（基础数学专业论文）多复green函数在全纯映射迭代中的应用.pdf

中文摘要1 1 1 摘要 全纯映射迭代序列的收敛性问题一直以来被很多人所研究，近来，由 于与复动力系统的密切关系而备受重视。其中对于单位圆、超球、有界强凸 域和双圆柱上的情况，人们已经得到了其上全纯自映射收敛的一系列结果。 对于一般的强拟凸域，也有部分结果。 在研究有界域上全纯自映射收敛问题时，常用的工具是k o b a y a s h i 度 量。该度量对于有界强凸域与双圆柱的应用非常有效，但是应用于非凸域 时遇到困难，所以我们就在想是否可以找一度量，使之能够在有界凸域和 双圆柱上很好的替代k o b a y a s h i 度量，又能方便的使我们研究非凸域上全 纯自映射的迭代序列的收敛性质。在这种想法的促使之下，我们想到了多 复g r e e n 函数。由于在一般有界凸域上，多复g r e e n 函数与k o b a y a s h i 度量有 着非常密切的关系，而且对于般有界域上的多复g r e e n 函数我们了解的又 是比较清楚的。 基于该思路，本文就利用多复g r e e n 函数，在分别研究了单位圆、超球、 有界强凸域以及双圆柱上全纯自映射迭代的基础上，进一步研究了一特殊 非凸域一h a r t o g s - 三角形上全纯自映射迭代的性质。 关键词：多复g r e e n 函数；全纯映射；极限小球面；极限大球面；迭 代：b 1 疗点 荚文摘要 a b s t r a c t t h ei t e r a t i v ep r o p e r t i e so fh o l o m o r p h i cs e l f - m a p sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d b ym a n yp e o p l e r e c e n t l y ，t h ei t e r a t i o n so fh o l o m o r p h i cs e l f - m a p s a r eh i g h l y r e g a r d e d ，b e c a u s et h e ya r eb o u n du pw i t hc o m p l e xd y n a m i cs y s t e m e s p e c i a l l y ，w h e nt h eh o l o m o r p h i cs e l f - m a p sa r ed e f i n e do nf o l l o w i n gd o m a i n s ：t h e u n i td i s k ，t h eu n i tb a l l ，t h eb o u n d e ds t r o n g l yc o n v e xd o m a i na n dt h eb i d i s c ， m a n yg o o dr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e d a n ds o m er e s u l t sh a v eb e e na l s o a c h i e v e do ng e n e r a ls t r o n g l yp s e u d o c o n v e xd o m a i n s u s u a l l y , t h em a i nt o o lt oi n v e s t i g a t et h ei t e r a t i o n so fh o l o m o r p h i cs e l f - m a p sd e f i n e do nb o u n d e dd o m a i n s i st h ek o b a y a s h im e t r i ct h ek o b a y a s h i m e t r i ci sv e r yu s e f u lw h e ni ti su s e di nt h eb o u n d e ds t r o n g l yc o n v e xd o m a i n a n dt h eb i d i s c b u tt h e r ew i l lb es o m ed i 伍c u l t i e sw h e nt h ek o b a y a s h im e t r i c i su s e di nt h en o n c o n v e