（基础数学专业论文）几类脉冲微分方程组解的持久性和周期性.pdf

摘要 种群生态学是生态学的一个重要分支，由于自然界中生态关系的复 杂性，数学的方法和结果被越来越多地应用于生态学，而种群生态学即 是迄今数学在生态学中应用最为广泛深入，发展最为系统成熟的分支 捕食者食饵相互作用关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一， 是生态学和生物数学研究的热点近年来，由于种群生态学中的捕食一 食饵模型等生物模型的广泛应用，关于它的研究引起了广大数学工作者 和生物学家的关注本文比较系统的研究了三类捕食者食饵系统 本文主要讨论了三类捕食者一食饵脉冲微分方程解的持久性、灭绝 性和周期性全文共分为四章 第一章简述了脉冲微分方程解的持久性与周期解存在性的历史与 研究现状，以及本文的主要工作 第二章讨论了带有h o l l i n gi i i 类功能反应且具有脉冲和周期系数的 三维循环捕食系统 竺糕d2(t)兰3(t)x2k2(t)m垴 ( 盟、， c 2 ( ) 扣；( t ) 门l 。” 恭器) ，j 周期解的存在性利用比较原理、b r o u w e r 不动点定理和l y a p u n o v 泛函方 法，获得了该系统存在唯一全局渐近稳定严格正的周期解的充分条件 第三章研究了消化依赖型脉冲微分方程 z i z l x 2 ) = r ( ) z l ( ) ( 卜谢) 一口( ) z l 、= 掣颦挚姆一d ( t ) x l + a ( t ) a ( t j x l ( t ) 2 ( t ) ， t 。二；三：1 1 ：鲰h k ) x “2 ( t j + 肛， c = t + ) = ( + ) + 肛，l ) z 。( ) ，lt # t k , j 解的持久性与灭绝性通过利用脉冲微分不等式，比较原理，f l o q u e t 理 i 掰揣群铋 嬲喏糕江端 糍= ； 论，得到了一类带有周期系数的脉冲微分方程周期解的持久性和灭绝性 的结果，推广一类常系数的脉冲微分方程解的结果 第四章讨论了带有h o l l i n gi i i 类功能反应的三维捕食者食饵生态 周期脉冲微分方程 z j ( ) = x l ( t ) ( b l ( t ) 一z l ( ) 一口( x 2 ( t ) = z 2 ( ) ( 6 2 ( ) 一x 2 ( t ) 一卢( 掣，( t ) = 可( t ) ( - 6 3 ( t ) + 耥 z 1 ( + ) = ( 1 + 9 l 知) z l ( t ) ， l z 2 ( t + ) = ( 1 + 9 2 知) z 2 ( ) ， t = 3 ，( + ) = ( 1 + 詹) 可( ) + p ，i 瀑中圯 - ( ) 一黼) ， 圯 端) ，j 解的持久性和灭绝性利用脉冲微分不等式、b r o u w e r 不动点定理、比较 原理和重合度理论，获得了此系统解的持久性、灭绝性和正周期解的存 在性，改进和推广了已有的相应非脉冲微分方程的结果 关键词：脉冲微分方程；持久性；周期解；h o l l i n gi i i 类功能反应；不 动点定理 净扮+ k a b s t r a c t p o p u l a t i o ne c o l o g yi s 如i m p o r t a n tb r a n c ho fe c o l o g ys c i e n c e s i n c et h e c o m p l e x i t yo fe c o l o g i c a lr e l a t i o n s ，m a t h e m a t i c a lm e t h o d sa n dr e s u l t sh a v eb e e n u s e di na n dh a v ee m e r g e df r o me c o l o g y n o wp o p u l a t i o ne c o l o g yh a sb e c o m e t h eb r a n c ht h a tm a t h e m a t i c si sm o s td e e p l ya p p l i e di na n dw h i c hi st h em o s t s y s t e m a t i co n e t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np r e d a t o ra n dp r e yi so n eo ft h eb a - s i cr e l a t i o n s h i p sa m o n gs p