（基础数学专业论文）fock空间循环向量的完全刻划.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文给出了定义在礼维复空间c ”( 1 n 。o ) 上的f o c k 空i 司l 2 ( c “) 中循 环向量的一个完全刻划，证明了f o c k 空间瑶( ) 中的函数，( 2 ) 是循环向量 当且仅当，( z ) 无零点。同时进一步分情况探讨了f o c k 型空间醒：( c ) 上的循 环向量，并给出了在理：( c ) 上无零点函数但非循环的例子。 关键词：f o c k 空间，f o c k 型空间，循环向量，整函数 壅旦i 篁堂亟主堂垡逖 i i a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t hc y c l i cv e c t o r sf o rt h ef o c ks p a c eo v e rt h en d i m e n s i o n a lc o m p l e xn - s p a c e ( 1 n ) a n dg i v e sac o m p l e t ec h a r - a c t e r i z a t i o no ft h ec y c l i cv e c t o r s i ti ss h o w nt h a taf u n c t i o n ( z ) i sc y c l i c i nt h ef o c ks p a c ei fa n do n l yi f ( z ) i san o n v a n i s h i n gf u n c t i o ni n 工：( ) m e a n w h i l e ，w ed i s c u s st h ec y c l i cv e c t o r si nt h ef o c k - t y p es p a c e s 理：( c ) a n dg i v ea ne x a m p l eo f | w h i c hi sa n o n v a n i s h i n gf u n c t i o nb u tn o tc y c l i ci n 雠：( c ) k e y w o r d s ：t h ef o c ks p a c e ，t h ef o c k - t y p es p a c e s ，c y c l i cv e c t o r s ，e n - t i r ef u n c t i o n 第一章绪论及预备知识 多年以来，泛函分析学者对h a r d y 空间并d b e r g m a n 空间进行了广泛研 究，对于这些空间的结构以及其上算子的结构与代数性质有了相对完整的 刻划。近来，定义于复平面上的f o c k 空间受到了很大的关注。f o c k 空间 上算子理论与w e y l 量子化的关系，使得对f o c k 空间的研究变得很重要。 对于f 0 c k 空间的研究可以从多方面进行：复合算子，不变子空间，拟不 变子空间，h a n k e l 算子，再生核等等。与b e r g m a n 空间的一些相似性使 得f o c k 空间保持 b e r g m a n 空间的很多性质，但是由于其潜在区域是整 个n 一维复空间，使f o c k 空间存在一些新的特性。本文在第二章中，研 究了在n 维复空间c n 上的典型f 0 c k 空间中的循环向量，给出了该循环向 量的一个完整刻划，并具体计算了二维复空间c 2 中几种情形。在第三章 中，对f o c k 型空间的循环向量进行了一些探讨。通过分情况讨论，给出 了f o c k 型空间中循环向量的刻划。在第四章中给出了f o c k 型空间中，无零 点但不循环的例子。 下面介绍一些相关的预备知识：令c 表示复平面，d = z c ：i z i 1 ) 表示c 上的单位开圆盘。h o l ( c “) 表示礼维复空间 上的整函数环，x 表 示h o l ( c “) 中的一个b a n a c h 空间。 定义1 1 我们称x 为( ，i 再生b a n a c h 空间，如果x 满足： f a ) 多项式环c 在x 中稠密： p j 对于任意a c “，赋值线性泛函毋( ，) = ，( a ) 在x 上连续。 定义1 _ 2 f d c 腔问l ：( ) ，或者称为s 印o f b a r g m a n n 空f n 7 ，是由 中 1 复旦大学硕士学位论文 ，两足条件 1 l 川。