xd o m a i n s s ow ew a n tt of i n da n o t h e rm e t r i c w h i c h n o to n l yc a nr e p l a c ek o b a y a s h im e t r i co na b o v ed o m a i n s ，b u ta l s oc a nb e w e l lu s e dt os t u d yt h ei t e r a t i v ep o p e r t i e so fh o l o m o r p h i cs e l f - m a p sd e f i n e do i l n o n c o n v e xd o m a i n s a n dt h ep l u r i c o m p l e xg r e e nf u n c t i o ni sj u s tw en e e d e d b e c a u s ei nt h eg e n e r a lb o u n d e dc o n v e xd o m a i n s ) t h e r ei sv e r yc l o s er e l a t i o n b e t w e e nt h ep l u r i c o m p l e xg r e e nf u n c t i o na n dt h ek o b a y a s h im e t r i c ，a n dw e k n o ww e l la b o u tt h ep l u r i c o m p l e xg r e e nf u n c t i o no ft h eg e n e r a lb o u n d e d d o m a i l l s i nt h i sp a p e r w eu s et h ep l u r i c o m p l e xg r e e nf u n c t i o nt oi n v e s t i g a t e t h ei t e r a t i v ep o p e r t i e so fh o l o m o r p h i cs e l f - m a p s ，w h i c ha r ed e f i n e do i lt h e u n i td i s k ，t h eu n i tb a l i ，t h eb o u n d e ds t r o n g l yc o n v e xd o m a i na n dt h eb i d i s c m o r e o v e r ，w es t u d yt h ei t e r a t i v ep o p e r t i e so fh o o m o r p h es e l f - m a p s ，w h i c h a r ed e f i n e do nas p e c i a ln o n c o n v e xd o m a i n t h eh a r t o g st r i a n g l e k e y w o r d s ：p l u r i c o m p l e xg r e e nf u n c t i o n ；h o l o m o r p h i cs e l f - m a p ；s m a l l h o r o s p h e r e ；b i gh o r o s p h e r e ；i t e r a t i o n ；w o l f p o i n t s 第l 节引言 1引言 若d 为c “中的有界域，为定义于d 上的全纯自映射，如果定义 f 1 = ，f ”= f 。f ”1 ，( 凡n ) 那么我们就得到了区域d 上，的迭代序列f 厂n ) 。而对于 ，n 是否在d 的紧子 集上一致收敛于某个全纯映射h ：d 一伊，一直以来被很多的人感兴趣。 近年来兴起的复解析动力系统理论即复解析函数迭代理论，它主要研究复 解析函数迭代生成动力系统的分析性质、几何拓扑性质和动力学性质，从而 对自然界的某些现象作出更深刻的解释。 复解析动力系统的研究初创于二十世纪2 0 年代。p f a t o u 和g j u l i a 受 迭代法以及分式线性变换群的子群的极限集的启发，产生了r i e m a n n 球面 上复解析动力系统的研究思想。他们在考虑任意有理函数迭代序列的性质 时，各自独立发现r i e m a n n 球面可以分为两个集合，即现在以他们名字命名 的f a t o u 集：和j u l i a 集。