（基础数学专业论文）几类脉冲偏微分方程的解的振动性.pdf

摘要 本文考虑了几类脉冲偏微分方程的解的振动性，论文分为四章 在第一章，我们对脉冲微分方程的振动性做了一个基本概述，同时 对本文所做的研究做了一个基本的介绍 第二章，我们研究了一类具有时滞的脉冲抛物系统 ， ju t = a ( t ) a u + 6 ( ) 钍( 一7 ，z ) 一p ( t ，z ) 让一q ( t ，。) ( u ( t r ，z ) ) ，t t k ， iu ( t j ，z ) 一u ( t i - ，z ) = i ( t ，z ，t ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， 在r o b i n 边值条件下解的振动性，获得了新的振动条件 第三章和第四章，分别研究了脉冲中立型时滞抛物偏微分方程组 爱( u i ( t ，z ) 一三dc r ( t ) 钍t ( t 一耳，z ) ) = 口( t ) a u d t , x ) + 兰e ，b i i ( t ) a u i ( t 一6 ，z ) 一 p i ( t ，x ) u i ( t ，。) 一eq t j ( t ，z ) ( t p ，z ) ， j = 工 ( t ，z ) r + q ，t t k ，i k = 【1 ，2 ，m ) ， u , ( t z ，z ) 一u i ( t ；，z ) = b k u i ( t k ，z ) ，岛= 1 ，2 ，i k ， 和具偏差变元的脉冲双曲型偏微分方程组 器 “i ( t ，z ) + c ( t ) u t ( t 一7 ，z ) 】+ 爱 u ( t ，z ) + c ( t ) u i ( t 一7 - ，z ) 】 = a i ( t ) a u i ( t ，z ) + a u ( t ) a u i ( t p l ( t ) ，z ) 一p o ( t ，z ) 吻( t 一盯( ) ，z ) ， = 1 j 。l ( t ，x ) r + q ，t t k ，七= 1 ，2 ，i k = 1 ，2 ，m ) ， u t ( t j ，z ) 一u i ( t ；，z ) = a k u i ( t k ，z ) ，七= 1 ，2 ，i ，m ， 掣一型o 型t = 口k 钆m a t 越，k = 1 川2 一，i k ， 在r o b i n 边值条件下解的振动性利用最终正解存在的条件，获得了其所 有解振动的若干准则，这些结论推广和包含了已知的一些结果 关键词：脉冲，中立型，时滞，最终正解，振动性 a b s t r a c t o s c i l l a t i o n sf o rs o m ec l a s so fi m p u l s i v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u r c h a p t e r s i nc h a p t e ri ， b a s i c l i o ：f o r i l l a t i o n 一一一一一一f i n c h a p t e r1ab a s i cs u m m a r i z a t i o nf o ro s c i la t i o nb e ha v i o ro f， p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h em a i nc o n t e n to f r e s e a r c ho ft h i s p a p e ri si n t r o d u c e d i nc h a p t e ri i ，ac l a s so fi m p u l s i v ed e l a yp a r a b o l i cs y s t e m j 魄2a ( t ) a u + b ( t ) a u ( t 一7 - ，z ) 一p ( t ，z ) 乱一q ( t ，x ) h ( u ( t r ，z ) ) ，t t 七， iu ( q ，z ) _ 乱( i ，z ) = i ( t ，z ，乱) ，t = t l , ，k = 1 ，2 ， w i t ht h er o b i nb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o ni si n v e s t i g a t e d i nc h a p t e ri i ia n di v ，t h es y s t e mo fi m p u l s i v en e u t r a ld e