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山东大学啊士学位论文 b a n a c h 空间中一类四阶常微分方程两点边值 问题的解及其应用 摘要 对于数学，物理学，化学，生物学，医学，置济学。控制论等科学领域中出 现的各种非线性问题。已日苴引起人们的广泛重视目前。非线性泛函分析已成为 现代分析数学中的一个重要分支学科，它为研究各种非线性问题提供了有效的理论 工具。它主要包括半序方法，拓扑度方法。变分方法和解析方法等内容。它在处理应 用学井中提出来的各种非线性方程和偏擞分方程问题中发挥着不可簪代的作用有 关四阶鬣分方程边值问题解的存在性，正解的存在性和唯一性。这几年得到了广泛 研究但这些文献大多仅限于一般空间中讨论。很少有文献在b a n a 血空间中讨论 四阶擞分方程解的存在性问题 本文主要在b a n m h 空间中讨论四阶氍分方程解的存在性 本文共分二章 第一章，主要讨论b a n a c h 空间中一类四阶常氍分方程两点边值问题的解的存 在性 考察b a n a c h 空间中四阶常微分方程两点边值问题 2 掣攀登l ( 1 ，) 【”( o ) = ( 1 ) = t i ，( o ) = t ，( 1 ) ；9 。 本章利用d a r b o 不动点定理得到了边值问题( 1 1 ) 解 我们首先给出几个引理。 引理l 设，g 限明，则两点边值同意 f 掣( t “。 t “ 阻2 ) 【( o ) = z ( 1 ) = 口 在萨p ，e l 中有唯一解z ( t ) 2 1 0 西( t ，1 ) ，( 。) 幽，其中 召( t ，；l o ( i t ) ，o s 。1 g t t ，。，= z l z ，c t ，r ，召c r ；，a 。= ( 1 - a ) ( 2 s 。- , 2 - t 2 ) ? ：三：三：霎： 则? i x , 司是( 1 1 ) 的解当且仅当6 , 2 限明是a 的不动点 则对任何r 0 ， ：耳+ 俨p ，明是一个严格集压缩算子印存在0 s 群 0 ，在j 霉耳_ l - - i l 连续且有 界，并且存在g 0 ，c 0 。0 西4 - q 2 使得t 口( ，( t d i ，d 2 ) ) g 口( d 1 ) q - 四口( d 2 ) ，vt j ，d l ，d 2c 耳 ( 日2 ) 甄掣 o ，拓b o 恤小虹a n d u n i f o r m l yc o n t h m o u so i l i x 霉乃。a n de x i s t g 0 ，四0 ，0 s g + 四 0 ，a ：西- - t 伊陬司i b & s t r i c t - s e t - c o n t r a c t i o n t h i s m e 珊t h a te x i s t s0 s 玛 l , f o r a n y f c 耳，s u c h t h “a 2 ( ( 研) 珥a 2 ( 研 t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e r 础： t h e o r y1 ( 丑1 ) ，( 日2 ) mm t i s f i e d h a s 啦l e a s to ms o l u t i o n 。伊i x , 司 w ea p p l yt h er e s u l t st ot h ef o n o m ge x a m p l e ： e x a m p l e1 1 ： c o n s i d e rt h ei n 在且i k 饵d i n a r yd i f f e r e n t i a e q u a t i o ng r o u p l 弦= 警( 1 一t - n + 屯一坛) ；) ，l j = 刚 【 l i ( o ) = t - i ( 1 ) = ( o ) ；( 1 ) = 口 山东大学嘎士学位论文 c o n c l u s i o n s h o v ei n f i n i t eo r d i n ；1 1 r yd i f f e r 口t i a le q u a t i o ng r o u ph a sa tl e a s to n e s o l u t i o n hc h a p t e r2 , b yr n e a i k so ft h em e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l l u t i o n sa n dt h e 五x e d p o i n tt h e o r yo ft h es c h a u d 掣t h es u t h o fs t u d i e st h ee