（基础数学专业论文）几类高阶多维或变系数非线性发展方程的精确解.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本文运用改进的c k 直接方法和代数方法，研究了几类高阶多维或变系数非线性发展 方程的一般对称群和显式精确解求得了方程的李对称，许多新的精确解和用经典的李群 方法无法得到的一般对称群，并讨论了一类方程的守恒律问题 在第一章中，利用改进的c k 直接方法，求出了( 3 + 1 ) 一维势y t s f 方程的一般对称群和 李对称用经典的李群方法求出的单参数李群只是我们关于对称群结果的特殊情况；这 里得到的李对称用经典的李群方法虽然也可以得到，但计算过程却复杂得多根据我们建 立的一般对称群原理，建立了方程的新旧解之间的关系，并由已知的旧解得到了方程的许 多新的精确解：运用求出的李对称研究了方程的守恒律，这里求出的守恒律是全新的，在 一， 以前的文献中没有出现过 在第二章中，对改进的c k 直接方法做了方法上的改进，使得改进后的方法可以简捷 地求出变系数方程的一般对称群但由于变系数方程中变系数的任意性，用标准的李群方 法讨论它的对称群是一件非常复杂的工作运用改进后的方法，求出了( 2 + 1 ) 维变系数正 规广义k p 方程的一般对称群和李对称：运用得到的李对称，得到了这个方程的五种相似 约化和许多新的的精确解，包括双曲函数解，三角周期解和有理函数解 在第三章中，运用直接构造方程精确解的代数方法讨论了( 2 + 1 ) 维变系数正规广义 k p 方程和( 3 + 1 ) 一维n n v 方程的精确解一方面，把扩展的t a n h 方法推广到了变系数的情 形，得到了( 2 + 1 ) 维变系数正规广义k p 方程的许多新的精确解，并用图像说明了一个解 随时间变化的渐进性质：另一方面，用一种广义的变换方法求出了( 3 + 1 ) 一维n n v 方程的 大量新的精确解，包括孤子解，雅克比椭圆函数解，三角函数解和有理函数解 关键词：非线性发展方程：一般对称群：精确解：变系数方程：t a n h 方法：雅 克比椭圆函数解：相似约化：守恒律 塑丝查兰堕主兰堡丝塞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o da n da l g e b r a i cm e t h o d ，w es t u d y t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sa n dn e we x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so fs o m eh i g h e r - o r d e ra n d h i g h e r - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so rv a r i a b l ec o e f f 五c i e n tn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s a sar e s u l t ，l i es y m m e t r y , n e w e x a c ts o l u t i o n sa n dg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sw h i c h c a n tb eo b t a i n e db yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da r eo b t a i n e d b yt h eg i v e nl i es y m m e t r y , w ea l s od i s c u s st h ec o n s e r v a t i o nl a w s o fs o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n i nc h a p t e ro n e ，u s i n gt h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o d ，w eo b t a i nt h eg e n e r a ls y m m e t r y g r o u p s l i es y m m e t r ya n dm a n y n e we x a c ts o l u t i o n so f t h e ( 3 + l 、- d i m e n s i o n a lp o t e n t i a l _ y t s f e q u a t i o n t h el i eg r o u po b t a i n e db yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c hi so n l ys p e c