l a y p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 爰( 珏t ( ，z ) 二主c r ( ) 讹( 一耳，z ) ) = a i ( t ) a u i ( t ，z ) + 曼b i j ( t ) a u i ( 一正z ) 一 p i ( t ，z ) 让l ( ，z ) 一eq , j ( t ，z ) 嘶( 一p ，z ) ， ( t ，z ) r 十q ，t t k ，i k = 1 ，2 ，m ) ， u ( 毒，z ) 一u i ( i ，z ) = b k u i ( t k ，z ) ，七= 1 ，2 ，i ，仇， a n dt h es y s t e m so fi m p u l s i v eh y p e r b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s 貉 地( t ，z ) + c ( t ) 牡i ( 一r ，z ) + 爰【u i ( t ，z ) + c ( ) ( 一下，z ) 】 = 。i ( ) a u i ( t ，z ) + 喜口荆u t ( 咱( 亡) ，z ) 一黑( ，砒f ( t 一盯( ) ，z ) ， ( t ，z ) r + q ，t 南，南= 1 ，2 ，i k = 1 ，2 ，m ) ， u d q ，z ) 一让 ( i ，z ) = q 七乱l ( t 七，z ) ，七= 1 ，2 ，i k ， 掣p 一o u i o t = 凤掣， 巩 一一七一。瓦一 k = 1 ，2 ，i ，m ， i i i w i t ht h er o b i nb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o na r ed i s c u s s e d b yu s i n g t h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n s ，s o m es u b f i c i e n tc r i t e r i af o rt h eo s c i l l a t i o no fa l ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r e o b t a i n e d ，w h i c hg e n e r a l i z e sa n di n c l u d e ss o m ek n o w nr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v e ，n e u t r a lt y p e ，d e l a y , e v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o n ，0 s c i l l a t i o n i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：坪戤鳍砷年i i 月哆日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一一- 年解密后适用本授权书 2 、不保密回 ( 请在以上相应方框内打“，) 作者签名：粼日期：砷年，月2 互日 导师签名：奏移1日期：。芦年月砧日 i i 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 1 绪论 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中 是普遍存在的，其数学模型往往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统 最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深 刻、更精确的反映事物的变化规律近年最新科技成果表明，这类系统 在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、医学、经济领域均 得到重要应用譬如，可应用于大型空间航天器的减振装置、卫星轨道的 转换技术；可应用于机器人的研制；还可应用于神经网络、混沌控制、 机密通讯的研究 脉冲微分系统的研究始于1 9 6 0 年v d m i l m a j l 和a d m y s h k i s 的工 作 1 】- 自2 0 世纪8 0 年代，逐渐引起微分系统学者、专家的关注并致力于从 理论上对其进行研究 