= 1 f ( z ) 1 2 舡( z ) o 。， j c “ 的整函数所构成的h i l b e r t 空问，其中咖( z ) = ( 2 ) ”e x p 一牛d r ( z ) 是咿上 t 抢g a u s s i a n 测度( 曲是通常构l e b e s g u e 测度) 。 在三：( c “) 上定义内积 r ( f ，g ) = ，( z ) g ( z ) 咖z ) j c n 这里，g 是l ：( c “) 中元素。根据再生空间的定义容易验证鹾( c n ) 是一个再 生函数空间，其再生核为 虬( z ) = e 掣，这里( 。，a ) = 元z i i = 1 容易知道，f o c k 空_ 间l ：( ) 中不存在多项式乘法下的非平凡不变子 空间，而鹾( c “) 除了常函数外没有乘子，相关证明参见【1 ，p r o p o s i t i o n 5 0 1 】，【2 。 本文将主要研究f o c k 空_ 间l ：( c “) 中的循环向量。这里的循环向量指的 是l 2 ( c n ) 中满足条件 f ccl ：( c n ) a n d 弦= l ：( 秽) ， 的函数，其中c = c z 1 ，】表示有n 个变量的多项式环。 众所周知，对于h a r d y 空间日2 ) 和b e r g m a n 空间瑶( d ) 上的循环向量 已有如下两个定理。 定理1 1 7 1 对于，( z ) h 2 ( d ) ，c f 一 p ( z ) f ( z ) l p c ) 在日2 ( d ) 中稠 密当且仅当，( z ) 是外函数，也就是说，日2 ( d ) 中一含函数是循环向量当且 仅当它是h 2 ( d ) 的外函数。 证明? 记m = 万h 2 。m 在移位算子作用下是不变的。设存在内函 数g ( 。) 使得m = g h 2 。因为f m ，所以有f = g h ，h h 2 。如果，是一 个外函数，那么g 是一个常数，故m = h 2 。 令f = f ，f 是一个内函数， 是一个外函数。如果f 不是常数，那 么f 日2 是一个闭的包含c ，的真不变子空间。故c ，在h 2 中不稠密。 口 2 复旦丈差亟堂焦垒皇 上述证明来自【7 ，c o r o l l a r y7 3 。 这一性质在b e r g m a n 空问可得如下推广。对，9 埋( o p 。) 如果 对任意的多项式g ，都成立0 9 9 1 k ( d ) 1 1 ，q l k ( d ) ，则称，在职( d ) 中大于9 ， 记为9 - - f 。f 醒( d ) ，若对于任意g 醒( d ) 且9 - ki ，有l g ( o ) l i ( o ) l ，则 称，是理( d ) 一外的。 定理1 2 t s l 在b e r g m a n _ 窄_ l b - 醒( d ) ( o p 0 0 ) 中，函数，循环当且 仅当，是醒) 一外的。 这一定理首先由h e d e n m a l m 所猜测，而f h a a l e m a n ，s r i c h t e r ， c s u n d b e r g 在 1 4 】中所证明，证明可参见 8 ，t h e o r e m7 2 】a 在本章最后，我们介绍一下次调和函数的类与它的阶数的关系。首先 给出类的定义。 定义1 3 令m ( u ，r ) = s u pu ( r ) ，我们称c 中的调和函j 致乱： 它是。_ 类的，如果它满足 l j m s u p 掣业 。 r o 。l o g r 它有有限乡勖1 ，如果p 是满足如下条件且大于或等于珀船中的最 小整数 l i m s u p l o g _ k m ( u 一, r ) r 一l o g r 它是无限类的，如果不存在这样的整数。 如果p = 1 ，我们也称u 是有限阶的。在这种情况下，定义让的阶数p 为 胪l i m s u p 掣，p 岫) p 。，。f p t 【“。j 。 如果，是整函数，那么乱= l o gi ，l 是调和函数，因而整函数，的阶数p 定义为 例i 霉警，脚) ：= 嚣j 化) i 3 复旦大学硕士学位论文 参见 5 ，p r o p o s i t i o n2 1 4 】。由类的定义显而易见，e “是一个有有限类p = 1 的整函数。 6 , c o r o l l a r y4 5 1 1 有这样一个结论： 如果，是没有零点的整函数，其有限阶数最大为p ，那么l o g ，是一个次 数d e g p 的多项式。 