x i s t e n c eo fm a x i m a la n dm i n i m 8 l e o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gt w o - p o i n tb o 恤d l r yv a l u ep r o b l e m so f 如珈划b _ 伽d 篮埘d 纽矗r y d i f f e r e n t i a le q u s t i o n si nb a n a c hs p a c e ： r t ) - ，( t ，“t ) ( t ：“j ( 2 1 )ij 【( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = t ，( 1 ) = 0 a tf i r s tw eg i t h ef o 】1 0 w i n gs e v e r a ll e m m n s ： l e m m a2 1 ( t h em a 血u mp r i n c i p l e ) ( 8 t h et h e o t y3 1j nt h ep a p e r 【6 】) l e to i sa b o u n d e dc o n v e xo p e ns e t i n r n ，l e t 世c 哆( n ) n c ( 功，a n d a u o ( 0 ) i n n ，t h e n 嚣心l e l 净3 1 i d 鍪t 。2 ：撼c o m 谁p a r 。i s o 躲nt h e 刊o r y ) ；l e t 。c 饥司融t h a t2 ( t h e)口i j ，司，吼i 由 f 日“) ( t ) 2e ，t j ， g ( o ) 2 口，q ( 1 ) o ， ( 2 2 ) 【，( 0 ) s 口，( 1 ) s 0 ， t h e n 口( t ) 0 , v t j w en e e dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si nt h i sc h a p t e r ( j h ) t h e r e e x i s t sv o ，w o 瓯明，s u c ht h a tt i o ( t ) 撕( t ) ，略( t ) 2 础( t ) ，vt j u n dv o ，嘶i st h el o w e ra n du p p e rs o l l u t i o n s , r e s p e c t i v e l y ，f o rt h ep r o b l e m ( 2 1 ) ： f 毋( t ) l ( t ，t i o ( t ) ，罐( t ) ) ，v t j ， 枷( 0 ) s 以t i o ( 1 ) s 0 ， 【诏( o ) 口，培( 1 ) 0 ， f 毋( t ) 2 ，( t w o ( t ) ，w 9 0 ) ) ，v t l w o ( 0 ) 以w o ( 1 ) o ， i t 略( o ) s 口，切g ( 1 ) s o v i i i 山东大学硕士学位论文 ( j r 2 ) t h e r e e x i s t sm o n o t o n ec o n d i t i o n s u ，口缸，( t - j ，w h i c h 强t i s 母： 1 ) v 口ef t 略( t ) ，略( t ) 】 u l ，t 1 2 ( t ) ，蜘( t ) 1 ，a su lst 2 ，w h i c h 。撕由：( t ，“l ， ，( ，t 1 2 ，口) ，v t l 2 ) vu h ( t ) ，t 叼( t ) 】，砚，睨1 讲o ( 0 ，诏( t ) 】，柚ms 抛，w 1 1 i e hs a t i d y ：y ( t ，砚) f ( t ，u ，啦) v t l l e t 咖】= 扣俨暇司i 。o ( 0 u ( t ) 嘶( t ) ，瑶( t ) ( t ) 2 瞄( t ) ，v t n t h em a i nr e s u l t so fr i d sc h a p t e fa r e ： t h e o r y1 l e t 占j 5 r e a l b a n a c bs p a c e ，p j s 地融c o n e o f e t h e p a p e r 【1 】) ，a n d ) ，( 日2 ) a r e t l s f i e d ，t h e nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 2 1 ) h a st h em i n i m a la n d m a x i m