2 】- 到8 0 年代末对其研究已有一些重要成果发表 譬如，关于依赖于状态的脉冲微分系统解的基本理论已建立，关于脉冲 微分不等式的一些重要结果已出现，关于脉冲微分系统稳定性理论的基 本定理已得到等这些结果已被v l a k s h i m i k a n t h a m 等进行了系统总结 【3 】，其特点是所考虑的系统只含脉冲而不含时滞 自9 0 年代以来脉冲微分系统更加引起微分系统学者专家的重视与兴 趣，作为非线性微分系统领域的一个新分支，已获得一批新的重要研究 成果，特别是9 0 年代末至本世纪初具有界滞量的脉冲微分系统解的存在 性研究取得重要成果 4 - 5 1 以来，具无穷延滞的脉冲泛函微分系统解存 在性定理相继建立【6 7 】在脉冲微分系统的基本理论、边值问题、稳定 性理论等方面都获得了一批重要学术成果如得到了具有界滞量或无穷 延滞的脉冲泛函微分系统解的唯一性定理、整体存在性定理、延展定理 及解的连续依赖性定理【8 1 2 】；建立了具依赖于状态的脉冲微分系统的 比较原理【1 3 1 4 ；利用高阶导数v 函数法，变分v 函数法，部分变元v 函数 法等新方法；给出了脉冲摄动微分系统、脉冲混合微分系统、脉冲泛函 微分系统等关于两个测度的稳定性定理【1 5 1 7 】；建立了变动时刻的脉冲 微分系统的周期边值问题【1 8 】；有限区间上和无穷区间上二阶脉冲微分 高校教师在职硕士学位论文 系统的边值问题 1 9 2 1 】及具有无穷延滞的脉冲泛函微分系统的边值问 题【2 2 】等 脉冲微分系统这一新的研究领域极具吸引力和挑战生在理论上，它 综合了连续和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统的范围，还 存在若干有待解决的带有根本性的基础研究课题：关于脉冲自治系统的 几何理论基本尚属空白，脉冲偏微分系统的研究也刚刚起步，具无穷延 滞的脉冲微分系统解的性质的研究尚不多见，特别是在“脉冲 、“时滞 共存甚至更复杂的情形下系统解的规律与特征尚需深入探索等 脉冲偏微分系统作为一支新的数学分支已引起不少学者的兴趣与 关注最新研究成果表明，在物理、化学、生物、医学、人口动力学、最 优控制等现代科技诸领域中许多实际问题的数学模型都可归结为脉冲 偏微分系统脉冲偏微分方程为准确地刻画这些问题提供了有效的研究 工具和可行性方法因此对其研究具有重要的理论意义和应用价值近 年来关于脉冲偏微分系统的研究已有一些结果发表譬如1 9 9 1 年e r b e 等学者在研究单一物种生长模型时给出了脉冲抛物方程稳定性的比较 准则【2 3 】，这是为国际数学界真正了解的有关脉冲偏微分方程研究的最 早结果之后，对脉冲偏微分方程的研究日益受到人们的重视，譬如，对 其稳定性、渐进性及其周期边值问题的研究2 3 2 5 脉冲偏微分方程的 振动理论作为其中的个重要研究领域，近十年来引起了许多学者的极 大关注，已陆续有一些很好的论文发表，如文献【2 6 3 8 但以往研究的主 要工作是关于单个脉冲偏微分方程进行讨论地，而关于脉冲偏微分方程 组的振动性研究还不多见 本学位论文以脉冲微分方程基本理论为基础，利用反证法的分析方 法，结合g r e e n 公式、g r a s s 散度定理、j e s e n 不等式、脉冲微分不等式 以及相关数学工具研究了几类脉冲偏微分方程的振动理论，给出了一些 有用的结论本论文所做具体工作如下： 2 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 本文第二章研究了如下具有时滞的脉冲抛物系统 iu t = 口( t ) u + b ( t ) a u ( t 一7 ，z ) 一p ( t ，z ) u q ( t ，x ) h ( u ( t r ，z ) ) ，t t k ， l 仳( j ，z ) 一u ( t i ，z ) = z ( t ，z ，u ) ，t = t k ，七= 1 ，2 ， ( 1 - 1 ) 带r o b i n 边界条件 a _ u 旷( t , x ) + p ( z ) ( ，z ) = o ，( t ，z ) r + o f _ 2t # 忌， 的振动性问题其中是舻空间中的拉普拉斯算子，t = u ( t ，z ) ，( t ，z ) g 兰r + xq ，此处q 为舻中具有光滑边界锄的有界区域，4 = 【0 ，+ o 。) ， 口，b p c i r + ，耳】，p ，g p c i r + 瓦r + 】，p c 代表仅在t = t k ，k = 1 ，2 ， 处具有第一类间断点且在t = t 七处为左连续的函数，h c r ，用；p ( a q ，( 0 ，+ o o ) ) ，n 为a q 的单位外法向量 我们通过运用脉冲不等式，获得了新的振动准则，这比文【3 9 】中的 结果更为一般，且改进了相应的结果此外，对于系统( 1 - 1 ) 在r o b i n 特征 值问题 l 仳+ 入u = 0 ，z q ，入是常数， i 軎寿+ p ( z ) u = 0 ，z a q ， 下的振动准则，我们也作出了相应的证明与推广 对于脉冲偏微分方程组的情形，我们在第三章考虑了脉冲中立型时 滞抛物偏微分方程组 爰( “t ( 锄) 一曼c r ( ) u t ( t 一- ，z ) ) = 。