（信号与信息处理专业论文）图像信息的基函数表示方法研究.pdf

摘要 图像信息表示方法是图像处理技术研究的核心内容。在基于生成模型的图像信息表示方 法中，通过采用一组基函数的线性叠加来模拟图像的产生过程，将原始图像变换为基函数空 间的投影系数表示，来揭示图像的内在结构，从而更有效地进行图像识别、降噪与压缩。图 像信息的描述能力很大程度上取决于基函数的选择，相比传统的预先设定的基函数，通过学 习算法获得与图像特性相匹配的基函数能够实现对图像信息更有效的描述。基于基函数的图 像信息表示方法研究是目前图像处理技术的前沿课题，涉及到统计学、几何学、图像处理与 分析、模式识别、视觉生理学等众多学科。 本文以图像的生成模型为基础，结合独立分量分析模型和小波分析模型。研究图像信息 的基函数表示方法及其关键问题。研究了图像在基函数张成的高维空间中投影系数的统计特 性：利用具有一定约束条件的基函数模型描述图像中物体的复杂结构信息；通过基函数参数 的学习，构造具有自适应特性的图像基函数模型。 本文的主要工作如下： ( 1 ) 综述了图像信息基函数表示方法的研究现状，分析了傅立叶变换、小波和独立分量分析 等图像基函数表示方法的优缺点，引出了对基函数及其投影系数的统计描述和条件约束， 以利于图像信息有效表示的研究思路。 ( 2 ) 分析了图像的独立分量分析模型中，图像信息的表示系数满足非高斯分布的特点，研究 了高阶统计量在特征提取中的作用，提出利用二阶统计量与高阶统计量的联合矩描述投 影系数的概率分布特征，有效地实现了多类纹理分类。 ( 3 ) 在平均场独立分量分析模型中，结合局部非负特性对基函数的约束，提出了局部非负的 平均场独立分量分析方法，利用所得到的稀疏性基函数用于基于部件的物体识别，取得 了较好的识别性能。 ( 4 ) 融合了独立分量分析与小波变换的基函数构建方法，提出基于自适应基函数的稀疏小波 模型。采用l a t t i c e 结构构造自适应小波基，通过对小波分解的子带系数进行稀疏性的限 制，将图像基函数的学习转化成一组低维的小波基函数参数的优化问题，从而减少基底 函数估计的不确定性。有效增强模型对图像真实的统计独立结构的描述能力。 关键词：图像信息表示；基函数；独立分量分析；小波：稀疏 a b s t r a c t i m a g er e p r e s e n t a t i o np l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei ni m a g ep r o c e s s i n gt e c h n o l o g y b a s e do n g e n e r a t i v ei m a g em o d e l s ，a ni m a g ei sr e p r e s e n t e da sal i n e a rc o m b i n a t i o no f as e to fb a s i sf u n c t i o n s ， s i m u l a t i n gt h ei m a g eg e n e r a t i o np r o c e s s b yp r o j e c t i n gt h eo r i g i i 山i m a g eo n t ot h es p a c eo fb a s i s f u n c t i o n , t h ep r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t sa r ec a p a b l eo fr e v e a l i n gl a t e n ts t r u c t u r e so ft h ei m a g ew h i c h f a c i l i t a t e si m a g er e c o g n i t i o n , d e n o i s i n ga sw e l la sc o m p r e s s i o n t h ec a p a b i l i t yo fc h a r a c t e r i z i n g i m a g ei n f o r m a t i o nl a r g e l yd e p e n d so nt h es e l e c t i o no fb a s i sf u n c t i o n s r e l a t i v et ot h et r a d i t i o n a lw a y o fp r e d e t e r m i n i n gb a s i sf u n c t i o n s ，b a s i sf u n c t i o n sg e n e r a t e db yl e a r n i n ga l g o r i t h m sa 北a d a p t e dt o i m a g ec h a r a c t e r i s t i c sa n dh e n c em o r ee f f i c i e n ti ni m a g er e p r e s e n t a t i o n b a s i sf