a ls o l u t i o n s - 面i n ，w 0 】n 伊仉司( t h a ti s ，i f ”h ，蜘ln p ，司i sa n y s o l u t i o no f ( 1 ) ，w h i c hs a t i s f i e d 可( t ) u ( t ) 面( t ) ，矿( t ) 2 ( t ) 茄”( t ) vt j ) a n d t h ef o u o w m gm o n o t o n es e q u e n c e s ( t ) ) ， ( t ) ) c o n v e r g eu n 讧o r m l y 可( t ) , e ( t ) i n z ： ，1 ( ) 2 上g ( t ，j ) ，( 4 ，一l ( 。) ，暖一1 ( 8 ) ) d 5 ，v t j ，( n = 1 ，2 3 ) ， ( 2 4 ) ，l t ( t ) 4 上o ( t ，s ) f ( s ，驰t 一1 ( d ，t 一l ( 8 ) ) 凼，vt j ，m = 1 ，2 ，3 ，) ， ( 2 5 ) w e8 p p l yt h er e s u l t st ot h ef o l l o w i n ge m n p l e ： e x a m p l e 2 1 ：c o n s i d e rt h eb o d a r yv a l u ep r o b l e m sl 删( 忙卅( t ) + ) + 1 ) 2 + 删。1 t 川= ( 2 2 5 ) 、l z a - 【“( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = ( 1 ) = 0 w ep r o o f ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 2 2 5 】h ut h em i n h n a ls o l u t i o n s 伊dt h em a x i m a l s o l u t i o n s c _ i n0 “( t ) s n z - t ，一一颤埘n t ，o ) s 0 ( t i = 【0 ，1 】) k e yw o r d sb a n a c hs p a c e ；锄；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；f i x e dp o i n t ；t h e m e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l l u t i o m 山东大学硬士学位论文 前言 近几十年来。数学界对有关线性算子的问题和把线性代数的已知结果推广到无 穷维空间的问题给予了充分的重视由此导出的丰富理论对整个数学产生了深远而 广泛的影响然而，当人们去掉线性的假定时，算子理论展示出数学研究的个崭 新领域一非线性领域 非线性泛函分析是人们在研究医学，生物学古典和现代物理学经济学过程 中发展起来的它有三个经典来源t 微分几何问题。古典和现代物理学中的数学同 题和非线性二次泛函有关的变分学问题除此之外。诸如经济学遗传学以及生物 学领域的数学都提出了全新的非线性数学问题另外。随着微分学的出现。分析中 的非线性问题自然产生在十七，十八世纪的数学文献中充满各种直接巧妙的解决 这些非线性问题的方法伴随着科学技术的日新月异的发展，出现了更多更新的非 线性问题 到上世纪5 0 年代。非线性泛函分析已初步形成理论体系，各种研究方法相继 产生，拓扑方法初步建立，并应用到微分方程的可解性研究变分方法初步形成， 其依据的基本结论为。自反空间有界凸闭集上的弱下半连续泛函必达到极值。解 析方法主要用反函数，隐函数来研究算子。半序方法开始产生，人们开始用单调方 法、锥理论来研究非线性增算子的性质如今，非线性泛函分析的概念和方法已经 渗透到纯粹与应用数学。物理学，化学，生物医学，经济控制论等科技领域，成为 处理许多非线性问题的有力工具 物理学中两端简单支撑的弹性粱的平衡状态可用四阶边值问题来描述设由于其重 要的物理背景。对该问题解的存在性已有广泛的研究，如文 2 - 6 】但大多在一般空 间讨论，本文作者在b n a 出空间中研究了该问题 本文共分二章第一章。作者利用d a r b o 不动点定理在b a n a 出空问中研究了四阶 常微分方程解的存在性第二章。作者利用上下解方法及s c h a u d 目不动点定理研究 了四阶常微分方程最大解和最小餐的存在性 本文是在我的导师郭大钧教授的精心指导下完成的 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：巨墨：鱼 日期：兰：兰兰：三：! ： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 十 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：黾叁：! 