（基础数学专业论文）关于密群和纯正群的结构.pdf

摘要 本文主要研究密群和纯正群的性质和结构全文共分3 章 在第1 章中，给出完全正则半群，密群，纯正群和逆断面的一些基本概 念和性质，同时固定本文经常使用的符号 第2 章分两节，利用逆断面的好的性质，分别给出具有逆断面的密群和 纯正群的构造定理在第1 节的第1 部分中，用具有半格断面的带和c l i f f o r d 半群构造具有逆断面的密群；在第2 部分中，利用具有半格断面的带和一族 完全单半群之间的同态给出具有逆断面的密群的另一构造定理在第2 节 中，利用具有半格断面的带和c l i f f o r d 半群构造具有逆断面的纯正群 第3 章分两节在第1 节中，利用带和一族完全单半群之间的同态给出 密群的一个构造定理，是正规密群的强半格结构的推广在第2 节中，利用 带和c l i f r o r d 半群构造纯正群 关键词：密群；纯正群；逆断面；c l i f f o r d 半群；带；完全单半群 m r ( 2 0 0 0 ) 分类号：2 0 m 1 0 中图分类号：0 1 5 2 7 a b s t r a c t t h i sp hdd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s w es t u d yp r o p e r t i e s a n ds t r u c t u r e so fc r y p t o g r o u p sa n do r t h o g r o u p s s o m ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sf o rc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ，c r y p - t o g r o u p s ，o r t h o g r o u p sa n di n v e r s et r a n s v e r s a l sa r ep r o p o s e di nc h a p t e r1 a n dt h e n w ef i xs o m en o t a t i o n sw h i c ha r eu s e dl a t e r c h a p t e r2i sc o m p o s e do ft w os e c t i o n s b yt h e v i r t u eo fi n v e r s et r a n s v e r s a l s ，w eg i v ec o n s t r u c t i o n so fc r y p t o g r o u p sa n do r t h o g r o u p sw i t hi n v e r s e t r a n s v e r s a l sr e s p e c t i v e l y c r y p t o g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l sa r ec o n s t r u c t e di ns e c t i o n1 ：o n ec o n s t r u c t i o ni sg i v e nb ym e a n so fab a n dw i t h s e m i l a t t i c et r a n s v e r s a l sa n dac l i f f o r ds e m i g r o u pi nt h ef i r s tp a r t ；t h eo t h e r o n ei sp r e s e n tb ym e a n so fab a n dw i t hs e m i l a t t i c et r a n s v e r s a l sa n daf a m i l y o fh o m o m o r p h i s m so fc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p si nt h es e c o n dp a r to r - t h o g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l sa r ec o n s t r u c t e db ym e a n so fb a n d sw i t h s e m i l a t t i c et r a n s v e r s a l sa n dc l i f f o r ds e m i g r o u p si ns e c t i o n2 c h a p t e r3i sd e v o t e dt oc o n s t r u c tc r y p t o g r o u p sa n do r t h o g r o u p s w e g i v eac o n s t r u c t i o nt h