e c i e s r e c e n t l y , b e c a u s eo fi t sw i d ea p p l i c a t i o n s ，t h e p r e d a t o r - p r e ys y s t e mh a sr e c e i v e dag r e a td e a lo fa t t e n t i o no fm a t h e m a t i c i a n sa n d b i o l o g i s t s t h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e ma r ec o n s i d e r e ds y s t e m i c a h yi n t h i sp a p e r t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d i e dt h ep e r m a - n e n c e ，e x t i n c t i o na n dp e r i o d i c i t yo fs o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n d so fi m p u l s i v ee q u a - t i o n s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fp e r i o d i c i t ys o l u t i o np r o b l e m s a n dp e r m a n e n c ef o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eb r i e f l ya d d r e s s e d ，a n dt h e m a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，w es t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o no ft h ec y c l i ca n d p r e d a t o r - p r e ys y s t e mo ft h r e es p e c i e sw i t hh o l l i n g st y p ei i if u n c t i o n a lr e s p o n s e a n di m p u l s e s 兰黼d2(t)xa(t)x2(t)小-4 、十十。 c 2 ( ) + z ；( ) ，i 叫” 如( ) 豢繇) ，j b yu s i n gt h ec o m p a r a b i l i t yt h e o r e mf o ri n e q u a l i t y , t h eb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e - o r e ma n dl y a p u n o v em e t h o d ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n du n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o n s i i i 辫端群咄 觜觜扛一蝴螨一姗 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x t i n c t i o na n dp e r m a n e n c eo fap r e y - d e p e n d e n t 博一彳 ) z l ( t ) z 2 ( ) ，l j ， 7t t k ， t = t k ， b yu s i n ga i li m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , c o m p a r a b i l i t yt h e o r e ma n df l o q u e t t h e o r e m ，w eo b t a i nac o m p a r i s o nr e s u l te n s u r i n gt h ep e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o no f p e r i o d i cs o l u t i o no ft