（应用数学专业论文）基于遗传算法的投资组合模型及实证研究.pdf

武汉理1 = 大学硕士学位论文 摘要 证券投资是在不确定的环境中进行，任何收益的获得都伴随一定的风险。 为了分散较大的风险，获得较稳定的投资收益，可以按照不同的比例在多种证 券中进行分散投资，投资组合的关键是依据投资者的偏好，对收益和风险作以 权衡，确定各种证券在组合中的比例，从而得到满意的投资组合。 遗传算法是一种模拟自然界生物进化的搜索算法，由于它的简单易行、鲁 棒性强尤其是其不需要专门领域的知识，而仅用适应度函数作评价来指导搜索 过程，从而使它的应用范围极为广泛，并且己在众多领域得到了实际应用，取 得了许多令人瞩目的成果，引起了广大学者和工程人员的关注。本文介绍了遗 传算法的基本概念和基本理论，对遗传算法的各个组成部分，特别是对选择策 略、杂交策略、变异策略以及遗传算法的基础定理一模式作了详细的介绍。 本文将遗传算法和投资组合结合起来，提出了基于遗传算法下的投资组合 模型，通过对投资组合模型进行了深入研究，并考虑到现代证券投资组合理论 在我国的实用性，从而基于卖空限制、交易费用限制和最小交易单位限制提出 了具有投资限制的投资组合选择模型，该模型是一个非线性整数规划问题，传 统的方法很难对其进行有效求解，从而设计了一种改进的遗传算法用于求解所 提出的优化模型。 最后，以中国证券市场为实证，说明了所提出的投资组合模型和算法的有 效性和可行性。 关键词：证券投资组合，遗传算法，投资限制 武汉理t 大学硕士学位论文 a b s t r a c t p o r t f o l i ob a s e do nu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t ，a n yi n c o m ew i l lb ea c c o m p a n i e db y c e r t a i nr i s k s ，i no r d e rt os p r e a dag r e a tr i s ka n dg e tam o r cs t a b l ei n v e s t m e n ti n c o m e ， c a nb ei nav a r i e t yo fs e c u r i t i e si nd i f f e r e n tp r o p o r t i o nt oc a r r yo u ti n v e s t m e n t ，t h e k e yo fp o r t f o l i oi sb a s e do nt h ep r e f e r e n c e so fi n v e s t o r s ，m a k eab a n l a n c eb e t w e e n i n c o m ea n dr i s k ，i d e n t i f yav a r i e t yo fs e c u r i t i e si nt h ep o r t f o l i oo fp r o p o r t i o n ，s oc a n g e ta s a t i s f i e dp o r t f o l i o t h eg e n e t i ca l g o r i t h mi sak i n do fs e a r c h i n gm e t h o dw h i c hs i m u l a t e st h en a t u r a l e v o l u t i o n i t ss i m p l ea n de a s yt oi m p l e m e n t ，e s p e c i a l l yi td o e s n tn e e dt h es p e c i a l f i e l dk n o w l e d g e ，b u ts i m p l eu s e sf i t n e s sf u n c t i o na sa na s s e s s m e n tt oi n s t r u c tt h e s e a r c hp r o c e s s ，s oi th a sb e e nu s e di nv e r yb r o a df i e l d s n o wt h eg e n e t i ca l g o r i t h m h a sg o tal o to ff r u i t sa n ds c h o l a r sb e g i nt op a ya t t e n t i o nt oi t t h i sp a p e rg i v e sab r i e f i n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i cc o n c e p t i o na n dt h e o r i e so ft h eg e n e t i ca l g o r i t h m a n di ta l s o p r o v i d e sad e t a i l e de x p l a n a t i o no nt h ec o m p o n e n t so ft