（应用数学专业论文）非线性离散volterra方程的非负解.pdf

非线性离散v o l t 急r r a 方程的非负解中文提要 中文提要 在本文中，我们着重讨论如下形式的离散v o l t e r r a 方程： n z ( 仃) = ，( 脚+ a ( n - j ) g ( j , z ( j ) ) ， j - - o 其中n 0 ，20 为整数，向量z 0 ) ，舻为d 一维欧氏空间。n o ) 为d x d 矩阵，( j ) 为给定的扰动序列特别地，我们讨论了渐近常数解在本 文中，我们定义了n 与d 乘积( 以下简写成n a ) 的预解，其中口= 口) j 抽 为一给定的序列我们将n a = n a o ) b o 的预解记着r = r n u ) ) ，独我们对 r = r u ) b o 进行了条件限制，令其满足t 对所有正数n 。r r 非负，且 r ( j ) 曼k ，( o 兰k o 在本文中非常重要首先，我们给 出了一些必要的定义，然后我们给出了一些条件使得方程( 1 ) 在这些条件的 保证下有且只有一个非负解，特别地，在证明方程( 1 ) 有且只有一个非负解 时我们应用了压缩映射求不动点的方法；接着，我们给出了一些基本的结 论，我们给出了一个比较定理以及其它和方程( 1 ) 的非负解有关的结论；最 后，我们对n a = 0 0 ) ，之。的预解r = r ( j ) ) ，2 0 进行了说明，给出了一个 条件来说明本文中r n = r 0 ) ) ，) o 所要求的条件是完全可以达到的 ， 关键词：离散v o l c e r r a 方程，预解，非负解 作者：吴冬梅 指导老师；宋亦洪 n o n n e g a t i v es o l u t i o n so fa o n l i n e a rd i s c m t ev o l t e r r ae q u a t i o n s a b s t r a c t n o n n e g a t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s a b s t r a c t f o rn o n l i n e a rd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n sw i t ho rw i t h o u td e l a y , w eo b t a i ns e v e r a l r e s u l t sc o n c e r n i n ga s y m p t o t i cb e h a v i o ru n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s w ed i s c u s st h es 0 1 i o no f s o m en o n l i n e a rd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s w ea r ei n t e r e s t e di na ne q u a t i o no ft h ef o r m n 。( 哟= ，( 忭) + a ( n - j ) g ( j ，z o ) ) ( 1 ) 3 f f i o w h e r et l 0a n dj 0a l ei n t e g e r s ，v e c t o r sz 0 ) ，i sd e f i n e di nc h a p t2 ，a ( j ) a r e p r e s c r i b e ddxdm a t r i c e s ，a n df i n a l l y , ，a r eag i v e ns e q u e n c eo fp e r t u r b a t i o n s i n p a r t i c u l a rw ew i l ll o o ka ta s y m p t o t i cb e h a v i o ra n da s y m p t o t i c a l l yc o n s t a n ts o l u t i o n s i nt h i st ) a p e rw ed e f i n et h er e s o l v e n to fn a = 口0 ) ) ，2 0 ，s a yi tr = r r 0 ) b o ，t h e n w el e tr = r 0 ) ，2 0s a t i s f i e s ：f o ra l lp o s i t i v en u m b e rna n dt h a tr i sn o n n e g a t i v ef o r a l lp o s i t i v en ，a n de j 。- _ _ or n o ) k ( 0s k 0 为给定的一个将z + 映射到r 上的扰动序列，同时对所有 j z 十，f o ) 均有界，即存在m o 0 使得对所有j z + 均有：i f c ) ls m o 定义2 1 若口= o ( 佗) ) 。 0 满足似，如果r = p ( n ) h o 满足 n r ( n ) = a ( m - e r ( n - j ) a ( j ) ， j = o 则我们称r = p ( 竹) 。 o 是o = n ) 佗。