（基础数学专业论文）一类反应扩散方程的全局吸引子.pdf

摘要 摘要 在这篇文章中我们讨论了一类动力系统中与吸引子相关的一些 问题，介绍了动力系统的发展状况，具体考查了反应扩散方程的解的长 时间的行为，在方程的解的存在性和唯一性的条件下，我们得出吸引子 的存在性的结论。 本文的主要内容分为两部分 在第三章中，讨论了如下的反应扩散方程的初边值问题 j “，一材+ 名k 1 8 “= ( 力+ g ( “) ，x q f o 【“( 工，o ) = “o ( 曲，工g“( 工，f ) = o ； f o 在满足八功r ( g ，并且g 满足k ( “) i 后i ”r 七 o ，l o “( 工，o ) = 1 ( x ) ，y ( x ，0 ) = ( 功 在满足厂，g r ( 9 ，h 满足 ( j p 一c o s 2 ，j l ( o ) = 0 ，j i i ( s ) 一c 的条件下，由该 系统构成的算子半群有在p ( q ) r ( q ) 中的吸引子。 关键词：反应扩散方程，整体吸引子，存在性 a b s n _ a c t a b s t r a c t i l l “sp 印e r w ed i s c u s s m ep 哟b l e m si 1 1t l l ed y n 锄i cs y s t e ma ：b o u tt h ea t a c t o r i 1 1 j 打o d u c e i n ed y n 锄i cs y s t e l t l sd e v e l o p m e n t ， s t l l d y 血es o l u t i o no fr e f l e c t i o n d i 行姻i o ne q 删o ni nl o i 培t i i n eb e h a 啊o rs p e c i f i c a l l x 觚du n d e rm ec o n d i t i o no ft i 圮 e 虹s t e n 觚du i l i q u 铋e s so fm es o l u t i o nf o rm ep r o b l 锄，w eo b t 咖t l l ee x i s t e n c eo f 廿l ea t 出l c t o ro ft l l er e a c 时o nd i f m s i o ne q u 撕o ni i lg o o dc 0 n c l u s i o n t h e 衄a r yc 0 v e r a g eo f t i l i sa n i c l ea r ed i v i d e di n t o 铆op a n s h le h a p t e rt t l r e e 、ed i s c u s sm ei i l i t i a l b o u n d a 巧v a l u ep r o b l e mo fm e 内l l o 、析n g r c f l e c d o nd i 纳s i o ne q u a t i o n ： ， i “f 一“+ 旯l “r “= 厂( 工) + g ( “) ， x q ，f o l “( x ，o ) = “o ( x ) ， x q ； “( 而f ) = o ；f o l l i l d e r 也c 倒：l d i 吐0 no f 八曲r ( 囝觚dk ( ”) is 七”，七 o ，l o u n d e rm ec o n d i t i o no f g r ( q ) ，j l l ( s ) j g s 2 ， ( o ) = o ， 7 ( s ) 一c ，w ei n c l u d e n l a tt h es e m i 一黟o u pp o s e db ym e s y s t e i i lh 嬲a 酉o b a la 胁c t o ri n 亭( q ) 口( q ) k e yw o r d ：r 朗c t i o nd i 仃u s i o ne q u a t i o n ；西0 b a la 咐a c t o r ；e x i s t e i l c e i i d ， i i ) o 斗 = = 似 ，吁 = 似“肛氆 材 一)= 她 一 + 五 坼屹“ 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：姿丕强年 月日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：垄丕盔年月日 第一章绪论 第一章绪论 本文的主要目的是介绍在近几年作者学习“偏微分方程这一专业方向所 做的与无穷维动力系统有关的一些工作。