（理论物理专业论文）激光作用下囚禁单离子的动力学特征.pdf

o 1中文摘要 离子阱已被广泛应用于科学和技术研究的各个领域。尤其是近年来，离子 阱作为一种强有力的工具，被大量应用于量子逻辑操作，量子计算，量子信息 以及量子态的制备等方面的研究，使人们对离子阱中囚禁离子的动力学特征 越来越感兴趣。但是由于囚禁离子的运动对外加参数和初始条件有很强的敏 感性，两者的微小改变都可导致离子运动轨迹发生较大偏移，甚至使离子产生 混沌运动，从而使其运动状态难以控制因此，本文对囚禁离子的动力学特征 进行了更加深入的研究。主要内容如下： 第一章主要介绍了p a u l 阱的基本原理和囚禁单离子研究的历史和现状 在第二章中，研究了驻波型激光脉冲作用下，失谐量足够大时，囚禁于p a u l 阱中的单离子系统的久期运动。通过理论分析和数值计算相结合的方法，导出 了系统的精确解及其描述的时间演化性质，利用精确解研究了系统的规则与 混沌运动，以及阱频很小时弱囚禁离子系统进入整体混沌的临界条件，并提出 了控制系统共振失稳的方法。 在第三章中，从量子力学的角度研究了囚禁单离子的动力学特征理论分 析和数值计算表明，在一级近似的情况下，系统的经典混沌特征消失了，离子 运动态的跃迁存在一个选择定则，改变系统的某些参数可以控制离子运动态 的跃迁几率本章还对离子运动态在一个周期内的时间演化性质进行了详细 的研究 。 第四章是对本论文研究工作的总结，并对p a u l 阱中囚禁离子的动力学研 究作了一个展望 关键词：激光脉冲，囚禁离子，规则与混沌运动，精确解，稳定性，运动 态，跃迁几率 o 2 英文摘要 i o nt r a p sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nr e s e a r c h e so fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y e s p e c i a l l y , i nr e c e n ty e a r s ，0 8ap o w e r f u lm e t h o d ，i o nt r a p sg e ta ne x t e n s i v e a p p l i c a t i o ni nt h eq u a n t u ml o g i co p e r a t i o n ，q u a n t u mc a l c u l a t i o n ，q u a n t u m i n f o r m a t i o na n dt h ep r e p a r a t i o no fq u a n t u m s t a t e s ，w h i c hl e a d st om o r ea n d m o r ea t t e n t i o nf o c u s e do nt h ed y n a m i c so ft r a p p e di o n s h o w e v e r t h em o t i o no ft r a p p e di o n ss e n s i t i v e l yd e p e n d so i lt h es y s t e mp a r a m e t e r sa n di n i t i a l c o n d i t i o n s v e r ys m a l lv a r i a t i o n so ft h e mc a nl e a dt ol a r g ed e v i a t i o no ft h et r a j e c t o r i e so ft h ei o n sa n de v e nf o r c et h ei o n si n t oc h a o t i cm o t i o n ，w h i c hm a k e s t h em o t i o no ft h ei o n su n c o n t r o l l a b l e s o ，i nt h i st h e s i s ，t h ec h a o t i cd y n a m i c s o fas i n g l et r a p p e di o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u m m e c h a n i c a lt r e a t m e n t a r ei n v e s t i g a t e dm o r e e x t e n s i v e l y t h em a i nc o n t e n t si sp r e s e n t e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s t c h a p t e r ，t h eb a s i cp r i n c i p l eo ft h ep a u lt r a pi sb r i e f l yi n t r o - d u c e d ，a n dt h eh i s t o r ya n dp r o g r e s