的预解 我们注意到在假设( a ) 下，对所有n 0 ，r ( 仃) 均存在 3 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 二 预备知识 定义2 2 若方程r j ，的解霉= z ( 哟) 。 o 满足z ( 住) 0 ，则称方程n ，的解霉= 扣( n ) ) 。之。非负 引理2 1 若口= 口( ，1 ) ) 。2 0 满足似j ，则方程似等价于t n n 茁m ) = ，一r ( n - j ) ( j ) + r ( n - j ) 9 g ，x c j ) ) + 霉( j ) 1 i = oj ；o 证明；首先我们考虑方程( 1 ) 的线形部分。 n z ( 礼) = ，( n ) 一a ( n - j ) x ( j ) 将方程( 1 ) 的两边分别乘以r u ) 并且对n 从竹= 0 到0s jsm 进行求和。我 们可以得到： n r ( m 一( ，( 哟一z ( 哟) n = o mm = r ( m - j ) a ( j n ) z ( 他) n 军0 3 _ - - - - 。a 再利用( ) 及( 2 ) 则有 fn，n r ( m - n ) ( f ( n ) 一z m ) ) = a ( m - n ) - r ( m f 1 ) 】霉( 佗) ，i = o f = o 因此我们可以得到 r ( m 一酬m ) 一口( m n ) 。( n ) l = o ( 3 ，) n = 0 根据( 3 3 ，我们将( 3 ) 代入到( 1 3 中我们可将( 1 ) 改写成我们想得到的形式 霉( 仃) = 砌) 一r ( n - j ) l c f ) ( 4 ，) = 0 4 u 茁 力 一n 烈 。瑚 嘭 一m “ m 脚 = u o 力 一n口n mr m qm 瑚 l | 非线性离散v o l t 七r r s 方程的非负解 二 预各知识 方程( 1 ) 改写成。 x ( n ) =，( n ) + a ( n - j ) g ( j ，u ) ) ，( 哟+ d ( n j ) 卜口+ 扫( j ，z u ) + z u ) ) ，( 哟一口( n j ) 刃o ) + a ( n - j ) g u ，。u ) + z u ) l j = o j = 0 则易看出方程( 1 ) 是将方程( 1 ) 中的，( 乱) 用，+ 路o a ( 忭一j ) 【g 霉0 ) ) + 霉1 来代替而得到的，则从( 4 ) 中我们可得到 2 ( 一，( t 1 ) + r ( n j ) ，o ) 一o ( n 一 ) 【g ( f ，( f ) ) + 2 ( f ) = 一r ( n j ) a ( j t ) l q ( t ，( z ) ) + 茹( 1 ) l j = 0 l = 0 忭n = 一r ( n j ) 8 u j ) b ( f ，霉( j ) ) + 峦( f ) i 由上及( + ) ，我们可得到方程( 1 ) 的解为： 证毕 霉m ) = ，m ) 一r ( n - j ) f o ) + r ( n - j ) g u ，盘( j ) ) + z ( 拂 3 = 0 j = o 口 对任何正数n ，以及满足( a ) 的o = a ( 竹) ) 。 0 ，利用( 4 ) ，注意到n a = o 。邳的预解r = t r ( 哟) 。o 总是存在的我们在本文中将频繁地用到 定理2 1 若口满足条件似) ，口是一个从z + r 映射到r 的连续函数，是 5 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 二 预备知识 一个从z + 映射到r 的函数，则对所有的正数n ，方程等价于t 咖) ：f c n ) 一壹州忭卅朋+ 壹r 棚( 矧+ 譬掣) ( 2 ) j ；0 j = o 证明：首先，由引理2 1 。我们知道方程( 1 ) 等价子如下方程。 z c n ) = ，( 帕一e r 一j ) ，o ) + r ( n j ) i g ( 五。u ) ) + z c j ) l j = 0 f u 我们注意到对所有正数n 。方程( 1 ) 可写成： 咖) ；f c n ) f c n ) + 壹n a ( n 卅华$ ( 竹) = + 一j ) 半 】= 0 利用与引理1 相同的推导，易知有， 州- ，( 一壹附( 竹卅，u ) + 壹r n 卅( 砌) + 华) j - - o j = o 6 口 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 三 基本结论 第三章基本结论 现在我们来对方程( 1 ) 进行讨论 首先我们给出一个定理来说明方程( 1 ) 在一定条件下有非负解然后我 们在这个定理成立的条件下，给出其他和非负解相关的定理及推论在这 一章节中我们给出了本文的基本结论 定理3 2 若口，9 ，分别满足条件例，回及倒，g ( j ，o ) 20 且对所有 j z + 均有界，即，存在胁20 使得对所有j z + 都有i g o ) is 尬，对所 有正数，r = r o ) ) ，芝。非负且 ，满足。 