a t u r ew h i c hd e r i v e dc a nb ew i d e l y u s e di nf i n a n c ea n di n s u r a n c ea n dt h eu n e x p e c t e de v e n t s c h a p t e r ( 3 ) ：i nt h i se a s e u n d e ri n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw i t hd i f f e r e n t d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s t h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cr e l a t i o n ，k 。舢mj 卜( 毫8 t x t x 考n 跏hholdsm a x p a s 一 ，i p 。x 。 jl 一尸i 卜( 口。x 。 工) _ 7 i i s h l ，i - l l - l 史 a n ds o m eo fa s y m p t o t i cr u i np r o b a b i l i t yc a nb ep r o p o s e d c h a p t e r ( 4 ) ：w ec o n s i d e rad i s c r e t e - t i m ei n s u r a n c er i s km o d e l ，i nw h i c ht h e f i n a n c i a lr i s k sc o n s t i t u t eas t a t i o n a r yp r o c e s sw i t hf i n i t ed i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o n s o ff a r l i e g u m b e l - m o r g e n s t e r nt y p e w eo b t a i na ne x a c ta s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h e r u i np r o b a b i l i t y ，r e f l e c t i n gt h ei m p a c to ft h i sk i n do fa s s o c i a t i o ns t r u c t u r ea m o n g t h ef i n a n c i a lr i s k s t h ed e r i v e dc o n c l u s i o na r ep r o m o t e st h er e s u l to ft a n gq i h ee t c w h oh a v ed o n e k e y w o r d s ：h e a v y t a i l e d ，r u i n p r o b a b i l i t y , c r a m e r - l u n d b e r g ，n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ( n a ) ，w e i g h t e ds u m s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 岂不包含为获得 盒月巴王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弓签字日期v 7 年阳h 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月巴王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金目巴王些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： ：翌兰：伊 学位论文作者泸业后去向： 通讯地址： 一名：弘学 导师签名：4 艺 签字日期：矽尹尹月夕日 电话： 邮编： 致谢 在合肥工业大学研究生的学习生活就要结束了，在这期间得到了应用数学系杜 雪樵教授，凌能祥教授，惠军副教授等很多老师的关心、支持和帮助，在此表示衷心 的感谢。 