无穷维动力系统的研究是目前数学领域 中一个十分活跃的领域，它的研究涉及到数学，物理等多个学科，其历史可以追 述到至少四十年前。本文我们就无穷维动力系统的一个重要概念一吸引子展开研 究。 1 1 无穷维动力系统的发展现状： 动力系统的研究来源于人们对自然界的认识，产生于人们对自然界许多问题 的本质理解，是人们对自然界的智慧的体现。它主要来源于两个方面：一是天体 力学中的非线性动力学问题，一是流体力学中的湍流问题，主要问题是研究吸引 子的存在性和维数估计。对于有穷维动力系统的研究至少有一百年的历史了，并 且取得了很多重要的结果。随着许多重要方程的研究以及新的物理现象的发现， 无穷维动力系统的研究将势在必行，它是p d e 理论的近代发展，是有限维动力系 统的深入和发展，而且具有某些新的重要特点。对给定的一个动力系统及其初始 状态，要决定在初始时刻后的某个时刻该动力系统的状态不是一件容易的事。对 于动力系统的数学问题，我们将研究它的长时间行为，即时间充分长时方程解的 性质，其关键问题是对时间t 有一致性的先验估计。在我们的研究中首先面临的 就是处理以下几个问题：解的存在性唯一性以及解对初值的连续依赖性，吸收集 的存在性等。那么什么是吸引子呢? 系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，简言之，吸引子是指这样的一 个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道 都趋于它这样的集合有很复杂的几何结构 1 2 无穷维动力系统的研究现状 近年来，对无穷维动力系统的研究不断增多，相关的文献也不断涌现 1 2 3 ，特别是对反应扩散系统的研究更是取得了长足的进展。对反应扩散 方程的研究历史可以追述到6 0 年代。1 9 6 1 年左右，f i t z h u g h 4 的文章及 第一章绪论 n a g u m 0 5 的文章讨论生物中神经传播中的问题，从而导出了反应扩散方程，这 可以作为对这类方程研究的开始；1 9 7 7 年左右k n c h u e n ，c c c o n l e y 和 j a s m 0 1 l e r 6 引入不变区域的条件，证明了有界区域上吸引子的存在性。1 9 8 9 年m m a r i o n 7 在有界区域q 上考虑了下述部分耗散反应扩散方程： i 一d “+ j i ( 五“) + 厂( 而“，v ) = ox q ，f o v f + 盯( x ) v + g ( 而d = o x q ，f o 【“( 五o ) = z 勺( x ) ，y ( x ，o ) = ( x ) 他证明了此系统的吸引子的存在性，并作出维数估计。他指出与该系统相应的半 群在s o b 0 1 e v 空间h 中具有一个全局吸引子，并且该吸引子在h 中还是连通的。 众所周知，有界区域上由发展方程所决定的动力系统的长时间行为可以用 相应的半群的吸引子来描述 1 2 3 ，在有界区域上，目前已经对很多方程建 立了吸引子的存在性，如反应扩散方程，非线性波动方程，二维n a v i e r s t o k e s 方程等。而且在一些较为自然的条件下，已经证明了吸引子具有有限的 h a u s d o r f f 维数或者分形维数 1 。对于有界区域上的研究，吸引子的存在性依 赖于轨道的极限集的紧性，这一点可以由轨道本身是列紧的来保证。 无穷维动力系统的研究已经取得了可喜可贺的成绩，但是由于无穷维动力 系统问题的复杂性，目前的研究还仅仅是一个开始，许多问题需要解决。 1 3 本文主要工作 在这篇文章中我们讨论了动力系统中与吸引子相关的一些问题， 本文就对有界区域的反应扩散方程进行研究，具体考查了反应扩散方程 的解的长时间的行为，在方程的解的存在性和唯一性的条件下，我们得 出吸引子的存在性。 本文的主要内容分为两部分。 