t ( ) 她( 柚) + mm 盖6 j ( 。) a u d t - & z ) 叩( 。，z m 。，z ) _ 斛eq , j ( t , x ) u j ( 。咱z ) ，( 1 - 2 ) ( t ，。) r + xq ，t t k ，t k = 1 ，2 ，m 】， u t ( t j ，z ) 一u i ( t i ，z ) = b k u ( t l , ，z ) ，七= 1 ，2 ，t k ， 满足如下边值条件 1 a u i ( 矿t , z ) + 卢( z ) u i ( = 。，。a q ，t t 七，i k ， 的解的振动性其中 3 一 高校教师在职硕士学位论文 ( i ) 4 = 0 ，+ o o ) ，g 兰r + xq ，g t = 阢0 0 ) xq ，qc 彤是具有逐片光 滑边界a q 的有界区域，是矽中的n 维拉普拉斯算子： ( i i ) 耳，占，p 为正常数，且r 如= 1 ，2 ，d ，b 七0 ，k = 1 ，2 ，； ( i i i ) o i ( ) ，b i j ( t ) p c ( r + ，r + ) ，鼽( z ，z ) p c ( r + xq ，r + ) ，q j ( t ，z ) p c ( r + xq ，r ) ，q i t ( ，。) 0 ，i ，歹k ，这里p c 表示具有如下性质的分 片连续函数类：仅在t = t 七，南= l ，2 ，为第一类间断点，但在t = t 岛左 连续； ( i u ) c r ( ) c ( 4 ，r + ) ，e 量，c 4 t ) = 1 ，且存在t 0 如使得l i m 佃c t 。( ) = c o 0 ： ( ) n 表示a q 的单位外法向量，卢( z ) c ( o n ，( 0 ，+ o o ) ) 我们首先得到了判断系统( 1 - 2 ) 在边值条件下振动性的一阶脉冲时 滞微分不等式，以此为基础再借助积分的方法进一步获得系统振动性 的新准则，从所得结果来看充分揭示了时滞对脉冲时滞抛物系统振动 性的影响 在第四章中，我们讨论了具备偏差变元的脉冲双曲型偏微分方程组 器【牡( t ，z ) + c ( t ) u i ( t 一下，z ) 】+ 岳 u t ( ，z ) + c ( t ) u t ( t 一7 i ，z ) 】 = a i ( t ) a u f ( t ，z ) + 三a u ( t ) a u i ( t p t ( t ) ，z ) 一ep i j ( t ，z ) 嘞( t 一盯( 亡) ，z ) ， = 工 ，= 1 ( t ，z ) r + q ，t t k ，k = 1 ，2 ，i k = _ 【1 ，2 ，m ) ， u t ( z 丰，z ) 一u i ( t i ，z ) = o t k u i ( t k ，z ) ，t = t k ，七= 1 ，2 ，i k ， 掣一型a 魁t = 凤掣，k = 1 川2 一，i k ， ( 1 - 3 ) 满足如下边值条件 o u _ r 再( t f , z 一) + 欢( 亡，z ) u t ，z ) ：o ， z a q ，t 如，i k ， 解的振动性其中r + = 0 ，+ 。) ，g 兰r + q ，u 严仳t ( t ，z ) ，qc 舻是具有 逐片光滑边界艿q 的有界区域，a u t ( t ，茁) = 苎掣，( t ，零) g ，i ；0 q 七成，c ( t ) c 1 ( r + ，r + ) ，盯，j 9 l ，a i ，a l l p c ( o ，+ o o ) ，【0 ，+ ) ) ，p e j ( t ，z ) p c ( o ，r ) ，t ，歹k 这里p c 表示具有如下性质的分片光滑连续函数类： 仅在t = t 七，七：1 ，2 ，为间断点且为第一类间断点，但在t = t 南左连续， 一4 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 为o f z 的单位外法向量，9 i ( t ，z ) 是 0 + 。