e o r e mo fc r y p t o g r o u p si nt e r m so fab a n da n daf a m i l y o fh o m o r n o r p h i s m sb e t w e e nc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p si ns e c t i o n1 ，w h i c h i sag e n e r a l i z a t i o no ft h es t r o n gs e m i l a t t i c es t r u c t u r et h e o r e mo fn o r m a l c r y p t o g r o u p s ，a n di ns e c t i o n2 ，o r t h o g r o u p sa r ec o n s t r u c t e db ym e a b so f b a n d sa n dc l i f f o r ds e m i g r o u p s k e y w o r d s ：c r y p t o g r o u p ；o r t h o g r o u p ；i n v e r s et r a n s v e r s a l ；c l i f f o r d s e m i g r o u p ；b a n d ；c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p m r ( 2 0 0 0 ) m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：2 0 m l o c l c ：0 1 5 2 7 u 第0 章引言 “半群代数理论”，以理论的形成和系统的研究为标志，已有近7 0 年的 历史它以自己特有的研究对象和研究方法成为代数学”的一个新的分 支学科正则半群及其若干特殊情形( 诸如逆半群，纯正半群，完全正则半 群等) 的研究是半群代数理论研究的重要方向之一，研究成果相当丰富由 p e t r i c hm 撰写的( i n v e r s es e m i g r o u p s ) ( 【4 1 1 1 9 8 4 年) 和由p e t r i c hm 与r e i l l yn 共同撰写的( ( c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) ( 3 5 l ，1 9 9 9 年) 这两本专著分别综述了当今逆半群和完全正则半群的主要研究成果 1 9 4 1 年，c l i 助r da l 在文1 3 1 中提出了完全正则半群的概念称 半群s 为完全正则半群( c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p ) ，如果它的每个元 素都属于s 的某个极大子群所以完全正则半群有时也被称作群并记作 s = u 。；e 也，其中e ( s ) 为s 的所有幂等元的集合，每个峨为群这 一特征说明此类半群与群的结构紧密相关，研究其性质和结构具有非常重要 的意义但对于任意的z h e ，y h i ，仅通过定义，是不能确定x 和y 的 乘积的位置的，甚至不能确定风和研的乘积是否在同一个群h 类中研 究一个结构复杂的半群，可以把该半群分解成一些结构相对简单的子半群的 并，并通过研究这些子半群之间的关系来研究整个半群，这是研究半群的重 要方法之一( 4 2 ， 4 3 ) 半群的半格分解，尤其是强半格分解，是研究半群 的结构的重要分解形式c l i f f o r d 在文1 3 1 中同时证明了半群s 是完全正则 半群当且仅当s 是完全单半群的半格这给出了完全正则半群s 的整体结 构s = u 。；y & 所以完全正则半群s 通常被表示成s = ( y ；& ) ，其中y 是半格，y ，咒是完全单半群1 9 4 0 年，r e e sd 已经在文 4 5 中给出 了完全单半群的一个可操作的优美的r e e s 矩阵表示：完全单半群同构 于r e e s 矩阵半群m ( l ，c 。，a 。；r ) 这样，完全正则半群的局部结构被很 好地解决利用完全正则半群的半格分解定理能够确定不同口类& 中的z 和函中的y 的乘积z 可在晶口中，若要细致的确定不同d 类之间的交互作 用，这是一个相当复杂的问题 l a l l e m e n t 于1 9 6 7 年在f 2 8 1 中给出了完全正则半群的一个置换表示 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第2 页 第0 章引言 设s = ( y ；& ) 是一个完全正则半群，a s ，a 。p 丁( s ) ，p 。p 丁( s ) 则x ：a 一( k ，p 。) 