九年级数学总复习（二） 方程（组）与不等式（组）华东师大版.doc

用心 爱心 专心 九年级九年级数学数学总复习（二）总复习（二） 方程（组）与不等式（组）方程（组）与不等式（组）华东师大版华东师大版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 总复习（二） 方程（组）与不等式（组） 知识要点 （一）方程与方程（组） 1. 方程与方程（组）有关概念 （1）方程：含有未知数的等式。 （2）整式方程：重点研究一元一次方程（）和一元二次方程（axba00， ）。axbxca 2 00， （3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） （4）二元一次方程组 2. 方程（组）的解与解方程（组） （1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数 的方程的解也叫做根。 （2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做 该方程组的解。 （3）解方程：求方程解的过程。 （4）等式的基本性质： 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式； 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。 （5）一元一次方程（包括含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤： 去分母去括号移项合并同类项系数化为 1 （6）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法； （7）一次方程组的解法：一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。 （8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程通过去分母或换元转化为整式 方程来解决，注意验根。 （9）二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元转化为一元一次方程来解决。 3. 一元二次方程根的判别式。axbxca 2 00() 方程有两个不相等的实数根 bac 2 40 方程有两个相等的实数根 bac 2 40 方程没有实数根 bac 2 40 4. 应用问题 解应用题时，应该有两步检验，一是检验所求得的解是否为原方程（组）的解；二是 检验它是否符合实际意义。 （1）列方程（组）解应用问题常用的基本数量关系： 数量的和、差、倍、分； 距离速度时间，注意变式的情况； 工作量工作效率工作时间，注意变式的情况； 用心 爱心 专心 增长率； 增长数 基数 100% 数字问题； 面积问题。 （2）列方程（组）解应用问题的一般步骤：审、设、表、列、解、检、答。 （3）用方程的思想解综合性问题。 （二）不等式与不等式组 1. 不等式的解集与解不等式 （1）不等式的基本性质： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 （2）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。 （3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 2. 不等式组的解集与解不等式组 （1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等 式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的 解集。 （2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 （3）解一元一次不等式组的步骤： 分别求出不等式组中各个不等式的解集； 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 3. 应用问题 列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： （1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）； （2）解不等式（组）； （3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。 【典型例题典型例题】 例 1. 代数式与代数式的值相等时，求 k 的取值。 21 3 k 1 4 3k 分析：分析：由代数式的值的意义，给定 k 的一个值，两个代数式都分别有不同的取值，若 令两代数式相等，求其字母的值，就用到了方程的思想。 根据题意，得： 21 3 1 4 3 k k 解得：21 3 4 9kk 5 4 10 8 k k 答：答：k 的值为 8。 说明：说明：本题考察了方程的思想，根的意义及解一元一次方程。 用心 爱心 专心 例 2. 