u n c t i o n - b a s e di m a g e r e p r e s e n t a t i o ni sc u r r e n t l ya f r o n t i e rr e s e a r c hi nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g ，i n v o l v i n gm u l t i p l e d i s c i p l i n e ss u c ha ss t a t i s t i c s ，g e o m e t r y , v i s u a lp h y s i o l o g ye t c b a s e do ni m a g eg e n e r a t i v em o d e l ，i nc o m b i n a t i o n 谢li n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i sm o d e l a n dw a v e l e tm o d e l ，t h eb a s i sf u n c t i o nr e p r e s e n t a t i o no fi m a g ei n f o r m a t i o na sw e l la si t sk e yp r o b l e m a r es t u d i e di nt h i st h e s i s b yr e p r e s e n t i n gi m a g e sa sp r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t si nh i 【g hd i m e n s i o n a l s p a c ee x p a n d e db yb a s i sf u n c t i o n s ，s t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fp r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t sa r es t u d i e d t h eb a s i sf u n c t i o n su n d e rc e r t a i nc o n s t r a i n sa l ed e r i v e da n df u r t h e ru s e dt od e s c r i b ec o m p l e x s t r u c t u r ei n f o r m a t i o ni ni m a g e i na d d i t i o n , l e a r n i n ga l g o r i t h m sf o rc o n s t r u c t i n gt h ea d a p t i v ei m a g e b a s i sf u n c t i o n sa r es t u d i e d 1 1 1 em a i nw o r ki sa sf o l l o w s ( 1 ) t h er e s e a r c hs t a t u so fb a s i sf u n c t i o n sc o n s l r u c t i o nm e t h o di ni m a g ei n f o r m a t i o n r e p r e s e n t i n gi ss u m m a r i z e d t h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ff o u r i e ri r a n s f o r m , w a v e ra n di n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i sw i t h r e s p e c tt ob a s i sf u n c t i o n - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n i s a n a l y z e d t h er e s e a r c hr o u t eo fi m a g ei n f o r m a t i o nr e p r e s e n t i o n e f f i c i e n c yi sd e r i v a t e df r o ms t a t i s t i c a lc h a r a c t e ra n dc o n d i t i o nr e s t r i c t e do fb a s i s f u n c t i o na n dp r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t s ( 2 ) p r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t so fi m