so nt h er e s e a r c h e so fs i n g l et r a p p e di o n s i sp r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h es e c u l a rm o t i o no fa s i n g l ei o n s t o r e di nap a u l t r a pa n ds u b j e c t e dt oas e q u e n c eo fs t a n d i n gl a s e rp u l s e s t h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s e sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i m m ，w eo b t a i na ne x a c t s o l u t i o no ft h ec l a s s i c a lm o t i o ne q u a t i o nt h a td e s c r i b e st i m ee v o l u t i o no ft h e s y s t e m b yu s i n gt h ee x a c ts o l u t i o nw ei n v e s t i g a t er e g u l a ra n dc h a o t i cm o t i o n o ft h es y s t e m f o ra w e a k l yt r a p p e di o nw i t hs m a l lc o n f i n i n gf r e q u e n c y ac r i t i c a lc o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h es y s t e mg o i n gi n t og l o b a lc h a o si sf o u n d t h e l o s so f s t a b i l i t yc a u s e db yt h er e s o n a n c ei ss h o w na n dam e t h o d f o rc o n t r o l l i n g t h ei n s t a b i l i t yi se s t a b l i s h e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h es y s t e mo ft h et r a p p e d i o ni ss t u d i e dq u a n t u m - m e c h a n i c a l l y t h e o r e t i c a la n a l y s e sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ss h o wt h a t ，i nt h ef i r s t o r d e ra p p r o x i m a t i o n ，t h ec l a s s i c a l l yc h a o t i c c h a r a c t e rd i s a p p e a r s ；a n dt h a tt h e r ee x i s tar u l ef o rt h et r a n s i t i o nb e t w e e nd i f - f e r e n tm o t i o n a ls t a t e so ft h et r a a p e di o n i ti sa l s or e v e a l e dt h a t ，b yr e g u l a t i n g t h ep h a s ep a r a m e t e r ，t h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yc a nb ec o n t r o l l e d t h et i m e - e v o l u t i o no fa ni n i t i a lm o t i o n a ls t a t ej u s to v e ro n ep e r i o di sa l s os t u d i e di n d e t a i l i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，s o m ec o n c l u s i v er e m a r k so nt h ew o r kp r e s e n t e d i nt h i st h e s i sa n dt h eo u t l o o ko nt h ep r o s p e c tf o rt h ed y n a m i c so ft r a p p e di o n s l l a r eg i v e n k e