（基础数学专业论文）多重hermite函数展开的riesz平均交换子有界性.pdf

t h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db y m e a n so fm u l t i p l eh e r m i t ee x p a n s i o n s x i a os h i s o n g b s ( h u n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 j f i ip i iifijiii irlli i i i i i f ri ijij y 19 0 7 0 0 4 r i e s z at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n p u r em a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rm ab o l i n m a y , 2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 名嘈碍寸杨眺刎年月垆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打“”) 篙：墼辎黧嬲辜跳兽 导师签名： 乌j 去李# 日期：) 纠，年厂月严日 硕士学位论文 摘要 本文研究多重h e r m i t e 函数展开下的r i e s z 平均的交换子有界性问题，证明 了r i e s z 平均与b m o 函数及l i p s c h i t z 函数生产的交换子驴有界 本文首先研究r i e s z 平均研与b m o 函数生成的交换子职6 的妒有界 性为了处理奇异性，本文将交换子分为奇异部分嫒b 与非奇异部分磁 6 对奇 异部分戤b ，将其分解为 氓詹曲 是o 当a 足够大时，甄o ，6 是关于入一致的零 阶伪微分算子的交换子，而零阶伪微分算子的交换子的有界性已经知道为了处 理职k ( 七1 ) ，本文将r 2 n 空间分解为s 1 = ( z ，可) ：l 。一i 一壹)与,b y 2 k a & = ( z ，y ) ：l z y i 2 k a 一 ) 利用核估计计算s 1 上的氓蛐；再利用限制 定理估计& 上的氓蛐本文又将非奇异部分吠，6 分为高频与低频两部分，并 利用p o e s z 平均已有的核估计来计算高频部分；用限制定理来估计低频部分最 后由m i n k o w s k i 不等式得到当1 q ( p ) 时， 0 职6 川p cl | bi i s m o i ifi l p 其次本文利用相同的方法，研究了p d e s z 平均e 2 与l i p s c h i t z 函数生成的交 换子职6 的口有界性，并得到当1 q p ) + 1 ，b a 1 时， 0 职6 ，i i p 2 ) w h e nq a ( v ) = m a x o ，竹曙一 ；l - 挣t o d e a lw i t ht h es i n g u l a r i t yo ft h ec o m m u t a t o r ，氓6i sd e c o m p o s e di n t o t w op a r t s o n ei sw i t hs i n g u l a r i t y 职6a n dt h eo t h e ri sw i t hn o n - s i n g u l a r i t y 赕6 赋6i sd e c o m p o s e di n t o 氓蛐耀o 氓o 6i sac o m m u t a t o ro fp s e u d o d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r so fo r d e rz e r ou n i f o r m l yw h e nai sl a r g ee n o u g ha n di t sb o u n d e d n e s sh a s b e e na l r e a d yk n o w n t oe s t i m a t e 蛾七6 ( 七1 ) ，t h ee u c l i d e a ns p a c er 孙i sd i v i d e d i n t os 1 = ( z ，y ) ： z 一秒1 2 k a a n ds 2 = ( z ，y ) ：i z y l 2 七入 w e u s et h ek e r n e le s t i m a t et oc o m p u t e 赋詹 6i n 岛a n du s et h er e s t r i c t i o nt h e o r e m t oe s t i m a t e 氓蛐i n & a