（基础数学专业论文）超空间拓扑动力系统的拓扑熵及变参数动力系统的研究.pdf

中文摘要 本文研究了两个问题：( 1 ) 拓扑动力系统的拓扑熵e n t + ( ，) 与它所诱导的超 空间拓扑动力系统的拓扑熵e n t + ( 7 ) 之间的关系，( 2 ) 变参数动力系统的动力学 性质本文的具体安排如下： 在第一章中，我们先简要的介绍了动力系统和变参数动力系统的概念及研 究内容，然后介绍了刻画动力系统动力性状和复杂性的概念，阐述了拓扑熵、 传递性、混沌理论的研究背景、发展现状及它在动力系统其它方面研究中的应 用，最后介绍了超空间的研究背景和研究现状 在第二章中，我们在文【1 】定义的拓扑熵e n t + ( ，) 下，讨论了底空间拓扑动 力系统的拓扑熵e n t + ( ，) 与它诱导的超空间拓扑动力系统的拓扑熵e n t 4 ( 7 ) 之 间的关系证明了底空间拓扑动力系统的拓扑熵e n t + ( 。厂) 不大于超空间拓扑 动力系统的拓扑熵e n t + ( 7 ) ；还证明了在一定条件下，当底空间拓扑动力系统 的拓扑熵大于零时，超空间拓扑动力系统的拓扑熵为无穷大这两个结论分 别与文【2 】2 、 3 】中作者在紧致度量空间中讨论的关于底空间拓扑动力系统 的a d l e r 拓扑熵与相应的超空间拓扑动力系统的a d l e r 拓扑熵的大小关系一 致而文【1 】中定义拓扑熵e n t + ( ，) 时，不要求拓扑空间的紧性和度量性，本文 的这两个结果使得在非紧致且非度量空间中，通过底空间拓扑动力系统的复 杂程度预知超空间拓扑动力系统的复杂程度成为可能本章我们还得出了拓 扑熵e n t + ( ，) 的一些新的性质：( 1 ) 在拓扑半共轭下，因子的拓扑熵不大于扩 充的拓扑熵；( 2 ) 在一定条件下，k 个拓扑动力系统作笛卡尔积所得拓扑动力 系统的拓扑熵为原拓扑动力系统拓扑熵的k 倍，即e n t 宰( - 厂妯) = k e n t 木( ，) ； ( 3 ) e n t + ( ，妣) = e n t 木( ，+ 七) 拓扑熵e n t + ( ，) 的这些性质与紧致空间中a d l e r 拓 扑熵和度量空间中b o w e n 拓扑熵的性质一致 在第三章中，我们在文f 4 ，5 】的基础上，提出了变参数动力系统拓扑强 混合、拓扑弱混合以及变参数动力系统的生成子、扩张的概念：证明了变 参数动力系统拓扑强混合蕴含拓扑弱混合，进而蕴含拓扑传递：证明了：如 果( x ，尸) ，( g ) 为两个变参数动力系统，f 与g 拓扑半共轭，且f 两两可交 换，g 两两可交换，它们均为同胚映射，那么f 拓扑强混合( 拓扑弱混合，拓 扑传递) ，则g 也有同样的性质；本章还证明了变参数动力系统( x ，f ) 拓扑强 混合蕴含f 在修改的意义下d e v a n e y 混沌；在此基础上得出了：如果变参数 动力系统( x ，f ) 与变参数动力系统( vg ) 拓扑半共轭，它们都两两可交换，并 且它们均为同胚映射，那么f 在修改的意义下d e v a n c y 混沌当且仅当g 在 修改的意义下d e v a n e y 混沌；得出了f 有生成子当且仅当f 有弱生成子；如 果f 是扩张的，则f 有生成子这些结论与文6 1 中离散拓扑动力系统的结论 一致，从而拓广了变参数动力系统的研究范围 关键词 拓扑熵，传递性，d e v a n e y 混沌，超空间 1 1 a b s t r a c t ( 英文摘要) i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt w op r o b l e m s ：( 1 ) t h er a l a t i o n s h i p so f t o p o l o g i c a le n t r o p ye n t + ( 厂) b e t w e e nt h eo r i g i n a lt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m a n di t sh y p e r s p a c ed y n a m i c a ls y s t e m ，( 2 ) t h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fv a r i a b l e - p a r a m e t r i cd y n a m i c a ls y s t e m t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eo r i g i n ，d e v e l o p m e n ta n dm a i nc o n t e n t so ft h e t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e ma n dt h ev a r i a b l e - p a r a m e t r i cd y n a m i c a ls y s t e ma r e p r