a g ei n f o r m a t i o ni nb a s i sf u n c t i o ns p a c ei sn o n - g a u s s i a ni n i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i sm o d e l t h eh i g h - o r d e rs t a t i s t i c a lf e a t u r e si su s e di n c h a r a c t e r i z en o n - g a u s s i a nf e a t u r e t h ec o m b i n e dm o m e n t so fs e c o n d - o r d e ra n d h i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c a lf e a t u r e si sp r o p o s e dt od e s c r i b et h ep r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t s p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i n gc h a r a c t e r i s t i c ，w h i c hu s e di nm u l t ic l a s st e x t u r ec l a s s i f i c a t i o n ( 3 ) l o c a l l yr l o n n e g a t i v em e a nf i e l di n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i si sp r o p o s e d , w h i c h b a s i sf u n c t i o ni sc o m b i n e dw i t hl o c a ln o n - n e g a t i v er e s t r i c ti nm e a nf i e l di n d e p e n d e n t c o m p o n e n ta n a l y s i sm o d e l s p a r s eb a s i sf u n c t i o ni sd e r i v e d r o b u s tr e c o g n i t i o n p e r f o r m a n c ei so b t a i n e dw h e nu s e dt oo b j e c t sr e c o g n i t i o n ( 4 ) s p a r s ew a v e l e tm o d e lo fa d a p t i v eb a s i sf u n c t i o ni sp r o p o s e d ，w h i c hc o m b i n e db a s i s c o n s t r u c t i o no fi n d e p e n d e n ta n dw a v e l e t t h ea d a p t i v ew a v e l e tb a s i sr u n i o ni s c o n s t r u c t e df r o ml a t t i c es t r u c t u r e t h es p a r s i t yr e s t r i c ti si m p o s e do i lt h ew a v e l e t c o e f f i c i e n t t h es t u d y i n go fb a s i sf u n c t i o ni st r a n s l a t e dt oo p t i m i z a t i o np r o b l e mo fl o w d i m e n t i o i lo fw a v e l e tb a s i sf u n c t i o na n dt h ei n c e r t i t u d ei sr e d u c e di nb a s i sf u n c t i o n e s t i m a t i o n t h ed e s c r i p t i o na b i l i t yo fi m a g es t r u c t u r ei se n h a n c e de f f i c i e n c y k e y w o r d s ：i m a g ei n f o r m a t i o nr e p r e s e n t a t i o n ；b a s i sf u n c t i o n ；i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ； w a v e l e t ；s p a r s i t y 插图清单 图1 1 图像信息表示方法3 图1 2 图像线性生成模型。