是s 到p 丁7 ( s ) p 丁( s ) 的单同态，这里7 ) 丁7 ( s ) 和 p 丁( s ) 分别是s 上的左平移构成的半群和右平移构成的半群这样，确定 完全正则半群s 的结构就归结于确定p t 7 ( s ) xp t ( s ) 的完全正则子半群 的结构在同一篇文章中，l a l l e m e n t 还用完全单半群的平移包给出了完全 正则半群的一个平移包表示这是较置换表示更为细致的一种表示 1 9 7 4 年，p e t r i c h 在3 6 1 中用完全单半群的平移包的w r e a t h 积表示更 细致地刻画了完全正则半群的结构 前述几个结构定理给出了完全正则半群s 的完全单子半群& 之间的交 互作用的刻画然而，完全单半群的平移包以及寻找上述结构定理中的结构 参数是很复杂的事情，因此完全正则半群的结构还是很不清楚从而我们探 讨具有某种好性质的完全正则半群，有助于进一步理解完全正则半群，并给 出其更简明的代数意义更明确的结构定理 半群代数理论研究的最基本的工具是：g r e e n 关系( c ，亿，h ，_ d ，9 ) 和所 有幂等元的集合e ( s ) 在完全正则半群分类中，最重要的两类是密群和纯正 群( 参看 1 5 ， 3 5 】， 3 6 ) 称完全正则半群s 为密群( c r y p t o g r o u p ) ，如果s 上 的g r e e n 关系h 是个同余密群s 被称为正则密群( r e g u l a rc r y p t o g r o u p ) ， 如果s h 是一个正则带( a x y a t l a x a y a ，v a ，z ，y s ) 而密群s 被称为正规 密群( n o r m a lc r y p t o g r o u p ) ，如果s h 是一个正规带( a x y a h a y x a ，v a ，。，y s ) 在专著f 3 5 1 中，p e t r i c h 证明了一个完全正则半群s 是正规密群当且仅 当s 是完全单半群的强半格 称完全正则半群s 为纯正群( o r t h o g r o u p ) ，如果它的幂等元集合e ( s ) 构成半群( 即带) 称纯正群s 为正则纯正群( r e g u l a ro r t h o g r o u p ) ，如果 s ( s ) 构成正则带( a x y a = a x a y a ，v a ，z ，y e ( s ) ) 称纯正群s 为正规纯 正群( n o r m a lo r t h o g r o u p ) ，如果e ( s ) 构成正规带( a x y a = a y x a ，v a ，z ， e ( s ) ) 在文 3 6 中，p e t r i c h 用完全正则半群结构定理中的参数妒：舶“。，口和 妒。口对完全正则半群进行了分类在纯正群中，正规纯正群( 正规纯正密群) 的结构相对简单，它可以被表述为左正规带，c l i f f o r d 半群和右正规带的织 积( s p i n e dp r o d u c t ) 而正则纯正密群是左正则带，c l i f f o r d 半群和右正则带 的织积一般地，纯正密群是一个带和一个c 1 i 舫r d 半群的织积 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第3 页 第o # - 引言 但是，纯正群( 正则纯正群) 和密群( 正规密群，正则密群) 已经没有相 应的织积结构 1 9 7 3 年，y a m a d a 在文 6 3 中利用左正则带厶= ( y ；l 。) ，c l i f f o r d 半 群g = ( y ；g 。) ，右正则带r = ( y ；r 。) 和两个映射：e 。( l ) 一g e ( r ) 给 出了正则纯正群s 的结构定理在此定理中，c l i 肋r d 半群g 通过诱导同 态o - 。和丁h 分别影响左正则带工和右正则带r 的乘法 关于纯正群，c l i f f o r d 于1 9 7 2 年在文f 1 4 1 中给出了纯正群的一个标准 表示，张建刚于2 0 0 5 年在他的博士论文6 5 中利用带b 和c l i f f o r d 半群 g = ( y ；g 。) 给出了此类半群的一个构造定理在定理中，确定纯正群的运 算的关键是判定中间c l i 助r d 分量g 如何影响带b 的运算 而刘国新于2 0 0 4 年在其博士论文 2 9 中给出的密群( 正则密群) 的构 造定理是利用带( 左右正则带) 和一族群及其群同态构造的在构造时，揭 示出带( 左右正则带) 对群元乘法的影响是通过影响s a n d w i c h 矩阵的元素来 对群元的乘法施加影响的 上述结构通常被称作半织积结构( s e m i s p i n e dp r o d u c t ) 1 9 8 2 年b l y t h 和m c f a d d e n 提出了正则半群的逆断面的概念( 参看 2 ) 设s 是正则半群，s 的逆子半群s o 称为s 的逆断面，如果s 中的每一 个元素在s 。