e s e n t e d ，a n ds o m ec o n c e p t sw h i c hc h a r a c t e r i z et h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e sa n d c o m p l e x i t yo ft h et o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e ma r ei n t r o d u c e d t h e nt h eb a c k - g r o u n d ，s t a t u sa n da p p l i c a t i o n so ft o p o l o g i c a le n t r o p y , t r a n s i t i v i t ya n dc h a o s t h e o r ya r er e c o m e n d a t e d f i n a l l y ，w er e t r o s p e c tt h eb a c k g r o u n da sw e l la st h e s t a t u so ft h eh y p e r s p a c ed y n a m i c a ls y s t e m i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef o c u so u ra t t e n t i o no nt h er a l a t i o n s h i p so ft o p o l o g - i c a le n t r o p ye n t + ( 川1 】b e t w e e nt h et o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e ma n di t si n d u c e d h y p e r s p a c es y s t e m a n dw ep r o v et h a tt h et o p o l o g i c a le n t r o p yo fb a s em a pi s n o tm o r et h a nt h eh y p e r s p a c e 8 w ea l s og e tt h a t ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ， i ft h eb a s em a ph a sp o s i t i v et o p o l o g i c a le n t r o p yt h e nt h ec o r r e s p o n d i n gh y p e r - s p a c em a ph a si n f i n i t et o p o l o g i c a le n t r o p y t h e s er e s u l t sc o i n c i d er e s p e c t i v e l y w i t ht h ec o n c l u s i o n si np a p e r 2 】a n d 3 】，i nw h i c ht h ea u t h o ri n v e s t i g a t et h e r e l a t i o n s h i p so ft o p o l o g i c a le n t r o p yd e f i n e db ya d l e rb e t w e e nt h eo r i g i n a lt o p o - l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e ma n d i t sh y p e r s p a c ed y n a m i c a ls y s t e mi nc o m p a c tm e t r i c s p a c e h o w e v e r ，t h et o p o l o g i c a le n t r o p ye n t 牛( ，) d o e sn o tr e q u i r ec o m p a c t n e s s a n dm e a s u r e m e n t ，t h e r e f o r et h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sc h a p t e rm a k ei tp o s s i b l e t op r e d i c tt h ec o m p l e x i t yo ft h eh y p e r s p a c ed y n a m i c a ls y s t e mt h r o u g ht h ec o i n - p l e x i t yo ft h eo r i g i n a ld y n a m i c a ls y s t