4 第二章钆维复空间上f o c k 空间的循环向量 在第一章中，我们介绍了h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上循环向量的刻 划。最近在9 1 中，k o uh e ii z u c h i 给出了复平面c 上f o c k 空间循环向量的完 整刻划。 引理2 1 9 1h h o l ( c ) ，下列条件是等价的： n j e “l ：( c ) ； 矽 = q z 2 + 卢z + 1 ，其中口，3 ，7 c 且i q l j 1 ； 8 ) e “在l ：( c ) 中循环。 在本章中，我们将把这个结果拓展到高维的情况。遵循i c u z h i 的思 路，我们得到了类似的结果。 先引入一些记号： 令z + = 正整数集) u o ) ，z 军 = ( q 1 ，q 。) i n t z + ) 。则c = s p a n z 。i z z + ) ，其中z 。= z ；1 茗2 篙“，n = ( q 1 ，q 2 ，o 。) ，i 1 = q 1 + + a 。用s 表示c ”上 单位球面，即s = z c “j j 磊j 2 = 1 ) ，其中z = ( z l ，锄) 。 众所周知，多项式环在l ：( c ) 中稠密。在定理之前，我们给出这样一 个引理。 引理2 2 多项式环c 石y ：l 2 ( c “) 中稠密。 5 复旦大学硕士学位论文 证明：若存在h ( z ) = a a z 。l ：( c “) ，使得 ( z ) j _ c ，则对v p n z 呈 z ：，有 = 0 ，即有 二讹) e 学筹= c ，厶批) 磊一些d a = g “d r z 三蚶川舟俐甜e 2d a = c z 。r 2 n l e 一譬d r ! 。一r 2 归 e j 2 d ，( e ) g c 蜘( z ”r 2 n l + 2 口e 一譬d r ) ( ( j e 4 j 2 d a ( e ) ) 0 其中d a ( g ) = 掣为c “中正则化的l e b e s g u e 测度，g = 箐，故 g = = 蒜= 熹 由最后一个等式知o ”= 0 ，v 口z ! 。 证明过程中第二：个等式用到极坐标公式，参见1 1 3 ，1 4 3 1 ，第三令等式 用到a 时，p 与4 正交。口 下面是本章的主要结果： 定理2 3 令hz ) 是c “上的整函数稻么下列条件是等价的： 俐e h ( 。瑶( p ) ， f 。) e h ( z 3 是循环的 证明j 首先证明( 1 ) ： ( 2 ) o 。z 叫sc l z l 2 f = 2 6 窿亭件条凝 得便 吼 z 鳓川 私 _ =o ：向 啦j j 盔 ， 三4 。k + 0麓 夥 复旦大学硕士学位论交 令 ( z ) = a a 是使得e “( 。) l ：( c ”) 的函数 的齐次展开。 对于c n 上单位球面s 中的任意点e ，考虑切片函数k 如下： k ( a ) = h ( a ( ) = ( 。p ) a “ m = o1 0 l = ” 在【1 ，p r o p o s i t i o n5 2 1 中，陈晓漫和郭坤宇已经证明：对于任意的， 三：( c “) 有 i 怒( ，砭) 。l 爨赢疋) 2i 糨南北) = o ， 其中 姒炉槲= 搿一e 学毕 是正规化的再生核。因此 i 概e m 嘣炉牝l 恩筒= im ( e h , i x ( - i i 一o 一o o一o 。1 l ” 也就是说，对每个模充分大的复数a 有r e k ( a ) 2 ，a c t e a 是一个齐次多项式，我们得到对任意z c “有a a z 。= 0 ，故a a = 0 。 茵而h ( z ) 是一个次数d e 夕( h ) 2 的多项式。我们把它记为 ( z ) = 。+ n t 麓+ a c ，z a i = 1l a i = 2 而且我们已经证明对于任意( s 有 i 。 a i 五1 h = 2 1 因为s 是紧的，而且从s 到c 的映射一i o a p i 是连续的， 1 a 1 = 2 所以 1 搿匹n ，l 五1 令c = 毋野l n 。z 。l ，我们得到结论 o 6 i a i = 2 i 。扩l = 阡i 口a ( 南) “i c i z l 2 ( 2 1 ) f o c k 空间的定义知( 2 ) 辛( 1 ) 显然。 由f o c k 空间循环向量的定义知( 3 ) 号( 1 ) 也显然。 接下来我们证明( 2 ) 号( 3 ) 。 我们先证明e “( 。) cc 工：( c “) 。 