o ) o f z 上的连续非负函数通 过运用一些脉冲微分不等式，获得了系统的一些振动性结论，所得结果 反映了偏差变元和脉冲在振动中的影响作用，因而这些工作相对于原 来的偏微分方程组是有益的推广 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 2 具有时滞的脉 o r o b i n 抛物边值问题的振动性 2 1 引言及预备知识 考虑如下的具有时滞的脉冲抛物系统 iu t = a ( t ) a u + b ( t ) a u ( t 下，z ) 一p ( t ，z ) u q ( t ，x ) h ( u ( t r ，z ) ) ，t t k ， iu ( t j ，正) 一u ( t i ，z ) = z ( t ，。，u ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， ( 2 1 ) 其中 ( i ) a 是册空间中的拉普拉斯算子，t = u ( t ，z ) ，其中( ，z ) g = 4 q ，此处q 为册中具有光滑边界a q 的有界区域，4 = 【0 ，+ o o ) ； ( i i ) 0 t l t 2 t k 且，l i mt k = + o 。； ( i i i ) 口，b p c i r + ，皿】，p ，q p c i r + 丽，墨】，其中p c 代表仅在t = t 知，k = 1 ，2 ，处具有第一类间断点的且在t = t 七处为左连续的函数类， h c n ，捌； ( i v ) 下和r 均为正常数； ( v ) ，：4 孬r r 考虑如下r o b i n 边界条件 掣州咖垆。川，扯r 十o f t t t k ，( 2 - 2 ) 其中u ( x ) ( a q ，( 0 ，+ 。) ) ，为a q 的单位外法向量 傅希林，闰宝强，刘衍胜的文 3 9 中5 3 节给出了方程( 2 1 ) 在边值 条件( 2 - 2 ) 下的所有解振动的充分条件在此，我们利用脉冲微分不等式 得nt 问题( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 的所有解振动的新的充分条件，推广了文 3 9 】中 5 3 节的相应结果 假设抛物边值问题( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 的解u ( t ，z ) 是在脉冲点t = 钆，k = 1 ，2 ，处为第一类间断点的分段连续函数为了便于讨论，我们不妨假 7 一 高校教师在职硕士学位论文 设u ( t ，z ) 在间断点处是左连续的，且满足 u ( t i ，茁) = u ( t k ，z ) ，乱( 古，z ) = u ( t k ，2 ) + l ( t k ，。，u ( t 七，z ) ) 定义2 1 1 我们称问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 的非零解u ( t ，茁) 是区域g 上的非振 动解，如果存在一个数盯0 满足当( 屯z ) f a r ，+ o o ) q 时u ( t ，z ) 为常符 号否则称为振动的 引理2 2 1 1 3 1 设 2 2 主要结论 m ( 亡) g ( t ) m ( t ) + ( 亡) ，t t k ，t t o ， 仇( j ) d k m ( t k ) + b k ，七= 1 ，2 ， 其中0 t 。 t l t 2 t 七 ，且惫l _ + i m o o t 七= + 。o ；m p c l 【r + ，n l ，夕，h p c i r + ，r l ；d k 0 ，b k 为常数，则 m ( ) 喇n 卿( z 删s ) + 东啄i 冰i t o t k t o t ot 。呜e 印仉j t k ( 6 置 t j t k tk 0 ，掣m ，“( o ，+ o 。) ； ( i i ) 槲l i m 。f j 如( 1 + q 七) 一1 删e 伫r p 9 嘶d s = + o o ， 那么问题( 2 - 1 ) 一( 2 2 ) 在区域g 上每一个非零解都是振动的 证明假定结论不真，那么对某盯0 ，问题( z - i ) ( 2 2 ) 在区域 盯，+ 。) q 上存在一个常号的非零解u ( ，z ) 不妨设u ( t ，z ) 0 ，( ，z ) p ，+ o o ) q ， 则由( 2 4 ) 式定义知，在t 盯+ 7 。