r ( j ) k ( o k 0 ，方程俐有唯一的非负解 证明：方程( 1 ) 可改写成； 荆：砌) 一壹咐( n 嘲彻+ 妻r ( 竹卅( 枷+ 啦笋) ：删一壹r n ( n - j ) f ( j ) + 壹憎( 礼一j ) b o ) + 盟型宅掣型业i= 删一+ 憎( f l j ) b o ) + 业型坚挚必 ：川一妻嘶卅彻+ 妻咖卅( 掣) + 壹r ( 州) 【业学+ 螂 7 非线性离散v o l t e r r s 方程的非负解 三 基本结论 对任意的霉= 霉( 礼) ) 。 o 翠，我们定义一个翠上的映射日如下s 脚) ( n ) ；m ) 一壹r ( n 卅m + 壹r ( n 卅( 丛铲) j = o j - - - o + 壹憎卅【业学+ 螂 j = o 我们将要证明日是一个从蜂到擘上的压缩映射 由定理的条件易知 川一壹砷卅，u ) + 妻州n 硼( 等) ，= oj = o 对所有他0 均有界为了证明日( 岳) ( n ) 有界，我们首先要证明 壹r 。v ( n 卅【盟鹄业+ x l ，) l 一j ) 【业型产+ 一 j = o 对所有z = 伽( n ) ) 。o 罕均有界令l 为g 的l i p s c h i t z 常数，即有： 1 9 ( j ，2 ( j ) ) 一g ( o ) i l x o ) 则 囊n - j r l v ( n ) 【盟型掣十。u ) 】) 【业型产十。u ) 】 j = o 对所有t l 0 均有界 接着我们将证明对所有，l 0 ，若z ( n ) 0 则日( 霉) ( 0 因为 n 似) 一r l c ( n 一，) 刚) 0 o ) j - - - - o 妻砷卅( 学) 2 o ( 忭0 ) j o 8 非鲢性离散v o l t e r r a 方程的非负解 三 基本结论 及 则 1 9 ( $ u ) ) - g ( j ，o ) i 冬l i z ( j ) i ；工岔( j ) 一l z ( j ) sg o ，z 0 ) ) 一9 u ，0 ) sl x u ) 若我们选择 五，则我们将有 薹砷硼【学删 0 由此可知日( z ) ( 哟0 ，即，当 l 时若窄，则日擘 由于 荆( 旷鼬) ( 哟l ：i 妻啡卅【x c j ) 一矧+ 盟业产 日( 动( 竹) 一日( ) ( 哟l = i r 一j ) 【一v o ) + 墨卫坠型气! 坠! 型型 j = o 0 z 一i 。+ 1 k f l 。一9 0 。 s ( k + 铷叫 我们注意到当n m a 】c 尚，研时，k + 静 1 令a = k + 静，则0 入 0 充分大时，h 是一个从蹿到翠的压缩映射因 此，日有且只有一个不动点，这个不动点就是我们想要得到的方程( 1 ) 的唯 一非负解定理3 2 得证 r l 注3 1 从定理8 2 的证明过程，我们可以得到这样的结论。在方程 酬叫卅妻啊 卅【盟学+ 圳 j = o 。 9 非线性离教v o l t e r r a 方程的非负解 三 基本结论 中。在定理3 2 的条件下，若膏( n ) 非负且有界。则方程有且只有一个非 负解 推论3 1 若o ，g ，分别满足条件似j ，倒及仰同时对所有正数n ， r 非负，且函r n ( j ) sk ( o sk o 为方程( 1 ) 的解，则有 n 。) = ，m ) 一a ( n - j ) 9 ( j ，u ) ) 令口( 他) = 霉( n ) 一甄，则有 n ( n ) = ，( n ) 一风一a ( n - j ) g ( j ，o ) 十坼) ， 由此我们就得到， 咖) ；川一k i + 妻咖卅( ，u ) 啦) + 妻州州) 亟掣 + 妻帅硼【业继孚逊型圳) 1 j - - 0 由注( 3 ，1 ) ，我们可以知道上述方程有且有一个非负解，故有：z ( n ) 一k t 之0 即，茹( 佗) 硒，t l 0 ，则( i ) 得证 非线性离散v o l t e r r s 方程的非负解 三基本结论 类似的证明应用到鲍一z ( n ) 上我们可完成( n ) 的证明推论得证 口 下面我们将给出一个比较定理 定理3 3 考虑如下方程： n 口( 哟= f ( 哟+ a ( n - j ) g ( j ，( j ) ) j = 0 及 卫( ，1 ) = ，( 他) + a ( n - j ) g ( j ，$ o ) ) 其中n z + 设，及f 均满足条件例，g 及g 均满足条件f 印，口满 足条件似，对所有正数n ，r 非负且有刍r n ( j ) sk 【osk 二时，z c n ) 非负，亦即，对任意的20 及 n o 我们有七+ 彳) 一g ( n ) 0 ，这样我们就证明了盘似) 2o ) 不减 口 定理3 5 若o ，g ，分别满足条件例，r 纠及倒同时对所有正数 ，r 非负，且e t = o r o ) sk ( o k 1 ) ，若对任意的霉r ，9 满 足t l i 一口( m 兰g ( o o ，霉) 存在对任意的l z + 及茹r 。我们定义 9 1 ( 忭，= s u p 曲 功：竹s j ) 。口2 ( n ，刃) = i 1 f 协0 ，z ) ：佗s j o 。) 则我们有以 下的结论成立。 1 3 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 兰 基本结论 对汪1 ，2 ，矿是一个从z + r 映射到r 的函数，并且对第二个变量满足 l i p s c h i t z 条件 例对于固定的茁，9 t 如，) 关于忭为不增函数，矿( m z ) 关于n 为不减函数 纠对t = l ，2 ，对霉r ，极限l 衄j 一矿瓴功存在且等于g ( o o 倒若对t = 1 ，2 ，j z + ，9 i 0 ) 有界。