在第三章中，讨论了如下的反应扩散方程的初边值问题 j “f 一“+ a k i c r “= ( x ) + g ( “) ， x q ，f o 【( x ，o ) = “o ( z ) ， z q ； “( x ，) = o ， ，o 在满足厂( 工) r ( q ) ，并且g 满足i g ) i 七w ，七 o ，1 0 ”( x ，o ) = ( x ) ，y ( 而0 ) = ( 力 在满足六g r ( q ) ，h 满足j i l o 弘一c o s 2 ，j i l ( o ) = o ， ( s ) 一c 的条件下，由该 系统构成的算子半群有在p ( q r ( q ) 中的吸引子。 第二章相关理论及预备知识 第二章相关理论及预备知识 在这一章里，我们就以后讨论的问题所用到的一些概念和基本定理及其性 质做些简要说明，为了行文简洁，我们除个别重要的外不加证明，可以在相关文献 中找到详细的证明 我们常取q 是尺“中的有解集并且有光滑边界m 。记空间( q ) 和喇2 ( q ) 的相应范数为| | | | p 和| i | i ，：。通常我们用| 1 | i x 表示巴拿赫空间x 的范数。 2 1 相关的一些泛函的准备知识 首先我们先给出基本的口空间。 定义2 1 【2 0 】 2 1 】对于l s p 0 0 ，定义： 口= ，| ，：q 毗用测且协 马且q 有界，则有： 材c ( 西) 且s u p c lq | “佃i l v “忆q 定理2 2 21 】【2 2 】( p o i n c 缸6 不等式) 设qc 彤是有界开集，则有 ：胆0 v “| 1 2 ，v 叼2 ( 哟， 其中五是- 在q 上带有齐次d i r i c l l l e t 边界条件的第一特征值。 下面我们引入应用广泛的g 的n w a l l 不等式。 定理2 3 1 】【2 3 】( 觚1 1 w a l l 不等式) 设g ，j i l ，y 是在【气，o o ) 上的局部可积函数，且 y 在【气，) 也是局部可积函数，并满足不等式： 警秽地v 嗍 则有 y ( f ) y ( 岛) e x p ( ：g ( f ) d f ) + j ： ( s ) e x p ( 一f g ( f ) d f ) 出，v f f o 定理2 4 ( 1 2 2 t h eu n i f 0 1 胁i l w a l ll 1 m a ) 设g ，j j l ，y 是在【气，) 上的非负可 积函数，且y 在【f o ，) 也是非负可积函数，并满足不等式 譬地v f 岛， 出 “ ” f ”g ( s ) 凼口。，f ”| j l ( s ) 凼口2 ，f ”y o ) 出口3 其中，口i ，口2 ，口3 是正的常数，则有。 5 第二二章相关理论及预备知识 y ( f + ，) ( ! + 口2 ) e x p ( 口1 ) ，v f 气。 ， 定理2 5 2 0 】设q c r ”是有界区域，则： 如果k p n 且p l ，眩护( q ) 是紧嵌入口( q ) 的，其中g n + i n p ，眩，( q ) 是紧嵌入c ”( 奶的。 下面我们列出常用的一些不等式： 弓i 理2 1 ( 2 0 ) 如果1 p o o 且口o ，6 o ，贝i j ( 口+ 6 ) p 2 p - 1 ( 口，+ 6 p ) 。 引理2 2 ( 9 ) 设肛+ ，孝r ，f 足，则有： 当p 2 时 当l 。，s 。，p 1 ，g l 且刍+ 吉= 1 ，则有 幻竺+ 丝。 pq 引理2 4 ( 1 带s 的y o l l n g 不等式) 设口 。，6 。，占 。，p l ，g 1 且刍+ 号_ 1 ， 则有 如三口，+ 三竺。 pq 引理2 5 ( 2 0 h 6 l d e r 不等式) 设q 是彤中的一个区域，p l ，g 1 且! + ! ：l ， pq 6 第二章相关理论及预备知识 八功口( q ) ，g ( 力口( q ) ，则 厂( 曲g ( 功_ ( q ) ，且l 厂( x ) g ( 工) 陋p | | g | | ，。 