垒导师签名： 日期：亡! ：三：堇：! ! 山东大学硬士学位论文 第一章b a n a c h 空间中一类四阶常微分方程两 点边值问题解的存在性 1 1 引言 微分方程起源于各种应用学科中。倒如核物理，气体动力学，流体力学，边界 层理论，非线性光学等有关四阶教分方程边值同题解的存在性，正解的存在性和 唯性。这几年得到了广泛研究但这些文献大多仅限于一般空间中讨论，很少有 文献在b a n a c h 空间中讨论四阶微分方程解的存在性问题 由于两端简单支撑的弹性粱的平衡状态可用四阶边值同题 f ) ( t ) = ，( t ，u ( t ) ，( t ) ) ，t j ， 【 ( o ) = “( 1 ) ；( o ) = ( 1 ) = 0 来描述设，式中，：ix 冗x r + r 连续，其中r 为全体实数，i = 【o 1 】由于 其重要的物理背景，对该同题解的存在性已有广泛的研究，如文陋6 i 现在我们在 b a m 血空间中研究该问题则以上边值同题相应变为以下b a m 曲空间四阶常微分 方程两点边值同题 f 。町( t ) = f ( t , u ( t ) t ，( t ) ) ， ( 1 1 ) t 1 j j l ( o = u 【1 ) = t ，( o ) = t ，( 1 ) = 0 其中，v 1 x e x e 明对任何t l 如果f ( t ，以= 口，则( t ) = 口是边值( 1 1 ) 的 平凡解 本文在b a n a c h 空间中利用d a z b o 不动点定理讨论了该问题解的存在性 首先我们先提出几个引理 1 2 几个引璎 引理1 设，c l z , 觇则两点边值问题 篡三竺挺l 阻习 在俨【f ，司中有唯解。( t ) = 硪t ，。) ，0 ) 幽其中 ，u 百( t ，。) ：f 4 ( 1 一t ) ，o s l l t 【l 一) ，0 s t 5 s 1 ， 证明t 设。俨帆明是边值( 1 2 ) 的解。则由积分得z 一( t ) 一一( o ) = 一上m 胁 再次积分并注意到z ( o ) = 0 得t z ”( 0 ) = 一r 西t o “m ) 出 = 一f o 幽m ) 西 一上( t 一5 ) ，( 5 ) 幽 ( 1 3 ) 在( 1 3 ) 令t = 1 。由z ( 1 ) ；口得t 一( o ) ；0 1 ( 1 一田，p ) d i 把( 1 4 ) 代入( 1 3 ) 得 霉( t ) = 上1 t ( 1 一。) ，( s ) 幽一r ( t 一。) ，( s ) 幽 = 1 t ( 1 叫，( 5 ) 幽+ r 。( 1 t ) m ) 如 = z 1 召( t ，( 。) 如 反之设善( t ) 2 o 邵，) ，( | ) d e ，由 - o j , t , a ) = f t | ：1 ) t g ， la ( 1 一t ) ， o , 1 在i 嚣x 耳一致连续且 有界，并且存在g 0 ，四o ，0 s g + g o ：耳+ 俨陬司是个严格集压缩算子 即存在0 s 耳 1 ，使对任何s c 日，有a 2 ( a ( 回) 墨0 2 ( 研 证明t 由于，的一致连续性，由( 1 1 5 ) 式及文【1 】1 。我们得到t a ( i ( i x d i d 2 ) ) = 鼍警。( ，( t d l ，d 2 ) ) s g 口( d 1 ) + 四o ( d 2 ) ，v d z ，d 2 0 r , ( 1 1 6 ) 既然，在j x 嚣嚣上一致连续且有界， 设$ 马。我们有t ( 止) ( t ) 2 o g ( t , s ) ，( 。，。( 。) ，扩( 。) ) 幽 ： t s(1-t)(2t-t2-s2)f(s,，(5)，(5)出jo 。、一、一 + j ( 1 坚芈苎地撕邶) ) 幽 ( 1 1 7 ) 5 山东大学硬士学位论文 两边对i 求导t ( 驯( t ) tr 韭皇塑巾州矾枷d + 坐等型，( t 荆巾) ) + z 1 史二二堕堡! 手! ：二! 垒，扣，z 扣) ，妇) ) 出一丛生：二! ! ：；二兰塑，( t 。( 氓，( t ) ) = r 坐皇芋_ 旦，( | ，碱荆油 + j ( 1 生监些，( 1 一n 邶眦 ， t g ：( t ，司，( ，霉( 。) ，( 的) d | ( 1 1 8 ) 式两边对t 求导得 ( 缸) ”( t ) = 一f o t 。( 1 一t ) m ，。( s ) ，( 一) ) 幽+ 扣一t ) ( 1 2 t ) i 1 一f t(1一。)