令数e 满足条件 0 n ， t = 1 i p ( z ) e “( 。1 2 = i p ( z ) 1 2 e 2 r 。“( 2 ) e 2 d 2 1 2 e 2 ( c 侧：1 2 ：2 ( 2 叶c ) 汗 也即 i p ( z ) e ( ：阿毕e 一州。1 2 这里 j = j 一2 ( 2 m ) 由( 2 2 ) ，我们知道6 0 。因此 0 ( z ) e “( “，p ( z ) e “( 。) ) = 小咖吣个e 埠器 = l 似咖吣个e 埠豁+ k 坂咖他个e 肆鬻 l 烈咖吣平e 肆湍+ ke 卅印豁 因为右边的积分项是有限的，所以驴( 2 ) cc 髓( c n ) 。 下面需要证明厕= 鹾( c n ) 。由引理2 1 ，多项式环c 在鹾( c “) 中稠 密，因此我们仅需要证明cc e h ( z ) c 。 令 ( z ) = u ( z ) + u ( z ) ，其中 u ( z ) = n 。矿 设 ”( z ) = o 。麓+ o o 掣 。脚 = p 塑趟塑塑! 垡麴 1 0 选定个正整数满足条件 ( 1 + 丙1 ) c ； ( 2 3 ) 则 b l 薹掣 8 x p ( 寿( ) i + ) i ) ) i 易证对于任意非负整数凸 由 z a p l ( z ) e x p ( u ( z ) + ”( z ) ) f 矿e x p ( ( 1 + 专) ( 心) + 心 垆i ( 1e x p ( ( 1 + 专) ( 札( 句+ t ， 2 e x p ( ( 1 十嘉) ( ) j + i 我们可以得到 z 。e x p ( 一面1 ( u ( z ) + ”( 。) ) ) e x p ( 让( 。) + 。( 。) ) ) ) ) f + f 严唧( ( 1 一专) ( “( z ) + t ，( z ) ) ) j ( 力) ) e x p ( ( 1 一专心z ) + ( z ) ) ) j ) ”( 列) ) 让( z ) i = i 吣叫c i z l 。 j aj = 2 j 。锄( 2 ) e x p ( ( z ) + ”( z ) ) 一严e x p ( 丙1 ( “( z ) + u ( z ) ) ) e x p ( “( 。) + 。( 。) ) 弦擘 1 2 1 2 1 8 旺p ( ( 1 + 专) ( ) 【+ ) f ) ) | 2 。一擘 = 4 f 。f 2 0 e x p ( 2 ( 1 + 丙1 ) ( ) i ) 一譬) 4 垆i e x p ( ( 2 ( 1 + 1 ) c 一；) l z l 2 + 2 ( 1 + 专) ) 4 垆e x p ( ( 2 ( 1 + 专) c 一扣2 + 2 ( 1 + 专) ( 妻k i i 磊i 仆枷) 我们选定的正整数满足不等式( 2 3 ) ，易知上面这个函数关于d 。是可积 p 2 ( z ) 兰骂e 一斋( u ( z ) + ”( = ) ) ，z c n 复旦大学硕! 学位监塞 根据l e b e s g u e i 窿制收敛定理知 垆p出)矿(z)+v(z)-zae-舭肿)e吣舯降一毕粼骂oc- j， 从而我们推出 矿e ( 1 一斋) ( u ( 卅”( z ) 再巧干雨乙 且 e ( i - 斋) ( u ( 卅”( 砒cc 面而：研 再令 q 1 = e o - 斋) ( “( 卅”( 2 ”， 同理可得，对于任意q z 里， 小嘞忙) ( 1 - - z a e - 瓤吣舯) 9 1 降肆豁骂。， 因此有 e ( 1 一斋) ( u ( = ) + ”( z ) ) cc - - q i c 利用类推的方法，推出包含关系 cce 嘉( “( z ) + ”( ：) ) cc cq 1 c - - c 蕊而硒聒 综上所述，我们得到结论苫可；j 乙= 三：( c “) 。 由定理2 3 立即得出下面这个推论。 推论2 4 一个函数，在磋( ) 中是循环的，当且仅当它无零点a 口 本章末，我们计算n = 2 时的一些具体的例子。设2 = ( z ，z 2 ) ， h = “( z ) + v ( z ) ，其中札( z ) = q z + 卢z 1 砘+ 7 碹， ( z ) = a o + a l z l + a 2 2 2 ， 系数均为复数。因为循环向量的等价条件只对h ( z ) 的最高次项有限制，所 以我们只需计算u ( z ) 的各项系数。 