上满足不等式( 2 - 3 ) 的解u ( t ) 是正解， 并且满足 u ( t 一7 ) 0 ， ( u ( 一r ) ) 0 ，t 口+ 丁+ ， 其中7 + = m a xt ，r ) ，因为 u 7 ( 亡) - p ( t ) u ( t ) 一q ( t ) h ( u ( t r ) ) 0 ，t 玎+ 7 + ，t t k ， 9 高校教师在职硕士学位论文 所以u ( t ) 在区间亡( t 七，七+ 。) ，k = l ，2 ，上是单调不增的在式( 2 - 3 ) 两 端同乘以e 疋p 健法，t “盯+ 广且令 则有 进一步 即 暑，( ) ：u ( ) e 泛p ( ) 必，t 缸，( 2 - 5 ) ! ，( ) + q ( t ) e 疋p ( e ) 必 阿( 一r ) e - 7 p ( ) 武】0 ，如， 如， 可，( t ) + m y ( 一r ) q ( t ) e ，：，p ( ) 武0 ，t 扎， 如， y ，( t ) 一m 可( t r ) q ( t ) e 丘，p ( f ) 必， 亡“， 靠 ( 2 6 ) 由( 2 - 5 ) ，( 2 6 ) 式得y ( t ) 在每一区间( t ，t 七+ 。】上为非增函数，又 掣( t j ) ( 1 + a 七) y ( 如) ，t = t k ，七= 1 ，2 ，( 2 7 ) 当丁 t 七仃+ 7 时，有 y ( t - - r ) e 押钒i i t ，有( 一r ) ( 乩而 于是 又 可得 她) 而1 婀) 而1 如) ， ( t r ) 而1 讹) ， 如) 而1 埘) 而1 吵s ) ， 出叫志志如s ) ， 一1 0 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 依次卜去，胥 y ( t - r ) 而1 而1 上1 - t - c 。k 。y ( 耻阳理 t 丽1 秒( 从而结合( 2 - 6 ) ，( 2 8 ) 式有 芗)一!，盎掣(?)蹴丘r鸳(2-t-9)rtt k o “稽 再利用( 2 7 ) 式，由引理2 2 1 可得 秒( t ) y ( t ) ( 1 + q 七) 一m 厶i i ( 1 + a 南) t t k t。s t k t l 理 r 去卵俐正r 球心j 如 = 管( ? ) ( 1 + q 南) 1 一m ( 1 + a 老) 一1 q ( s ) e j _ r p ( 。武幽j t t k ti j 1 $ - - r o ( r p ) ；另一方面条件 ( i i ) 比原文定理5 3 2 的条件( i i i ) 更好 定理2 2 3 假设条件均成立，且满足 ( i ) 掣m 且对某一常数m 0 ，珏( 0 ，+ o o ) ； ( i i ) 存在一个常数q 0 ，使得0 0 相矛盾，故定理2 2 3 得证 注2 2 2 这里我们对文【3 9 】中定理5 3 4 做了推广，得到了相应的不依 引理2 2 3 1 4 0 如果p c ( o n ，( 0 ，+ 。) ) ，那么r o b i n 特征值问题 | 仳+ 地= o ，z q ，a 是常数，( 2 1 0 ) l 器+ p ( z ) 牡= 0 ，z a q ， 。 有最小特征值入。且相应的特征函数西( z ) 在q 上是正的 引理2 2 4 ( 3 9 】引理5 3 4 ) 假设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，p c ( a n ，( 0 ，+ 。) ) 如 果u ( t ，z ) 是问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在区域p ，+ o 。) xq 上的正解，这里盯为某非 负常数，那么具有时滞的脉冲微分不等式 iv ) + a o a ( t ) + p ( t ) l v ( t ) + 入0 6 ) y 一r ) + q ( t ) h v ( t 一，) 1 0 ，t t k ， ly ( j ) ( 1 + a ) y ( 如) ，克= 1 ，2 ， ( 2 一1 1 ) y ( 。) 2 赢六西( ) 如，( 2 - 1 2 ) 其中p ( t ) = m i n p ( t ，z ) ，q ( t ) = m i 。nq ( t ，z ) 4 c - z s 2 证明假设u ( t ，z ) 为问题( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 在区间b + o 。) q 的一个正解， 对于t t 七，忌= 1 ，2 ，存在一个t 盯，满足当( t ，z ) m + 。) q 时， u ( 一lz ) 0 且u ( t r ，z ) 0 对( 2 1 ) 式两边乘上圣( z ) 后，再在区间q 上关于z 积分得 爰五u ( ，$ ) 西( z ) d x - - a ( t ) 二乱( 亡，z ) 垂( z ) d x + 6 ( t ) 厶仳( 1 z ) 西( z ) 如一t , x ) u ( ，z ) 圣( z ) 如 一厶q ( t ，z ) 九( u ( t1 z ) ) 圣( z ) 如，t 妃z ( 2 - 1 3 ) 由g r e e n 定理及边值条件( 2 - 2 ) ，可得 厶仳( t ，z ) 西( z ) d x = 一入。