（基础数学专业论文）非线性粘弹性波动方程解的存在性与渐近性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性粘弹性波动方程解的存在性 与渐近性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究 成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式 注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：掾诧福日期：冽口、毕、，口 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性粘弹性波动方程解的存在性与渐近性系本人在曲阜师范大学攻读 硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师 范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜 师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文 的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：t 虽： 才福日期：弦加、鼽，9 导师签 厶日期：c 9 - 4 。矗和 ，备鬟孽f 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本文研究非线性粘弹性波动方程积分边界条件下解的存在性，唯一性与指数 衰减性 + l u r u = 0 晏。) u 产0 ( z ，t ) q ( 0 ，o o ) ，( 1 1 ) ( z ，t ) r 1 ( 0 ，o o ) ，( 1 2 ) ( z ，t ) f 0 ( 0 ，o o ) ，( 1 3 ) z q ( 1 4 ) 本文共分四节 第一节，介绍了非线性粘弹性波动方程的研究意义及国内外研究现状，同时 给出本文所要研究问题的假设条件 第二节，列出s o b o l e v 嵌入定理和几个重要的不等式等预备知识 第三节，证明了( 1 1 ) ( 1 4 ) 解的存在性与唯一性，其中包括f a e d o - g a l e r k i n 逼 近，先验估计，极限过程以及解的唯一性四个部分 第四节，我们通过引入下面的泛函证明了解的指数衰减性 f ( t ) = e 0 ) + e 1 妒( ) + 2 x ( t ) ， 其中2 为正常数并且 帅) = 上郴妣 婶) = 一上u tz 叫( u 一u ( 州捌z ， 关键词：非线性波动方程；f a e d o - g a l e r k i n 方法；存在性；唯一性；衰减 性 m mz u 酞 m 州 埘 7 、j 1 d 牡 冲 岫 m 丁 = m l i u n ：、 觚 斗 栅 一 沁一乳 珏 ” 鸯饥 t b 厂厶 卜，嫩 “ 他似 u ，0 = 舭 r 炉 钮 。 一。栅 r i i u 一h p 吣 一丝加吣 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c e ，t h eu n i q u e n e s sa n d t h ee x p o n e n - t i a ld e c a yf o rt h es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n w i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ， u 优一t + j f ! 。h ( t - - t ) a u ( 丁) d 7 - + 。( z ) u t + l u r u = 0 ( z ，亡) q ( o ，o o ) ，( 1 1 ) ，0 u ：0 ( z ，t ) f ix ( 0 ，。) ，( 1 2 ) 笔一z tm 刊嚣打州+ m ( i i u 峰。) 驴。 ( 州) ef ox ( ( 1 3 ) u ( z ，0 ) = 铷( z ) ，饥( z ，0 ) = u l ( 2 ；) z q ( 1 4 ) t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ei m p o r t a n c ea n dt h ei n t e r n a t i o n a lr e - s e a r c hp r o g r e s so ft h en o n l i n e a rv i s c o e l a s t i dw a v ee q u a t i o n ，w ea l s o s t a t et h e h y p o t h e s e sf o rt h ep r o b l e m