情况一：卢= 0 ，u ( z ) = a z + 7 z ； 1 1 复旦大学硕士学位i 垒塞 由定理2 3 可知，e h 在瑗( c 2 ) 中循环当且仅当札( z ) 满足条件l u ( z ) l c i z l 2 ，其中c 2 器驽i “( z ) 1 i 1a 令z = ( 1 ，o ) ，那么 l 口i 嚣) i i 。 又令z = ( 0 ，1 ) ，则 1 i y l 嚣i u ( 2 ) l i 故易知e “在工：( c 2 ) 中循环当且仅当川 且 。 情况二：o = = 0 ，“( z ) = ? z l z 2 由 c 2 1 搿i u ( z ) i 2 h 阿m k a x 降。i ；3 础2 i i 。 取( 钆z z ) = ( 孚，雩) 知 扣 五1 辛吲 互1 反之，蚓 则 c = 吲z e su i 翔扣五1 故e “在l ：( c 2 ) 中循环当且仅当吲 。 情况三：7 = q ，u ( z ) = o 看4 - 3 2 1 2 24 - q 霹 首先对z = ( z l ，砘) 作酉变换 ( 护1 i 妻) ( ；) 那么z = ( ，( ) 且 i z l 2 = i z l l 24 - i z 2 1 2 = 盱4 - 坪 代入“( z ) 有： u ( z ) = a 丽1 + 砺1e ) 2 + p ( 去+ 砺1 似砺1 一砺1 ( ) + 1 ( 击一击) 2 = ( o z4 - 鲁) 2 + ( 。一鲁) ( 2 根据情况一的分析可知，e “在l 2 ( c 2 ) 中循环当且仅当i a4 - g i j 且 i 。一g i ；。 1 2 第三章f o c k 型空间上的循环向量 在第二章中我们主要刻划t f o c k 空间鹾( ) 上的循环向量，即 f 在l 2 ( c 1 中循环当且仅当它无零点。在这章中，我们将讨论f o c k 型 空间的情形。 定义3 1 对于0 0 ，礼n ，满足条件 1 f ( z ) l p e ”1 2 1 3 d v ( z ) 的整函数所构成的空间，我们称之为f o c k 型空间，简记为职皇( c ”) 。 醒：( c “) 是一个完备的半赋范空间，其半范数定义为 蹦= 两1i 上。i m 胪e 1 钆( m ； 如果p 1 ，那么职：( c “) 是一个b a n a c h 空间。p = 2 时，工：蛊( c “) 是一 个h i l b e r t 空间，其上内积和再生核分别定义为 ( 加) = 丽1i 上。北) 丽e 刊卵叫巩加叫烈 珊旧薹q 掣嵩 磙4 ( z ) 为正规化的再生核，参见【3 】。 通过对复平面c 上f o c k 型空间的分类探讨，在本章中我们得到一些结 果。在给出定理之前，我们先介绍一个引理。 引理3 1 1 0 l 多项式环c 在醒：( c ) 中稠密。 1 3 复旦大学硕士学位论文 证明详见【1 0 】 在证明下面的定理之前，我们注意到下面这个基本事实 对于正实数a ，8 ，j ，有 ej n o oe - a v ( 1 - c 。s s o ) r 啪 o o 这可以通过简单的计算得到。事实上， z 2 ”正杀d o o o ”五研1 扒 同时注意到1 一c o s 0 2 ( 日一o ) ，得第二个等价关系式a 其次， z 2 ”z o o e - a r ( 1 - c 。s s o ) 一d r d o 。oe * f o 打，f 。o 。e - c i r ( 1 - c o s o ) 一a r 硼 0 ，h ( z ) = a s + 1 2 5 “+ v ( z ) 。 i ，( z ) j 2 e 1 i 。1 5 d r ( z ) = = l e 8 a + ，2 5 + 1 + ”( 。1 2 e 一。1 2 d r ( z ) = e 2 m ( a $ + l z s + l + l l ( 。) ) e 一。 山( z ) = o o 。沙n 1 1 c o s ( ( s + 1 ) 口) e 2 鼬 ( ：) e 。r d r 硼 5 与五，。的定义矛盾。因此h ( z ) = 口。扩。 n = 0 引用i z u c h i 1 0 】中的证明，若p 2 ，因为 去 2 e - , ：, l z l d u 去胪叩e 刮卵州z ) 幡“嵫。 5 所以对于任意驴五，。，有h ( z ) = a n z “。 n = 0 1 5 复旦大学硕士堂垡鲨塞 下面我们将证明 ( z ) 最高次项系数的模小于詈。 不妨假设o 。= ：。下面我们分情况讨论。 