h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s t h i sr e s u l te x t e n d ss o m eo ft h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yt h ep e r m a n e n c ea n de x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u - t i o no ft h ed y n a m i cc o m p l e x i t i e so fap e r i o d i ch o l l i n gi i it w o - p r e yo n e - p r e d a t o r s y s t e mw i t hi m p u l s i v ee f f e c t 硝( ) = z l ( z ) ( 6 1 ( ) 一z l ( ) 一q ( t ) z 2 ( ) 一b 。o i , ( ( t t ) ) + x l a ( t ) 。y ( ( t t ) ) ， 呓( ) = z 。o ) ( 6 2 ( ) 一z 。 ) 一z ( t ) x t ( ) 一专篓舞巷拳筹 他) = 可( ) ( 一6 3 ( ) + 端+ z l ( 矿) = ( 1 + 灿) z l ( ) ，1 z 2 ( 矿) = ( 1 + 9 2 知) z 2 ( t ) ， “ ( t + ) = ( 1 + 饥) 秒( ) + p ，j 1 ， t t k ， j b yu s i n ga l li m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , c o m p a r a b i l i t yt h e o r e m ，c o i n c i d ed e - g r e et h e o r y , a n db r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ei m p u l s i v ee q u a t i o n sa n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa le e s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p e r m a n e n c e ；p e r i o d i cs o l u t i o n ； h o l l i n g st y p ei l lf u n c t i o n a lr e s p o n s e ；f i x e dp o i n tt h e o r e m i v ，j、l， 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名3 髫丈摄砷年易月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等手 段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：溜文故舀日期：姊年6 月山日 导师签名。呻鲫。日期。节6 月午日 i i 几类脉冲微分方程组解的持久性和周期性 1 绪论 在自然界中任何一种物种都不是孤立存在的，它总要同其它物种发 生这样的或那样的关系，物种之间的相互作用关系对于整个生物界的生 存和发展是极为重要的，它不仅影响每一个物种的生存，而且还把各个 物种连接为复杂的生命之网，决定着群落和生态系统的稳定性不同种 群之间存在着一种相互依赖、相互制约的生存方式，种群甲靠丰富的自 然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生，生态学上称种群甲为食饵，种 群乙为捕食者，二者共处组成捕食者食饵系统捕食者一食饵相互作 用关系是自然界中普遍存在的物种间相互作用的基本关系之一，也是生 态学界和生物数学界研究的一个主要课题 生态数学模型作为一种重要的生态学研究方法，在解释生态现象， 描述生态系统物质、能量、信息、价值流向等生态变化过程，揭示生态 系统内在规律，预测生态变化趋势等许多问题中都发挥着巨大的作用 数学模型不仅是对生态系统进行定性分析和定量研究的理论基础之一， 而且是解决生态学实际问题，优化管理农、林、牧渔业生态系统，提高 生态经济效益的技术手段，因此生态数学模型越来越受到人们的重视 进入上世纪9 0 年代后，由于具有收获率的模型对现实生产生活的 指导意义，人们将这一模型推广到更切合实际的情况，将h o l l i n g i 、i i 、i i i 类功能性反应与收获率结合起来功能反应函数是指在单个捕食者情 况下，被捕食者的种群密度( 或个体数) 关于时间的变化率它除了依 赖于食饵的密度，还反应了捕食者的捕食能力，更精确地说，捕食者的 捕食效率不仅受食饵密度大小的影响，而且受捕食者本身密度的影响 最早的生态模型是1 9 2 6 年由著名数学生态学的先驱v v o l t e r r a 提出 的基于捕食与被捕食两种群情形的v o l t e r r a 模型： 矿x，：=一alnx。