i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w el i s ts o m ep r e l i m i n a r i e ss u c ha st h es o b o l e vi m b e d - d i n gt h e o r e m ，s e v e r a lk i n d so fi m p o r t a n ti n e q u a l i t i e sa n d s oo n i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n t ot h ep r o b l e m ( 1 1 ) ( 1 4 ) t h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c ei n c l u d e sf a e d o - g a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n ，s o m ep r i o re s t i m a t e s ，l i m i t i n gp r o c e s s i nt h ef o r t hs e c t i o n ，w ep r o v et h ee x p o n e n t i md e c a yo ft h es o l u t i o nb yi m - p l y i n gt h ef u n c t i o n a l w h e r e 1 ，e 2 g i v e nb y f ( t ) = e ( t ) + 1 妒 ) + e 2 x ( 亡) ， a r ea r b i t r a r yp o s i t i v ec o n s t a n t s ， 妒( t ) a n dt h ed e f i n i t i o n so f 妒( t ) ，x ( t ) a r e f fu t u d x ， j u 她) = 一上饥z 绯刊( 啡) 叫丁) ) 删 k e y w o r d s n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；f a e d o - g a l e r k i nm e t h o d ；t h ee x i s - t e n c e ；t h eu n i q u e n e s s ；t h ea s y m p t o t i c 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一节引言1 第二节预备知识4 第三节 解的存在性与唯一性一j 7 第四节解的指数衰减性1 8 参考文献3 0 致谢3 3 析到了2 0 世纪，随着现代科学技术和其他各数学分支的发展，偏微分方程理论 的研究已经突破了经典理论的局限，而在更一般的框架中讨论问题已十分必要 非线性偏微分方程初边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学 科中，是目前非线性科学领域中最为活跃的研究领域，而非线性粘弹性偏微分方程 初边值问题是近年来讨论的热点，是目前偏微分方程中的十分重要的研究课题 本文证明如下非线性粘弹性波动方程积分边界条件下解的存在唯一性与指数 衰减性， u 配一u + h ( t t ) a u ( t ) d t + o ( z ) u t + l u l l u = 0 ( z ，t ) q ( 0 ，o o ) ，( 1 1 ) “= 0 ( z ，t ) r 1 ( 0 ，o 。) ，( 1 2 ) 面o u z 。危( t 一丁) 赛打+ 9 ( u t ) + m ( i i 训 。) u t = 。 ( z ，) r 0 ( 。，) ，( 1 3 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( x ) z q ( 1 4 ) 其中qc 时为具有光滑边界的有界区域，a q = rj - f ouf 1 ，亍on 亍1 = o 本文假设如下： ( a 1 ) 危( z ) ：r + _ r + 为有界c 1 函数，使得h ( 0 ) 0 ，且 1 一z 忡勘。， 且存在正常数t o 0 ，对vt t o 满足 一l h ( t ) ( 亡) 5 - 2 h ( t ) ， 0 ( t ) 已 ( 亡) ， 其中1 ，2 ，岛为正常数 ( a e ) g 为非减的c 1 函数，g ( o ) = 0 且存在正常数口，使得 夕( s ) s qj s l 2 ， vs r 1 歹 j 型型堕墼鳖娑堂垡迨塞 i g ( s ) i i s i ， v5 r ( a 3 ) 。( z ) ：q _ r + 为非负有界函数，且在q 上的某个子区域ucq 上满足 a ( x ) a o 0 ，g e z ( a ) 函数m ( s ) 为 o ，) _ 【m 。