，扣，zo)，o)幽一it(t一0(1jt 一2 t d 一 ，l = 一o 。( 1 - t ) 饰，$ ( t ，( 5 ) ) 幽一上t ( x 一。) ，( 。，霉( 。) t ，( j ) 油 一f o ! 础似田，o ，z ( 曲，o ) ) h g 嚣( t ，的；f 一 1 - i ) ，o s 1 i s ( x t ) ，0 s0 t 5 1 ， 由此可知缸) 。( f ) 在，上连续 故如俨阢明 因此a ：耳- + 伊i f ，司 当0 曼t 。s 1 时 6 ( 1 1 8 ) 筮一 山东大学硬士学位论文 当0 j s t 1 时 因此 类似可得， 当0 s t j 兰1 时 当0 。 t s l 时 因此 0 s o ( t ， s ( 1 - d ( 2 s - f ) 一 6 ；! ! = 生堡= 生 6 ；( 坐生产生) 2 7 。砸 0 g ( t ，5 ) t ( 1 - t ) ( 2 t - f ) 一 6 = ! ：! ! = 生坚= 生 6 s ；( 坐竽 型) 2 7 2 面 o g ( 如) s 盏，v 如j 一壶sg ，( 柚) s 西1 一击g ，s 去 g ，( t ，i ) i 0 ，存在j 0 当h 以一勿0 五铆一铆8 d ，z l ，坝，施，啦e 霉时 n ，( 厶以，铆) 一，( t ，忍，忱) i l 0 当 i i 霉l 一却1 1 2 ；m x j i 霉l z , j l i 。i 耐一南0 。，i 嵋一述i i 。 j ，重l ，现耳 时 l 知1 一锄1 1 2 = m - - i i a z l a z 28 。，0 似$ 1 ) ，一( 如2 ) l i c ，i 似z 1 ) 。一( 锄) ”l i c ) 而 i i 止1 一a z 20 c 2 学0 1 ) ( t ) 一) ( t ) 0 0 ，存在s 的个划分。s ：o 毋 j = 使得 跏( 岛) a 2 ( 司+ ； 其中 凼“( 岛) 2 q 怒毋规一毙0 2 j = 1 ，2 ，。m = l ，2 ，。m 取巧毋及，= 1 0 1 】的个期分。t o = 0 t l 。 k = 1 使得 n ( t ) 一句回1 1 ；， l i ( t ) 一巧回1 1 ；， vj = l ，2 ，j n t e 一1 ，】 显然 d 1 = 旦且，其中= 似t ) l t e k - h 吼善黝 d 2 = 旦旦，其中而= 矿( t ) l t 睢t 州，。踟 对任何 z ( f ) ，z ( 日d bt ，毛一1 。如1 ，。，z e 毋 因此 0z ( t ) 一季回u s u z ( t ) 一。，( t ) u + 0 2 ，( t ) 一句( 习u + h 。j ( 习一z 回 0 z 一巧l i c + 言+ i i 巧一z i i c n 霉一1 1 2 + ；+ u 一互1 1 2 s m i a m ( 毋) 4 - ； s 2 a 2 ( 研+ 5 d f 哪( ) 2 a 2 ( 研+ 5 a ( d 1 ) 冬2 口2 ( 研+ c 1 1 山东大学硬士学位论文 对于任何一( t ) ，砜万t ，i 瞻一1 ，翊，。i 毋 0 矿( t ) 一孑呵巧i l 0 ，( t ) 一够( t ) i l + 芍0 ) 一( 习0 + 0 司回一孑吒巧0 剑，一蟛i l c + ；+ o 巧一歹i l c s o ，一弓1 1 2 + ；+ i i 巧一1 1 2 ， 2 舶m ( 岛) + i o s2 c 1 2 ( 毋+ c 因此 瓿m ( 而) 2 d 2 ( s - 4 - 。 d ( 口b ) s2 嘞( s ) + 由c 的任意性知， a ( d 1 ) s2 a 2 f 口( d 2 ) s2 0 2 ( 研 所以 口2 似( 研) s ；( g + 四) 口2 ( s ，vs c b , 由o g + 四 0 ，在，x 霉耳上一致连续且有 界，并且存在g 0 。四0 ，0 c r + g 2 使得t 口，( t ，d 1 ，功) s g 口( d 1 ) + g 口( d 2 ) ，vt i ，d 1 ，d 2c 耳 1 2 山东大学硬士学位论文 ( 日2 ) 甄掣 4 ，这里 j i f ( r j = 呻 j l s ( t ，t b 口) 4i t 耳，口耳 定理l 若条件( 日1 ) ，( 日2 ) 满足。则边值问题( 1 1 ) 至少有个解z 【，司 证明， 由引理2 声伊i x , 司是( 1 1 ) 的解当且仅当2 c 2 限圈是a 的不动点 因为凰满足。由引理3 知 ai 马- 9c 2 m 司是个严格集压缩算子 因瓯掣 4 ， 故存在r 使得笔尝 4 v ? 马一。有i i 1 1 2 = m ? i i c 。一8 。