当时，他们运用新的正规族理论( 如m o n t e l 定理等) 于 动力系统，证明了一系列非凡、漂亮的结果，完成了复动力系统的奠基工 作，形成了经典的f a t o u j u l i a 理论。8 0 年代初期b m a a d e l b r o t 等科学家将 计算机技术运用于这一领域，同时，在理论研究上，d s u l l i v a n 等将拟共形 映射和t e c h m i l l e r 空间理论应用于这一领域，取得突破性进展。对于这方面 较为详细的介绍可参考1 1 。 而我们所研究的主要是全纯自映射迭代的收敛性问题。关于这方面的 历史，首先是1 9 2 6 年w o l 昕n d e n j i o y 2 “】解决的单位圆上全纯自映射迭代的 收敛问题。再就是1 9 8 3 年，m a c c l u e r 5 】得到的伊中单位超球上的结果。再后 来，就是a b a t e 6 】在1 9 9 8 年解决的具有c 2 _ 边界的强凸域上全纯自映射的收 敛问题。最近，直至u 2 0 0 4 年，f r o s i n i f 7 】得出了一个特殊凸域一双圆柱上全纯自 映射的w o l f f 点集【7 】的性质，而且在他的文章中我们可以看出，全纯映射的 迭代收敛与它的w o l f r 点集有着非常密切的关系。而对于一般凸域的情形， 目前为止我们是知之甚少的，更不用说非凸域的情形了。 研究他们的文章中可以看出，他们处理问题所采用的度量是一般的欧 氏度量与k o b a y a s h i 度量吼特别是k o b a y a s h i 度量在a b a t e 与f r o s i n i 的文章 中得到了很好的应用。而对于非凸域，我们所了解的k o b a y a s h i 度量就比较 第2 节单位圆和超球2 少了，不过幸运的是，此时我们有另外一种工具一多复g r e e n 函数。本文就利 用多复g r e e n 函数代替以上度量在统一得出同样结果的基础上，更进步， 得出一个特殊的非凸域一h 射t o g s 三角形上全纯自映射w o l f f 点集的性质。 下面我们先给出多复g r e e n 函数的定义。 定义1 1 【9 】令d 为c “中的有界域，；s p s h ( d ) 为区域d 上的多次调和函 数全体。极限函数 g o ( z ，w ) = s u p ( z ) ：p s h ( d ) ，0 ，( 。) l o g l z w 十0 ( 1 ) ) 称作以叫为极点的多复g r e e n 数。 本文我t t j _ i g h o l ( 矿矿) 为c n 中区域矿到矿的全纯映射空间，诱导拓扑为 其紧集上的一致收敛拓扑。a u t ( u ) 为区域u 到自身的双全纯映射群，删u 表 示区域u 上的恒等映射。 以下各节我们就分别介绍多复g r e e n 函数在不同区域的全纯自映射迭 代中的应用。 2 单位圆和超球 本节我们只对在单位圆和超球上用多复g r e e n 函数来证明其上全纯自 映射迭代序列收敛问题的可行性作一介绍，并介绍其上全纯自映射迭代收 敛的结论，而对于结论的证明，由于归根结底都是与b u r c k e l 1 0 】与m a c c l u e r 5 1 的证法相同，所以就不再详细论述。 首先我们先给出极限圆与极限球的定义。 定义2 1 令为单位圆，b “为c “中超球，对任意z a ，o b “，r 0 。定义以z 为中心，r 为半径的极限圆与以为中心，r 为半径的极限球分别 为： 砸= 忙：璺篝桊 r ) ) 鼬= z eb n ：溉篙 0 。并且如( z ，叫) 为d 上 以叫为极点的多复g r e e n 数。那么以zea d 为中心，z o d 为极点，r 为半 第3 节强凸域 5 径的极限小球面e 。( 茁，r ) 和极限大球面j k ( z ，r ) 定义如下 e 。( z ，r ) 足。( z ，r ) k 。 忙。 n m 。s 。u p 篇 r 、n 。r 巧而万 月f u m i n r 篙 r ) 下面的定理31 在 6 中有完整的证明，而且与我们的主要工具一多 复g r e e n 函数无关，因而我们仅作一简单叙述。 定理3 1 令dcc ”为一管状域，f ：d d 为一全纯映射，并且存 在z o d 使得，汹) = z b 。那么迭代序列 广) 收敛 - 3 且仅当识。的特征值 为a = 1 或者虢。的特征值的模 1 。 