，o 。) 的连续可微函数，其中m o 0 ( a 5 ) ，y 满足 0 ，y 高，n 3 2 ， 一一礼一 ”= _ ，y 0 ，n = 1 ，2 ( a 6 ) 初始数据u o ( z ) ，u 1 ( z ) 满足 u 。y n 日2 ( q ) ，u 1 v 其中y = u h i ( q ) ：z r 1 时u ：0 ) o a u _ _ _ 2 0 + m ( 1 l u o l l 。) u l + g ( u 1 ) ：o ，z r o 在上述假设的基础上，我们证明了定理3 1 和定理4 1 ，即问题( 1 1 ) 一( 1 4 j 存 在唯一解u 满足 u l o o ( o ，丁；y ) ，u t l ( o ，r ；y ) ，u 甜l ( o ，t ；l 2 ( q ) ) ， 并且存在正常数k b ，k 0 ，对于vt t 。能量泛函e ( 亡) 满足 e ( t ) k e 一船 对于方程( 1 1 ) ，当边界条件( 1 2 ) ( 1 3 ) 改为钆= 0 ，( z ，亡) a q ( o ，+ o o ) 时 文【1 】讨论了如下初边值问题解的存在性、唯性和衰减性， 卜_ u + t h ( t - t ) a u ( t ) d t + a ( z ) u t + l u 队：。 ( 州) q ( o ，。) ： 1u ( z ，。) = o z a q ，0 ， 【u ( z ，o ) = u o ( x ) ，u t ( x ，o ) = 让1 ( z ) z q 其中函数a ( x ) 满足条件( a 3 ) ，并且在假设 一x h ( t ) 7 ( 亡) 已九( 亡】，t 0 2 曲阜师范大学硕士学位论文 下得到解的指数衰减性，文【8 】8 在减弱对a 和九的要求下，改进了文【1 】的结果 文【1 2 ，1 6 ，2 0 ，】等文献也研究了粘弹性波动方程在齐次d i r i c h l e t 边界条件下解的 渐近性质 当( 1 1 ) 一( 1 4 ) 中- y = 0 ，o ( z ) = 0 ，m ( 8 ) = 0 时，文【2 】讨论了下面的线性偏 微分方程初边值问题解的存在性、唯一性和衰减性， 卜“f o h ( t _ 下) 舭( 帕_ 0 ( 础) 印( o ， l u = 0 ( z ，亡) r l ( 0 ，o 。) ， 1 暑罟一z 。危( 亡一下) 骞罟d 丁+ 9 ( u t ) = 。 ( z ，亡) r 。( 。，。o ) ， iu ( z ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = u l ( x ) z q 文【3 1 研究了下述问题解的存在唯一性及渐近稳定性， 卜以时f o 。h ( t _ 下) 渤嘶) ) 9 ( _ o 牝队( o 毗 ( p 【3 】) u z ，o = u 。z ) u t z o = u 1 z ( z 。q l u = 0 ( z ，t ) f 1 ( 0 ，o 。) ， l 一荔+ t h 。一丁) ( 。v u ( 丁) ) 打= 1 u + m ( 悼。) u 。( z j 亡) r 。( 。，) 文【1 0 ，1 7 】研究了当问题( 曩3 1 ) 中o ( z ) 1 11 ，g = 0 及边界条件为齐次d i r i c h l e t 边界条件时，解的存在性和一致衰减性；文 9 ，1 1 】研究问题( 蜀3 】) 中口( z ) = 1 ，9 = 0 时及边界条件为非线性边界阻尼时，解的存在性及渐近性态 本文所研究的问题改进了【1 】中的问题的边界条件，较文【2 1 问题中方程及边 界条件更具一般性，同时本文问题不同于文【3 】中的问题，应用迹定理克服了边 界估计的困难 本文具体安排如下，第一节为引言，第二节给出一些预备知识，然后在第三 节用f a e d o - g a l e r k i n 方法和g r o n w a l l 不等式证明了( 1 1 ) 解的存在唯一性；在 第四节，应用先验估计和嵌入定理证明了解的指数衰减性 3 且 记 圳她璀，= ( z t 暇d ；) 1 p o 。，1 p 。， l | ui l p ( o ，t ；x ) = e s s s u p o t t | | ul i x 0 0 ，p = o o ( 叩) = 上u ( 咖( 州z ；( u 川r o _ z 。心) 巾) d r u 。= _ l u | p d f ；l | u l l = l t ( 岫) ；。