（控制理论与控制工程专业论文）多变量过程系统辨识研究.pdf

摘要 多变量过程系统辨识研究 摘要 现代控制理论的发展为先进控制奠定了应用理论基础，而控制 计算机尤其是集散控制系统、现场总线控制系统等为先进控制和在 线优化的应用提供了强有力的硬件和软件平台，先进控制的应用需 要先进控制算法，而算法都要求有生产过程的数学模型，这就意味 着模型越准确，控制算法精度越高，生产过程也相应的越平稳。目 前大多数的实际工业过程都是多变量系统，所以本文的研究目的就 是研究多变量的建模方法，提高模型精度。具体内容如下： 首先学习了多变量尤其是子空间辨识法的理论基础，构建了子 空间辨识算法统一理论框架，总结了确定性系统和联合系统子空间 辨识法的具体实现步骤，通过两个仿真实例分别验证了各算法的适 用性和正确性。接着根据实际情况，提出了一种将单个数据组改造 而成的多数据组子空间辨识算法，这是一种极具工程实用价值的新 算法。该算法的特点是允许处理在同一系统上，不同初时条件，不 同输入信号条件下获得的多组实验数据，并可取得良好的辨识效果。 离散时间辨识法在辨识连续时间系统时采取的处理方法存在的 一些问题，主要是：输入是连续信号，用离散辨识法在典型的采用 时间内很难得到较好的数学模型；离散时间辨识法得到的模型相对 误差随着采样时间的减小而不断增大；离散时间辨识法得到极点在 北京化工大学硕士学位论文 采样周期和截断误差选择不当时，容易使它在z 一域的单位圆上漂移， 使系统不稳定。针对这种情况，研究了连续时间频域子空间辨识法， 这种方法跟采样周期的选择无关，通过仿真对比，此法确实比离散 时间辨识法精度要高，能提高2 左右。 关键词：先进控制，数学模型，多变量系统，子空间，多数据组， 连续时间频域子空间辨识 摘要 s t u d yo nm u l 月i v a i u a b l ep r o c e s s s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to fm o d e mc o n t r o lt h e o 巧i st h eb a s i so fu s ef o r a d v a n c e dc o n t r o lc o n t r o lc o m p u t e r e s p e c i a l l yd i s t r i b u t e dc o n t l o l s y s t e m 、 f i e l d b u sc o n t r o l s y s t e mg i v e a s t r o n g l yh a r d w a r ea n d s o 胁a r ep l a t f o r mf o rt h eu s eo fa d v a i l c e dc o n t r o la 1 1 do n 1 i n e o p t i m i z a t i o n t h eu s eo fa d v a i l c e dc o n t r o ln e e da d v a n c e dc o n t r o l a l g o d t h m ，a n da nt h ea l g o r i t h m sa l s on e e dt h em a t h e m a t i cm o d e l s i t m e a n st h a tt h em o d e l i sm o r ea c c u r a t e ，a n dt h ec o n t r o ja l g o d t h mi sm o r e p r e c i s e ，t h ec o r r e s p o n d i n gp r o d u c t i o np r o c e s si ss m o o t h e r m o s to ft h e a c t u a l i n d u s t r i a lp r o c e s s e sa r em u l t i v 撕a b l es y s t e m s ，i no r d e rt oi m p r o v e t h em o d e la c c u r a c y s om em u l t i v 撕a b l e s y s t e mi d e n t i f i c a t i o nw a s s t u d i e di nt h ep 印e r t h es p e c i f i cc o n t e n t sa r ea sf 0 1 l o w s ： f i r s t l mt h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fm em u l t i v 撕a b l es u b s p a c e i d e n t i 6 c a t i o nw a ss t u d i e di nt h ep 印e r ，e s t a b l i s