y w o r d s ：l a s e r p u l s e s ，t r a p p e di o n ，r e g u l a ra n dc h a o t i cm o t i o n ， e x a c ts o l u t i o n ，s t a b i l i t y ，m o t i o n a ls t a t a s ，t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y 1 1 1 第一章绪论 1 1 前言 物理学研究的主要任务就是探索物质的基本结构和运动规律 为了探索和研究分子，原子和离子等微观粒子的内部结构和运动规 律，操纵和控制单个微观粒子( 分子，原子或离子) 就成了物理学家 长期以来所追求的目标这需要一个与外界隔绝的环境，以使微观 粒子的运动不受任何外来影响离子阱就提供了这样的环境在众 多的离子阱中，p a u l 阱f - 】由于其优良的特性和先进的功能，在科学 和技术研究的各个领域得到了广泛的应用，极大地促进了相关学科 的发展 同时，p a u l 阱为微观领域的研究开辟了一条崭新的道路，成为 了研究量子物理学的一个强有力的工具目前利用p a u l 阱在量子逻 辑操作【2 3 】，量子计算，量子信息 6 7 】，量子态的制备 8 】和原子精确 谱 ”吣，】等方面的研究都取得了巨大的成功，极大地促进了这些领 域的研究p a u l 阱在今后的科学研究中必将发挥更大的作用。 1 2p a u l 阱的原理 p a u l 阱的基本原理是用多极电磁势构成一个三维势阱把离子囚 禁在阱内一个特定区域其结构和剖面分别如图1 1 和1 - 2 所示 典型p a u l 阱阱体的内表面是旋转对称的共轭双曲面，通常称之 为环极和帽极，环极上加直流电压，帽极上加交流电压yc o s ( u t ) ，这 样，在p a u l 阱中就产生了一个周期含时四极电势【1 】 西= 墨稽( 霉2 + ，2 一z z 2 ) 其中，u 为交流电压角频率，r 0 为p a u l 阱环极最小半径，2 珈为 p a u l 阱两帽极间最短距离，离子在空间的坐标为( 。，口，z ) ，y z 图1 1 ：p a u l 阱结构 图1 2 ：p a u l 阱阱体构造剖面图 2 一个电量为0 ，质量为m 的粒子在方程( 1 1 ) 所示的囚禁势中的 经典运动方程为 僦一q 筹一z q 鬻“ ( 1 z ) 一一谨锄紫z ( 1 s ) 其中，让为。或f 引进无量纲参数 r2 詈t ，n 。= 一。n u = ；器，吼= 一z 钆= i 西器( a ) 由方程( 1 2 ) ，( 1 3 ) 可以得到标准的m a t h i e u 方程2 1 1 3 】 0 + ( n u + 2 q oc o s 2 下) = 0 ( 15 ) 式中u 代表z ，g 或z ，根据f i o q u e t 定理，方程( 1 5 ) 具有如下形式的 解 十。o+ 。 u ( r ) = a e ”岛。e 7 + b e k 7 g 。e 渤7 ( 16 ) n = 一o op 上式中，k 的值决定于参数o 。和轧托的取值将决定方程( 1 5 ) 的勰 是否稳定，即囚禁离子的运动是否稳定文献f 1 ，1 2 1 4 详细地研究了 ( 1 6 ) 式的稳定性与参数一的关系： 1 当一的值是不为。的实数时， 随时间的增大而增大，解是 不稳定的 2 当k 的值是实部不为。的复数时，解是不稳定的 3 当k = t z ，z = 整数时， 具有周期性，但仍不稳定 4 当，c = i z ，z 是不为整数的实数时， 具有周期性且是稳定的 为了能长时间地研究囚禁于p a u l 阱中的离子，就必须使离子作 稳定运动，郎m a t h i e u 方程的解( 1 6 ) 式必须取如下形式； + + 。 u ( f ) = a q 。c 0 8 ( 2 n + 卢) _ r + b 乏二岛。s i n ( 2 n + 卢) 7 - ( 1 7 ) 3 其中，卢是不为整数的实数为了使大家对( 1 7 ) 式有一个更湾晰地 认识，我们把( 1 7 ) 式中的物理量的量纲转换为原来的量纲，得 + o 。+ o 。 ( ) = a g 鼽c o s ( 榭+ e 咖) + b g 。s i n ( 附+ 蛐) t ( 1 8 ) 上式中 廖 、 u o = i u ( 1 9 ) 被称为离子运动的久期频率 通常囚禁离子的运动都被分为两部分来研究： 以交流电 频率“，为振动频率的很快的微运动 以久期频率u 。为振动 频率的慢运动，通常被称久期运动微运动由加在p a u l 阱两个帽极 上的交流电压决定，是阱本身固有的久期运动才反映了离子在阱 中运动的主要特征因此，到目前为止，大多数研究工作都是针对 久期运动的为了能方便地研究久期运动，却又不被微运动影响， 研究者通常采用一种叫“赝势模型”的方法把微运动“平均掉”，使 囚禁势近似等于一个三维谐振子势 圣= 品( u ：。2 + 咖2 + 。 ( 1 1 0 ) 其中 u 。= 等u( 1 1 1 ) 2 成= o 。