：= 州岫) ，r n 引理2 1 1 7 l ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 为p 中的有界区域，其边界a q 是c 1 光滑的，则有 其中 且 础( q ) ql a ( q ) 口( q ) ql g ( q ) ，q ，y ( z 1 ，z 2 ，2 ；n - 1 ) ) ， 其中b ( z o ，r ) 表示以z o 为圆心，以7 为半径的球 引理2 2 1 4 l ( g r e e n 公式) f nv v v u d x = - 上u a v d x + 厶嘉u 弧 引理2 3 4 , 6 , 7 1 几个重要不等式 ( 1 ) c a u c h y 不等式a b v i a 2 + 石16 2 ，o ，b 0 ，7 7 0 ( 2 ) y o u n g 不等式 ( i ) a b 警+ 警，n ，b 0 ，一1 p ，q o ，e 0 ，g ( e ) = ( 叩) 一；g 假设1 p ，q 0 0 ，石1 + i 1 = 1 如果t 护( q ) ，钐l q ( q ) 则有 点恤到训州删脚) ( 4 ) g r o n w a l l 不等式( 积分形式) ( i ) ( t ) 是 0 ，列上非负可积函数且对几乎处处的t 满足积分不等式 ( 亡) gz ( s ) d 5 + q ，c ，岛。， 则对几乎处处的0 t t 有 ( t ) c 2 ( 1 + c i t e c - t ) ( i i ) 特别地，如果对几乎处处的0 t t 有 ) q 胁油， 则( 亡) = 0 o e i ( 4 ) g r o n w a l l 不等式( 微分形式) 5 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i ) 7 7 ( ) 是【0 ，t 】上非负绝对连续函数，且对几乎处处的z 满足以下微分不 等式 7 7 7 ( ) ( t ) 7 7 ( t ) + 矽( t ) ， 其中矽( t ) 和矽( 亡) 是【0 ，t 】上的非负可积函数，则 叩( 亡) e 片烈s ) 出卜( 。) + z 。妒( s ) d s ，v o 一 t 0 ，k = 1 ，m ) ，使得对v t o 七满足c a u c h y 问题 ( u ：l ( t ) ，w k ) + ( v u m ( ) ，v 叫知) 一h ( t 一丁) ( v u m ( 7 - ) ，v w k ) d r + ( 9 ( u 幺( t ) ) ，t ) r 0 + m ( 1 l u 。( t ) l 曙。) ( 乱幺，w k ) r o + ( o ( z ) 让。( t ) ，w k ) + ( 1 u 。( ) 1 1 u m ( ) ，毗) = 0 ，( 3 2 ) 及 卜。( o ) = u o r ，l = ( u o ，钮k ) w k _ u o ， u vnh 2 ( q ) ， 甓1( 3 3 ) lu = i t i m = ( u l ，w k ) w k 叶u l ， t v k - - - - 1 由微分方程的标准方法我们能够在【0 ，t , n 】，0 t 仇 0 求解( 3 2 ) ，( 3 3 ) 并且这个解能够延伸到区间【0 ，列 第二步：先验估计i 方程组( 3 2 ) 第七个方程乘以嚷) 并对k 求和，利用假设( a 3 ) ，( a 4 ) 得到 d - 矗7 1i i 姒) 1 1 2 + 扣勰) 1 1 2 + 壶删噼0 + a o l l u ( t ) 1 1 2 - i - m 0 0 u i m l 川1 2 r 0 - i - ( u 幺( ) ) ，u 乞( ) ) r 。 ( 一7 - ) ( v u m ( 7 - ) ，v u _ ) ) 打， ( 3 4 ) 7 曲阜师范大学硕士学位论文 具甲 “t h ( t 一丁) ( v m 0 - ) iw ( t ) ) d ，7 - j o = 爰z t 一丁) ( v 州吐v 叫亡) ) d - r - h ( 。) ( v u 水) ，v “刚 一z 。纵亡一r ) ( v u 撕) ，v u 以) ) 批 对( 3 4 ) 在( 0 ，t ) 上积分，并利用假设( a 2 ) 和( 3 3 ) ，得到 扣1 1 2 + 扣v u m ( 哪+ 雨i l l u m ( 堋丰； 一( 扣，m ) l l + 扣叫。) 1 1 2 + 而1 m 0 1 1 1 1 1 + 2 + 2 ) ，c，i t + n o l l u 幺( s ) 1 1 2 d s + m o l i u ，m ( s ) i 层。d s j 0j 0 s 一卢臼嘲驯l 孚。d s + t h ( t 叫( v u 撕) ，v u 勰) 渺 一九( 。) z ( v ( s ) ，v u m ( s ) ) d s z z 8 ( s 一下) ( v u m ( 丁) ，v ( s ) ) 打d s ( 3 5 ) 利用( a 2 ) 得到( 3 5 ) 右边第一项： 一p i i u ，m ( s ) l i ；。d s 0 所以( 3 5 ) 简化为 去i l u ( w + 扣v u m ( 哪+ 雨1 ( 螂麓 + 咖z 。| l u 幺( s ) 1 1 2 d s + m oz 。