h e dau n i f i e dt h e o r e t i c a l 行锄e w o 比a n ds u m m e du pt h ed e t e r i i l i n i s t i ca n dt h ec o m b i n e d d e t e m i n i s t i c - s t o c h a s t i cs y s t e m si d e m i f i c a t i o nm e t h o d s s p e c i 丘cs t 印st o a c h i e v e b yt h e 帆os i m u l a t i o ne x a i n p l e s ，m em e t h o d sw e r ev 丽f i e d a p p l i c a b l ea n da c c u r a c y t h e na c c o r d i n gt ot h ea c t u a ls i t u a t i o n ，a 北京化工大学硕士学位论文 s u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o dw i t hm u l t i p l e d a t as e t si sp r o p o s e d i t w a sm o d i 丘e db yt h es i n g l ed a t as e to fs u b s p a c es t a t es p a c es y s t e m i d e n t i f i c a t i o n i ti sav e 巧p r a c t i c a lv a l u en e w a l g o 而t h m ，a n di t sp r o v e d t h a ti tc o u l dm a k eg o o dr e s u l ti nd i f 瓷r e n tc o n d i t i o n so ft h ei n p u t o u t p u t d a 乜1 d i s c r e t e t i m ei d e m i f i c a t i o nm e t h o di d e n t i f i e dt h ec o n t i l l u e t i m e s y s t e me x i s t e dt h r e eq p e s t i o n s ：f i r s t ，i tc o u l d n tg e tag o o dm a t h e m a t i c m o d e lw h e nt h ei n p u ti sc o n t i n u o u ss i g n a li nat y p i c a l t i m e ；s e c o n d ，t h e m o d e lr e l a t i v ee r r o ri n c r e a s ew h e nm es a l 】叩l i n gt i m ed e c r e a s e ；t h i r d ， t h ep 0 1 e si nt h ez d o m a i n su n i tc i r c l ew e r em a d ed r i f tw h e n 也e s a m p l i n gt i m ea n dt n m c a t i o ne 仃o rw e r es e l e c t e di n c o r r e c t l mt h e ni t m a d et h es y s t e mu n s t a b l e i nl i g h to ft h i ss i t l l a t i o n ，t h ec o n t i n u o u s t i m e 肫q u e n c ys u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o dw h i c hh a sn o t h i n gt od ow i t h t h e s a m p l i n gt i m ew a ss t u d i e d ，i nc o n t r a s tw i t ht h ed i s c r e t e t i m e i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d ， t h ec o n t i n u o u s - t i m e 能q u e n c ys u b s p a c e i d e n t i f i c a t i o nm e t h o dc o u l di n c r e a s ea b o u t2p e r c e n tp r e c i s i o n s 1 ( e yw o r d s ：a d v a n c e dc o n 仰1 ，m a t