引理2 6 ( 8 ) 设) ，( t ) 是( o ，) 上的非负可微函数，满足 ) ，o ) + 砂l + 声o ) b ，f o 其中彳， o ，曰o ，则 灭f ) ( 删一1 ) 1 ，( 1 + 芦) + ( 和矿“，f o 若y ( t ) 是【0 ，o o ) 上的连续函数，则有 y ( f ) 一t 严m + ( 0 ) - 乒+ 舡f 广 f o 注：s 0 b o l e v 空间f ( q ) ，昭p ( 渤，矿 ( q ) ( 1 p ) 都是可分、自反的b a m c h 空间；而空间( o ，z ；x ) ( 1 o( 3 1 ) 【“( 工，o ) = z ( 功，了q ；甜( 工，f ) = o ，z a q 其中满足a 0 ，口 o 为常数，q 是尺”( n 2 ) 中的有界区域并且有光滑边界施， 偿给定函数，g 是一个非线性的函数，满足一些增长性条件。 l g ( “) i 七i “r ，后 o ，l 1 ，则有( 3 1 ) 的解u 邗( x ，t ) 满足 一! ) 0 p b ，+ a p f 口 愀f ) k q + c f 一倍 这里4 ，吃是与p 有关的常数，q ，c 2 与p 无关。 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 第三章有界区域上反应扩散方程的吸弓i 予 证：( 3 1 ) 乘以h p ”并在q 上积分得： 刍丢p 出一“旷2 础+ 旯胛胛出= f c x ，旷2 “出+ f c “，“出c 3 m 对( 3 9 ) 的每项进行估计 左边第二项 一“矿2 “出= ( v 甜) v ( | ”r “协 qq = p 一1 ) j 1 v “| 2 i “l 一出 q = 警扣南l 2 出 = 宇阳“南虻 ( 3 9 ) 右边的第一项进行估计由y o u n g 不等式得 其中 抄( x ) i 甜l _ 2 “出j 1 外l “l 川出 q q ( 3 1 0 ) s ：+ c ( 3 1 1 ) e = ( 占告) 叫川y 他+ 1 幕州r 州 ( 3 9 ) 右边的第二项进行估计 p ( “) i “i 川“出p i “| ，i “r 出 qq 由y o u i l g 不等式得 其中 尼儿r 出喇i ：+ q q = 尼灿r 7 出 q q = ( 酱厂1 m 叶。篙蚓 在( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 中令乒兰并和( 3 1 0 ) 代入( 3 9 ) 中得 4 古船钳等“l 刮暖 ( 3 1 2 ) 第三章有界区域| ：反应扩散方程的吸引子 扣嵫+ 扣嵫+ e + 上式化简为 珈，出+ 竽卜i 气小争嘭： ( c + q ) p 令e + q = c ，得到 珈饥竽卜l 卜锄仨卿 由限9 ，得却“i ，出+ 争峨卿 由h o l d 贸不等式，我们得到怯儿i q f 鬲怯k 口 由上式我们得到忙| | ：+ 口5 i q 向”| | ： 因此 ：iqm 将( 3 1 5 ) 带入( 3 1 0 ) 得丢忙| | ，+ 竽l q 一怯l ，口c p 在上式中令a = 掣lq 一，b = c p ，由引理l 我们得到 即为 “( f ) 虻( b a - 1 ) ，+ ( a f ) 口 !+l ，口、 【= 一j p 础刈，( 酗卿) 川p 引+ ( 扣帅) 。1 倍 于是我们得到( 3 7 ) 。 将c 带入上式并化为 1 3 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 第三章有界区域+ i ：反戍扩散方程的吸引子 p 挣r 删佃爿胛( 豁厂1 徊 叫h 胪1 心) 嚣篇“硎，川州恻川帅州( 七篇) r ) ，( 一”厂恃r 7 ，) 刈口 我们在上式中令p 专，可以得到( 3 8 ) 从( 3 8 ) 中可以得到，存在瓦和常数c 5 0 ，当f 毛时，有 l “( f ) k c 5 在上面引理下，我们有估计 引理3 3 ：在( 3 2 ) 的条件下，满足( 3 1 ) 的解u 有 0 v “( 佻c 3 v f 毛 其中常数g 依赖于死，函数f 和区域q 证：在( 3 9 ) 中令p = 2 得 l “以出+ i i v “蛙+ 兄i “广“2 出= l 厂( 工出+ g ) “出 由上式得 i i v “眨+ a ；：= 上”出+ g ( “) “出一e “坼出 去i i 厂f | 。0 “i l 。i q i + 尼| | “0 ：1 i q i + l i “0 。l q l “2 i i 鸭i i ： 导i i 厂| | 。