i i 乱幺( 5 ) | | 。d s k 1 + 上危( t 一7 ) ( v u m ( 丁) - ，v u m ( ) ) 打一九( 0 ) 上i l v u m ( s ) l l r t 2 如 ， 一z 2z 8 叭s 叫( v 嘣丁) ，v 州s ) ) 删s ， ( 3 6 ) 其中k 1 为与 2 , o 忾，1 1 2 有关的常数 利用c a u c h y 不等式及假设( a 1 ) 得到( 3 6 ) 右端第二项 z 嘶刊( v 州丁) ，v 州啪打 7 7 1 | v u m ( t ) 1 1 2 + 刍z h ( s ) d sz t h ( t 丁) 1 1 v u m ( 丁) 1 1 2 d 丁 7 7 慨仇( w + 刽圳l i i h l l p 川v u 仇( 丁) 1 1 2 d 丁， ( 3 7 ) 1 ，t 8 由( 3 7 ) 一( 3 9 ) ，可将( 3 6 ) 化为 ( 3 8 ) n 下) 打) 2 如 ( r ) 1 1 2 d 7 ( 3 9 ) 丢i l u ( 驯1 2 + 扣州圳| 2 + 南 7 + 钠2 p t，t + 口o i i z t ：( s ) 1 1 2 d s + m o u ，m ( s ) 喻如 j 0，0 k ：+ 7 7 1 1 v 州t ) 1 1 2 + ( 劫圳l ，i i 圳护+ 互1 + 尹12 羔。) o 啊州丁) 1 1 2 打 记 ( ) = 弘1 1 1 2 + 扣u 删1 2 + 雨1 ( 州i 1 1 + 3 , + 2 2 r t，t + o o 1 1 心( s ) 1 1 2 d s + m o 川心( s ) 峨d s ， ( 3 1 1 ) i ，0，0 则当7 充分小时 x m ( t ) c l ( s ) d 5q - q ， t ，0 其中c 1 = 南n h l l l - i l p + 1 + 1 2 忱l i 羔，再由g r o n w a l l 不等式得到 义击( ) q ( 1 + c i t e c t 。) l 1 ( 3 1 2 ) 其中l 1 依赖于m n 和t 【o ，t 】 先验估计i i ： 9 曲阜师范大学硕士学位论文 首先，我们考虑u 翁( o ) 在l 2 范数的估计 用蘸( o ) 分别乘以( 3 2 ) 然后对k 求和，再令t = 0 得到 ( u 幺( o ) ，u 幺( o ) ) 4 - ( v u m ( o ) ，v t 幺( o ) ) + ( 9 ( u ，m ( o ) ) ，u 袅( o ) ) r 。 + m ( i i u m ( o ) i l 手。) ( 钆幺( o ) ，钆幺( o ) ) r 。 + ( a ( z ) u ，m ( o ) ，仳巍( o ) ) + ( 1 u m ( o ) j 1 i t m ( o ) ，u 篆( o ) ) = 0 ， 由分部积分得 翱) 1 1 2 _ ( 州枷) ) + ( 掣嘲。) ) n + ( 9 ( u 幺( o ) ) ，u m ( o ) ) r o + m ( 1 l u m ( o ) l l 。) ( 钆乞( o ) ，钆象( o ) ) r 。 4 - ( 口( z ) u ，m ( o ) ，心( o ) ) + ( 1 u m ( o ) 1 1 t 。m ( o ) ，u 袅( o ) ) = 0 由( 3 。1 2 ) ，( 3 1 4 ) 及( 4 6 ) 得 l u 象( o ) 1 1 2 l 2 ， 其中l 2 依赖于仇n ，t 【0 ，丁】 下面对( 3 2 ) 关于t 求导得到 r t ( u z ( t ) ，叫k ) + ( v u ，m 0 ) ，v w k ) 一h 7 一下) ( v 札m ( 1 - ) ，v w k ) d t 一 ( o ) ( v u m ( 亡) ，v 伽_ i c ) 0 + ( 9 7 ( 略( t ) ) u 幺( 亡) ，铷k ) r 。+ 2 m 7 ( 1 l u m ( t ) l i 。) ( u m ( t ) ，u 幺( 亡) ) r 。( u ，m ( t ) ，w k ) r 。 + u ( 1 l 钍m ( t ) l l 。) ( u ：0 ) ，w k ) r 。+ ( o ( z ) u 袅( t ) ，w k ) + ( 7 + 1 ) ( 1 u m ( t ) 1 1 u 鲁( t ) ，w k ) = 0 ( 3 1 6 ) 在( 3 1 6 ) 两边分别乘以d ( t ) ，并对恐求和得到 i , t ( u 篙( 亡) ，u 象( t ) ) + ( v u ：n ( t ) ，v u 翁( 亡) ) 一危7 ( t 一7 ) ( v u m ( 丁) ，v u ( t ) ) d t j 0 一h ( o ) ( v u m ) ，v u ) ) + ( 9 ( 心 ) ) u 袅( t ) ，吆( t ) ) r o + 2 m ，( | i u m ( t ) i i 。) ( u m ) ，u 幺( t ) ) r 。