中都有唯一的逆元b l y t h 和m c f a d d e n 在研究某些特殊的 自然偏序半群( 3 ) 3 1 】， 3 2 ) 和一些具有某种特殊幂等元的正则半群时发 现存在这样的逆断面结构因为具有逆断面的正则半群有更集中的逆子半群 的结构，利用这一好性质有助于理解正则半群的结构自此概念提出后，许 多学者开始了这方面的研究工作并发表了大量文章( 见 1 1 2 ， 3 2 】， 4 6 5 2 】， 5 7 ， 5 9 ，【6 7 ) 在逆断面的研究过程中，很早就开始关注下面的两个集合： i = z s ：z = z o 。) ，a = z s ：z = z 。z ) 并用，a 和p 来构造具有 逆断面的一些特殊的正则半群和一般的正则半群1 9 8 9 年s a t i o 给出了具 有逆断面的一般正则半群的一个复杂的结构定理( 5 2 】，定理3 2 ) 当时s a t i o 称使得，和a 是子半群的逆断面s 。为s 的s 一逆断面1 9 9 7 年，唐西林 在文5 7 1 中证明了，对于一般的具有逆断面的正则半群来说，和a 必是 子半群，更精确地说，和a 分别是左正则带和右正则带另一方面，正 则半群如果具有逆断面，则其逆断面未必唯一例如，完全单半群具有群逆 断面，并且其每个群h 类都是其群逆断面b l y t h 和c h e n 于2 0 0 1 年在文 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第4 页 第0 章引言 f 1 2 1 中证明了：如果正则半群s 具有逆断面，那么s 的所有逆断面都是同 构的，这两方面的研究成果是逆断面研究中的重大突破，使得逆断面的研究 更加活跃起来朱风林于2 0 0 3 年在其博士论文67 1 中对具有逆断面的正则 半群及其子类给予了系统的论述经过二十多年的发展，逆断面的理论已得 到很大程度的拓展 从上面所得到的关于完全正则半群的研究成果来看，我们还可以更深入 地探讨完全正则半群的性质和结构为此，我们首先考虑比较特殊的半群 因为逆断面具有好的性质，我们期望得到具有逆断面的完全正则半群及其子 类的代数意义比较明确且简明的结构定理对于具有逆断面的完全正则半群 及其子类的结构的研究，从所能查到的资料和文献看出，这方面的研究还比 较少 下面简要介绍作者所做的工作我们利用结构相对简单的子半群( 例如， 群；带及其子类半格，矩形带；c l i f f o r d 半群；完全单半群) ，通过研究这些 子半群之间的关系来刻画完全正则半群主要工作是这样两方面：一是具体 分析逆断面在多大程度上影响着完全正则半群的结构，并给出两类重要的完 全正则半群，密群和纯正群，在具有逆断面的情况下的代数意义比较明确且 简明的构造定理二是重新给出密群和纯正群及其子类的构造定理，其中更 细致的刻画了带和c l i f f o r d 半群的群元之间的交互作用 文5 5 1 中的定理1 1 给出了密群的一个构造定理，在此定理框架下， 我们在本文的第2 章第1 节的第1 部分中具体分析逆断面对密群结构的影 响，给出具有逆断面的密群的构造定理所以有必要复述5 5 1 中的定理1 1 设g 是群，g g 我们用白表示g 的一个内自同构，即z 勺= g - 1 x g ， 其中z g 定理0 0 1 ( 5 5 ，定理1 1 ) 设b = ( y ；玩) 是带，其中y 是半格对于 每个y ，设& = m ( b 。，g 。；r ) 是群g 。上的r e e s 矩阵半群， g 。 的单位元记作l 。，s a n d w i c h 矩阵匕在舀eb 。处被正规化记u a , 口( 。) = p - - 1 。五p a 。面五，u a 卢( o ) = p - l _ 占。，其中。，pey 且。三p ，。日0 对于任 意的o ，卢y 且a 卢，设口是从g 。到g 目的一个同态且满足下列条 件：对于任意的d ，p ，7 y 且卢2 ， ( i ) 以。= l c 。 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第5 页 第0 5 引言 ( i i ) 钆，口7 = 钆1 e 邯。，( i i i ) - ( i i i ) p a o 。，p = u a ，p ( o ) p 。d 。u a ，口( o ) ，对任意的。b a ( i v ) p = p 。盈。盯a ，口= z ，口p 赢p 孟，对任意的b ，c b 口和z = ( n ，g ) & 其中 x g 。口= = u 。，口( 口) 9 日。口u 。口( n ) 对任意的z = ( a , 9 ) ，咒，y = ( b ，h ) 函，在s = u 。y & 上定义乘法* 运算如下： z + y = ( n b ，z 盯口，。卢p 6 西n 可o _ ，。卢) 则s 是密群反之，每一个密群在同构意义下都能如此构造 首先，我们知道c l i f f o r d 半群g 是群的强半格，可记作g = 【y ；g 。，民，口 ， 其中y 是半格，g 。