特别要感谢的是我的导师杜雪樵教授，他以其高尚的品德、深厚的学术造诣和 严谨的治学态度导引我进入保险精算这一新兴的富有生机和挑战、易于创新的领域， 为我提供了良好的学习环境。特别是在论文撰写过程中，从最初的选题到成文、修改， 直至最终的定稿，杜老师都给予了我无微不至的关怀和指导，他高尚的师德和人格， 我将受益终生，心中感激之情，难以言表。 同时也要向我的同学表示感谢，他们在学习和生活上都给予的无私帮助，大家 互相切磋、交流，互相鼓励，互相帮助，使彼此在学习上有了很大的提高。 最后还要感谢我家人多年来对我的无私贡献，以及给予我的理解、鼓励和支持， 使我得以完成学业。 作者：张世兵 2 0 0 9 年3 月2 0 日 1 1l 背景知识的介绍 第一章前言 ，风险理论是当今精算界和数学界研究的热门话题，它主要应用于保险、金 融、证卷投资以及风险管理等领域。现已公认，风险理论的研究溯源于瑞典精 算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文【l 】，他的工作奠定了保险风险理 论的基础。人们依据风险模型的不同提法，针对保险公司运作中遇到的种种问 题，通过对一概率或统计模型进行修正，附加必要的条件，得到种种在不同方 面进行完善的保险风险模型，使得模型更接近保险公司的实际运作过程，因此， 对不同风险模型的破产概率研究一直是人们关注的热点【2 】【3 】【4 1 。 在现实生活中，人们常常会发生这样一种现象：某种事件一般不常出现， 然而一但发生，其影响不可估计。这类事件是应用概率领域中所谓的极端事件。 例如在金融与保险行业中，极端事件是指那些发生概率很小，而一旦发生即为 整个保险与金融( 或公司) 产生巨大的( 有时是毁灭性的) 冲击的那些事件，比 如飓风，重大车祸，火灾，大地震等等这些极端事件常常导致所谓的大索赔 发生。数据表明，对于某个给定的保险公司，占总索赔次数百分之二十的索赔 会达到总索赔量的百分之八十。受此启示，人们引入了重尾分布族【5 1 。 我们知道，保险是金融系统的重要组成部分之一，它与国家的经济发展和 社会保障都密切相关。然而，保险业本身就是具有高风险特征的行业，一旦风 险变为现实，不仅直接损害投保人的利益，而且保险系统本身的稳定经营也会 受到影响。因此需要加强对保险系统风险的研究和测度，为保险系统提供早期 的警示数据，以提高保险系统的经营管理和保险业自身的竞争力，这已成为保 障金融与保险业持续发展和稳定经营的迫切需要，从而使风险理论也成为保险 系统中的重要研究课题。实际上，保险公司的风险来源主要是发生索赔的次数 和发生索赔时的索赔额，它们对影响保险公司未来的稳定经营有重要的作用。 而确保保险公司稳定经营的一个重要衡量指标是破产概率，即保险公司的盈余 第一次由正变负的概率，是研究经营者的经营状况的理论与方法，它是衡量一 个保险机构金融风险的极其重要的尺度。因此研究破产及破产有关的问题的风 险理论，是防范和化解金融风险和破产风险的重要理论依据，也成为金融企业， 保险系统尺度风险的理论基础。 本文感兴趣的是重尾条件下的破产概率，将独立同分布推广为独立不同分 布以及负相协同分布条件下的加权和的尾概率等价关系。由于这种风险模型更 加切合实际，从而使本论文的研究也就更具理论与实际应用价值。 1 2 介绍c r a m e r - l u n d b e r g 模型 经典风险模型是由l u n d b e r g 和c r a m e r 最初建立起来的，也称为 c r a m e r l u n d b e r g 模型，它在保险风险理论中具有十分重要的地位，下面重点介 绍一下经典风险模型理论。 1 单个的索赔额序列 以，n 1 ) 是一个独立同分布( f t d ) 的非负随即变量列 ( ，从s ) ，具有共同的分布( d 厂) f 和一个有限期望2 占爿- 。 2 索赔的间隔时间( i n t e r - a r r i v a l ) 匕，n 1 ) 也构成一列i 2 d 非负，v s ，具有一个共 同期望e k = b 且独立于 以，刀1 ) 。 3 在时间段【o ，t 】发生的索赔次数为 ( f ) = s u p n l ：瓦r ( 1 1 ) 其中，乙= r ，以1 ，被称为索赔时刻。 