（基础数学专业论文）stein流形上不含边界积分的koppelmanleraynorguet公式及（e）方程解的一致估计.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ：李套序 9 _ o o7 年乡月聒b 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进人学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编人有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打 ) 作者签名：摩会序 日期：7 石7 年箩月肜日 导师签名：卵专咩日期：j 叩年占月夕日 s t e i n 流形上不含边界积分的良方程解的一致估计 1 中文摘要 众所周知，s t e i n 流形是个极其重要的流形，在s t e i n 流形上有很多非常 数的全纯函数c 就是个s t e i n 流形，所以在s t e i n 流形上研究多元复分析 是很自然的积分表示方法是多元复分析的主要方法之一，它的主要优点是象 单复变数的c a u c h y 积分公式一样便于估计在本文中，作者利用h e r m i t i a n 度 量和陈联络1 5 在s t e i n 流形上构造了在不变度量下关于0 ，g ) 微分形式新的积 分核，得到了s t e i n 流形边界不必光滑的强拟凸域上新的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式和毒方程的解，其特点是利用体积积分来代替边界积分，避免 了边界积分的复杂估计最后，我们得到s t e i n 流形上边界不必光滑的强拟凸 域上的参方程解的一致估计 文章分三部分。 第一章介绍了s t e i n 流形上的一些定义和记号以及几个引理 第二章我们构造了不含边界的强拟凸域的新的积分核并由此得到了一个 新的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式和参方程的解其特点是利用体积积 分来代替边界积分，避免了边界积分的复杂估计 最后一章给出了扣方程解的一致估计 关键词：k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式；s t e i n 流形；一致估计； h e r m i t i a n 度量；陈联络 s t e i n 流形上不含边界积分的a 一方程解的一致估计 2 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tas t e i nm a n i f o l di sav e r yi m p o r t a n tm a n i f o l do i l w h i c ht h e r ea r eal o to fn o n c o n s t a n th o l o m o r p h i cf u n c t i o n s 俨i sj u s tas t e i n m a n i f o l d ，8 0i t i sv e r yn a t u r a lt or e s e a r c hi n t oc o m p l e xa n a l y s i si ns e v e r a l v a r i a b l e so ns t e i nm a n i f o l d s t h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o nm e t h o di so n eo f m a i nm e t h o d so fc o m p l e xa n a l y s i si ns e v e r a lv a r i a b l e s ， b e c a u s eo n eo fi t s m a i nv i r t u e si st h a ti t i se a s yt oe s t i m a t el i k et h ec a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a i no n ec o m p l e xv a r i a b l e i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h eh e r m i t i a nm e t r i ca n d c h e r nc o n n e c t i o n 5 a n dc o n s t r u c t i n gn e w i n t e g r a lk e r n e l sw i t hr e s p e c tt o 仞，口) d i f f e r e n t i a lf o r m su n d e rt h ei n v a r i a