（工程力学专业论文）有限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究.pdf

摘要 f 6 7 9 7 非稳惫转子轴承系统的运动稳定性研究，具有着广泛而重要的实际工程背 景特别是对于大型汽轮发电机组而言，其油膜失稳问题至今仍然是国内外亟待 觯；，k 的重大课题之一。 本文提出了一个有限长轴承非稳态油膜力的近似计算公式，与充零算法相比 段，苌著已经很低，而且其计算量和充零算法相比j r 以忽略不计。 本沦文的主要工作分成以下三部分： 第一部分：由r e y n o l d s 方程和望界冬件油膜存在区的边界上的压力为零， 、力梯度亦为零) 通过变分方法，推导出个非稳态边界条件下的非稳态油膜力 内。般公式。可以证明上述油膜力公式，可由三个函数决定。 第二部分：以短轴承油膜压力分布公式和边界条件为基础，利用凸集上的变 分啜理和自由边值理论对短轴承公式进行修正，得到适合较大长径比范围、大扰 动情况下的油膜压力分布公式。由于直接得出了油膜压力分布公式，该算法具有 计算速度快的特点。 第三部分：以充零算法为基准，并把短轴承公式和变分修j 下- 后的公式和充零 萍法相比较，说明变分修正结果具有了很高精度，可以利用它来进行非线性分析。 而目通过与充零算法的比较对误差来源有了明确认识，希望能够迸一步改迸该模 型使其很好的符合工程中的实际情况 羡踺词：转子轴承京统，非稳态、油膜力，充零鳓去，变分方法 a b s t r a c t t h e p r o b l e m o f n o n l i n e a ro i l f i l mi n s t a t , i l l t yh a sa ni m p o r t a n tr e a l i s t i c b a c k g r o u n di ne n g i n e e r i n ga n dh a sn o tb e e ns o l v e dw e l lu pt on o w e s p e c i a l l yf o rt h e h u g es t r e a mt u r b i n eg e n e r a t o ri no u rc o u n t r yt h i sp r o b l e mh a sb e c o m ea ni m p o r t a n t a n dd i f f i c u l tp o i n tt h a tn e e d st ob es o l v e du r g e n t l y ， i nt h j st h e s i s w e df o u n dan e wm e t h o dt og e tt h ef l u i df i l mf o r o ea c t i n go na n u n s t e a d yf i n i t e - j o u r n a lbe a r i n g weh av eco m p a r e dth i sm e t h o dwi t hth ese t z e r o a l g o r i t h m ，i tr e a l l ym e e t s ag o o de n d s a n dt h ec o m p u t em a g n i t u d ei sn e a r l yn o n et o t h es e t z e r oa l g o r i t h m t h i st h e s i si n c l u d et h r e ep a r t s ： 1 a g e n e r a lf l u i df i l mf o r o ee x p r e s s e db yo n l yt h r e ef u n c t i o n sf o r m u l ah a s b e e no b t a i n e df r o mr e y n o l d se q u a t i o nu n d e rz e r ob o