e mi nn o n c o m p a c ta n dn o n - m e t r i cs p a c e n 1 i na d d i t i o n ，w eo b t a i ns o m en e w p r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a le n t r o p ye n t ( ，) ：( 1 ) i f o n et o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e mc o n j u g a t ew i t ha n o t h e r ，t h e nt h et o p o l o g i c a l e n t r o p yo ft h ef a c t o ri sn o tm o r et h a nt h et o p o l o g i c a le n t r o p yo ft h ee x p a n s i o n ； ( 2 ) e n t + ( ，七) = k e n t 奉( ，) ；( 3 ) e n t + ( ，七) = e n t 幸( ，奉) t h e s ep r o p e r t i e sa r ec o n - s i s t e n tw i t ha d l e rt o p o l o g i c a le n t r o p yi nc o m p a c ts p a c ea n db o w e n t o p o l o g i c a l e n t r o p yi nm e t r i cs p a c e i nt h el a s tc h a p t e r ，o nt h eb a s i so ft h e o r i e si np a p e r 【4 ，5 】，t h en o t i o n so f s t r o n gm i x i n g ，w e a km i x i n g ，g e n e r a t o ra n de x p a n s i o no ft h ev a r i a b l e - p a r a m e t r i c d y n a m i c a ls y s t e ma r ei n t r o d u c e d ，i tt u r n so u tt h a ti nv a r i a b l e - p a r a m e t r i cd y - n a m i c a ls y s t e ms t r o n gm i x i n gi m p l i e sw e a km i x i n ga n dt h e ni m p l i e st r a n s i t i v i t y ； i ti sp r o v e dt h a ti f ( x ，f ) a n d ( vg ) b o t ha r ev a r i a b l e - p a r a m e t r i cd y n a m i c a ls y s - t e r n ，fc o n ju g a t e sw i t hg ，t h em e m b e r so ffa r ec o m m u n i c a t ew i t he a c ho t h e r a n dt h em e m b e r so fga r ea l s oc o m m u n i c a t ew i t he a c ho t h e r ，w h a t sm o r e ，t h e y a r eb o t hh o m e o m o r p h i s m ，t h e nfi ss t r o n gm i x i n g ( w e a km i x i n g ，t r a n s i t i v i t y ) i m p l i e sgh a st h es a i n ep r o p e r t i e s ；f u t h e r m o r e ，w ep r o v et h a tfi ss t r o n gm i x - i n gi m p l i e sfd e v a n e yc h a o si nt h es e n s eo fm o d i f i c a t i o ni nv a r i a b l e - p a r a m e t r i c d y n a m i c a ls y s t e ma n dt h a tfd e v a n e yc h a o si nt h es e n s eo fm o d i f i c a t i o ni fa n d o n l yi fgd e v a n e yc h a o si nt h es e n s eo fm o d i f i c a t i o nw h e n ( x ，f ) s e m i c o n j u g a t e w i t h ( g ) a n