n tm e t r i c ，w eg i v es o m em o d i f i c a t i o n so f t h i s c l a s s i c a lf o r m u l ar e p l a c i n gt h eb o u n d a r yi n t e g r a l sb yt h ev o l u m ei n t e g r a l s ，a n d o b t a i nan e wk o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e tf o r m u l ao ft y p e ，q ) a n ds o l u t i o n s o f0 - e q u a t i o n sf o ra s t r i c t l yp s e u d o c o n v e xd o m a i nw i t hn o tn e c e s s a r i l ys m o o t h b o u n d a r yo nas t e i nm a n i f o l d f u r t h e r m o r e ，t h ea u t h o rg i v e st h eu n i f o r m e s t i m a t eo ft h es o l u t i o no ft h ea e q u a t i o n t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h r e ec h a p t e r s i nt h ec h a p t e r1w ei n - t r o d u c es o m ep r e l i m i n a r i e s ，i n c l u d i n gs o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n s i nt h e c h a p t e r2w ec o n s t r u c tn e wk e r n e lf o ras t r i c t l yp s e u d o c o n v e xd o m a i nw i t h n o tn e c e s s a r i l ys m o o t hb o u n d a r yo nas t e i nm a n i f o l d ，a n do b t a i nt h en e w k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e tf o r m u l ao ft y p e ，g ) i nt h el a s tc h a p t e rt h ea n - t h o rg i v e st h es o l u t i o no ft h eo - e q u a t i o na n dt h eu n i f o r me s t i m a t e k e y w o r d s ：k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e tf o r m u l a ；s t e i nm a n i f o l d ；u n i - f o r me s t i m a t e ；h e r m i t i a nm e t r i c ；c h e r nc o n n e c t i o n s t e i n 流形上不含边界积分的良方程解的一致估计 3 s t e i n 流形上不含边界积分的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及乱方程解的一致估计 引言 r m r a n g e 和y t s i u 1 1 在1 9 7 3 年得到了c n 中逐块g ( 1 ) 光滑的强 拟凸域上的( p ，q ) 形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其孕方程的解 的一致估计而对于c ：，l 中逐块c 0 ) 光滑的强拟凸多面体，g m h e n k i n 和 e m c h i r l 沮 2 11 9 7 5 年得到其k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其良方程的 解邱春晖和褚仁华【3 】在1 9 9 9 年把这些结论推广到不必光滑边界的强拟凸 多面体上 s t e i n 流形是个重要的流形，在s t e i n 流形上研究复分析与复几何是很 自然的首先，h e n k i n 和l e i t e r e r 4 研究了s t e i n 流形上( o ，口) 型微分形式的 积分表示理论，得到了( 0 ，q ) 型的k o p p e l m a n 公式，k o p p e h n a n - l e r a y 公式 