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习 题 1-11已知两个线性变换 求从到的线性变换.解: ,所求为2设,求.解: ,.3设,求.解一: ,.解二: ,.4设,求.解: 将矩阵写成,其中.对于矩阵,有,.显然与可交换,所以.5求与可交换的所有矩阵.解: 若矩阵与可交换,即,则为2阶方阵.设,则,.由得,解得.因此, 其中为任意数.6设,计算和.解: ,.7设为阶对称矩阵,证明:为对称矩阵的充分必要条件是.证明: 因为对称阵,所以,于是.因此,的充要条件是.也就是说,为对称阵的充要条件是.8举反例说明下列命题是错误的:(1) 若,则;(2) 若,则或;(3) 若,且,则.解:(1) 对于矩阵,有,但.(2) 对于矩阵,有,但且.(3) 对于矩阵,有,且,但.习 题 1-21计算下列行列式:(1) ;解: 原式.(2) .解: 原式.2设,且已知,试求.解: .3计算下列行列式:(1) ;解:.(2) .解: 原式.4解方程.解: ,原方程的解为.5已知,求.解: ,.6已知三阶矩阵的行列式,求.解: .7计算下列行列式:(1) ; 解: 将原行列式的第1列加于第2列,第2列加于第3列,第列加于第列,得.(2) .解: 原行列式按第1列展开,得,由此递推公式并注意,就可推知.8证明:(1) ,其中;证明: 左边行列式的第列提取,得.4(2) .证一: 左边行列式,其中,于是.证二: 不妨设各不相同,否则等式两边都等于零.考虑,其中,.显然为的四个根,由韦达定理知.注意为范德蒙行列式,所以.习 题 1-31已知是三阶方阵,且,求,和.解: ,.2求线性变换的逆变换.解: 线性变换的系数矩阵,其伴随矩阵为.将按第1行展开,得,因此可逆,其逆矩阵为.所求逆变换为3解矩阵方程,其中,.解: 矩阵的伴随矩阵为.将按第1行展开,得,因此可逆,其逆矩阵为.所求解为.4设,且,求.解: 由,得.,因此可逆,其逆矩阵为.由,得.5设,求伴随矩阵的逆矩阵.解: .6设,且,求.解: 由,得 ,所以.7设,证明:.证明: 由,得,因此.8设方阵满足关系式,证明可逆,并求其逆矩阵.证明: 由,得,因此可逆, 其逆矩阵为.习 题 1-41设,求和.解: 令,则,.所以,.2设,求.解: 令,则,.所以.3设,其中,求.解: ,.由得,.4设为阶可逆方阵,为阶方阵,为矩阵,为 矩阵.计算,并由此证明.解: 按矩阵的分块乘法运算,两边取行列式,得.由,即得所证.5设为阶方阵,为阶
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