（基础数学专业论文）非常旗曲率einsteinfinsler度量的构造.pdf

摘要 摘要 零文绘窭了鏊4 孛一拿薅警壤整率e i n 蟪e i 融箩征幽r 塞羹懿辫凝褥造。营先 从一个m e m a n 度量出发，求出了其r 沁i 曲率为o ，从而此r i e m a n n 度量是 一个e i n s t e i n 度量然膪利用局部单参数等距变换群求出了由它生成的k i l l i n g 向爨坜。本文中，我们并没有直接由度量所诱舄的k i i n g 场的方嘏入乎去解， 嚣为黟蘩是霹缝懿德嚣冀方程氇是不窑荔褥秘。箕次，翻嚣r e m a n a 滚影主秘 z e r m e l o 航海问题把上述度量和其k m i n g 场变成相应的r 且n d e r s 庹激因为我 们所选择的r i e m a n n 度擞是e i n s t e i n 的，并殿是非局部射影平煅的，从而我 们褥剧的薪度量也是e i 黼t e i n 鲍，并且是非繁旗曲率的。文章最詹我们又对此 蓼诹幽 度量弱溪遗绞号爨e m a 一n s t 蕊n 凌爨越溺遥绫之弱豹美系避簿了燕 革描述而且在第二部分我们给出了此r t e m a n n 度量的所有联络蕊数，便于以 后求其所有的k i u i n g 场本文中我们所使用的础e m a n n e i n s t e i n 媵擞g 。及得 到的e i n 8 t e i n - f i n 8 l e r 度摄f kg ) 如下； 弧：娟阔2 + 1 ) 踟一豁( 彰如1 如2 矗d 轳村秽曩 其中a 是正常数，9 0 魁瓞4 上的标准度璧 f ) ：近婴卫蕊互巫塑亚正至匝臣墅互巫受互耍翌亚噩7 ( 8 一1 ) 吲2 + l 嚣 她1 ) | 。p 十l 其中 w 未+ z 1 未一z t 杀+ z 3 未， 爹= 黟1 嘉+ ，2 未+ 爹3 未，4 未， 北京工业大学理学硕士学位论文 e = 一z 2 1 + 。1 掣2 一茁4 可3 + z 3 掣4 关键词旗曲率， 掰c c i 曲率，e i s t e i n 度量，r a n d e r 8 度量 i i a b 8 t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw eg i v ea na n 柏y t i cc o n 8 t r u c t i o no fa ne i n s t e i n _ f i n s l e rm e t r i c w i t hn o c o n s t a n tf l a gc u m t u r ei n r 4 f i r s t l y lw eg e tt h er i c c ic u r v a 七u r e so f t h e e m a n nm e t r i cw h i c he q u a l st oz e r o s ot h i sm e m a n nm e t r i ci sa ne i n 8 t e i n m e t r i c t h e nb y1 1 s i n gt h e1 一p a r 咖e t e rg r o u po fi s o m e t r i ct r a i l s f o r m 8 t i o n sw eg e t a8 p e c i a lk i l l i n gf i e l dg e n e r a t e db yi t h e r ew ed i dn o t8 0 l v et h ee q u a t i o no ft h e k i l l i n gf i e l d sw h i c hi 88 t i l lv e r yh a r de v e ni nt h ec a s eo ff o u rd i m e n 由o nw i t h t h a tw et r a n 8 f o r mt h i sf h e m a n n - e i n s t e i nm e t r i ci t o8r a n d e r sm e t r i ci nt h ew a y o ft h ez e r m e l on a i g a t i o np r o b i e mo nm e m a n nm a n i f o l d s s i n c et h eb j e m 明n m e t r i cw e6 n di 8a ne i n s t e i nm e t r i ca n dn o to f1 0 c a l l yp r o j e c t i v e i y 丑a t ，t h e n e wm e t r i c 、v eg e ti 8 出s oe i n s t e i n i a na n dn o to fc o r l s t a n tf l a gc u m t u r e i nt h 。 