（基础数学专业论文）带位势f调和映射的若干结果.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 中文摘要 在本文中，我们主要通过带位势的f 一调和映射定义，推导了带位势的f 调和 映射的变分公式及性质、带位势的f 一调和映射的稳定性以及卿性质，得到了有关 的一些结论。 第一章，定义了带位势的f 一调和映射，并介绍从调和映射到带位势的调和映 射的研究现状作了简单的阐述。 第二章，推导了带位势的f 调和映射的第一变分公式和第二变分公式以及相 关性质。 第三章，研究了具有砘c c i 曲率拚挤的欧式空间的子流形以及球面的子流形与 任何黎曼流形之间的稳定的带位势的f 一调和映射。假定初始流形紧致的前提下， 我们证明了带位势的f 一调和映射满足某些条件的情况下为常值映射。 第四章，我们推导了带位势的f 一调和映射的b o c 1 1 1 e r 公式借助这个公式研究 带位势的f 调和映射的g a p 性质。 关键词：带位势的f 一调和映射；第一变分公式；第二变分公式； r i c c i 曲率；稳定性：h e s s i o n 算子；常边值；截曲率 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i st l l e s i s ，b yd e n o t i n gt h ef - h a m o n i c m a p sw i t hp o t e n t i a l ，w em a i n l ys t u d yt l l e v a r i a t i o n ，s 协i l i 锣a n dg 印p r o p e n yo f 尸- h a 彻o n i cm 印sw i t l lp o t e n t i a l ，t h e no b t a i n s o m er e s u l t s i nc h a p t e rl ，w ed e n o t et 1 1 ef - h a 硼o n i cm a p sw i t hp o t e n t i a l ，a n dm a k eag e n e r a l d e s c r i p t i o no nt h er e c e n tr e s e r c h e sf r o mh a 册o n i cm a p st oh a m o n i cm a p sw i t hp o t e n t i a l i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ef i r s tv a r i a t i o na n dt h es e c o n dv a a t i o no ft h ef h a m o n i c m a p sw i t hp o t e n t i a l ，t h e no b s t a i ns o m ep r o p e 哪 i nc h a p t e r 3 ，w ei n v e s t i g a t et h es t a b l efi h a r m o n i cm a p sw i t hp o t e n t i a lf b mo ri n t 0 g e n e r a ls u b m a n i f 0 1 d so ft h es p h e r ea n dt h ee u c l i d e a ns p a c e a s s u m i n gm a ta l li n i t i a l m a n i f o l d sa r ec o m p a c t ，w ep r o v et h a tt h i ss t a b l ef - h a m o n i cm a p sw i t h p o t e n t i a li s c o n t a n t ，i ft h em a ps a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s i n c h a p t e r 4 ，w ee s t a b l i s hab o c h n e 卜t y p e r df o n n u l aa n du s ei tt os t u ( 1 ym eg a p p r o p e r t yo ff - h a m o n i cm a p sw i t hp o t e n t i a l k e y w o r d s ： f - h a m o n i cm a p sw i t h p o t e n t i a l ；t h e6 r s tv a a t i o n ；饭es e c o n d v a r i a t i o n ；r i c c ic u r v a t u r e ；h e s s i o no p e r a t e r ；c o n s t a n tb o u n d a 巧v a l u e ； s e c t i o n a lc u r v a t u r eo p e r a t e r h 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 储签名撕 噍裤j 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名夕参评 导师签名： 同嚆 二篡之二二望卫 规定享受相关权益。