i a c a s eo f o u rr e s u l t sw i t hr e s p e c tt os y m m e t r yg r o u p s a n dt h el i es y m m e t r yh e r ec a na l s ob eo b t a i n e d b yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c hb yw h i c ht h ec o m p u t a t i o ni sm u c hm o r ec o m p l i c a t e d b a s e do nt h eo b t a i n e dt h e o r e mf o r t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p s ，w ea l s o f o u n dt h e r e l a t i o n s h i po ft h eo l ds o l u t i o n sa n dt h en e ws o l u t i o n sa n dg e t al o to fn e ws o l u t i o n sf r o mt h e k n o w no n e s u s i n gt h eo b t a i n e dl i es y m m e t r y , w eg e tt h ec o n s e r v a t i o nl a w so ft h ee q u a t i o n t oo u rb e s tk n o w l e d g e ，t h ec o n s e r v a t i o nl a w sw h i c hc a n tb ef o u n di nt h ef o r m e rl i t e r a t u r ea r e c o m p l e t e l yn e w i nc h a p t e rt w o ，i no r d e rt og e tt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nf o r t h r i g h t l y , w ei m p r o v et h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o d i n f a c t , s t u d y i n gt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p so fe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s i sv e r y c o m p l i c a t e db e c a u s eo ft h er a n d o m i c i t yo ft h ec o e f f i c i e n t s b yt h ei m p r o v e dm e t h o d ，w e o b t a i nt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sa n dl i es y m m e t r yo ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lc a n o n i c a l g e n e r a l i z e dk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s u s i n gt h el i es y m m e t r y , w eg e tf i v et y p e s o fs i m i l a r i t yr e d u c t i o n sa n dm a n yn e we x a c ts o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，i n c l u d i n gh y p e r b o l i c f u n c t i o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n dr a t i o n a l s 0 1 u t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ee x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l c a n o n i c a lg e n e r a l i z e dk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n d ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln n v 聊城大学硕士学位论文 e q u a t i o nt h r o u g ht h ea l g e b r a i cm e t h o dw h i c hi su s e dt oc o n s t r u c ts o l u t i o n so fe q u a t i o n s d i r e c t l y w eg e tm a n yn e we x a c ts o l u t i o n so f t h ek pe q u a t i o nb yt h eg e n e r a l i z e dt a n hm e t h o d t h r o u g hf i v ep i c t u r e sw ei l l u m i n a t et h ea s y m p t o t i c a lp r o p e r t yo fs o m es o l u t i o na st i m ep a s s e s u s i n gag e n e r a l i z e dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o dw ea l s oo b t a i nal o to fn e ws o l u t i o n so ft h en n v e q u a t i o n ，i n c l u d i n gs o l i t o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n s o l u t i o n sa n dr a t i o n a lo n e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v p l u t i o ne q u a t i o m ；t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p s ；e x a c ts o l u t i o n s ；v a r i a b l ec o e f f i c i e n te q u a t i o n ；t a n hm e t h o d ；j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ； s i m i l a r i t yr e d u c t i o n ；c o n s e r v a t i o nl a w s l i t 聊城大学硕士学位论文 前言 一求非线性发展方程精确解的研究背景 很多领域中的数学模型都可以用非线性发展方程来描述，许多重要的物理、力学学科 中的基本方程就是非线性发展方程 卜3 从微积分理论形成后不久，长期以来，人们一直 用非线性发展方程来描述、解释或预见各种自然现象由于非线性发展方程在工程技术、 等离子体、大气与海洋流体力学、光纤通信、物理、化学、应用数学、生物、材料科学 等领域的大量使用，这些非线性发展方程解的研究一直是人们关注的热点对非线性发展 方程解的研究主要有以下三个方面：1 解的适定性研究对于一些难以求出精确解的方程 借助基础数学知识证明其解的存在性、唯一性，属于基础数学研究的内容：2 解的数值模 拟和分析借助计算机和计算数学的理论，对方程解的变化态势进行分析和模拟，属于计 算数学的内容：3 求方程的精确解应用某些数学技巧或假设，通过构造适当的变换使方 程简化并得到其精确解本文将侧重于第三个方面的研究，即重点寻求非线性发展方程的 精确解目前，求非线性发展方程的精确解问题包括以下几个方面：发展一些新的求解方 法；求出某些方程的新解，特别是高阶多维或变系数方程，并分析解的性质 一求解非线性发展方程是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题几十年之前，对 非线性发展方程的求解，被人们认为是个性极强、难以解决的问题直到1 9 6 7 年，美国的 四位学者g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 创立了反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g t r a n s f o r m a t i o n ) 方法 4 ，也称非线性f o u r i e r 变换法，并成功求解了k d v 等方程，从此 以后寻求非线性发展方程的精确解才成为人们关注的焦点，各种求解方法也应运而生， 像达布变换( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 法 5 、贝克隆变换( b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ) 法 6 、齐次平衡( h o m o g e n e o u sb a l a n c e ) 法 7 1 1 、经典和非经典李群( c