h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，w i t ht h e e m p h a s i so nt h es t r a t e g i e so fs e l e c t i o n ，c r o s s o v e r , m u t a t i o na n dt h eb a s i ct h e o r e m - - s c h e m at h e o r e m t h i sp a p e rc o m b i n e sp o r t f o l i oa n dg e n e t i ca l g o r i t h m ，a n db r i n gu pap o r t f o l i o b a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h m t h r o u g hs t u d yo fs o m ep o r t f o l i om o d e l ，c o n s i d e r i n gt h e p r a c t r c a l i t yo fm o d e rp o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y , w ep r o p o s eac o n s t r a i n e dp o r t f o l i o s e l e c t i o nm o d e lb a s e do nt h en os h o r ts a l e ，t r a n s a c t i o nc o s t sa n dm i n i m u nl o t c o n s t r a i n t s d u et ot h e s ec o m p l e xc o n s t r a i n so u rp r o p o s e dp r o b l e mb e c o m e sam i x e d i n t e g e ro p t i m i z a t i o np r o b l e ma n dt r a d i t i o n a la l g o r i t h mc a n ts o l v ei te f f i c i e n t l y t h u s ， a l li m p r o v e dg e n e t i ca l g o r i t h mi sd e s i g n e dt os o l v eo u rp r o p o s e dp r o b l e m a tl a s t ，f r o mc h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e ta se v i d e n c e ，c a nb es e et h ep o r t f o l i oa n d a l g o r i t h mt h a tw ep r o p o s e di sf e a s i b i l i t ya n dv a l i d i t y k e yw o r d s ：p o r t f o l i oi n v e s t m e n t ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，i n v e s t m e n tc o n s t r a i n n 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：套祆日期j 丝_ p 苎 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：趑 导师签名：佩酞 武汉理工人学硕+ 学位论文 第1 章现代投资组合理论综述 1 1 研究的背景及意义 证券市场是一个高风险的市场，它受到国家经济形势、政策变化以及市场 自身规律等因素的影响，充满了许多无法预测的因素。因此，投资者不断地寻 求能使投资的风险低而收益高的策略。而投资组合的存在，将使投资的各证券 适合分散化，通过多种证券风险的彼此抵消，使其单位收益的风险最小或者单 位风险的收益率最大。 关于投资组合理论的研究最早是由美国著名经济学家m a r k o w i t z t l l 在1 9 5 2 年系统阐述的，他提出了均值一方差方法，用收益率的期望度量投资收益，用 收益率的方差度量投资收益的风险。这一理论的问世使得风险首次被量化，其 神秘色彩逐渐淡化，金融学从此开始摆脱纯粹描述性的研究和单凭经验操作的 状态，数量化方法进人了金融研究领域。以后的经济学家们一直利用数量化方 法不断完善投资组合管理的理论和实际投资的有效管理方法，使得投资组合理 论在基本概念的创新、理论体系的完善、重要理论的实证和理论应用的拓展上 都取得了重大的进展。 另外，科学技术正处于相互交叉和渗透的时代，许多研究课题已经不能单 靠一个领域的理论和方法能够解决。许多边缘科学正是多个领域交叉发展的结 果，人们不断把一个领域的研究成果应用于另一个领域中。