5 图1 3 论文研究内容之间的逻辑关系。9 图1 - 4 论文各章的关系结构图1 0 图2 1 一维正交小波变换1 7 图2 2 二维正交小波变换，这里的j ，2 表示以采样因子2 的下采样1 8 图2 3 图像及其小波变换1 9 图2 4 图像的线性生成模型关系示意图2 l 图2 5i c a 的模型2 2 图2 6 源信号与混合信号波形图。2 8 图2 75 0 次重复实验后的误差指标图2 9 图2 8 图像中的图像块被看成是由矩阵a 给出的基函数的线性组合3 0 图2 - 9 自然图像3 0 图2 1 0 采用i c a 方法提取的自然图像的基函数和滤波基3 1 图3 1 联合分布和边缘分布所需神经元的数量3 9 图3 2 一个图像块可认为是独立基图像的合成4 0 图3 3g a b o r 滤波器。4 l 图3 - 4g a b o r 滤波器的时域和频域图。4 l 图3 5i c a 滤波器的频谱特性4 2 图3 6i c a 纹理分类框图。4 3 图3 7 从b r o d a t z 纹理库中选取的2 5 幅纹理图像4 4 图3 8 纹理库图像获得的基函数a 和滤波器w 4 4 图3 - 9 特征图像示意图4 5 图3 1 0 图像的独立谱表示4 6 图3 1 1 独立性不同的滤波基( 1 2 x 1 2 ) 5 1 图3 1 2 训练样本的个数对分类性能的影响5 3 图3 1 3i c a 基的平均互信息与系数的平均峭度值分布5 4 图3 1 4i c a 滤波器独立性与其对纹理特征的辨识能力的影响5 5 图3 1 5 三种不同尺寸的i c a 滤波器组5 6 图3 1 6i c a 滤波器组选择算法流程图5 7 图3 1 7 所选滤波器个数与正确率的关系图5 7 图4 1n m f 从l e e s e u n g 人脸库提取的人脸基6 2 图4 2 平均场方法示意图6 3 图4 3c o i l 10 0 图像库7 2 图4 - 47 2 个位置的图像7 2 图4 5 学习训练获得的滤波基和基函数7 4 图5 1 一维无抽样小波变换8 3 图5 2 二维无抽样小波变换8 4 图5 - 3 功率互补滤波器组的栅格结构分解8 4 图5 4 从b r o d a t z 纹理库中选取的某纹理图像。8 9 图5 5 纺织品图像9 0 图5 - 6 有缺陷纺织品图像的一层小波分解各子带图9 2 图5 - 7 小波一层分解后的部分子带使用阈值后的结果9 2 图5 8 小波滤波器的频率响应9 4 表格清单 表3 1i c a 特征的分类性能。5 2 表4 - l 不同先验源模型的变分均值和响应函数6 8 表4 - 2 基于c o i l 图像库的基函数稀疏性7 4 表4 - 3 基函数个数不同时各算法获得的识别率7 5 表4 - 4 取1 0 个对象6 0 个基函数的平均识别正确率的结果7 5 表4 5 取1 0 个对象6 0 个基函数的平均识别正确率的结果7 6 表4 6 取1 0 个对象2 0 个基函数的平均识别正确率的结果7 6 表5 1 纹理做一层小波分解得到的峭度值9 0 表5 2 小波系数9 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 金胆王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：麴、互王 签字日期：砩钿三日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目垦王些态堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金目巴王 些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：细、纽 签字日期：z 们哆年彳月2 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期刁年钿，z 日 电话： 邮编： 致谢 论文即将完成之际，回首前尘往事，抚思昔日韶华，我的成长历程伴随着太多人的关心 和帮助，谨此致以深深的谢意。 首先要感谢我的导师高隽教授。本研究及学位论文是在高老师的亲切关怀和悉心指导下 完成的。他严谨的治学精神、精益求精的工作作风、敏锐的学术洞察力和开阔的学术思维都 深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的最终完成，高老师都始终给予我细心的指导 和不懈的支持。五年来，高教授不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想上、生活上给 以无微不至的关怀。在此谨向高老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 感谢图像信息处理研究室的所有老师和同学，图像室浓厚的学术氛围、协作竞争的团队 精神是我得以顺利完成博士论文的重要基石。特别感谢杨学志、胡良梅、张旭东、谢昭、张 仁斌、范之国、孙永宣等老师。感谢他们为我的博士论文在思路上出谋划策，在实验中挽袖 襄助，在困扰时指点迷津。