u n d a r yc o n d i t i o n i t c a nb ep r o v e dt h a tt h em a t r i xi sas y m m e t r i c a la n dp o s i t i v ep r o p e r t yo n e t h i sa n a l y t i c a lm o d e lb r i n g sm u c hc o r l v e n i e n c et on o n l i n e a ra n a l y s i s 2 b a s e do nt h ep r e s s u r ec o n t r i b u t ea n db o u n d a r yc o n d i t i o no fs h o f ti o u m a l b e a r i n g ，u s i n gt h ev a r i a t i o nm e t h o dt oa p p r o a c hi t ，w eg e tam u c hb e t t e r a p p r o x i m a t ea l g o r i t h mt h a tp r e s e r v et h ef a s ts p e e do fc a l c u l a t i n ga n di s f e a s i b l et om o s tf i n i t ej o u r n a lb e a r i n g sw i t l ld i f f e r e n ta x i a ll e n g t ha n d d i a m e t e ro f b e a r i n g 3 c o m p a r i n gt h ea p p r o x i m a t ea l g o r i t h mw i t hs e t z e r oa l g o r i t h m ，w h i c hi s t a k ea ss t a n d a r da l g o r i t h m ，w ec o m et ot h ec o n c l u s i o nt i l a tt h e a p p r o x i m a t ea l g o r i t h mi sg o o de n o u g hf o re n 西n e e rn o n l i n e a ra n a l y s i s ，w b a r ea l s oa w a r eo ft h em a i nc o m i n g so ft h ee r r o r sa n dg e tt ok n o wt h ew a y s t oi m p r o v et h i so n e ，m a yi tb em o r ef i tf o rt h ee l l g i n e g ! rn o n l i n e a ra n a l y s i s i nt h e1 a t e rd a y s k e y w o r d s ：r o t o r - b e a r i n gs y s t e m ，u n s t e a d yo i l f i l mf o r c e , s e t - z e r oa l g o r i t h m v a r i a t i o n a im e t h o d 塑堡堡璺壁苎璺塑堕塑塑壅坌查鲨竺窒 一一一翌j 堕立巳! ! 堕 x 一j - 日i j茜 旋转机械广泛应用于能源、交通、军事等工业的各个部门，是机器设备的重 要组成部分。转子系统能否正常工作直接关系到整个系统的设备安全。因此，转 - - 轴承系统的油膜失稳问题也一直是这一领域中的重大课题之一。国内外发生 的多起汽轮机失稳事故 4 0 1 表明，对转子一轴承系统的进一步深入研究是非常必 要的。 对于一个转子系统，油膜不仅起着承受载荷，降低摩擦、磨损的作用，也起 着非线性弹簧和阻尼的作用，对转子系统的动力特性具有很大影响，是造成转子 动力失稳的重要因素之。 