e n do ft h ep a p e rw ed i s c u s st h er e i a t i o n sb e t w e e nt h eg e o d e s i c so ft h er i e m a n n m e t r i ca n dt h a to ft h en e wf i n s l e rm e t r i c m o r e o v e r i 、阳g i v ea l lt h ec o n n e c t i o n c o e m c i e n 七8o ft h el u e m a n nm e t r i ci no r d e rt og e ta l lt h ek m i n gn e l d sl a t e r t h e 砌e m a n nm e t r i c 吼a dt h er a n d e r sm e t r i cf ( z ，可) w eg e ta r ea sf 0 1 l o w s 吼：= ( 0 1 z f 2 + 1 ) 9 0 豁( 确“幽矿。舻埘 w h e r eoi sap 0 8 i t i v ec o n 8 t a n ta d9 0 i st h es t 阻d a r de u c l i d e a nm e 乇r i co n 豫4 脚) = 娅匝耍亚丑鼍孺孕匝巫翌巫巫 e ( o 一1 ) 2 + l i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 w h e r e w = 。刍+ 晶一。4 杀+ z 3 未 v = 褂1 杀+ v 2 杀+ 圹嘉十v 4 杀， i l2 = 0 1 ) 2 + 0 2 ) 2 + ( 9 3 ) 2 + 0 4 ) 2 ， e = 一z 2 可1 十z l y 2 一z 4 3 + 。3 掣4 k e y 、o r d s ：丑a gc u r v a t u r er i c c i c u r v a t u r e ，e i n s t e i n - m e t r i c ，r 且n d e r s _ m e t r i c i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取褥瓣研究成果尽我所知，除。r 文中特嬲烟以标注秘致谢酶遗方外， 论文申_ 不包含萁毽入爱经发表程撰写过懿耩究残果，也不包含为获褥 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表永了谢意。 签名；知垃弭日期：兰竺掣 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保翻、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借湖；学校可以 公布论文的全部或部分魄容，可以采用影露、缩审或其德复裁手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：煞速主善导师签名：s 趔鑫期j趟：! 砷 弓l富 引言 f 虹疆l e r 发量以说是没有二次瑕镪酌r i e m 黝n 璇量，在f i n s l e r 发爨孛，一 类 常考憋义戆度量是e l 珏s t e i n 度量每个二维流形上冒存在一个常( 崮斯) 益 率的完备的m e m a n n 度量，从衙是e i l l s t e i n 的( 见【1 】【1 4 2 7 】) 但凼予一些拓 扑等方面的障碍，三维、四维的e i n s t e i n 度量的例子是很少的陈省舟先生曾经 不立一次蛾公舞挺遗这撵一令瓣题：是否每个必瓣溅移上郝虿存在一个e i 珏s t 馥l 度量。出于镪扑方面的障礴s 2 s 1 上就不存在魏i e m 8 n n _ e i 璐t e 溉殿熬，从丽 在此流形上也就不存在e i n s 似m r 帆d e r 8 度量 对于蹦维的情况，在文献【1 2 j 中指出；一个麟维瀛形是e i n 8 t e i n 瀵形的充 要条搏是富戆籍搴算子( 终为冬澎式上鳐鑫斧筑瞧纂子) 与珏o d g e 激篱子是霹 交换的 常旒曲率e i n s t e i n f i l l s l e r 度量已经有一些具体例子，但是非常旗曲率的例 子是不多的。