感谢与王磊、吴田富、王晓嘉、邵静、胡静等师兄师姐在学术研 究中的讨论与合作。与钱乐乐、赵莹、杨静、冯文刚、吴克伟等同学的交流带来的启示和帮 助。感谢他们在低落时给我的勉励，懈怠时给我的鼓舞，迷茫时给我的警醒。 感谢计算机与信息学院的所有领导以及曹航、徐静和王新生老师在我攻读博士学位期间 给予的鞭策、鼓励、支持和帮助。感谢研究生院各个部门的领导和老师对我的关怀和帮助。 感谢我的妻子汪金菊，生活上的关心和学习工作上的理解支持。感谢双方的父母，你们 默默无闻的支持让我不断进步! 感谢我的儿子徐纯谦，他的可爱与顽皮让我放松，他的成长 是我学习工作的动力。 再次感谢所有关爱我的人，你们的支持将激励我不断进取! 最后，感谢在百忙之中评阅论文的教授和所有参与答辩的各位老师。 徐小红 2 0 0 9 0 5 第一章绪论 第一章绪论 图像信息的基函数表示是图像处理技术的热门课题，涉及多个学科，研究内容相当丰富 本章阐述了论文的研究背景，介绍了图像信息表示和基函数的基本概念，综述了图像信息的 基函数表示的研究现状，指出了当前图像信息基函数表示研究中存在的不足，引出了对基函 数及其投影系数的统计描述和条件约束，以利于图像信息有效表示的研究思路，最后论述了 论文的课题来源和研究内容，给出了论文的章节安排和组织结构 1 1 研究背景 图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于 人眼并进而产生视知觉的实体。这里图像的概念是比较广义的，包括照片、绘图、动画、甚 至文档等等。人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人心目中 形成的影像。中国有句古话，“百闻不如一见”。人们常说“一图值千金”。它们都说明图像中 所含的信息内容非常丰富【l 】。图像中包含了它所表达物体的丰富描述信息，是我们主要的信息 源。 为了从图像中获取更多有用的信息，人们开始研究对图像进行处理。图像处理是用计算 机对图像进行分析，以达到所需结果的技术。早期的图像处理的目的是改善图像的质量，它 以人为对象，以改善人的视觉效果为目的。随着计算机的发展、各种硬件设备的完善以及各 种理论工具的出现，数字图像处理已经发展成为一门独立的热门学科。 图像处理从原始图像出发，通过对图像内的像素( 图像的基本单元) 进行一系列变换。对 图像的变换是一种映射，它将图像从一个空间映射到另一个空间，或在同一个空间中从一个 位置朝向转换到另一个位置，朝向。前者称为空间变换而后者称为坐标变换。一般将像素组成 的空间称为空域。空间变换将图像从空域映射到另一个空间，另一个空间称为变换域。 为了有效和快速地对图像进行处理，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换 到另外一个空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，有时还需再转换回图 像空间以得到所需的效果。变换将图像转换到新的空间，显现出一些新的特性，比较适合特 定的图像处理，使得比较复杂、特征不明显的信息在变换域更加明显，利于分析。 一般将图像从空域向变换域的变换成为正变换，而将从变换域向空域的变换称为反变换或 者逆变换。正如表示空间的一个矢量可以用不同的坐标系样，在变换域中使用一组基函数， 空域内的图像通过变换表示成基图像的加权和，这些权系数称为图像在变换域的表示，即变 换后的图像。变换的途径虽然不同，但它们都是空间域图像的变换域表示式，在不同空间的 变换对有效地进行图像处理非常有帮助。 由于各种基函数集的不同而引入不同变换。傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ，f t ) 将满足一 定条件的某个函数表示成三角函数( 正弦和或余弦函数) 或者它们的积分的线性组合，其基 函数为正弦余弦函数 4 - 5 1 。傅立叶变换通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特 2 合肥工业大学博士学位论文 征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图 像变换、图像编码与压缩、图像分割、图像重建中。小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ，w t ) 是 在特定空间内按照称之为小波的基函数对数学表达式的展开与逼近，是时间和频率的局域变 换，能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化 分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，从而小波变化被誉为“数学显微镜”【7 。9 】。主分量分析( p r i n c i p a l c o m p o n e n ta n a l y s i s ，p c a ) 为多维数据空间建立一组正交基，这些正交基给出了原始数据方 差变化最大的方向，当所有观测数据在基函数上投影时，构成的新随机量具有最大方差，输 出向量中各随机变量互不相关 1 0 - 1 2 】。