l a s s i c a la n d n o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) 方法 1 2 ，1 3 、c k 直接方法( c l a r k s o n k r u s k a l sd i r e c tm e t h o d ) 1 4 和双曲函数( t a n hf u n c t i o n ) 1 5 ，1 6 法随着各种求解方法的不 断出现，不但一些难以求解的方程得到解决，而且发现了许多有重要意义的新解近年来， 计算机的发展和符号运算如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 的出现，也为求解方程提供了极大的帮 助 由于求解非线性发展方程难度大，技巧性强，到目前为止，既没有统一的方法去求解 聊城大学硕士学位论文 所有的非线性发展方程，更无法给出一个非线性发展方程的所有解( 通解) ，因而我们关心 的是方程的某种形式的特解，如行波解、孤立波解、孤立子解、相似解、p e a k o n 解、d o m a i n w a l l 解、变量分离解、周期解等这些解可以很好的描述各种物理现象，像振动、传播波 等 早期，由于认识和方法的局限性，人们主要研究了低维常系数非线性发展方程但由 于人们面对的是变化着的( 3 + 1 ) 一维的世界，因此，高维或变系数的非线性发展方程所描 述的演化规律会更加贴切实际随着科学技术的进步和研究方法、研究工具的发展，近几 年国内外许多学者开始重点考虑高维或变系数非线性发展方程 1 7 - 1 8 、积分一微分方程， 非线性离散、半离散方程也备受关注 二主要研究方法和研究结果 对称是李群理论中的一个基本概念，对称的研究，既是基础数学中的重要研究方向之 一，也具有重要的应用价值对称在寻求非线性发展方程的相似约化、对称群及守恒律中 有着不可替代的作用李群方法( 包括经典李群方法和非经典李群方法) 是寻求非线性发 展方程对称的一种传统而有力的方法，但具体到求高阶多维或变系数非线性发展方程的 对称时，往往因为计算过程太烦琐而难以得到理想结果：随着对高阶多维非线性发展方程 研究的深入，人们也在不断发展求这类方程的对称的方法c k 直接方法是寻求方程的相 似解的最有力的工具之一，基于保持解的形式不变性这一宗旨，楼森岳教授改进了原来的 c k 直接方法，改进后的方法称为是“改进的c k 直接方法”应用这一方法，就可以方便地 求出非线性发展方程特别是高阶多维非线性发展方程的一般对称群和李对称，也可以建 立起方程的新旧解之间的关系，从而可以由旧解得出新解在本文中，我们用这种方法求 出了( 3 + 1 ) 一维势y t s f 方程的对称，特别地，我们对改进的c k 直接方法做了方法上的改进， 使它不仅适用于常系数方程，更适用于变系数方程，从而可以简捷地求出变系数方程的一 般对称群和李对称 对于守恒律( 如能量守恒) 和对称群的研究，历来是物理科学的中心议题之一多年来 人们认为无穷多个守恒律的存在是方程可积或孤子解存在的特征条件之一，无论对经典 力学还是量子力学，守恒律的存在反映了系统对称性，而研究方程的守恒律同时必须研究 方程的对称性，故对称和守恒律有着密切联系在数学上，守恒律还可以用来导出先验估 计和运动积分由于高阶多维非线性发展方程能更加准确地描述物体的演化规律，研究这 类方程的对称和守恒律更具有广泛的价值运用改进的c k 直接方法，本文对( 3 + 1 ) 维势 y t s f 方程的对称，对称群和守恒律进行了研究 聊城大学硕士学位论文 代数方法是直接构造非线性发展方程的精确解的简捷方法之一，代数方法又称函数 展开法，包括双曲函数法、椭圆函数法等等代数方法的基本思路是：如何从待求解的非 线性偏微分方程或方程组出发，通过寻找有效的变换，将原方程( 组) 变为简单的、易解的 代数方程( 组) ，通过求解代数方程( 组) ，从而可以获得原方程或方程组的精确解在本文 中，我们一方面把扩展的t a n h 方法推广到了变系数方程，另一方面用一种广义的变换方 法研究了高阶多维的n n v 方程，求出此方程更丰富的解，包括孤立子解，雅克比椭圆函数 解，三角周期解和有理函数解 本文的研究结果主要有以下三个方面： 一利用改进的c k 直接方法，求出了( 3 + 1 ) 一维势y t s f 方程的一般对称群李对称及其对 应的向量场，建立了方程新旧解之间的关系，同时由旧解得到了方程的许多新的精确解： 这里求出的一般对称群比用传统的李群方法求出的单参数群更广泛，后者只是它的特殊 情况：而且，本文求一般对称群的计算过程也比用李群方法简单得多运用求出的向量场 还得到了方程的守恒律，这里求出的守恒律是全新的，在以前的文献中没有出现过 二对改进的c k 直接方法做了方法上的改进，并成功地应用到( 2 + 1 ) 维变系数正规广义 k p 方程，求出了这个方程的一般对称群和李对称：运用得到的李对称，得到了这个方程的 五种相似约化和许多新的精确解，包括双曲函数解，三角周期解，雅克比椭圆函数解和有 