秒-+b1幻xyz 其中a 。，a ：，b ，和幻都是正常数它的功能反应函数b l x 被称为v o l t e r r a 函 硕士学位论文 数，是一种最简单的功能反应函数，它表示一条过原点的无界直线这 种模型认为功能反应函数与食饵数量成正比食饵数量越大，在单位时 间内，捕食者吃掉的食饵数量就越多这在一定程度上是合理的，但是， 捕食者总有吃饱的时候因此假定功能反应函数与食饵数量成正比，意 味着忽略了消化饱和因素后来不少生态学家根据一些具体的生态学背 景，不断提出更加合理和切合实际的模型，功能反应函数也不断的得到 改进1 9 6 5 年，h o l l i n g 在实验的基础上，对不同类型的物种，提出了不同 的功能性反应函数h o l l i n g 功能性反应函数圣( z ) 有下面三种形式： 1 对简单的生物如藻类、细胞等，有h o l l i n g i 类反应函数， 喇= b x 0 x n 2 对无脊椎动物有h o l l i n g i i 类反应函数， 西( z ) = 丽a x 三 3 对有脊椎动物有h o l l i n g i i i 类反应函数， 坼) = 羔 同时，许多生命现象可以用动力学的方法来建立描述这种现象的数 学模型，通过数学模型的研究来进一步研究生命科学的问题以使人们对 生命科学进行更多的了解，对某些生物现象进行优化控制这些数学模 型的研究常常引发了数学理论中微分方程的研究，近些年来，人们发现 有许多生物现象的发生以及人们对某些生命现象的优化控制，并非是一 个连续的过程，不能单纯地用微分方程或者是差分方程来进行描述例 如，振子的振动 ，电流中的脉冲【2 】，生态种群中物种的出生也可看作 脉冲现象【3 】由于脉冲微分方程比相应的不带脉冲的微分方程更能准 确地描述某些现象，因此近二十年来，脉冲微分方程的研究已引起了大 量学者的关注t 4 , 5 1 脉冲微分方程解的存在性和唯一性1 6 , 7 】，解的有界性 m 9 】，渐近稳定性 1 0 一1 11 2 ，解的整体存在性【捌，脉冲控制混沌现象的研究 几类脉冲微分方程组解的持久性和周期性 1 4 1 5l s ，脉冲微分方程极限环的存在性【- 7 】以及脉冲生态系统的定性分 析 1 s ，1 9 等涌现出大量结果同时，生物数学模型有关的脉冲微分方程 周期解的研究也是当前热门的课题之一，引起了越来越多学者的关注， 取得了许多较好的结果，见文 5 , 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 一但是非线性脉冲 微分方程解的持久性，灭绝性，以及利用图形描述解的变化状态等问题 的研究成果还很少因此，结合图形对非线性脉冲微分方程的研究具有 十分重要的理论意义、现实意义和直观意义 下面简述与本文相关的几个问题的研究现状，并结合实例介绍本文 的主要工作 一、带有h o l l i n gi i i 类功能反应脉冲周期捕食系统的研究 目前，对于生态系统周期解的存在性与全局稳定性的研究取得大量 的结果，见 3 , 3 1 ，3 2 ，3 3 3 43 5 近年来，捕食者食饵的研究也引起了人们的 兴趣，文鲫讨论了如下三维循环捕食系统 f 硝( ) = z 1 ( ) ( r 1 ( ) 一l ( ) z 1 ( ) 一耥+ ( ) 三d 。3 ( t ( ) t 年) x z 3 。( t ( 巧) ) ， ( 幻= x 2 ( t ) ( r 2 ( t ) 一a 2 ( t ) x 2 ( t ) + 是z ( ) 耥一粼) ，( 1 1 ) 【x 3 c t ) = z 3 ( t ) o - 3 ( t ) 一a 3 ( t ) x 3 ( t ) 一i d z 两( t 丽) z l ( t ) + 七2 ( ) 麦黼) ， 作者应用比较原理，讨论了系统( 1 1 ) 严格正的全局渐近稳定的周期解 的存在的充分条件但对于具有脉冲的循环捕食系统，该文献并未涉及， 同时，系统研究的初值考虑在一个小范围内考虑到这些问题，我们将 在第二章中，讨论如下系统 z i ( t ) = z t ( ) ( r ，( ) 一o ( ) z ( t ) 一毫曼器等蚕产 + 乜( ) 揣) ， z ：( ) = z 2 ( ) ( r 2 ( ) 一n 2 ( t ) z 2 ( ) + 七1 ( ) 揣 一筹鹊铲) ， z = x 3 ( t ) ( r 3 ( t ) 一o s ( ) z s ( ) 一篙赭群 + ( ) 豢器) ， 鱿( 十) = ( 1 + h i k ) 既( ) ，i = 1 ，2 ，3 ，t = t 七， 3 一 硕士学位论文 利用比较原理，b r o u w e r 不动点定理和l y a p u n o v 泛函方法，获得了当初 值在更大范围内时，该系统存在唯一全局渐近稳定严格正的周期解的充 分条件同时，在去掉脉冲时，功能反应函数由文【3 7 】中的h o l l i n g l i 类换 成h o l l i n g i i i 类，同样能得到文m 中的相应结论 二、脉冲捕食者一食饵依赖消化模型的持久性和灭绝性 文嘲讨论了如下捕食者食饵消化系统 z ：( ) = r x l ( t ) ( 1 一警 呓( ) = 谢一d x z l ( t + ) = ( 1 6 ) z l ( ) ， x 2 ( t + ) = x 2 ( t ) + p ， ( 1 3 ) 作者利用比较原理和微分不等式，研究了系统( 1 3 ) 解的持久性与正灭 绝性但考虑到复杂多变的环境，我们认为将系统( 1 3 ) 的常系数变成变 系数，特殊脉冲换成一般化的脉冲后得到的系统会更有现实意义因此， 在第三章，我们研究如下脉冲捕食者食饵依赖消化系统 i 硝( ) = r ( t ) x l ( t ) ( 1 一嚣鲁) 一n ( ) z l jz = 篱一d ( ) z z ( ) ， 卜秽) = ( 1 + 鲰) 喇，；t ； iz 2 ( 矿) = ( 1 + 饥) z 2 ( t ) + 肛，j ) z 2 ( ) ，t t k , i j ( 1 4 ) 通过利用脉冲微分不等式，比较原理，f l o q u e t 理论，改进和推广了已有 的脉冲微分方程的研究结果并利用数字模拟画图，验证了具体实例， 直观明了 性 三、带有h o l l i n gi i i 类功能反应的脉冲捕食系统的持久性和灭绝 一4 一 几类脉冲微分方程组解的持久性和周期性 文 3 9 】讨论了如下捕食者食饵系统 作者利用比较原理和微分不等式，研究了系统( 1 5 ) 的持久性与正灭绝 性为了更适应复杂多变的环境，在第四章，我们研究如下脉冲捕食者一 食饵系统 这个系统是在系统( 1 5 ) 的基础上，将常系数变换成变系数，特殊脉冲 变换成一般化的脉冲，同时将功能反应函数h o l l i n g l i 类变换成h o l l i n g i i i 类我们利用脉冲微分不等式，b r o u w e r 不动点定理，比较原理和重合度 理论，获得了此系统解的持久性，灭绝性和正周期解的存在性，改进和 推广了已有的相应脉冲微分方程的研究结果，并利用数字模拟画图，验 证了具体实例，直观明了 设j = 0 ，口】，口为某常数我们引入下面的函数空间 p c ( ，) = p c ( j , t p ) = 乱：j _ 舻，礼z + ，t 在除t = t k j 的点外处 处连续，u ( q ) 和u ( t - ；) 存在，且u ( t ：- ) = u ( 如) ) 一5 一 箭 震黝以 胁 江 船然吖 矧矧卫_王小船 巩幻b 肋亿1胍肫也咄他帆 茗 z钛= = 可 一 一一叫卜卜刊删圳卅彬彬州 雾 艄豢 叫嚣删卜卜卜业仙、0， 邢哪丽瓴班协 一 一 十“以旷曲出m”蚺槲础咖蝴 k x 一 + + 0 唧唧卜+ + 研比如叫q 一 一 硎卜卜叫搁协舻舻 硕士学位论文 p c i ( ，) = p c i ( z 舻) = t | p c ( j ) ，乱在除t = 坟j 的点外连续可 微，u 讹言) 和缸印i ) 存在，且u 心i ) = 让他七) ) 在本章，我们将用到下面脉冲微分不等式 引理1 1 【5 】设s 【0 ，t ) ，魄0 ，q 膏，k = 1 ，p 都是常数，且设 p ，q p c ( j , 尺) ，z p c i ( zr ) 如果 iz 他) p ( t ) x ( t ) + q ( ) ，t 【s ，t ) ，t t k ， lx ( t 十) c x ( t ) + a 七，t 【s ，t ) ，t = t t , ， 那么对于t 【s ，卅有 邢，小+ ，( 。旦c k ) e x p ( s 。出m ) + 。也0 唧( z 。加渺) 咖胁 +缸。