，l ，i | c r 由 h m i i c 5 学u ) ( t ) i i 一 m t a ，x ， o ig ( 。，。) ili ( s t z ( 。) ，扩( a ) ) i i 幽 s 釜m ( r ) = 箍掣r 墨r x 4 ；三王r 1 2 r 。 i i ( 驯i l c 2 i l 孑i i 【t 】u s 膂五i g ：( t ，。) in m ，z ( s ) ，( 。) ) i i 出 _ 1 m c r ) = 击竽x r 击r x 4 = i l r 1 3 山东大学硬士学位论文 h ( 如尸扎。鼍箩8 0 b ) 。( f ) 口 s 学上i 戗( t ，。) i h m ，。( 。) ，矿( 圳i 幽 s ；j i f ( r ) = i 1 下m c r ) r 0 ， t 扣 ) c d l ， 口( m ) c 功 u = “p 。u 妒，。“ ，) 口( m ) = ( ”p ，”5 m ) ，珩) ，) i 厶( t ，口( 神) i s d ，存在竹。当n n o 时 l c t ，u ( ，口( 帆) ) l 5 ，i i i o 对 i 厶( t ，u ) 。可帆) ) 一t l ( c = 1 ，2 ，l o ) ( 1 2 5 ) 由( 1 瑚式知 n f ( t ，u ( 盹) ，口( 盹) ) 一口u s 眦p i ，n ( t ，u ) ，口( 帆) ) 一撕i o ) 1 5 山东大学硕士学位论文 因此 i i f ( t ，“帆) ，口帆) ) 一 i i -+0 o ( ( t ，d i ，d 2 ) ) = 0“+ ) 所以条件( 日1 ) 满足 因为 i y ( t ， ，口) l 3 n t 、 i + r + r + r i ) 所以 i i ，( t ，u ，口) i n 3 t ( i + r + r i + r i ) 因此 m ( r ) = 岬 l ，( t ，“，t o0it i ，u ，v 耳 3 ( i + r + r l + r ) 华 3 ( 1 + r - * + r - + r - ) 所以 甄型r s 3 4 ( 玩) 满足 由定理1 知，该无穷常微分方程组在嚣中至少有解 1 6 山东大学硬士学位论文 第二章b a n a c h 空间中一类四阶常微分方程 两点边值问题的最大解和最小解存在性 2 1 引言 由于两端简单支撑的弹性粱的平衡状态可用四阶边值问题 裟：裂篡0 。暑 来描述设，式中，i ：i x r x r + r 连续，其中r 为全体实数。i = 【o ，l j 由于其重要 的物理背景，对该问题正解的存在性已有广泛的研究，如文【2 4 】现在我们在b a m m h 空间中研究该问题设陋，h 1 i ) 是实b m m c h 空间。令c 【，明；扣：i - - - 4 e 卜( t ) 在 1t 连续) ，l 喾l i 。= 马野h ( t ) l l ，则g p ，明为b a m n , c h 空间设p 是f 中的个 正规锥( 参见文【1 】) ( 不妨设正规常数为1 ) ，它引入了e 中的个半序关系。 霉，当且仅当，一霉p 显然口= z p g 陬司，( t ) 口，v t n 是b a m c l n 空 间c p ，司中的正规锥。其中口是e 零元同样可有q 引入c i j ，明中的个半序关 系，喾，e g 峨司，。霉冬，。当且仅当对v t j 声( t ) ”( t ) 则以上边值问题相应 变为以下b n a 函空间四阶常微分方程两点边值问题 l 川) = l ( t , u ( ) ，邶) ) ，“( 2 1 ) 【u ( o ) = ( 1 ) = t ，( 0 ) = t ，( 1 ) = 口 。 其中i c x e e 司对任何t l 如果，( t ，只= p ，则z ( t ) = 刊黾边值( 2 1 ) 的 平凡解 本文在b m k m l c h 空问中利用上下解方法讨论了该问题最大解和最小解的存在 性 2 2 几个引理 1 7 山东大学硬士学位论文 引理2 1 ( 极大值原理) ( 参见文【8 】定理3 1 ) 假设n 是酽中有界开集。设u 俨( n ) n c ( 两，且在。