注3 1 在定理3 1 中，由 1 1 c a r t a n c a r a t h o d o r y 定理知，厶的特征 值a 只能有1 ，而且若 广) 收敛为一映射h ：d d ，那么h 为一全纯 收缩，即 2 = h 。并且h 的值域为区域d 的一子流形，它的维数为c 巴。特征值 为a = 1 的重数。特别地， 广) 收敛到一常数当且仅当1 不是c k 的特征值。 因而我们有下述推论。 推论3 1 令dcc “为一管状域，f ：d d 为一全纯映射，并 且存在劲d 使得f ( z o ) = z o 。那么迭代序列 o z ；，e z ，( z ，r ) ce z o ( z ，l r ) 与e ，( x ，r ) cf 1 动( z ，l r ) 。 证明：考虑下面两式 1 一e g d ( t ”)1 一e g d ( 2 0 ，w ) 1 一e g d ( z i ，u ) 1 一e g d ( z ，)1 一e g d ( z l ，u ) 1 一e g d ( z ， ) 1 一e g d ( 。1 ，”)1 一e g d ( n ，叫1 一e g d ( z o ， ) 1 一e g d ( z ，w )1 一e g d ( z o ， )1 一e g d ( z ，u ) 对第一式两边令w z 取上确界，而对第二式两边令w 一。取下确界有 1 一e g d ( z o ，训j 1 一p g d ( z l ，t c jj 1 1 翟u p 丁历赢万sl 1 i m s 。u pr 巧而可， 1 一e g d p l ，叫j 1 1 一p 9 d ( z o ，t u j 1i卿薪二li。mi。nfegdl 等1 赫e g d - 训一z1 一 【。，j 一 叫叶z 一 ( z ，叫) 由极限小球面和极限大球面的定义可知引理结论成立。 下面我们再介绍两个基本结果。 命题3 1 删假设dcc “为一具有c 2 一边界的强拟凸域，2 - z o d 。那 么存在两个仅依赖于d 和z o 的常数c 1 ，c 2 r ，使得对vz d 有 丽c 2 墨篝嬲尚 第3 节强凸域 ， 命题3 2 f 1 4 】令dcc n 为一具有c 2 一边界的强拟凸域，那么存在d 的一 邻域d ，和一连续映射圣：( a d o d d 7 ) ( z ，z ，z ) ：。o d ，z d 7 ) 一 c 使得 ( 们对v z ，y o d _ e 1 - x y ，映射圣= 圣( z ，) 是全纯的，并且中( d ) c 。 ( 撕) 对v 。，y o d g - x y ，有圣。，fx ) = 1 与垂q p 匆) = 一1 那么我们可证一f 面的定理。 定理3 4 令dcc n 为一具有c 2 一边界的强拟凸域，取两个不同 点z 1 ，z 2 o d 。那么存在= e ( z l ，z 2 ) o - 与, k = k ( z 1 ，z 2 ) r ，使得 对vz 1 ，施d ，当i i 勺一码l l o 使得 i 。f l e 。( z 。) 一，。( z 2 ) l ：协丽，勺瓦丽，j = 1 ，2 ) = 5 ， 0 ， i n f l l 一。：( z 。) 蕊1 ：协丽，勺瓦丽，j = 1 ，2 ) = 6 2 0 而且我们可以取充分小使得 p ( ，4 e ) d 7 ( j = 1 ，2 ) ， 并且 可币可n 取；雨= o 令u ： p ( x l , 4 s ) na d _ 巧i 硒no d a 取1 p ( z l ，2 e ) 与可2 p ( z 2 ，2 ) 。那么对固定的j = l 或j = 2 ，我们取z ，叫p ( 勘，2 ) cp ( x j ，4 e ) ， 则有 一沪劁l i 警忆沪卜训绯“一h a 刮卜训 c l l 圣l l u x p ( x ，, 4 e ) l l z w l lsm i i z 一创l i ， ( 3 2 1 ) 第3 节强凸域8 其中m 不依赖于y 1 ，y 2 ，z ，叫和j 。 对j = 1 ，2 ，固定乃b ( x j ，) nd ，并取a d 使得d ( 勺，o d ) = 0 勺一协由于码o d ，我竹 有1 1 勺一协1 i l o g 等一；l o g d ( 钆一j 1 l 。g d ( z ：，o d ) ， 最后令k = ( 出2 m 、 2 ，便可得定理结论 ! 竺! ：! 丝 一 1 一e g d ( 2 z ) d ( z l ，0 d ) d ( z 2 ，a d ) 第3 节强凸域9 这样我们就可以得出下面一个定理。 