n d 冗爻，6i ss p l i ti n t ot h el o w e rf r e q u e n c yp a r ta n dt h e h i g h e rf r e q u e n c yp a r t t h e nw eu s et h er e s t r i c t i o nt h e o r e mt oe s t i m a t et h el o w e r f r e q u e n c yp a r ta n dk e r n e le s t i m a t et oc o m p u t et h eh i g h e rf r e q u e n c yp a r t a n db y a p p l y i n gm i n k o w s k ii n e q u a l i t y , t h eb o u n d e d n e s so f 职6i n 妒( 舯) i sp r o v e dw h e n 1 q ( p ) = m a x 0 ，n 1 1 v 一1 2 l 一1 2 s e c o n d l y , w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r 职6g e n e r a t e db yal i p - s c h i t zf u n c t i o na n dt h er i e s zm e a n s 职u s i n gt h es a m et e c h n i q u ea b o v ea n dg e t t h a t 职6i sb o u n d e dw h e n1 q ( p ) + 1a n d b a 1 k e yw o r d s ：h e r m i t i a ne x p a n s i o n s ；r i e s zm e a n s ；b m o ；l i p s c h i t z i i i 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i j k b s t r a c t i l l 第1 章绪论1 i i 研究背景及意义1 1 2r i e s z 平均的交换子研究最新进展6 1 3 本文内容摘要7 第2 章b m o 函数与r i e s z 平均生成的交换子的妒有界性8 2 1 2 2 2 3 第3 章 引言8 败p 与b m o 函数生成的交换子有界性n 赋p 与b m o 函数生成的交换子有界性1 5 l i p s c h i t z 函数与r i e s z 平均生成的交换子的驴有界性2 0 3 1 引言2 0 3 2 r 口 p 与l i p s c h i t z 函数生成的交换子有界性2 1 3 3 蛾p 与l i p s c h i t z 函数生成的交换子有界性2 5 结论2 8 参考文献2 9 致谢3 3 、 硕十学位论文 第1 章绪论 1 1研究背景及意义 f o u r i e r 分析在现代数学尤其在分析学中地位非常重要，不但因为他作为一种 工具在其他学科中有广泛的应用，还因为它催生了一批数学理论，比如l e b e s g u e 积 分理论与集合论等等早在1 8 0 7 年，f o u r i e r 在呈交给巴黎科学院的热的传播 一文中，给出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构 成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展开成三角函数的无穷级数形式但 随着研究的深入，发现并不是每一个函数的f o u r i e r 级数都收敛或者收敛到原函 数为了解决这一问题，d i r i c h l e t 与f e j e r 等人做了大量的工作，并分另j g * j 建与完善 了单元f o u r i e r 级数求和理论人们又试图将一元f o u r i e r 分析推广到多元f o u r i e r 分析，但在推广f o u r i e r 级数求和理论的时候，首先需要解决的问题是级数求和方 式的问题，其中比较常见的主要有矩形求和与球形求和但是矩形求和的收敛性很 坏1 9 7 1 年，f e f f e r m a n 证明了存在二元连续周期函数f ( x ，可) ，它的f o u r i e r 级数矩 形部分和，n ( ，z ，y ) 处处发散( m o o ，n o o ) 然而球形求和则好的多，且球 形求和在唯一性方面更适合做为一元f o u r i e r 变换的理论的推广，r i e s z 平均就是 球形求和的一种形式令a 0 ，n 2 ，通过f o u r i e r 变换定义的r i e s z 平均为： 霹，( ) = ( 1 一旧入) ；，( ) ( q o ) ( 1 1 ) 对该算子，已有很多研究结果当q ；( 几一1 ) 时，霹由h a r d y - l i t t l e w o o d 极 大函数控制，由共鸣定理与h a r d y - l i t t l e w o o d 极大函数的z e ( p 1 ) 有界性，可 以得到霹的上尸p 1 ) 收敛性，又由遍历定理可以得到碍的点态收敛性当 a ( n 一1 ) 时，1 9 5 9 年，h i r s c h m a n1 2 1 证明：r i e s z 平均在妒上有界的必要条 件是2 n ( n 一1 + 2 a ) 0 由s t e i n 与w e i s s 在文献 1 4 】中的讨论，解决碍的处处收敛问题，只需要讨论极 大r i e s z 平均的汐收敛性 1 9 8 8 年，c a r b e r y 【1 5 】等人利用空间分解技术研究了该问题 定理c r v 礼2 ，当0 m a x 0 ，n 咕一互1i 一；) 时，有： i i 碍川p c | | 川p 还有其它一些结果，具体见文献f 1 6 - 1 9 大家都知道，正余弦函数是l a p l a c e 算子的特征函数，自然让人联想到其他算 子的特征函数展开下的r i e s z 平均定义及其收敛性问题 1 9 9 5 年，k a r a d z h o v 2 0 l 研究了调和振子咒= 一a + l x l 2 的特征函数h e r m i t e 函数展开下的r i e s z 平均的范数收敛性问题 设“( z ) 为7 , 维h e r m i t e 函数，则： 咒( z ) = ( 2 i p i + n ) ，u ( z ) ， 且 2 k + 佗) 罂。是咒的所有特征值定义f ( x ) 在咒的k 层不变子空间的投影映 射为： r m ) = a h p ( z ) = ( z ) f h p i 1 = km l = 七 。 多重h e r m i t e 函数展开的r i e s z 平均定义为： 职他) = ( 1 一竿) 宰r 他) 定理k h l l n 2 , a q ( p ) = m a x 0 ，n i 三一 i 一 ) ，1 p p n = 柰，则 有： i 职0 p c 定理k h l 2 死2 ，2 a m ，则有： l i 职l i 珐c 一2 一 硕十学位论文 1 9 9 7 年，k a r a d z h o v 【2 1 】研究了多重h e r m i t e 函数展开的p d e s z 平均的点态收 敛性 令 a ( a ，z ) = x ( a i z 2 一a l 入一入1 3 ) ， b ( a ，z ) = x ( x ( 冗) n ：i z 2 一a i 入1 3 + ) ， 其中a 与g 分别为一个较大的数与一个较小的数 凰：丘。o ( a ，z ) ( 1 一z 2 a ) 一1 4 川一( n + 1 ) 2 - a f ( x ) l d x = d ( 入口2 一( n - 1 ) 4 ) ， 6 ( a ，x ) l f ( x ) l d x = d ( a n + 1 3 ) ，r ” 飓：f 在无穷远处可微，当p 2 a 一几十2 时，f ( x ) = o ( i x l p ) ，_ o 。，且 o ( a ，z ) ( 1 一z 2 入) _ 3 4 七+ 1 ) 2 - 口- 1 iv f ( x ) l d x = o ( a 口2 一( n - 1 ) 4 ) ，r “ 令 u ( z ，f ) = 芝二s u pi ，( z + h ) 一，( z + ) l ， 7o h i ( n 一1 ) 2 ， 则： 、l i mi i 翼，一，l i l - ( m ，9 ) = 0 2 0 0 2 年，s o g g e 3 6 l 研究了带边界紧黎曼流形的r i e s z 平均妒有界性 设= a 口是测度为黎曼测度夕的l a p l a c e - b e t r i a m i 算子，则一的谱是离 散的定义它的r i e s z 平均算子为： 翼他) = ( 1 一妻) 矧似乩 a ( 竹一1 ) 2 ，1 p o o ，则有： l i 爵fi i 工p ( m ，9 ) cl i ，i i 驴( m 口) ， 其中c 是与入无关的常数 2 0 0 4 年，x um 在s o g g e 等人的基础上，研究了带边界光滑紧流形上l a p l a c e - b e l t r a m i 算子口的r i e s z 平均的范数收敛性与点态收敛性 定理x r c b( m ，g ) 是维数死2 的带边界光滑紧流形，翼为l a p l a c e - b e l t r a m i 算子g 的r i e s z 平均，若q ( n 一1 ) 2 ，1 p o o ，妒( z ) ，则 有： 1 i mi s 舅f ( x ) 一，( z ) l = 0 ， a e z m ， ( x j j s 癸，( z ) ，( z ) ， 入一o o 关于流形上的r i e s z 平均还有其它一些结果，具体见文献f 3 8 - 4 0 1 对交换子的研究也由来已久，早在1 9 6 5 年c a l d e r s n 4 1 l 就得到了经典奇异积 分算子的交换子有界性随着交换子在p d e 等其他数学分支的广泛应用，对它 的研究也成为了调和分析的一个重要组成部分1 9 7 6 年c o i f i n a n ，r o c h b e r g 与 w e i s s 【4 2 】等人做出了交换子方面具有里程碑式意义的成果他们利用日1 空间【删 一4 一 硕士学位论文 与b m o 空间的对偶性，研究了c a l d e r s n - z y g m u n d 奇异积分算子与b m o 生 成的交换子有界性，更重要的是他们得到用交换子来刻画b m o 空间的重要结论 c a l d e r s n - z y g m u n d 奇异积分算子t 定义为： t f ( x ) = p 矿g ( x y ) f ( y ) d y ， ，r ” 其中k ( z ) = 鬻为t 的积分核，q 是零阶齐次的c ( 几一1 ) 函数，且有止。一。q ( z ) 如= 0 特别地，当q = 裔，i = 1 ，礼时，正即为p 上的r i e s z 变换弓 定义t 与局部可积函数b 生产的交换子t b 为：t b f = b t ( f ) 一t ( b f ) 特别 地，记r i e s z 变换马的交换子为砭 定义局部可积函数b 的s h a r p 极大函数为： ，4 ( z ) = 留f 1 1 ，。埘 其中，b 表示f 在球体b 上的平均，即厶= 由厶i ，一厶1 定义b m o 空间为： b m o = ，：，三k ( r n ) ，4 l ( r n ) ) 并记f 的s h a r p 极大函数的l 范数为f 的b m o 范数 4 5 1 ，即i ifi b m o - = - i 厂4l f 定理c r w当1 p o o 时，有： | i 死川p ci i bf i b m o 如果存在某个p o ，1 p o o o ，使得所有的r ；都在俨( r n ) 有界，记i igi i p o 为 其相应的算子范数，则有： l ibo b m o a | ig i 即b 是b m o 函数 关于奇异积分算子的交换子还有其它一些结果，具体见文献【4 6 - 4 9 】 1 9 8 2 年，c h a n i l l o 5 0 1 利用广义h a r d y - l i t t l e w o o d 函数研究了分数次积分算 子的交换子有界性，并得到了b m o 空间的一个新的刻画 分数次积分算子厶定义为： 训加上。苦耘妇，n 1 。 a 仡 并记i 孑f ( x ) 为厶与局部可积函数b 生产的交换子 一5 一 多重h e r m i t e 函数展开的r i e s z 平均交换子有界性 定理c f c b b m o ，1 p 詈，则有： i ii 孑i i 口_ el l6l i b m 。i isl i p ，昙= ；1 一罢 如果几一a 是偶数，且碍，是p 到口的有界算子，指标p ，q 与定理上半段相同， 则有：b b m o 。 1 9 9 5 年，a u s c h e r 与t a y l o r 5 1 】利用仿积工具研究了伪微分算子的交换子 定理a t p l t d p 毋占( r n ) ，6 0 ，1 ) ，b b m o ，f 驴，1 p o o ，则 有： i | 死川p c r0 bi b m o ifi i p ， ( 1 2 ) 其中0 p 镪表示象征属于咒的伪微分算子 定理a t p 2t o p s ? i , 1 ( r n ) ，b m o ( r n ) ，1 q p 0 ，1 2 ，1 p o o 且s p n ，则有： i tt b 1 1 口- - - c1 1 6 i i h 。i p ，g = 再n 丽p 定理a t p 4t d p 研o ( r n ) ，b a 1 ，1 2 ，1 p o o ，则有： | i 死，l i p _ ci i b1 1 ，| f 川p ( 1 3 ) 关于伪微分算子的交换子还有其它一些结果，具体见【5 2 】 1 2r i e s z 平均的交换子研究最新进展 人们同样关注r i e s z 平均的交换子有界性1 9 9 6 年，h u 与l u 【剐定义l a p l a c e 算子a 的r i e s z 平均与局部可积函数b 生成的交换子t z 6 为： 嫒6 = t ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) ，( z ) 并研究了他的妒有界性 定理h l r c b b m o ( r