厶“( ，。) 西( 茁) d x ，t k , t ( 2 - 1 4 ) 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 上u ( 亡一7 ，z ) 西( z ) 如= 一入。上u ( t - r , x ) 3 ( z ) d x ，t # t 七，亡e ( 2 - 1 5 ) 其中d s 为锄上的面积分元利用j e n s e n 不等式得 上 ( 仳( t - - r ，x ) ) 圣( z ) 如五西( z ) 如 ( 石盂吾石上u ( t - - r , x ) 垂( z ) 如) ， t t k ，t z ( 2 1 6 ) 由( 2 1 3 ) 一( 2 1 6 ) 式得 面d 二仳( ，z ) 西( 。) 如+ 入。口( t ) 上乱( t ，z ) 圣( z ) 如 + 知6 ( t ) 上u ( - r , z ) 3 ( z ) d x + p ( t ) o “( ，z ) 圣( z ) 如 + q ( t ) f n 圣( z ) 如九( 石虿b 面上u ( t - r ，x ) 西( z ) 如) 0 ，t t k ，t z( 2 1 7 ) 在( 2 1 7 ) 式两边同除以如3 ( x ) d z 得 v 7 ( t ) + 【a o a ( t ) + p ( t ) l v ( t ) + a o b ( t ) v ( t 一下) + q ( t ) h v ( t r ) 】0 ，t “，t z ( 2 - 1 8 ) 其中 y ( t ) 2 丽1 二u ( ，z ) 圣( z ) 如( 2 - 1 9 ) 对于t = t 七，七= 1 ，2 ， 利用( a 2 ) 得 上j ，z ) 一u ( 圮z ) 】垂( 。) d z = i ( t k , x , u ( z ) ) 西( z ) d x q u ( t 七，z ) 圣( z ) 如，k = l ，2 ， 即 上“( j ，z ) 西( z ) d x ( 1 + q 七) 上u ( 拓，z ) 西( z ) 如， 于是 y ( j ) ( 1 + a 七) y ( 如) ，k = 1 ，2 ， ( 2 2 0 ) 从而由( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 可知( 2 - 1 1 ) 有最终正解y ( t ) 13 高校教师在职硕士学位论文 定理2 2 4 ( 3 9 1 定理5 3 5 ) 假设条件( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) 成立，p c ( o n ，( o ，+ 。o ) ) 如果具有时滞的脉冲微分不等式( 2 1 1 ) 无最终正解，那么问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 在区域g 上的每个非零解是振动的 定理2 2 5 假设( a 1 ) ，似2 ) ，( a 3 ) 成立，p c ( a r 2 ，( 0 ，+ 。o ) ) 再假设 。止旦 0 ，那么当t 盯+ r 时，其中r = m a x r ，r ) ，由( 2 - 1 2 ) 定义的函 数v ( t ) 是不等式( 2 - 1 1 ) 的正解现有 v ( t 一7 ) 0 ，v ( t r ) 0 且h ( v ( t r ) ) 0 ，t 盯+ 7 + 当t t 七时，由( 2 1 1 ) 式有 v 7 ) + a o a ( t ) + p ( ) 】y ( ) + a o b ( t ) v ( t 一下) 0 ，t 盯+ r ( 2 - 2 1 ) 在( 2 - 2 1 ) 式两边乘上 e 丘【知a ( ) + p 婷) 】武，t t 知盯+ r 且设 荆：y ( ) e 疋m f ) + 删畦，t t 南， 可得 y 7 ( ) + a 。6 ( t ) e 疋协。口( ) + p ( ) 】武y ( t 一7 - e - 正t k - - 7 b 。口( ) + p ( f ) 】必0 ，t t 七，t t 磨， ( 2 - 2 2 ) 于是y ( t ) 在每一区间( t k ，t 七+ ，】上为非增函数。