4 到时刻f 为止的索赔总额过程 s ( f ) ，t 0 ) 定义为 ，v ，j s ( ，) = ，r 0 ( 1 2 ) 经典风险模型过程则定义为 5 。 u ( f ) = ”+ c t y x k ( 1 3 ) 该盈余过程的一条路径图如下： ”1 u ， - 一 l 盯 u ， o iu ( t ) it t 。 l 该风险模型破产概率的数学表达式即为： ) = p ( t 0 称为相对安全负载。 当然，我们这里定义的盈余并非财务意义上的，我们只是为了数学上的方 便而已，所以我们这里所说的破产也不一定就是保险公司无力偿还债务或即将 倒闭，如果把财务上其他影响盈余的因素都考虑在内的话，盈余仍然可能为正 2 的或者可能回复为正的但是，我们所研究的破产概率仍是衡量一个保险公司或 者所经营的某个险种的金融风险的极其重要的尺度，可以为保险公司决策者提 供一个早期风险的警示手段，也为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提 供依据因此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都是有 非常重要的指导意义的 在对破产理论的研究中，无论是最初建立的经典风险模型还是大量研究者 推广后的模型，在般的情形下，要找到破产概率的明确表达式都是非常困难 的，所以寻找破产概率少( 扰) 的上界不等式是众多概率研究者研究的核心问题。 在经典风险模型中得出了l u n d b e r g 不等式 ( “) e 也 其中r 称为l u n d b e r g 指数，有时也称为调节系数，一五为关于亏的方程 力ie - 吾3 , d f ( x ) = 一c f + 元 司 、7 ( 1 6 ) 的唯一负根，方程( 1 2 2 ) 称为l u n d b e r g 基本方程，有时也称为调节方程 我们知道了调节系数尺，就知道了破产概率的上界因此，在保险和再保险 中，对于调节系数r 的计算是非常重要的调节系数灭也是保险和再保险中的衡 量安全目标的重要指标 对经典风险模型研究得出的结果主要有以下几个方面 ( 1 ) y ( o ) = 丝= 去， ( 1 7 ) ( 2 ) y ( “) = 鲁r 杪( 甜一x ) f ( x ) 出+ 言j c o f ( x ) 出， ( 3 ) l i m e 血y ( “) = c ( c 为常数) ， ( 4 ) 缈( “) p 一， 巾) = ( - 一等) 薹( 等卜g 弋“) ) ， 其中g ”( 材) 是g ( 甜) = 。 - - f p ( 工) 出的刀重卷积 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1o ) ( 1 11 ) 经典风险模型的结果为破产理论的发展奠定了基础，但是由于风险模型本 身有着许多缺陷，对保费收入的描述不够合理，理赔到达过程的描述有待于改 进，于是很多研究人员对经典风险模型进行了多种推广和改进【6 】【7 m 】，【9 】。 1 3 重尾分布的若干注记 近年来，金融和保险领域中的风险理论问题的研究备受人们关注，热点问 题之一是对保险公司破产概率的估计，其中涉及理赔额的性质，对顾客的理赔 法则的制定，市场利率变化情况的描述等方面的问题。 3 从对保险公司理赔额的历史数据分析中，人们发现“占理赔总次数2 0 的那 些理赔的数额之和往往是历次理赔总额的8 0 ( 甚至还多) ”! 这些以很小概率发 生的理赔竟对保险公司的业务产生如此巨大的影响，不能不引起人们的关注， 如何用概率方法来刻画和解释这类现象? 应用概率学者们发现重尾分布族可以 适合于这种需要【1 0 】【l l 】，这是因为相对于轻尾分布族，重尾分布更贴近于实际 的理赔额分布。 对非负随机变量x ，记f ( x ) = p ( x x ) ，f ( x ) = 1 一，( x ) 若随机变量z 不存在矩母函数，即如果对任意f q 都有e e 以= l ：e 肛d f ( x ) = o 。，则称随机变 量x 及其分布f 是重尾的另一方面，如果存在某个t o 0 使得对0 f t o ，都 有【e r * d f ( x ) 0 0 则称x 及其分布f 是轻尾。 