传统的动力分析中，大都采用稳态的油膜力模型，基于经典的线性运动稳定 性理论来计算失稳转速 4 4 ，而这一线性分析结果与实际轴承结果又有很大出 入。实际上转子常常作大范围的运动，不满足小扰动假设。国外对重要的旋转设 备主要通过大量的实验进行研究，得到准确的结果。国内由于经费有限，以及试 验条件限制，则更侧重于理论研究。 转子一轴承系统的非线性分析需要提供油膜力的解析表达式，这就涉及到求 解二维二阶变系数雷诺方程。由于流体膜动压理论中关于油膜破裂再形成边界问 题一直没有很好地解决，所以很难提出恰当的数学模型来反映油膜破裂的物理本 质 4 ，到目前为止，通常采用的边界条件主要有三种：1 s o m m 硼e l d 条件：它假 设润滑油充满整个轴承间隙空间，这样由于轴承几何形状的对称性，油膜压力也 是对称的，在收敛油楔中油膜压力为正值，在发散油楔中油膜压力为负值，这与 液体不能承受拉力的物理事实不符。2 半s o m m 耐e l d 条件：即假设在收敛油楔部 分存在压力分布，而在发散油楔部分是空穴区，压力为环境压力。这种假定在转 子稳态运行时，可以给出近似正确的最大油膜压力值。然而对非稳态情况，上述 假设是不正确的。3 雷诺边界条件：又分为亿) 单雷诺边界条件，它假定在油膜破 裂边界上压力梯度为零，压力为空穴压力，而将最大油膜厚度处作为油膜的形成 边界。这种边界条件在应用中占多数，因为一般圆轴承供油位置在最大油膜厚度 处；( b ) 双雷诺边界条件 3 l 】，即假设在边界上压力等于空穴压力，破裂和再形成 边界上均满足法向梯度为零。一般认为雷诺边界条件比较准确。但由于雷诺边界 条件是不可操作条件，要正确确定边界位置很不容易。一种较简单的数值计算过 程是利用流体不能承受负压的特点，在用有限差分法迭代求解雷诺方程的过程中 把出现的负压力用零值来代替，这种方法也称为充零算法 4 5 】。工程实践表明， 基于数值算法的有限轴承充零算法和实践结果比较一致，但充零算法不能提供解 有限k 圆柱轴承油膜力的变分方法研究 第2 页共5 8 页 折的油膜力公式，不便于进行全局非线性分析。非线性分析仍旧大多使用近似的 油膜力分析模型。近似模型有无限短轴承油膜力模型和无限长轴承油膜力模型 ft 2 ，1 4 ，这时雷诺方程退化为常微分方程，可给出解析解。最近的文献 8 ，9 】在非 稳态油膜力的建模方面取得了若干进展。它从理论上证明了在零边界压力条件 下，非线性油膜力可以只用三个函数来表达。这一重要结论大大减少了寻找油膜 力计算公式的工作量，并为寻找非稳态油膜力计算公式指明了方向。文献还对无 限短轴承给出了非稳态非线性油膜力的解析表达式，在此基础上对转子轴承系 统作了非线性分析。但工程实际应用的轴承都是有一定长径比的有限长轴承，为 了使转子轴承系统的非线性动力特性分析更具有工程应用价值，必须使用有限 长轴承油膜力模型。本文的目的就是寻找具要较高精度的有限长圆柱轴承的油膜 力模型。 随着非线性理论的发展，转子轴承系统的非线性非稳态分析越来越受到重 视。对转子一轴承系统进行动力学分析，需要有解析的轴承油膜力公式。对线性 系统，只需计算轴心在静平衡位置的油膜力和8 个动特性系数，因此当利用有限 差分或有限元法配合互补算法 】 或充零算法 4 5 求得这些量之后，便可一劳永逸 的计算转子一轴承系统的动力特性。然而对于非线性系统，在求解动力响应的每 一步都需要重复计算油膜力，如果仍然采用上述的数值方法，则系统动力响应的 计算量几乎为油膜力的计算所占据 2 。即使计算机的运行速度已极大的提高， 这一计算量也是难以容忍的。文献 5 把定常g i i m b e l l 油膜边界条件推广到非定常 的情况，使得短轴承方法被目前多数非线性转子动力学分析所采用，短轴承模型 在计算的过程中大大的简化了油膜力的计算，但与有限长轴承结果相去甚远( 例 如，在长径比旯= 0 6 、偏心位移占= 0 9 的时候误差超过2 0 0 ) 。在实际的轴承 动力分析中，其计算精度很难满足要求。