h e m a t i cm o d e l ，m u l t i v 撕a b l e s y s t e m ，s u b s p a c e ，m u l t i p l e d a t as e t s ，c o n t i n u o u s t i m e 舭q u e n c ys u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o n 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名：劢讶若s 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大 学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可 以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： 加8 6 支。 瑚一j 哆 第一章绪论 1 1 系统辨识的定义 第一章绪论 辨识、状态估计和控制理论是现代控制论三个互相渗透的领域。辨识和状 态估计离不开控制理论的支持，而控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态 估计技术。随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛。但是，它 的实际应用不能脱离被控对象的数学模型。然而在多数情况下，被控对象的数 学模型是不清楚的，或在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控 制理论去解决实际问题时，首先要建立被控对象的数学模型。例如，为了分析、 设计一个制系统，需要建立控制系统( 生产设备或生产过程) 的数学模型：对生物 规律、药物反应或社会经济等问题进行定量分析时，也需要建立相应的数学模 型。总之，充分掌握研究对象的运动规律，在表征它们的因果关系时，确定对 应的数学模型，这是控制理论能否成功地应用于实际的关键之一。辨识正是适 应这一需要而形成的一门学科，它的理论正在日趋成熟，它的实际应用已遍及 许多领域。 所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或在正常 运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的 数学模型。这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出 数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型 而已。 建立系统的数学模型通常有两种方法：理论建模和实验建模。理论建模是 从已知的原理、定律和定理出发，通过机理分析找出系统内在的运动规律，推 导出系统的各种参数与外在用之间的解析关系一数学模型。由于这类问题的基 本规律已知，工程中也称其为“白箱( w l l i t eb o x ) 一方法。不过，白箱方法仅适 用于简单系统的建模，因为对于复杂的系统，要给出符合实际情况的合理假设 有时是十分困难的，同时模型的复杂性也会随系统的复杂性迅速增加。在一些 系统中，我们可能知道系统满足的某些基本定律，但有些机理并不是很清楚， 例如，我们利用系统特性和运动规律推导出系统的数学模型，只需对模型中的 未知参数加以确定，这实际上是一个参数估计的问题，即所谓的“灰箱( 鲜y b o x ) 建模方法。 在受到输入激励时，几乎所有的系统都会产生相应的输出响应，而这些激 励和响应信号一般都是可以测量的，实验建模就是直接从系统运行或试验中测 得数据，推算出系统的数学模型。这类方法适用于系统客观规律不清楚的情况， 北京化工大学硕士学位论文 故称其为“黑箱( b l a c kb o x ) 方法。在这种方法中，首先需要定义模型的参数 表达式，然后选用合适的辨识方法确定模型中的参数，该模型应该能准确地“解 释 实验记录数据，即模型结果与实验数据应当尽可能地一致。 实验建模( 即系统辨识) 为理论建模提供了一种很具有工程价值的替代选 择。跟通过理论分析获取系统模型的方法相比较，系统辨识得到模型仅具有有 限的有效性和使用范围，而且在一些情况下也不具有直接的物理意义。但是，这 些模型的获取相对容易，使用也较为方便，有时作用更明显。例如，应用这些 简单的模型可以使基于模型的控制系统的设计在数学上和实践上均成为可能。 当然实用中还需要解决一些问题，比如选择合适的模型结构，系统的时变性考 虑及经常被忽视的测量问题( 选择合适的传感器、采样时间及滤波问题等) 。 z a d e h 【l 】曾给系统辨识下过这样的定义：。辨识就是在输入和输出数据的基 础上，从一组给定的模型类( 1 卯eo f m o d e ls e t ) 中，确定一个与所测系统等价 的模型。 