对重尾分布族的研究已经有很多年的历史，由于其在应用概率领域，特别 是在分支过t 1 呈( c h i s t y a k o v ( 1 9 6 4 ) 12 1 ，c h o v e r 等( 1 9 7 2 ) 1 3 】) ，排队( b o r o v k o v ( 1 9 7 6 ) t 1 4 1 或p a k e s ( 1 9 7 5 ) 【1 5 】) ，更新理论( t e u g e l s ( 1 9 7 5 ) 【16 1 ，e m b r e e h t s t 2 3 】和 g o l d i e ( 1 9 8 2 ) t 1 7 】) 及风险理论( k a l a s h n i k o v ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 ) t 1 8 】【1 9 】) 等领域中的广泛应 用，现在重尾分布族的研究备受关注。 在重尾分布族中扮演着特别重要地位的分布族就是亚指( s u b e x p o n e n t i a l ) 分布族。其定义如下，设 五，以1 ) 是独立同分布的非负随机变量序列，有共同 分布f ，记f ”( x ) 是f 的n 重卷积，f ”( 石) = 1 一f ”( x ) ，如果 一l i m 鬻弘或者等价地壁盏黜= 则称随机变量x 或其分布f 是亚指数的，记作f s ，上式的后一个等价定 义表明， 以，n 1 ) 的前玎项部分和与其前玎项的最大值是尾等价的，可以看出 s 族的定义正好描述了上述的2 0 一8 0 现象。关于亚指数分布的权威的说法， 可在e m b r e c h te ta l l ( 1 9 9 7 ) 的极端值的上下文中找到，从这本文献中可知，s 族基 本上包含三种分布，p a r e t o 1 i k e ，l o g n o r m a l 1 i k e ，w e i b u l l - l i k e 分布。 1 l 族：对任意固定的y ( 或等价地，y = 1 ) ，有 l i m ! 坚丝= 1 x - - - ，o o f ( x ) 2 。族：对任意的o y 1 ( 或等价地y = 互1 ) ，有 4 - 粤鬻 o ，。口 屯族：f 满足觋铬- 0 炒1 4 e r v ( 一口，一) 族：其中1 口 1 ，有 y 邓l i r a i n ff m ( x y ) ) 1 唑p 等叮口 j 叶一i 、一iy l 几h 卿f 帮纠翟p 鬻 这些重尾族之间存在以下关系： r 一口ce r v ( 一口，- p ) cla dcscl 1 4 综述 本文第二章在前人的基础上( 可见文献【2 0 】， 2 2 1 ) ，进一步研究了 五，鼍，鼍同分布但负相协情况下，加权和尾概率等价关系。在墨，置，t 是独立同分布的情况，t a n g 在文献 2 2 1 中，得到如下结论： 命题：设置，五，以是独立同分布的随机变量，有共同分布函数f s ，则 对任意固定的0 彩荟p ( c k x 七 石) 通过引入负相协和一些引理可得到下面的结果： 定理1 1 设 五：后1 ) 是一非负，具有同d 厂f ( x ) 负相协o v a ) ，v 列，若 f 上nd 且7 1 ，则对任意刀1 有 p ( z ”c 量xx x ) 芝f ( ) 定理1 2 设 五：k 1 是同一d 厂f ( x ) 负相协( m ) ，- ，v 列，取值于【占，佃) ，且 s 咖，有限均值 0 ，则对任意固定的0 x ) 对或 口，6 】捍一致成立 定理1 3 ：在上面的条件下，有 尸瞽冷x h 他p 小p ( 燃哦pz ) z ”k , 万x k = l k = l 七= l ”7 o f 对已【口，6 r 一致成立 本文第四章对离散时间保险风险模型 = o ，= z 兀弓，n = l ，2 ， 的研究，唐启鹤等人在文献【3 9 】中研究了独立同分布的金融风险情况下，破产概率 缈( x ) 的渐进公式。如果f 足口，在口 o ，万 0 ，心+ j 0 ，f 足口，和万 o ，心+ 艿 1 ，那么破产概率 北，喜万( 飘且1 - a + 筹赫h - - i 帕) 6 第二章负相协重尾随机变量加权和的尾概率等价关系 2 1 引言 在随机环境下的破产概率的许多性质是由尾概率的等价关系给出的，具体 可见文献 2 1 】， 2 2 ，而重尾情况下的损失尤为值得我们关注，它广泛运用于金 融保险及突发事件( 如地震、海啸等) 研究中，本人在前人的基础上( 可见 文献 2 0 1 ，【2 2 】) ，进一步研究了五，置，瓦同分布但负相协情况下，加权和尾 概率等价关系。