当s = 1 时，则h ( z ) = a l z + a o ，此时n 1 = 暑 j fj l = l e o , z + o o 陆1 k i d u ( z ) ：矿r ”l e a l z 艮1 i 。 d u ( z ) = 班z 2 ”j ( 。e 一( 1 _ 删r a r 硼 当s = 2 时， ( z ) = a 2 。2 + a t z + 0 0 ，l l a m a 2 = 詈根据假设 列昂： = l e 。j 2 + 。，：+ d 。p e 一。2 d ( z ) j c = 酽上| e 2 冉”艮刊引2 d 心) = 矿z 2 ”z 。e c o s 2 州h c o s m l s i r e 一略洲一 = 酽z 2 ”。e 2 ”c 0 8 2 ( 6 l 删+ c 1 8 i n 咿胁硼 其中6 1 ，。1 r 。 因为e - n r 2 ( 1 一c o s 2 口) 有限，我们可得到6 1 = 0 。事实上，因为对充分 小6 0 ( i ) 若b l 0 ，有 忖矿j ( 6z ”e 一2 ( 1 - 删竿r 一， 此时，e h ( z ) 隹五，2 a f i i ) 若b l 0 ，在局部小区间 o ，川上有c 1s i n 8 0 ，使得 忖l l 耳，：= 矿& m ( z 6 + z “) ：o o e - a r 2 ( 1 - c 。s 2 0 ) e c l r s i n o r 出= 。， 1 6 复旦大学硕士学位论文 从向召e j ( z ) 譬乒p ，2 。 ( i i ) 若c l 0 ，在局部小区间 2 7 r 一6 ，2 7 r 上有c 1s i n 0 0 ，使得 r 2 ”- 6 p 2 , o o 砀= e p r “。( + ) e 一舻( 1 。“卵) e c l r s i n 0 r d r d o = 。 j 0j2 7 r - - 6j 0 从而有e “z ) 隹二，2 。 所以c 1 = 0 。故b 1 ，c l 均为零。因此 ，z r 。o 确= e r 眦。e - - a t 2 ( 1 。“2 8 ) r d r d o j oj o 当s = 3 和s = 4 时，可以用相同的方法得到： r z r 。 i i ：l l 耳广e 加”e - - a t 3 ( 1 1 0 8 甜) r d r d o j 0 j 0 * 2 1 r ， l f l l 确= e p r e ”e - c 1 r 4 ( 1 一c 0 8 蚰) r d r d o j 0 j o 综上所述，e hz ) 五，。则只可能有 i l ，i i 昂，。= e ，r p n 。0 2 ”z 。e 一。m 3 c 1 一c ( s r d r d 目 。 但是，令妒( 日) = i c o s ( s 0 ) ，由之前提到的基本事实得 ，。o咎，2丌上硼。兮一4ilfl。 1 1 ，。 。o 咎零面硼 o ) ，同样可以得到e “隹五，。得证。 ( 2 ) 辛( 1 ) 由f o c k 型空间的定义容易验证。 ( 3 ) 辛( 1 ) 由函数循环的定义即得。 ( 2 ) 辛( 3 ) 借鉴i z u c h i 【1 0 】的证明，我们先证明e “( 。) cc 五 令数满足条件 o n ， i = o i q ( z ) e “( 。r = i q ( z ) i e 加“( 。) e p 6 e p ( i a s m ) 坩 ：e p ( 2 e + t o s i ) 1 z r 也即 i q ( z ) e “扣) l y e 一。 e - s i 。r 这里 5 = a p ( 2 e - 4 - j a s ) m ( 3 2 ) ，我们知道5 0 。因此 j g ( z ) e 6 ( 。j 9 e 一。l 。1 5 d u ( z ) j c = l q ( z ) e “( 。i e 一。 山( z ) + j i z i n l q ( z ) e “【。降一。 d u ( z ) - 4 - j l z l n e 一刊5 d u ( z 1 因为右边的积分项是有限的，所以e 6 ( 。) cc 五，8 0 下面需要证明e ( 。) c = 磊舻 由引理3 1 多项式环c 在职：( c ) 中稠密，我们只需证明cci 记。用证 明定理2 3 完全相同的办法可以得到 cc 万1 夏s 两mc c 万雨葛葡c 磊磊磊习 因此，我们得到结论苫雨河= 磊 推论3 3 f 理：0 ( c ) ( s n j l s 5 m 1 ，圮：( c ) 中存在不循环的函数，具体的例子 我们将在下一章列举。