( u 麓( t ) ，u 复( t ) ) r 。+ m ( 1 l u m ( t ) l l ；。) ( u 篆( ) ，u ：( ) ) r 。 + ( o ( z ) u 麓( ) ，u 袅( ) ) + ( ，y + 1 ) ( 1 u m ( 亡) 1 1 u ，m ( ) ，u ：( ) ) = 0 ( 3 1 7 ) 1 0 、， r ， - ) 埘 均 嘲 p 曲阜师范大学硕士学位论文 利用( a 3 ) ，( a ) 化筒( 3 1 7 ) 得到 d - 矗匠( 1i i 钆孔) 1 1 2 + 扣，m ) 1 1 ) - 蕊d 胁h 胛训，v 啪腑 + 九” 一下) ( v u m ( 丁) ，v u ，m ( t ) ) d t + ( o ) ( v u m ( 亡) ，v u 鲁 ) ) 一危( o ) 杀( v u m ( t ) ，v u 名( t ) ) + h ( o ) l v u 知( t ) 1 1 2 + ( 9 7 ( 吒( 亡) ) 吆( t ) 心( 亡) ) r 。 + 2 m ，( 1 i ) l 曙。) ( u 仇 ) ，u ，m ( t ) ) r o ( u ，m ( ) ，u 幺 ) ) i ，。+ 仇o i i 螺( 亡) l l 乱 4 - o o ( u 袅( 亡) ，u ：( t ) ) 4 - ( ，y4 - 1 ) ( 1 u m ( 0 1 7 u 幺 ) ，u 幺( t ) ) 0 ( 3 1 8 ) 考虑( 3 1 8 ) 式左端第六项，利用假设( a 2 ) 知 ( 9 i r u i 仇五，j u n m ( 亡) ，峨0 ) ) r 。0 ( 3 1 9 ) 考虑( 3 1 8 ) 式左端第七项，因为m 为g 1 函数，由嵌入定理日1 ( q ) ql 2 ( r ) ( 见【7 】) ， 利用( 3 1 2 ) ，h s l d e r 不等式及y o u n g 不等式得 1 2 m ，( i l ( t ) 喊) ( u m ( 亡) ，u ，m ( 亡) ) r 。( u ，m ( t ) ，心( t ) ) r o l c l l u m ( ) l l r 0l i 略( 刚r 。l l u ：( t ) l l r 。i 吆( ) i l r 0 o l l v u m ( t ) l ll l w t ( t ) l ll l 略( t ) l | r ol l 心( t ) l l r o 6 - ( 叩) i l v “，m ) 1 1 2 l l 心 ) l l ；。4 - 7 7 l u 翁( 亡) l 停。 考虑( 3 1 8 ) 式左端最后一项，因为 忐+ 百疋兰_ 雨+ 丢= 1 ； 篡1 ( q ) ql 2 n + 1 ( q ) ( 见【7 】) ， 丽钿+ 丽丽+ 芝2 1 ；舢2 ) q 脚+ 1 ( 见m 所以由h s l d e r 不等式，y o u n g 不等式和估计( 3 1 2 ) 得到 l ( ，y4 - 1 ) ( 1 u m ) 1 1 u 0 ( t ) ，仳幺( t ) ) i ( 14 - i ) i i u m ( t ) l l l ：h + 。) l l 略( t ) l ll z ( 1 + - ) l l t t ：( 亡) l l l ： 0 2 ( n ) l l w ( t ) 1 1 2 + r i l l 碟( t ) 1 1 2 、ill 哪 m e y m ( t ) + 危7 ( t 一7 - ) ( v u m ( 丁) ，v 心( t ) ) d 1 _ 一 ( s 一丁) ( v u m ( 丁) ，v u ( s ) ) d ，7 - d s 一( o ) ( v u m ( s ) ，v 如( s ) ) d s + ( o ) ( v 札m ) ，v 如 ) ) 一危( o ) i i v 心( 8 ) 1 1 2 d s + p l ( 7 7 ) i i w o ) 1 1 2i l u 烈i 州1 2 r o d s + 7 7 川u m t t 。眇2 0 d f + 7 j o s ) 1 1 2 d s + 6 2 ( 7 7 ) 川v u 鲁( s ) 1 1 2 如 ，t 4 t ，c 鲍+ 丢3 2 h ( 0 ) 一羔。 v u 乞( 下) 胁+ 掣 v u ：n ( s ) 慨 l - , j 0 二 j 0 + 刻1 圳l 圳i 1 川v u ，m ( 丁) 1 1 2 d - r - fr h v u 9 ) 1 i 2 刊陬删1 2 + 等1 1 2 一h ( o ) 2 o 。啊州1 1 2 d s 一竺菩堕i i v 乱幺( t ) | | ：+ 忍，( o ) l l v u ，m ( o ) 1 1 2 + 7 7 ! l l u 幺( s ) i 导。