特别是计算机科学 和技术的迅速发展，从根本上改变了人们的生产与生活，同时，随着人类生存 空间的扩大以及认识和改造世界范围的拓宽，人们对科学技术提出了新的更高 的要求，其中对高效的启发式算法的要求日益迫切。目前，随着启发式算法的 发展，如禁忌算法、模拟退火算法、遗传算法、和粒子群算法等，使得它们中 部分算法已经在证券组合投资中有了初步应用。例如，人们利用股票的历史数 据，建立最优化模型，并结合和改进已有的优化技术，设计适合于股票投资决 策的优化算法，反映和分析股票市场的股票价格变化和走势，提供重要的技术 参数。这些应用必然会给投资者提供更好的投资方案，避免盲目性投资所带来 的经济亏损，同时也为经济学理论解释经济现象提供了新方法和新思路。 因此，进一步研究证券投资组合问题，以及应用启发式算法解决证券投资 武汉理t 大学硕士学位论文 组合问题在经济学中的应用具有重要的学术和实用意义，同时，也对我国的经 济发展具有重要的现实意义。 1 2 投资组合的研究现状 m a r k o w i t z 的均值一方差方法虽然产生于二十世纪五十年代，但是被金融机 构和投资者广泛采用是在八十年代初期。其主要原因是期望收益和协方差矩阵 的估计和计算问题。对于n 个资产的投资组合问题，需要估计i 以2 + 3 n ) 2 个参 数，绝多数金融机构一般情形下将注意力局限于1 5 0 2 5 0 种证券之间，需要估计 1 1 4 7 5 3 1 6 2 5 个参数，而且还要计算1 5 0 2 5 0 阶矩阵的逆，在当时无疑是一个 非常麻烦的事情。因此，为了应用方便，自二十世纪六十年代以来，许多学者 在m a r k o w i t z 投资组合的均值一方差理论和方法的基础上开展投资组合理论的 研究工作。 1 2 1 国外研究现状 b r e e n 和j a c k s o n ，f a a l a n d ，b o w d e n ，p a n g ，p e r o l d ，l e w i s ，k o n n o ，k a w a d a i 和b a l l e s t e r o 等探讨了简化大规模投资组合模型及算法1 2 1 0 】。p e r o l d 使用多因素 手段降低协方差矩阵的秩，这种方法能够有效地解决含有几千个资产的大规模 的均值一方差模型；k o n n o 提出了一个协方差矩阵的紧因子分解方法用于解决大 规模均值一方差模型的算法问题，它对于低秩的二次规划问题比较有效，而对 于数千以上资产的大规模低秩的均值一方差模型却是非常耗时的；k a w a d a i 和 k o n n o 研究了协方差矩阵具有稠密和高秩的大规模均值一方差模型的算法。 另外，由于用传统的优化方法求解复杂的投资组合问题往往不是十分有效， 而启发式算法却能很好地解决该问题。因此，大批的学者应用启发式算法( 如遗 传算法、模拟退火算法、禁忌算法和人工神经网络等) 求解复杂的投资组合问题。 例如，l o r a s c h i 和t e t t a m a n z i ，f r e e d m a n 和d i g i o r g i o ，m a n s i n i 和s p e r a n z a ， y o s h i m o t o 和g l o v e r ，c h a n g ，s c h a e r f ，r o l l a n d ，c r a m a 和s c h y n s i ，g i l l i ，k e l l e r e r ， f e r n a n d e z 等应用启发式算法求解投资组合问题【1 1 。1 7 1 。m a n s i n i 和s p e r a n z a 应用三 种不同的启发式算法求解具有最小交易单位数限制的投资组合问题，并通过米 兰证券交易市场进行实证；y o s h i m o t o 和g l o v e r 用启发式算法求解具有交易费用 2 武汉理工大学硕士学位论文 的多阶段投资组合问题；c h a n g 应用遗传算法( q 吣、禁忌算法( t s ) 和模拟退火算 法( s a ) 求解复杂约束下的投资组合问题，并通过实证得出：用遗传算法和模拟退 火算法求解投资组合问题要明显优于禁忌算法；s c h a e r f ，r o l l a n d 基于禁忌算法 求解具有混合整数约束的投资组合问题；c r a m a 和s c h y n s ，g i l l i ，k e l l e r e r 应用 模拟退火方法求解具有复杂约束的投资组合问题：f e m a n d e z 将神经网络方法用 于求解投资组合问题；y u 和w a n g 用神经网络方法求解均值一方差一偏度的投 资组合问题；g i l l i 将门槛接受法f i n ) 也应用于求解复杂的投资组合问题；x i a 和 w a n g 用遗传算法求解投资组合问题。 为了减少模型参数( 协方差) 估计的计算量，1 9 6 3 年，w i l l i a ms h a r p 给出了投 资组合选择的单因素( 或单指数) 模型。该模型仍然属于均值一方差分析的范畴， 一单因素模型是针对刻画收益的模型而言的。s h a r p 用单因素收益模型来估计风 险资产的均值和协方差，大大减少了参数估计数量，节约了计算资源。