巧u n 9 2 】提出更实用的定义：“辨识有三要素：数据，模型类和准则。 辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。 用流程图表示如下： 图1 1 辨识流程 f i g 1 - 1i d c n t i f i c a t i o nn o w 2 第一章绪论 1 2 系统辨识的发展及现状 系统辨识的先导性工作可追溯到1 6 世纪德国天文学家开普勒从火星观测 数据，发现行星运动三大规律从而建立了行星运动的一种数学模型；1 8 世纪德 国数学家高斯开创性地提出的最小二乘法，奠定了系统辨识中参数估计方法的 基石。现代控制理论和电子数字计算技术的蓬勃发展，为通过试验数据建立数 学模型的系统辨识学科提供了理论和技术上的基础。 系统辨识的研究真正开始于2 0 世纪7 0 年代，并在这一时期出现了研究高 潮，3 0 多年的研究取得了大量的成果，并成功应用到实际的生产过程中。 迄今为止，己经有许多的辨识方法。这些辨识方法就其所涉及的模型形式 来说，可以分成两类【7 1 。一类是非参数模型辨识方法，另一类是参数模型辨识 法。非参数模型辨识方法( 亦称经典的辨识方法) 获得的模型是非参数模型，它 在假定过程是线性的前提下，不必事先了解模型的具体结构，因而这类方法可 适用于任意复杂的过程，工程上至今仍采用它。参数模型辨识方法( 亦称现代的 辨识方法) 必须假定一种模型结构，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数 来确定模型的参数。如果模型的结构无法事先确定，那么必须利用结构辨识方 法先确定模型的结构参数( 比如，阶次、纯延迟等) ，再进一步来确定模型参数。 这类辨识方法根据其不同的基本原理又可分成三种不同的类型：第一种称作最 小二乘法：它利用最小二乘原理，通过极小化广义误差的平方和函数来确定模 型的参数；第二种称作梯度校正法：它利用最速下降法原理，沿着误差准则函 数关于模型参数的负梯度方向，逐步修改模型的参数估计值，直至误差准则函 数达到最小值；第三种为极大似然法：它根据极大似然原理，通过极大化似然 函数来确定模型的参数。 按照系统辨识历史发展又可以分为传统辨识方法和新型辨识方法。传统的 系统辨识方法o 】包括以阶跃响应法、脉冲响应法和频率响应法等。虽然己经 发展得比较成熟，但还存在着一定的不足和局限：传统的系统辨识方法对于线 性系统的辨识具有很好的辨识效果，但对于非线性系统往往不能得到满意的辨 识结果，传统的辨识方法存在着不能同时确定系统的结构与参数以及往往得不 到全局最优解的缺点。 近年来随着智能控制理论研究的不断深入及其在控制领域的广泛应用，针 对上述方法的不足和局限，把神经网络、遗传算法、小波网络、模糊理等知识 应用于系统辨识【1 1 1 中，发展为很多新的系统辨识方法。如：基于神经网络的系 统辨识、基于遗传算法的系统辨识【9 】、基于模糊逻辑的系统辨识方法、基于小 波网络的系统辨识【1 2 1 。 3 北京化工大学硕士学位论文 1 3 多变量系统辨识的发展现状 多变量系统( m i m o ) 的辨识是6 0 年代末建立和发展起来的，在1 9 6 9 年 g o p i n a m 【1 3 】开始研究通过线性时不变多变量系统的输入输出数据来辨识多变量 系统模型，此后，b u d i n 【1 4 1 5 】在1 9 7 1 年和1 9 7 2 年、p a s s 耐【1 6 j 在1 9 7 2 年和g u p t a 【1 7 】 在1 9 7 4 年均采用状态空间模型来研究多变量系统辨识。但是由于状态空间模型 辨识在当时仅限于观测值是无噪声的，而且用来辨识多变量系统模型很耗费计 算机系统内存，即使是在辨识低阶次的多变量系统的时候，也需要很长的计算 时间。 后来，许多人把研究方向转向了采用多项式矩阵的输入输出方程来表示多 变量系统的结构的模型辨识，这样很好的解决了山于状态空间模型而引起的计 算速度慢，不利于在线应用的问题。1 9 7 5 年，g u i d o r z i 【埔】提出了利用线性多变 量系统规范型进行系统辨识的参数化方法，他建立了系统状态方程第1 型可观 规范型和输入输出差分方程规范型之间的等价关系，从而把状态方程要辨识的 结构参数同输入输出数据之间建立了直接的联系。1 9 7 6 年b i n g u l a c 等又提出了 第1 i 型可观规范型和输入输出差分方程规范型之间的等价关系，同时讨论了第 1 i 型可观规范型得结构参数和参数辨识问题。他们的土作使多变量系统的辨识 大大推进了一步。1 9 7 6 年和1 9 7 8 年，s i n h aa i l dk w o n d l 9 】，g a u m s e ra n dl 锄d a u 【2 0 】 对参数的辨识导出了递推算法，推广到有一色噪声的辨识：1 9 7 9 年，s h 谢e f a n d s i i l l l a 用随机逼近的方法对多变量线性系统的辨识进行了讨论【2 i 】：1 9 8 1 年，王 秀峰和卢贵章提出了一个确定结构指标的递推辨识算法【2 2 1 ，它不需要求行列式 值，一旦确定了子系统的结构，即可得到参数估计值，没有一重复的运算，所 需计算量比g u i d o r z i 方法大大减少。