定理3 5 令dc 伊为一具有c 2 一边界的强拟凸域，那么对vz o d ，z o d 与r 0 有 咒。( z ，r ) n o d = z ) 证明：首先我们证明z 只。( 面j 。令n 为在。的内法向量，对ve o ， 定义名= z + 锄，并且展( 。) = z g ”：【i z 一磊i i o ，使得对ves 口，忍( z ) cd 并且 与8 d 相切与z 。 由 1 + e g o ( 。a ，) ， c c f i 而丽! 瓦历可2 万 可得 1 + g 口。( 。，却) l 一矿b 一扭) ( z a , z 5 ) 、 c 、c r 忑瓦面i = 而。1 = 面再i 丁漏菇 因而当6 0 时，有 ! 二型：竺 一2 a 1 一e 9 日d ( 。) 【。一，。6j c 现令ec 易( z ) 为以岛为极点，。为中心以及等为半径的极限小球面。 那么对vz e ，有 ，、 、 1 一e 9 日d ( z ) l 。一，却j c r 嬲丁i 五万万 五 从而 1 _ c 1 一e g d ( z 9 , w ) ，1 c 1 一e g o ( z 4 r j 1 1 翟丁巧而丽s1 1 黜丁乏五忑万 l i r a 舢i n r 害筹筹i 2 0 - 0 ，使得 由引理3 1 可得：e ，扛 n 1 1 1 s u p 篇= 三 r l ) e 。( z ，兄) 。从而有z z 。( 蕊7 。 第3 节强凸域 1 0 下面我们将证明z 为唯一的包含在e 。( z ，r ) 中的边界点。否则，若存在 不同于z 的点y o dn 只。( z ，r ) ，那么可找到一序列 知) ce 。( z ，r ) ，并且 满足当肛一o 。时，知一y 。所以vpen ，有 l i 。m i 。n f 篙e g d r 训一z i 一 。p ， 从而对每个p n ，我们可找到一序列 。) cd ，使得当p 0 0 时，叫。一z ，并且 怒f 1 - - 面e g d 玎( ：z 而。 w ”) r 恶f 巧而= 砑 “ 而且，我们可假设l | w 。一x l l 0 ，对z e 。( z ，r ) ，对于上式存在“o n ，e 0 ，使得vp p o 有 1 一e g d ( z o , w 。, ) 兰1 丽e g d ( z r 吨 一 ，叫“) 由于对v 礼n ，叫。为力的不动点，所以vp 伽，有 兰茄篙糕1e g d ( r 一( 3 2 4 ) 1 一矿d ( 船( ：) ，p ) _ 二 。t ”p ) 、 一、 7 当“一时，我们还有 1 一e g d ( 1 “( = ) ， 1 一e g d ( 船( z ) ，w p ) 所以对( 3 2 4 ) 式有 l i 。m ，。i n f 亡丢丽 0 ，并且满足c ( w ，r ) f ( z o ) 的g ，r ) ，有f ( z ) o ( w ，r ) 。 如果g ( 叫，r ) r ( z o ) ，则有 石可；二1 丽nx = 妒一1 ( 乙丽n x ) 妒一1 ( r ( 动) ) = 1 1 ( z o ) 所以g ( 妒一) ，r ) a 。此时有 1 + e g d ( w ，化) )1 + e g d ( f ( 9 “( ) ) ，化) ) r i 商可两2f i 葫而可厕 1 + p g d ( p 一1 扣) ，：) 曼f 1 三e g d 万可丽r ， 一 一 ( 妒叫) ，z ) 一7 所以，( z ) 百丽。f ! 改( v ) cv 。从而由b r o u w e r 定理知，在y 中必有不 动点，这与定理条件矛盾。综上所述，定理结论成立。 4 双圆柱 这一节我们主要介绍双圆柱上全纯自映射的w o l f f 点集的性质。 一、准备 记2 为双圆柱，为单位圆，d 为g “中有界域。g d ( z ，训) 为d 上以训为 极点的多复g r e e n 函数，为d 上的一全纯自映射。如上节所述，定义以z a d 为中心，幻d 为极点，r 为半径的极限小球面( z ，r ) 和极限大球 第4 节双圆柱 1 4 面只。( z ，冗) 如下： e ：。 ，r ，= z 。：n m 。一8 。u p 篙 1 。 i i ) w ( f ) 一( e 2 乳，e 坩。) 营，是第一型的且对每个a 。，i = 1 ，2 ，有a 。s1 。 i i i ) w ( f ) = e 坩，) ) u ( e 钼，e 徊z ) ) 骨，是第二型的2 - a 2 1 。 i v ) w ( f ) = e 徊- ) ) 铮，是第二型的且a 2 1 。 