独立分量分析( i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ，i c a ) 以氆f l 像表示系数尽可能相互独立为目标来寻找构建相应的基函划1 3 埘】。稀疏编码( s p a r s ec o d i n g ， s c ) 使用组基向量表示数据向量，使得仅有- - , j , 部分的基向量同时被激活 2 2 。2 6 】。 基于基函数的图像信息表示是设计一幅图像的生成模型，然后用生成模型里的成分给出图 像的一个“表示( r e p r e s e n t a t i o n ) ”。这里的“表示”指的是以某种方式对图像数据进行变换获 得，使得其本质结构更显著或更容易理解。基于傅立叶变换和小波变换的基函数一旦确定就 不再改变，且和数据无关，可看成是基函数固定的图像生成模型。基于主分量分析、独立分 量分析和稀疏编码的变换通过建立图像的生成模型，利用不同的目标函数，得到图像的基函 数以及基于该基函数的表示。基函数是从训练数据中学习得到，是与训练数据相关，对不同 的训练数据会得到不同的基函数。 本文针对图像信息的基函数表示的研究现状，以图像的生成模型为依据，研究图像信息的 基函数表示方法及其关键问题，重点分析了独立分量分析模型和小波分析模型。研究了图像 在基函数张成的高维空间中投影系数的统计特性；利用具有一定约束条件的基函数模型描述 图像中物体的复杂结构信息；通过学习基函数参数构造具有自适应特性的图像基函数模型， 采用统计学、几何学和模式识别相结合开展研究。 1 2 图像信息表示方法 客观世界在空间上是三维的，但一般从客观景物得到的图像是二维。一幅图像可以用一个 二维数组来表示。日常所见的图像有许多是连续的，为了能用计算机对图像进行加工处理， 需要把连续的图像离散化，这种离散化的图像是数字图像，是客观事物的可视数字化表达。 为了从图像中获取更多有用的信息，人们开始研究对图像进行处理。图像处理从原始图 像出发，通过对图像内的像素( 图像的基本单元) 进行一系列变换，获得图像信息的表示。 根据图像信息表示的变换域的不同，可将图像信息表示分为：时域的信息表示、频域的信息 表示和时频域的信息表示。在时域为获得图像信息，根据所采用的数学工具，可分为：基于 点操作和代数运算、基于数学形态学的方法、基于偏微分方程的方法、基于p c a i c a s c 的子 空间分解方法。j ，如图1 1 所示。 第一章绪论 3 图1 1 图像信息表示方法 1 2 1 时( 空) 域分析 时域分析是描述信号在不同时刻取值的函数。图像是空域信号，图像用空间中不同位置的 像素点的取值进行描述。 1 2 1 1 基于点操作和代数运算 灰度变换是一类最简单但仍是相当有用的图像处理方法，变换后的图像的任何一点的灰 度值完全取决于同一点原图像的灰度值，故属于点操作。为了保证灰度变换后的图像在整体 的外貌上与原图像保持一致，一般要求灰度变换函数是严格单调递增函数。在图像处理中， 灰度变换主要用于图像的对比度改善。 图像的代数运算是指对两幅输入图像逐点进行加、减、乘、除等运算所得到的值作为输 出图像在该点的灰度值。其中加法运算可以用于减少图像中加性噪声，也可以用于产生人为 的“二次曝光”的艺术效果。减法运算可用于突显两幅输入图像之间的差异。例如，输入图 像是视频中相邻的两帧，那么运动物体的边界就可较容易地在输出图像中被检测。 1 2 1 2 数学形态学的方法 二值图像是一种特殊的图像，它的“灰度”值，只取0 或者l ，故也称为“黑白图像”。 处理这类图像的一套非常有效的方法，称为数学形态学方法。在数学形态学中，首先将待处 理图像中的“白”区定义为几何x ： x = ( x ，y ) ，l ( x ，y 户1 ) ( 1 - 1 ) 若处理的对象是黑区，只需将黑白颠倒一下。再定义一个结构元素b ，例如，常用的结构元素 是3 x 3 的正方形。在此基础上便可以定义三种基本的形态学算子：膨胀( d i l a t i o n ) 、腐蚀( e r o s i o n ) 和中值集( m e d i a ns e t ) 。 1 2 1 3 基于偏微分方程的方法 基于偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p d e ) 的图像处理方式的基本思想是：在图 4合肥工业大学博士学位论文 像的连续数学模型上，令图像遵循某- , j j 定的p d e 发生变化，而p d e 的解，就是希望得到的 处理结果。 基于偏微分方程的图像处理方法的首要步骤是建立一个合乎处理要求的偏微分方程，即建 立数学模型。常用的建模方法有：建立“能量”泛函，通过变分法，得到e u l e r - l a g r a n g e 方 程即所需要的p d e ；将所期望实现的图像变换与某种物理过程进行类比，建立对应的p d e 。 1 2 1 4 基于p c a i c a s c 的子空间分解方法 基于p c a i c a s c 的子空间分解方法，通过建立图像的线性生成模型，然后用生成模型里 的基函数给出图像的一个表示。对图像表示系数和基函数的限制条件不同，得到不同的变换。 