和k o p p e l m a n - l e r 8 l y n o r g u e t 公式，并给出了争方程的解接着d e m a i u y 和 l a u r e n t - t h i e b a u t s 1 研究了s t e i n 上仞，口) 型微分形式的积分表示理论，得到 了0 ，g ) 型的k o p p e l m a n 和k o p p e l m a n - l e r a y 公式以及伊方程的解，它和 ( 0 ，q ) 型微分形式的情形有本质的区别，这时不能象c 忡空间一样采用e u c l i d 度量，因为在s t e i n 流形上e u c l i d 度量不是全纯变换下的不变量为了克服 这个困难，d e m a i l l y 和l a u r e n t - t h i e b a u t i s 利用h e r m i t i a n 度量和c h e m 联 络，给出了不变积分核，这是一个十分重要的思想利用h e r m i t i a n 度量和陈联 络【5 1 ，邱春晖【6 1 得到s t e i n 流形逐块c ( 1 ) 光滑边界的强拟凸多面体上的( p ，q ) 形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其反方程的解汤冬梅用得到解的 一致估计2 0 0 3 年，邱春晖【8 】又得到了s t e i n 流形具有非光滑边界的强拟凸 事国家自然科学基金资助项目( 项目批准号t1 0 5 7 1 1 4 4 ) 和厦门大学新世纪优秀人才计 划 s t e i n 流形上不含边界积分的良方程解的一致估计 4 多面体上的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其压方程的解在本文中，作 者利用h e r m i t i a n 度量和陈联络 5 1 构造了新的不变积分核，并且用体积积分 代替边界积分得到了s t e i n 流形上不含边界积分的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式最后作者利用r a n g e s i u i x i 的方法证明了其压方程的解满足一致估 计 文章分三部分： 第一章介绍了s t e i n 流形上的一些定义和记号以及几个引理 第二章我们构造了不含边界积分的强拟凸域的新的积分核，得到了新的 k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式 最后一章给出了乒方程解及其一致估计 s t e i n 流形上不含边界积分的夙方程解的一致估计 5 第一章s t e i n 流形与基本定理 设m 是个复n 维的s t e i n 流形，我们称开集dc cm 具有逐块c ( 1 ) 光滑的边界，如果存在a d 的邻域u 的有限个开覆盖 玩，趋1 以及c ( 1 ) 函 数p k ：仇_ r ( 1 七n ) 使得以下条件满足t ( i ) dnu = z ，：对1 k n ，或者x 碧u k 或者风( x ) ( i i ) 对l k l n ，1 - 形式纸l 一，d p k , 在n 玩，中每一 点线性无关 u k ，p k n f f i l 称为d 的标架 对每一个 1 ，) 的有序子集，k = k l ，硒) 我们定义 = 名o dn ( nu k ) ：p 鼍c z ) = o ，对k k 七k 选择s k 的定向使得 a 翰= j - - 1 其中k j ：= ( 七l ，岛，歹) ，o d ，a 的定向分别是由d 和鼠的定向诱导 的，s k 的定向关于的分量式是斜对称的 记 = a = ( 知，爻蠡) r + 1 ：o ，= 1 ) j = o r n + 1 中的维单形对 o ，1 ，七) 中的每个有序子集j = j l ，如 定义 a j = 入a ：= 1 ) ， j j 并选择a j 的定向使得 和& 鲥 = dc i 咻 口五锄 厂 1 一 m 脚 = j a s t e i n 流形上不含边界积分的良方程解的一致估计 6 其中五表示去掉丘用这个定向，我们可以得到 o ( s kx _ ，) = 0 s gxa j + ( 一1 ) 1 k i s kxa ， 其中i k i 是指标集k 的长度 我们令n ( p k ) ：= z 玩：p k ( z ) = 0 ( k = 1 ，) 并且设( 触) c c u k ，( k = 1 ，) ( 这里我们不必设d 是非退化的即d p k ( e ) 0 ，e o d ，k = 1 ，) 因此，我们可以用o kc cu k 记n ( p k ) 的邻域不失一般 性设m 是一个更大的s t e i n 流形的相对紧子集 设p 是d 中g ( 2 ) 实函数，对z ，e 西定义 觚) ：= 2 砉髻( 。刊+ 壹裟( 。