因此用类似定理7 2 中( 2 ) 甘( 3 ) 的证明可以得到下 面这个定理。 1 8 复里盔堂亟圭堂垡丝塞 1 9 定理3 4 上暑：( c ) ( s n ) 中的函数e “，h 日。f ( c ) 在理：( c ) 中循环当 且仅当 ( z ) = a n 扩，其中o 。c 且k i 等。 n = o 由于当s 隹时 s 】 s ，其中 s 】是小于s 的最大整数。容易验证： 定理3 5 h h o l ( c ) 。如果s 隹n ，下列条件是等价的。 r ，e “埋：( c ) ； 例 ( z ) = a n 护。 倒e “在理：( c ) 中循环。 上面定理给出的是复平面c 上f o c k 型空间的结论，在理：( c n ) 上可通 过极坐标变换得到相似的结果。同时通过酉变换，我们可以得到 定理3 6 e h ( z ) 在f d c 刎空间醒：( c “) 中循环当且仅当e h u ( z ) 在 l e , 3 ( 、c n ) 中循环，其中u 为酉算子。 第四章几个相关反例 众所周知，日( d ) 和醒( d ) ( 0 p o 。) 中的无零点函数不定在对应 的空间中循环。在h p ( d ) ( 0 p ) 中可逆函数一定是循环的，但循环的 函数不一定是可逆的( d u r e n 1 1 】) 。 显然( 1 一z ) 2 是日，) 的外函数，换句话说，( 1 一z ) 2 在上p ( d ) 中是循环 的。但是而b 隹舻( d ) ，即( 1 一z ) 2 在伊( d ) 中不可逆。 h a a l m nh e d e n m a l l 等在b e r g m a 空间l i o 。( c ) 中得到了类似日9 ( d ) 的 结论，函数在坛。( d ) 中可逆，则一定在l ：o o ( d ) 中循环( 8 ) 。而这个结论 在b e r g m a n 空间留( d ) ( o p 。) 中也不一定成立，即醒( d ) 中存在不循 环的可逆函数。 要构造b e r g m a n 空间圮( d ) ( o p ) 中可逆但不循环的函数需要巧 妙地结合增长和衰退函数。在t h e o r yo fb e r g m a ns p a c e s ) ) 一书的第八章 中，h h e d e n m a l m ，b k o r e n b l u m ，k z h u 给出了构造d 上有特殊性质的 实值调和函数h 的技巧细节，然后就可以通过公式 ，( z ) = e x p ( h ( z ) + i 元( z ) ) ，z d 得到醒( d ) ( o p o 。) 的不循环向量，其中元表示 的调和共轭。相应的 反例参见【8 。 这种情况在f o c k 型空间也是存在的。在第三章中，我们已经指出 当s 且8 5 时，醒皇中存在无零点但不循环的函数。下面我们就举一 个具体的例子。 2 0 复旦大学硕士学位论文 环。 例4 1 令h = 詈z 5 ，函数，= e 6 工。2 矗5 ( c ) ，但是，在l 。2 , 5 ( c ) 中不循 特殊地，n = 1 。计算知 ：1 1 l 。2 ：5 。 = 上i m 妒e 刊印酬加l i 彦叩e 叫印酬z ) = ( e 2 册c ；z 5 ，e a r d v c z ，= 0 2 ”o j 0j 0 0 。e 。r 5 c 。s c 5 e a r 5 r d r d j c = z 2 ”z 。e 一5 ( 1 一c c 5 口，) r d r d a 忖忆：皇 甘z “百南硼 。 ( 注意，上式用到了第三章提到的基本事实) 因此，显然有积 分止i f ( z ) 1 2 e 一。i 。1 5 d r ( z ) 。所以，( z ) = e g 一工。2 , ，。5 ( c ) 。 不失一般性，设多项式p ( z ) = a z “，a r ，n z + ，因为 i l p f l l c ：3 ci p ( z ) ，( z ) 1 2 e 一。i 。1 5 d v ( z ) = i p ( z ) 1 2 1 e g 。5 1 2 e 一。1 2 r d ( z ) j c = i 口z 1 2 e 2 m ( g 。5 ) e 一。坩d ( z ) j c = 0 2 7 0 ”。2 e ”5 c o s c 5 吁。r 5 r 2 n + 1 d r 珊 = 。2 ：2 7 1 。( o o e 一r 5 ( 1 - c o s ( s o ) ) r 2 n 十1 d r d 一 由该基本事实， 怕刑磁： o 。