主分量分析为多维数据空间建立一组正交基，这些正交基给出了原始数据方差变化最大的方 向，也就是说当所有观测数据在基函数上投影时，构成的新随机量即系数具有最大方差，输 出向量中各随机变量互不相关。独立分量分析以图像表示尽可能相互独立为目标来寻找构建 相应的基函数。稀疏编码使用一组基向量表示数据向量，使得仅有一小部分的基向量同时被 激活。 1 2 2 频域分析 频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。对任何一个事物的描述都需要从多 个方面进行，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息。对于一个信号来说， 它也有很多方面的特性。如信号强度随时间的变化规律( 时域特性) ，信号是由哪些单一频 率的信号合成的( 频域特性) 。对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但 并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就 需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述。动态信号从时间域变换到 频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。周期信号靠傅立叶级数，非周期信号靠傅立 叶变换。在频率域，利用信号的频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关 系。一般频谱图中横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度。 1 2 3 时( 空) 频域分析 在传统的信号处理领域，基于f o u r i e r 变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号 在频域的特征，它们在传统的信号分析与处理的发展史上发挥了极其重要的作用。但是，f o u r i e r 变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的 功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际 应用场合，信号是非平稳的，其统计量( 如相关函数、功率谱等) 是时变函数。这时，只了 解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情 况。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频分析 ( j t f a ) ，即时频联合域分析( j o i n tt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ) 。典型的时频表示有短时傅立 叶变换( 简记为s t f t ) 、g a b o r 展开和小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，简记为w t ) 等。 在上面的图像信息表示方法中，时域中的基于p c a i c a s c 的子空间分解方法、频域的基 第章绪论 5 于傅立叶变换的信息表示和时频域的基于小波的信息表示等都是使用一组基函数，然后通过 图像在这组基函数上的变换，获得图像在该基函数上的表示。因此本文将该类方法统称为基 于基函数的图像信息表示方法。 1 3 图像信息的基函数表示 1 3 1 图像的基函数 考虑一幅黑白图像，其上以x 和y 为坐标索引，像素点的灰度值用地来表示。图像信 息的基函数表示方法中，一般将图像地表示成一些特征或者基函数a i ( x 。v ) 的线性叠加： 取力= la f ( x ：) s i ( i - 2 ) 式中，s i 是表示系数，对每幅图像地各不相同，可看成是图像的内在“成分”。毋是原始图 像在基函数张成的高维空间的投影系数，一般称为系数，有时称为成分或分量，小波里称为 小波系数，p c a 和i c a 里称为主成分、主分量、独立成分、独立分量等，本文后面根据不同 的场合使用这些不同的概念。口肛力是基函数，在不同的生成模型中使用不同的基函数。基函 数在有些参考文献中又称为基向量、基元函数( e l e m e n t a r yf u n c t i o n s ) 、原子( a t o m s ) 、字典 元素( d i c t i o n a r ye l e m e n t s ) 、矢量( v e c t o r s ) 等等，本文后面根据不同的场合使用这些不同的 概念。图像信息的基函数表示的线性生成模型如图1 2 所示【1 7 - 1 8 ，图像假定由一组基函数口舡 与幅度毋的线性组合。 - l 篙o r l “dm 一一w 地口肛) s i 图1 2 图像线性生成模型 在实际应用中，可以不用式( 1 2 ) 来来建模整幅图像，而是用它建模图像分块或者图像窗 口。因此将图像划分为一些小块，每块大小例如为1 2 1 2 像素，然后用式( 1 - 2 ) 来对这些小块 进行建模。