叫( 缸刊 ( 1 1 ) 显然，戽( 名，( ) 关于z 是全纯的，关于( 是c ( 1 ) 连续的 引理1 1 存在一个关于z 是全纯的，关于( 是c ( 1 ) 连续的函数r ( z ，( ) 及其常数e ，p 0 ，使得 r e f k 触( e ) 一m ( z ) + p d i s t ( z ，( ) 】2 ，z ，e 仉，d i s t ( z ，e ) ( 1 2 ) 证明由t a y l o r 展开 础) 刊沪r e 幺十壹裂( 。叫 刊+ d 陋亿剑2 存在常数岛夕 0 ，使得对d i s t ( z ，( ) g ，有 r e 舰( e ) 一m ( z ) + 3 d i s t ( z ，( ) 】2 选取c ( 1 ) 函数口k p ( e ) ，使得对任意e v k 有 呻嘲沪矬l 0 ， 以及c ( 1 ) 函数机( z ，e ) 和森( z ，( ) ，名仇u 以，e 巩使得下列条件满足 【4 】： ( i ) 奴( 2 ，( ) ，五( z ，( ) 关于z du 以全纯，关于( 是c ( 1 ) 连续的 ( i i ) 当z du 巩，e 以( 1 i s t ( z ，e ) ， 机( z ，( ) 0 ( 1 4 ) 和 机( z ，e ) 0 ( 1 5 ) 当z du 巩，e 以满足m s t ( z ，e ) ， l 饥( 名，( ) l a ( 以( ( ) 一风( z ) + d i s 式( z ，( ) 】2 ) ， i 氟( z ，( ) l 0 ：( 一p k ( e ) 一风( z ) + 【d i s t ( z ，( ) 】2 ) 对于每个z 以， 机( 2 ，名) = 0 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( i i i ) 当e ( 风) ，z du 以 七( z ，( ) = 妒七( z ，( ) ( 1 9 ) ( i v ) 当d i s t ( 2 ，( ) ，机( z ，( ) = r ( z ，( ) 风( 名，e ) ，其中凤是c ( 1 ) 函 数，而且0 岛i 玩l 夙 o 。 设s ( z ，e ) ，妒( 名，( ) ，k 如同【4 】中引理4 2 4 的一样，我们用集合( 3 ：，s ，矿) 来定义( d ，8 ，妒) 的l e r a y - n o r g u e t 截面，其中矿0 是整数，对任意1 歹 n ，s ；是p m 值的c ( 1 ) 映射，e 属于岛的某邻域，z d 使得下列条件满 足l s t e i n 流形上不含边界积分的覆方程解的一致估计 8 ( i ) s ；( z ，( ) t ：( m ) 对任意z d 。( 在岛的某邻域中； ( i i ) 如果e 岛，则( s ；( 名，e ) ，8 ( z ，e ) ) 0 。妒( z ，( ) 0 且函数 妒矿( z ，e ) ( s ( 乞( ) ，s ( z ，( ) ) 关于( z ，( ) 是c ( 1 ) 连续的，( z ，e ) 属于d 岛 d m 的某邻域中 由【4 】中推论4 9 4 ，适当放缩以，我们找到t ( m ) 值c ( 1 ) 映射s ：( z ，e ) 满足 下列条件； ( v ) s ( z ，e ) ( m ) ，z du 以，( 以，k = 1 ， ( v i ) 8 ：( z ，e ) 关于z du 以全纯，k = 1 ， ( v i i ) 妒( z ，e ) 咖( z ，e ) = ( s j ：( z ，e ) ，s ( 名，e ) ) ，z d u 以，( 巩，k = 1 ， ( v i i i ) 咄州) = 2 h k ( z , ( ) 警+ o ( d i s t ( ) ) ( 1 1 0 ) 设( s ：，s ，矿) 是( d ，s ，妒) 的l e r a y - n o r g u e t 截面，设r ( mxm 【0 ，1 】) 是p ( m ) 关于m m ( 0 ，1 】_ m ，( z ，( ，a ) _ ( 的拉回映射 令 以“砘熬+ p 揣， ( 1 1 1 ) 其中8 ( z ，e ) = 0 8 t ( m x m ) ，具有【4 】中否一样的性质，映射口：t ( m x m ) _ t 事( m m ) ，eh ( ，e ) 口，口是t ( m m ) 中的h e r m i t i a n 度量，t ( m m ) 和t ( mxm ) 是t ( m ) 和t ( m ) ，关于映射m m m ，( z ，e ) he 的拉 回 记d ，v ，为t ( m m ) ，于( mxm ) 。f ( m m 【o ，1 】) 上关于 p ，矿，伊的c h e m 联络，其中矿，伊是于( m m ) 。