l k kl q i + 尼j b o ：1i q i + 昙i | “| i ：i q l + 吾l i 珥蛙 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 由上式及y o u n g 不等式得 一如小圭扣嵫 洲2 z + 制2 z ( 3 2 2 ) 丢。厂i el q i + 丢i l 咋眨+ 丢尼2i l “j | ：i q i + 三。吩幢 1 4 积工 匕 五 在 蒯妒 ，咿 j 一出 阢 。卜2 剩n 第三章有界区域上反应扩散方程的吸引子 ( 3 2 0 ) + ( 3 2 2 ) 得： 陬砸+ 啦州钏删廿三翱v 酬卜击知( 伽： 三。卅l | k ( ，) 忆l q i + 七i l “( r ) o ：1 l q l + 三i i “o ) 旺l q i + 三。咋( r ) 幢+ ( 3 2 3 ) 狮幽+ 扣( 伽+ 扫q i + 扯( 伽 当f 互时，根据( 3 8 ) 知道，存在常数m ( 取决于函数f 区域q 及时刻瓦) ， 便得 三。厂i l8 “o ) 9 。l q i + 七i 陋o ) 8 ：i q l + 三o “o ) l e l q i + 三i l 厂8 三l q i 因此，化简( 3 2 3 ) 得 三丢i i v “蛙+ 主笔丢：+ 8 v “哐+ a ：m 令，( f ) = 扣v “( f ) 幢+ 主笔肛( f ) 哐：，( 3 2 4 ) 化为 f ( f ) + ，o ) s m 其中丑为一大于零的常数，由g ，d 刀w 口z z 硎m 口得到 即为 即州阿帆聃筹( 1 一阿) 扣去屹g 枷棚即) + 筹( ，一) 当脚时，取c 3 = 圭即) + 箸，即可得到( 3 1 8 ) 。 引理3 4 ：在定理3 1 的前提下，我们有 “，( f ) 吃( ( o ，) ，r ) ( 3 2 5 ) 证：在( 3 2 1 ) 两边对时间从到乞积分得 胩驯弘+ 陬州一陬删；+ 乏) 暇一圭) 嵯 = rl 厂( 工) 出凼+ fl g ( “) 虬出出 3 2 6 1 5 m m v i 爻，l 趟 ( 打 u 叫 f ，l “ i i i 2 七 1 4 + 第三章 有界区域- j ：反应扩散方程的吸引子 共甲 厂( 功( f ) 出= 丢厂( 功“( 力出 r 上厂( 石) 咋出凼= 厂( x 如( 岛) 出一l 厂( 功“( ) 出 l i 厂( x ) 0 。0 “( 乞) 0 。i q i + l | 厂( 石) i l0 “( ) 0 。i q ( 3 2 6 ) 最后一项 l g ) 珥出= 丢l g ( “) 出 其中g ) = r g ( s ) 凼 f g 似) 咋出西= 厶g ( ) ) 出一g ( 乞) ) 出 训甜( ) l e li q | + 啪( 酬：1l q l 将( 3 2 7 ) 和( 3 2 9 ) 代入( 32 6 ) 得到 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 肌( 州凼+ 陬州一陬州+ 毫) 眨一毫) 暇 j i 厂( x ) i l of l “( f 2 ) 0 。l q i + i i 厂( x ) l l 。i b ( ) 0 。l q i + 后i i “( ) 0 ：1l q i + 后i 卜( 乞) i l ：1l q i ( 3 3 0 ) 化简上式并由引理3 1 和3 2 ，我们可以得到 辨( 州幽+ 陬州+ 毫) 嵯 i 厂( x ) 0 。i 卜( 乞) 8 。i q l + l l 厂( x ) f | 。0 “( ) i ll q j + i i v “( f 1 ) 0 ：+ 毫) i 暖+ 啾棚1 阱啾乞) q c ( ，乞) 此即我们证明了引弹33 。 引理3 5 ：在( 3 2 ) 的条件下，问题( 3 1 ) 的解“关于时间是连续的。 证：首先，当p = 2 时 ) 叫州= 肌) 叫s ) 1 2 出= 小姒刮2 出 f l 卜；( f ) | | ：d r ( r s ) 1 6 ( 3 3 1 ) 第三章 有界区域上反应扩散方程的吸引子 由引埋3 2 得，我们得到 肛o ) 一“( s 堰c 量。一s ) j 出c j q j ( f 曲j 专o ，当f 专s 时。 