文献 4 3 ，4 5 伸介绍了油膜压力的级数 解方法，但是由于公式形式过于复杂不利于进行非线性动力学分析。因此，寻求 有限长轴承油膜力具有良好近似性的半解析快速算法仍然是非线性转子一轴承 动力分析中的重要问题之一。 对有限长圆柱轴承，在保持短轴承模型油膜压力分布形式的前提下，本文运 用变分原理，首先将公式中的轴向压力分布修正为双曲函数，然后再对短轴承公 式中周向压力分布的参数进行修正，即得到了有限长圆柱轴承油膜力的近似公 式。这一修正结果不仅保持了简洁的油膜压力分布形式，而且极大改善了短轴承 公式的精度。计算结果表明，在大长径比和轴颈大扰动情况下这一方法都是适用 的。 翻限k 圆柱轴承油膜力的变分方法研究 第3 页共5 8 页 第一章油膜力的一般模型 本章从r e y n o l d s 方程和零边界条件出发，讨论了非稳态油膜力的一般解析 表达形式，从数学上证明了油膜力系数矩阵c 可以由三个独立函数构成，并说 明了矩阵c 的对称正定性【4 。 1 1r e y n o l d s 方程 r e y n o l d s 方程是流体动力润滑理论的基本方程，它是在一定的假设条件下， 由代表动量守恒的运动方程，即n a v i e r - s t o k e s 方程，和代表质量守恒的连续性 方程推导得到的，这些假设条件为： 1 界面边界层无滑动，即贴于界面上的油层速度与界面速度相同。 2 流动为层流。 3 与粘性力比较，可忽略惯性力的影响。 4 在沿油膜厚度方向上，不计压力变化。 d l e “ x ，y ( ) 轴承直径 轴颈宽度 轴颈偏心位移 油的粘性系数 轴颈中心位置 轴承中心 如图1 1 所示 y l 2 r d z 图1 1 轴承坐标示意图 r 轴颈半径 h 轴承任处的间隙 q 轴颈自旋角速度 d油的密度 o轴颈中心 s 油膜存在区 固定坐标系0 一腕架于轴套中心o ，动坐标系。l 勃f 架于 有限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究 转轴中心0 ，其中孝轴指向最小油膜厚度处，：、f 指向轴承纵向，从x 轴正向 算起的f 轴正向的位置角为，0 从最小油膜厚度处开始逆时针计算。坐标系均 为右手系。 在极坐标下圆柱轴承油膜区s 内的压力分布满足下列雷诺方程： 一1 2 p 一r 2 7 h 3 豺南害= ( 塑2 卜c o s 口 ， a p ，1 2 口瑟2j 其中： h = 声一e c o s 口 ( 1 1 2 ) 为0 处轴径与轴承间隙，即此处的油膜厚度，上式中占为油膜平均厚度。j 、 印为轴颈中心的径向和周向扰动速度。 我们可以根据经验取下面几种边界条件，分别为： 1 轴承两端由于和大气相连，压力为大气压，和轴承压力区的最大压力相比， 大气压力可近似为0 。 p o ，一2 ) = p ( o ，2 ) = 0 2 在破裂边界上压力为零。 p ( o l ，；) = p ( 0 2 ，z ) ；0 其中曰= 岛和秒= 幺为油膜完整区与油膜破裂区的边界线。 3 附加边界条件。 由于岛，幺未知，有1 和2 两个边界条件不能确定上面雷诺方程的解，因而 还需要附加边界条件。常用的有 ( 1 ) 全周油膜( s o m m e r f e l d 边界条件) 0 l = 0 ，0 2 = 2 石 它假设油膜充满整个轴承问隙，这样由于轴承几何形状的对称性，油膜压力 分布也是对称的，油膜的压力分布是一个连续的周期函数。 采用此边界条件，在油膜收敛区形成正压力，在油膜发散区形成负压力，且 正负对称。实际上，较大的负压力是不能形成的，此种边界条件除在偏心较小时 有定意义外，其他情况均与实际情况不符。但此种边界条件便于求解油膜压力， 固有时可做理论分析。 ( 2 ) 半周油膜 0 。= 0 ，良= 石 认为收敛区形成连续油膜压力，在发散区油膜破裂，无油膜压力。也称此边 界条件为半s o m m e r f e l d 边界条件。对于稳态情况，此边界条件较接近实际情况， 塑竖堡塑壁塑垦塑塞查塑銮坌查鲨堕塞翌j 旦兰_ ! ! 垦 而且便于进行数学处理。