则方程例的解以方程母= o a ( n - j ) 9 1 ( 丘u ( j ) ) 的解为下界，以”( m = a ( n j ) 矿 0 ) ) 的解为上界 证明：令l 为g 的l i p s c h i t z 常数，则对于任意的给定r ，| r ，有 g ( i ，”) 一l i = 一，i g ( j ，茁) 鲋，口) + l l z 一圳，其中j z + 则在上面不等式的两 边同时取上确界，则易知。口1 ，。) 对第二个变量霉满足l i p s c h i t z 条件对固 定的n ，函数g l ( n ，) 对第二个变量霉连续且对盘满足l i p s c h i t z 条件，所以函 数g ，( z ) 对第二个变量霉连续，由函数g t ( 付，z ) 的定义，我们容易知道对于 固定的。r ，g l ( n ，茹) 关于竹为不增函数，其极限h 。9 1 ( 霉) 存在等于 g ( o o ，z ) 同理可证9 2 具有相类似的性质 ( d ) 的证明只需要应用定理3 4 ，我们注意到茹) ，u ( 竹) ，伽( n ) 满足下列关 系： n 。( 礼) = a ( - y ) g c j ，霉) ，n 0 ( 5 ) i - - o n t ( n ) = a ( n 一加1 u ，u ( m ，l 0 j = o n ( 竹) = a ( n j ) 9 2 ( 五 o ) ) ， ，l 芝0 j = 0 而对有的n z + ，有 9 1 ( n ，z ) 一o ( n ，功0 及9 ( n ，。) 一9 2 ( n ，z ) 0 1 4 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 三 基本结论 令v ( d = t ( n ) 一霉( n ) 及z ( m = x c n ) 一w c n ) ，贝 n ( n ) = o ( n - 3 ) z 1 ( t o ) ) 一g o ，茹u ) ) j = o n z m ) = 口( ，l - j ) | q f j , z ( j ) ) 一矿0 t f j ( ，) ) j = o 由定理3 4 的证明及由注( 3 1 ) ，我们知道( d ) 成立 口 定理3 6 若口，g ，分别满足条件似，矧及例同时对所有正数n ， r 非负，且函r u ( j ) k ( o k 0 使得对所有的，1 有， ) 一口( 酬 l ，使得备r a ) 2 飓时，我们有： i r u ) 口协- 2 一口( o o ) r n ( 2 1 j - = o ，= 0 ；i r n ( j ) g ( n - j ) 一口( ) 似( j ) 一g ( o 。) r u ) i y - - o j = oj = 计1 = i r u ( ) q ( n - j ) - q ( c e ) l 一口( ) r # u ) l y = o j = n + 1 地 = i r n ( i ) q ( n - j ) 一q ( o 。) 】 j f f i o + r m ( j ) q ( n - j ) 一口( 酬- q ( o o ) r n u ) i j = jj = n + l s 壶k + 击2 m - i - 南m 当k = 0 时显然成立 由上面的过程可知z t l $ 臬r n ( n 一，) g ( 力= 口( o 。) r u ) ，霉oj = 0 定理中的条件足以保证l i _ 。g ( n ，霉( 呐) 存在而且等于9 汹，茹( o 。) ) 将上 面的证明过程应用到g ( 哟= 9 ( n ，z ( 哟) ，则定理得证 定理3 7 若。及g 分别满足条件阻j 及俐同时对所有正数n ，i n 非负， 口 且函r 0 ) 墨( o k 1 ) 。对固定的l ，g ( y ，口) 是一个关于j 不减的函 数，g ( 0 ，o ) 0 。同时对所有的j z + ，9 0 ) 均有界对所有的害r ，极限 l i 一9 ( 动兰“，甸存在若存在一个非负的数m r 及一序列肌一o o 1 6 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 三 基本结论 使得 m 嘻删c m + 铲， 对所有n f 肌) 均成立，则方程例的解满足 x c n ) m t l z + 证明：首先我们注意到当n 帆) 时， m - - 妻呐硼( m + 学) + 壹r n ( j ) ( m + 丛铲) j = o j = n 十1 由于方程( 5 ) 等价于 2 ( 哟：妻r 一刺j ) + 盟掣) 2 ( 哟= r 一舯( j ) + 半) 这样我们就有： m - z ( 而；壹咖卅m 叫打鸣芦一譬笋1 + g - - n 妻嘶) ( m + 里学)+ r n o ) ( m + 型型 ：壹咖卅阻哪) + 型与竽业】 + 壹啊m 卅妲半 + 妻r n o ) ( m + 学) + 鼍产) 因为m 是一个非负的数，故对充分大的n ，m + d 写；产非负因此对充 分大的，墨叶，r o ) + 学) 非负且有界另一方面，9 m ) 关于j 为不减函数，对j z + ，g ( o o ，肘) 一g ( j ，芝0 由此我们知道，对f i z + ， 1 7 、 1f r k +一 + 十7 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解 兰 基本结论 函r ( t l j ) 出丝嘉丛盘丝非负且有界因此有 m 一酬：川+ 妻r n ( n - j ) m 一嘲+ 趔学 一喾m ) = 青m ) + 一霉o ) + 业坐产 j - - = o 这里七( = 粢o r m 一，) 出业g 亍豇艘+ 各+ l 研( j ) ( m + 2 生斋箜) 是一个从z + 映 射到r 的有界非负函数由注( 3 1 ) 我们可以知道，对 t l z + ，有害( 哟sm 定理得证 口 1 8 非线性离散v o l t , e r r a 方程的非负解暇注释 第四章注释 注释4 1 本文中的定理2 j 一定理3 6 中，我们都对7 n = p n 唧) ) 心。进行了假 设。我们假设t 对所有正数。r 非负，即r m 0 ) 芝吣o ) 且p ”= o , - u 0 ) 耳( 0 k 0 , a c + ) 。u ) ，面手竿万2 面子譬b o o ) 0 q 则由参考文献肛彬。我们可得到： 详细的介绍可参阅肛纠 ( 0 k 1 3 k 一 咐 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解参考文献 参考文献 【l | 1a g a r w 8 l ，r p ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ，t h e o r y , m e t h o d s ，a n da p p l i c a t i o n s ， m a r c e ld e k k e r ，i n c ，n e wy o r k ，1 9 9 2 f 2 1b a k e r ，c t h a n ds o n g ，y ，d i s c r e t ev o l t e r r ao p e r a t o r s ，f i x e dp o i n tt h e o r e m sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n ，n o n l i n e a rs t u d i e s ，1 0 ( 2 0 0 3 ) ，7 9 - 1 0 1 【3 1 3b a k e r ，c t h a n ds o n g ，y ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fd i s c r e t ev o k e r r ae q u a t i o n s ，m a t h e m a t i c s a n dc o m p u t e ri ns h n u l a t i o n ，6 4 ( 2 0 0 4 ) ，5 2 1 5 4 2 【4 】c t h b a k e r ，a t a n g s t a b i l i t yo fg r a z i n gs y s t e m sw i t hi n f i n i t ed e l a y s ，m a t ha n dc o m - p u t e r si ns i m u l a t i o n v 0 1 4 5 p p 3 0 9 - 3 1 7 s p e c i a li s 8 u e ”d e l a y ss y s t e m s ”，j p r i c h a r d ， v k o l m a n o v s k i i ( e d 0 1 9 9 8 【5 lm r c r s c i ，v b k o l m a n o v s k i i ，e r n s s o ，a v e c c h i n ，s t a b i l i t y no fc o n t i n o u sa n dd 融 c r e t ev o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yl i a p u n o va p p r o a c h ，j i n t e g r a le q u a t i o n s a p p l 7 ( 5 ) ( 1 9 9 5 ) 3 9 3 - 4 1 1 【6 】s e l a y d i ，a ni n t r o d u c t i o nt od i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s p r i n g e r n e wy o r k 1 9 9 6 ms e l a y d i ，s m u r a k a m i a s y m p t o t i cs t a b i l i t yv e r s u se x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nl i n e a rv o l t e r r a d i f f e r e n c ee q u a t i o n so fc o n v o l u t i o nt y p e j d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa p p l 2 ( 1 9 9 6 ) 4 0 1 - 4 1 0 【8 | e l a y d i i v t s a ni n t r o d u c t i o nt od i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，2 0 0 5 ( 3 r d e d i t i o n ) 1 9 le l a y d i ，s ，d i s c r e t ec h a o s ，b o c ar a t o n ，c h a p m a nh a l l ，2 0 0 0 【l o f o r d ，n j ，b a k e r ，c t h ，q u a l i t a t i v eb e h a v i o u ra n ds t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fd i s c r e t i s e d n o n l i n e a rv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n so fc o n v o l u t i o nt y p e ，j c o m p u t 。a p p l m a t h ，6 6 非线性离散v o l t e r r a 方程的非负解参考文献 ( 1 9 9 6 ) 2 1 3 - 2 2 5 【1 1 1k g o p a l s a m y , s t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o n si nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp o p u l a t i o n d y n a m i ck l u w e r ，d o r d r e c h t 1 9 9 2 【1 2 jv b k o l m a n o v s k i i ，a d m y s h k i s s t a b i l i t yi nt h ef i r s ta p p r o x i m a t i o no f8 0 m ev o l t e r r a d i f f e r e n c ee q u a t i o n s j d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa p p l 3 ( t 9 9 8 ) 5 6 3 - 5 6 9 【1 3 1k o l m a n o v s k i i ，v b ，m y s h k i s ，a d a n dj - p r i c h a r d ，e s t i m a t eo fs o l u t i o n s f o r8 0 m e v o l t e r r ad i f f e r e n c ee q u a t i o n s 。la k s t h a m sl e g a c y ：8t r i b u t eo i lh i s7 5 t hb i r t h d a y n o n l i n e a ra n a l t m a4 0 ( 2 0 0 0 ) ，3 4 5 - 3 6 3 ， 【1 4 】v bk o l m a n o v s k i i ，a d m y s h k i s ，j - p r i c h a r d e s t i m a t eo fs o l u t i o n sf o rs o m ev o l t e r r a d i f f e r e n c ee q u a t i o n s n o l i n e a ra n a l y s i s4 0 ( 2 0 0 0 ) 3 4 5 - 3 6 3 【1 5 】l a k s h m i k a n t h a m ，v ，t r i g i a n t e ，d ，t h e o r yo fd i f f e r e n c ee q t m o n s ：n u m e r i c a lm e t h o d s a n d a p p l i c a t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 8 【l6 】v l a k s h m i k a n t h a m ，d t r i g i a n t e d i f f e r e n c ee q u a t i o n s a c a d e m i cp r e s s n e w y o r k 1 9 8 6 【l z ls l a m i r i ，b b o u a m a m a ，j - pp j c h a r d m o d e l i n g o fa s t e a mg e n e r a t o ru s m gd i s - t r i b u t e dp a r a m e t e re q u a t i o n s i nc o n f e r e n c eo ns y s t e m c o m p u t e r sa n dc i r c u i t s c