理函数解结果表明改进后的方法不仅可以应用到常系数方程也可以应用到变系数方程， 从而为求变系数方程的一般对称群提供了一个简单快捷的方法 三代数方法的拓展应用 ( 1 ) 把推广的t a n h 函数方法扩展到了求解( 2 + 1 ) 一维变系数正规广义k p 方程利用己 知的r i c c a t i 方程的解，得到了( 2 + 1 ) 维变系数正规广义k p 方程的许多新的显式精确解， 包括复合类孤子解和三角周期解，并通过图像演示了求出的解随着时间变化的渐进性质 ( 2 ) 把广义的交换方法推广应用到( 3 + 1 ) 一维n n v 方程上，求得了( 3 + 1 ) 一维n n v 方程的 大量新的精确解，包括孤子解，雅克比椭圆函数解，三角函数解和有理函数解 本文得到了几类高阶多维或变系数非线性发展方程丰富的精确解，并通过图像说明 了求出的解的渐进性质：为人们认识许多物理现象提供了基础但由于非线性发展方程的 求解问题技巧性极强，难度很大，即使同一个方程，应用不同的方法可能会得到不同的精 确解因此寻求非线性发展方程的精确解仍有大量问题需要解决，其中包括提出更加完善 的求解方法，得到方程的更多的更有意思的新精确解当然在新的求解方法提出过程中， 也需要相应的数学理论支持，这必然推动数学领域中许多学科的发展 聊城大学硕士学位论文 十 第一章( 3 + 1 ) 一维势一y t s f 方程的新的精确解和守恒律 寻求非线性发展方程的对称，对称群，相似约化以及构造这个方程的无穷多守恒律是 非线性科学中研究的热点问题之一李群方法 1 2 1 3 ( 包括经典李群方法和非经典李群 方法) 和c k 直接方法 1 4 是寻求方程的相似约化的两种最有力工具，但具体到应用李群 方法寻求高阶多维非线性发展方程的李对称特别是李点对称群时，往往因为涉及到大量 的繁杂计算而难以取得理想结果楼森岳教授改进了原来的c k 直接方法，称为是“改进的 c k 直接方法” 1 9 2 0 应用这一方法，可以方便地求出方程的一般对称群、李点对称群 以及李对称 1 1 引言 李群方法是寻求非线性发展方程的对称、研究它的守恒律以及求得方程的精确解的 一种有力工具对于一个给定的非线性发展方程，在传统的对称群研究中，人们往往局限 于求出李点对称群根据标准的李群理论，原则上讲只要求出群的无穷小形式和李代数就 够了，因为相应的李群可以由相关的常微分方程组的初值问题来确定但是，对于一个给 定的非线性发展方程，仍有以下几个问题存在： ( 1 ) 求出李代数之后，通过初值问题的解决来给出方程的对称群在有些情况下仍然是 很困难的 ( 2 ) 在许多情况下，即使初值问题解决了，群的表达式也可能会非常复杂或者由隐函 数来表达，在实际应用中不方便 ( 3 ) 在另外一些情况下，方程的一般对称群根本不是李群，或许存在更一般的连续对 称群 而且，对许多非线性系统特别是高阶多维的非线性系统而言，仅是运用李群方法寻 求非线性系统的李代数计算起来已经非常复杂了，更不用说在此基础上再通过初值问题 的解决来求李群了c k 直接方法也是寻求方程的相似约化的最有力工具之一，这个方法 又称为直接约化方法，它是由p a c l a r k s o n 和m 。d k r u s k a l 于1 9 8 9 年提出来的一 种不用群理论而求解非线性发展方程的相似约化的方法 1 4 对于许多非线性发展方程 而言，应用这种方法几乎可以求出方程的所有的相似约化这个事实暗示我们：对许多 聊城大学硕士学位论文 非线性发展方程而言，有一种简单的方法可以求出方程的一般对称群下面我们先简要 介绍c k 直接方法，。再介绍改迸的c k 直接方法 我们以两个自变量的偏微分方程为例，说明c k 直接方法的基本思想：通过选取适当 的变换把求解非线性偏微分方程转化为求解常微分方程 对于方程 f ( x ，t ，u ，“，) = o ， ( 1 1 ) 可以寻找如下形式的相似约化 甜( x ，f ) = w ( x ，r ，1 p ( z ) ) ，z = z ( x ，t ) ， ( 1 2 ) 其中形和w 均是待定函数，业已证明，大多数情况下，方程( 1 2 ) 可采取如下的简单形式： u ( x ，) = a ( x ，f ) + p ( x ，f ) w ( z ) ，z = z ( x ，f ) ( 1 3 ) 其中口，屈w ，z 均是待定函数，把方程( 1 3 ) 代入方程( 1 1 ) ，然后将w ( z ) 的阶数和幂次相 同的项放在一起，其系数由口，口及z 的函数构成，为了使所得方程为w ( z ) 的常微分方程， 要求这些项的系数之比仅为z 的函数，于是可得到关于口，卢，z 的超定方程组，由此可以 确定口，夕，z 再求解得到的常微分方程得到w ，然后通过方程( 1 3 ) 即可得方程( 1 1 ) 的解 在确定这三个自由度函数口，卢，= 时，可采取如下规则： 规则1 若a ( x ，t ) = a o ( x ，f ) + 卢( x ，f ) q ( z ) ，可取o ( z ) = 0 ； 规则2 ：若p ( x ，t ) = p o ( z ，r ) q ( z ) ，可取n ( z ) = 1 ： 规财3 i 若g ( x , t ) 可由n ( z ) = z o ( x ，t ) 确定，其中q ( z ) 可逆，则可取q ( z ) = = 其中，上面的每个规则只能使用一次，一个自由度函数将由于使用相应的规则而被固定下 来 为了用c k 直接方法寻求非线性发展方程的一般对称群，文献 1 9 2 0 改进了c k 直接 方法，运用这种改进的c k 直接方法，可以求出方程( 1 1 ) 的一般对称群，李点对称群和李 对称，还可以由方程( 1 1 ) 的已知解得到新的精确解事实上，改进的c k 直接方法只是把 上面的方程( 1 2 ) 换为 u ( x ，f ) = r e ( x ，t ，v ( x ，丁) ) ，x = x ( x ，f ) ，丁= r ( 而f ) ( 1 4 ) 就可以了，通过要求“在变换 ( x ，r ，甜) - - - ( z ，t ，u ) ， ( 1 5 ) 下保持形式不变( 即u 满足和u 形式一样的偏微分方程，只是自变量换成x ，丁而已) 来确 定，x 和，同理在大多数情况下，方程( 1 4 ) 也可以换成下面的简单形式 u ( x ，f ) = a ( x ，f ) + ( x ，t ) u ( x ，f ) ， ( 1 6 ) 聊城大学硕士学位论文 其中口，卢，x ，t 均是x ，t 的待定函数，通过要求u ( x ，r ) 满足和“形式一样的方程来确定。一旦 口，口，t 都求出来了，方程( 1 1 ) 的一般对称群也就确定了。 1 2 ( 3 + i ) 一维势y t s f 方程的一般对称群和新的精确解 最近，文献 1 8 ，2 1 用齐次平衡法求出了如下( 3 + 1 ) 一维势y t s f 方程 一4 4 - + 4 叱+ 2 k 比+ 3 = 0 ( 1 7 ) 的大量的新的精确解，包括复合孤立子解、非行波解、类孤立子解和奇异孤立子解据我 们所知，迄今为止，方程( 1 7 ) 的对称群和守恒律还没有被研究过在本文中，我们将运用 改进的c k 直接方法去寻求方程( 1 7 ) 的一般对称群同时，利用求得的方程( 1 7 ) 的新旧 解之间的关系求出了方程( 1 7 ) 的一些新的精确解，运用求得的对称，我们还研究了这个 方程的守恒律 假设方程( 1 7 ) 具有下列形式的对称群 w ( x , y ，z ，f ) = ，+ s u ( f ，g , h ，p ) ， ( 1 8 ) 其中，= r ( x ，y ，z ，f ) ，j = s ( x ，y ，z ，f ) ，f = f ( x ，y ，z ，f ) ，g = g ( x ，y ，z ，f ) ，h = h ( x ，h z ，t ) 和 p = p ( x ，y ，z ，t ) 部是待定函数，这些待定函数可以通过要求u ( f ，g ，h ，p ) 在变换 w ，x ，y ，z ，辞 ”，f ，g ，h ，p ) ， 下满足和w = w ( x ，y ，z ，r ) 形式一样的方程，即通过要求u ( f ，g ，h ，p ) 满足方程 “r = 4 u m 一4 u u 西一2 2 0 “ - 3 u 嚣 ( 1 9 ) 来确定 基于上面提到的想法，我们开始寻求方程( 1 7 ) 的一般对称群和新的精确解令w 具 有方程( 1 8 ) 的形式，然后把方程( 1 8 ) 代入方程( 1 7 ) ，同时让u ( f ，g ，h ，p ) 满足方程 ( 1 9 ) ，即通过方程( 1 9 ) 约去“ ，我们得到 畈3 正”，4 + 3 “9 4 + 以3 吃“ 44 - s p x 3 p z u ，+ e ( x ，_ ) ，z ，t ，u ，“y ，- - ) = o ，( 1 1 0 ) 其中= 筹，：窘, u h - - - - 筹=筹，函数驰，y,z,t,ux,u曲uj,up ，勺，h h 。 兵甲“，”。矿吩2 两 丽 2 可幽瓤鼻【x ， 。) 与 ，“ 4 和“。无关从方程( 1 1 0 ) ，可以得到 丘正= 0 ，= 0 ，h a = 0 ，n 见= 0 ， ( 1 1 1 ) 很容易验证，如果z = 0 或吃= 0 方程( 1 7 ) 没有非平凡解，因此可以得到 6 聊城大学硕士学位论文 = f ( x ，y ，f ) ，g = g ( 蕾) f ) ，五= h ( y ，2 ，) ，p = p ( y ，z ，) ( 1 。1 2 ) 把方程( 1 1 2 ) 代入方程( 1 1 0 ) ，方程( 1 1 0 ) 就变为 ( 3 g 2 p z u f p + 3 s l 2 吃材，：神+ 3 s f ，g ，p 2 u f 9 2 t , + 3 畈恕“岔 + s g ，z p ：封矿p + s g x 2 h z “幽) & + 矾3 p z n f ，p + f 2 ( x , y ，z ，虬，) = o ， ( 1 1 3 ) 其中函数e ( 南y ，z ，f ，叱，哆，) 与“，。，誓锄，“据。