图像处理中广泛使用的标准线性变换有傅立叶( f o u r i e r ) 变换、小波变换、独立分 量分析和稀疏编码等等。每一个都有其自身的独特性质。 将所有像素取值放在一个单独的向量x - - i x i ，恐，列。中，这样就能够将( 1 2 ) 的表示 写成更简洁的形式： x = a s ( 1 3 ) 该线性叠加模型给出了一个有用的底层描述，这里忽略了一些高层次的非线性现象，比 如遮挡等 1 6 q 7 】。 6 合肥工业大学博士学位论文 考虑基函数4 舡) 构成一个可逆线性系统，这时矩阵a 是一个方阵。这样可以通过对系统 求逆而得到： 毋鼍咄舷 ( 1 - 4 ) 式中，w j 表示逆滤波器。与( 1 3 ) 式相对应，用矩阵形式可写为： s = w x ( 1 - 5 ) 形的每一行为一滤波器，采用标准的广义逆记法，则有： a r - - a a t w t = c w l ( 1 - 6 ) 此式表明了滤波器坳和对应基向量a i 之间的简单关系。基向量由滤波器矩阵对晰的系数进行 滤波而得到，而滤波矩阵则由自相关矩阵给出。当彳不是方阵时，形为彳的广义逆。 式( 1 5 ) 可看成是图像变换过程：将图像从空域变换到变换域中用基函数表示，系数量则表 示了原图像在各基函数所占的量。 ( 1 - 3 ) 图像由基函数和系数的线性组合，也可看成将一组被适当地加权的基函数求和而 重构原图像，即从变换域到空域。s 中的每个元素就是其对应的基函数在求和时所乘的倍( 系) 数。基函数可以被认为是分解原图像所得的单元集分量，它们同时也是组成原图像的基本结 构单元。( 1 5 ) 可看成是通过确定系数来实现分解，( 1 - 3 ) 可看成是通过将其图像加权求和来实 现重构。 任一图像都能唯一地分解成分别具有“合适”的幅度的一组基函数，然后通过将这些分 量相加可以重构原图像。当变换系数s 的个数与原图像x 的元素个数相同，这样在变换前和变 换后自由度的数目是相同的，从而保证了在这个过程中既未引入新的信息，也未破坏任何原 有信息。变换后的系数s 是原图像工的一种表示。由于它具有与原始图像向量相同的元素个数 ( 即具有相同的自由度) ，并且原图像可以通过系数无误差地恢复，所以系数s 可以被当作是 表示原图像的另一种形式。 1 3 2 图像信息的基函数表示的研究现状 傅立叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ，f r ) 将满足一定条件的某个函数表示成三角函数( 正 弦和或余弦函数) 或者它们的积分的线性组合，其基函数为正弦余弦函数h - 5 1 。傅立叶变换在 频域内是局部化的，但是不能反映出信号在时间的局部区域上的频率特征。g a b o r 变换的基函 数可以用于空间域和频域的定位【6 】。虽然g a b o r 变换在一定程度上克服了傅立叶变换不具局部 分析能力的缺点，但是其变换窗的形状大小和频率无关，且不是离散正交基。 为了克服傅立叶变换的这些缺陷，数学家和工程师们开发出若干种使用有限宽度基函数 进行变换的方法。这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，这些有限宽度的波被称 为“小波”( w a v e l e t ) 7 - 9 。基于它们的变换被称为“小波变换”( w a v e l e t t r a n s f o r m s ，w t ) 。 小波变换是傅立叶变换的发展和延拓。小波变换继承和发展了g a b o r 变换局部化的思想，又 克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基等缺点。小波是在特定空间内按照称之为小 波的基函数( 通常具有鲜明的物理意义) 对数学表达式的展开与逼近。作为一种快速高效、 高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中傅立叶分析的重要发展。与傅立叶变换由 第一苹绪论 7 三角基函数构成相比，小波基函数大多为具有快速衰减、充分光滑、能量主要集中在一个局 部区域的函数经过伸缩与平移得到的函数集合。小波变换的基函数是不确定的，可以根据需 要设计相应的基函数。 傅立叶变换、g a b o r 变换和小波变换都是固定变换，也就是说基函数一旦确定就不再改变， 且和数据没有任何关系。然而，在很多情况下，我们对从数据中估计这些变换更感兴趣。基 于多元统计的方法，比如独立分量分析主分量分析、稀疏编码等都是从训练数据中学习得 到，是与训练数据相关，对不同的训练数据会得到不同的基函数。 主分量分析( p r i n c i p a lc o m p o n e n t a n a l y s i s ，p c a ) 又称为k l 变换【l 仉眩】，其目的是在数据 空间中找到一组向量尽可能解释数据的方差，通过一个特殊的矩阵，将原有的高维数据投影 为较低维的数据空间，并且保留了数据主要信息，以便能更方便地处理数据信息。p c a 为多 维数据空间建立一组正交基，这些正交基给出了原始数据方差变化最大的方向，也就是说当 所有观测数据在基