本文及一个r i e 蕊彝n n s t 霹n 度量氆发程毽4 串给出了一个非卷攘 蓝率e i n s t e i m f i n s l e r 度量静解拼梅造第二部分申分绍了豫r l e m a i l m e i i l s t e i i l 度量，第三部分找至了此度激对应的一个k i l l i n g 向量场，第四部分我们利用 戤e m a n n 流形上的z e r m e l o 航海问题把此m e m 鼢n 度量变成了相应的8 i n s t e i n f i 珏s l e r 度爨，最嚣对踅f i 魏8 】e r 寝量戆滋建缓穆了筏摹箍述， v 第1 章绪论 1 1 本文背景 第1 章绪论 f i n s l e r 空间的最初概念可以追溯到r i e m a n n 的著名论文驴6 e rd i eh y _ p o t h e 8 e n ，w e l c h e l e rg e o m e t r i ez u g r n d e1 i e g e n 1 8 5 4 年，m e m a n n 在他的演 讲中提出了微分几何的度量可以用二次形式的平方根来定义，或用四次微分形式 的四次方根来定义后来，他更进一步引进了基本弧长微元d s = f ( z ，出) 为其 度量函数这就奠定了r i e m a n n 几何的基础 后来，b l i 8 s ，l a n d 8 b e r g 和b l a s c h k e 注意到了微分几何与变分学某些方面 的特殊反射变换关系，并且b l i s s 和l a n d 8 b e r g 在不是欧式背景下得到了他们的 几何理论1 9 1 8 年，p f i n s l e r 在他的博士论文中也讨论了基本变分定义度量 的一般原则，并由此讨论了这类空间中的曲线和曲面的性质特征f i n 8 l e r 几何 从此得以命名( 见【2 0 ) 1 9 3 4 年，e c a r t a n 发表了关于f i n s l e r 几何论文，他定义了c a r t a n 联络 并且引进了曲率的概念，这使得f i n 8 1 e r 几何发生了历史性的变化1 9 4 8 年， s s c h e r n 引进了c h e r n 联络，这更加引导着f i n s l e r 几何向着更广的方向发展 ( 见 1 3 】【1 9 2 4 】【2 6 ) 自此以后，国内外许多几何学家都投入到了f i n s l e r 几何 的研究中，如：d b a o 、沈忠民、莫小欢、程新跃等 与r i e m a n n 度量最为接近的f i n s l e r 度量是r a n d e r s 度量，这一直是f i n s l e r 几何学家们研究的热点9 0 年代以前，以日本人t y a m a n 等人为代表主要采 用张量分析的方法研究( d ，卢) 一度量，主要得到了关于r a n d e r 8 度量，m a t 8 u m o t o 北京工业大学理学硕士学位论文 度量等的一些性质，但几何的本质往往被复杂的张量计算所掩盖，所以这方面的 进展缓慢( 见【1 5 1 1 8 】) 。9 0 年代以后，z s h e n 引入新的运算模式并大量应用 m 印1 e 程序运算，为( q ，卢) 一度量的研究注入了新的活力( 见【7 】【2 8 】 2 9 】 3 2 【3 4 】 3 5 】【3 6 ) 。到目前为止，许多人对r a n d e r s 度量做了很多的研究，得到许多很好 的结果 在f i n s l e r 度量中，一类非常有意义的度量是e i n s t e i n 度量每个二维流形 上可存在一个常( 高斯) 曲率的完备的融e m a n n 度量，从而是e i n s t e i n 的( 见 【1 1 4 2 7 】) 但由于一些拓扑等方面的障碍，三维、四维的e i l l s t e i n 度量的例 子是很少的陈省身先生曾经不止一次地公开提出这样一个问题，是否每个光滑 流形上都可存在一个e i n s t e i n 度量由于拓扑方面的障碍f 2 s 1 上就不存在 m e m a n n - e i n s t e i n 度量，从而在此流形上也就不存在e i n s t e i n r a n d e r s 度量。 对于四维的情况，在文献 1 2 】中指出：一个四维流形是e i l l s t e i n 流形的充 要条件是它的曲率算子( 作为2 一形式上的自伴线性算子) 与h o d g e 星算子是可 交换的 本文从一个r i e m a n n - e i n s t e i n 度量9 。出发在r 4 中给出了一个e i n s t e n f i 璐l e r 度量f 的解析构造，并且对其曲章陛质进行了讨论得到此度量是非常旗 曲率的，最后对度量f 的测地线作了简单描述 1 2 概念与记号 定义1 2 1 ( 3 7 】光滑流形m 上的f i n s l e r 度量是指切丛t m 上的一个函数 f ：t m 一( o ，+ 。) ，满足 第1 章绪论 ( 1 ) 正则性：f 在t m o ) 上光滑； ( 2 ) 一阶正齐次性：f ( z ，a 可) = a f ( g ，) ，va o ； ( 3 ) 强凸性t 矩阵( 趵) ：= ( 睦f 2 圹一) 在t m o ) 上处处正定，其中 矿是由m 上局部坐标函数诱导的t m 的局部坐标函数( ，矿) 的分量， 【 f 2 协：= 磊为 定义1 2 2 【8 1 光滑流形m 上的r i e m a l l n 度量是关于m 上任一点。的切空 间b m 上的一族内积 g 。) 。e m ，满足函数g 韬( 茁) ：= 9 。( 鑫，南) 是光滑的 因为每一个9 。