又 ( t j ) ( 1 + q 血) 可( 如) ，t = t k ，k = 1 ，2 ，( 2 - 2 3 ) 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 当t t t k 仃+ 7 + 时，n - i 得 可( t - - r ) - l - i t - r t k t 去可( t ) 1 1 5 因此( 2 - 2 2 ) 式为 州-xob(扪17，去婀)el胁们代卜州。k(2-24)t-r 0 ，有0 口南 q ，七= 1 ，2 ，； ( i i ) 。旦南露6 ( s ) e c r 。+ p 1 s = + 。o ， 那么问题( 2 - 1 ) 一( 2 2 ) 的每个非零正解在区域g 内是振动的 让h 月由足埋2 2 5 时让明口j 得 比) 蚓n t 钒1 1 0 1 + 叫卜。f 。一旦 0 矛盾，故定理2 2 6 获证 注2 2 3 这里的振动性结论是对文3 9 1 中定理5 3 7 的改进 1 5 高校教师在职硕士学位论文 2 3 应用 例2 3 1 设固定脉冲点t = 克( 充= l ，2 ，) ，考虑具有时滞的脉冲r d b i n 抛 物边值问题： 饥= 口( t ) 貉+ 6 ( t ) 掣一p ( ，z ) 一g ( t ，z ) 九( u ( 一；，z ) ) ， t 南，( t ，x ) r + x ( 0 ，1 ) ， 嘉：一u ，。：o ，1 ，t ( o ，+ 。) ，( 2 - 2 5 ) u ( 亡j ，z ) 一u ( 坛，z ) 2 赤c o s ；，奄= 1 ，2 ， 口c t ，2 ： 蓉一1 ，捌，后：1 ，2 ， 6 c t ，2 ： 夏一1 ，纠，七：l ，2 ， p c t ，。，2 二：i ：一1 ，后】，七：。，2 ， g c 岛z ，2 三：妻： ：一1 ，叫，克：。，2 ， m ，= ：，= ：) ， 此处n = l ，q = ( o ，1 ) ，丁= ，r = i 1 易知函数九( 乱) 满足条件( a 1 ) 和定 理2 2 2 中条件( i ) 令，( t ，z ，u ) = 靠霄c o s 詈，则 z 1 m 而u ( 七，。) ) 如：1 厂1 辈丝c 。s 善如 。而两w 。5 叫 而1 丽71 j o “( 酬如 、( 7 r 七) 3 7 = q 七z 1 乱( 如) 如， 1 6 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 且 又 我们有 a 七= k = lk = l + o o p ( ) = = z r a 【0 i n ，1 】p ( 亡，z ) = = 口( 。) ，q ( 。) ：z r a f 。i n ，1 】q ( t , x ) = = 口( 。) ， 槲l i m f t i 钒x 。( 1 + a k 心s 膨燃d s = 熙0 t 。一旦 。( + 一0 n - i 。一旦 。( 1 + 卜s 炒必幽 = n n 蚤- 1 k i i 旦 l + 一n - - ，t l = n 薹肼+ n 姆0 0 著( - + 一n - + + _ i = i 1 + n = l l 卜咖即徙幽 - 1 a ( s ) e f t - 考a ( e ) 必d s 、三e 伫壬武d s t 、l 上， l _ e 2 8 d s t ) 1 j i e 2 ) 去e 去= + o o 于是由上述讨论易知定理2 2 2 的条件全部满足，故问题( 2 2 5 ) 的任意非 零解u ( t ，z ) 在区域r + ( 0 ，1 ) 上振动 1 7 几类脉冲偏微分方程的解的振动性 3 脉冲中立型时滞抛物偏微分方程组的振动准则 3 1 引言及预备知识 脉冲偏微分方程的振动理论作为脉冲偏微分方程中的一个重要研 究领域，其应用背景广泛，因而近几年来已引起人们极大的研究兴趣，但 对脉冲偏微分方程组的振动性研究还不多见 4 1 4 5 】本章考虑方程组 爰( 仳 ( 亡，z ) 一墨ic r ( t ) u ；( t 一矗，z ) ) = 口t ( t ) 蚴( t ，z ) + 暑( 亡) a u d 。一6 ，z ) 呻( 。，砒t ( 。，z ) - 纠eq , j ( 。，。) ( 。咱z ) ，( 3 - 1 ) ( t ，z ) r + q ，t t k ，i ，m = 1 ，2 ，m ， u i ( t 吉，z ) 一t 正t ( t i ，z ) = 巩u i ( t 七，z ) ，k = 1 ，2 ，i k ， 边值条件为 百o u i ( t ,