1 9 6 4 ， 1 9 6 5 ，1 9 6 6 年w i l l i a ms h a r p ，j o h nl i n t e r ，j a nm o s s i n 三人分别独立地提出了著 名的资本资产定价模型( 简记为c a p m 模型) ，它是第一个在不确定的条件下探 讨资本资产定价理论的数学模型。该理论模型在探讨证券价格的结构特别是与 风险有关的定价结构、投资组合绩效评估、资本预算、公共事业股票的管理等 方面得到了广泛的应用。但是，由于标准的资本资产定价模型是建立在一系列 理想的假设条件之上，因而为实际应用带来了许多困难。于是，许多学者对该 模型提出了实证检验的质疑，至今这一争论仍是一个热门话题。1 9 7 6 年，针对 c a p m 模型所存在的不可检验性的缺陷，r o s s 提出了一种替代性的资本资产定 价模型，即a p t 模型。该模型直接导致了多因素投资组合分析方法在投资实践 上的广泛应用。在这些估计中，假设资产的收益仅受到一个或者多个因子的影 响，通过回归分析法或因子分析法得到资产收益与影响因子之间的一个线性关 系，从而获得资产的收益和方差及协方差的估计，这样就大量的减少了计算量。 另外，交易费用是证券投资中的一个重要问题，是投资者在金融市场所要 考虑的一个重要因素。大多数情况下，投资者都是将已持有的证券组合调整为 新的证券组合，无论是买还是卖都要付交易费。因此，许多学者以m a r k o w i t z 模型为基础，研究了具有交易费用的投资组合选择问题，例如：a m o t t ，p a t e r 和y o s h i m o t o 的实证结果表明，忽视交易费用的存在将会导致非有效的投资组 合；m a o ，j a c o b ，p a t e l 和s u b h m a n y a m ，m o r t o n 和p l i s k a ，l e v y ，l i 和w a n g 等研究了具有固定交易费用的投资组合问题1 1 8 j ；p o g u e ，d a v i s 和n o r m a n ，以及 3 武汉理工大学硕士学位论文 y o s h i m o t o 等研究了变动交易费用的投资组合问题【1 9 l ；m u l v e y 和v l a d i m i r o u 研 究了具有交易费用的多阶段投资组合问题【拟。 1 2 2 国内研究现状 国内有关投资组合理论的研究和应用起步较晚，与西方市场经济国家己经 形成的成熟理论体系相比，存在较大的差距是不言而喻的。尽管如此，国内己 经在这一领域开展了许多有意义的尝试，尤其在投资组合的选择模型和有效边 界的确定等方面，取得了一定的研究成果，下面将对此作一简要回顾。 在投资组合的选择模型方面，马永开和唐小我研究了多因素模型1 2 1 】；刘善 存和汪寿阳等提出了对策模型【2 2 】；张卫国提出了限制投资下界的风险证券有效 模型2 3 j ；荣喜民，邓丽红提出了损失极小的证券投资组合模型1 2 4 1 ；韩其恒，唐 万生提出了在允许卖空时的一类机会约束下的投资组合模型【冽；郭文族，胡奇 英研究了当终止时间不确定时的多阶段最优投资组合问题【2 6 】；杨德礼等提出了 动态非线性递推规划模型1 27 j i 王秀国和邱苑华研究了均值方差偏好和下方风险 控制下的动态投资组合决策问题；另外，在金融市场中，交易费用是投资者考 虑的一个非常重要的因素，忽视交易费用会导致无效的证券组合。2 0 0 5 年，陈 志平，袁晓玲提出了带有多种投资约束的广义m v 模型1 2 刚；吴孟铎，荣喜民， 李践研究了交易成本对有效边界的影响【2 9 j ；梁建峰，唐力生提出了有交易费用 的组合证券投资的概率准则模型；刘善存，邱莞华，汪寿阳给出了带交易费用 的泛证券组合投资策略【3 0 j 。 另外，许多学者也进行了关于投资组合算法方面的研究，如张卫国，聂赞 坎给出了e p _ 一m v 优化模型的算法【3 l j ；陈国华，陈收，廖小莲给出了带交易费 用的投资组合模型的割平面解法【3 2 j ；杨国梁，黄思明给出了求解允许买空卖空 情况下的投资组合问题的内点算法【3 3 l ；另外，随着启发式算法的发展，越来越 多的学者也将其应用于投资组合问题中。如周洪涛和王宗军等用遗传算法求解 基于摩擦市场的双目标投资组合选择模型；林丹和李小明等用遗传算法求解改 进的投资组合模型【3 6 】；杨宝臣和王立芹等将遗传算法用在指数投资组合中【3 7 】； 攀登和吴冲锋用遗传算法求解证券组合投资的有效边界【3 8 】；王俊和叶中行，刘 洪杰、王秀峰和王治宝，刘则毅、安向龙和荣喜民，陈炜等也将遗传算法应用 于证券投资组合当中 3 9 - 4 2 j 。上述学者均是将遗传算法应用于投资组合问题中， 4 武汉理工大学硕士学位论文 除此之外，还有其它启发式算法也被应用于投资组合问题中，如徐绪松、王频 和侯成琪以模拟退火算法作为投资组合模型的求解算法：王文智和张霞将蚁群 算法用于求解投资组合模型；王美娟、李宗伟和郑淑华将神经网络方法应用于 投资组合问题中。 1 3 投资组合模型介绍 1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 提出了理性投资者如何在不确定性条件下进行资产组合 的理论和方法，建立了均值_ 方差模型。此后，投资组合理论的发展非常迅速， 基于不确定性为随机性的投资组合模型层出不穷。 