下面介绍与本文有关的一些概念，并约定分布f ) = p ( x x ) 的随机变量x 其尾概率分布记为f ( x ) = f ( x ，) = 1 - f ( x ) ，所有的极限均指 x 争o o 。 负相协( n a ) ：随机变量列 鼍：七1 是负相协( n a ) ，如果对于( 1 ，2 ，册) ，m 2 的任意两个非空不交子集4 和口 c o v ( f ( x _ f ：彳彳) ，g ( x ，：j b ) 0 其中厂和g 是任意按坐标单调不降的且使上述左式有意义的函数，详细介 绍可参见资料 2 4 】，【2 5 】。 在五，k ，以是独立同分布的情况，t a n g 在文献【2 2 】中，得到如下结论： 命题：设五，砭，五是独立同分布的随机变量，有共同分布函数f s ，则对任 意固定的0 力荟尸( & 五 z ) 本人在前人研究的基础上，得到了同分布但负相协条件下的尾概率等价 关系。 2 2 有关引理 为了更好地研究d 簇的性质，t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) i 入下列指标( 可 参考文献【2 6 】， 2 7 】) ，设x 是一个，具有d f f ( x ) ，x ( 哪，栅) ，对任意y 0 ， 设 f ( y ) ：l i mi n f 墨掣 群( 耻；呼訾l o 护肛一脚警l o g ， g yv j i 7 7 称群为d f ，( x ) m a t u s z e w s k a 指标。 引理2 1 设 也：七1 ) 是同一分布n a 列，具有取值于 ( 哪，佃) 的共同 d 厂f ( x ) 。且均值 l ，定值c 0 ，对任意0 0 0 有 8 p ( m a 笋x x ，q ( c p x ) ) c x 一百 引理2 2 若f d ，畦为d f f ( x ) 上的m a t u s z e w s k a 指标，则对任意的v 罐， 有x = o ( f ( x ) ) 引理2 3 设 五：七1 ) 是同一d 厂f ( 石) 负相协( 删) 厂，y 列，取值于i s ，+ ) ，且 s - - - - 0 0 ，若f 三n d 且e ( 五+ ) 7 1 ，其中x + = m a x o ，x ) ，则对任意 l t l ，q 0 有 p ( m a x c k ；。x k 小尸( 酗x 足”)l j 量s 月 - 2 3 主要结果 定理2 1 设 墨：七1 ) 是一非负，具有同d f f ( x ) 负相协( m ) ，v 列，若 f 三nd 且e x l 7 1 ，则对任意船1 。c k 0 有 p ( c 。x 石 x ) 芝f ( ) 定理2 2 设 k ：霓1 ) 是同一d f f ( x ) 负相协( m ) r ，v 列，取值于【s ，+ ) ， 且s 硼，有限均值 x ) 2 4 定理的证明 定理2 1 的证明：对任意固定数0 x ) p ( u ( c j t x - 三) ) + 盖= i= l 8 尸( x 量 工，n ( c ，z ，x - l ) ，u ( c ，x 。 口x ) ) + p ( 芝c 量x 量 z ，n ( c ，x ，s 护工) ) 置= l j t ii = 1鼻= i 。i ；i 套万( 专) + 芝尸( 杰乞x 。一q x i 三一x ， 口z ) + 户( 兰q x i 工，n ( q x ，s 口x ) ) i = i ，量i = lk = i 鼻= lk i = i + 1 2 + 1 3 ( 2 1 ) 现在我们只需对厶，厶，和进行处理，对厶，我们取o 瓯，和所有大数x ，有 一刀 ，3 尸( ( c ，x ，一口) 尸( f = 1 f = 1 x n o ，n ( c f x f 一口秒x ) ) f = l ( c f x f 一口) 工一n o ，n ( c ，x i a 2 0 ( x 一挖口) ) ) - = l c ( 旦竺竺) 一等+ l = c f o ( - f ( x - n a c ， ) ) = 关于厶，固定0 ，由负相协( n a ) 性质，我们有 2 - p - ( ox ) c f 打开 尸( c 七x 七一c ix ， l ) f = lk = l 由于f d ， f ( 刍的等同于f ( 与，令，有 c l 、c f 。 