dt h e yb o t ha r ec o m m u n i c a t ea n dh o m e o m o r p h i s m ；a tl a s t ，w e i l l u s t r a t et h a tfh a sg e n e r a t o ri fa n do n l yi fi th a sw e a kg e n e r a t o r ，a n dw ea l s o p r o v et h a ti ffi se x p a n s i o n ，t h e nfh a sg e n e r a t o r t h e s er e s u l t sc o n c i d ew i t h t h et h e o r i e sp r e s e n t e di np a p e r 6 】6a n df u r t h e re x t e n dt h es c o p eo ft h er e s e a r c h o nd i s c r e t es y s t e m k e y w o r d s t o p o l o g i c a le n t r o p y , t r a n s i t i v i t y , d e v a n e yc h a o s ，h y p e r s p a c e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解两北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适, r t t 本声明。 学位论文作者签名： 雍日氢垒毫指导教师签名： 州年；日 卟6 玛| 6 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导帅指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 同_ _ _ - r _ 4 4 - - 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 家貔倩 9 , o o t 年与具| ；b 西北火学硕i 学位论文 第一章绪论弟一早 三百1 = 匕 1 1 动力系统及变参数动力系统简介 一般来说，世界上的任何一个随时间演化的过程都是一个动力系统，例如， 天气就是一个巨大的动力系统，其中温度、气压、风向、风速及降雨量反映 了天气系统的状况，它们都是随时间变化的变量动力系统的研究起源于牛顿 的经典力学，牛顿力学的基本任务是研究物体的运动轨道，也就是要研究其位 移随时问变化的规律在牛顿的理论中，一个系统的运动规律完全由一簇以时 间为参数的微分方程所决定，在牛顿的“p r i n c i p a 出版后的两个世纪里，动 力系统学的研究是作为微分方程理论的一部分去发展的，其中最具有挑战性 的问题是将牛顿的理论应用到行星运动，即n 一体问题然而，十八、十九世纪 的所有分析工具却对行星运动的许多问题束手无策p o i n c a r 百【7 】于十九世纪 八十年代开创了微分方程定性理论的研究，为这一问题提供了解决的思路，使 人们在动力系统学研究观念上发生了根本性的变化这种理论无需求助于微 分方程的解，而是通过对状态空间的分析来推断解的性质或具有某种属性解 的存在性和稳定性二十世纪早期，b i r k h o f f 【8 】在继承并发展p o i n c a r g 工作 的基础上，为这一学科建立了大范围的理论框架，使动力系统一词首见于其专 著k r y l o v 和b o g o l i o u b o v 9 1 的工作使得动力系统成为一个独立的研究对象 从二十世纪六十年代初开始，动力系统迅速活跃起来，新的研究方向相继产生 目前，动力系统人致可分为：微分动力系统、h a m i l t o n 动力系统、拓扑动力系 统、复动力系统、遍历论、随机动力系统等若干方向 1 0 1 一般而言，动力系 统研究的主要问题有i l i ：轨道长时间的渐进性质，如极限点集、非游荡点 集、周期点集等；轨道在相空间中的稠密性，如极小性、拓扑传递性、拓扑混 合性等；动力系统的整体性质，如全局吸引子等；动力系统的拓扑分类与结构稳 定性，如双曲不动点和双曲不变集的稳定性；动力系统的复杂性，包括几何复杂 性，如混沌、分形，以及动力学复杂性，如拓扑摘、l i a p u n o v 指数等 1 第一章绪论 为了叙述方便，我们先介绍一个定义： 定义1 1 【6 】：设，：x x 是集合x 到自身的一个映射，记 厂n ( z ) = ，o ，几一1 ，o ( z ) = z ， 称，礼( z ) 为i ( x ) 的礼次迭代 从上述定义可见，f o = i d ，当扎2 时，n = p _ 1o ，其中i d 表示恒 同映射 如果厂是拓扑空间x 上的连续自映射，其迭代构成了一个离散拓扑半动 力系统 广：钆4 ) ，如果，在拓扑空间x 上同胚，则其迭代构成一个离散 拓扑动力系统 广：i t z ) 如果x 为紧致度量空间，厂为x 上的连续自映 