如果 a 是关于 x 的方程的根，且，那么的值是多少？xbxa 2 0a 0ab 分析：分析：由方程根的意义，将 a 代入其方程能使两边相等。 解：解：a 是方程的根xbxa 2 0 aabaa ab 2 010， 而a 0 ab10 即ab 1 说明：说明：本题考察了方程根的意义、因式分解等知识，同时还考察了恒等变形的能力。 例 3. 解方程组 xy xy 31 3252 简析：简析：本题特点适用于代入消元和加减消元两种方法，若在平面直角坐标系中画出两 个方程所代表的两条直线，然后标出交点坐标，也可以求出方程组的解，即为图象法解方 程组。 解法一：解法一：（代入消元法） 由得：xy33 把代入，得： 3 325 9325 4 yy yy y 把代入，得：y 4 x x 34 1 所以是原方程组的解。 x y 1 4 解法二：解法二：加减消元法 将两边同时乘以 3，得： 3393xy 由，得：y 4 把代入，得：y 4 x x 43 1 所以是原方程组的解。 x y 1 4 解法三：解法三：由可得：yx 3 由可得：y x 35 2 在同一个平面直角坐标系中作出一次函数和一次函数的图象，yx 3y x 35 2 观察图象得交点为（-1，-4）。 用心 爱心 专心 所以方程组的解是 x y 1 4 说明：说明： 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代 数式表示另一个未知数的形式（一般称这个等式为关系式）； （2）将关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将它代入关系式，求得另一个未知 数的值； （4）把求得的未知数的值用联立符号表示出来。 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）使方程组中准备消掉的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组 中的任意一个方程，求出另一个未知数的值； （4）把求得的两个未知数的值按字母顺序用联立符号表示出来。 图象法的使用不如上面两种方法普遍，它只对交点的横、纵坐标都是整数值时适宜， 其他情况下得进行估值。 例 4. 选择适当方法解下列方程： （1）()x 325 2 （2）xxxx 22 57 （3）23 1 8 0 2 xx 分析：分析：一元二次方程的解法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等。在解 答时应根据题目特点，选择适当的方法，如：（1）适于使用直接开平方法；（2）使用因 式分解法较为简捷；（3）可以使用配方法或公式法。 解：解：（1）方程两边直接开平方，得 x 35 xx 12 82， （2）移项，得：570 22 xxxx 合并同类项得：680 2 xx 方程左边分解因式得：2340 xx() 或20 x 340 x 用心 爱心 专心 xx 12 0 4 3 ， （3）abc 23 1 8 ， bac 22 4342 1 8 8 () x 32 2 4 xx 12 32 2 4 32 2 4 说明：说明：在用公式法和因式分解法解一元二次方程时，要注意把方程化为 的形式。axbxc 2 0 例 5. 解关于 x 的方程：abxababx 222 0() 分析：分析：这个方程中二次项系数是 ab，x 的系数是，常数项是 ab，因为题设()ab 22 中没有指明 a 与 b 的取值范围，所以应加以讨论。 解：解：（1）当且原方程变形为，a 0b 0b x 2 0x0 （2）当且，原方程变形为a 0b 0a xx 2 00， （3）当且，原方程利用因式分解，得a 0b 0()()axb bxa 0 x b a x a b 12 （4）当且，方程中的 x 可取任意实数。a 0b 0 综上：当中有一个为零时，方程的解为ab、x 0 当同时为零时，方程的解为任意实数ab、 当都不为零时，方程的解为ab、x b a x a b 12 ， 说明：说明：本题考察了有关方程的概念，因式分解法解方程以及分类讨论的思想，这种对 字母取值情况逐一讨论，是培养数学素养的一个方面。 例 6. 解分式方程 21 1 61 1 7 2 2 ()()x x x x 分析：分析：这个分式方程如果用去分母法解，所得到的将是一个难解的四次方程，因此要 考虑别的解法。观察方程的特点，含未知数的两部分式子与互为倒数，所以 x x 2 1 1 x x 1 1 2 可使用换元法来解。 解：解：设，那么 x x y 2 1 1 x xy 1 1 1 2 于是原方程变形为2 6 7y y 方程的两边都乘以 y，得 2760 2 yy 用心 爱心 专心 解这个方程，得yy 12 2 3 2 ， 当时，y 2 x x 2 1 1 2 去分母，整理得xx 2 210 所以x 28 2 12 当时，y 3 2 x x 2 1 1 3 2 去分母，整理得2310 2 xx 所以x 317 4 经检验：都是原方程的根。xx 12 317 4 ， 所以原方程的根是。xxxx 1234 1212 317 4 317 4 ， 说明：说明：换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的方程的特殊方法。