因此，“( f ) c ( ( 0 ，刀，三2 ) 当1 p 2 时，由( 3 8 ) 我们可以得到 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) m 一俐；= n o ) 一“硝出啾f ) 一删“( f ) 一叫层 ( 3 3 4 ) d 圳口愀f ) 一“( s ) 睦专o ，当f 专s 因此有“( f ) c ( ( 0 ) ；口( q ) ) 。 现在我们还需要( 3 1 ) 的解唯一。 引理3 6 ：在定理条件下，( 3 1 ) 的解唯一。 证：我们令，屹为方程的两个解，满足定理的条件，取“= 一吃 我们得到 ，一“i + 五f “l i 口“l = g ( 扰1 ) l 乞，一“2 + 兄i “2 l 口l 乞= g ( “2 ) 上两式相减得 咋一“+ 名l “。l 口“一五j z 乞i 口= g ( “。) 一g ( 吃) “( 石，o ) = 0 ，x q”( x ，f ) = o ，x a q 现在我们只要证明( 3 3 7 ) 在条件( 3 3 8 ) 下，只有零解就可以了。 ( 3 3 7 ) 两边同乘以u 并在q 上积分得 “出一血础+ ( 兄蚶 见 “：) ( ”“：) 出 = ( g ( ) 一g ( “z ) ) ( “- 一“z ) 出 1 7 ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 - 3 9 ) 第三章有界区域上反应扩散方程的吸引子 ( 力i “- i 口“- 一名i “z i 口) ：t 一“z ) 出( 3 4 0 ) 见i l l l 一”：i 酣2 出= 五0 “。一“：i l ： ( 3 3 9 ) 左边 l ( g ( “。) 一g ( 屹) ) ( 一“：) 陋 酬”i ，- l “：| ，1 | 一i 出 七“。( 讹+ 佻) h 卜吃j 2 出 当o f r ，由( 3 8 ) 知道，存在常数c ，使得 ( f ) 0 。c j f 叫倍，l ”：o ) i l5c j f q 佃 将上述两个不等式带入( 3 4 1 ) l ( g ( “。) 一g ( ) ) ( “。一心) 忸 2 后i q ic 4 f 嘶i 愀佻 将( 3 4 0 ) 和( 3 4 1 ) 带入( 3 3 9 ) 得到 圭舢( 州+ 陬州+ 饥) 嵯 2 1 七i q ic 4 f 巾口愀佻 j 推导出 三知( 州 2 ，蚓c 4 ，- i ) 7 啾伽 上式两边对时间从r 到t 积分可以得到 ) 屿) 峥f 2 川七i q ic 4 s m 叫亿) 幢凼 ( 3 4 3 ) 中，令，一o + ，并u ( 0 ) = 0 我们有 ) 屿f 2 一七l q h 嘶叫版) 幢凼 由g r o n w a l l 引理得到 愀州= o 此即意味着当o o ，使得 l l r 一i l 口心 i r + i k 。i 口l 膨。 所以，当刀，七一时 i i 见膨l ( 一) i 出五m i q 洲( 乙) 一心( ) i l 斗o 。 由条件( 3 2 ) 及引理3 2 可知 。一 i ( g ( z ) 一g ( z 气) ) i 尼( i r + i “。r ) 2 枷7 所以，当刀，七专时 ) 一g ( ) ) 。一畋) i 出2 姒7 一0j o 由上面的估计和( 3 4 4 ) 可知 i l v ( “。( 乙) 一心( 气) ) i i ：一o ，刀，七一 所以 ( 乞) 也是叼2 ( q ) 中的c a u c h y 列。 引理3 3 2 设纸口( q ) ( p 1 ) ，( f ) = s ( f ) 纸是问题( 3 1 ) 对应于初值 “o ) = 纯的解，如果在f ( q ) 中一缈，则在口( q ) 中，s ( f ) 纯一s ( f ) 伊，即在 ( q ) 中，( f ) 专”( f ) = s ( f ) 缈。 证明：当l p p ( p = 墨) 时，由s o b 。l e v 嵌入定理得到， ( 厶) 是( q ) 中 的c a u 曲y 列，当p p ( p = 墨) 时，取 f f 俄弦 x 工 d 孤孤 坝 堆七 川x 工 占， g 冀九阱刊0 “ 名 “ “伽强砘 第四章反应扩散方程组的吸引子 还是日2 ( q ) 日2 ( g 中的有界集。 