射，则称离散拓扑半动力系统 厂n ：扎4 ) 为紧致系统对x 和，加上可 微性条件，可以定义离散微分动力系统或半动力系统，也可以定义连续动力系 统( 即流) 关于离散拓扑动力系统，现有大量文献研究他们的性质，如传递一| 生 1 2 - 1 6 】， 混合性【1 4 ，1 7 ，18 | ，拓扑熵【2 ，1 蚴1 l ，混、沌【1 2 1 4 ，1 8 , 2 2 , 23 i ，稳定 2 4 1 ，分形【2 5 】，随机变 量模拟【2 6 1 ，振动【2 7 j ，同步f 2 8 】及控制【2 9 】等不难看出，这些成果只是讨论了含有 固定参数映射的动力性状例如，一维离散动力系统 z n + 1 = ，( 肛，x n ) ，礼= 0 ，1 ，z 竹i( 1 1 ) 其中，是实数集同拘一个子集或圆周，“为固定参数 2 0 0 6 年田传俊，陈关荣【4 l 提出了变参数动力系统的概念其定义如下： 定义3 1 【4 】：设( x ，d ) 为紧致度量空间，f = ) 脞1 为x 上的连续映射 序列，即f k ：x _ x 为连续映射，k = 1 ，2 ，对任意x 0 x ，定义x l = ( z o ) ，x 2 = 厶( z 1 ) ，x n + 1 = + 1 ( z n ) ，佗= 0 ，1 ，2 ，则称( x ，f ) 为变 参数动力系统，序列o ( x o ) = z n ，器。为x o 在 ) 罂1 作用下生成的轨道 为方便起见，对序列f = ) 芒1 ，记凡：x x ，k = 1 ，2 ，为： v x x ，f k ( z ) = f k ( 一1 ( ( z ) ) ) = oa 一1o o l ( z ) 则x l = f l ( z o ) = r ( z o ) ，z 2 = 尼o f l ( x o ) = 足( z o ) ，z n = 厶o 一10 of 1 ( x o ) = r ( z o ) ， 2 西北人学硕_ 学位论文 对于变参数动力系统，尽管对其振动、稳定、伪随机等性质已有诸多研究， 但对变参数动力系统的传递性、混合性、拓扑共轭及混沌的理论和应用研究在 文献中极为少见田传俊、陈关荣在文【4 ，5 】中对变参数系统的混沌理论进行 了探讨，给出变参数混沌理论的一般概念，并且构造出了几个变参数混沌系统 1 2 几个刻画动力系统动力性状和复杂性的概念 1 2 1 拓扑传递与混沌 拓扑传递性是动力系统的一个全局性特征，它也是系统复杂性的一种描述 拓扑传递性概念的产生可追溯n - 十世纪二十年代b i r k h o f f 关于动力系统的 学术论文中直观地说，拓扑传递的动力系统具有一个点( 或说是一个状态) ，它 在系统的作用下在空间中到处穿行，即系统过这点的轨道在状态空间中稠密 因此，这样的系统是不可分解的，即它不可表示成为两个互不相交的闭不变集 之并这表明，若对这样的系统进行理论分析的“解剖学”的方法将是失效的 因此，必须整体性地来进行考虑拓扑传递性另一概念产生的实际根据我们可 以想象为一个物理系统给定这个物理系统一个初始状态，由于它是通过测量 而得到的，因此是有误差的，所以，它实际上是在指定的误差范围下给定的这个 初始状态，即给定一个初始状态实为给定了一个范围，用数学的语言说就是一 个开集人们希望研究，这个开集在系统的作用下在状态空间中是如何运动的 类比极小性的每个状态在系统的作用下将进入到状态空间中任意开集中于是 就产生了如下性质的捕述：对于状态空间中任意给定的开集，它在系统的作用 下将走访任意开集具有这个性质的系统就称为有拓扑传递性一般说来，上述 两种定性描述的拓扑传递性并不是等价的然而，在对状态空间加一些限制( 例 如没有孤立点的完备可分的度量空间) 时，它们就是等价的 定义1 3 【1 6 】：设( x ，) 为拓扑动力系统，对任意非空开集uy ，存在n 0 ， 使，n ( ) nv 1 2 j ，则称系统( x ，) 或映射，为拓扑传递的 定义1 4 6 】：设( x ，厂) 为拓扑动力系统，如果存在x x ，使得o r b ( x ) = x ， 3 第一章绪论 则称系统( x ，厂) 或映射，为拓扑点传递的 拓扑传递和拓扑点传递是不同的概念，如果x 没有孤立点，则点传递推出 传递：而如果x 为可分的第二纲集，则传递推出点传递 从系统的复杂性描述来说，拓扑强混合揭示的是比拓扑传递性更为复杂的 动力行为这是因为拓扑强混合蕴含着拓扑弱混合，而拓扑弱混合蕴含着拓扑 传递性及对初值的敏感依赖性一般说来，它们的反面是不对的 拓扑动力系统中一个重要的方面就是研究系统的混沌性然而，在二十世 纪六十年代以前，确定论是科学研究的主导思想人们认为只要有精确的数 学模型和初值，我们就可以预知未来，反演过去但是随着气象学、生态学、 天体力学等自然学科中许多自然现象的发现，人们才逐渐意识到随机性和不 可确定性的重要到y 2 0 世纪五六十年代，混沌现象在众多的学科领域中被发 现2 0 世纪7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代尽管如此，数学界并 没有一个明确的关于混沌的概念，直至1 