1 3 1 均值一方差模型 在m a t k o w i t z 的理论中，突破性的贡献就是首次将人们在投资行为中最为关 心的收益和风险两个因素，用数量化的方法进行了描述和表示，从而使其表述 更加具体、明确和直观。m a r k o w i t z 假设证券收益率服从正态分布，并用期望收 益率( 亦称收益率均值) 来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差( 或 标准差) 来衡量收益率的不确定性( 风险) 。 根据投资者均为理性经济人的假设，m a r k o w i t z 理论认为投资者在证券投资 过程中总是力求在风险一定的条件下，获得最大的收益；或者在收益一定的条 件下，将风险降到最小。则m a r k o w i t z 模型可表示为以下两种单目标的模型f 4 4 j ： f 商麒懈 、s | r i j l x f 一1 或 f 商n x r s x x v x 一 【x f = 1 其中，r = ( e ( _ ) ，e ( ，2 ) ，e ( ) ) 为期望仪盆j - l 率向量；v = ( ) 为收益率向 量的协方差矩阵；x = ( 五，屯，x 。) 。为证券组合投资比例向量；f = ( l 1 ，1 ) 为 5 武汉理工大学硕士学位论文 分量全部为1 的n 维向量；i t 和分别为投资者给定的期望收益水平和风险水 平。 然而，m a r k o w i t z 的均值一方差模型在实际应用中受到较多限制，原因是只 有当投资者的效用函数是二次的，或者收益满足正态分布的条件时，均值一方 差模型才与效用理论完全相符合，而这些条件在实际中常常难以满足。另外， 对于大规模投资组合问题，均值一方差模型需要求解一个带有稠密协方差矩阵 的大规模二次优化问题，从而导致了计算上的高度复杂性。 在均值一方差模型中，高于均值的超额收益实际上是投资者所喜好的，但 是被当作风险来处理。一个更确切的刻画风险的方式是下半方差 ( l o w e r s e m i v a r i a c e e ) ，即相对于均值的负偏差的平方的期望值。m a r k o w i t z 、m a o 等讨论了均值一下半方差模型。当然，在收益率分布对称的情况下，这种改进 意义并不大，因为该情况下的下半方差刚好是方差的一半，均值一方差有效前 沿与均值一下半方差有效前沿完全一致。 1 3 2 均值一绝对偏差模型 鉴于均值一方差模型求解二次规划问题的计算复杂性，且m a r k o w i t z 于 1 9 5 2 年提出的均值一方差模型和1 9 5 9 年提出的均值一下半方差模型都依赖于收 益率方差的存在，而实证表明方差不一定存在。日本学者k o n n o 提出了一种以 绝对偏差作为风险测度的证券投资组合模型( m a d 模型) ，大大简化了运算。m a d 模型和传统的均值一方差模型的区别在于风险的度量采用证券收益率的绝对偏 差，而不是方差( 或标准差) 。m a d 模型假设：投资者都是风险厌恶的，并且假 设收益率的绝对偏差是证券或证券组合风险的恰当度量。假设证券市场上存在1 1 种证券，记，为第j 个证券的收益率，w 为任一证券组合，为一给定的目标收 益率，绝对偏差定义一个证券组合的风险为1 4 5 】： n月 缈 ) ；e ( i 罗一e ( 罗薯) i ) l 舒 符 l 则均值一绝对偏差模型可以表示为如下的非光滑问题( 即m a d 模型) ： 6 武汉理t 大学硕+ 学位论文 m ；n 矽 ，= e c l 砉薯一e c 骞五，1 ) 儿善t e ( ) 2 弘 y 鼍= 1 钉 对于m a d 模型，k o n n o 和y a m a z a k i 使用日本股票交易市场的数据作了实 证，结果表明均值一绝对偏差模型与m a r k o w i t z 的均值一方差模型的结果非常相 似，并且当随机收益服从正态分布时，两者是等价的。 另外，从理论上来看，m a d 最优投资组合选择模型相对于m - v 投资组合 选择模型的优点在于：当有新的数据加入时，m - v 模型需要重新计算一次收益 率的协方差矩阵，这对于一个大规模的投资组合问题来说，是一个非常复杂的 工作。但是，对于m a d 模型而言，只需要把新数据加入到模型中，原来的数据 完全不变。也就是说，m v 模型需要修j 下模型，而m a d 模型不需要修正模型。 这一点对于大规模的投资组合来说是非常重要的。因此，m a d 模型在处理大规 模的投资组合选择问题时，会比m - v 模型有效的多。 1 3 3 均值一方差一偏度模型 很多学者在m a r k o w i t z 的均值一方差理论基础上开展了研究工作，其出发点 都是基于证券组合的随机收益率的一阶矩和二阶矩基础。但是，越来越多的学 者提出：在研究证券最优投资组合模型时，除了一阶、二阶矩以外，是否有必 要考虑随机收益的高阶矩。s a m u e l s o n 证明了高阶矩与投资者的最优投资组合有 着明显的相关性。实际的调查说明，绝大多数的投资者在一阶矩和二阶矩相等 的投资组合中偏好具有更高的三阶矩的策略。因此，在投资管理中除了考虑收 益和方差之外，同时也考虑收益分布的偏斜度。