1 9 7 9 年至1 9 8 3 年，d i e k i l l a n n 推出了子模 型( s u b m o d e l s 或s m ) 、子子模型( s u b s u b m o d e l s 或s s m ) 及其递推算法【2 ”5 1 。 由于在受随机干扰的动态系统中，当参数随时间改变时，采用固定模型的控制 方案通常都不能满足控制精度的要求。1 9 8 2 年，b o k e r 和k e v i c z k y 得出了多变 量c a r m a 模型模型阶的f 检验判别法【2 6 1 ，但没有一给出a r 子阶( 自回归部分 的阶) ，m a 子阶( 滑动平均部分的阶) ：c 子阶( 受控部分的阶) 和模型时滞的判 别法；1 9 8 5 年，舒迪前等人对未知结构的多变量系统的字校正调节器和群控双 输入双输出电加热炉的土程应用进行了讨论【2 7 1 。确定了被控过程的模型结构， 并给出了一种多变量最小方差控制律的简洁算法和用指数加权递推最小二乘法 在线辨识控制器参数；1 9 8 6 年，邓自立和郭一新推广和改进了b o k e r 和l 洲c z k y 的结构辨识方法，对于多变量的c a r m a 模型，用递推增广最小二乘法【2 8 】代替 文献中【2 6 】的非递推增广最小二乘法估计模型参数，提出了模型的阶，子阶和时 4 第一章绪论 滞的f 检验判决器，进而可以得到节省参数模型，形成了对多变量c 剐u 他模 型结构的一种完整的辨识方法。1 9 8 8 年，潘立登教授又将该算法推广到同时辨 识多变量c 剐姝伙系统的模型结构和参数【踟3 1 。如果不了解系统的内部结构， 辨识的主要目的仅在于仿真和预估系统输出信号，我们采用子模型就可以达到 辨识要求：如果要求辨识其中每个系统的参数和阶次，并在生产过程中去控制该 参数和阶次，我们则要采用子子模型。但是对于目前使用的多变量预估控制， 使用相关辨识系统的脉冲响应矩阵更为合适。此后，张俊芝等提出了一种多变 量系统结构和参数的递推辨识【蚓，赖晓平等提出的一种新的m d 订o a r m a x 模 型递推预报误差( i 心e ) 算法【3 5 1 ，龙茂林等提出的具有递推性的多变量系统结 构辨识方法【3 6 1 ，丁锋等提出的线性多变量系统的联合辨识算法( c 认) 【3 7 1 ，孟晓 风等提出的多变量传递函数矩阵辨识的二级q r 分解快速递推算法【3 8 】，避免了子 系统辨识方法对可测数据的重复处理，在不扩大维数的条件下，获得使总体损 失函数最小的估计值。该算法与h o u s e h o l d e r 变换的快速递推算法结合， 不仅大大地减少了辨识所需的运算量，而且可减少l s 算法中增益矩阵计算的 误差积累和传递，提高辨识精度。 近十年来，子空间状态空间的辨识( 4 s d ) 方法用来确定多变量系统模型非 常流行【3 蝴】，尤其对于高阶系统。子空间系统辨识方法是目前确定多输入多输 出系统模型的有效方法之一，该方法比传统的方法有优越性，首先，子空间辨 识方法小需要对系统的参数有先验的知识，而仅仅知道系统的阶次即可，而且 该阶次也能够在系统辨识中由可观测矩阵的非零奇异值来决定；其次，子空间 辨识方法是非叠代的，没有非线性最优部分的卷入，在数值计算方而是一种优 良的算法；再次，子空间辨识方法对于零初始状态和非零初始状态的辨识没有 区别，不需要初始状态额外参数的卷入。此外，该方法对于辨识多变量系统与 单变量系统一样简单。当前最有影响的子空间状态空间辨识方法有i ，a r i m o r e 提 出的c 、，a 【4 3 1 ，( c 锄o i l i c a l a t c 舢l a l y s i s ) ，v e 曲a e g 既和d e 、7 i r i l d e 提出的 m o e p s l 4 引，( m u l 位v 撕a b l eo l 】t p u te 玎o rs t a t es p a c e ) 以及mo v e r s c h e e 和 d e m 0 0 r提出的n 4 s 卫d 1 3 卅( n u m e r i c a ls u b s p a c e s t a t e s p a c es y s t e m i d e n t i 丘c a t i o n ) 。j i l l sj o eq i n g 又提出了主元分析子空间辨识法【5 l 】。同时， 连续时间辨识法也在不断的发展【5 2 彤】。 随着智能控制理论研究的不断深入及其在控制领域的广泛应用，针对上述 方法的不足和局限，把神经网络、遗传算法、小波网络、模糊理等知识应用于 系统辨识【l l 】中，发展为很多新的系统辨识方法。随机数搜索法( n u ) 也可以 用于多变量系统的辨识。 