是群，对于q ，卢ey 且a 卢，艮口是强半格结构同态 ( 具体见注记1 2 2 0 或 3 5 ，定理i v 2 4 ) 再者，有这样一个结论( 引理1 2 1 8 或( 3 5 ，引理i v2 3 ) ：半群s 是完 全正则半群且为逆半群当且仅当s 是c l i f f o r d 半群从而，完全正则半群s 若具有逆断面酽，则s 。是c l i f f o r d 半群 从定理0 0 1 可以看出，带对群元的影响是通过影响s a n d w i c h 矩阵的 元素来对群元施加影响的为了具体分析条件( i v ) 的代数意义，我们考虑密 群具有逆断面的情况密群s = ( y ；& ) 若具有逆断面s 。，则s 。是c l i f f o r d 半群从而对任意的2 卢，诱导出同态目。，口：g 。一g 口；9 一g o 。，p ，使得 g = y ；g 。，0 即 是c l i f f o r d 半群再者，对于每一个群g 。上的r e e s 矩阵 半群s 。= m ( b 。，g 。；r ) ，我们可以假定s a n d w i c h 矩阵只在逆断面的位 置被正规化因为逆断面s 。的幂等元集合e ( s 。) 是半格，所以由第1 章中 的命题1 25 ，可以得到带日中有部分元素构成半格，这样减小了s a n d w i c h 矩阵的元素对群元的影响 我们利用具有半格断面的带日和c l i f f o r d 半群g 给出的具有逆断面的 密群的构作定理如下 主要结果是： 定理0 0 2 ( 定理2 1 2 ) 设b = ( y ；b 。) 是具有半格断面y = 五 b 。i 。y ) 的带，其中y 是半格设g = y ；g 。，口 是c l i f f o r d 半群， 其中g 。的单位元记作b ，对于每个a y ，设& = m ( b 。，g 。；r ) 是群 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第6 页 第o 章引言 g 。上的r e e s 矩阵半群，且s a n d w i c h 矩阵r 在鑫y 处被正规化假设 对于任意的，口y 且p ，下列条件满足： ( i ) p 。目口= p 。盈，对任意的。b 口 ( i i ) g o 。，口c a 。( 危i ) ，对任意的9 g 。 ( i i i ) 设a 玩，b ，c ，d 昂 ( i i i 1 ) 如果a c 冗a d ，那么p 2 p d 融= p c 6 - 1 。p 舭 ( i i i 2 ) 如果c a l ：d a ，那么p a i c p 。- 动1 = p n 6 印。- ”1 对于任意的z = ( a ，g ) & ，y = ( b ，h ) s 口，在s = u 。y & 上定义乘法+ 运算如下： x + y = ( a b ，9 ，a 口p 6 ；西。 口口，。懈) 则s 是具有逆断面的密群反之，任一具有逆断面的密群在同构意义下都 能如此构造 我们从条件( i i i ) 可以很清晰的看到，在考虑完全单半群之间的交互作 用时，完全单半群的s a n d w i c h 矩阵中的元素并不是随意的，完全单半群的 某些幂等元要构成子带这样更进一步明确了带是怎样影响s a n d w i c h 矩阵 中的元素的条件( i i i ) 是张建刚在文 6 5 中利用完全单半群的双平移的关 联条件( 参见f 4 0 ) 导出的双平移的这一基本性质，我们通常称该性质为“象 核关系”关于完全单半群的平移包的相关内容可参看( 4 0 ， 65 ) 与密群的 结构定理相比较，具有逆断面的密群的该结构定理的代数意义更加的明确 在专著3 5 1 中，p e t r i c h ，m 证明了一个完全正则半群s 是正规密群当 且仅当s 是完全单半群的强半格遗憾的是，具有强半格分解的半群类很 少我们在第l 节的第2 部分利用同态妒。p ：s 。一s 口；。一z e 。i 。给出具有 逆断面的密群的构造定理，来刻画此类半群的整体结构，其类似于正规密群 的强半格结构 主要结果是： 定理0 0 3 ( 定理2 15 ) 设b = ( y ；b 0 ) 是具有半格断面y = 五 b 。 血y ) 的带，其中y 是半格对于任意的o y ，设s 。= 朋( b 。，g 。；r ) 是群g 。上的r e e s 矩阵半群，且s a n d w i c h 矩阵r 在舀y 处被正规化 对于任意的q ，卢y 且a 卢，设妒。，口是从& 到函的满足下列条件的同 态：对于任意的0 = ，卢，吖y 且卢7 ，z = ( a ，g ) s q ，b b 口 2 0 0 0 年2 月中国科学技术大学博士学位论文 第7 页 第o 章引言 ( i ) 妒。，。= 1 ( i i ) 妒。口妒p ，1 = 妒。，7 【i i i ) e n 妒a 口3e a 孔 ( i v ) e 。b i 。妒b e b 。= e a b x 妒a ，目8 面。 对于任意的z = ( 。，g ) 咒，y = ( b ，h ) 昂，在s = u 。 ，& 上定义乘法* 运算如下： z 丰y = e n 6 苫舀z 妒a ，d 卢可妒口，d 芦e 葫o b 则s 是具有逆断面的密群反之，每一个具有逆断面的密群在同构意义下 都可如此构造 朱凤林在文f 67 中系统地刻画了具有逆断面的一般纯正半群及其子类 的性质和结构1 9 7 3 年，y a m a d a 在文 6 3 】中利用左正则带l = ( y ；l 。) ， c l i f f o r d 半群g = ( y ；g 。) ，右正则带r = ( y ；r 。) 和g 诱导的两个同态： e ( l ) 一g e ( r ) 给出正则纯正群s 的结构定理在第2 章第2 节中，类似 于正则纯正群的结构定理，我们充分利用纯正群的幂等元带e ( s ) 的共轭性质 ( 对于x s ，x - 1 e ( s ) z e ( s ) ) 和逆断面的好性质给出具有逆断面的纯正群 的构造定理设b = ( y ；b 。) 是具有半格断面y = 萏b 。1 y ) 的带， g = f y ig 。1 为c l i f f o r d 半群对于西y ，设a u t 。( a b a ) 为b 的子带五b 舀 上的保持半格断面的所有的自同构构成的自同构群，g e 。= u 口f 口，。g z 是 g 的c l i f r o r d 子半群 主要结果是： 定理0 0 4 ( 定理2 2 1 ) 设b = ( y ；日。) 是具有半格断面y = 茜 b 。l y ) 的带，其中y 是半格设g = y ；g 。 是c l i f f o r d 半群对于 每个o y 设口。：g 。一a u t 。( b 五) ；h 一口。( ) 是同态设b 在b 冱， 记b “= ( b ) 口。( ) 对于任意的z = ( a ，9 ) b 。g 。，y = ( 6 ，h ) 日口g 口，在s = u 。y ( b 。 g 。) 上定义乘法 运算如下： z * g = ( o ( b ) 9 。( 施6 两“b ，g h ) 则s 是具有逆断面的纯正群反之，每个具有逆断面的纯正群在同构意义 下都可如此构造 2 0 0 6 年2 月 中国科学技术大学博士学位论文 第8 页 第o 章7 1 言 从定理中我们可以看到，c l i f f o r d 分量通过半群同态诱导子带上的自同 构来影响带的乘法，从而确定了具有逆断面的纯正群的乘法运算此结构定 理简单且代数意义比较明确 作为上面的构造定理的应用，我们考虑了下面两种特殊情形 情形1 ：具有逆断面的正则纯正群 设b = ( y ；b 。) 是具有半格断面y = 萏b 。1o z y 的正则带， 其中y 是半格设g = 【y ；g 。 是c l i f f o r d 半群对于每个q 设 ：g ! a a u t 。( 五日舀) ；h 一盯。( ) 是同态设6 舀口舀，记b 6 = ( 6 ) 口。( ) 对于任意的z = ( 口，g ) b nxg 。，= ( b ，h ) 昂g p ，在s = u e 。e y ( b 。 g 。) 上定义乘法s 如下： z ；= ( n ( 舀b 五) ，“( 压面“b ，g h ) 则s 是具有逆断面的正则纯正群反之，任一具有逆断面的正则纯正群在同 构意义下都可如此构造 情形2 ：具有逆断面的正规纯正群 设b = ( y ；b 。) 是具有半格断面y = 茜b 。i 。y ) 的正规带，其 中y 是半格设g = y ；g 。 是c l i f f o r d 半群 对于任意的z = ( a ，g ) 风x 瓯，y = ( b ，h ) b bxg 口，在s = u 。，( 鼠g 。) 上定义乘法+ 如下： 9 34y = ( a b ，g h ) ， 则s 是具有逆断面的正规纯正群反之，任具有逆断面的正规纯正群在同 构意义下都可如此构造 在定理0 , 0 4 中，如果带b 是具有半格断面的正规带，很容易证明子带 五b 五是半格，从而a u t 。( a b a ) 仅含有恒等自同构，不妨设为1 i b i 这时对 于每个q y ，同态：g ! 。一a u t 。( 五b 冱) ；h 一1 j b 二是平凡的从上面 的构造定理很容易看出，具有逆断面的正规纯正群是具有半格断面的正规带 b 和c l i 肋r d 半群g 的织积 在文 2 9 中构造密群时，以。口：& 一s 卢；z z e 。盈不是& 到s 口的 同态，限制到咒的每一个h 类上是一个同态我们在第3 章第l 节中重 2 0 0 6 年2 月 中国科学技术大学博士学位论文第9 页 第o 章引言 新给出密群的一个构造定理，来刻画密群的整体结构此定理是正规密群的 强半格结构的推广其中定义的妒。，口：一昂；z m a a ，赫。是同态 主要结果是； 定理o 0 5 ( 定理3 1 1 ) 设b = ( y ；b 。) 是带，其中y 是半格对任 意的q y ，设& = m ( b 。，g 。；r ) 是群g 。上的r e e s 矩阵半群，其 s a n d w i c h 矩阵为圪固定五b 。对于任意的o ，卢y 且口，设 ，口是从& 到品且满足下列条件的同态：对于任意的d ，口，7 y 且 乜卢7 ，z = ( a ，g ) ，b ，c b z ， ( i ) 妒 = l s 。 