v ) w ( f ) = “e i 8 1 ) ) u ( e 诅z ，e 硼2 ) ) u e i 8 2 ) ) 咎，是第三型的。 否则如果 ( 。，y ) = x ，vy ( 或，2 ( z ，y ) = y ，vz ) ，那么 v i ) w ( f ) = x 2 e 伯。) ( 或w ( f ) = 2 e i 0 1 ) a t ) 。 若，= ( ，2 ) ：2 一2 为一全纯映射，且，有不动点a 由 17 可 知，f l ( ，可) 与，2 ( z ，) 一定都有不动点。记全纯映射，的不动点集合为f 缸( ，) ， 显然如果d i m f i x ( f ) = 2 ，那么f = i d z 。如果d i m f i x ( f ) = 1 ，由 1 8 可 知，f i x ( f ) 是a 2 的一条测地线，并且f 妇( ，) 可由一单位圆上的全纯函数g 参 数化表示为：弓z 一( 9 ( z ) ，z ) 。 定理4 3 假设，= ( f l ，2 ) ：2 一2 为一全纯映射，不是自同构，但有 不动点。不妨假设，( o ，0 ) = ( 0 ，0 ) 。那么 a ) ：若d i m f i x ( f ) = 0 ，则w ( ，) = d 。 b ) 若d i m f i x ( f ) = 1 ，令g ：= f i x ( f ) ，则 i ) g ( z ) a u t ( a ) u 0 ，有o ( t ) e ( x ，r ) 。 定义4 3 函数，：2 一c ，z 2 ，称，在茁有容许e 一极限l 如果对任 意特殊x 一曲线盯满足：当t 一1 一时，有，( 盯( ) ) 一二。 定理4 4 若，：2 一为一全纯映射，z a 2 满足 u m i n f 筹端渊讪 0 ，f ( e ( x ，r ) ) e o - ，a s r ) ，从而，在x 有容 许e 一极限7 _ 。 证明：取一子序列 训) ca 2 ，使得w 一z ，一。并且 恕 1 + e 9 ( o m ) 1 一i f ( w k ) 1 一e 9 ( o , w k ) 1 + i ，( 叫k ) 我们可以假设，( 叫k ) 一7 - ah m 掣i n 筹 _ o 。由于 1 + e g ( o , w a ) r 乏丽 所以必须有 1 + f ( w k ) l i l ，( 叫k ) 一c o 托- 0 ( 3 _ 。k _ o 。 1 一i ，( 西) 1 + i ，) i = o ， 。 熙剖讪 现取任意z e ( x ，r ) ，则有 1 一口g ( o ，叫) 1 i m s u p 南锄，v r 刈 再利用多复g r e e n 函数的压缩性质可得 拇揣=拦。兰然=剑msu-1-if(wk)lim 1 - - e g ( z , w k ) 县罂r = i i 丁丽= 一o 。丁二i 歹盱瓦豇再i 西s 上1 一。p ：u m s u p 掣k o 。i f = n i l l8 u p 篝篙k o o1 一c “ l i m k - o o 1 一f ，( 叫k ) 1 一e g ( o ，w “ a i r 第4 节双圆柱1 7 所以，( z ) e ( 一。，月) 。从而定理得证。 下面的定理证明和7 卜一样，叙述如下： 定义4 4 称函数f ：一g 在盯a 有非正切极限l c ，如果对任意 曲线7 ：【0 ，1 ) 一，当t 一1 一，7 ( t ) 非正切地趋向于盯时，h ( t ) ) 一l ，t 一 1 一。 定n 4 5 若，= ( f l ，2 ) h o l ( a 2 ，2 ) ，并且，是第一型的，那么 i ) 函数f 1 。f 2 ( 或f 2 。只) 必有w o l f f 点e 卯t ( 或e 伸。) 。在这种情况下我们 令a 1 2 和a 2 1 分别为最。毋与玛。日在各自w o l f f , 点的边界发散系数。 i i ) f 1 在e 。o z 有非正切极限e 硼- ，并且 1 i 蛐f 掣砒，o 0 ，使得鲁= 老。则如果 i ) ，是第一型的且a 1 1 ，或 i i ) ，是第二型的且a 1 1 。 那么，( e ( 1 ，r 1 ) e ( 1 ，r 2 ) ) e ( i ， i ) xe ( i ，r 2 ) 。 证明：i ) 令( 茁o ，珈) e ( 1 ，r i ) e ( 1 ，r 2 ) ，我们有 1 一护( o ，“ 。 1 一e g ( o , f l 。f 2 ( 。) ) ：l i 。