回重途塞握銮卮溢卮；旦圭生；旦二生；旦三生筮查! 导师签名： 融磋 日期- 函牝月1 日 凹 月卜一、许惭 o。 多两挑 名 睁 雠 啪 瘤作 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第一章引言 令f ： o ，) j o ，0 0 ) 是c 2 函数且在 o ，) 上f 0 ，设黎曼流形( m g ) 和 ( m 办) 之间的光滑映射”? m j ，h 是上的光滑函数， f 一日能量的定义如下： e f - h ( u ) ：。f 蹲弋h j 如果“是f 一日能量泛函的临界点，称是带位势的f 一调和映射，当 刑= t 仁砂2 p ，时，“分别是通常的带位势的调和映射，带位势的p 一调和映射，带 位势的指数调和映射。当日是常数时，则刑= t 仁砂。p ，扰分别是通常的调和映 射，p 一调和映射，指数调和映射。因此带位势的，一调和映射是f 一调和映射一类有 意义的推广。 在这篇论文里，我们假定所有起始流形是紧致的。 忻元龙3 1 在1 9 8 0 年证明了从球面s “( 刀 2 ) 到任何黎曼流形的稳定的调和映 射必为常值映射。1 9 8 2 年l e n 妒f 【4 1 证明了从任何紧致流形到( 聆 2 ) 的稳定的调 和映射必为常值映射。注意到s “是足”1 的余维数为l 的子流形，潘养廉嘲研究了欧 氏空间中余维数为p 的紧致子流形到任何黎曼流形的稳定的调和映射，得到了若干 稳定的调和映射的不存在性定理，推广了忻元龙的结果。进一步，】，d 磊，l f 幻【2 1 得到了 m c 詈的s 肿p ( 1 ) 中的紧致极小子流形m 沏3 ) 和任何紧致黎曼流形的稳定的调 和映射必为常值映射。不久，f a r d o u n 和r a 仕o 【6 1 在目标流形上引入势函数日： 寸r ，它们称勺 ) 三f ( “) + v 日 ) 的零点为带位势日的调和映射。周振荣7 1 研究 了带位势的p 一调和映射，证明了在硒c c i 曲率满足一定下界的条件下，欧氏空间子 流形和球面子流形与黎曼流形之间稳定的带位势的p 一调和映射必为常值映射，推广 了y c 地刀泐的结果。 1 9 9 9 年，m a m 【8 1 定义了f 一能量泛涵，f 一调和映射作为调和映射，p 一调和映 射和指数调和映射的统一和推广。2 0 0 4 年，李锦堂【1 1 把文 2 中的结果推广到了f 一 调和映射的情形，得到了砌c 詈且f o 的s ”+ p ( 1 ) 中的紧致极小子流形 m ”( 朋3 ) ，与任何紧致黎曼流形的稳定的f 一调和映射必为常值映射。文 1 0 更一 般地研究欧式空间子流形和球面子流形之间的稳定的f 一调和映射；本文是在文 1 0 的基础上讨论了欧式空间子流形和球面子流形之间的带位势的f 一调和映射的稳定 性。 另一方面，自1 9 8 1 年s e a l y 【1 1 1 给出了一个点态量子定理之后，关于各种调和映 照的g 叩现象逐渐引起人们的关注。2 0 0 3 年周振荣7 1 研究了带位势的p 一调和映射的 g a p 性质，2 0 0 7 年，左莉芳m 1 研究了f 一调和映射的g a p 性质，得到了相应的点态量 子定理。本文就是对文 1 0 的推广，推广到带位势的，一调和映射的g a p 性质。 本文安排： 第二章推导带位势的f 一调和映射的第一变分公式和第二变分公式以及相关性 质。 第三章研究欧式空问的子流形以及球面的子流形与任何黎曼流形之间的稳定的 带位势的f 一调和映射。利用文 7 的技巧，推广了文 1 0 的结果。 第四章主要研究带位势的f 一调和映射的g a p 性质，推广了文 1 0 的结果。 2 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s 第二章带位势，一调和映射的变分公式 2 1 第一变分公式 引理1 ：设甜? 必寸是带位势的f 一调和映射，对于任何，r ( 叫掰) ，有单 参数族甜，一占 f ， v 畸巳一，显然有v 昙昙= v 善= v 鲁卿 ，一调和映射“：m 的第一变分公式为嗍： 掣r l 吖拳l l 鲁嘶少l 新 出”i - 。 = 一j ：， ( 2 1 ) 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s e f - 淄m f 蹲“棚 珥一( “，) d t ：丢l 吖拳一丢l 晰，夕 = 一l 一l v 西肌，) ( 设 咒 是n 上的局部坐标) j l f 一l l 注：v 排户丢日”半= ， 所以丝拶i ，= o = 一l = 一l 则称“是带位势f 一调和映射当且仅当f 。，m j - o b j 靠，2 印m + v 日 ) 2 0 是带位势日的能量积分的欧拉一拉格朗日方程。 定理1 ：m 是黎曼流形，甜是一个是带位势h 的f 一调和映射，“：m _ 如果 h e s s 。“o ，则砌呼k h e s s 。“特别地，如果h e s s 。