它的 基本思想是用换元的方法把某些式子的形式简化，从而把原方程的形式简化。 例 7. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用 100 元，按该书定价 2.8 元出 售，并很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高 0.5 元，用 去了 150 元，所购书数量比第一次多 10 本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的 4 5 5 折售完剩余的图书，试问该老师第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？ 若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 解法一：解法一：设第二次购书 x 本，则第一次购书（x10）本 由题意，得 100 10 1 2 150 xx 整理得xx 2 11030000 解得xx 12 5060， 经检验，都是原方程的根x150x260 当时，每本书的批发价为（元），高于书的定价，不合题意，舍x 50150503 去。 当，每本书的批发价为（元），低于书的定价，符合题意。x 601506025 . 因此第二次购书 60 本。 (.)60 4 5 2860 1 5 28 1 2 150 1512150 12 . . ()元 答：答：该老板第二次售书赚了 1.2 元钱。 解法二：解法二：设第一次购书的批发价为 x 元，则第二次的批发价为元(. )x 05 由题意，得 100 10 150 05xx . 用心 爱心 专心 整理得，解得29100 2 xxxx 12 252. ， 经检验，都是原方程的根xx 12 252. ， 当时，第二次的批发价为（元）高于书的定价，不合题意，舍去。x 25 .25053. 当时，第二次的批发价为（元），低于书的定价，符合题意。x 220525. 因此第二次购书：（本）15020560(. ) 以下解法同解法一。 解法三：解法三：设第一次购书 x 本，则第二次购书本()x 10 由题意，得 1001 2 150 10 xx 整理得，解得xx 2 9020000xx 12 4050， 经检验，都是原方程的根xx 12 4050， 当时，每本书的批发价为（元），第二次的批发价为x 401004025 . （元），高于书的定价，不合题意，舍去。25053. 当时，每本书的批发价为（元），第二次的批发价为x 50100502 （元）低于书的定价，符合题意。200525. 因此第一次购书 50 本，第二次购书 501060（本）。以下解法同解法一。 说明：说明：解法一和解法三中的等量关系是“第一次购书单价0.5 元第二次购书单价”； 解法二中的等量关系是“第一次购书数量10 本第二次购书数量”，准确地找到等量关 系是解好这类应用问题的关键。 例 8. 解不等式，并在数轴上表示它的解集 7 3 13 2 1x x 解：解：去分母，得143136xx() 去括号，得143396xx 移项后，合并得1133x 不等式两边同乘以 11，得x 3 它的解集在数轴上表示如图： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 说明：说明：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似。应特别注意的是，当不 等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。本题可先去分母，此时 不要漏乘，再去括号，然后化成或的形式，最后得出解集。axbaxb 例 9. 求不等式组的整数解 3245 31 2 25 3 1 xx xx 解：解：解不等式，得3245xxx 3 解不等式，得 31 2 25 3 1 xx x 5 不等式组的解集为 7 5 3x 其中整数解为1，0，1，2 用心 爱心 专心 说明：说明：不等式组的解集是组成不等式组的每一个不等式解集的公共部分，因此，解一 元一次不等式是解一元一次不等式组的基础，会用数轴表示一元一次不等式的解集是正确 求出一元一次不等式组解集的可靠保证。 例 10. 已知：关于 x 的方程有两个不相等的实根，求 k()()kxkx 22 22110 的取值范围。 分析：分析：这道题往往容易把注意力集中在根的判别式上，因而忽视了“二次项系数不等 于 0”这一方程条件，使解题出现漏洞，本题虽没有明确指出方程的次数，但从“有两个 不相等的实数根”中隐含着方程的次数是 2 这一事实。 解：解：方程有两个不相等的实数根 k kk 2 22 20 21420()() 且 k 3 2 k 2 例 11. 解不等式 3315x 解：解：将原不等式的两边和中间都加上 1，得 236x 将这个不等式的两边和中间都除以 3，得 2 3 2x 所以原不等式解集为 2 3 2x 说明：说明：本题的另一种解法：解原不等式相当于解不等式组 313 315 x x 例 12. 