m 1 i - - e g ( f i ( x 。 y 。) z ) 2t 罂r 乏丽而面朊两丽丽 l i m s u p t _ 1 1 e g o ，f 】o p 2 ( o ) 。e 。g 。( 。( 。x 。o 。, y 。o 。) , 。( 。f 。l o 。f 。2 ( 。t 。) 。, f 。2 。( t ) ) ) 如果e g ( ( m y o ) ，( f i 。n ( t ) t f 2 ( 曲) ) = e g ( f l 。f 2 ( 。) ) ，那么由于z o e ( 1 ，r i ) ，有 1 。k o ，f 1 。f 2 ( t ) ) 1 i m s u pf 焉瓦丽丽r i 如果e g ( ( x o m ) ，( f l 。乃( ，局( ) ) = e g ( y o ，也( 。) ) ，那么 1 一e a ( o ，f 1 。f 2 ( ) )1 一e 9 ( o ，p i 。f d o ) 1 一e g ( o ，f d 0 ) n m 。s u p t 巧丽2t 巧丽。f 厕 5 圳i 霉黼 刚i = ；u p 哿寻掣高南 = a l r 2 = 沁r 1 r i 所以 ( z o ，y o ) ee ( 1 ，r 1 ) 。同理我们可以证明，2 ( 蜘，y o ) ee ( i ，r 2 ) 。因此可 得结论f ( e ( 1 ，r 1 ) xe ( i ，r 2 ) ) ce ( 1 ，r i ) xe ( i ，r 2 ) 。 乱) 由假设及i ) 的证明可知，2 ( e ( 1 ，r 1 ) e ( i ，r 2 ) ) e ( i ，i 2 ) 。另一方 面 ( e ( 1 ，r 1 ) e ( i ，r 2 ) ) ( e ( 1 ，r - ) ) e ( i ，r i ) 。故结论成立。 第4 节双圆柱 1 9 由【7 我们还有以下命题，其证明也和 7 】一样，叙述如下： 命题4 8 若，= ( f l ，2 ) h o l ( a 2 ，2 ) ，在2 内无不动点，- g - 2 _ a 丌1 ，f 2 7 r 2 。那么w ( ，) 为弧连通的。 二、w o l e 氨 下面我们给出定n 4 2 的证明。取e 坩t = e i o 。= 1 。 定理4 2 的i i l ! n ：我们先证明必要性的每一部份。 i i ) 对全纯函数 ：2 一应用定理4 4 ，考虑式子 (liraminfl)f1-丽ik(z,y)l ( 43 1 ) 对于方向z = f 1 ) ，y = 训，我们有u ( o ，z ) = u ( o ，日) ) ，u ( o ，y ) = u ( o ，t u ) ， 其中u 为单位 j ：的p o i n c a r d 度量。由于a i 0 ，即 h m i n r 掣掣乳 所以存在一子序列 叫) 满足，1 i mi ) k = 1 9 v f 三t i mf 1 ( w k ) l 1 训小如果我们 e 沿方向叫k 考虑( 4 3 1 ) 式，则有 l i m r ai n f m 糍0a 特别 地 在( 1 ，1 ) 点有容许e 一极限丁l 。同理对全纯函数，2 ：2 一应用定理4 4 ， 沿方向z = z ，y = f 2 ( z ) 考虑式子 ，。liraini、占端熬，y)-(1 1 ( z ，1 ) 一伊”。j _ f 仿照以上同样可得： l i r a i n i 、导ie 捺g 憨 0 。特别地正在( 1 ，1 ) 点有容许e 一极限n 。下面我们表明n ：n ：1 。考虑曲线印t = ( f 1 ( t ) ，t ) 和 第4 节双圆柱 2 0 矿2 ( ) = ( t ，f 2 ( ) ) ，t 0 ，1 ) 。则曲线o 1 和曲线d 2 都是特殊( 1 ，1 ) 一曲线，并且 当t 一1 一时，分别有，1 ( o 1 ( t ) ) = ，1 ( f 1 ( t ) ，t ) = f l ( t ) 一1 与五( a 2 ( t ) ) = ，2 ( t ，f 2 ( t ) ) = f 2 ( t ) 一1 。由于n ，t 2 分别为，1 与，2 在点( 1 ，1 ) 的容许e 一极 限，所以n = n = 1 。因此，1 ( e ( ( 1 ，1 ) ，r ) ) e ( 1 ，r ) ，vr 0 。并 目- a ( e ( f l ，1 ) ，r ) ) e ( 1 ，r ) ，vr 0 。故，( e ( ( 1 ，1 ) ，r ) ) = ( ( e ( ( 1 ，1 ) ，r