0唧(石pst打) k t 0 和q ( t ) 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) ，h i k 0 ，q 0 且h i ( k + 口) = h i k ， t 七+ 。= t 七十t ，七z + 系统( 2 1 1 ) 表示三种群均有资源供应，我们将在 磴r + = ( z 1 ，z 2 ，x 3 ) ri 甄0 ，i = 1 ，2 ，3 ) 【0 ，+ o o ) 中讨论系统( 2 1 1 ) 的 周期解的全局渐近稳定性和唯一性 一9 一 硕士学位论文 2 2 一些引理 。下面我们先讨论系统( 2 1 1 ) 去掉脉冲时的情况，且p fz = z ，( t ) ( r t ( ) 一口，( ) z t ( ) 一筹搿铲+ b ( ) 端) ， z 荆= z 2 ( ) ( 您( ) 一口2 ( ) z 2 ( ) + k l ( t ) 揣一删c 2 ( 0 + ( 0 、j ， ( 2 2 1 ) 【( ) = x z ( t ) ( r z ( t ) 一0 3 ( ) z s ( t ) 一篙誉铲+ k 2 ( t ) 端) ， 首先容易证明辟= ( x l ，x 2 ，z 3 ) ti 奶0 ，i = 1 ，2 ，3 是系统( 2 2 1 ) 的 不变集事实上，由初值及系统f 2 2 1 ) 易得 x l ( ) = x l ( 0 ) e x p f o ( r ( s ) 一o - ( s ) z - ( s ) 一等搿 + 如( s ) 揣) d s 】， 酬= z 2 ( o ) e x 帕您( s ) _ 0 2 ( 恻s ) + j 业c 1 ( 8 ) - i 挝- x 2 ( 8 ) ( 2 2 2 ) 一黯群) d s 】， 、7 z 3 ( t ) = z 3 ( o ) 唧 石t ( r 3 ( s ) 一n 3 ( s ) z 3 ( s ) 一鼍未荐塞铲 + 凫2 ( s ) 揣) d s 】， 显然当筑( o ) 0 时， 必有 奶( ) o ( t 0 ) ，i = 1 ，2 ，3 故琏为系统( 2 2 1 ) 的不变集，因此对于系统( 2 2 1 ) ，任何非负初值解 都保持非负由此出发，为了得到本章的结论我们需要下面引理 引理2 2 1 若 r lc l d t b l b 2 ， 您c 2 d 2 岛t 3 3 ， 功c 3 d 3 8 1 8 3 ， ( 2 2 3 ) 则q = ( z 1 ，x 2 ，x 3 ) t 碎10 0 z 1 ( 万一a 尘l x t + d 3 ) 豇驴= b - 时， 必有 从而有 故当0 b 1 ( o ) ， z 1 ( ) b l ( t 0 ) ( 否则，设x l ( ) 鼠，必有z i ( ) b 1 ， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 这与 n 一 一如一以一如一一h一乜 + + + z z z 毗一 一 一 一 一 一 一n 一您 一您 m 肋 彩 一 一 一 吐以 ，-l-li-，、ii-【 一血 一血 一立 警薹堕 一 一 一 、，、i，、， 0 o 0 ，i、，-、，i 1 2 3 z z 0 ， 5 2 0 ，( 2 2 8 ) 6 3 0 ， 戤( t ) 6 i ( z = 1 ，2 ，3 ) ，t 0 ( 2 2 9 ) 玩 0 从而知q 是系统( 2 2 1 ) 的不变集 引理 4 0 1 2 2 2 考虑系统 z ，( ) = z ( ) ( q ( ) 一p ( ) z ( ) ) ，七，( 2 2 1 0 ) 【z ( + ) = ( 1 + 七) z ( t ) ，t = t k ， 盈 盈 亟 掣一哮一噜一 砸耻酗 一 一 一 n 一 也一 他一 一 一 一 恳一 凤一 风一 掣一掣譬一 n 一 您一 您一 几类脉冲微分方程组解的持久性和周期性 其中n ( ) ，z ( t ) 均为在【0 ，+ o 。) 上的连续t 周期函数且z ( t ) 0 ，q 0 , h k + q = h k ，t 七+ q = t k + t ，h k 0 ，k z + 方程( 2 2 1 0 ) 有唯一的全局渐近 稳定的正t 周期解的充要条件是 z 叫s ) 如+ l 娶( 1 舶o ) o ， 由引理2 2 2 ，我们容易得到下面推论： 推论2 2 1 系统 ( ) ( r 1 ( ) ( t ) ( r 2 ( t ) ( t ) ( r 3 ( t ) 口l ( ) u l ( ) n 2 ( ) 札2 ( ) a 3 ( t ) u 3 ( t ) 蛳( + ) = ( 1 + 后) 乱 ( z ) ，i = 1 ，2 ，3 t = t k t k ， ( 2 2 1 1 ) 其中n ( ) ，q ；( t ) ，龟( t ) ，也( t ) 和( ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 均为在f 0 ，+ o 。) 