是一个内积，从而矩阵( g 西) 是正定的记 9 = 吼j ( z ) d o d z ， 则g 通过以下方式做成一个f i n s l e r 度量 f ( z ，可) ：= 以瓦而 从而每一个r i e m a n n 流形( m ，9 ) 都是f i n s l e r 流形 定义1 2 3 【3 1 设：= 瓦丽i 石可是微分流形m 上的r i e m a n n 度量， p ：= 6 l ( z ) 矿是m 上的1 一形式，则当怕怯：= 丽 1 ( 其中( 。巧) = ( ) 一1 ) 时，f ：= 。+ 卢是m 上的f i n 8 l e r 度量，称为r a n d e r s 度量 这类度量不仅在物理上有深刻的背景，而且在构造具有各种曲率性质的f i n s l e r 度量时十分有用，是f i n s l e r 几何研究的重要内容 定义1 2 4 【2 q 设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，定义其r i e m a 衄曲率为： 蜀：= 磁如。固嘉咒m 一互m ， ，3 _ 其中 其中 北京工业大学理学硕士学位论文 磁= z 篆一淼儿。磊一器器 g = 扩舻2 b 矿一 f 2 称为f 的测地系数 定义1 2 5 1 8 1 设f i n s l e r 流形( m ，f ) 上的r i e m a n 曲率为 吼= 磁如k 。未咒m 一咒m vg ( o ) 咒m 及与y 线性无关的饥咒m ，定义旗曲率为 酢m 小= 而裂嚣毪丽 在r i e m a n n 流形的情形，吼即为r i e m a n n 度量，玩即为通常的r i e m a n n 睦率张量，并且k ( 。，可，u ) 即为关于妇：u ) 张成平面的截面曲率所以说，f i i l s i e r 几何中的旗曲率是r i e m a n n 几何中截面曲率的推广( 见【2 1 ) 定义1 2 6 【2 5 l 设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，为其斑e m a n n 曲率，令 r 虹= 矿乳( 马( e t ) ，e ，) t = 1 其中 e i ) 为咒m 的一组基，黝：= 吼( e ，e j ) ，( ) = ( ) ，则崩c 是 ? m o 上整体定义的数量函数，称为r i c c i 曲率。 注：由定义1 2 4 可知r i e c i 曲率实际上就是r i e m 帆n 曲率的迹 若存在m 上的数量函数k ：( 茁) 使得 见c = m 1 ) f 2 ， 4 一 第1 章绪论 则称f 是e i n s t e i n 度量 定义1 2 7 【2 5 l 矿c 黔上的f i n s l e r 度量f = f ( z ，可) 称为射影平坦的，如 果v 中所有的测地线均为直线 注：其他相关概念、记号参考【8 或【2 5 1 3 相关定理及结论 定理1 3 1 【1o 】f i n s l e r 度量f = f ( 名，) 射影平坦的充要条件是f 满足 e t 矿一b z = o 由此定理可知，我们要判断一个f i n s l e r 度量是否是射影平坦的只需验证上 述方程是否成立即可 定理1 3 2 ( b e l t r a m i ) 局部射影平坦的r i e m a n n 度量的截面曲率是常数 实际上，其逆定理也是成立的，从而m e m a n n 度量是常曲率的充要条件是 此度量是局部射影平坦的 定理1 3 3 p if i n s l e r 度量f 是r a n d e r 8 度量的充要条件是f 满足r i e m a n n 流形( m ，危) 在扰动向量场彤危( 彬w ) 1 下构成的z e r m e l o 航海问题，而且 此度量f 是r i e m a n n 度量的充要条件是= 0 设f 是r a n d e r s 度量且f = f ( z ，) = 0 c ( z ，掣) + p ( 茁，) = i 匹y i 可+ b t ( 。) 矿，其中n 为r i e m a n n 度量，卢为1 一形式，则定理1 3 3 具体可表示为 。巧= 譬+ 警警，魄= 一警， 其中 w = 矗，眠= j ，a ；1 一i r 一5 北京工业大学理学硕士学位论文 正是借助z e r m e l o 航海问题，d b a o ，c r o b l e s 和沈忠民对常旗曲率的 r a n d e r s 度量进行了完全分类( 见【9 ) 此定理也为我们构造新的r a n d e r s 度量提供了一种很好的方法，在本文中 我们就是采用这种方式构造了一个新的e i n s t e i n r a n d e r s 度量此部分的具体讨 论可参考 7 】 2 1 】f 3 1 等 定理1 3 4 f 9 】设f 是满足r i e m a n n 流形( m ， ) 在扰动向量场彤九( w w ) o ，口 o ，考虑r i e m a n n 流形乳) 上关于向量场w 的z e r m e l o 航海问题，我们可以得