，2 名，2 0 ， “幽和甜，无关， 从方程( 1 - 1 3 ) 可以得到 g x = 0 ，p ：= 0 ，即g = g ( y ，t ) ，p = p ( y ，f ) ( 1 1 4 ) 把方程( 1 1 4 ) 代入方程( 1 1 3 ) ，可以得到 巳f + 3 s p y 2 “”+ 3 s h y 2 + 4 峨正吃“+ e ( x ，y ，= ，t ，“) = 0 ， 其中函数e ( x ，y ，z ，t ，“，) 独立于甜厨，“，“。和材。，从上面的方程可以得到 巴= 0 ，纬= 0 ，砟= 0 ，文= o ，即s = s ( y ，f ) ，h = ( 乃f ) ，p = p u ) t 按上面的步骤一步步算下来，我们可以得到以下决定方程组 3 蹭，2 3 矾3 吃= o ，3 吮六丘= o ，3 s y r = o ，4 畈n + 4 阢3 吃= o ，2 s 2 正2 吃一2 玩3 吃= 0 ， 6 s f y g ，一4 畈= o ，k 一4 k + 4 5 r 。+ 2 ，k + 3 0 = 6 ，3 彬2 4 s f j ，+ 2 k 2 艺= 0 ， 4 s 2 正2 h - 4 s f ，3 吃= o ，- 4 乙一4 s t f ，+ 3 矿0 + 6 s y f y + 4 轭k + 2 s f = r , ；0 s 吃，二一4 畈啊+ 4 s 吃正= o ，2 s 2 丘魂= o ，2 s ，o 吃= 0 , 3 s g + 6 s ，g y = 0 解上述方程组，可以求出待定函数 ， 2， ，= 鲁+ 等+ 缈+ 掣地c - 1 5 ) 2 s ，：阜+ 三；+ 缈+ 竺譬尝竺+ 6 ， ( 1 sc s f = x s + q y + b 1 ( 1 1 6 ) g = c s 2 y + g 耐， ( 1 1 7 ) h = c 2 s z + a z 。 ( 1 1 8 ) p ：c 2 卉， ( 1 1 9 ) 其中c ( o ) ，j ( o ) 和q 是任意常数，q ，a ，巩，b 是t 的任意函数根据方程( 1 8 ) ，我 们有 w ：忑x a l t + 娑+ 缈+ 学+ b + s u ( f 肭趴( 1 2 0 ) c sc sz s 。 其中函数f ，g ，h 和p 分别是由方程( 1 t 1 6 ) 一( 1 t 9 ) 决定的根据上面的结果，对于 聊城大学硕士学位论文 ( 3 + 1 ) 一维势y t s f 万程的对称群，有如f 的对称群定理： 定理1 如果u ( x ，y ，z ，t ) 是方程( 1 7 ) 的一个解，由( 1 2 0 ) 式表达的w 也是方程 ( 1 7 ) 的一个解 根据定理1 ，由方程( 1 7 ) 的已知解，我们可以得到方程( 1 7 ) 的新的精确解现在我 们推广文献 2 1 的结果去寻求方程( 1 7 ) 的新的精确解应用定理1 和文献 2 1 的结果， 我们可以得到如下的方程( 1 7 ) 的新解： u = 詈+ 譬+ 缈+ 学m ， z - ， 其中 “= 2 ( 1 i l 纺) ，( = l ，2 ，8 ) ， 竹= 4 + b c 。s h ( m h + i i | 2 坳+ p , ) e x p ( k f + l g + 丁4 n k - 3 1 2 矗+ r i p + q , ) ， 仍= 彳+ 丑c o s h ( k f + 三g + 专；笔害：湍办+ 塑竺堕丝窑璺掣p例4k( k 一七) 2 ( k + 七r 1 e x p ( k f 地+ 篙篇铲一 1 2 k 3 l k 2 l + 2 k l k 4 i 一6 l k 5 i 一6 k 2 k 3 r 一寿5 上2 + 3 r 五4 4 k 2 k s l 2 一可页正面面再厂一p + q 2 ) ， q o ，= a + b c 。s h ( k f + l g + m h + 4 m k 矿s + 3 1 2p + p ，) e x p ( k f + l g + m 矗+ 学p + 吼) ， 舻枷c o s h ( k f l g + 胁+ 警p + p , ) e x p ( 一k f + l g + m 而+ 警p 训， e p s = a + b c o s ( m h + i 1 七2 坳+ p 5 ) e 姒矿+ l g + 下4 n k - 3 l z 矗+ 印+ 吼) ， 聊城大学硕士学位论文 = 4 + 曰c 。s ( k f + l g + 生：! ；鬻 + 墨! ! 兰查! 三兰兰j ；喜：；：；j 善_ ；型p + a ) e x p ( 矿+ s + 兰! 生：；j 铲一一 2 k l k 4 i - 12 k 3 l k 2 1 - 6 l k s l 虿+ 忑6 k 万2 k 3 l 天2 - f k s l 2 + 3 l 2 k g 4 - 4 k 2 k _ 3 1 2p + 9 6 ) ， 4 k 2r k 2 + k 2 1 2 。” 