但对于非稳态情况，和实际情况出入很大a ( 3 ) 动态半周油膜 矽，0 ，采用短轴承动态边界条件 8 。实际计算结果表明，在长径比不是很 大，偏心不是很厉害的情况下，计算结果精度比较高。虽然，在非稳态情况下， 油膜存在区不一定为丌，甚至远大于厅，但由于边界位置压力相对比较小，因此 积分得出的油膜力误差并不大。 ( 4 ) 雷诺边界条件 认为油膜破裂是一种自然破裂。在油膜完整区与破裂区的交界处，压力为大 气压，压力的法向梯度为零。即： 单雷诺边界条件：p = o 时，p = 或；口= 口2 时，p = p 。，罴2 0 双雷诺边界条件：口= 曰。或护= 岛时，p = 以，嘉= o 此边界条件与实测边界条件接近。但是由于计算比较复杂，要正确确定边界 条件并不容易。 下面我们对r e y n o l d s 方程( 1 1 1 ) 进行无量刚分析。 我们定义如下的无量纲参数： 占= 吾，= 鱼，五= 瓦l r，f = 云，毒= 南，占2 了2 一以5 瓦2 i 8 2 丽 击：至p ：旦竺h ：鱼：l s c o s 0 21 2 伍2d 于是得到无量刚的雷诺方程。 卫0 0 ( 日3 嚣 卅擎= ( 一2 卜川c o s 目 ， l0 曰a f 2 l 零边界条件： 尸( 良一五) = 尸( 鼠a ) = 0 ( 1 1 4 ) 周期边界条件： p ( o ，g - ) = 尸( 2 玎，f ) ( i 1 5 ) 定义线性算子如下： 小卜品( h3 嚣) 圳矿0 2 。 ， f 是r e y n o l d s 方程可写成为： 三( p ) = 击一i 1l 占s i n 0 + i c o s 0 ( 1 1 7 ) 肯限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究 第6 页共5 8 页 定义函数“。，“2 分别满足 l ( u ，) = c o s ，l ( u 2 ) 3 s i n 则油膜压力分布p 可如下表示： p = u i 叠+ “：( 击一妻) 占 其中“，“：应该满足边界条件： p l o , = u l 占+ “：( 击一妻) 占f 。= o 显然“，“，的解不唯一。 1 2 动坐标系下的油膜力一般表示 ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) 我们如果能够得到油膜压力分布函数，对其进行积分即可得到油膜力的基本 形式。因为油膜压力分布函数是在动坐标系下取得的，所以我们得到的油膜力公 式也是在动坐标系下积分得到。 沿f ，玎方向油膜力分别为 f ；= 一i l j p c o s o r d o d z ，f 4 = 一l l i p s i n 0 r d o d z ( 12 】) i = ( 即) i 岛 口 0 2 ；一言 z 专) 引入无量纲量，得到无量纲油膜力 f ；= 一时删o d o d ( ，f ，一时s l n i o a o a ( 其中： s = ( 毋，f ) 1 0 l o 0 2 ；- 2 _ 0 v q k 又因上式中0 q k 是任意的，从而有 l ( p ) 一f 0 在q 内 这就是不等式( 2 2 8 ) 。又因为p 满足变分方程( 2 2 5 ) ，( 2 2 1 2 ) 式左端为 零，即 儿p ( ( p ) 一f ) a o d ( = 0 上式中0 兰p k ，和l ( p ) 一f 0 意味着 p ( p ) 一厂) = 0 ! 里垦旦壁塑璺塑壁! ! 堕奎坌塑鲨墅窒翌l 墨王! ! 要 此即互补条件( 2 2 9 ) 。 综合不等式( 2 2 8 ) 和互补条件( 2 2 9 ) 可知：r e y n o l d s 方程仅在压力大于 零的区域成立，在压力为零的区域( 空穴区) 由不等式( 2 2 8 ) 取代。这就是油 膜非负压力解的自由边值问题：求p k ，使满足 三( p ) f在q 内 ( 2 2 t 3 ) i p ( ( p ) 一) = 0 在空穴区处处p ：0 ，自然有( p ) = 0 ，于是不等式( 2 2 8 ) 给出空穴区的 必要条件是 f = as i n ( 0 一口1 s0 ( 2 2 1 4 ) 上式中用到了f 的表达式( 2 1 2 ) 。