+ 导 ( 1 1 2 ) 用“赝势模型”的方法来代替原来的囚禁势又常常称为赝势近似 对于研究p a u l 阱中囚禁离子的运动，这是一种非常有效的方法，因 此被广泛应用于研究中 1 3p a u l 阱中囚禁单离子研究的历史与现状 在过去数十年内，p a u l 阱中囚禁单离子系统的研究取得了巨大 的成功1 9 8 0 年，n e u h a u s e r 等人在室温下实现了单个b a + 离子在 4 p a u l 阱中的囚禁i 蝎】，这是历史上首次实现单离子囚禁的实验，是离 子阱物理研究的一个重大突破此后，囚禁单离子系统的研究受到 了广泛的关注，相关的实验与理论研究报道越来越多其中，1 9 8 6 年，有三个研究小组分别报道了在实验中观察到的量子跃迁现象是 又一个重大突破【“- 1 引一原子体系由基态1 分别通过强跃迁到共振 态2 和非常弱的跃迁到亚稳态3 如果激光对准强跃迁，可观察到 2 _ + 1 的共振萤光信号出现“亮”周期；一旦弱激发使离子激发到亚 稳态3 ，共振态2 - 基态1 的萤光就消失了，从而出现一个暗周期， 此现象一直到离子由亚稳态3 通过自发辐射回到基态l 时才结束 在这样的情况下观察到的现象包含了交替的“暗”和“亮”周期，分 别反映了离子进入和跃出亚稳态的量子跃迁( 见图1 3 ) ， 图1 3 ：描述量子跃迁的原子三能级示意图 量子跃迁实验为研究囚禁单离子与辐射场( 电磁场或激光) 的相 互作用提供了一种可靠的方法1 9 8 8 年，d i e d r i c h 等人利用量子跃 迁成功地测定了囚禁单离子的一系列超精细结构【1 9 】，这为单离子频 标的研究打下了坚实的基础； 囚禁单离子还是一个非常理想的量子光学系统，它为量子光学 研究提供了一个很好的实验例证在量子光学中，如果是单模辐射 与一个两能级原子体系相互耦合，可用著名的j a y i l e s c u m m i n 9 8 模型 的哈密顿描述f 2 0 】： 1 日= u ，o + o + 去叫。口_ + 9 ( 盯+ o + o + 口一) ( 1 1 3 ) 其中，n + ，8 分别为辐射场光子的产生与湮灭算符，u ，为光子频率， 5 q 与q 为p a u l i 矩阵，u o 为两能级间的跃迁频率，g 为耦合因子如 果该囚禁离子处于一个谐振势阱中，并且是与激光驻波相互作用， 则其哈密顿变换为 日= 一a + 。+ ；盯；+ 罢卵( 盯+ n + n + 盯一， 其中，一为p a u i 阱频率，是激光频率与跃迁频率之差，n 是激光 的r a b i 频率，? 7 是l a m b d i c k e 参数 1 9 9 6 年，m e c k h o f 等人率先利用p a u l 阱中的囚禁单离子对各种 菲经典态进行了研究卿引，通过不周的方法分别获得了一系列f o c k 态，相干态，压缩真空态以及s c h r 6 d i n g e r 猫态从这些态入手，m e c k h o f 等人研究了非经典态的特点以及演化动力学过程此后，众多的物 理学家对囚禁单离子系统的各种量子态进行了广泛而深入的研究， 取得了一系列令人瞩目的成果 2 杠笳i 对量子态的研究有助予揭示光 场的量子本质，并且有可能在光通讯，微信号检测等方面获得重大 的应用 近年，囚禁离子又被广泛应用于量子计算枧的研究。如果量子 计算机研制成功，那么现在的计算机无法解决的许多难题都将迎刃 而解因此，1 9 9 5 年，c i r a c 和z o l l e r 提出了利用囚禁离子系统进行 量子计算的方案后 4 】，这一领域的研究立即引起了广泛关注此后不 久，m o n r o e 等人利用冷却到零点能的单个囚禁离子b a + 成功地演示 了量子逻辑门的实验【，为量子计算机的研究展示了美好前景 1 9 9 9 年，s c o t t 等人分别从经典和量子力学两个方面研究了膺势 近似条件下单个囚禁离子的动力学特征，发现在高斯型激光脉冲作 用下囚禁离子在一定的参数范围内存在经典混沌和量子混沌的性质 i 蜊离子的混沌运动对离子阱量子计算的研究来说是一大障碍有 必要对囚禁离子的动力学特征进行更加深入的研究本文考虑一个 驻波型激光脉冲作用下的囚禁单离子系统，通过分析和数值计算相 结合的方法，我们分别从经典和量子力学的角度研究了系统的动力 学特征对于经典情形，我们发现，在不同的参数区域，系统运动 分别是规则的和混沌的，我们还讨论了电压稳定度及各种扰动对离 6 子运动的影响，当阱频与激光脉冲驱动频率之比为整数时，系统因 共振而失稳，通过调节激光波矢的大小，可以控制这种不稳定性： 对于量子力学情形，在含时的情况下，通过理论分析和数值计算， 我们得到了离子由运动态亿到n 7 的跃迁几率，并且发现通过调节相 参数西可改变跃迁几率当取某些特定值时，离子由运动态n 到 的跃迁是禁戒的我们还发现，在一级近似的情况下，系统的经 典混沌特征在量子力学描述中消失了 7 第二章 激光脉冲作用下囚禁离子的规则与混沌运动 2 1 引言 离子阱已被广泛应用于科学和技术研究的各个领域。尤其是近 年来，离子阱作为一种强有力的工具，被大量应用于量子逻辑操作 2 1 3 】，量子计算 4 5 】，量子信息m 以及量子态的制备【s 】等方面的研 究，使人们对离子阱中囚禁离子的动力学特征越来越感兴趣。