例如，k o n n o 和s u z u k i 在其所 提出的模型中就考虑了偏度，并求得到了该模型的近似解；l i u ，w a n g 和q i u 提出了一个具有交易费用的均值一方差一偏度模型并提出了有效的求解方法。 根据投资者是理性经济人的假设，均值方差一偏度模型( 即m e a n v a r i a n c e - - s k e w n e s sm o d e l ) 可表示为如下三目标规划问题【4 6 j ： 7 武汉理工大学硕十学位论文 m a ) 【s o ) 2 善著荟鼍z ，黾 m i n y o ) 。善著毛工， m a x r ( x ) = 毛e ( ) “善1 1 x ：20 其中为收益的中心三阶矩。 1 3 4 因素模型 m a r k o w i t z 理论运用于实际工作中时，需要投人大量的数据，即使用最快的 计算机和最有效的计算程序也不太可行，而夏普提出的单指数模型和r o s s 提出 多因素模型大大简化了求解风险资产有效边界的计算过程。正是因为有了这些 方法，投资组合理论才广泛被投资者使用。 ( 1 )单指数模型 单指数模型的最主要特点是假定每种证券的收益率都与一种或多种指数的 水平有关，证券之间的关系由它们与指数间的共同关系导出。一种简单但却实 用的模型是仅使用一种指数，例如：国民生产总值、人均收入、上证综指等。 假设证券的价格是由市场的作用引起的，可得到： r ；a i + 屈尺- + 毛 其中，呸是独立于市场因素的收益部分，r m 为市场证券组合的收益率，屈为证 券i 的收益率对于市场作用的敏感系数，毛为残差项。 于是，证券组合p 的期望收益率为： r p = q p + p r m 8 武汉理工大学硕十学位论文 其中，屏2 著屈薯，唧2 荟q 而，而证券组合的方差为： 砟= 群2 2 + # ( 2 ) 多因素模型 实际上，不仅仅是由一种因素影响证券期望收益率的变化，而是多种因素 共同影响的结果，如：实际利率、通货膨胀、国民经济实际增长等等。多因素 模型考虑多种因素的共同影响，因而更贴近现实，更加准确的反映经济现象。 多因素模型的标准形式为： r = q + 6 ：f ，t + 岛 f = l2 ，万 衙 其中，口，为证券i 的不依赖于指数的收益部分，厶为影响证券收益的第k 个指数， 各指数间是相互独立的，4 j 为证券i 的收益率对指数的敏感系数，q 为残差 | 【、 项。 尽管多因素模型从其表现形式来看要比单因素模型更合理且较均值一方差 模型更简单可行，但是在应用中也存在一些问题。由于多因素模型的求解过程 中要确定各个因素的卢值，它们是根据各因素与证券收益率之间的相关性求得 的，而这些影响因素都包括哪些方面并没有一个明确的规定，必须通过因素分 析等方法来确定，这些过程都存在很多不确定性。另外，由于这些因素的收益 数据多半都是按月或按年统计的，而与证券日收益或周收益数据选取期间不同， 如果采用统计中的内差法确定每同或每周的因素值，就会增大模型的误差。所 以，因素的数据获取存在着较大的困难。并且，多因素模型要求各因素之间是 相互独立的，这给因素的选取带来了一定的困难。各因素之间难免存在相关性 的问题，从因素的选择及运算的方便性来看，多因素模型的实现存在一些困难。 1 3 5 安全首要模型 与m a r k o w i t z 用方差刻画风险的方法不同，安全首要模型给出了风险的另外 一种刻画思路，它有三种不同的形式： 9 武汉理工大学硕士学位论文 第一种，由r o y 提出：最优证券组合的预期收益率哗低于某一给定的值碍 的概率达到最小值。 m i n p ( 砟_ 写) 第二种，由k a t a o k a 提出：给定一个小的概率口，令证券组合收益的最小限 定值r 达到最大。 f m a x r l s 2 p ( b _ 墨) s 口 第三种，由t e l e s e r 提出：给定一个小的概率口和某一限定值r ，令证券组 合的预期收益e ( 哗) 达到最大。 f m a xe ( 饰) i s j ，( 饰 r ) 墨a 1 4 论文的主要内容 本文共分为5 章，内容安排如下： 第一章，现代投资组合理论综述。主要介绍了课题的研究背景、研究内容 以及国内外研究现状。 第二章，遗传算法的理论研究。主要介绍了遗传算法的基本流程、特点、 性能以及常用的技术。 第三章，遗传算法的改进。主要介绍了t a n g 算法、遗传算法与t s 算法相 结合的g a t s 混合算法以及i a g a 算法。 第四章，遗传算法求解具有投资限制的投资组合模型。设计了一种改进的 遗传算法求借具有投资限制的投资组合模型。 第五章，总结与展望。对本文得到的结论进行总结和对未来的工作进行展 望。 1 0 武汉理1 = 大学硕士学位论文 第2 章遗传算法的理论研究 1 9 7 5 年，美国密歇根( u n i v e r s i t yo fm i c h i g a n ) 大学的心理学教授、电子工程 学与计算机科学教授j o h n h o l l a n d 和他的同事与学生共同研究了具有开创意义 的遗传算法理论和方法。遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和进化机制发展 起来的高度并行、随机、自适应搜索算法【4 7 j 。