上的连续 非负t 周期函数，且a i ( t ) 0 ，龟( ) 0 ，h i k 0 ，q 0 ，h i ( k + g ) = h i k ( i = 1 ，2 ，3 ) ，t 七+ 口= t 知+ 瓦k z + ，则系统( 2 2 1 1 ) 存在唯一的全局渐近稳定的 正丁周期解 引理2 2 3 存在m 0 ，系统( 2 1 1 ) 满足初值大于零的任一解z ( ) = ( t 1 ( ) ，勋( ) ，铂( ) ) ，有l x i ( ) f 0 z ( ) i 0 2 3 主要结果 定理2 3 1 当初值魏( o ) b i ( i = 1 ，2 ，3 ) 时，系统( 2 1 1 ) 至少存在一 个正的t 周期解其中b ；见引理2 2 1 证明当初值鼠磊( o ) b i ( i = 1 ，2 ，3 ) ( 其中玩，鼠见引理2 2 1 ) 时， 系统( 2 1 1 ) 的解z ( ) = ( z l ( ) ，z 2 ( ) ，z 3 ( ) ) ， 存在 m 0 ， 使得 b i ( t ) 戤( ) 鼠( i = 1 ，2 ，3 ) 时， 我们由引理2 2 3 可得， 玩( ) 鼢( ) 0 3 取l i a p u n o v 函数v ( t ) = el u i ( ) 一v i ( t ) l ( t o ) ，贝0 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) = 1 得v ( t ) 的右上导数d + v ( t ) 为 1 6 几类脉冲微分方程组解的持久性和周期性 d + y ( ) ： d + 3i 讹( z ) 一忱( ) l 壹d + i u i ( ) 一佻( ) i = 喜器端m 如h ( f ) i 卜n 。( ) + 兰丛生皇堕芝拌) i z 。( ) 一z ；( i + d l ( t ) o ( t ) i m 百+ d 1 ( 一t ) m 3 l z 2 ( ) 一z ；( t ) i c ( c ) p 2 r 7叼r 川 十2 m k 删3 ( t ) d 3 ( t ) 帅i ) 一z 删 +【一。2)+d2(t)c2(t)m磊甄-掣d2(t)b22iz。()一z；()i 十2 m k c , 1 ( 1 t r ) j d l ( t ) i z l ( ) - z 删 + d 2 ( t ) c 2 ( t 可) m 两+ d 2 一( t ) m 3 l z 3 ( ) 一z ；( ) l 蠢( ) 卜孔叫峭r 门 + - a 3 ( t ) + 坐掣势m 。瑚) i + d 3 ( t ) c z ( t j ) m 鬲+ d z 一( t ) m 3 k l a - 1 m k u ) 一，a , 1 ( ) l 蠢( ) p 川 + 2 m k 圳2 ( t ) d 2 ( t ) i z 2 ( t ) 一z 驯 = 一口t ( d 十堕量堕垒皇上笔产+ 2 m i k x 矿( t ) d x ( t ) + d z ( t ) c 3 ( t ) m + d 3 ( t ) m 3 z l ( ) 一z ：( z ) i 矧 4 1 、。，4 l 州 + 一口。( ) + d 2 ( t ) c 2 ( t ) m 鼋币- 厂d 2 ( t ) 一b 2 2b 3 + 2 m i k 2 泵( t 万) d 2 ( t ) +dl(t)cl(t)m+-dl(一t)m3)iz2(t)一z；()id(t、 川4 。、。，4 2 、。川 + 一n a ) + 堡丛尘望垒上笔产+ 可2 m k 3 ( t ) d 3 ( t ) + d 2 ( t ) c 2 ( t ) j m 两+ d 2 ( 一t ) m 3 ) i z 3 ( ) 一z ；( z ) l 鼋( ) 川邮r ，峭r 川 一。3m ) 一z 荆i ， 硕士学位论文 从而有 33 d + y ( t ) = d + m ) 一忱( t ) i 一n 啪) 一z 删， l = 1i = l 上式两端从0 到t 积分得 雠) 咄( t ) i + o ) 一z ：( s ) l d s y ( o ) + o o ， i - - - - 1”i = 1 由此得 。s u pf o 。驴3 ( s ) 叫( s ) | d s 掣 慨 故 t 。l i 十m 。 x i ( t ) 一z ；( ) i