1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和美国数 学家y o r k e 在 a m e r m a t h m o n 上发表了一篇论文“p e r i o dt h r e ei m p l i e s c h a o s ” 2 3 1 他们首次给出了严格的混沌数学定义，并得到了如下的混沌判定 定理 定理1 1 ：设，为区间，：i _ ，为映射如果存在一点a i ，满足 d a c ) ， 其中b = ，( n ) ，c = f 2 ( o ) ，d = f 3 ( o ) 则 ( i ) 对每一个k = 1 ，2 ，在，上都有一个k 一周期点； ( i i ) 存在一个不可数集合s ，它不含周期点且满足如下条件： ( a ) 对任意p ，q s ，p q 有 l i m i n ff ，n 白) ，厂见( 口) i = 0 ，l i r a s u pl f n ( p ) ，f n ( 口) l 0 ， 扎。o o 礼_ 。o ( b ) 对任意p s 和任意周期点q ，有 l i ms u pi i 厂几( p ) ，厂n ( 口) i 0 n - - + o o 4 西北入学坝t j 学位论文 这个定理表明系统处于一个十分复杂的状态：s 中任意两个点的轨道时而 分离时而无限地接近，而且彳、= 趋向于任何周期轨道李天岩和y o r k e 称这种由 映射迭代构成的确定性系统所产生的不稳定性为混沌具体地说，他们称上述 定理中( i i ) 所定义的集合s 为混沌集，称具有这种混沌集的动力系统混沌 在混沌的研究中，不同领域的科学家对混沌做出不同的理解和定义，如在 二维映射中以是否出现“马蹄 或是否有横截同宿点来定义，在光滑系统中常 以l y a p u n o v 特征指数来判断是否混沌【3o l ，但是这些定义中的大多数都基于轨 道的不稳定性或对初值的敏感依赖性1 9 8 9 年，d e v a n e y 3 1 】以初值敏感依赖为 核心定义了一类重要的混沌 定义1 5 ：称拓扑动力系统( x ，厂) 是d e v a n e y 混沌的，如果它满足： ( 1 ) ，拓扑传递， ( 2 ) ，的周期点集在x 中稠密， ( 3 ) 厂对初值敏感依赖 b a n k s ，g l a s n e r 和w e i s s 3 2 ，3 3 】证明了传递的周期点稠密的非周期系统对 初值敏感依赖，从而说明了d e v a n e y 混沌定义中( 1 ) 和( 2 ) 蕴含( 3 ) 实际 上g l a s n e r 和w e i s s 【3 4 l 证明了一个更强的结果：传递的极小点稠密的非极小系 统对初值敏感依赖 关于混沌的定义有很多 3 粥8 】周作领将满足定义1 3 中条件( 1 ) 和( 3 ) 的 系统称为是在修改意义下的d e v a n e y 混沌的 1 2 2 拓扑熵 拓扑熵是动力系统理论中又一重要的概念它是重要的拓扑共轭不 变量它的数值可用来度量动力系统的混乱程度因此拓扑动力系统中 对拓扑熵的研究是非常重要的拓扑熵的概念最初是由a d l e r ，k o n h e l m 和m c a n d r e w 在1 9 6 5 年引进的【1 9 | 设( x ，厂) 为拓扑动力系统，若x 为紧致拓扑空间，则称( x ，厂) 为紧致拓 扑动力系统，简称为紧致系统设o l ，p 为x 的开覆盖，记o lvp = a nb ： 5 第一章绪论 a q ，b ) ，- 1 ( q ) = - 厂- 1 ( 4 ) ：a q ) ，则它们也是x 的开覆盖 ( 口) 表示q 的子覆盖的基数的下确界，在紧致系统中，j 7 v ( q ) 为一个正整数， 记日( q ) = l o g ( q ) 定义1 6 1 9 1 设( x ，) 为紧致系统，q 为x 的任意开覆盖，称 n - 1 硎( ，q ) 2 舰元1h ( y ( ，- j ( q ) ) n + 礼 为，相对于o l 的拓扑熵，e n t ( f ) = s u p e n t ( f ，0 1 ) 为厂的拓扑熵，其中s u p 是 对x 的所有开覆盖取上确界拓扑熵e n t ( f ) 是一个非负实数，但可以达到o o 随后在1 9 7 1 年b o w e n 【3 9 】又在度量空间上给出了不依赖于紧致性的拓 扑熵定义自1 9 6 5 年a d l e r ，k o n h c l m 和m c a n d r e w 在( ( t r a n s a m e r m a t h s o c 上发表“t o p o l o g i c a le n t r o p y ”，至u 1 9 7 1 年b o w e n 在( ( p r o c e e d i n g so f s y m p o s i ai np u r em a t h e m a t i c s ) ) 上发表“t o p o l o g i c a le n t r o p ya n da x i o ma ， g l o b a la n a l y s i s ”以来，拓扑动力系统中有关拓扑熵的研究蓬勃发展，呈现出较 大的活力国内外介绍这方面成果的综合性论文很多1 9 8 2 年刘旺金在数学 进展上发表了“动力系统拓扑熵的研究”比较系统地总结了当时国内外对拓 扑熵研究的最新成果【删1 9 8 8 年熊金城在数学进展上发表了“线段映射的 动力体系：非游荡集，拓扑熵以及混乱 【4 l i ，同年，他又在科学通报发表了 “关于拓扑熵的一点注记” 42 | ，这两篇文章对拓扑熵的性质做了更进一步的讨 论，得出了一些更新的结果 1 3 超空间 集值分析是二十世纪四十年代以后发展起来的一个现代数学分支，作为 建立非线性模型、解决非线性问题的数学理论和有力工具，它已经成为非 线性分析的重要组成部分，在控制论、微分对策、数理经济学和决策论、 微分方程等领域有着广泛应用而集值映射在集值分形和集值动力系统的 发展却很是缓慢直到本世纪初，这一领域才引起了数学家的注意在集 值分形方面，2 0 0 0 年，l a s o t a 4 3 1 首先研究了集值函数的吸引子问题，2 0 0 2 年， 6 西北人学硕lj 学位论文 g u m e n u k 4 4 】研究了集值分析函数的f a t o u 集和j u l i a 集2 0 0 5 年，a n d r e s ， f i g e r ，g a b o r 和l e 季n i a l c 【4 5 】比较了度量集值分形、t a r s k i 集值分形和拓扑集值 分形，确立了局部紧值映射集值分形的连续统原理，得到了一些经典的结果 自本世纪初开始，一些学者开始对超空间动力系统( 也称为集值动力系 统) 领域进行探索，由于这一问题在生物物种、人口统计、数值模拟以及吸引 子的研究等方面有很好的研究背景，从而在很短的时间内就引起了众多学者的 兴趣2 0 0 3 年，r o m d n f l o r e s 1 3 】比较了紧致系统和由该系统诱导的一类超空间 动力系统的传递性问题，证明了这类超空间系统的传递性蕴涵其底系统的传递 性，反之不成立，进而提出了一个基本问题：底系统上的混沌能否蕴涵其诱导 的超空间系统上的混沌? 反之，超空间系统混沌是不是一定是底系统混沌的? 2 0 0 4 年，f e d e l i 4 6 】证明了底系统上周期点稠密蕴涵其诱导的超空间系统周期点 稠密且超空间传递便可知超空间混沌，p e r i s 4 7 给出超空间系统的传递性和底 空间系统的弱混合性是等价的2 0 0 6 年，j o s e ，c 6 n o v a s ，g a b r i e l 2 】在紧致系统 中证明了，底空间拓扑动力系统的a d l e r 拓扑熵不大于超空间拓扑动力系统 的a d l e r 拓扑熵2 0 0 7 年，k w i e t n i a k 与o p r o c h a 3 】在紧致系统中证明了：当底 空间拓扑动力系统的a d l e r 拓扑熵大于零时，超空间拓扑动力系统的a d l e r 拓 扑熵为无穷大王延庚，卫国等【4 8 i4 9 1 讨论了h a u s d o r f f 、局部紧且满足第二可 数公理的底空间拓扑动力系统与它诱导的超空间拓扑动力系统f 当超空间赋 予h i t o r m i s s 拓扑时) 之问的传递性、混合性及初值敏感依赖 1 4 本文的主要研究内容 基于以上理论基础及研究成果，我们提出了拓扑动力系统中尚未研究的两 个问题，并且得出了一些有意义的结果 首先，我们在一般拓扑空间( 不要求紧性和度量性) 中，讨论了拓扑动力系 统的拓扑熵e n t + ( 厂) 与它所诱导的超空间拓扑动力系统的拓扑熵e n t 宰( 7 ) 之间 的关系证明了底空间拓扑动力系统的拓扑熵e n t + ( ，) 不大于超空间拓扑动力 7 第一章绪论 系统的拓扑熵e n t + ( 7 ) ；还证明了在一定条件下，当底空间拓扑动力系统的拓 扑熵e n t ( ，) 大于零时，超空间拓扑动力系统的拓扑熵e n t ( 7 ) 为无穷大与 此同时，我们还得出了拓扑熵e n t ( - 厂) 的一些新的性质o ( 1 ) 在拓扑半共轭 下，因子的拓扑熵不大于扩充的拓扑熵；( 2 ) 在一定条件下，k 个拓扑动力系 统作笛卡尔积所得拓扑动力系统的拓扑熵为原拓扑动力系统拓扑熵的k 倍， 艮口e n t + ( ，七) = k e n t + ( ，) ；( 3 ) e n t + ( _ 厂七) = e n t + ( 厂+ k ) 其次，我们研究了变参数动力系统的动力性状提出了变参数动力系统拓 扑强混合、拓扑弱混合以及变参数动力系统的生成子、扩张的概念：证明了 变参数动力系统拓扑强混合蕴含拓扑弱混合，进而蕴含拓扑传递；证明了：如 果( x ，f ) ，( g ) 为两个变参数动力系统，f 与g 拓扑半共轭，它们都两两可 交换且均为同胚映射，那么f 拓扑强混合( 拓扑弱混合，拓扑传递) ，则g 也有同 样的性质；本章还证明了变参数动力系统( x ，f ) 拓扑强混合蕴含f 在修改的 意义下d e v a n e y 混沌；在此基础上得出了：如果变参数动力系统( x ，f ) 与变参 数动力系统( y ) g ) 