简单而言，它使用了搜索技术， 将种群代表一组问题解，通过对当前种群施加选择、交叉和变异等一系列遗传 操作，从而产生新一代的种群，并逐步使种群进化到包含近似最优解的状态。 由于其思想简单，易于实现以及表现出来的健壮性，遗传算法赢得了许多应用 领域特别是近年来在问题求解、优化和搜索、机器学习、智能控制、模式识别 和人工生命等领域取得了许多令人鼓舞的成就。以遗传算法为核心的进化算法 己与模糊系统理论、人工神经网络等一起成为计算智能研究中的热点，受到了 广泛的关注。 2 1 简单遗传算法的基本形式 2 1 1 遗传算法的形式描述 g a = ( p ( o ) ，n ，l , s ，g ，p ，f ，t ) 这里p ( o ) ；( 口。( 0 ) ，口：( 0 ) ，a ( 0 ) ) ，表示初始群体； ，= b = o ，q 7 表示长度为l 的二进制串全体，称为位串空间； n ：表示种群中含有个体的个数； l ：表示二进制串的长度； s ：，一，表示选择策略： g ：表示遗传算子，通常他包括繁殖算子d ，：ix i 、交叉算子d c ：，呻i x l 、 和变异算子瓯：，； p ：表示遗传算子的操作概率，包括繁殖概率e 、交叉概率只、和变异概 武汉理t 大学硕士学位论文 率己； ，呻r + 是适应度函数； t ：，呻 o ，1 ) 是终止准则； 2 1 2 遗传算法流程图 图1 遗传算法的流程图 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 遗传算法的优点及相关系数 2 2 1 遗传算法的特点 遗传算法具有十分顽强的鲁棒性，这是因为比起普通的优化搜索方法，它 参与了许多独特的方法和技术，归纳起来，主要有以下几个方面： ( 1 ) 遗传算法的处理对象不是参数本身，而是对参数集进行了编码的个体。 此编码操作使得遗传算法可直接对结构对象进行操作。 ( 2 ) 遗传算法是参与同时处理前提中多个个体的方法，即同时对搜索空间 中的多个解进行评估。更形象地说，遗传算法是并行地爬多个峰。这一特点使 遗传算法具有较好的全局搜索功能，减少了陷于局部优解的风险。同时，这使 得遗传算法本身也十分易于并行化。 ( 3 ) 在标准遗传算法中基本不用搜索空间的识或其它辅助信息而仅用适应 度数值来评估个体，并在此基础上进行遗传操作，需要着重提出的是，遗传算 法的适应度函数不仅不受连续可微的约束，而且，其定义域可以任意设定。 ( 4 ) 遗传算法不是采用确定性原则，而是采用概率的变迁规则来指导它的 搜索方向，遗传算法采用概率仅仅是作为一种工具来引导其搜索过程朝着搜索 空间的更优化的解区域移动。因此虽然看起来它是一种盲目搜索方法，但实际 上有明确的搜索方向。 2 2 2 遗传算法的性能评价 d ej o n g 提出了如下两个评价遗传算法的性能指标： 在线性能由第一代到当前代的平均值表示，设x ( s ) 为环境e 下策略s 的线 性性能，l ( t ) 为时刻t 或第t 代中相应于环境e 的目标函数或平均适应度函数， 则 删一；毫眦) 在线性能表示了算法从开始运行一直到当前为1 匕的时间段内性能值的平均 1 3 武汉理t 大学硕+ 学位论文 值，反映了算法的动态性能。 离线性能是最佳性能的累计平均，设o ) 为环境e 下策略s 的离线性能， 则有 捌= ；辜删 其中f ( f ) = b e s t ( f 。o j , ，”) 离线性能表示了算法运行过程中各进化世代的最佳性能值的累计平均，它 反映了算法的收敛性能。 2 2 3 遗传算子的相关系数 g a 中，一个或多个父代个体通过遗传算子的作用生成一个或多个子代个 体，这个遗传算子的相关系数可以定义为： p ( c ，e ) 。嬲，其中，c 分别为父代个体和子代个体的适应度； c o v ( c ，c ) 是父代个体和子代个体适应度的协方差；( f ) 是变异量f 的标准差。 相关系数的绝对值越小，该遗传算子产生新个体的能力越接近随机搜索算 法。因此，相关系数是评价遗传算子搜索能力的一种有效标准。 2 3 遗传算法的设计 2 3 1 编码方式 设计遗传算法的一个重要步骤是对所解决问题的变量进行编码表示，编码 表示方案的选取很大程度上依赖于问题的性质及遗传算子的设计。h o l l a n d 提出 的遗传算法是采用二进制编码来表现个体的遗传基因型的，它使用的编码符号 集由二进制符号o 和1 组成的。因此，实际的遗传基因型是一个二进制符号串， 其优点在于编码解码操作简单，交叉、变异等遗传操作便于实现，其缺点在于 不便于反映所求问题的特定知识，对于一些多维、高精度要求的连续函数优化 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 二进制编码存在着连续函数离散化时的映射误差。个体编码串较短时可能达不 到精度要求；而个体编码串较长时，虽然能提高精度，但却会使算法的搜索空间 急剧扩大。 2 。3 2 适应度函数 遗传算法在进化搜索中基本不利用外部信息，仅以适应度函数( f i t n e s s f u n c t i o n ) 为依据，利用种群中每个个体的适应度值来进行搜索。因此，适应度函 数的选取至关重要，直接影响到遗传算法的收敛速度以及能否找到最优解。 