n ) ，当7 1 , 3 时，莉n - i 入 m 一1 ) 2 且 1 1 , 一1 2 l 訾；当n = 2 时，0 入 1 2 ，则有： i i 霹6 川p ci i bi b m o i l 川p 2 0 0 7 年，x i a 刚利用限制性定理研究了l i p s c h i t z 函数与r i e s z 平均生成的 交换子问题，得到： 一6 一 硕士学位论文 定理x r c l令n 3 ，( n 一1 ) ( 2 n + 2 ) q ( 佗一1 ) 2 ，0 p m i n 1 ，q 一( n 一1 ) ( 2 n + 2 ) ) ，若b h a ( r n ) ，且1 1 p 一1 2 i ( 1 + 2 a 一2 j 3 ) ( 2 n ) ， 则有： 0 赋厶，i i p ci i bi a 口l i 川p 2 0 0 8 年，龚淑丽【5 5 1 利用空间分解技术研究了l i p s c h i t z 函数与r i e s z 平均算 子生成的交换子收敛性问题 定理g r l i 令0 1 ，( 1 一) 2 a ( n 一1 ) 2 ，汐( r n ) ，若 0 p o ，0 p m i n 詈，葡) ，b a a ，f l 鼎，则有： | | 暇b y1 1 2 2 k a 一 ) 与& = ( z ，y ) ：l z y i 2 k a 一) 利用核估计计算s 1 上的 氓h 6 ；再利用限制定理估计& 上的氓七，6 对非奇异部分兄炙6 我们将其分为高 频与低频两部分并分别估计最后应用m i n k o w s k i 不等式得到：当1 q ( p ) = m a x 0 ，n l l 肋一1 2 i 一1 2 ) 时，蛾6 在口上有界 接着在第三章中，我们利用第二章的方法，研究了l i p s c h i t z 函数与r i e s z 平 均生成的交换子欧6 ，并得到当1 q ) + 1 时， 职6 在驴上有界 一7 一 多重h e r m i t e 函数展开的r i e s z 平均交换子有界性 第2 章b m o 函数与r i e s z 平均生成的交换 子的汐有界性 2 1引言 一元k 阶h e r m i t e 多项式h k ( z ) 定义为： 脚) _ ( _ 旷嘉( e - 1 定义正则化的一元k 阶h e r m i t e 函数h k ( x ) 为： j i l 七( z ) = ( 2 七七! 、行) 一 k ( z ) e 一霉2 利用张量扩张定义黔上的多重h e r m i t e 函数札( z ) 为： 札( z ) = 1 - ih 盼( 奶) ， j = l 其中p = ( p 1 ，p 2 ，) ，z = ( z 1 ，z l ，x n ) 定义，在r n 上的f o u r i e r - h e r m i t e 系数厶为： l 弘= lf ( x ) h 。( x ) d x ， ， h e r m i t e 展开定义为： ，一丘( z ) p 注意该展开只是形式展开，并不要求该展开收敛到原函数但是利用l a g u e r r e 函 数在l 2 ( r 华) 上的完备性可以证明，h e r m i t e 函数是l 2 ( r n ) 的一组规范完备正交 基，应用p l a n c h e l 定理知该展开在l 2 ( p ) 上收敛到原函数 为了研究该级数展开的收敛性，我们定义p d e s z 平均职为： 职，( z ) = ( 1 一( 2 p + n ) 入) 宰厶k ( z ) = ( 1 一( 2 七+ 礼) a ) 宰r ，( z ) 为多重h e r m i t e 函数展开的q 阶r i e s z 平均算子，其中( 亡) 宰= 尸，t o ；( 亡) 宰= 0 ，t 0 ，r ，= h p i p l = k 注意到当o l 0 时，r i e s z 平均有表达式： 霹= c n 一( 亡卅- a - l e - i t _ l 出， 一8 一 硕士学位论文 冥中咒是调和振子 为简单起见，我们记q ( p ) ，p ( p ) 分别为： q ( 力= m a x 0 ，佗1 1 p 一1 2 i 一1 2 ，n 2 ， p ( p ) ：m a x o ，- 罟 1 p 一1 2 1 1 2 ) ，n 2 引理2 1 1 当p 1 ，1 1 v 一1 2 i 1 n 或p = 1 ，佗2 时，有限制定理： 0 x ( o ，1 ) ( 冗一a ) f02 c a p ( p 0 ，| lp 考虑职的p 平均： 赋p = c 口a 呻e 认p ( 亡) ( 亡一t o ) 咄。1 e m d t ， 其中p 是一个属于四( 船) 的偶函数，且存在某个足够小的e 0 ，使得0 声( 亡) 1 ；p ( 亡) = 1 ，i t i 2 e 令 磁，p = 职一氓p = c 口a 一口fe a 。