但是 由于囚禁离子的运动对外加参数和初始条件有很敏感的依赖性，两 者的微小改变都可导致离子运动轨迹发生较大偏移，甚至使离子产 生混沌运动，从而使其运动状态难以控制因此，有必要对囚禁离 子的动力学特征进行更加深入的研究。尽管已有文献对多离子体系 的动力学特征进行了深入的研究汹，“，但是由于囚禁单离子系统比 较简单，相关的研究结果较多，单离子与激光之间的相互作用更是 受到了广泛关注。当激光强度很小的时候，激光的作用相当于对系 统的微扰，运动方程中线性项起主导作用，离子仍作规则运动。随 着激光强度的不断增大，非线性效应增强，离子运动变得越来越复 杂。当激光强度增大到某一临界值时，离子运动开始进入? 昆沌状态 【3 0 _ 3 。对于谐振势阱中囚禁单离子的久期运动，考虑高斯型激光脉 冲的作用，文献 1 2 】分别从经典和量子力学两个方面研究了离子的 动力学特征，发现离子在一定的参数范围内存在经典混沌和量子混 沌的性质。文献 3 0 ，3 2 则研究了激光驻波作用下谐振势阱中的单离 子系统，在阱频很小的条件下发现，激光强度增大导致了离子混沌 运动的出现。本文考虑一个驻波型激光脉冲作用下的囚禁单离子系 统，如果失谐量不够大，离子自发辐射速率比较高，将对离子的经 典运动产生明显的影响由于自发辐射的随机性，对这种影响的精 确描述是困难的为了避免这种困难，文献【3 3 】考虑离子初始时处 于基态，并且失谐量足够大，从而自发辐射的影响可以忽略本文 考虑这种自发辐射可以忽略的情形，通过分析和数值计算相结合的 方法，我们导出了系统的精确解，证明了对于不同的参数，系统运 动分别是规则的和混沌的，并讨论了电压稳定度及各种扰动对离子 9 运动的影响。我们发现当阱频与激光脉冲驱动频率之比为整数时， 系统因共振而失稳，通过调节激光波矢的大小，可以控制这种不稳 定性。 2 2 系统的精确解 我们考虑一个囚禁于p a u l 阱中的单离子，该离子受到沿z 方向 的激光驻波作用。若以t 为时间间隔周期性地开关激光源，可得r a b i 频率与时间的关系【。t ，a 5 】 ( t ) 2 = q 3 e 邙”一2 7 一 ( 2 。1 ) 当盯_ o 时，上式近似于一列6 脉冲 q o = 历嘴6 ( t z 7 7 )( 2 2 ) ：一 只考虑离子在。轴上的久期运动，可得其哈密顿量为【3 4 】 日：嘉+ ；舰扩+ 警c o s 潞z ) 毒郫坩) ( 2 i 。) 其中m 为离子质量，p 为离子动量，茁为离子坐标，七为激光波矢 大小，为失谐量，u 。是阱频，它与加在p a u l 阱上的直流电压u 和交流电压y c o s ( w t ) 有如下关系 3 6 j 岫= 妄 o + 9 2 2 ( 2 4 ) g = 嚣舻去 沼s ， g 2 硒虿研2 硬币瓣 o 。0 。 其中q 为离子电量，u 为交流电角频率，珈为p a u l 阱环极最小半 径，2 z o 为p a u l 阱两帽极间最短距离。 利用( 2 3 ) 式，易得离子在阱中受到激光脉冲作用后的经典运 动方程 叠枷。= 警s i n ( 2 妻呻坩) ( 2 6 ) 1 0 - 姐+ 等管c o s ( 等) 8 i n ( 2 ) ( 2 2 2 ) 将( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 式代入( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式，并利用( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式， 得z 州，j 州与五的关系 = ( 一黜晶恚兰器) 一u o8 i n ( u o t )c o s ( t ) ( 针尝曲) 。， ( 22 3 ) 式通过i t 时刻离子的位置和速度给出了( i + 1 ) t 时刻离 子的位置和速度，这是一个两维映射。从给定的初始条件出发，由 ( 2 2 3 ) 式可得任意i t 时刻离子的状态。 2 3 系统的规则与混沌运动 如果用z 4 取代( 2 2 3 ) 式中的s i n ( 2 z ) ，则得文献【3 7 中讨论 的系统，它的混沌性质是我们熟知的。我们知道，周期函数s i n ( 2 茁) 远比z 4 复杂，所以( 2 2 3 ) 式必然允许系统存在混沌运动。采用国 际单位( 米千克秒) 制，由( 2 2 3 ) 式我们画出了囚禁单离子在 不同参数下的相轨道图( 见图2 1 2 4 ) 取定m 1 - 5 0 6 3 1 0 _ 2 6 千克， q = 1 6 1 0 一1 9 c ，z ( o ) = 6 3 4 1 0 一5 m ，峦( o ) = 57 6 m s ，t = 8 7 8 l o 一7 s ， 南= 1 2 2 1 0 6 m 一1 ，d = 1 2 6 1 0 4 s ，q o = 2 2 3 1 0 7 h z ，= 85 8 1 0 9 h z ， 当u o 的取值在2 3 7 6 7 1 0 5 h z 到2 5 6 5 8 1 0 5 h z 之间变化的时候，所 得图象是封闭曲线，这表明系统作周期运动( 见图2 1 ) 图中坐标万 的范围为一8 0 p m 一8 0 芦m ，速度的范围为一2 0 m s 一2 0 m 8 当“o 由 2 3 7 6 7 1 0 5 h z 慢慢减小时，图象上的点由封闭曲线逐渐向四周扩散 开来且分布是混乱的，这表明系统由周期运动逐步过渡到了混沌运 动，其间没有突变我们还发现当由u o 由2 5 6 5 8 1 0 5 h z 慢慢增大 时，也会出现这种情况结合上述结果与( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式我们知道， 当其它参数按上述各式取值，u ，y 的取值满足如下关系 2 3 7 6 7 1 0 5 月- u o 2 5 6 5 8 1 0 5 日z 1 3 图2 ，l ：当初值和参数取。