反言之，若q + 为完整油膜区，定义 q + = ( 口，f ) l 口0 墨万+ 口，一丑f 五 ( 2 2 1 5 ) 此必要条件可进一步表述为： q + 至q ( 2 2 1 6 ) 当取q + ：q 时就是著名的石油膜假设( 半s o m m e r f e l d 边界条件) 。 有关q + ，q 等油膜压力区域描述可参照下图2 2 所示。 l o 图2 2 油膜压力区域示意图 一 0 广、jf水li 育嚷长圆柱轴承油膜力的，变分方法研究第1 5 页共5 8 页 第三章短轴承理论和负压力充零算法 本章介绍有限长圆柱轴承压力分布及油膜力的两种求法：基于短轴承假设的 近似算法 8 】和负压力充零算法 4 5 。基于短轴承假设的近似算法能够给出很完整 的油膜力和轴承压力分布公式，计算结果在长径比比较小( 五 0 2 ) 且偏心不 大的时候精度较高，但长径比较大、轴颈偏移比较严重的时候其计算结果大大偏 移实际情况，但是其计算量比较小，适合于进行非线性分析，很多时候我们可以 利用它来对转子一轴承系统进行定性分析。负压力充零算法 4 5 1 被工程上广泛应 用，其特点具有方法简单，计算结果稳定可靠且与工程实际情况吻合的比较好， 但由于需要利用迭代方法求解差分方程，计算量非常大，很难用于非线性分析， 本艾中用来与几种近似算法进行比较。 3 1 短轴承油膜力模型 r e y n o l d s 方程是一个二维二阶非线性偏微分方程，没有解析解。我们通过采 用短轴承假设，简化左端表达式，进而得到近似下的一维r e y n o l d s 方程，从而 求得短轴承油膜力的解析表达式。短轴承油膜力公式对轴承定性分析，能够起到 很好的效果。 3 1 1 简化的r e y n o l d s 方程和油膜压力表达式 本节内备茸在找出具有弼洁彤式的油膜力表达式。根据又献( 8 】的短轴j 孛：似 设。我们对下面的无量刚r e y n o l d s 方程进行简化。 - 旦0 0 ( 巡0 0 卜等= ( 一2 卜川c o s 口 ， lja f 2 l 当l d ，即五 1 时，油膜压力沿周向变化率荔，比轴向变化率等式一 个小量，可以忽略不计。因此我们得到无限短近似下的一维r e y n o l d s 方程，设 压力分布为p ，有简化后的无量纲方程： 圳筹邓一扣肌咖s 护 - 塑堡鉴婴壁塑垩垄堕查塑奎坌查鲨竺壅一兰l 兰旦兰! ! 亘 边界条件： p 1 f ； = 0 解上面简化方程( 3 1 2 ) ，得： i 笋( z f z ， ，f ) = 。i 了五一( 一) ；a s i n ( 0 - a ) ( 2 z f z ) 2 h 。 。 ( 击一；弦 三 c o s 口= 2 。s l n 口= 一一 爿 爿 a =湃 或者写成如下形式 1 1 ( 击一 = ) s 口列g n ( 一g ) a r c 8 手 a =爵 根据第二章分析，取完整油膜区为q + = f 2 + ，即 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 尸：警( 旯2 一f 2 ) 当p e 【口，口+ 疗 ( 3 1 9 ) 0其它 下面，我们就可以通过得到的油膜压力分布来计算油膜力的表达形式了。 3 。1 2 短轴承油膜力公式 首先我们计算动坐标系下的油膜力表达形式。即沿古和叩方向的无量纲短轴 承油膜力分量( t ，) 分别为 = 一i 尸c o s o d s ：一。五：一fz矽ft+一!兰_=：i笋。御口 皇里篓璺壁塾墨塑堕垄塑壅坌查鲨盟壅 星j 三一至兰兰! 堕 一孚陋印川凡似面一纠 = 一n 尸s i n o d s f o 一二1 s i n 0 十0 c o s o = 一( 五2 一f2 矽f 。州二呈- 历r s i n 倒目 一孚h 嘣埘。( 0 0 1 炯一1 | j l j 所以，动坐标系下的油膜力表示为 其中 这里 经推导得 o 2 力 l 1 12 _ j 阱一匿 c 订。