t 1 1 j z 妒a ，卢妒口，7 = e 口五爵五茁妒口7 e 五声彳强o 【1 1 1 ) e o 曲z 妒q ，卢e 舀b = e a c 蕊茁妒o ，闫e c 缸- 对于任意的z = ( a ，g ) & ，y = ( b ，h ) s 口，在s = u 。；r & 上定义乘法$ 如下： z 卓y = e 。6 五西五z 妒q a p 掣妒口o 芦e 石。葫n b 则s 是密群反之，任一密群都可如此构造 作为上面的结构定理的应用，我们考虑了下面两种特殊情形 情形l ：正则密群 定理0 0 6 ( 定理3 1 4 ) 设b = ( y ；b 。) 是正则带，其中y 是半格对 于任意的q y ，设& 一m ( 既，g 0 ；r ) 是群g 。上的r e e s 矩阵半群， 其s a n d w i c h 矩阵是r 固定五& 对于任意的a ，_ 臼y 且o 卢， 设妒。，口是从& 到品的满足下列条件的同态：对于任意的血，p ，1 y 且 n 卢，y ，z = ( a ，g ) & ，b ，c b 口， ( i ) 妒。，。= l s 。 l 儿) z 口妒p 1 = e o 旃z 妒。，1 e 西风 l i n j e n 出z 妒n ，口e 面。= e 。c 百z 【p 口，口e c 6 口 对于任意的z = ( a ，g ) & ，y = ( b ，h ) 昂，在s = u 。y & 上定义乘法。 如下： z 。y = e o b 西z 妒a ，a 卢可垆卢，n 卢e 三乱b ， 则s 是正则密群反之，任一正则密群都可如此构造 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第1 0 页 第0 4 引言 情形2 ：利用定理0 05 可以推导出正规密群的强半格结构定理，请参看 第3 章的定理3 1 5 1 9 7 2 年，c l i f f o r d 在文 1 4 中给出了纯正群的一个标准表示在( 5 6 中，利用带和c l i f f o r d 半群给出了一般纯正群的一个构造定理，这两个构造定 理推广了利用半格同余和结构映射给出的带的标准表示在第3 章的第2 节 中，我们充分利用纯正群的幂等元带e ( s ) 的共轭性质诱导出子带的保持半 格的自同构下面就是利用带b = ( y ；b 。) ，c i i f r o r d 半群和对于。y ，同态 口。：g 。一a u t ( s b 西) 给出的纯正群的较简单的构造定理，其中a u t ( 五b 5 ) 为b 的子带五b 蠢上的所有保持半格的自同构群其类似于1 9 7 3 年y a m a d a 给出的正则纯正群的优美的结构定理 主要结果是： 定理o o 7 ( 定理3 2 i ) 设b = ( y ；玩) 是带，其中y 是半格设g = 【y ；g 。，以，口 是c l i f f o r d 半群对于任意的q 固定舀b 。，设口。： g 。一a u t ( s b 五) ；g 一盯。( 9 ) 是同态设b 5 8 5 ，记b g = ( b ) 口。( 9 ) 假设 下面的条件是成立的： ( 1 )( 卢咿) 9 8 “，口= 卢( 五卢6 卢五) 9 卢，对于，卢y ) a 卢，g g 。，b b 对于任意的x = ( 。，g ) b 。g 。，y = ( b ，h ) b z g p ，在s = u a e y ( b 。 g 。) 上定义乘法 如下； z8y = ( n ( 五n 6 在) 9 1 ( 卢0 6 口) “b ，9 ) 那么s 是纯正群反之，任一纯正群在同构意义下都可以如此构造 这一构造定理的不足之处就是条件( 1 ) 的代数意义还不够明确，有待我 们以后改进 作为上面的定理的应用，我们考虑了下面两种特殊情形 情形1 ：正则纯正群 设b = ( y ；b 。) 是正则带，其中y 是半格设g = y ；g 。，钆，p 是 c l i f f o r d 半群对于任意的d v 固定冱b ，设口。：g 。一4 “t ( 五日在) ；g 一 盯。( 9 ) 是同态设b b 西，记栌= ( b ) 口。( g ) 假设下面的条件是成立的： ( 1 )( 卢叩) 9 8 n - 一= 卢( 舀b ) 9 卢，对于d ，卢。三口，g g 。，b b 2 0 0 6 年2 月 中国科学技术大学博士学位论文第1 1 页 第0 章引言 对于任意的z = ( 。，g ) b ax g 。，y = ( b ，h ) b 口g 口，在s = u 。y ( b 。 g 。) 上定义乘法* 如下： z + y = ( 。( 西6 五) 9 “( 压两“b ，g h ) 则s 是正则纯正群反之，任一正则纯正群在同构意义下都可如此构造 情形2 ：在定理o o 7 中，如果带b = ( y ；b 。) 是正规带，很容易证明 子带五b 茜是半格，从而a 叫( 萏b 五) 中仅含有恒等自同构这样对于任意的 y 同态：g 。