5 北京化工大学硕士学位论文 1 4 论文主要内容安排 本人根据前人的研究成果，在查阅有关的文献资料，掌握系统辨识的理论 后，自己做实验验证其中一些系统辨识算法，深入理解离散时间子空间辨识方 法、连续时间频域子空间模型辨识算法，掌握其算法的实现；然后分析了离散 时间辨识法存在的一些缺陷，用实例说明了两类辨识方法的优缺点。具体来说， 是按以下的编排方式来组织论文的： 第一章：绪论，主要叙述了系统辨识的一些基本概念，系统辨识的发展现 状，多变量辨识发展现状等。 第二章：介绍了阅读本论文以及论文本身需要掌握和用到的一些数学知识 概念，及一些基本的控制知识。 第三章：分析总结了子空间辨识法的基本原理，三种基本子空间辨识法的 统一问题，然后对其中的n 4 s d 法在辨识确定性和联合系统的具 体算法总结出来了，并用实例验证了此辨识法的有效性。 第四章：针对实际情况，给出了在不同条件下测得的数据怎样来更有效的 辨识系统的多数据组子空间辨识法。 第五章：分析给出了离散时间辨识存在的一些缺陷，给出了连续时间辨识 法的具体算法，最后用例子说明了两种辨识法的优越性。 第六章：总结了全文，并对研究中存在的问题和展望给出了一些说明。 6 第二章子空间投影理论及其模型转换 2 1 概述 第二章子空间投影理论及其模型转换 子空间辨识算法的基础是几何投影理论。这一章我们将引入这些基本概念： 正交投影、斜向投影、主角及其方向，奇异值分解等。为了求解随机性和确定 随机性混合辨识问题，我们进一步将这些概念扩展到统计分析的框架。最后给 出状态空间和传递函数之间的相互转化知识 首先，我们假设给定矩阵彳尺p ”，召足9 “，c 月“，( 仅限于本章的 局部变量) 且这些矩阵的一个行元素被认为是与j 维闭空间的一个向量等价。 在该闭空间上，每一个矩阵( 彳，曰，c ) 的行都定义了一个线性向量的基。 子空间辨识通过特定矩阵的行空间投影运算来揭示系统的一些特性。而这些投 影运算可以很方便的由l q ( 或r q ) 分解来实现。 2 2 子空间辨识算法中所用的一些知识 2 2 1 奇异值( s v d ) 分解 所谓的奇异值分解就是将聊刀的实矩阵a 分解为如下形式： a = u s y ，= u 詈三 矿， = 咖( 万l ，万2 ，万p ) ， 其中( ，为朋m 的正交矩阵，y 为以刀的正交矩阵， 经s v d 分解后 u ：p 7 0 5 - 0 石3 7 5i ，s ：1 5 5 7 6 5 o l ，u = i l ，s = ll ， io 6 3 7 5 0 7 7 0 5i l o1 5 4 0 8l 矿= 瞄二篙1 矿= li io 7 2 3 1o 6 9 0 7i 2 2 2 正交( q r 或l q ) 分解 所谓的正交分解【5 5 1 就是将m 刀的列线形无关的实矩阵a 分解为如下形式： 7 阵矩如 o 、j值 异 奇 的a 为 0 一ij p 8 8 万 一 9 6 p。l = i a 以 一 北京化工大学硕士学位论文 彳= 鲫，其中q 为朋肌的正交矩阵，r 为刀甩的上三角矩阵。如矩阵 a = 醐 经q r 分解后 q = 二篇 2 2 3 正交投影 尺：l - 1 n 8 1 6 7 _ 1 1 0 9 4 0 1 l o 2 2 1 8 8 l 矗表示一个向量的行空间在矩阵曰r 铲7 的行空间上的投影算子： 出， 兀口三b r ( 肋r ) + 召( 2 1 ) 式中+ 表示矩阵的m o o r e p 锄s e 伪逆。矩阵a 的行空间在矩阵b 的行空间 上的投影简记为加： 竺棚_ = 仰，( 胎r ) + 曰 n 占是将一个矩阵行的空间投影到矩阵b 的行空间的正交补上的几何算子： 曰上竺彳兀矿( 2 3 ) 这里， 。- 2l 一口 它们之间的运算关系如下图所示： a | b l a lbb 图2 - l 投影算子在j 维空间中的说明 f i g 2 _ li n t q 鹏t 撕o f l h eo n h o g o n a l 州e c t i o 璐i nm e j d i m e 蚺i o n a ls p a c e 第二章子空间投影理论及其模型转换 由算子可将矩阵a 分解成两个行空间正交的矩阵 彳= 彳n 暑+ 彳n | 上( 2 4 ) 同时利用该投影矩阵也可以将a 分解成b 的行岛和b 的正交补的行。的 线性组合： d 可 厶b = 彳兀扩( 2 5 ) 阿 - 曰上= 彳n 矿( 2 - 6 ) 于是 彳= 三日b + 三矿曰上( 2 - 7 ) 2 2 4 斜向投影 阵曰和c 以及曰和c 的正交补的线性组合： 矩阵彳的行被分解成占，c 以及正交与曰和c 的第三矩阵的行的线性组合 可表示为： 彳= 厶召+ k c + 乞。c ( 考) 上q - 8 ， 定义矩阵l c c 为4 的行空间沿b 的行空间在c 的行空间上的斜向投影 b 竺k c ( 2 9 ) 彳的行空间沿曰的行空间在c 的行空间上的斜向投影也被定义为： 南m 假嚣卅一c 斜向投影也可以解释为：彳的行空间正交的投影在口和c 的相交行空间上， 并沿c 的行空间分解投影结果。 