1 i r a 8u p l i m ，2 i ，x 、 ，l j c f 关于，由条件f 三，对每个固定的l 0 ，有 卜毫f ( 七= l，上 将( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 带入( 2 1 ) 可达到 一万 p ( c kx k 尸( & k x ) p ( 气五 = p 心 喜i c 七= lo 量 x ) k = l i x 、 ，l 一) c 量 z ，勺 x ) 一 l i j x 厶一 、j i l i 确 乒j xj 硝 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ” z q 一f ，l o 由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 知定理获证 引理2 3 的证明： 由定理2 1 知： p ( 窆龟以 x ) = 尸( 窆( q 以一s ) x - - n s ) 窆尸( q k j ) x 一珊羔i e ) k = lk = ik - - 1k = l o 定理2 2 的证明： 因为p ( m a xc r x f x ) = p ( m a x c k x 七 工) 尸( f = 刀) ( 2 7 f d ，取秒 o ，使专手一l 鲜，由引理2 1 和引理2 2 ，必存在一些常数 c 0 使 e ( m a x 以 力( q 五 觎) + p ( m a x c k 瓦 x ，n ( q 置 觎) ) c 唼) l s 七g j = l l 娃g i = lj = l 对任意n 1 和较大x ，将引理2 3 和控制收敛定理应用到( 2 7 ) ，即可得到 p ( m a x c f x r x ) 万( ) 同理可得p ( 窆c f t x ) 万( 三) ，由此定理获证。 1 0 3 1 引言 第三章重尾加权和一致尾等价关系下的破产理论 在金融保险研究中，随机环境下破产概率的许多性质是由一致尾等价关系 给出的，具体可见 3 0 ， 3 2 】，而重尾情况下的损失尤为值得我们关注，本文在 前人的基础上，进一步研究了五，五，z 独立但不同分布情况下，加权 和一致渐近尾等价关系，并给出它在破产理论中的应用，下面介绍与本文有关 的一些概念。 两个正的无穷小量口( ) 和6 ( ) 如果l i m s u p 4 ( 。) 伯( 。) 1 ，且l i m i n f 4 0 ) 肪( 3 ) 1 同 时成立，则记为：口( x ) 6 ( x ) 称口( x ；y ) 6 ( x ；少) 是对y a 一致成立，若 满足下式 坚骝l 矧斗。 3 2 重要的引理 引理3 1 若分布函数f s ，石o ( i ) ，则g es 引理3 2设五，x 2 是独立的随机变量，它们的分布函数分别为互，e 假如 存在一个分布函数f s 满足对i = 1 ，2 ，都有f t 毛f ，k j o ，则对任意固定的 o x ) + p ( o x ： x ) 对oe a ，b l - - n r 戎立 引理3 3 在引理3 2 的条件下，则对任意固定的0 z ) + 尸( 岛五 x ) 对已【口，6 】刀一致成立。 引理3 4 设置，五，x 。是，z 个独立不同分布的非负随机变量，它们的分布函数 分别为互，e ，假设存在一个分布函数f s ，满足v i = l ，2 ，万有 f 砖f 毛 0 ，则对任意固定的0 x 吼 p 。捌 对已【口，b - - 致成立 证明：对于尸( 麟幺以 x ) 喜尸( o , x k 习显然成立，利用概率不等式 夕iu 乓 ! p ( g k ) 一p ( e k e k ) 得 尸( 燃哦k 歹) 喜p ( 吼五 x ) - 磊。p ( 吼孔 工，1 9 l 五 x ) p ( 皖互 x ) 一p ( o k x k 工p ( 岛五 x ) - - z 尸( 纹t x ) 3 3 主要结果 定理3 1 ：在引理3 4 的条件下，有 p ( 喜o k x k x ) 喜尸( 幺五 x ) p ( 麟皖以 x ) 主k = l k = lt 万( 言)i = l o f 对幺 口，b - - 致成立 证明：由引理3 4 得出定理的第二个等价关系，最后一个等价关系可由巧k , f 得到，下面采用数学归纳法证明第一个等价关系 当玎= 2 时，由引理3 3 知，结论成立 假设当r l = m 时，结论成立，即对s 0j 且 0 ，当x 蜀时有 ( 1 - 占) p ( 匆葺 x ) p l 包置 zl ( 1 + 占) p ( 包五 x ) ( 3 1 ) 一致地以 口，6 】m 成立 下面只需证明当以= m + 1 时，也有 ，m + l ： 、 m + 1 p i 只五 xl p ( 够k x ) ( 3 2 ) 一致地对幺+ ， 口，纠斛1 成立即可记 1 2 p ( 萋咖j ) = ( 仁岛+ a ) p ( = i i + 1 2 对，一方面由归纳( 3 1 ) 得 喜 一卜k 即r ) 1 x - t ) f e + 。