( o ) = 6 3 4 1 0 一5 m ，士( o ) = 5 7 6 m s ，u o = 2 5 6 5 8 1 0 5 h z ，t = 8 7 8 1 0 7 s ，七= 1 2 2 1 0 6 m 一1 ，盯= 1 2 6 1 0 4 s ，q o = 2 2 3 1 0 7 h z ，= 8 5 8x1 0 9 h z 的时候，图象为一条封闭曲线，这表明系统作周期 运动。 图2 ，2 ：其它参数同图2 1 ，u o = 2 3 7 6 7 1 0 5 h z 情形，图象仍为一条封闭曲 线，这表明系统仍作周期运动。 1 4 图2 4 ：当初值和参数取t = 8 8 1 0 7 8 ，= 1 5 5 1 0 6 m ，口= 1 5 5 1 0 4 s ， q o = 2 5 5 1 0 7 h z 的时候，图象上开始出现明显的分形结构，点的分布更加 混乱，范围更广，这表明随着e 七，仃，n o 的进一步增大，系统运动的混沌程度 加深了，混沌区域扩大了( 其它参数同前图) 。 图2 5 ：当初值和参数取t = 8 8 2 1 0 7 s ，= 1 5 9 1 0 6 m _ 。，的时候，图象上 的分形结构进一步扩大，点分布的混乱程度进一步加深，分布的范围也更广， 这表明系统运动的混沌程度进一步加深，混沌区域也进一步扩大了( 其它参数 同前图) 1 6 由于作用在p a u l 阱上的电源电压的稳定度实际上只能调到1 0 “v 所以还必须考虑电压稳定度对离子运动的影响。设砜，为未受扰 动时的电压，u 和v 为各种不可人为控制的小的扰动值如果 ，的取值在周期区域内且远离边界，那么小的扰动u 和y 不 会使离子运动脱离周期区域，离子运动性质保持不变；如果砜，的 取值在混沌区域内且远离边界，那么小的扰动u 和y 也不会使 离子运动脱离混沌区域但是如果巩，k 取在周期区域和混沌区域 交界处附近，小的扰动可能导致系统发生在周期运动和混沌运动之 间的相变令u = 砜+ 以y = + 矿，并取仁1 o ，代入( 2 2 5 ) 式得 o 5 0 0 3 6 、o 9 4 1 5 7 ( + u ) + l ，1 0 8 1 9 1 0 一3 ( y + v ) 2 o 5 4 0 1 7 ( 2 2 6 ) 由( 2 2 6 ) 式我们知道，对于不同的，值，周期运动所允许的扰动 u 和y 是不同的为了讨论的方便，我们假设u = y 例如， 当= 一1 8 1 2 3 8 v ，碥= 1 2 5 v 时，代入( 2 2 5 ) 式，所得值满足该式且 接近下界，此时若u = v = 一o 0 0 0 2 v ，代入( 2 2 6 ) 式，所得值等 于下界，当l u i = 1 y l 一o 0 0 0 2 时，代入( 2 2 6 ) 式，所得值小于 下界，可以使离子脱离稳定区域当砜= 一3 4 ，0 6 7 8 v ，= 1 7 0 7 8 5 3 v 时，代入( 2 2 5 ) 式，所得值满足( 2 2 5 ) 式但离下界较远，此时必须使 u = v = o 0 0 3 3 v ，代入( 2 2 6 ) 式，所得值才小于下界因此，当 ，k 取上述值时，电压的扰动就必须较大才可能使离子脱离周期区 域。 我们假定u ：y = 士1 0 t v 在电源电压的稳定度的量级，代入 ( 2 2 6 ) 式得电压取值必须满足的关系 o 5 0 0 3 6s o 9 4 1 5 7 ( 士l o 一4 ) + 1 1 0 8 1 9xl o 一3 ( 士1 0 一4 ) 2 o 5 4 0 1 7 ( 2 2 7 ) 电压取值在此范围时，离子才能保持周期运动 现在，我们对包含在( 2 2 3 ) 式中的一个简单情形来进行讨论。当 阱频u 。很小时，离子处于弱囚禁状态，( 2 6 ) 式中正比于u 3 的项可 看作微扰。在这种情形，文献【3 0 ，3 2 】曾得到离子与激光驻波相互作用 的? 昆沌性质。调节加在势阱上的直流电压u 和交流电压y c 0 8 ( u t ) ， 1 7 可使u o 很小，此对，在零级近似下，可认为( 2 2 4 ) 式中u o 叶o ，利 用洛必塔法则，得 ( 刘= ( ：) ( 针薅如鳓) ( 2 ，2 8 ) 此即周期受击转子的相空间映射关系。令，= 士t 代入( 2 2 8 ) 式， 得 z 。+ = z ；+ 警s i n ( 2 z ；) + 厶 厶+ 。