斜向投影的一些特性： c = o ( 2 - 1 1 ) c = c ( 2 1 2 ) 9 北京化工大学硕士学位论文 这两个特性可以用来定义斜向投影，即满足( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的任何运算 就是斜向投影。 斜向投影的具体情况如图2 2 所示： 2 2 5 统计工具 c 图2 2 斜向投影说明 f i g 2 - 2h t e 嘞矗o no ft l l eo b l i q u e 州c c t i o 鹪 f = 面，我们将把统计假设和几何特性联系起来，子空间中许多证明和论述 都要用到这些特性。它们说明了子空间辨识算法为什么适用于大量数据。 考虑两个所给序列巩尺和气尺，忌= o ，l ，2 ，歹。序列气是均值为零， 独立于的序列，即满足： e k 】= o ( 2 1 3 ) 5 k 气7 | - o ( 2 1 4 ) 在子空间辨识中，典型的假设是可以获得长的时间序列( j f 专o o ) ，并且要 求该序列是各态历经的。由于各态历经性和数据的无穷性，我们可以用适合于 求变量和的算子目来代替平均算子e ，q 的定义如下： q 萨姆抄( 2 1 5 ) 于是以r 和尺的相关性可由下面的方程求得： l o 第二章子空间投影理论及其模型转换 e k 气r 】= 对，r h 和 2 舶， 这个方程是子空间方法的核心。 例如，考虑仇的输入序列“。，气是干扰。假设得到了一个各态历经的无穷 数据叱和气，而且它们是相互独立的，我们会发现： z?，；妻t。t；。，=。，2-7， 将数据置于行矩阵中： “竺0 幽”a ( 2 - 1 8 )“= o “l “2 “，j ( 2 - 1 8 ) 叼，、 p = 白p 2 p jj ( 2 - 1 9 ) 由式( 2 1 6 ) 可得 易k 口r 】= o ( 2 2 0 ) 这表明输入向量“垂直于噪声向量e ，在几何上可以表述为干扰项的行向量 和输入项的行向量相垂直。这一特性可在子空间辨识中用来消除噪声的干扰。 例如，将噪声投影于输入上就能消除它； q 睢“们= o ( 2 2 1 ) 2 3 模型转换 2 3 1 化传递函数为状态方程 1 单输入单输出情况( s i s o ) 根据传递函数或传递函数阵来建立在输入输出关系上与之等价的状态空间 方程，这样的问题称为实现问题。首先考虑单输入单输出情况： 设s i s o 系统的传递函数为 吣) ：黑：# 生芷l ( 2 - 2 2 ) 、7 【厂( j ) j “+ 口l j ”1 + + 口n l s + 口h 、7 化为能控型实现为： j = 出+ 曰“( 2 2 3 ) y = c k ( 2 - 2 4 ) 北京化工大学硕士学位论文 其中 彳= 0 ： ，一 0 一口 一口一l一口l ，召= 【oo 1 r ， r c = 阪吒一6 ij 即满足 矿( s ) = c ( 盯一彳) - 1 曰( 2 2 5 ) 若分子与分母的有相同的阶次，只要作一次多项式除法即可化为相应的能控型。 2 单输入多输出( s 订o ) 或多输入单输出( m o s i ) 情况 5 6 】 首先考虑s m o 系统。设输出量的个数为r ，并假设已知相应的传递函数阵 为 一除一捌7 犯啪， 设d ( j ) 为所有传递函数分母口，( s ) o = 1 ，) 的最小公倍式，则上式可以重写为 形( s ) ：堕! 坠：唑! r d ( j ) 其中吩( s ) = 岛( s ) d ( j ) q ( s ) ，扣1 ，。令 及 瓣鬻2 亓矿 而 x 2 ： 矗 毛 z z ( 一一1 ) 则上式可化为相应的状态方程为 j = 彳z + 曰“( 2 - 3 0 ) 其中 1 2 第二章子空问投影理论及其模型转换 彳= 0 ； o l 0 一d 。一d 。_ i 一面 ，曰= 【oo 1 r 根据式( 2 2 7 ) 的传递函数阵及式( 2 - 2 8 ) ，有 驰) = 筹) 铂z 却一+ 棚一棚批( 2 - 3 1 ) f = l ， 对上式求拉氏反变换并参考式( 2 - 2 9 ) 得到 ) ，j = 刀订z ( - 1 ) + + 弗j 。一l 三+ 以加z = k n 万，。一l 刀妇k ( 2 3 2 ) f = l 。， c 仨吲 对多输入单输出的情况类似推导可得，它的矩阵( 才，面，刁) 与s m o 系统 彳= 彳r = o o d 。 一d 一l l l i 一盔 h 以。 硅2 卜叫。j ( 2 3 5 ) 石= b r = 【o o1 】( 2 - 3 6 ) 3 多输入多输出情况( m m o ) 【5 6 】 1 3 、， c jc j 1 二 ，i = 为 y 口 甘【5 式形阵矩成写式 上 中 将 其 北京化工大学硕士学位论文 邪) = 等( 2 - 3 7 ) 其中d ( s ) 是所有传递函数的公分母，且有 ( s ) = l j 卜1 + + 0 l j + 矗( 2 3 8 ) 这里f o = 1 ，刀) 为，m 常阵。