x m + 。j ( 冼) ( 1 + g ) ( 1 + e ) i = l m ，= l r 夕( 2 墨 茗一娩+ 。以+ 。( 班) p ( 幺五+ 巳+ 。以+ 。 x ，色+ l + x 一蜀) ( 1 + s ) p ( q 五+ 巳+ 。l + 。 x ) i = 1 一p ( 瞑墨+ 幺+ 。瓦+ 。 x ，免+ ，k + 。 x ) 】 ( 1 + 占) p ( 只置+ 钱+ 。l + 。 x ) i = 1 一( 1 + 占) 纷妒( 巳+ ，j 乙+ 。 x ) ， 另一方面，( 1 一占) = 马芝 i = l ( 1 - 6 ) 忙l 历 p ( q 五 x t ) f e , x m + 。( d t ) 马p ( q 墨 x - - f 甩x m + 。( 房) ( 1 一占) p ( 幺五+ 巳+ ，工卅+ ， x ，只肿，叉二+ ，x 一旦) i = 1 m ( 1 一s ) p ( 谚置+ 以+ 。l + 。 x ) i = 1 一( 1 一占) 叩( 巳+ 。l + 。 x - b 1 ) 由引理3 1 知互scl ，故对上述占 0 ，j 岛 0 ，当x 嘎时有 ( 1 - - 6 ) p ( o m + 。以+ 。 z ) g o - 蜀) ， ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 1 + f ) p ( 包+ 。j 乙+ 。 x ) ( 3 6 ) 由引理3 3 知j 马 o ，当x - b s 盱寸，对巳+ l 口，b m + l 致地有 p ( 口，x ，+ 乡胂+ 。x 肼+ 。 x ) ( 1 一s ) p ( 包氍 x ) + p ( 爿 x ) ， p ( o i x ，+ 臼胁+ 。x m + 。 工) ( 1 + f ) p ( 6 | 五 x ) + p ( 。义o 。 工) ( 3 7 ) 将( 3 6 ) ，( 3 7 ) 式带入( 3 4 ) ，( 3 5 ) 式得到，当 x m a x b 。，岛，忍) 时，对免+ 。【口，6 r 一致地有 ( 1 一占) 2 羔p ( 谚墨 z ) 一2 ( g - z 2 ) 叩( 巳+ 以+ x ) 五( 1 + 占) 2 芝p ( 包五 x ) + 8 - i - 6 2 ) 唧( 巳+ 。疋+ 。 x ) ( 3 8 ) 对于厶，一方面由( 3 6 ) 式， 厶p ( 既+ l 纸+ l x - b i ) - x ) ( 3 9 另一方面对某个c 0 ，强 0 ，工 局， p ( o o 十，j 乞+ 。 x + c ) ( 1 一占) 夕( 免+ 。爿二+ ， x ) 从而，对以+ 。 口，b l 斛1 一致地有 厶e 夕( 善日冷川h k p f 芝口冷一c 、1 p ( 以+ l z + c ) f 皇l ( 1 一占) p ( 免+ 。l + 。 x ) ( 3 1 0 ) 由( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 两式，当z m a x 岛，日) 时，对巳+ 。a ，b m + lm 致地有 ( 1 - z ) p ( 0 = + 。j o 。 支) l ( 1 + e ) p ( 0 m + l 爿二以 x ) ( 3 1 1 ) 将( 3 8 ) ，( 3 11 ) 带入( 3 3 ) 式得，当 x m a x b 1 ，b 2 ，岛，b 4 ) 时，一致地有 i m + l p 岛z x 1 ( 1 一占) ：芝p ( o ，x t x )l 岛z xl ( 1 一占) 2 x ) f = l i f f i l 叫s 一孑) ，烈已 习1 1 一曲反已o 习 及 八善m + 1 2 五 x ) ( z + s 厂i 喜p ( q 置 x ) 习“1 + 习烈靠o o 习 e hs 的任意性，便得