= 五+ 警s i n ( 2 甄) 再令e = 婴；嚣铲代入( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 式，得 。件1 = z l + c s i n ( 2 七z t ) + 厶 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) + l = 厶+ cs i n ( 2 轨) ( 2 3 2 ) ( 2 。3 1 ) 和( 2 3 2 ) 式表示著名的标准映射，由文献 4 1 对标准映射的动 力学性质进行的详细讨论得知，当g 很小时，离子主要作规则运动。 调节开关激光源的时间间隔? 和激光波矢大小，使g 逐渐增大， 系统的k a m 环面将先后破裂。当e o ，9 7 ，即 ， t o 9 7 主筹名 ( 2 3 3 ) ，叩a6 0 、“ 时，离子运动进入整体混沌状态。显然，参数t ，七，吼q o 的增大将导 致e 的增大和混沌的产生，这与图1 一图5 所示数值计算的结论一 致。( 2 3 3 ) 式即为弱囚禁离子在激光驻波脉冲作用下进入整体混 沌状态的参数条件。 2 4 共振失稳与不稳定性控制 上面我们讨论了系统的规则与混沌运动。本节我们将证明，当调 节加在势阱上的直流和交流电压，使等= ，为整数时，系统将 1 8 图26 ：当u o q = ，为整数时，随着撞击次数i 的美碧：篓妻蔷墨薹 翼囊霉i纂蓁囊薹鏊：霎羹鎏篷羹霎薹囊辇霉囊薹。l 鍪錾蓼囊囊i冀l i i i l ；l l 蓦i l 一； 薹：墓；一i ；i i 至j 臻i 蚕芝囊纛姜篓女；1 i 誊j * 警j 恻囊艘 i 茎i 雾耄l 羹一蒸一一； i l 萃； 器塞霎辘塑冀驯晷野蔷磐莹：耋萎i 圪i 翼袋罐消瑙：季菇鉴墨 斧季滢鍪翔蚴鲤譬誓j 情况下，离子运动可用标准映射来描述。 我们得到离子 运动进入整体混沌状态的条件，通过调节激光脉冲周期和激光波矢 大小拟合该条件，可使离子运动由规则状态进入混沌状态。我们还 发现，共振可引起离子运动的不稳定性，但通过调节激光波矢的大 小，可以控制这种不稳定性，从而实现对离子的稳定囚禁。此外， 我们研究了电压稳定度及各种扰动对离子运动的影响，给出了电压 扰动对运动影响的估计式结果表明，如果电压的取值在周期区域 内且远离边界，那么小的扰动不会使离子运动脱离周期区域，离子 运动性质保持不变；如果电压的取值在混沌区域内且远离边界，那 么小的扰动也不会使离子运动脱离? 昆沌区域但是如果参数取在周 ( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 式描述的是离子运动振幅恒定的周期运动。如果 a - ，b t 都很小，离子将作微振动，可近似地看作静止于阱中，从而可 被长时间地观测。 2 5 小结 考虑驻波型激光脉冲作用下囚禁于p a u l 阱中的单离子系统，通 过分析和数值计算，我们得出了系统的精确解。由这个精确解我们 发现，在不同的参数范围内，离子运动分别是规则的和混沌的。在 阱频很小的情况下，离子运动可用标准映射来描述。我们得到离子 运动进入整体混沌状态的条件，通过调节激光脉冲周期和激光波矢 大小拟合该条件，可使离子运动由规则状态进入混沌状态。我们还 发现，共振可引起离子运动的不稳定性，但通过调节激光波矢的大 小，可以控制这种不稳定性，从而实现对离子的稳定囚禁。此外， 我们研究了电压稳定度及各种扰动对离子运动的影响，给出了电压 扰动对运动影响的估计式结果表明，如果电压的取值在周期区域 内且远离边界，那么小的扰动不会使离子运动脱离周期区域，离子 运动性质保持不变；如果电压的取值在混沌区域内且远离边界，那 么小的扰动也不会使离子运动脱离? 昆沌区域但是如果参数取在周 期区域和混沌区域交界处附近，小的扰动可能导致系统发生在周期 运动和混沌运动之间的相变 第三章激光脉冲作用下囚禁单离子的量子力学特征 3 1 弓f 言 量子态的研究是目前物理学研究的一大热点，物理学家通过不 同的途径来构建各种量子态，进而研究它们的特点和演化动力学过 程离子阱中的囚禁离子系统是一个构建和研究量子态的理想体系 1 9 9 6 年，m e c k h o f 等人率先利用p a u l 阱中的囚禁单离子对各种非经 典态进行了研究，通过不同的方法分别获得了一系列f o c k 态，相干 态，压缩真空态以及s c h r s d i n g e r 猫态 8 ，删从这些态入手， m e c k h o f 等人研究了非经典态的特点以及演化动力学过程此后，众多的物 理学家对囚禁单离子系统的各种量子态进行了广泛而深入的研究， 取得了一系列令人瞩目的成果 2 4 - 2 6 1 对量子态的研究有助于揭示光 场的量子本质，并且有可能在光通讯，微信号检测等方面获得重大 的应用 本章考虑一个驻波型激光脉冲作用下p a u l 阱的囚禁单离子系 统，我们从量子力学的角度研究了系统的动力学特征通过理论分 析和数值计算，我们发现，在含时的情况下，我们得到了离子由运 动态礼到扎的跃迁几率，并且发现通过调节相参数咖可改变跃迁几 率当取某些特定值时，离子由运动态n 到订的跃迁被禁戒我 们还发现，在一级近似的情况下，系统的经典混沌特征消失了这 些工作对量子态的构建和研究将起到重要的作用 3 2 含时s c h r s d i n g e r 方程 由式( 2 3 ) ，我们可以直接写出含时s c h r s d i n g e r 方程 访甏= 一嘉墨+ m 谁2 + - 舫- 打g 五哪- c 。