“ o ，则“是常值映射。 证明：通过欧拉一拉格朗日方程，我们有 d ， 故结论成立 2 2 第二变分公式 设“：m 寸是带位势日的f 一调和映射，对于任何v r ( 厂1 删) ，有单参数族 ”，一 f ，满足 p 由第一变分公式，我们知道： 毪笋i ，- 。= 一l 鲁 以胗l 。 鲁，知叫脚 一m 鲁，知p l = 一l l 5 硕士擘住论丈 m a s t e r st h e s l s 由f 调和映射“：m 哼的第二变分公式【8 1 知： l 鲁，w 小p 。 = 押譬即v 如2 + 肌学) l v y l 2 一 盹地q 胗 l 卅脚， 所以 鲁产l f - 。：譬即v 如：+ 肼譬) l v y 1 2 一 卜v 2 h ( v ，d 故带位势h 的f 一调和映射“：m 一的第二变分 + l ，( 拳 | v v f 2 一 r ( v ，幽弓) 幽q ，庐 一l v ：仃( y = ( v ，v ) 一l v 2 h ( 1 ，v ) ， 其中厶( ，y ) 是f 一调和映射“：m 一的第二变分，v 2 日是日的h e s s i o n 算子。 对于v1 ，i ( 厂1 鳓，名( u 矿) = 学 瑚。，我们就说映射群是稳定的。 6 掣州 一 = 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章带位势的f 一调和映射的稳定性 李锦堂研究了s 坍+ p ( 1 ) 中的紧致极小子流形m ”( 脚3 ) ，与任何紧致黎曼流形的 稳定的f 一调和映射必为常值映射，左莉芳更一般地研究欧式空间子流形和球面子流 形之间的稳定的f 一调和映射。周振荣研究了在负值函数满足某种条件下带位势的 p 一调和映射的稳定性，本文借助文 7 中负值函数满足某种条件，推出欧式空间子 流形和球面子流形之间的稳定带位势的，一调和映射。 设m 是欧氏空间r 肿岛的子流形，桦是m 的r i c c i 曲率张量，硝是第二基本张 量，6 是m 上的函数假定m 满足下面的条件( 关于正交标架场) 2 夥瓯+ 碟蟛氏嗡菇， ( 1 ) 由g a u s s 方程，( 1 ) 式等价于 一硝瓯+ 蟛蟛氏6 岛晚， ( 2 ) 又等价于 一醚硝名+ 2 蟛蟛晚6 岛皖 ( 3 ) 3 1 主要结论 定理1 设m 是尺册+ 知的m 一维紧致子流形( 聊3 ) ，并且对于某个连续取负值的 函数6 ，满足上述三个等价条件之一，且，”0 ， 则( 1 ) 从m 到任何紧致黎曼流形的稳定带位势尸一调和映射是常值映射。 ( 2 ) 从任何紧致黎曼流形到m 的稳定带位势f 一调和映射是常值映射，只要 v 2 日0 当m 是单位球面s 卅k ( 1 ) 的子流形时，可以将它看成是欧氏空间r 斛b 的子流 形。此时，第二基本张量分成两部分：一部分是m 在s ”b ( 1 ) 中的第二基本张量，仍 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 记为硝，另一部分是s 卅+ k ( 1 ) 在r 斛b 卅中的第二基本张量在m 上的限制，记为磊此 时有 推论1 设m 是s ”b ( 1 ) 中的m 一维紧致子流形( m 3 ) ，并且对某个连续函数 6 + 1 0 预备知识 设v m ，v 和亏分别是m ，和尺”+ 上的黎曼联络，v 上表示m 在尺”+ k 中的 法联络，v 表示“- 1 肼的诱导联络。首先规定各类指标的取值范围如下： l 彳，b ，c ，m + ； 1 f ，尼，l ；，竹+ 1 ，p ，s m + ： 1 口，z 设 以) 是r ”b 的标准正交基， q ；气) 是m 上的局部正规标架场，使得他) 是m 的 切向量场，以 垂直于m 在所考虑的点处，可使v 岛勺= o 记以的切部分为f ， 法部分为碟于是有 矸= 弓= ：吒q ， 掣= = ：形气， 不难得到下面的结论 谚巧= 以c ， ( 3 1 ) v m 爹= 彬彬巳， ( 3 2 ) v m v m 分= ( 一吒蟛形+ 形吆) 岛 ( 3 3 ) 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 2 定理的证明 定理1 的证明： ( 1 ) 若m 是起始流形时，f 一调和映射“：m 一的第二变分公式是 ( 嘲，叫) 乩耿学) v 删如z + l 耿譬) i v 蚪1 2 一耿幽q ，叫) 如q ，掀) ( 3 4 ) 则带位势的，一调和映射“的弟二变分公式是 一日( 击j ，以j ) = ( 也，也j ) 一l v 2 ( 矾够，砌x j ) 由w e i t z e n b 6 c k 公式，得到 一r ( 如q ，也) 如q + 如r i c m 霹= 砒( 霹) + ( v 2 幽) ( 砰) 由带位势，一调和映射的性质，有 l 耿哔) = 弘耿譬刷 ：l = l = l 9 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s = l 一 = l 一 = l v 2 h 爿 = lv 2 日 幽q ，如巳一彰 = lv 2 日( 拟；，螂) ，薯 由( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 