则对应于传递函数形( s ) 的能控性实现( 彳，b ， c ) 为 彳= 彳0l 专刀m 朋啊 曰= 曰0 l 专以m ，珊( 2 3 9 ) c = d l 0 。l 】j ，刀掰 其中， 彳= j l - l 0 一d 。一d 。一l一d l ，口= 【oo l r 上面所得到的状态方程一般不是所给传递函数的最小实现。 下面介绍一种能直接求得形( s ) 最小实现的卡尔曼海曼算法。 设给定，研传递函数矩阵仍如式( 2 - 3 7 ) 所示，其中d ( s ) 为形( s ) 各元素分母 的最小公倍首一多项式。并设形( s ) 各元素的分子的阶次均小于相应分母的阶 次。 第一步，将形( s ) 变换成史密斯麦克米兰( s i n i t l l m 锄i 1 1 趾) 标准形。 ( j ) = d ( s ) 矿( s ) 为多项式矩阵，d ( s ) 形( s ) 可变成如下的史密斯标准形 d。s，形。s，：p。s，l口1l口2(s)口，二、。 o0 q ( s ) ( 2 _ 4 0 ) 其中，为多项式矩阵d ( s ) 肜( s ) 的秩，口。0 ) ，口：( s ) ，口，0 ) 是d ( s ) 形( s ) 的不 变因子。 将( 2 - 4 0 ) 两边除以d ( j ) ，若口，( j ) d ( j ) 的分母和分子有公因子，将其消去， 1 4 第二章子空间投影理论及其模型转换 并写成q ( s ) d 0 ) = 以，( j ) 吐( s ) 的既约形式。 这时根据式( 2 - 4 0 ) ，传递函数阵形( j ) 可以表示成 忡m s ，p 式( 2 4 1 ) 便称为矿( j ) 的史密斯一脉克米兰标准形。 三 第二步，在形( s ) 的史密斯脉克米兰标准形( 2 - 4 1 ) 中，取出对角元素的真分 式部分。令 “加器= 击等毪犯也， 毋( s ) 是标量传递函数，利用前面介绍的方法，可以很容易求出它的最小实现 ( 互，豆，己) 。如用如下的能控标准形 一口l f ( 2 - 4 3 ) ( 2 - 4 4 ) 6 l ，】。( 2 4 5 ) 第三步，利用在第二步中求出的，个最小实现( 互，毒，莓) ，f = 1 ，2 ， ，令 么= o 1 5 0 、，一、，嘞一4 0 o 一0 q 卜 一 1 _ 飞 叫 o ；o o 一 月 卜l h r b = = i i 4 e q 北京化工大学硕士学位论文 曰= c = o c 1 0 0 0 b l o g g 0 设式( 2 4 1 ) 中的p ( s ) 和q ( s ) 表示为 尸( j ) ：圭只j ， ， q ( s ) ：壹q 。s ， l = lf = l 其中毋( 江l ，) 和q ( 扛l ，厶) 均为常数矩阵。 第四步，取 彳：彳，口：圭互百q ，c ：圭p ，叠趸( 2 4 9 ) 扭l扭l 则( 彳，曰，c ) 便是矿( j ) 的一个最小实现。 2 3 2 化状态方程为传递函数 设系统的状态方程为 戈= 血+ b “( 2 - 5 0 ) y = q 。( 2 - 5 1 ) 其中x 为n 维向量，“为所维向量，y 为，维向量。不难求得相应的传递函数矩 阵为 形o ) = c ( 豇一彳) - 1 b ( 2 5 2 ) 其中矿( j ) 为，m 传递函数阵。 现在主要的问题就是求解矩阵逆的方法，下面介绍计算( 豇一么) - 1 的 l e v e 仃i * f a d d e e v a 算法。设 1 6 第二章子空问投影理论及其模型转换 。 c 小班掣茅2 嚣一， 并设 ( s ) = s 4 + 口l s “一1 + + 口。一l j + 口( 2 5 4 ) 尺( s ) = 墨s ”一1 + + 尺。- l s + r 。( 2 5 5 ) 其中( 后= 1 ，n ) 是标量，见( 后= 1 ，n ) 是疗刀矩阵。则口i 和心 可由下列迭代公式算出 f r l = ， cz。：=丢矿(4r。)，j=l，2，尹t(256) | - 尺七= 么尺七一l + 口七一l j ，后= 2 ，刀 利用上述迭代公式即可按如下次序依次计算出： 置专口l 寸尺2 专a 2 专一心口d 在算得( 盯一彳) - 1 后，即可按( 2 5 2 ) 计算形( s ) ，即 形0 ) = c ( 豇一彳) - 1 口 ：c ( ；型塑掣l 归 、s ”+ 口l j 4 一l + + 口 一l j + 口 = 志b 胪1 + + 锨一西+ 凹。叫 = 芸s k j 护l + + 只一t s + 只】( 2 5 7 ) 其中 最= c r t 曰，后= 1 ，”，以( 2 - 5 8 ) 上述连续情况的状态方程与传递函数之间的变换的算法和程序均可原封不 动地适用于离散系统。 1 7 第三章开环系统子空间辨识 第三章开环系统子空间辨识 3 1 子空间辨识方法概述 最近十多年来发展起来的子空间模型辨识方法( s m i s u b s p a c em o d e l i d 锄t i f i c a t i o n ) 是辨