1 c 墨p 别 c ：墨p ( 口) 雠：岛一2 z 3i ，l t ( 口) c 2 。= 车p ( a ) ，= r s i n 。o h c ，o s j 0 d 目 蒯p 舴如2 c 击一别 ( 1 - - 。0 2 ，2 a 2 - - e 4 c 击一坩 啦啦警嵩 l + 2 占2 2 ( 1 一2 ) 5 21 ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 2 ) ( 3 1 1 3 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) 有限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究第1 8 页共5 8 页 其中 q ：娑 蒯fa2 + ( 占2 2 ) g2 ( ( 1 一f 2 ) a2 一占4 ( 击 西= 石+ s i g n ( j ) a2 f l 一占2 1 一s 2 i 2 爿2 一f 4 ( 击一：) 2 + 赤2 ( 1 痧 一s 2 1 川。 ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) 或写成 矽= 石+ 2 t a n 。i 旦_ 丁i ( 3 川9 ) l 爿( 1 一占2 ) j j 下面，我们就c c t ：，c ：相对于轴径两个方向速度( 1 - ，s 击) 关系画几 张图形进行说明。这将有利于增进我们对短轴承公式形式的认识。从图3 1 中， 可以看出，c l 。，c 2 2 关于径向速度( 0 ) 呈现对称分布，c l ：则关于径向速度( 叠) 呈现反对称分布。 图3 1 旯= 0 4 ，s = o 9 情况下c 1 i ，c 1 2 ，c 2 2 相对于e ，s 的关系曲线 扩一汗 n 一专 有限艮圆柱轴承油膜力的变分方法研究第1 9 页共5 8 页 从公式( 3 1 1 5 ) 、( 3 1 1 6 ) 、( 3 1 1 7 ) 中，我们也可以看出，q l ，g 2 ，q 2 关亍二i ：0 和击：o 5 具有对称性。下面我们就五= o 8 ，占= o _ 8 情况下，做几张图 来说明一下。 c j 嘭q 誓1 贮蛳 7 ： ；j 三兰二二：j 函s 一 图3 , 2 0 s 图3 4 c 1 1 碍 2 4 1 6 1 2 8 4 。鼍 r 零。 2 - ii ，7 4 。j，厶7 3 1 扛3 ，孓，7 川 z j：! 2 ，2i ；! o h5 。j = 三二= 二二上= o 瞒7 一， 一t 一。幺j 、o _ 。l 函= o 。0 0 = 。7 j j 二_ 、 中2 4 、 、 ，由= 一8 8 。3q 一一_ 7 7 i 二j 朗j i ，、二 ，乎= 1o 、 + 二。一一。细5 j 、二= 一一 i = 0 = j 、挣。一一一i = = 二 、 j “0 、0 = 一量f f 。 、二j 、j - 。二二二二乏磊。 o 击 5 图3 5 ，：、 西。 j ，一 ，- * 阳一争s 、。i 、 i - i _ - 一，f ：o 二、 i 、。、鲫瓯二j 二 | 白 。 。 、一，i 3 、 o 一7 图3 6 4 西 5 图3 7 其中图3 2 一图3 4 为c ，c 1 2 ，c 2 2 在取不同西值情况下关于叠的一组曲线， 图35 一图3 7 为c c 【2 q 2 在不同叠值情况下关于击的一组关系曲线。图中 我们可以看出，c i 。关于0 = 0 呈对称分布，c ，c ：则关于击= 0 i ：1 ，分布 s o 33图 t3 有限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究 c ，l ，c ：关于0 = 0 ，q ：关于面= o 5 呈反对称分布。这些都可以从公式中相应 得到。 下面，我们再绘制有关c t 。，c 1 2 ，c ! ：与，盯的关系曲面进行补充说明。