仍蛐胁s ( 埘n g + 砌+ 掣p + p 7 ) e 冲( 眵+ l g + m h + 、3 1 2 + 4 i n k 3p m 纸= 彳+ 曰e x p ( 9 + l g + m h + 里生 妄竺岛+ 9 8 ) 其中c 0 ，s 0 和q 是任意常数，q ，口，6 i 和b 都是t 的任意函数，函数f ，g ， 和p 是 由方程( 1 。1 6 ) 一( 1 ，1 9 ) 分别确定的，i 2 = - i ，爿，b ，k ，l ，m ，p l ( j = 1 ，2 ，8 ) ，k ，掰，i 7 ，g 和 q j ( j = 1 ，2 ，8 ) 是常数当盯= 6 = g = 口1 = 6 l = o ，c = s = 1 对，由方程( 1 2 1 ) 表示的解 正是文献 2 1 中的结果所l 以我们推广了文献 2 1 中的结果 1 3 ( 3 + 1 ) - 维势y t s f 方程的李对称和守恒律 从定理1 知道，求出的对称群就是方程( 1 7 ) 的一般对称群为了用方程( 1 1 5 ) 一( 1 1 9 ) 来讨论方程( 1 7 ) 的一般对称群和李点对称群之间的关系，我们取 c = l + 占c ，j = 1 + 6 s ，q = 占q ，a l = c a , ，a = 6 a ，b = 占丑，b l = e b l , 其中占是无穷小参数，c ，s 和g 是任意常数，4 ，爿，墨，丑是f 的任意函数。这时方程 ( 1 2 0 ) 可以写成 w = “+ c a ( u ) ( 1 2 2 ) 其中仃0 为方程( 1 1 ) 的李对称 盯( ) = 五呜，+ i 2 y 2 4 。+ 4 y + 4 z b u + b + s “+ ( x s + q y + 蜀) 虬+ 【c = y + 2 s y + 0 _ t u y + ( 2 c z + 毙+ 4 ) “：+ ( 2 c + 3 s ) t u ， ( 1 2 3 ) 对应的向量场的表达式为 r = ( 姆+ 缈+ 最) 去+ ( + 埘+ j 3 瓦o + ( 2 + & + 4 ) 鲁+ 【( 2 c + 3 s ) ，1 _ d o ，一 硝，+ 詈y 2 4 。+ 砂+ 竽+ b + 州言 9 聊城大学硕士学位论文 = c c y 嘉+ 2 t 鲁+ z ：争+ s 昙+ z y 导+ z 昙+ s r 昙一甜未，+ q 抄昙+ j 3r 杀， + ( 旦昙一z 碣，杀) + ( 4 皂一x a l ，亳一j 2 y 2 a i 。台- b 旦锄一砂未 = c z , + s k + q 圪+ + k + 圪+ 巧 ( 1 - 2 4 ) 从向量场表达式方程( 1 2 4 ) 我们知道方程( 1 7 ) 的李对称有7 个子对称 ( f - 1 ，2 ，7 ) ，并且可以由标准的李群方法来得到 众所周知，对称群的应用之一是寻求微分方程的守衡律我们先回顾与李贝克隆算 子有关的几个结果，然后再求方程( 1 7 ) 的守恒律 一个李贝克隆算子可以表示为 五= 喜瑶+ 叩杀+ 喜+ 善4 萎4 乞毒+ 善4 蔷4 善4 缸去，c s ， 其中= 口( u ) + 乞“：一，白= b ( u ) + 蠡“，乞。= ( u ) + 厶“。，d i 表示对 薯的全微分，巩) = d f ( d ，( u ) ) ，或。) = d j ( d ，( q ( u ) ) ) ，u 是李特征函数，表达式为 下面的式子 、 u = r - 钆 ( 1 2 6 ) 定理2 ( 2 2 ) 假设五是方程( 1 7 ) 的一个李贝克隆算子，如果守恒向量场 t = ( f ，r 2 ，p ，t 4 ) 在墨下保持不变，那么 五( z ) + 霉q 吗) 一乃q ( 盏) = o ，( f = 1 ；2 ，3 ，4 ) ( 1 2 7 ) 定义3 称李贝克隆算子k 与守恒向量r 有关，如果和r 满足关系式( 1 2 7 ) 在本文中，我们假定疗= 4 ，五= 茗，而= y ，弓= z ，= f ，并且 d i = 皿，d ，= q ，d 3 = 见，d 4 = 口，五= x ，五= y ，五= z ，= t 现在我们构造方程 ( 1 7 ) 的守恒律，( x ，y ，z ，r ) 显然满足 皿z + d ，】，+ 也z + 口r = 0 ， ( 1 2 8 ) 其中守恒向量场( x ，y ，z ，r ) 与方程( 1 2 4 ) 中的李贝克隆对称k 有关z ，y ，z 和r 是 x ，y ，z ，r ，“，砧，“：，“。，：”，“。和u n ，的函数把x ，y ，z 和丁代入方程( 1 2 7 ) 可以得到 k c 耻z 虬署。叶若址善一筹。“。芒- 4 u , ，薏一。薏。薏 1 0 望丝查兰塑主兰堡鲨窒 嘲w 薏一。a x _ 6 u ，鸭o x 地。瓦o x s 善一筹一“。薏也。薏 砘m 瓦o x6 u = d o i x - 6 u 。a x s 差一，u ，o x 一忆薏一s 薏一 s “w 芒一，等一s 芒u ，抛0 3 ，( 一s 薏u ，o x 一9 u m 瓦0 2 ( 一 她。芒“。薏吨。薏一1 薏删一o ， k c d 屯“，尝一s 略著一z 屹菪o u 地，芸 咖嗍，。抛 一s 薏一芒一嚣。芒 s 峙薏一薏u , 。o y 吨，薏 芒o