f ( m m 【0 ，i i ) 上p 诱导的h e r m i t i a n 度量设( 勺) 饕l 是t ( m m ) 的全纯平凡标架在 此标架下，度量口可由个c 正定的不依赖于变量z 的h e r m i t i a n 矩阵日 表示 设 ，) 是m 上的一个固定的全纯坐标卡使得对所有的歹，有c c m 记u ，u ，窃是s ，s + ，岔在坐标卡下的全纯坐标表示，则d s 的全纯坐标表示 s t e i n 流形上不含边界积分的乱方程解的一致估计 9 是如+ ( h 一1 0 h ) a t 令v = v + v ”，v ”= 玩，c ，a = + ，其中 a ：嚷，r ( m m a n ，矿) _ c 弄1 ，g ，r ( m m a k ，f ) ； ，：嚷，r ( m m a k ，亨) _n 0 0 q + l ，r ( m m a k ，- i f ) o c 茹，r + 1 ( m m a k ，f ) 则我们有a 矿= - h ( a 。，c ( 百一矿) ，a ”t = ( 玩，c + 呶) ，矿是t 的全纯坐标表 示，t 如( 1 2 ) 引理1 2 5 1 ( i )钆! u ( v 訇aw ( d s ) = ( 一1 ) 掣( ( v ，鼋d s ) ) n ( i i )n ! ( v 耷s ) au 7 ( v ”匐au ( d s ) = ( 一1 ) 掣死v 霉s ) a 霉d s ) a ( ( v ”瓮d s ) ) n ( i i i )( 一1 ) 华n ( v ，耷s ) a ( 瓮d s ) a ( ( v ，售d s ) ) n = ( 一1 ) 掣( 几一1 ) ! ( 一1 ) j 一1 锄aa 【砒l + ( ( 日一1 0 h ) u ) z 】， j=l硒旬 其中 。( v 动= 硫a a 硫， u ( v 匐= z ( - 1 ) 锄八硫， j=l幻巧 w ( d s ) = d s lad s 2 ad s n ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 - 1 4 ) 而且，用矿代换岔或者a 代换v ，t + 代换拿引理仍然成立令 ；i ( z ，( ，入) ：= 弋( - - 万1 ) * - 1 妒p ( z ，( ) ( 矿，。s ) 八( ( 矿，。s ) ) n 一 ( 1 1 5 ) 对于具有逐块c ( 1 ) 光滑的强拟凸域，有 s t e i n 流形上不含边界积分的覆方程解的一致估计 1 0 引理1 3 【6 1( k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式) 设dc cm 是具有逐块 光滑边界的强拟凸域，l ，2 n a ，1 g 死若c ( t ( m m ) ) = d 2 = 0 ，对 西上的连续有界p ，口) 形式，而且酊也在万上连续有界，我们有 ( - 1 ) m 化) = 玩【k e p ( n ) ( _ 1 ) 陋i 厶呶佩) 庙( “。) l。k “如矗 ，1 + ，( ( ) aq ( z ，e ，入) i ，d oj i-；、(-1)陋l厶ocf(；k) 承乙a 柚e p l ( ) v 口k 。o 耳 + r m 舭配，) ，z ed jdxao ( 1 1 6 ) j s t e i n 流形上不含边界积分的参方程解的一致估计 1 1 第二章构造新核 记p ( ) 为所有有序集k = ( 七i ，k t ) 构成的集合，满足1 七1 ，硒 ，又记p ，( ) 为所有k = ( ，岛) p ( ) 的子集，满足k l 勉 对k = ( 后l ，岛) p ( ) ，如果七l ，缸两两不相同，则记集合 蜡：= ( ：, o k 。( ( ) = = 他( ( ) ， 否则，蜡：= o 记定义在唔上的函数p k 满足 触( e ) = 风( ( ) ( ( 蜡，= 1 ，z ) 对k p ( ) ，定义 r k ：= ( e 喏：办( ( ) 触( e ) o ，歹= 1 ， 选择r k 的方向，使得下面式子成立 一d = f lu ur ， o f k = s kuf k lu uf u n 在这里，如果k p ( ) ，1 歹，歹隹k 则f k j 的定向与- - o f k 的定向 一致 引理2 1 【9 】 ( 一1 ) i k i o ( f k a o k ) = 一d 。+ ( 一1 ) i k l 。k 一r k k ( 2 1 ) k e p 7 ( ) k e p ( n ) 选取瓢卵( 以) ，k = 1 ，使得在n ( p k ) 的某邻域氏中虮( e ) = 1 由( 1 4 ) ( 1 5 ) ，( 1 7 ) 推出，对每一z d ，存在n ( p k ) 的邻域以使得对 s t e i n 流形上不含边界积分的a 一方程解的一致估计 1 2 e ( dno k ) uk 满足机z ，e ) 0 因为s u p p x 七c c 巩，所以对每一固定的 z d ，映射瓢( ( ) s ；( 名，( ) 机( z ，( ) 关于( du v k 是c ( 1 ) 的，令 嗽：乩端+ p 觜， 亿2 ， 则对2 西，e 在( 面u k ) z ) 的某邻域中，映射z ，( ) 扩( z ，e ，a ) 关于e 有 1 阶连续可导，关于z 有2 阶连续可导( 4 1 中引理4 2 4 ( v ) ) 因此，微分形式 孬p ，耷s ) = 铄矿( z ，( ) p ，d s ) ( ( 吁，d s ) ) 舻1 ， ( 2 3 ) 配瓮s ) = 币( - i ) 矿 - 1 帅，洲吁，d s ) ) n ( 2 4 ) 关于z 一d 是c ( 1 ) 的，关于e 一duv k z ) 连续 引理2 2 如果c ( 于( mxm ) ) = d 2 = 0 ， d _ ( 铲，武s ) = ( 玩，c + d a ) 孬( 矛， s ) = 负p ，耷s ) ( 2 5 ) 证明：由弓l 理1 2 ( i i ) p ，d s ) a ( ( 吁，d s ) ) 一l = ( 一1 ) 掣( n 1 ) ! ( 9 ) aw ( d s ) ( 2 6 ) 由引理1 2 ( i ) n ! u ，( 9 ) u ( d 8 ) = ( 一1 ) 掣( ( 7 9 ，d s ) ) 再 ( 2 7 ) 所以对c ( t ( m m ) ) = d 2 = 0 ， ( k + 埘( 酝s ) = 筹( _ 1 ) 掣( n 1 ) ! 瓯c + d a ) p ( 中) aw ( d s ) 1 ：1 ( - 瓦i ：) 石- - - i ( 一1 ) 掣佗! u ( ，9 ) aw ( d s ) = = 一一i iz7 11 【d lz 、lii 上，si ( 2 7 r ) n 、叫 _ 、一叫 、_ 1 ：镊善( ( 吁，d s ) 广 = 一，、1 s ，i ( 2 7 r ) n 、一叫7 s t e i n 流形上不含边界积分的乱方程解的一致估计 1 3 = f i ( p ，鼋s ) ( 2 8 ) 引理2 3 丽( 矛，氯s ) i 。= 0 ( 耷s ) = 5 ( z ，( ，入) l 。， 其中孬o ( 鼋s ) = ( 一1 ) 竹一1 ( 2 7 r ) n 妒p ( 名，( ) ( 耷d s ) ( ( v 飞d s ) ) n - i 1 1 8 1 1 扩是b o c h n e r o m a r t i n e l l i 核 引理2 4 设，是d 上的( p ，q ) 形式，c ( t ( m m ) ) = d 2 = 0 ，则 咄，a 陟( ( ) a f t ( 矛，耷s ) 】茹反，( ( ) a f l ( p ，反s ) + ( 一1 ) 升叮，k ) a 孬( ，耷5 ) 一玩【，k ) a 孬( 尹，瓦s ) 1 ( 2 9 ) 证明：因为 d c ，入【，( ( ) a 豆( 哥， s ) 】= ( 玩，c + 呶) 【，( ( ) 人豆( ，耷s ) 】一o z i f ( c ) 孬( 铲，鼋s ) 】 由引理2 2 立刻得到结论 口 引理2 5 如果e o d 则 孬( 哥，耷3 ) = 5 ( z ，( ，a ) ( 2 1 0 ) 证明：若( o d ，x = 1 由引理2 2 推出 等茅= 筹= 耥 仁1 1 )一：= 一= - = = 一= ：百 i 二上上j ( z ，e )( z ，e ) s 【z ，( ) ，s 【z ， 0 ，d i s t ( z ，( ) 0 ，我们有 毪既( ：) ( 2 ) c l i s l l ，z dn o ( 3 1 3 ) ( 3 ) 对任意z da o ，若能证i k k n 毋( 名) o l l s l l ，则引理得到证明方便起见， 我们选取k = ( 1 ，z ) 由于在unr k 上觚( e ) = 1 ，我们有 唆n 眦心，= l i r 么瓜， a e t 鬻，鼍，老， r k n 反( ：) 一”1 c 警一警卜一，c 警一警， ! 鲨= 兰鲨壁鲨= 兰鲨m 屯 l i 展开行列式，d e 亡函表示为如下两类行列式的线性和 ( i ) d e t 鬻， ，羡，警，警 苎鲨= 兰鲨圣鲨= 兰鲨 ， a e t 鬻，分，差，警，警， 警圣鲨= 兰鲨之鲨= 兰鲨 ( 3 1 4 ) 下面我们只对( i ) 式作估计，( i i ) 式的估计可以用类似的方法得到简单 s t e i n 流形上不含边界积分的参方程解的一致估计 起见，记q 为( i ) 式展开式中形式八必i 八d _ r 的系数易知 8 + i口一 i = 1r = l q2 仃抵k n 咤，砝k i - 1 静，鬻，加叫 u 飞两瓦 d i s t ( 历z f _ 一 n 也n 九 ，( ) 】z 叶目 这里五= 【0 ，0 ，1 ，0 ，0 】r ，第i 项是单位 在这里我们只考虑e 展( z ) ，如第一章介绍的坐标表示，由( 1 1 0 ) 式可 以得到 峨= 2 h k ( e ，z ) v p k ( ( ) + 饥( ( ，z ) ，( 3 1 5 ) 其中v p k ( c ) = 【籍，镪】r ，= o ( i c z 1 ) ，又由讯( e ，名) 的一致收敛性 及其i ( e ，z ) i a d i s t ( e ，名) 】2 ，我们有 l l 川 由 ( h l ，h + t ) r - - - -