拓扑半共轭，它们都两两可交换且均为同胚映射，那么f 在 修改的意义下d e v a n e y 混沌当且仅当g 在修改的意义下d e v a n c y 混沌；得出 了f 有生成子当且仅当f 有弱生成子：如果f 是扩张的，则f 有生成子 8 西北大学硕 ：学位论文 第二章超空间拓扑动力系统的拓扑熵问题 2 1 引言 本章总设( x ，丁) 为拓扑空间，厂为x 上的连续自映射，称( x ，- 厂) 为拓扑 动力系统记瓦( x ) 为x 上的非空紧子集构成的集合，当x 为h a u s d o r f f 拓 扑空间，k ( x ) 上赋予v i e t o r i s 拓扑时，诱导连续映射7 ：l c ( x ) 一i c ( x ) ， 定义为：对任意a 瓦( x ) ，7 ( a ) = ，( a ) ，则称( j 7 | c ( x ) ，一f ) 为由拓扑动力系 统( x ，) 诱导的超空问拓扑动力系统拓扑动力系统( x ，) 描述了x 中的 点的变化情况，然而在一些诸如生物种群，人口统计，数值模拟等学科中，知 道x 的子集的变化情况显得更为重要，在这种情况- 卜，就需要考虑超空间拓扑 动力系统( 1 c ( x ) ，7 ) 在文【1 3 】中，r o m d n f l o r e s 提出了一个基本问题：厂混沌 是否蕴涵7 混沌? 反之是否成立? 围绕着这个问题，很多学者研究了拓扑动力 系统( x ，) 与它诱导的超空间拓扑动力系统( 瓦( x ) ，7 ) 的动力性状之间的关 系 拓扑熵在拓扑动力系统的研究中起着非常重要的作用，它是用来衡量拓扑 动力系统混乱程度的量其最初定义由a d l e r ，k o n h e i m 和m c a n d r e w 在紧致 空间上引进【19 i ，后来b o w e n 在度量空间上给出了新定义 3 9 】，拓扑熵的其他定义 见【1 ，5 0 】在文【1 】中作者定义了新的拓扑熵e n t + ( 厂) ，此拓扑熵的优点是不要 求紧性和度量性 本章是在一般拓扑空间中( 不要求紧性及度量性) ，在文 1 】定义的拓扑 熵e n t 4 ( 厂) 下，研究拓扑动力系统的拓扑熵与其诱导的超空间拓扑动力系统的 拓扑熵之间的关系并且得出了拓扑熵c n t 4 ( ，) 的一些新的性质 2 2 预备知识 设x 为拓扑空间，f 为x 上的连续自映射，称( x ，) 为拓扑动力系统， 9 第章超空闻拓扑动力系统的拓扑熵问题 若x 为紧致拓扑空间，则称( x ，) 为紧致拓扑动力系统，简称为紧致系统 设q ，p 为x 的开覆盖，记口vz = 4nb ：a a ，b p ) ，f - 1 ( 0 1 ) = 厂一1 ( a ) ： a q ) ，则它们也是x 的开覆盖( a ) 表示q 的子覆盖的基数的下确界，在 紧致系统中，n ( o l ) 为一个正整数，记( q ) = l o g ( a ) 1 a d l e r 拓扑熵 定义2 1 f 1 9 】：设( x ，) 为紧致系统，乜为x 的任意开覆盖，称 1 n - 1 咖w 2 撬寺日( ￥( 户( 训 n o or z 为厂相对于q 的拓扑熵，c n t ( f ) = s u pe n t ( s ，理) 为，的拓扑熵，其中s u p 是 对x 的所有开覆盖取上确界拓扑熵e n t ( f ) 是一个非负实数，但可以达到。o 2 拓扑熵e n t 掌( 厂) 的定义 设( x ，) 为拓扑动力系统，o l 为x 的任意开覆盖，f 为x 中的非空紧子 集，记m f ( o i ) = m i n c a r & 3 ：为q 对f 的子覆盖) ，据f 的紧性，m f ( o c ) 为一 个正整数l f ( a ) = l o g 坼( q ) ，7 | c ( x ，f ) = f x ：f ( f ) 只且f 为x 的 非空紧子集) ，下面给出文【1 中拓扑熵e n t + ( 1 厂) 的定义 定义2 2 【1 】：设( x ，) 为拓扑动力系统，q 为x 的任意开覆盖，设f 7 l c ( x ，) ，称 e 他亡+ ( ，及，f ) = 礼l 。i m 。兰nl f ( v ，一j ( a ) ) 礼o o7 1 为厂在f 上相对于o l 的拓扑熵称 e n t 幸( ，f ) = s u pe n t 4 ( ，o ，f ) q 为，在f 上的拓扑熵，其中s u p 是对x 的所有开覆盖取土确界当i c ( x ，f ) n d 时，定义e n t + ( ，) =s u p ( e n t 4 ( ，f ) 】，当j | | c ( x ，厂) = 仍时，定义e n t + ( ，) = 0 ， f 赶( x ，) 称e n t + ( 厂) 为拓扑动力系统( x ，) 的拓扑熵 本章是在拓扑熵e n t + ( ，) 下讨论问题a d l e r 拓扑熵位( ，) 与拓扑 熵e n t + ( 厂) 有如下关系： 1 0 西北大学硕 ：学位论文 定理2 1 【1 】= 设( x ，) 为拓扑动力系统，且x 为h a u s d o r f f 拓扑空间， q 为x 的任意开覆盖，f 咒( x