8 ( 2 托+ z 纠 6 ( t 一。一) 】妒 ( 3 1 ) 引进无量纲化参数，_ r ，t ，a = 觚r = w ，t = 蛳t 7 ，。= 1 警，帮= 2 n “n = o ) 1 ，2 ，( 3 2 ) 相应的s c h r s d i n g e r 方程为 惦妒= 案c o s ( 2 恂纠妻6 ( t - - z t 舻2 姚 ( 3 3 ) 如案c o s ( 2 瓜恻) 妻d ( t - z t ) 妒 ( 3 4 ) 其中，刀= 去是l a m b d i c k e 参数当日= 0 时，我们很容易得到方 程的常杰波函数 凹) = 玩( f ) b 一 2 珊= ( 妒妒) 2 帆是波函数的归一化参数， 纲化能量为 入妒= ( 2 n + 1 ) ( 3 5 ) ( 3 , 6 ) 凰是厄米多项式此时，相应的无量 ( 3 7 ) 利用方程( 3 5 ) 乖( 3 6 ) ，我们司以很答易证明f 面的积分方程p 驯 昧一= 凹k ) e - i 7 + 甥( f ) f 甥( 钏( r ) + a ! ：) 一2 t 导】妒篮 一甥( ) f 霹1 ( 纠丁) + a 一2 i 南妒d ( 3 8 ) 和方程( 3 3 ) 完全等价其中，a 和b 是积分参数，妒乎( ) 和甥( ) 分别代表h = 0 时离子运动的初态和末态 选取激光和p a u l 阱的某些参数，我们可以得到下面的不等式 1 案i 1 ( 3 9 ) 在这种情况下，我们可以对系统采用直接微扰法 根据文献 4 2 】，我们知道馏( 一) = ( 一1 ) n 馏( f ) 因此，在一级近似的 情况下，离子运动态的跃迁几率为 碳= l 碟：j 2 = j 案萎o o 。i ( n - n ) z tk + c o 甥慨o s ( 2 临榭 一 i g ，芸甥赭c o s ( 2 以聪) c o s ( 2 曲) 西 2 ，礼+ 礼= 2 n ll 巧仁：甥硝s i n ( 2 瓶萜) s i n ( 2 ) f 2 ，n + = 2 n + 1 k = 趔8 w o a 。= t 训；r ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 式中n = 0 ，l ，2 ，( 3 1 9 ) 式表明离子运动态跃迁几率与相位参数谚 有关调节毋可以改变离子运动态的跃迁几率当n + n = 2 且 = ( n + ；) 7 r o rn + 礼7 = 2 n + l 且曲= ( n + j ) 丌时，跃迁是禁戒的，也 就是说，在这两种情形下，离子运动态成为了定态，激光将无法影 响离子的运动态 现在，假设0 e 的 当e o ，很明显 碟：斛。= 碟：一警c 甥谤) c o s ( z 向f + 。西) ( 。2 3 ) 根据方程( 3 1 7 ) 和( 3 2 3 ) ，我们有 硒0 ：，丘十。= 方? ：，n + 【1 + t ( n 一n ) 】硒0 ：x( 3 2 4 ) 奉? ：，k + 。：【l + i ( n 一n ) j 声? ：耳+ 2 i ( 礼一礼) 一( 佗7 一礼) 。】万s j ， ( 3 2 5 ) 上式中“”代表对时间r = u o t 求导数方程( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 是碟： 和碟：+ 。的线性映射，它表明，在一级近似下，系统的经典混沌特 征被抑制了， 到目前为止，有关运动态的实验，其出发点通常是离子运动的基 态因此，作为一个例子，我们考虑离子由佗= o 态到= 1 态的跃 迁在一级近似下，跃迁几率为 础删中= l 警e 咖2 s i n 喜河1 2 ( 3 。e ) 很明显，当西= o ，吾，萼，时，由n = o 态到n = 1 态的跃迁是禁戒的 通过设定参数：盯= 1 2 6 1 0 一3 8 ，q o = 2 2 3 1 0 7 h z ，a = 7 7 5 1 0 5 m ， q = o 7 8 ，= o 2 3 ，u o = 2 3 5 1 0 7 h z ，= 8 5 8 ，1 0 9 h z ，代入( 3 2 6 ) 式，我 们画出了跃迁几率随时间的演化性质( 如图3 1 3 2 ) 图3 1 ( t = o 2 3 ) 表明当无量纲化时间r o ，3 2 2 l 并且t = o 2 3 时，跃迁几率随时 间的增加而增大，当时间足够长时跃迁几率呈现周期性变化；正如 c 8 r r u t h e r s 所指出的那样，当激光与离子运动发生共振时，离子二激 光之间的相互作用就可以改变离子的运动状态经过认真计算，我们 发现当激光周期t = 2 丌时，共振发生了，这使得跃迁几率随时间的 增加而趋向于无穷大( 图3 2 ) ，最后必然导致离子由n = o 态到n = 1 态的跃迁 3 3 量子映射 现在，让我们考虑离子由运动始态j 饥 到运动末态帆+ - 的