中u o ( o ) 则：譬u ( 菩) 2 ：髂”( 。) ( 劣”扣) 3 譬离t ( 善) ) 引理2 2 ( 比较定理) 若口1 1 , 司，满足 f g “) ( t ) 口，t j ， q ( o ) 2 0 , q ( i ) 以 ( 2 2 ) i ，( o ) s 只g 一( 1 ) 巩 则q c t ) 芝0 , v t j 证明v 口p = 似f i 币0 ) 20 , v 2 p ) ，其中f 是e 的共轭空间，p 是 p 的对偶锥令m ( t ) = g c q c t ) ) ，则m 伊陬用f im ( ) ( t ) = 9 ( 一( t ) ) ，( t ) = 9 ( t ) ) 由( 2 2 ) 式知 下证m ( t ) 0 ： 令”，( t ) ；l ，( t ) 则由( 2 3 ) 得t m “) ( 0 ，t l m ( 0 ) o ，m ( 1 ) o ， ( o ) s0 , m n ( 1 ) 0 ， 由引理2 1 得tv ( t ) - - 0 ，y t ，故 f ( t ) 5 0 , v t l m ( 0 ) 芝0 , m ( 1 ) 0 ， 由引理2 1 得tm ( t ) o 由g p 的任意性得q ( t ) 口。v t l 证毕 2 3 主要定理及证明 1 8 ( 2 3 ) l o 一 t uy “ 。i 虬 他 v v，ii，、【 山东大学硬士学位论文 首先给出下列假设 ( 皿) 存在咖，嘶【，目。使蛳( t j 哪o j ( t ) t a 孑( t ) ，v t 并且伽，哪分 别是边值问题( 1 ) 的下解和上解。即， f 缸紫( t ) s ( t ，t 叼( t ) ，t 昭( t ) ) ，v t ， t 峋( o ) 吼t 却( 1 ) 口 【瞄( o ) s 以t 碚( 1 ) 见 ( 凰) ，( t ，) 关于t 口的单调性条件为t 1 ) v 口em c 0 ，t i g ( t ) 1 ，n l ，t 2e 【伽( t ) ，蜘0 ) 1 ，当u lst 2 对有； j ( t ，t 1 2 ，v t j 2 ) vu ( t ) ，咖( t ) 】 仇，t 1 2 m ( 0 ，瑶( t ) 】，当砚s 您时有t i ( t ，“，啦) ，v t e l ，( t ，饥，口) s ，( t “，口1 ) 令d 0 1 。“e 俨i x , 明h ( t ) u ( t ) s t 蛳( t ) ，喀( t ) 矿( t ) 嵋( t ) ，v t d 定理1 设四为实b a 出空问。p 是f 中的正则镶( 参见文【1 】) ，又设 ( 日1 ) ，( 日2 ) 满足，则边值问题( 2 1 ) 在h ，嘶】n 伊m 司中具有最小解与最大解玩面 ( 即若口h ，蛳】n 伊【，明是( 2 1 ) 的任解。则必有耵( t ) s ( t ) s 面| 冀) ，矿( t ) 芝 矿( t ) 矿( t ) ，vt j ) 并且由下式确定的迭代序列 ( t ) ) ，t ( t ) 在i 上分别致收 敛于可( t ) 芦( t ) ： ( t ) ；z 1 g ( t ) ，( ， 1 i l ( 曲t ，。l ( 。) ) 幽，v t j 协- - - 1 , 2 , 3 ，) ， ( 2 4 ) t ( t ) = 0 1 g ( t ，j ) ，扣，t 一l ( j ) ，t 一1 ( | ) ) d | ，v t e ( n = 1 ，2 ，3 ，) ( 2 5 ) 1 9 硝以以 黑一 批删 山东大学硬士学位论文 i 州叫1 ) ；t ，( o ) ：巾) 观 仁6 易知u ( t ) = j ： g 陬) ，( ，_ i i ( 。) ，矿( ) ) 幽是边值问题( 2 6 ) 在伊m 司中的唯解 ftt(1-8)(2,-,2-产)，otjsl， 即叫牵乏i 仁 b 。 f 坠业；幽垒，o t “ 醐t 扣 牵三 伫8 ， 6 一一一1 ，= 二裟篡嚣 协。， 定义算子 如下， ( 舢) ( t ) = fg ( t ，幻，( 毛 ( 5 ) ，矿( j ) ) 幽 ( 2 1 0 ) 则a ：【伽，州- + 【，司 显然h h ，t v o 】n 伊m 司是边值( 2 1 ) 的解。当且仅当h 是算子 在，t 啊中的 不动点。即a h = h 此外，迭代序列( 2 5 ) ，( 2 6 ) 可写为 仉。( t ) = 一l ( t ) t ( t ) = t 一l ( t ) n = l ，2 ， ( 2 1 1 ) 下面证明 ( & ) m ( t ) 咖( t ) 嵋( t ) 冬可( t ) ，吨( t ) s 嘶( t ) ，叫( t ) 瞄( t ) ，vt j ( b ) 若伽( t ) s 仇( t ) 啦( t ) st 蛳( t ) ，t 略( t ) s 醒( t ) s 订( t ) st j f ( t ) ，v t i 则 ( 叼1 ) ( t ) s ( j t ，) 2 ) ( t ) ，( a ，7 i ) 。( t ) ( ，】2 ) ”( t ) ，vt l 证( 1 ) ，因为 ( t 却一埘1 ) ( | ) ( 力( t ，卿( t ) ，t 石( t ) ) 一，( t ，t | i o ( t ) ，t 昭( t ) ) = 巩( 2 1 2 ) 山东大学硬士学位论文 ( 脚一吼) ( o ) 以( t 阳一t 以) ( 1 ) 以 ( 2 1 3 ) ( t 却一t 咀) 。