若方程组的解为 x、y，且，则的取值范围是（ 31 33 xyk xy 24kxy ） A. B. 0 1 2 xy01xy C. D. 31xy 11xy 分析：分析：不等式中的未知数 k 隐含在方程组中，因此应从解方程组入手，考虑到要确定 的取值范围，故不能简单地求出 k 值，而需采用整体的方法来解。两方程相减，得xy ，即，由，得222xykkxy21()24k2214()xy ，选 B01xy 例 13. 乘某城市的一种出租汽车起价是 10 元（即行驶路程在 5km 以内都需付 10 元车费） ，达到或超过 5km 后，每增加 1km 加价 1.2 元（不足 1km 部分按 1km 计）。现在某人乘 这种出租汽车从甲地到乙地，支付车费 17.2 元，从甲地到乙地的路程大约是多少 km？ 解：解：设从甲地到乙地的路程大约是 x km，根据题意，得 1610125172. ().x 用心 爱心 专心 解此不等式组，得1011x 答：答：从甲地到乙地的路程大于 10km，小于或等于 11km。 说明：说明：将生活中的实际问题抽象化，建立恰当的数学模型，再根据模型使问题获解， 这是中考着意突出的应用意识考查的热点。此例的设计取材于学生熟悉的生活中的问题， 考查了同学们对不等式知识的掌握和应用程度。 【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟） 一. 填空题。 （1）方程的解是_；方程的解是x xx1x 2 2560 _。 （2）如果，则ab 0 3a_3b；ab_；_0；_（用不等号连接）b2abab （3）填不等号：_0.001；_0；_0x 2 ab 2 x （4）代数式的值是非正数，则 x 的取值范围是_。 2 4 x （5）不等式的正整数解是_。2754xx （6）若 0 是一元二次方程的一个根，则另一个根是axxa110 22 _，_。a （7）若关于 x 的方程有两个相等的实根，则xaxb 2 2 2120 的值是_。ab 20002 （8）某工厂二月份生产钢铁 500 吨，因管理不善，三月份的钢产量减少了 10%，从 四月份加强了管理，产量逐月上升，五月份的产量达到 648 吨，则该厂四、五月份的平均 增长率为_。 （9）已知与是同类项，则_。 2 26 xy mn 5 3121 xy nm mn 2 （10）函数中自变量 x 的取值范围是_。yx43 （11）反比例函数的图象在二、四象限，则 m 应满足的条件y m x 25 _。 （12）不等式组的整数解为_。 360 1 2 20 x x （13）若关于 x 的二次方程有实根，则 a 的取值范围是axxx 22 1 _。 （14）已知关于 x 的方程的解是非负数，则 m 的取值范围是 2 2 1 xm x _。 （15）若关于 x 的不等式组无解，则 a 的取值范围是_。 521 0 x xa （16）一个长方形足球场的长为 x m，宽为 70 m，如果它的周长大于 350 m，面积小 于，则 x 的取值范围是_。这个足球场_（填符合或7560 2 m 不符合）国际足球比赛的要求。（注：用于国际足球比赛的场地长在 100m 到 110m 之间， 宽在 64m 到 75m 之间）。 用心 爱心 专心 二. 选择题。 1. 三角形两边长分别为 4 和 8，第三边是方程的解，则这个三角形的xx 2 8120 周长是（ ） A. 14B. 18C. 14 和 18D. 14 或 18 2. 已知关于 x 的方程有实根，则 m 的取值范围是（ mxmxm 2 2110 ） A. B. C. D. 且m 1m 1m 1m 1m 0 3. 下边给出的是 2005 年 4 月份的日历，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请运用方程 的思想来研究，你发现这三个数的和不可能是（ ） 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 123 45678910 11121314151617 18192021222324 252627282930 A. 69B. 50C. 42D. 57 4. 不等式组的解集为（ ） 235 324 x x A. B. C. D. 空集x 2x 121x 5. 不等式的最大整数解为（ ）5 3 2 1 x A. 11B. 12C. 13D. 14 6. 在下列命题中，正确命题个数为（ ） 若，则；ab 0ab00， 若，则；abc，0acbc 若，则；abab 0 若，则。ab ab A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 三. 解答题。 1. 求不等式的自然数解。x xxx 2 1 3 1 8 6 2. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。 xx x x 432 12 3 1 3. 用适当的方法解方程： （1）xx1312 （2）（配方法）237 2 xx （3）（公式法）x x 816 （4） 2 2 1 2 2 4 222 xxxxx 用心 爱心 专心 4. 用图像求二元一次方