适应度函数有以下基本三种： ( 1 ) 直接以待求解的目标函数转化为适应度函数， 若目标函数为最大化问题：f i t ( f ) ) ；厂o ) 若目标函数为最小化问题：f i t ( f o ”一一厂 ) ( 2 ) 若目标函数为最小问题，则 r f ( ，o ) ) 一c = - f ( x ) ，厂 ) c m “ 式中c 为f ( x ) 的最大估计值。 若目标函数为最大问题，则 f i t ( f ( x ) ) = 艘x ) u 他c m i n ，雕p c m “ 式中c 。；。为f ( x ) 的最小估计值。 ( 3 ) 若目标函数为最小问题： 尻( 厂o ) ) 2i i 而1c o ，c + 厂 ) o 若目标函数为最大问题： 尉( 厂o ) ) 2i 南c o ，c 一厂o ) o 这种方法与第二种方法类似，c 为目标函数界限的保守估计值。 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 3 选择算子 选择算子对算法的性能会起到举足轻重的影响，不同的选择策略将导致不 同的选择压力，即下一代中父代个体复制数目的不同分配关系，较大的选择压 力使最优个体具有较高的复制数目，从而使得算法收敛速度较快，但也较容易 出现过早收敛的现象。 下面是遗传算法中较常用的几种选择策略。 ( 1 ) 轮盘赌选择法 这种选择策略在遗传算法中使用的最多，它是先计算个体的相对适应值 弓，l ，记做以，然后根据选择概率 易，f 一1 ，2 把一个圆盘分成n 份，其中 荟正 第i 扇形的中心角为纫阢。在进行选择时，可以假想转动一下圆盘，若某参照 点落入到第i 个扇形内，则选择个体i ，这种选择策略可以如下实现：先生成一 个【o ，1 】内的随机数r ，若a + p 2 + + b l 厂s p 。+ p 2 + + a 则选择个体i 。易 见，这种选择方式非常类似于轮盘赌中的转盘，小扇区的面积越大，筛子落入 其中的概率也越大，即个体的适应值越大，它被选择到的机会也越大。从而其 基因结构被遗传到下一代的可能性也越大。 ( 2 ) 锦标赛选择法 在锦标赛选择法中，随机地从种群中选出一定数目( t o u o 个体，然后将最好 的个体做父个体，这个过程重复进行直到完成个体的选择。 ， 虽然，这种选择方式也使得适应值好的个体具有较大的“生存 机会。同 时，由于它只使用适应值的相对值作为选择的标准，而与适应值的数值大小不 成直接比例。从而它也能避免超级个体的影响，在一定程度上，避免过早收敛 现象和停滞现象的发生。这种选择策略在演化规划中使用得较多。 ( 3 ) 繁殖池选择 繁殖池选择首先根据当前群体中个体的适应值，按下式计算其相对适应值： r e l , = ，l ，其中z 是种群中的第i 个成员的适应值，n 是种群规模，则每个个 善五 1 6 武汉理工大学硕十学位论文 体繁殖量为：m = r o u n d ( r e l i n ) ，此处，r o u n d ( x ) 表示与x 距离最小的整数。 计算出群体中每个个体的繁殖量。我们即可将它们分别复制m 个以生成一个临 时群体，即繁殖池( b r e e d i n gp 0 0 1 ) 。再通过在繁殖池中随机地抽取成对个体进行 交配，所产生的后代将取代当前群体形成下一代群体。显然，个体复制到繁殖 池的数目越大，则它被选到进行交配的机会也就越多。而对于m 一0 的个体，它 们将被淘汰出整个演化过程。 ( 4 ) 最佳个体保存方法 该方法的思想是使群体中适应度最高的个体不进行配对交叉，而直接复制 到下一代中，设时刻t ( 第t 代) 时，群体中a ( t ) 为最佳个体，又设a ( t + 1 ) 为新一代群体，若a ( t + 1 ) 不存在a ( t ) ，则把a ( t ) 做为a ( t + 1 ) 中的第n + 1 个个体。 采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异 操作破坏。但是，这也会导致局部最优个体的遗传基因会急剧增加而使进化有 可能陷入局部最优解。也就是说，该方法的全局搜索能力较差。因此，此方法 一般其它选择方法结合用。 ( 5 ) 排名选择方法 所谓排名选择方法是在计算每个个体的适应度后，根据适应度大d , l l 顷序对 群体中个体排序，然后把事先设计好的概率按序分配给个体，作为各自的选择 概率，根据选择概率的不同，可分名选和名选。 线性排名选择：将群体中成员按适应度从好到坏依次排列，并按下式分配 选择概率： p t 却一篙) 专扣纷。，n 这里a 、b 为常数，由于罗p ；- - 1 得6 = 2 ( 口一1 ) ，又要求对任意的f - - 1 ，2 ，有 蔼 p i 0 ，且p l i 2 之p ，所以我们限定1 sas2 ，通常取a = 1 1 非线性排名选择：将群体中成员按适应度从好到坏依次排列，并按下式分 配选择概率： f q ( 1 一口) ”1 f = 1 ，2 ，n - 1 p f2 1 ( 1 一口) 一，f ；n 1 7 武汉理工大学硕十学位论文 这里q 是一个常数，表示最好个体的选择概率。 2 3 4 交叉算子 交叉就是把两个父个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作。交 叉的目的是为了能够在下一代产生新的个体，就像人类社会的