此命题的证明可参考文献 2 4 】 在叙述并证明我们关于吸引子的有界性的定理前，我们先引入一些简单的记号： 对于常数6 o 定义： ，。( 6 ) = ( “，y ) r ( q ) 口( q ) ：叫b ( q 6 ，| 工2 ( q ) 6 ) 吃，。( 6 ) = ( “，y ) r ( q ) r ( q ) ：r q ) 驯y k q ) 6 ) 整体吸引子的存在性定理【1 】 设x 为度量空间，黏( f ) 瑚+ 是x 中的连续算子半群，若半群砖( f ) ) 旭j r 有一 个有界吸收集且它是渐近紧的，则半群 s ( f ) ) 瑚+ 存在整体吸引子，并且它是紧的 不变集且吸收x 中的任意有乔集。 定理4 1 若厂，g r ( q ) 是给定的函数，则方程( 4 1 ) 在上述条件下，该动力系 统形成的半群p ( f ) ) 斌+ 具有在空间叠( q ) 叠( q ) 中的整体吸引子a 。 4 2 定理的证明 我们可以证明在定理的条件下，( ，) r ( q ) f ( q ) ，厂g r ( q ) ，方 程( 4 1 ) 在空间岔( q ) r ( q ) 是适定的，也就是说对于任意的 ( ，) r ( 锄r ( q ) 存在唯一解( ，) c ( r + ，口( q ) 口( q ) ) 这就建立了从r ( q ) r ( q ) 到r ( q ) 亭( q ) 的动力系统0 ( f ) ) 砌+ ，使得 s ( f ) ( ，) = ( “( f ) ，y ( f ) ) 为了证明上述定理，我们先证明以下引理 引理4 l ：在上述条件下陋( f ) 眨+ 护( f ) 幢c ，v f 互 ( 4 4 ) f i l v “( f ) 幢d f c ， v f 五 ( 4 5 ) 其中常数c 仅依赖于数据口，厂，g 巧依赖于数据口，厂，g 证明：在( 4 1 ) 的第一式的两边同乘以“得： 第叫章反应扩散方程组的吸引予 “。咋一“+ 彬川“2 + j l ( “) “+ 筇“y = ( x m 在( 4 1 ) 的第二式的两边同乘以口i ，得： 口y + 口y 2 一筇z = 口g ( x ) v 上面两式相加并积分得： 三丢( 刚卜州防酬卜矧毗：+ 州 = 厂( x ) t 疵+ 口g ( 曲y 出一j i l ( “) “出 由定理的条件我们对上式右边估计 厂( 功“出+ 口g ( 矽y 出一j i i ) 。威 圭q 俐层+ c 2o 卅层+ 三口眭+ 三蚓仨+ c om 仨 这里，q ，c 2 是常数仅与区域q 有关。 由( 4 8 ) ( 4 9 ) 并和p o i n c a r 6 不等式得： 丢( 刚卜州伊2 酬v 静2 硎：+ 州层 口：+ 钏州： 由舶l l w a l l 引理我们得到，存在时刻石，当t 互时有 剧“睁训y 屿c 在( 4 1 0 ) 中两边同时从t 到t + l 积分，我们得到当f 墨， 2 c 3 f + i l | v “( 州如口：+ c 2 l | 州：+ 跏( 州+ 口) 嵯 ( 4 1 1 ) 和( 412 ) 同时证明了引理41 。 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 在上面的引理中我们可以得出鼠。( 6 ) 是半群s ( t ) 在r ( q ) r ( q ) 中的有界吸 收集因此我们可以得出这样的结论，存在时刻t ( b ) 仅依赖于数据口，厂，g ，使得 s ( f ) 鼠。o ( 6 ) c 岛，o ( 6 ) ，f r ( b ) ( 4 1 3 ) 第四章反应扩散方程组的吸引子 我们现在证明u 在日1 ( q ) 中的估计 引理4 2 假设条件( 4 2 ) 一( 4 3 ) 成立，。，g ( q ) 则方程( 4 1 ) 的任意解 ，力 满足 i k o ) 0 - f 聊 肘 f 互+ l ( 4 1 4 ) 其中m 是仅依赖于口，厂，g 的常数，互是引理4 1 中的常数。 证明：在( 4 1 ) 的第一式的两边同乘以一“并在q 上积分得到 翔v 小卜器n 。