其 中定义r 如下： 。：二( 3 1 2 0 ) ( 击一三拈 c 图3 8 五= 0 4 情况下c l l ，c 1 2 ，g 2 相对于占，茁的关系曲线 从中我们也可以看出不同偏心率( s ) 情况下，c l l ，c 1 ：，c 2 2 随径向、周 向速度比( 盯) 的变化关系。可以看出，在偏心率比较大的时候三参数c i 。，c e ： c ：，随盯的变化也较明显。 确限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究第2 1 页共5 8 页 3 2 负压力充零算法 本章介绍有限长轴承压力分布及油膜力的数值计算方法：负压力充零算法。 负压力充零算法在工程上被广泛应用，其方法简单，计算稳定性好，而且与实际 轴承结果也吻合的比较好。但是由于其在计算的过程中需要反复利用迭代法数值 求解差分方程，因而计算量非常大，很难用于非线性分析。我们此次是利用充零 算法的高计算精度作为变分修正公式与短轴承公式的一个对比来说明修正效果。 3 2 1 充零算法的理论基础 用充零算法数值求解雷诺方程简单可靠，被工程上广泛采用。下面简单介绍 工程上常用的充零算法。该方法利用油膜不能承受负压的特点，在用有限差分法 迭代求解雷诺方程时，如果出现负压力，则用零来代替，最后得到一组非负的压 力分布解。 无量纲有限长轴承r e y n o l d s 方程 一嘉p鲫卅筹=(击一)6sin8+gcos0=oo) 2 朋， c s z - ， a 口l西2 l 一 压力p 满足条件： e ( o ，f ) o e ( o ，一旯) = p ( o ，旯) = 0 ( 3 2 2 ) 用差分法解压力分布，就是将整个油膜区 0 石。所以甲是一个介于( 丌，2 ：r ) 的角度。 我们下面利用几幅图来分析甲与各初始参量的关系。 有限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究第2 3 页共5 8 页 首先，我们分析甲与长径比( 五) 的关系，如下图 图3 9 偏心率= 0 9 情况下v 随( k ，旯) 变化曲面 从图中可见，甲随长径比( 兄) 的增大而增大，而受盯的影响较小。下面我 们看看，甲随偏心率( f ) 和口的变化情况。可见，在不同的偏心率情况下， 甲 对口呈现对称分布。当s 较小时，甲随口的变化并不明显，而随着占的增大，甲 随口的变化也开始显著起来。并且在口= 兰达到最小值，在口= 等时取得最大值。 z z 在极值两边呈对称分布。 图3 1 0 长径比五= 1 o ，甲随偏心率占和口的变化曲面 下面我们比较相同的偏心率( s = 0 9 ) 情况下，甲随长径比( a ) 的变化情 况。从中我们也可以看出不同口情况下的v 值变化情况与前面图3 1 0 一致。如 图3 1 1 所示。 图3 1 l 偏心率占固定，在不同口下，甲随长径比a 的变化曲线 有限长圆柱轴承油膜力的变分方法研究 第2 4 页共5 8 页 下面，我们分析在不同偏心率( 8 ) 的情况下，甲随长径比( 五) 的变化曲 线。如下图3 t 2 ，图3 t 3 所示。 口12 o o” l 。 图31 2图3 1 3 可见，在不同偏一1 5 , 率情况下，甲都随着长径比五呈现很有规律的变化。从中 我们也可以看出，甲始终大于石，而且甲随着五的增大，趋近于2 石。并且甲随 着偏。1 5 , 率的增大也呈现增大趋势。 下面，我们看看甲与g - ，击的变化关系曲面。如下图3 1 4 所示。 图3 1 4 甲对g - 的变化相应更敏感一些，在不同的击值下面都随着占的增大而增大 而对击变化则关于击= 0 5 呈现对称分布。 薹。一 p 一 i口o -：ll= 一 p一，=一 一 磐垂一 。qd，一 一 ，一，a 7 0 一 ：。j一黪 一 ，一 g r 训 一 、。，。，。，。，l f j 限 圆柱轴承油膜力的变分方法研究 第2 5 页共5 8 页 第四章短轴承油膜力公式的变分修正 目前，寻找r e y n o l d s 方程的具有良好近似性的解析解或半解析解的