一a u t ( s b 5 ) 是平凡的群同态从而利用定理o n 7 考 虑正规纯正群这一特殊半群，同样可以得到正规纯正群是带和c l i f f o r d 半群 的织积即为 3 5 的定理i v 2 7 第1 章基本概念和性质 本章首先给出完全正则半群及其子类的一些基本概念和性质，特别地， 介绍完全单半群的r e e s 矩阵结构定理，并给出由结构定理得到的一些基本 性质然后对于正则半群的逆断面的知识做简要的介绍 1 1 基本概念和符号 半群代数理论研究的最基本的工具是g r e e n 关系其包括c ，冗，? - ，口，了 五种等价关系设s 是一个半群，o ，b s a f b 铮s 1 a = s 1 b n 冗6 a s l = b s l 它们是最基本的两种g r e e n 关系另外，h = ca 佗，口= cv 冗，了6 锌 s l a s l = s 1 b s l 把握正则半群主要是在g r e e n 关系的框架下，利用幂等元 和逆元来确定元素及其乘积的位置 1 9 4 1 年c l i f f o r d 在文 1 3 】中提出了完全正则半群的概念半群s 的元 素a 是完全正则的，如果存在茁s ，使得a = n z n ，a x = z n 称半群s 是 一个完全正则半群，如果它的每个元素都是完全正则的通过完全正则半群 的这个元素定义，我们得到下列等价命题 定理1 1 1 ( 【3 5 】，定理，1 4 ) 设s 是一个半群则下列命题等价 ( 1 ) s 是完全正则的 ( 2 ) s 的每个h 一类是s 的一个子群 ( 3 ) s 是群并 ( 4 ) 对任意a s ，a a s a 2 ( 5 ) s 是完全单半群的半格口 由定理11 1 ( 3 ) ，完全正则半群有时也被称作群并记作s = u 。剧鼬巩， 其中e ( s ) 为? 的所有幂等元的集合，每个日e 为群这一特征说明此类半 群与群的结构紧密相关，从而研究其性质和结构具有非常重要的意义但对 于任意的z 皿，y h ，仅通过定义，是不能确定x 和y 乘积的位置的， 甚至不能确定风和上0 的乘积是否在同一个群h 一类中研究一个结构 1 2 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第1 3 页 第l 章基本概念和性质1 1 基本概念和符号 复杂的半群，可以把该半群分解成一些结构相对简单的子半群的并，并通过 研究这些子半群之间的关系来研究整个半群，这是研究半群的重要方法之一 ( ( 4 2 ，【4 3 1 ) 半群的半格分解，尤其是强半格分解是研究半群的的结构的重 要分解形式c l i f r o r d 在文1 3 中同时证明了对于完全正则半群s ，口= 了 且为s 上的半格同余，并且s 的每个口一类是完全单半群，从而完全正则 半群s 是完全单半群的半格这样能够确定不同d 类& 中的z 和函的y 的乘积z 在& 口中因此该结构定理刻画了完全正则半群的整体结构 由定理1 1 1 ，通常用- 1 表示s 的元素a 在风中的群逆元，a o 表示 n 所在的群矾的单位元且记 e ( s ) = 8 s 1e 2 = e ，v ( a ) = z s ia = a x a ，z = z a z 分别表示s 的所有幂等元集合和元素a 的所有逆元的集合 下列几个引理给出了完全正则半群的幂等元和元素逆元的一些基本性 质 引理1 1 1 2 设s 完全正则半群，a ，bes 则a t - l b 铮a 0 = 6 0 口 引理1 1 3 ( 3 5 ，引理，2 1 ) 设s 是完全正则半群， a s 则。- 1 是唯 一和n 可交换的a 的逆元 口 引理1 1 4 ( 1 3 8 ，推论j j44 ) 令8 ，e ( s ) ( i ) ( e ，) 1 = ( e ，) o ( ，e ) o ( e ，) o ( i i ) e ( ，e ) o = ( e k ) o = ( e ，) o e 口 下列引理说明用更高一级的口一类中的元素做左平移和右平移时，分别 不改变关系和冗关系 引理1 1 5 ( 3 5 ，推论，4 3 ) 令a ，卢y ，q 卢，z & ，y 昂则 x y c y ，可z 7 己 口 我们知道半群的同态有很好的代数性质，例如，保持幂等元 引理1 1 6 ( 3 5 】，引理，j 2 4 ) 设丁是一个半群，s 是一个完全正则半群， 妒：s 一于是一个同态，则 ( i ) s 妒是完全正则的 ( i i ) 对于任意a s ，a - - 1 妒= ( o 妒) ，o 妒= ( 口妒) o 口 2 0 0 6 年2 月中国科学技术大学博士学位论文第1 4 页 第l 章基本概念和性质11 基本概念和符号 完全正则半群的最重要的结构特征为它是完全单半群的半格从而我们 能够这样理解，完全正则半群的结构刻画在很大程度上依赖于它的局部结构 的解决为更深入的研究完全正则半群及其子类的结构，把完全单半群的结 构刻画放在了关键位置下面是r e e sd 于1 9 4 0 年给出的r e e s 矩阵结构定 理这一理想的可操作的模式完美地刻画了完全单半群的结构 设g 是群，a 是任意非空集合，p ：ax i g ，其中，( a ，i ) p = p 。 是映射令s = ，xg a 在s 上定义乘法 ( i