d r + 7 7 l i u o ) i 1 2 d s + p 1 ( 7 7 ) l i v 蠕( s ) 1 1 2 l l u ，m ( s ) i 瞎。d s j 0j 0 + 0 2 ( v ) l l v 心( s ) 1 1 2 d s +厂iiw撕)112+z。iiu劁12+百h(0)2川)llk2 k 3 d t 2 r d s j 00 + 名( 丁2 + u 幺( s ) i | 2 + i l l v u m 2 j哇l | 一掣厂。i i v 心( s ) l l z d s 二掣i i v u 删1 2 + h ( 0 ) l i v u 删1 2 厶 j 0 + 叩1 l u a m 5 川2 r o d f + 7 7 j 1 ( s ) 1 1 2 d s + 6 i t ( 7 7 ) i l v u ( , s ) 1 1 2 i l u ，m ( 驯i 。d s - i - 秽2 ( 7 7 ) i l v u ( s ) 1 1 2 d s 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 惭+ 却一掣啊略( t ) 1 1 2 + 百h ( 0 ) 2 啊叫t ) 1 1 2 + 帅) l l v u ，m ( 0 ) 1 1 2 ) + 凰+ 2 p 1 ( 卵) l 1 + p 2 ( 7 7 ) 一鱼婴) 咭l i v u ，m ( s ) 0 2 d s ， ( 3 2 3 ) 6 j 0 其中= 专3 2 ( o ) i lh l l l 。+ 刍h h h l o ol i hj l l - ，是与蠕( o ) ，u 象( o ) 有关的常数， 所以 y m ( t ) g y m ( s ) d s + 0 4 ， ( 3 2 4 ) 其中 fg = 蚝+ 2 0 1 ( 卵) l i + 0 2 一竿， 1q ：k 2 + 2 7 一掣) l l v 心( 圳1 2 + 等啊( 圳1 2 + ( 0 ) i i v 略( 0 ) | | 2 ， 利用估计( 3 1 2 ) 及g r o n w a l l 不等式得到 y 仇( t ) a ( 1 + c c e e 3 ) l 3 ( 3 2 5 ) 第三步：极限过程 由x m ，y m 的定义及估计式( 3 1 2 ) ，( 3 2 5 ) 知 f u m ) 有界l 0 。( o ，t ；y ) ， _ u ，仇) 有界l ( o ，t ；y ) ， ( 3 2 6 ) 【 缘) 有界己( o ，t ；胪( q ) ) nl 20 ，t ；p ( r o ) ) ， 可知存在 u m ) 的一个子序列不妨仍记为 u m ) ，有 fu m u 弱星俨( o ，t ；y ) ， 心j 弱星l o o ( o ，t ；y ) ， ( 3 2 7 ) lu 幺ju 弱星l o o ( o ，t ；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；l 2 ( r o ) ) 所以通过对m 求极限我们能得到( 3 2 ) 的线性部分，下面我们考虑非线性部分， 同样由，y m 的定义及估计式( 3 1 2 ) ，( 3 2 5 ) 知 f u 仇 有界l 2 ( o ，t ；h 1 2 ( r 0 ) ) ， 乱幺) 有界l 2 ( o ，t ；h m ( r 0 ) ) ， ( 3 2 8 ) 【 u ：) 有界l 2 ( o ，t ；l 2 ( r 0 ) ) 1 3 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 3 2 8 ) 式并考虑到m ( 5 ) ，o ( z ) 的连续性，且嵌入定理：h 1 2 ( r ) ql 2 ( i 、) ( 见【7 】) ， 利用a u b i n 紧致性定理( 见【4 】) 我们能找到子列，仍记为_ u m ) 使得 l 9 ( u ，m ) _ 9 ( u 7 ) 强o e ( z ，t ) f o ( 0 ，) ， 【m ( i i u m l j 。) u j 仉_ m ( 1 i u l 导。) u 强o e ( z ，t ) f o ( 0 ，o o ) 、7 ( 3 3 0 ) 同样由( 3 2 6 ) 得到 i o ( z ) t 。，m a ( x ) u 7强o e ( z ，t ) q ( 0 ，o o ) ， 【l u m l l u m 净l “1 1 u 强 o e ( z ，t ) q ( 0 ，o o ) 、3 17 气( 3 ) 另一方面由估计i ，i i 有 l9 ( u ，m ) ，m ( i i u m i i ；。) 