“哐 = l j l 蚴+ 口比“出一e 厂( x ) “出 ( 4 1 5 ) 我们现在来处理( 4 1 5 ) 右边中的每一项 l o ) 础= 一j i l ( “) l v “1 2 出c 慨眨 ( 4 1 6 ) 同样，我们可以得到 il m ) 础目e ： ( 4 朋) 由( 4 4 ) ，我们得到当f 石时， 口比础口：o 血i l ：c o 幽l i ：刽“嵯+ c ( 4 1 8 ) 由( 4 1 5 ) 到( 4 1 8 ) ，我们知道 扣m i + 篱”n 小c ( 帕b 显然有 翱v “肛c ( 1 + 酬臣) ( 4 2 0 ) 由( 4 2 0 ) ，引理4 1 ，通过t h eu n i f o mg r o n w a l ll 锄m a ，我们得到 v “( 州c v f 互+ 1 ( 4 2 1 ) 我们完成了对引理4 2 的证明。 由s o b o l c v 嵌入定理我们可以得到：对于u 存在吸引子a 是空间r 中的吸 收集。我们现在证明对干y 存存吸引子县窄陌l 口中的吸收集。 第p q 章反应扩散方程组的吸引子 我们分解y ( f ，x ) = 嵋( f ，工) + ( f ，z ) ，买中( f ，石) o = 1 ，2 ) 分别满足f 向的式子 警w 。= 叭( 0 ) = 鲁+ 屹呐碣唧) o 即：_ ( f ，x ) = ( x ) p ，匕( f ，曲= g ( 力( 1 一矿) + f 矿h ”( 毛s ) 凼 当f 专，( f ，x ) j o ，屹( f ，x ) 中的第一项在r ( q ) 中收敛到g ( x ) ，下面我们只 要证明( 厶曲中的第二项当卜时，在r ( q ) 中是紧的就可以了 而眦p 咄叫甜( 邵) 叱c ( ) 1 1 2 + i 陬) 1 1 2 ) 由引理4 1 和4 2 我们可以得到当f 专时，( 怯( f ) 0 ：+ j l v “( f ) i i ：) 有界，即为i l v y ( f ) | i ： 有界，因此我们得到，当f 寸，y ( f ，功= ( f ，曲+ 吃( f ，功在p ( q ) 中是紧的。 主要结果：定理4 1 的证明 证明：在引理4 1 中我们得到了半群有有界吸收集，从引理4 2 和随后的证明中， 我们由s o b o l e v 嵌入定理可以得到半群的渐近紧性，从而由整体吸引子的存在性 定理可以得到整体吸引子的存在性。 4 3 小结 本章通过对有界区域上反应扩散方程组的研究，得出了方程组的吸引子的存 在性的结论。从中我们可以看出，反应扩散方程组的吸引子的存在性可以由 s o b o l c v 嵌入定理来很好的得到，但其对非线性项的所要求的条件要比单个方程 的要强的多。 对无穷维动力系统的研究是非常复杂的，目前，我们对它的理解还是相当粗 浅，我们的工作仅限制在对系统的吸引子的存在性的等基础的研究上，然而由于 无穷维动力系统的复杂性，许多问题有待需要解决 动力系统的研究已经有很多年了，已经有许多杰出的数学家在这个领域做 出了非常有开创性的贡献，但它仍是一门新兴的科学，它所利用的工具还需要进 一步发展和完善，因为动力系统研究的是符合自然界本身的规律，因此随着人们 对自然界的不断认识，它的研究将势在必行。 致谢 致谢 三年的研究生学习生活转瞬即逝，在这收获的日子里，我深深地感受到伴随 我走过这段路程的老师和同学的帮助和关怀，这里向他们表示真诚的感谢。 首先，感谢我的导师陈才生老师。他为我提供了优越的学习环境和丰富的文 献资料，给予了无限的关怀、支持和帮助。在陈老师的悉心指导下我不仅在学业 方面取得了长足的进步，在思维的科学性和初步的科研能力上也取得了迅速的提 高，他不仅教导如何读书、做学问，还教育我们如何做事、为人，导师正直、高 尚的人格魅力、渊博的学识、一丝不苟的治学作风、开明的学术思想和锲而不舍 的创新精神使我终身受益，他对科学事业的不懈追求、孜孜不倦的工作精神以及 对学生无微不至的关怀，激励着我脚踏实地的努力奋斗。 同时，还要感谢河海大学理学院所有的老师，是他们的教育和帮助，使我顺 利完成了从大学本科到硕士研究生阶段的学习。在三年的学习生活中，王辉、刘 红霞、吴红玲等同学给我提供了无限的帮助，和她们一起学习、生活是一段美好 的时光，在此向他们表示由衷的感谢。 感谢我的外婆，感谢我的外婆二十几年来对我的养育之恩，因为是我的外婆 在二十几年中代替了我的父母，是因为我的外婆，才会有我今天的一切，我对我 的外婆说您辛苦了。 最后，感谢所有曾经帮助我的人，祝福你们。 马万强 2 7 参考文献 【1