( 1 一声( t ) ) ( 亡一i o ) 一q 一1 e 一t n d t = ( a a 一口fe a 2 p ( 亡) ( 亡) 一n 一1 e - i t n d t ( 2 1 ) = c a a nfe i ( a 一咒) h ( t ) d t = a - 0 s ( 入一咒) ， 其中九( t ) = ( 1 一p ( t ) 弦一a 一1 ，s ( 秽) = c afe 优h ( t ) d t 显然有s u p p ( 亡) c ( 一o 。，一e ) u ( e ，o o ) ，所以 ( 亡) c o o ( r n ) ，且i 必o t mi c o a m 一当秽0 时，由分部积分公式及c ( r n ) 函数性质可得： s = _ 1 几扣。掣出， 从而当a q p ) 0 ，秽0 时，i s ( 毋) l 川一m 又由于s ( 毋) 连续且在秽= 0 点有界，所以i s ( 秽) i ( 1 + 1 0 1 ) n 由p l a n c h e r e l 定理及限制定理( 引理2 1 1 ) 得： i i 碍，p i l ；a 也( 1 + l a 一( 2 1 # 1 + n ) | ) - 2 m 川2 a 勘( 1 - 4 - i a 一尼i ) - 2 m ，1 ) ( 咒一七) 州； a 时2 触m l ；( 1 + i a x 1 ) - 2 m d x 入- 2 州p o 刍 所以有： i i 垅，p l l 2 a - a + p ( p ) l l f l l p ( 2 2 ) 一9 一 多重h e r m i t e 函数展开的r i e s z 平均交换子有界性 设k ( a ，z ，可) 为k p 的积分核，则k ( a ，z ，y ) 有估计： 引理2 1 2 2 0 i 对n n + ，当m 2 2 a 时，有 k ( 入，z ，y ) c n l u l 当2 2 a 时，有 l k ( a ，z ，可) i c l x l 由引理2 1 2 ，当m 2 2 a ，h 2 2 a 时，显然有： i k ( a ，z ，可) i c l x l 一i y i 对局部可积函数b ，定义线性算子t 的与b 生成的交换子为： t b f ( x ) = b t f ( x ) 一t ( b f ) ( x ) = t ( ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) ，) ( z ) 则职的交换子为： 职6 f ( x ) = b e 芰f ( x ) 一职( 6 ，) ( z ) = 砰( 6 ( z ) “( ) ) ，( z ) 贬p 的交换子为： t 鼍b f ( x ) = 6 ( z ) 职p f ( x ) 一赕p ( v ) ( z ) 兄黏相应的交换子为： 磁6 ，( z ) = ) 磁( z ) 一殿p ( v ) ( z ) = k ( a ，z ，趴6 ( z ) 一b ( u ) ) ，( z ) d x 显然我们有： 最6 _ 赋6 4 - 磁，b ( 2 3 ) 由文献 3 3 】中的论述，我们可以选取函数g 卯( 黔) ，使得当i s i e 时，雪( s ) = 0 ，且0 ( 2 “s ) = 1 , v s 0 令 联七= 一( 亡一叫咱- 1 鲰( e - u a d t ， 则显然有： 娥七，b f ( x ) = 6 ( z ) 戥k f ( x ) 一氓七( 6 似z ) ， o o 赋6 ，= 赋o 6 + 氓蛐， ( 2 4 ) k = l 一1 0 硕十学位论文 其中当k 1 时，o k ( s ) = 雪( 2 “s ) ，如( s ) = l 一( 2 一如) k = l 我们的结论主要归结为下面的定理与引理 引理2 1 3 当n 2 ，1 p 2 ，1 p 2 ，1 p 或p p 卫n 堡- - - 1 ，q ( p ) 时，有： i i 职6 川p ci i bi ib m ol i ，i ip 其中c 是与f , r ，b 无关的常数如果引理2 1 3 与引理2 1 4 成立，则由m i n k o w s k i 不等式与式( 2 3 ) 可得： 当1 p n ，a q 0 ) 时，由对偶性讨论知( 1 ) 也成立，因而定理2 1 1 成立下面 两节分别证明引理2 1 3 与引理2 1 4 2 2 r 竞p - qb m o 函数生成的交换子有界性 引理2 1 3 的证明首先我们先叙述几个引理 引理2 2 1 酬b b m o ( r n ) ，对v l p 瓜k ( a ，z ，y ) ( 6 ( z ) 一b ( y ) ) f ( y ) d y = ( 6 一b q ) i 引 以xk ( 入，z ，y ) f ( y ) d y 一- i i 以xk ( 入，z ，秒) ( 6 ( y ) 一b q ) f ( y ) d y = 1 1 + 1 2 ( 2 6 ) 将1 1 分为高频与低频两部分分别估计 i i1 1i l p = ( 矗。