得 ( 删二，删j ) = 一 驴”( 譬删彬如z ( 3 7 ) + 砂耿譬) l v 础| 2 + 一 徽幻懈础 + lv 2 日( 如e ，如碟) 一 所以“艄j ，础) = ( 叫，叫) 一l v 2 h ( 叫，叫) 又因为 乩以譬) l o ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ) = 一l 由( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) ，得到 由于 一lm 也耿譬) i v ( 础) 1 2 ，( 譬炯删j ) 1 2 + ) ( 3 1 1 ) l 耿譬) 一vf 厶3m创吩( 蒯a ( v y ( 譬) ) 叫 _ 2 v 岛( 出( v 孑霹) ) = 一2 v 岛( 幽巳) = 一2 咖巳一2 v 。幽勺 = - 2 口。，一2 口。， 其中咖勺= j ，v 岛幽勺= 口删 是上的局部规范标架场。 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 和( 3 3 ) 式，有 2 ) 舭 v z v 孑霹妒 破悄譬) - 2 v ? 一矿“f ( 譬) 】 1 l ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) l f 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = 一2 ( 一屯蟛形+ 蟛吆) v ：口。尸。一2 删( 譬) 再由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 和( 3 3 ) 式，有 ( 蟛纠职拳 7 ( 譬) 岬孑v 孑鼢嬲 f ，( 譬) 训 ( 譬) ， 训“咏) ( v ( 譬蹦分 = 一车( v ? 一心t v 筝，掣h v ? 以拳 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( v 猢讪慨矿( 譬h 心肌舻”( 譬) 把( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 代入( 3 9 ) ，得到 肛蝉) i v 蟛| 2 + ( 3 1 6 ) 又由于 及 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 乩彰钒以( 譬) _ 以踟( 譬) ( 3 1 7 ) w 譬即砩 = f ( 譬) 【“枷历】2 = w 学肺拟v 孑怕嘁，( 学心咄椭，( 3 - 1 8 ) 一 = 一吃嵋 一爿 易证明下式成立 = 一 = 一畸n 妒 f ”蹲、仪拶。p 帕掣岭惭p 一 由( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 和( 3 1 2 ) ，得到： 一( 似；，叫) 彳 = l f ( 譬) ( v 箸钡v ? 枫咿 乩，洋埘以。一硝嗽 因为，”o ，所以由( 3 2 1 ) ，有 1 3 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一圩( 如砰，以；) lf ，( 坦) ( 形鳞口。尸。一群口。，) ， 由g a u s s 方程得到 一( 拟：，删j ) f m 耿哗) ( 蟛蟛一2 硝) 吼， 此时由定理1 中的条件，有 l 一( 删幺拟j ) l 以哔) 6 俐2 o 因为据是从肘到的稳定调和映射，有 o 名一( 删：，拟二) m 兀雌) 6 i 幽1 2 o ， 这追使| 如1 2 = o ，从而醒是常值映射。 ( 2 ) 若m 是目标流形，f 一调和映射“：一m 的第二变分公式是 ( 霹巾- 咒譬) 瞩如z ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) + j ( 譬) l 跗j 1 2 一 ，( 3 2 4 ) 定义带位势，一调和映射“：肘专的第二变分是 一( 一，霹) = ( x j ，x j ) 一j m v 2 日( 砖，一) 一 由( 3 2 ) 式，有 则 v = v ( 一q ) = q 。( v z 一) 乞= 吆( v ：彤) 巳， ( 其中幽= 岛) l 叫1 2 = 乞。6 女。蟛 由g a u s s 方程得到 l 叫1 2 = 蟛能6 l 。q 。一九岛。夥， 1 4 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 由( 3 1 ) ，有 一 = y ：坨 = = b 。沁畸， 由( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) ，得到 ( e 鳓_ 兀譬) 卅( 譬胛。 _ 幽弓 】 叱叫吐耿譬飚 盹 v ，( 譬) ，( 譬氓幽q 吧 f ，( 少 吧 ，一跗 硕士学位论文 m a r s t e r st h e s l s 吧 一 q 一 白 一 幽妒唧跗( 咖 岛 一 幽妒幽略跗( 咖 ：v 吩 一h e s s h 引理3 ( b o c h e n e r 型公式) 题设如上，那么，下式成立： 舻( 譬即q 坩( 拳i v 吖 一f ，( 哔) ( 譬) 枷c 幽八譬懈1 2 一h e s s 何 ( 4 3 ) 证明：取跏m ，锻彳，取p 点附近的局部幺正法坐标架场 q ) ，v 岛巳l p = o 那么有， 心c 譬m 目v 权譬， 弓( 鹄槲v 岛脚 c 譬唰2 似卜，c 譬，扣圳2 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 把( 4 1 ) ，( 4 2 ) 代入上式，引理得证。 定理1 的证明：结合定理的条件，将( 4 3 ) 式两边积分， 得到： 一彳脚譬，k 幽巳m 删2 以譬， l f ( 譬) + l f ，( 譬) ：l 弋 一肼譬) i v 幽1 2 一扩( 譬呐荆酬2 即 + j i f h e s s 何 o ， 一彳肼譬，l 幽弓八幽巳m 2 耿譬脚 4 ， 由于r a n ku q ，不失一般性，我们可以假定砒乞+ 。= = 幽= o ，从而有 i 也乞八也巳1 2 = 一 2 幽1 4 一圭 z l 如1 4 一吉( 季l 如q 1 2 ) 2 = 孕俐4 ， 把( 4 5 ) 式代入( 4 4 ) 式，得到 l 趴甓岛i 如1 2 俾一寺彳l 幽1 2 ) 。 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 又因为i 幽1 2 寺号，( 4 6 ) 式左端被积函数非负，因此积分恒为零，从而有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s b 一孚爿帅一o 7 ， 若i 如| 兰o ，则“为常值映射；若l 如l o ，那么i 如1 2 = 吾等，代入( 4 3 ) 式两边积 分，结合( 4 4 ) 和( 4 5 ) 得到 脚譬巾引一o 8 ， 由( 4 8 ) 式知l v 如1 2 = o ，即h 为全测地映射。 2 l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 参考文献 1 l i j t f - h a 锄o n i cm a p sf o rm i n i m a ls u b m a n i f 0 1 d sw i t bp o s i t i v e 尉c c ic u a t u r e a c t a m a t n s c l 2 0 0 4 ，2 4 a ( 2 ) ：15 2 】y o l l l l i t a s t a b i l i t ) ，o f h a n n o n i cm a p sa n ds t a n d a r dm i n i m a l i m m e r s i o n s 1 o h o k u m a t h j ，19 8 6 ，3 8 ：2 5 9 2 6 4 3 】x i n y l s o m er e s u l t so ns 切l b l eh a n n o n i cm a p s j 】d u k em a t h ，1 9 8 0 ，4 4 ( 3 ) ：6 0 9 613 【4 l e u n gpfo nt 1 1 es t a b i l i t yo fh a 册o n i cm a p s m 】s p r i n g e r - v e 订a gl e c t l l r en o t e s m a t h s ，1 9 8 2 ，9 4 9 ：1 2 2 1 2 9 5 】 p a ny ls o m en o n e x i s t e n c et h e o r 啪so ns t a b l eh a r m o n i c m a p p i n g s j c h i n e s ea n n m a t h ，1 9 8 2 ，3 ：5 1 5 5 1 8 6 f a r d o u n a ，r a t t o a h a n n o n i cm a p sw i t l lp o t e n t i a l j ja u s 仃a lm a 廿l s o c ( s e r i e s a ) ， 1 9 9 9 ，6 4 ：l l o 7 z h o uz r s t a b i l i t ya n dq u a n t u m p h e l l o m e n o na n dl i o u v i l l et h e o r e m so fp - h a n n o n i c m a p sw i t h p o t e n t i a l j k o d a im a t h ，2 0 0 3 ，2 6 ：1 0 1 1 1 8 8 】m a r a g e o m e t 叮o f f h a n n o n i cm a p s k o d a i m a t h j ，1 9 9 9 ，2 2 ：2 4 2 6 3 9 】l i uj c s t a b i l i 妙o ff - h a 珊o n i c m a p s j o u n l a lo fm a m e m a t i c a lr c s e a