乱幺有界l 2 ( r o ( 0 ，。) ) ， 【口( z ) u ，m ，l u m i 了u m有界l 2 ( q ( 0 ，o 。) ) 、3 2 ) 7 气 3 由( 3 3 0 ) 一( 3 3 2 ) 得到 i 9 ( u ，m ) 一9 ( u )弱 l 2 ( r o ( o ，。) ) ， 【m ( 1 l u m 慨) u ，m m ( 忆i i 。) u 7弱l 2 ( r 0 ( 0 ，o o ) ) ， 、3 3 3 () 及 i o ( z ) ，m 工o ( z ) u 7弱l 2 ( r o ( 0 ，) ) ， t 【l u m l 7 u m l u l 7 u弱l 2 ( r o ( 0 ，o o ) ) 、3 4 。 ( 3 ) 所以由( 3 3 3 ) ，( 3 3 4 ) 我们通过求极限就得到了( 3 2 ) 的非线 生部分 上面只是证明了定解问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 存在性，下面证明解的唯一性 令u 1 ，u 2 是方程( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的两个解，使得 t t i l o o ( o ，丁；y ) ，u ：l o 。( o ，丁；y ) ，u ，l o o ( o ，t ；2 ( q 】) ，i ：l ，2 f 3 3 5 1 1 4 、l ， 9 23 ，j 、l，、1， 0 0 ，r，fk n n 力d z z ，i、，f 巳 已 。 口 强 强 u “ 一 _ = 略 ，if、【 以 所 曲阜师范大学硕士学位论文 则u = u r u 2 满足 ( 0 7 ( 亡) ，叫k ) + ( v u ( t ) ，v 叫k ) 一九( t 一 - ) ( v u ( 下) ，v 1 i j 知) d ，r j 0 + ( 9 ( t 。：( 亡) ) 一9 ( 呓( 亡) ) ，w k ) + ( m ( 1 l u l ) l 滢。) u ：( 亡) 一m 、。，。2 。，一t 2 ( 亡) ，w ) + o ( z ) ( ( t ) ，叫) + ( 1 u 1 ( 0 1 1 u l ( t ) 一i u 2 ( t ) 1 1 u 2 ( 亡) ，训k ) = 0 ， u ( o ) = u 7 ( 0 ) = 0 ， u l ( o ，f ；y ) ， i t 7 l o o ( o ，t ；y ) ，l ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 。 ( 3 3 6 ) 在方程组( 3 3 6 ) 中第七个方程乘以d 袅亿) 并对七求和得 ( u ( t ) ，( 亡) ) + ( v u ( t ) ，v u ) ) 一九( 亡一下) ( v u ( 7 - ) ，v u 7 ) ) 打 + ( 9 ( u ：( 亡) ) 一夕( u ：( 1 ) ) ，u ，( 亡) ) + ( m ( 1 l u l ( 亡) 慨) 吐( t ) 一m ( 1 l 也( t ) i l 吾。) 呓( t ) ，( t ) ) + o ( z ) ( ( t ) ，0 ( t ) ) + ( 1 u 1 ( t ) 1 1 u 1 ( t ) 一l u 2 ( t ) r 札z ( _ i ) ，j g ) ) = 0 ， ( 3 3 7 ) 所以 爰 乏l l u 7 ( t ) 1 1 2 + 主i i v u ( t ) 1 1 2 ) 一爰z 。 ( t 一下) ( v u ( 丁) ，v u ( t ) ) 打 + 九( 亡一7 _ ) ( v u ( 丁) ，v 钍( t ) ) 打+ h ( o ) l l v u ( t ) 1 1 2 + ( 9 ( u ：( 亡) ) 一9 ( u ：( t ) ) ，u ( t ) ) + ( m ( 帆( 圳手。) 吐( 亡) 一m ( 1 l u 2 ( t ) l l 吾。) 乱：( 亡) ，o ( 亡) ) 十o ( z ) l 0 ( t ) 1 1 2 + ( i u t ( 亡) r u l ( t ) 一l 牡2 ( t ) 1 1 l , 2 ) ， ) ) = 0 ( 3 3 8 ) 然后对( 3 3 8 ) 在( 0 ，t ) 上积分，并考虑u ( o ) 予u ( o ) = 0 得到 扣1 1 2 + 扣婶) 1 1 2 一z 2 酢叫( v u ( n v 婶) ) d r + z 。d sz 8 ( s 一下) ( v u ( 丁) ，v u ( s ) ) d t + h ( 。) z i i v u ( s ) 1 1 2 d s ，c + ( 9 ( 嵋( 5 ) ) 一9 ( 啦( s ) ) ，i , l ( 5 ) ) d s j 0 ，1 + ( m ( i l u t ( s ) l l 乱) u j ( s ) 一m ( i i u 2 ( s ) l i ；。) u ：( s ) ，( s ) ) d s j 0 , t，- + o ( z ) i i c 8 ) 1 1 2 d s