l i l l p d x ) - ；1 ( z i 、甄i i l i p d z ) ；+ ( i z l 以x1 1 1 i p d z ) ； ( 2 7 ) = i ：+ i ： i i = ( 五l 瓜1 6 一均i p l 以i 镢k ( a 忍秒) ，( 可) 妇l p d x ) ； c 善o o ( 一1 6 - 6 q i | - p ( l 川州m 川) ； j 2 02 j 瓜 i 暴2 瓜 叫驯“ c i i ，i i p ( 1 6 一啪q i i - i b 2 1 + 1 q - - b e l ) p d z ) ； j = o 2 j 、甄 2 a ci lb1 1 m o l i 川p 一1 2 硕士学位论文 由上面的证明及( 2 7 ) 可得： l i1 1i t p - - - c0bl i b , o l lb | | p 1 2i l p = ( 丘。1 1 2 1 p 如) ；1 ( 茹i 历1 1 2j p d z ) ；+ ( 。i 以x1 1 2 i p 如) ； = 巧+ i ； i ；= ( 五f 颅i 以防瓜砌，训) ( 6 一b q ) f ( 可) d y l p d x ) ； c ( 名i 。如) ；丘i 瓜m 州l ( 6 ( 可) - b q ) l l f ( 训匆 c ( 1 3 ，| - ，j ( 6 ( ) 一b o ) l p 匆) 多l i ，i i p l y l v 厄x c l p ( 1 6 ( 可) 一幻m 一，咖) 专 j - 0 甄 、2 a c a 嚣( 一1 6 ( 耖) 一6 幻i p l y l - ，匆) 矿1 i i ，i i p c i i ，i i p a 嚣( 甄) 一( 矽+ 1 、司n ( 1 + 2 n o + 1 ) ) j = 0 c0bi i b m o i i ，i i 口 由上证明及( 2 9 ) 得： l i1 2i i p ci lbi i 且m o l i 川p 又由( 2 8 ) 及( 2 1 0 ) 得： 0ii i p cl lbl i b m o i ，l l p b0 b m d l i b0 b m d ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) u = 圻引 俩k ( a ，z ，) ( 6 ( z ) 一b ( y ) f ( y ) d y = ( 6 ( z ) b q ) f l y i 甄k ( 入，z ，y ) f ( y ) d y 一可| 以xk ( 入，z ，y ) ( 6 ( z ) 一b q ) f ( y ) d y = 1 1 1 + 1 1 2 ( 2 1 2 ) 一1 3 一 多重h e r m i t e 函数展开的r i e s z 平均交换子有界性 o1 1 1i l p = ( 丘。1 6 ( z ) 一6 q i p lf l v l v 甄k ( a ，z ，v ) i ( v ) d v l p d x ) p ( 拓瓜一b q i p s v 吸k ( a ，z ，v ) y ( y ) d v l p 如) p ，( 2 1 3 ) + ( 缸镢) 一b q i p if m 瓜1 6 ( z ) 一吣i p i z f - 州l 以l 颅1 6 ( z ) - b q i p i 圹d x ) 吖矽 c p ( 瓜) 一( 2 入) 参x ( 瓜 i | + 1 顾) 卜吣l p j = o 。 c l i ，i i p 入嚣( 甄) 一( 2 j + 1 、甄) 州一( 1 + 2 n + 1 ) ) i ibi i b m o j = o c0 厂lb 怯m o 由h s l d e r 不等式与式( 2 2 ) 可得： i i ； ( 以l 瓜1 6 ( z ) 一6 q i pi l l q ( p ) ) 其中孑1 = ；1 一互1 由上证明及( 2 1 3 ) 可得： l i1 1 1i i c0b0 b m d 0 川p ( 2 1 4 ) l l1 1 2i t p = ( 丘瓜k ( 入，z ，秒) ( 6 ( y ) 一b q ) f ( y ) d y p d x ) “ ( i 咖镢i 凡i 瓜k ( a ，z ，可) ( 6 ( ! ，) 一岫) ，( y ) 由i p 如) 叫：， ( 2 1 5 ) + ( 蜓愿i 瓜k ( 入，z ，可) ( 6 ( 可) 一b q ) f ( y ) d y l p 出) “ = i i ：+ i i g 一1 4 硕士学位论文 i 砭 c 入号( h i i 磁，p ) ( ( i i 瓜) ( 6 一b q ) fi t 2 叭i n 、h 1 a 一口+ i i 最p x