( o ) s 巩( t 咖一t 以r ( 1 ) s 口， ( 2 1 4 ) 由引理2 得w o 铆( t ) ，v t l 类似地可证m ( t ) v o ，v t l 令 z = ( 蜘一吼) 。( t ) ，v t j ，( 2 1 5 ) 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 得t ，( t ) 之以( 2 1 6 ) z ( o ) e , k 1 ) 口，( 2 1 7 ) 由( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 及引理1 得tz ( t ) s 口，v t 因此瞄( t ) 研( t ) ，v t l 类似地可证一矸( t ) 嵋( t ) ，v t i ，放( a ) 式成立 同理可证( b ) 成立 由( a ) ，( b ) 得， r o c t ) s 现( t ) s s t h ( t ) s s i ( t ) s t 啦( t ) t n ( t ) s t ( t ) ，v t l ( 2 1 8 ) t 硝( t ) f ( t ) 嵋( t ) s 碟( t ) t 巷( t ) s 口r ( 对s t 髫( t ) ，v t l ( 2 1 9 ) 又因为p 正则，故磐器( t ) ，磐器t i ：( t ) 存在 vt i ， ( t ) 相对紧， j ：( t ) 相 对紧 下证 t i ：) 等度连续， v h t a o l ，由条件( 日1 ) ，( 玑) ，知 ，( t ，t ( t ) ，t 略( t ) ) ( t ，h ( 0 ，矿( t ) ) 2 ，( t ，v o ( 0 ，t 右( t ) ) ，vt l 由p 正则从而正规知存在常数0 ，使 i i ，( t ，j l ( t ) ， ? ( t ) ) l l vtel( 2 删 2 1 山东大学硬士学位论文 对每个壤及f l ，如j ，卜斯傲t l s 幻 慨) 一( t 1 ) = 1 g 磊( t 2 ，一) ，( ，一l ( ) 。一i ( 一) ) 幽一0 1 嚷( t l 町，( 一t ( ) ，一l ( ) ) 幽 = 。( 磁他，_ ) 一嚷( t l ，一) ) ，( 山一l ( 。) ，t 缸l ( 5 ) ) 幽 j 0 + z 1 ( 磁( t 2 ，s ) 一雠( t - ，。) ) ，( 。，一l ( 。) ，一l ( 一) ) 幽 ；厂。他一t 1 ) ，( 毛一l ( d ，一l ( 5 ) ) 如 j o + f 1 ( 1 一。) 慨一t d ( s , - 1 ( 5 ) ，碟一l ( 5 ) ) d | j t l 碟( t 2 ) 一( t 1 ) 1 墨工p ( t 2 - t 1 ) lh ，( j ，一1 ( 。) ，一l 【| ) ) n 幽 + l ( 1 5 ) ( t 2 一t 1 ) l l i ，( 毛一i ( 。) ，一l ( 。) ) 0 幽 坐掣+ 掣：f t 2 - t 1 | 一 2 2 ” 故必存在与1 5 无关的5 ，使得只要t l ，t 2 ，- - t l i 就有 l l ( t 2 ) 一碟( t 1 ) 怄矗 因此f t j ：) 等度连续 由文【1 】定理1 2 5 知t t j ：) 是c 【j ，明中的相对紧集 再注意到 ( t ) ) 是减序列且p 正则从而正规 即知 碟( t ) ) 在i 上_ 萼 收敛到某z ( t ) 同理可证 t ，l l ( t ) ) 在i 上一致收敛到某可( t ) 因为 【t ) ；五( o ) + 上碟( 。) 如 而 ，( t ，一l ( t ) ，e - 1 ( t ) ) - - ky ( i ，可( t ) 。z ( t ) ) 4 ( t ，一1 ( t ) ，一l ( t ) ) i i 2 2 山东大学硬士学位论文 由控制收敛定理得 ，磐器吒( 0 ) ；，墨器上1 丛! 二； f 兰二生，“一- ( 吐一。( 枷d | t r 坐警型，( t 哟，。啪 因此f 吒( t ) 在i 上致收敛到某p ( t ) 由分析中的理论知 从而 由( 2 2 0 ) 式知， 矿( t ) = v ( d ，l r ( t ) = 名( t ) v c t ) = z ( t ) ，( t q 1 ( t ) ，t o l ( t ) ) + f ( t ，可，哥”) i ，( t 一l ( t ) ，一l ( t ) ) 一，( t ，可( f ) ，矿( t ) ) 1 1 2 n 于是在( 2 4 ) 式两端取极限，即得 ，l _ ( 力2 五g 似j ) ，扣，烈田，矿和) d