铮厂耳丽1 萨扒o o 铮竿 营礼 五1 又因为对于一般的多项式，后面次数较小的项通常可以被首项所控 制。所以对于函数f = e “l 篡( c ) 如果存在多项式p 使得p f 三2 , 5 ( c ) ， 2 1 复旦丕堂亟主堂垡i 缱 2 2 那么该多项式的次数d e g ) 一定小于 ，也就是p 只能是常数。因而，( z ) 在l 臻( c ) 中是不循环的。 类似推导可知，( z ) = e ；一在理：( ) ( s n ，s 5 ) 中无零点但不循环 的。 参考文献 1 】x c h e n a n dk g u o ，a n a l y t i ch i l b e r t m o d u l e s ，7 r c h a p m a n & h a l l c r cr e s e a r c hn o t e si nm a t h 4 3 3 ，2 0 0 3 2 】k g u oa n dd z h e n g ，i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，q u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e sa n d h a n k e lo p e r a t o r s ，j f u n c t a n a l 1 8 7 ( 2 0 0 1 ) ，3 0 8 - 3 4 2 3 k g u oa n dk i z u c h i ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so l lf o c kt y p es p a c e s ， p r e p r i n ts e r i e s ，d e p a r t m e n ta n di n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，f u d a n u n i v e r s i t y , 2 0 0 4 - 0 5 【4 x c h e nk g u oa n ds h o u ，a n a l y t i ch i l b e r ts p a c e so v e rt h ec o m p l e x p l a n e ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s2 6 8 ，6 8 4 - 7 0 0 ( 2 0 0 2 ) 5 】j c o n w a y , f u n c t i o n so fo n ec o m p l e xv a r i a b l e g r a d u a t et e x t si nm a t h - e m a t i c s ，1 1 ，s p r i n g e r v e r l a gi n c ，n e wy o r k ，1 9 7 8 6 c a b e r e n s t e i na n dr g a y , c o m p l e xv a r i a b l e s ：a ni n t r o d u c t i o n ，g r a d u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s ，1 2 5 ，s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r ki n c ，1 9 9 1 【7 】j b g a r n e t t ，b o u n d e da n a l y t i cf u n c t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ， 1 9 8 1 8 h h e d n m a l m ，b k o r e n b l u ma n dk z h u ，t h e o r yo fb e r g m a ns p a c e s ， g r a d u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s ，1 9 9 ，s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r ki n c ， 2 0 0 0 2 3 复旦大学硕士学位论文 2 4 9 k h i z u c h i ，c y c l i cv e c t o r si